取样定理及其应用
测控五班穆可汗
学号：3013-202-136
引言：
取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示、这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号、可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁、为其互为转换提供了理论依据。
所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程、这样得到的离散信号称为取样信号fs(t) 、它是对信号进行数字处理的第一个环节。
一、定理证明：
设的频谱为离散信号x(n)的频谱为，由连续信号傅立叶变换和序列傅立叶变换可知：
在(1)式中令t=nT (T为时域取样周期,取样频率fs=1/T),可得：
对(3)式作变量代换，令，可得：
令对(4)整理可得，
对比(2)式和(5)式可得
上式给出了连续信号频谱与离散信号频谱的关系式从中可以看出，由连续信号的频谱可以通过以下两步得到离散信号的频谱：第一步，对连续信号的频谱进行换元、水平轴上的尺度展缩，信号的最高角频率由变化到；第二步，对频谱图以2π的整数倍为间隔进行平移，然后进行叠加，其幅值变为原来的1/T。由以上过程可知，只要，即原连续信号的最高频率，则频谱平移叠加后不会发生频谱的混叠，可以无失真地换原出原连续信号，取样定理得证。
二、取样定理的应用：基于带通取样定理的高速数据采集系统的硬件电路设计
数据采集是获得信息的一种基本手段。随着信息科学技术的迅速发展，它已经成为信息领域中不可缺少的部分。随着科技的不断进步，人们对数据采集系统的要求也越来越高，不仅要求取样的精度高，数据转换速度快，还要求具有抗干扰能力。
高速数据采集系统主要包括几个部分: 前端调理电路，高zzz速ADC，时钟电路，微处理器以及电源等组成。文中提出一种以NiosⅡ为核心控制器，基于带通取样的高速数据采集系统，并设计了系统中各个部分的硬件电路。
1.信号前端处理电路
运用带通取样定理进行数据采集时为了防止引起信号混叠，可以采用抗混叠滤波器来解决，即在取样前先进行滤波，得到想要的带通信号，再进行取样，所以在信号前端处理电路中要采用抗混叠滤波器进行滤波处理。一般情况下，抗混叠滤波器是低通滤波器。最简单就是一阶RC 低通滤波器。如果在一级RC 低通滤波器电路的输出端再加1 个电压跟随器，使之与负载很好的隔离开，就构成了1 个简单的一阶有源低通滤波器。系统采用的是四阶巴特沃斯低通滤波电路，其电路图如下图所示。
2. 高速ADC 采样电路
ADC 选用一款高速A/D 转换芯片ADC08D1000。该芯片是具有双通道结构，低功耗，高速8 位A/D 转换芯片，单通道的最高取样率达到1. 3 Gsps，在500 MHz 信号输入的情况下实际有效位数是7. 4 位。该芯片采用1. 9 V 供电，满负荷工作的时候功耗为1. 6 W 左右。芯片内部集成了1 ∶ 2 的DMUX( Demultiplexer)能够将ADC 采集到的数据暂时缓存一个周期，然后和下一个周期取样的数据一起输出，所以这样数据输出的传输速率就会减小一半，形成4 路500 Mbps 的8 位并行数据输出。它还可以进行双边沿取样( DES) ，增益调节，自校正等。由于ADC 的取样信号输入为差分方式，所以在信号进入ADC08D1000 前，要将信号经过差分放大器( AD8132) 将其转换为差分信号，这时需要保持ADC 的共模输出电压Vcom 和差分放大器AD8132 的共模输出电压一致。其电路图如下图所示。
3.高速ADC 采样电路
A/D 转换器的精度越高，输入频率越高，则时钟抖动限制的信噪比将占主要因素。A/D 转换器的信噪比和模拟输入频率时钟信号的时序准确性可以直接影响ADC 的动态特性，为减少这种影响，ADC 的时钟必须具有非常低的时序抖动或者相位噪声。所以高质量的时钟源是保证ADC 系统精度的关键。在器件的选择上尤其要关注芯片引入的抖动，根据抖动和ADC信噪比的关系:
式中: σT为总抖动; σclk为取样时钟的抖动; σaperture为ADC 的孔径抖动; fin 为输入信号频率。取样时钟的抖动和信噪比的关系可以由下式导出:
当ADC08D1000 工作在取样频率1 GHz，输入信号为允许最高频率时，若要达到44 dB 的SNR 设计指标，就要求此时的时钟抖动小于15 ps．所以在器件选取的电路的设计上，必须严格分析器件的抖动，以保证整个时钟路劲引入的总抖动小于15ps．系统采用ICS8430 － 61 专用时钟芯片产生时钟信号。ICS8430 － 61 专用时钟芯片是把锁相环，VCO，环路
滤波等电路集中在1 个芯片上，通过简单的数字控制信号就可以产生各种不同频率的时钟信号。它的外围只需要1 个晶振，输出频率范围为20 ～ 500 MHz，时钟抖动过得最大值为6 ps．EP3C40 是CycloneⅢ系列中一款低成本的FPGA．它内部有4 个锁相环， 39600 个逻辑单元，1134 Kbit 的存储器， 126 个乘法器， 20 个全局时钟网络。FPGA 外围电路设计主要是配置电路的设计。根据系统调试和下载的需要，系统选择的配置方式是AS 和JTAG 两种方式。AS 方式是由目标FPGA 来输出控制和同步信号给串行配置芯片，在配置芯片收到命令后，就把配置数据发送到FPGA，完成配置过程。根据对系统设计使用的逻辑资源进行估计后，选择EPCS16 作为系统的串行配置芯片。绝大多数的FPGA 都支持由JTAG 口进行配置。
4.电源模块电路设计
高速数据采集系统中使用的电压时5V，但是系统中各种芯片所需要的电压都不相同，所以需要做电压变换。直流电压变换的方法有两种: 一种是用线性稳压电源( LDO) 来降压; 一种是利用DC－DC开关电源来变换直流电压。由于开关电源的效率相对比较高，而且效率不随输入电压的升高而降低，电源通常不需要散热器，体积较小，因此系统中采用DC －DC 开关电源来转换直流电压。
https://www.doczj.com/doc/472632524.html,B 传输模块电路设计
USB 接口是一种重要的计算机外设接口，它支持热拔插和即插即用，使用很方便。USB2.0 的数据传输速率高达480Mbps，可以实现计算机与多个外设设备的简单，高速互联。选用EZ － USB FX2 系列的自能USB 芯片CY7C68013。它内部包括1 个增强型8051 处理器，1 个串行接口引擎( SIE) ，1 个USB 收发器， 8.5 片上RAM，4KB FIFO 存储器和1 个通用可编程接口( GPIF) ［5］。CY7C68013 与FPGA 的连接如下图所示。
6.小结：
文中介绍了取样定理证明，并在此基础上将带通取样运用在高速数据采集系统，使用带通取样定理技术时可采用比传统技术低得多的取样率，这意味着数据采集性能的提高及功耗和成本的降低。同时还介绍了高速数据采集系统的硬件电路设计方案，为了获得高质量的时钟信号，还对ADC 芯片的抖动和信噪比做了详细的探讨。
参考文献:
［1］李刚，程立君，林凌．高精度数据采集中抗混叠滤波器的设计．国外电子元器件，2007( 8) : 30 － 38．
［2］程佩青．数字信号处理教程． 2 版．北京: 清华大学出版社，2003: 33－ 39．［3］金燕，王明，葛远香．基于FPGA 的抗混叠FIR 数字滤波器的设计与实现．浙江工业大学学报，2010，28( 2) : 192 － 196．
［4］李朋勃，张洪平．基于FPGA 和USB2． 0 的高速数据采集系统．单片机与嵌入式系统应用， 2009( 9) : 32 － 35．
［5］谭安菊，龚彬． USB2． 0 控制器CY7C68013 与FPGA 接口的Verilog HDL实现．电子工程师，2007，33( 7) : 52 － 55．
正弦定理的几种证明 内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400） 正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。 C c B b A a C B A c b a ABC sin =sin =sin ,,,,:则：和中的三边和三角分别是 在正弦定理的内容： ? 一向量法 C c B b A a B b A a C c C CB i A CB AC i AB i AC i ABC sin sin sin :sin sin sin sin ||||sin | ) (,⊥=== ==+?=??即正弦定理可证 同理可证：，则：中做单位向量 证明：在
即正弦定理可证 同理可证：即中 和则在中做高线证明：在, sin =sin ,sin =s sin =sin sin =, sin =, C c A a B b inA a B a A b B a CD A b CD BDC Rt ADC Rt CD ABC ??? 三外接圆法 C c B b A R C c R A a R B b B R b B D a D R b Rt CAD R AD D C O ABC sin sin sin a ∴2sin ,2sin :2sin ,sin 2∴∠∠,sin ,∴, ,,========???同理即且且为设圆的半径为连接连接圆心与圆交于点过点的外接圆证明：做
四面积法 C c B b A a B ac C ab A bc S ABC sin sin sin ∴sin 21sin 2 1 sin 21=====?正弦定理可证：
一、正弦定理的几种证明方法
1.利用三角形的高证明正弦定理
（1）当 ? ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，
有CD ?asinB ,CD ? b sin A 。
C
由此，得
a sin A
b ? sinB
同理可得 ，
c sinC
?
b sin B
，
b
a
A
B
故有
a
b
sinA ? sinB
c ? sinC .从而这个结论在锐角三角形中成立.
D
（2）当 ? ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D， 根据锐角三角函数的定义，有CD ?asin?CBD ?asin?ABC ，CD ? b sin A 。由此，
得
a sin A
b ? sin?ABC
同理可得 ，
c sinC
b ? sin?ABC
C
故有
a
b
sinA ? sin?ABC
c ? sinC .
b
a
A
由(1)(2)可知，在
?
ABC
中，
a sin
A
?
b sin
B
c ? sinC
成立.
BD
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
a
b
c
sinA ? sinB ? sinC .
2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ ABC,设 BC＝a, CA＝b,AB＝c,作 AD⊥BC,垂足为 D. 则 Rt△ ADB
中, sin B ? AD , ∴AD=AB·sinB=csinB.
A
AB
∴S△ ABC= 1 a ? AD ? 1 acsin B . 同理,可证 S△ ABC= 1 absin C ? 1 bcsin A.
2
2
2
2
∴ S△ ABC= 1 absin C ? 1 bcsin A ? 1 acsin B . ∴absinc=bcsinA=acsinB, C
2
2
2
D
B
在等式两端同除以 ABC,可得 sin C ? sin A ? sin B . 即 a ? b ? c .
c
a
b
sin A sin B sin C
3.向量法证明正弦定理
(1)△ ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与 AB 的夹角为
90°-A,j 与 CB 的夹角为 90°-C. 由向量的加法原则可得 AC ? CB ? AB ,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量
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香农采样定理 采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。 采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样定理指出， 如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。 带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。 采样简介 从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。 连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。T称为采样间隔。在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字，称为样本。样本代表了原来地信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。 信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。 从采样定理中，我们可以得出以下结论： 如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表
《信号与系统A（2）》课程自学报告 实施报告 题目：带通采样定理与软件无线电
带通抽样定理 实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。 [定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。如果抽样频率f ，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。 对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。 由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。 在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。为了避免混叠，延 ） 3.1-11） 综合式（ 3.1-12） 这里m m 取零，则上述条件化为 H s f f 2≥（3.1-13） 这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。 m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是m 有一个上限，因为m f f L s 2≤ ，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。 因此
正弦定理的证明解读 克拉玛依市高级中学 曾艳 一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =， 故有 sin sin a b A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 =∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 =∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中，sin sin a b A B =sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B =sin c C =. 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C === sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == a b D A B C A B C D b a
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法 ——王彦文青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题． 主要考查有关定理的应用、三角恒等变换 的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角 形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或 证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度 以及角度等问题，且多以应用题的形式出现． 1．正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等， 即．其中R是三角形外接圆的 半径． (2)正弦定理的其他形式： ①a＝2R sin A，b＝，c ＝； ②sin A＝a 2R，sin B＝， sin C＝； ③a∶b∶c＝______________________. 2．余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝，b2＝， c2＝. 若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理． (2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝. 若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角． (3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π. 3．解斜三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a， 时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用
一、抽样和抽样定理 数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。 “抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以?s (t )表示。抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。 抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。 抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。 二、时域抽样定理的理论证明 时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号?(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2?m ）上的样点值?s (t )=?（nT s ）确定。以下为理论证明过程： 根据傅里叶变换和离散傅里叶变换定义，有 ΩΩ=Ω∞∞-?d e j X t x t j a a )(21)(π (1) ωπωππ ωd e e X n x n j j ?-=)(21)( (2) 将抽样过程的时域关系x （n ）=x a （nT ）带入（1）式，有 ΩΩ=Ω∞∞ -?d e j X n x nt j a )(21)(π (3) 比较（2）（3）式，可以得到 ωωπ πωd e e X d e j X n j j nT j a ??-Ω∞ ∞-=ΩΩ)()( 将模拟角频率Ω和数字角频率ω的关系ω=ΩT 带入上式，得
取样定理及其应用 测控五班穆可汗 学号：3013-202-136 引言： 取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示、这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号、可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁、为其互为转换提供了理论依据。 所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程、这样得到的离散信号称为取样信号fs(t) 、它是对信号进行数字处理的第一个环节。 一、定理证明： 设的频谱为离散信号x(n)的频谱为，由连续信号傅立叶变换和序列傅立叶变换可知： 在(1)式中令t=nT (T为时域取样周期,取样频率fs=1/T),可得： 对(3)式作变量代换，令，可得：
令对(4)整理可得， 对比(2)式和(5)式可得 上式给出了连续信号频谱与离散信号频谱的关系式从中可以看出，由连续信号的频谱可以通过以下两步得到离散信号的频谱：第一步，对连续信号的频谱进行换元、水平轴上的尺度展缩，信号的最高角频率由变化到；第二步，对频谱图以2π的整数倍为间隔进行平移，然后进行叠加，其幅值变为原来的1/T。由以上过程可知，只要，即原连续信号的最高频率，则频谱平移叠加后不会发生频谱的混叠，可以无失真地换原出原连续信号，取样定理得证。 二、取样定理的应用：基于带通取样定理的高速数据采集系统的硬件电路设计 数据采集是获得信息的一种基本手段。随着信息科学技术的迅速发展，它已经成为信息领域中不可缺少的部分。随着科技的不断进步，人们对数据采集系统的要求也越来越高，不仅要求取样的精度高，数据转换速度快，还要求具有抗干扰能力。
正弦定理的四种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义， 有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C = == sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == a b D A B C A B C D b a
3.1.3 带通抽样定理 实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。 [定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于的最大正整数。如果抽样频率满足条件 ， （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号。 对信号以频率抽样后，得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。 由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。 在抽样信号的频谱中，在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和。为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足 （3.1-10） （3.1-11） 综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到 （3.1-12） 这里是大于等于零的一个正数。如果取零，则上述条件化为 （3.1-13） 这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是有一个上限，因为，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即。 因此 （3.1-14） 由于为不大于的最大正整数，因此不大于的最大正整数为，故有 综上所述，要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足 ， （3.1-15）H f L f H f ),(H L f f )(t x L H f f B -=N B f M H -=/N B f H /s f m f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m )(t x )(t x s f )(s nT x )(t x s f )(t x ),(H L f f ),(L H f f --),(H L f f ),(H L f f ),(s L s H mf f mf f +-+-))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-L s L f mf f ≤+-H s H f f m f ≥++-)1(m f f m f L s H 212≤≤+m m H s f f 2≥m m m f f L s 2≤B f s 2≥B f B f f f m L L s L =≤≤222N B f H /B f L /1-N 10-≤≤N m )(t x s f m f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m
数学正弦定理证明如何证明 正弦定理该怎么证明呢?关于它们的证明方法之怎样的呢?下面 就是给大家的正弦定理证明方法内容，希望大家喜欢。 用三角形外接圆 证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D.连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以 c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 用直角三角形 证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。 用三角形面积公式 证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=csinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE
即c·a·sinB=b·csinA∴a/sinA=b/sinB同理可得 b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证 正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC 证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便 例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可 以得到： 2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径) 角A=角D 得到：2RsinA=BC 同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB 这样就得到正弦定理了 猜你感兴趣： 1.高中数学定理证明 2.承兑延期证明
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A
带通信号的采样与重建 一、带通采样定理的理论基础 基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。 带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。 带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式： s f = 2()21L H f f n ++ （2-1） 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。 带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。如图所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1] ，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。 图 带通信号采样
式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示： 0214s n f f += （2-2） 式中，()0L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正 整数。 当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212 n f B +=。也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。 带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。但是从软件无线电的要求来看，带通采样的带宽应是越宽越好，这样对不同基带带宽的信号会有更好的适应性，在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少，有利于简化系统设计。另外，当对于一个频率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太低，对提高采样量化的信噪比是不利的。所以在可能的情况下，带通采样频率应该尽可能选的高一些，使瞬时采样带宽尽可能宽。但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样后的数据流速率很高。因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹。实际对单信号采样时采样率是不高的。所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的。多速率信号处理技术为这种降速处理实现提供了理论依据。 二、带通采样过程 待采样信号为中频是100MHz ，带宽为2MHz 的带通信号： fc0=100e6; //中频频率 fc1=99e6; //信号一的频率
正弦定理的几种证明方法 欧阳光明（2021.03.07） 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角 三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有 =∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同 理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中，sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B = sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝ a b D A B C A B C D b a
c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD^AB 交AB 于D ，则 推论： sin sin b c B C = 同理可证： sin sin sin a b c A B C == 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为D.则Rt △ADB 中,AB AD B = sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin = =. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C . 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ?=+?)( 由分配律可得AB j CB j AC ?=?+. B ∴|j |AC Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j ∴asinC=csinA.∴ C c A a sin sin = . A 另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j D C B A C
带通信号取样定理 一个连续带通信号受限于[]H L f f ,，其信号带宽为L H f f B -=，且有 kB mB f H += （1） 其中，()[]k f f f m L H H --=，k 为不超过()L H H f f f -的最大正整数，由此可 知，必有10<≤m 。 则最低不失真取样频率min s f 为 ()??? ? ?+=+==k m B k kB mB k f f H s 1222min （2） 证明： 取样不失真的基本要求是样值序列的频谱各个谱块不重叠。这样就可以采用带通滤波器恢复原来的带通信号。可见从频域分析，证明直观、清晰。 以下，分两步来证明。 （1）先证明当0=m 时的情况。由公式（1）和（2），有 kB f H = B f s 2min = （3） 分析一个带通信号()t x ，其频谱为()f X ，如图1所示。
s f -s f 2-s f 5.2-s f 3-s f 4-s f s f 2s f 5.2s f 3s f 4() f X f L f H f L f -H f -I II s s s s s s s s f s f -s f 2-s f 3-s f 4-s f s f 2s f 3s f 4f () f X s s f 2-s f 20 f s f 5.2-s f 5.2() f H s f 2-s f 5.2-s f 2s f 5.2() f X 0 f I II （a ） （b ） （c ） （d ） （e ） 图1 带通信号kB f H =时的频谱图 其中图（a ）表示()t x 的带通信号频谱，其特点是最高频率H f 为带宽的整数倍k ，这里5=k ，图（b ）表示采用()t s T δ对带通信号()t x 取样，而取样频率 ()L H s f f B f -==22，其中()t s T δ的频谱为()f s f δ。图（c ）表示
正弦定理的几种证明方法
正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C = == sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == a b D A B C B C D b a
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A
正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定 义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B =sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： | 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD?AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C = == sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == ` a b D A （ C A B ~ D b a
低通与带通抽样定理验证 【分析内容】按照低通抽样定理与带通抽样定理，分别对构造的低通型信号和带通型信号、两种抽样后的信号及滤波重建信号进行时域和频域观察，形象地给出低通抽样定理与带通抽样定理（带通部分选做）。 【分析目的】通过分析验证低通抽样定理与带通抽样定理。 【系统组成】抽样定理实质上研究的是随时间连续变化的模拟信号经抽样变成离散序列后，能否由此离散序列值重建原始模拟信号的问题。对于低通型和带通型模拟信号，分别对应不同的抽样定理，抽样定理是模拟信号数字化的理论基础。 对上限频率为f H 的低通型信号，低通抽样定理要求抽样频率应满足： 对下限频率为f L 、上限频率为f H 的带通型信号，带通抽样定理要求抽样频率满足： 其中， 为信号带宽，n 为正整数， 。 应该注意的是，当 时，无论带通型信号的f L 和f H 为何值，只需将抽样频率设定在2B ，理论上就不会发生抽样后的频谱重叠，而不像低通抽样定理要求的必须为上限频率的2倍以上。仿真分析系统将按照图1所示结构创建。 其中，对于恒定频谱的冲激函数，通过低通滤波产生低通型信号，再进行低通抽样；通过带通滤波产生带通型信号，再进行带通滤波产生带通抽样，最后分别滤波重建原始信号。仿真分析时，设低通滤波器的上限频率为10Hz ，带通滤波器下限频率为100Hz 、上限频率为120Hz ，低通抽样频率选为30Hz ；带通型信号上限频率f H = 6×20=120Hz （B=20Hz ，n=6），带通抽样频率至少应取40Hz ，现取60 Hz 的带通抽样频率。 【创建分析】 第1步：进入SystemView 系统视窗， 设置“时间窗”参数如下： ① 运行时间：Start Time: 0秒；Stop Time: 0.4秒； ② 采样频率：Sample Rate= 10000Hz 。 第2步：在SystemView 系统窗下，创 建的仿真分析系统如图2所示。仿真系统中 各图符块的参数设置情况见表1。 第3步：创建完仿真系统后，单击运行 按钮，首先观察时域波形，四个“Real Time ” 图符块显示框中的波形如图3所示。两个重 H s f f 2≥]1[2n k B f s +?≥L H f f B -=10<≤k nB f H = 图1 仿真分析系统结构 图2 SystemView 仿真分析系统