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一．本章习题
P272 习题
1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.
一．说明：
C 是上下底面距离， a 是六边形边长。
二．分析：
首先看是怎样密堆的。
如图 (书图 1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12 个近邻。
（同一面上有 6 个，上下各有 3 个）
上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a。
所以球心之间即格点之间距离均为a（不管是同层还是上下层之间）。
三．证明：
如图 OA=a ，OO ’=C/2 （中间层是上下面层的一半），AB=a
O’是 ABC 的三垂线交点
AO'AB a 33
（由余弦定理
x2a2x 22ax cos30
a
a a 2xcos30 , x)
2cos303
OA222( c)2( a )2 OO'AO' 23 a2( c )2( a )2
22
2 a2 1 c2
34
c82
2 1.633
a33
2．若晶胞基矢 a,b, c 互相垂直，试求晶面族（ hkl ）的面间距。 一、分析：
我们想到倒格矢与面间距的关系
d
2 。
G
倒格矢与晶面族
（ hkl ）的关系 G
hb 1 kb 2 lb 3
写出 (b 1b 2b 3 ) 与正格子基矢
(ab c) 的关系。即可得与晶面族（
hkl ） 垂直的倒格矢 G 。进而求
得此面间距 d 。
二、解：
a,b, c 互相垂直，可令 a
ai , b bj ,c
ck
晶胞体积 v a (b c )
abc
倒格子基矢：
b 1
2
(b c)
2 (bj ck ) 2 i
v
abc a
b 2
2 (c a)
2 (ck ai ) 2
v
abc j
b b 3
2 (a b) 2 (ai bj ) 2 k
v
abc
c
2 ( h
i
k j l
k )
G hb 1
kb 2 lb 3
而与 （ hkl ）晶面族垂直的倒格矢
a
b
c
( h ) 2 ( k )2 ( l ) 2
G
2
a
b
c
故（ hkl ） 晶面族的面间距
2 d
G
2
2 ( h
)2
( k ) 2 ( l ) 2
a
b c
1
( h ) 2 ( k )2 ( l )2
a
b
c
3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？
1．分析：
考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）
（1）体积最小的重复结构单元
（2）只包含一个格点
（3）能反映晶格的周期性
应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
原胞反映周期性，在空间无空隙无交叠排列成晶格。
我们不容易看出哪几个原子组合成一个格点。
我们可先分析晶胞是否组成复式格子？何种格子组成的复式格子？是由几层套构而成的？
我们知道如果是体心立方，将是两个简立方套构而成的二重复式格子。
如果是面心立方，将有对面面心处的原子构成三重简立方格子；加上顶点处是四重简立方格子。这样，我们的题中是体心加面心，面心的四重格子加上体心处的原子构成的一重格子，故应是五重简立方的复式格子。所以布拉菲晶格是简单立方格子。
这样可将体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为一个组合形成一个格点，即由 5 个原子形成一个格点，亦即基元是选这样的原子组合。最后格点的原胞是简立方，每个原胞
含一个格点，每个格点含五个原子。故每个原胞含有 5 个原子。
2．答：
通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有 5 个原子。
体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。
4．试求面心立方结构的（ 111）和（ 110）面的原子面密度。 一．（111）面
（ 1） 分析：
先分析有几个原子？
如图（书图 1.12，P10）。
（ 111）面由 3 顶点连线组成的面。 3 个顶点原子，每个贡献
1/6，3 个面心原子，每个
贡献 1/2，共 6 原子，每个（ 111）面有 3
1 3
1
2 个原子。
6
2
求出（ 111）面面积可得原子面密度。
（ 2） 解：
平均每个（ 111）面有 3
1 1
2 个原子。
3
2
6
（ 111）面面积
所以原子面密度
1
2a ( 2a) 2 ( 2 a)2
2 a
3 a 3 a 2 2
2
4 2
2
2
2
(111)
3a 2
3 a 2
2
二．（110）面
（ 1） 分析：
如图（书图 1.12，P10）。
（ 110）面是四顶点组成的面。分析有几个原子？
4 个顶点原子，每个贡献
1/4（上下两层，每层两个单胞中的（
110）共用一个顶点） ；
2 个面心原子，每个贡献 1/2。
110）面有 4
1
1
共 6 个原子，平均每个（
2 2 原子。再求出（ 110）面积即可。
（ 2） 解：
4
2
1 2 1 2 个原子。
平均每个（ 110）面有 4
4
2
（ 110）面面积 a 2a 2a 2
所以（ 110）面原子面密度
2 2
(110 )
2
a 2
2a
5．设二维矩形格子的基矢为a1ai , a22aj ，试画出第一、二、三、布里渊区。
解：
倒格子基矢：
b12(a2a3 )
a 2
x
2ai x2i (a3xk)
v2a a
b22
( a3a1 )
2
axj
2
j
1 2
j
1
b1 j v a2a x2a 2 a2
所以倒格子也是二维矩形格子。b2方向短一半。
最近邻 b2 , b2 ;
次近邻 b1 , b1 ,2b2 , 2b2 ;
再次近邻 b1b2 ,b1b2 ,b2b1 , b2b1 ;
再再次近邻 3b2 , 3b2 ;
做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：
第一布里渊区是一个扁长方形；
第二布里渊区是 2 块梯形和 2 块三角形组成；
第三布里渊区是 2 对对角三角和 4 个小三角以及 2 个等腰梯形组成。
6．六方密堆结构的原胞基矢为：
a 1
1
ai 3
aj
2
2
a 2
1 3 ai aj
2
2
a 3 ck
试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。
1． 分析：
从前面的学习我们已经知道，六方密堆结构是两个简单六方格子复合成的二重复式格子。所以原胞为简单六方结构。
1． 解：
原胞为简单六方结构。原胞体积：
v a 1 (a 2
a 3 )
1
a(i 3 j ) [ 1 a( i 3 j ) ck ]
2 2
1 a(i
3 j ) [ 1
ac( j
3i )]
2
2
1
a 2c(i
3 j ) ( 3i
j )
4
3 a 2 c 2
倒格子基矢：
b 1
2
( a 2
a 3 )
2
[ 1
a( i
3 j ) ck ]
2
( i
3 j )
v
2
3a
3 a 2c
2
b 2
2
a 1 )
2 1
3 j )]
2
3 j )
( a 3
3
[ cka(i ( i
v
a 2
2
a
2 c
b 3
2
(a 1 a 2 ) 2 k
v
c
由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。
（注意： 倒格
子是简单六方，而不是六方密堆）
选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六
面柱体。
次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。
再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六
角柱体。
所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。
7．试求金刚石的结构因子并讨论 X 射线衍射消失的条件。
解：图见书 P7 图 1.9(a)
金刚石结构的布拉菲晶格是面心立方格子，基元中有两个原子。 将顶角处选为原点，另一原子位置
r L
a
(i
j
k )
4
进而，将面心再看成是四套简立方的复式格子。
简立方每个格点有四个面心立方的格点，而面心立方的格点有
2 个原子。所以简立方的每个格
点就相当于有 2 4 8 个原子。
6 个面心中的 3 个原子（每对对面中 也就是考虑一个金刚石结构单胞中，顶点中的一个原子和
取一个）及 4 个对角原子作为一个基元。最后可构成简单立方晶格。
这时基矢： a 1 ai , a 2 aj , a 3 ak
一个单胞中各原子位矢：
顶点： r 1 0,
面心： r 2 a
(i
j ), r 3
a
( j k ), r 4
a
(i k ),
对角：
2
2
2
r 5
a
( i j
k ), r 6
a
(i
3 j
3k ),
4
4
r 7
a
(3i
3 j
k), r 8
a
(3i
j
3k )
4
4
f ，
因为都是同一原子，故原子散射因子都为
简立方布拉菲晶格的倒格矢
a
2 (h 1i
h 2 j
h 3 k )
a
则结构因子
S(G)
f j iG r j
e
j
1 e
i ( h 1i h 2 j h 3 k ) ( i j ) i ( h 1i h 2 j h 3k ) ( j k )
e
i 2 ( h i h j h k ) a (i j k )
e i (h 1 i h 2 j h 3k ) (i k )
e
a 1 2 3
4
f
h 3k ) ( i 3 j 3k )
( h 1i h 2 j h 3 k ) (3i
i (h 1 i h 2 j
i 3 j k )
e 2
e 2
i (h 1i h 2 j h 3k ) (3 i j 3 k )
e 2
1e
i ( h
1
h 2
)
e
i ( h 2
h 3
)
e
i ( h 1
h 3
)
i ( h 1 h 2 h 3 )
e
2
f
e
i (h 1 3h 2 3h 3 ) i ( 3h 1 3h 2 h 3 ) i (3 h 1 h 2 3h 3 )
2
e 2
e 2
1
i ( h 1 h 2 ) i ( h 2
h 3 )
i ( h 1 h 3 )
e e
e
f
( h 1 h 2 h 3 )
i
e i ( h
1
h 2
)
e i (h
1 h 3 )
]
e 2
[1e i ( h 2
h 3 )
f[1 e i (h 1
h 2
)
e i (h
2
h 3
)
e i ( h
1 h 3
)
i
( h 1 h 2 h 3 )
][1 e 2
]
故当（ 1） e i ( h 1
h 2 )
e i ( h 2
h 3 )
e i (h 1
h 3 )
1
时， S=0，消光； i ( h 1 h 2 h 3 )
1
或当（ 2） e 2
时，也有 S=0，也消光。
为使得（ 2）成立 ,需 1
(h 1
h 2 h 3 ) 2n 1（奇数）（ n 为整数）
2
即 h 1 h 2 h 3
2( 2n 1)
即：（ b ）密勒指数之和为奇数的 2 倍时，消光。
为使得（ 1）成立，需（ a ） h 1、 h 2、 h 3 不全为奇或不全为偶。（奇数 +奇数 =偶数，偶数 +偶数 =偶数，偶数 +奇数 =奇数）（（ 1）中左端的 3 项有 2 个是 -1，能保证（ 1）式成立）
所以当：
(a)3 个密勒指数不全为奇或不全为偶时，消光；
或 (b)3 个密勒指数之和为奇数的 2 倍时，消光。
若
（Ⅰ） 密勒指数为全奇，并且三者之和为
h 1 h 2 h 3 2 2n 4n
即 3 者之和可被 4 整除时， S 0 能看到衍射线。 4 整除，所以此条件不存在。
但因为全奇时，三者之和必为奇数，故肯定不能被
故只有在下面的条件，能看到衍射线。即仅当
（Ⅱ）密勒指数为全偶并且三者之和可被
4 整除时，方有 S 0 ，才能看到衍射线。
8、证明一维 NaCl 晶体的马德隆常数为
2 ln 2
证明：
N
1
由马德隆常数的定义有
a j
j ( i )
其中异号离子取“ +”，同号离子取“ -”
一维 NaCl 晶体的结构如图，正负离子相间排列。
最近邻离子的距离为 a 。
选 O 点处离子为参考点，其它离子与它的相对距离为
r
01
aa 1 a 1, r 02
aa 2 a 2, r 03 aa 3 a 3,
r
0 1
aa 1 a 1, r 0 2 aa 2 a 2, r 0 3 aa 3
a 3,
N
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
...
a j
a 1 a 2 a 3 a 4 a N a 1
a 2 a 3
a 4
...
j ( i )
a N
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2
3
...
N 1
2
3
...
4
4
N
2
2
2(
1
1 1 1 ... 1 ) 1 2
3
4 N
2 x 2
1)
n 1 x n
由泰勒公式展开
ln(1
x) x
... ( R n ( x) （高数第一册 P161 例 2）
1
2
1) n 1 1
n
当 x=1 时，有 ln 2
1 ... (
R n (1)
N
2
n
上面的 ,
大，余项 R n (1)很小，舍去。
2
n N 很大， n
故有
2 ln 2
问题得证。
r
9、若离子间的排斥势用 e 来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数 λ 和ρ 应如何决定。
解：
（ 1） 一般情况：
第 j 个与第 i 个离子间的库仑势为
e 2
(同号取“ +”，异号取“ -” )
40r
ij
r
ij
排斥势为 e
2
r
ij
第 j 个与第 i 个的相互作用势为 u( r ij )
e e 4
0r
ij
N
2
r
ij
所有离子对
第 i 个离子的总相互作用为
e e
4
0r
ij
j ( i )
因为表面离子数相对总数少，忽略晶体表面离子与内部的差异。 设最近邻离子间距为 r ，则 r ij =ra j 故有晶体内离子间总的相互作用为：
U
N
2
N
2
r ij
2 N
N ra j
(
e e
) N [ e
1
e
]
j ( i )
4
0 r
ij
2 4
0 r
j ( i )
a j
j ( i )
（此时，
1
“ -”表示 同号离子之间）
中的 “ +” 表示异号离子之间，
a j
如果只考虑最近邻的排斥，且设有 Z 个最近邻离子
N ( e
2
r
则 U
Ze )
2 4 0
r
α 是马德隆常数。 结合能 E C
U
（ 2） 平衡时结合能的表达式：
设 r=r 0 是平衡时的最近邻距离。则 U （ r 0）取得极小值。
即
U (r )
r r r 0
则有 U ( r )
N [ 2
1
) Ze
r 0
e
2
(
) 0
r
r r 0
2 4
0 r
e 2
r 0
解得
e
0 r
0 2
4
Z
平衡时，晶体相互作用能
U (r 0 )
N e 2 (1 )
8 0 r 0
r 0 平衡时结合能的表达式
E C U (r 0 )
（ 3） 确定参数 λ 和ρ
为了能求出 λ 和 ρ，可建立与宏观测量量间的关系，如体弹模量或压缩系数。 按定义：压缩系数 k
1 ( V
) T 表示温度一定时，加单位压强时，晶体体积的相对改变量。
V P
体弹模量 K
1
V
2
U
（此由 P U 是平衡时晶体体积）
V 2
得出。 V 0
k
V 0
V
以类似于 NaCl 晶体结构为例：
V Nr 3 ,V 0 Nr 0 3
V 3Nr 2 , r
1
1
r
V
r 0
3Nr 2 r 0 3Nr 0 2
2
N
2 Z r 0
U
2 e
r 2
r 0
2
(
4
0 r 03
2
e
)
2
U
( U
)
( U
r
V 2
V V
V r
)
V
V
V 0
V
U
( r )
r ( U
)
r
r 0
VV
V 0
VV r
V 0
U
r
r 0
r
U )
r
U ) r
(
(
V V r V 0
V r r V r 0
(
r 2
2
U
( 1
2 )
2
2
U
)
r 2
r 2
V 3Nr
K
2
U
Nr 0 3
1
)
2 2
U
1
2
U
V
2
( 2
2
9Nr 0
2 V
V 0
3Nr 0
r
r 0
r
r 0
N (
2
Z e r 0
1 [
2 e
)]
9Nr 0
2 4
0 r
3
2
类似于 NaCl 结构（ V
Nr 3 ）的晶体都有 K
1
2
U
9Nr 0
r
2
r 0
2
r 0
将
e
e
代入得
4
2
0 r 0
Z
K
36
e
2
4
e 2
3
72
e 2
4 ( r
0 2)
0 r 0
72 0 r 0
0 r
r 0
72
4
0 r
K
e 2
2
2 r 0
所以由实验测得
K 后就可求出 ρ，再由
e
e 得 λ 。
4
0 r
0 2
Z
10、如果 NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍， 假定排斥势不变， 试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。
解：
结合能 E C
U ,U ( r )
N ( 4 e 2
B )
2 0 r
r n
U 0
N ( 4 e 2
B )
2 0 r 0 r 0 n
排斥势不变，即 B 、 n 不变，
电荷增加一倍即 e 2e,
则 U
N ( (2e) 2
B )
2 4
0 r
r n
平
衡
时
e 2 n 1
B
e 2
N
e 2
e 2
N e 2
1 B
4
0 n
r
,
r 0n
4 0 r 0 n
U 0
2 (
4 0r 04
0 r 0 n )
2 4 0 r 0
(1 n
)
e 2e, 则 B (2e)2
n 1
, U 0
N ( 2e) 2 1 4 0 n r 0 2 4 (1 )
0 r 0 n
B 不变，则 B B r 0 ( 1 1 r 0 1 1 1 r 0
r 0 ) n 1 , ( ) n
4 4
.
1 1
平衡距离是原来的
( 1
) n 141
n
倍。
4
可见后来的平衡距离
r 0
r 0
U 0 4
r
1
n
n
4 4 n 1
4 n 1
U 0 4 n 1 U 0
U 0
r 0
n
E C
U 0,E C
U 0
E C
4 n 1 E C
n
结合能是原来的 4 n 1
倍。可见 E C E C 。 故电荷增加时结合能变大，平衡距离变小。
.
一．本章习题 P272习题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=. 一． 说明： C 是上下底面距离，a 是六边形边长。 二． 分析： 首先看是怎样密堆的。 如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。 （同一面上有6个，上下各有3个） 上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。 中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。 所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。 三． 证明： 如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点 3 3 'a AB AO = = ∴ （由余弦定理 ) 330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οο ο 633.13 22384132)2()2()3 ()2(2 22 222 22 2 2' '≈===∴+=+=+ =a c c a a c a a c OA AO OO
2．若晶胞基矢c b a ρ ρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 一、分析： 我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ 2=。 倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ ++= 写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρ ρρ的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。进而求 得此面间距d 。 二、解： c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)(ρ ρρ 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π ρ
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
《电子工程物理基础》课后习题参考答案 第一章 微观粒子的状态 1-一维运动的粒子处在下面状态 (0,0)() (0) x Axe x x x λλψ-?≥>=? =??==?
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
第一章晶体的结构 习题解答 1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数目之比. [解答]设原子的半径为R,体心立方晶胞的空间对角线为4R,胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含两个原子，一个原子占的体积为,单位体积 晶体中的原子数为;面心立方晶胞的边长为 ,晶胞的体积为 ,一个晶胞包含四个原子，一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为 . 因此，同体积的体心和面心立方体晶体中原子数之比为： =0.909。 2．解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面？为什么？ [解答]晶体容易沿解理面劈裂，说名平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大。因为面间距大的晶体晶面族的指数低，所以解理面是面指数低的晶面。 3．与晶列垂直的倒格面的面指数是什么？ [解答]正格子与倒格子互为倒格子。正格子晶面与倒格式 垂直,则倒格晶面与正格 矢正交。即晶列 与倒格面垂直。 4．高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？ [解答]对于同级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。低指数的晶面族间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强。相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子密度小。另外，由布拉格反射公式
2d h k l s inθ=nλ 可知,面间距d h k l 大的晶面，对应一个小的光的掠射角θ面间距d h k l 小的晶面，对应一个 大的光的掠射角θ。θ越大，光的透射能力就越强，反射能力就越弱。 5．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，π /6；（2）体心立方，； （3）面心立方，；（4）六角密积，； （5）金刚石结构，。 [解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。 设n为一个晶胞中刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示晶胞体积，则致密度 （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚球堆积，如图1 · 2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切。因为a=2r，V=a3，晶胞内包含1个原子，所以 （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1·2所示，体心位置O的原子与处在8个角顶位置的原子球相切。因为晶胞空间对角线的长为 ，晶胞内包含2个原子，所以
第一章 晶体结构 1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明： 结构 X 简单立方 52.06 =π 体心立方 68.08 3 ≈π 面心立方 74.06 2 ≈π 六角密排 74.06 2 ≈π 金刚石 34.06 3≈π 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343 333====πππr r a r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)3 34(3423423 3 33≈=⨯=⨯= πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3 74.062) 22(3443443 3 33≈=⨯=⨯=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ⨯⨯ =⨯∆=2 a 233
晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==⨯= ⨯ n=1232 1 26112+⨯+⨯ =6个 74.062) 22(3443443 3 33≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ⇒⨯= n=8, Vc=a 3 34.0633 3834 83483 33 33≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪ ⎪ =+⎨⎪ ⎪=+⎪⎩ 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π = ⨯Ω 3 1230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==，2 23,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ⨯==-++ 213422()()4a b i j k i j k a a π π∴=⨯⨯-++=-++ 同理可得：232()2() b i j k a b i j k a π π= -+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。
固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后1到10 题答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一． 本章习题 P272习题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 一． 说明： C 是上下底面距离，a 是六边形边长。 二． 分析： 首先看是怎样密堆的。 如图(书图1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。 （同一面上有6个，上下各有3个） 上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。 中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。 所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。 三．证明： 如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点 3 3'a AB AO ==∴ （由余弦定理 ) 3 30cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+= 633.1322384132)2()2()3 ()2(2 22 222 22 2 2' '≈===∴+=+=+ =a c c a a c a a c OA AO OO
2．若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 一、分析： 我们想到倒格矢与面间距的关系G d π 2=。 倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ++= 写出)(321b b b 与正格子基矢 )(c b a 的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G 。进而求得此面间距d 。 二、解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π
《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 2 a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2 和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id ===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 313()o o a n a a n =-+g g 把（1）式的关系代入，即得 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°
固体物理课后习题答案 固体物理课后习题答案 固体物理是物理学中的一个重要分支，研究物质的结构和性质。它涉及到晶体学、电子结构、磁性、声学等多个方面。在学习固体物理的过程中，课后习题 是巩固知识、提高能力的重要途径。下面是一些固体物理课后习题的答案，供 大家参考。 1. 问题：什么是晶体？晶体的特点是什么？ 答案：晶体是由周期性排列的原子、离子或分子组成的固体。晶体的特点包括：- 长程有序性：晶体的原子、离子或分子按照一定的规则排列，形成周期性的 结构。 - 均匀性：晶体的结构在宏观和微观尺度上都是均匀的。 - 可预测性：晶体的结构可以通过晶体学方法进行研究和预测。 - 具有特定的物理性质：晶体的结构和周期性排列导致了其特定的物理性质， 如光学性质、电学性质等。 2. 问题：什么是晶体的晶格常数？ 答案：晶体的晶格常数是指晶体中原子、离子或分子排列的周期性重复单位的 尺寸。晶格常数可以用来描述晶体的结构和性质。在晶体学中，晶格常数通常 用晶格常数矢量a、b、c表示，它们分别表示晶格沿着三个坐标轴的长度。 3. 问题：什么是布拉维格子？ 答案：布拉维格子是指晶体中的离散的点阵结构，用来描述晶体的对称性。布 拉维格子的点阵可以通过晶体的晶格常数和晶体的对称操作得到。布拉维格子 的对称性决定了晶体的物理性质，如晶体的能带结构和声子谱。
4. 问题：什么是声子？声子与固体的性质有什么关系？ 答案：声子是固体中的一种元激发，它代表了晶格振动的量子。声子的能量和动量由固体的结构和性质决定。声子的存在对固体的性质有重要影响，如导热性、电导性等。声子的研究可以揭示固体的热力学和动力学性质。 5. 问题：什么是费米面？费米面与固体的导电性有什么关系？ 答案：费米面是描述固体中电子分布的一个表面，它代表了能量最高的占据态和能量最低的未占据态之间的边界。费米面的形状和位置由固体的电子结构决定。费米面的性质与固体的导电性密切相关。在导电体中，费米面与导电性能直接相关，如费米面的形状和移动可以解释固体的电导率和磁性等性质。 以上是一些固体物理课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。固体物理是一个复杂而有趣的领域，通过课后习题的学习和思考，可以加深对固体物理的理解和应用。希望大家能够坚持学习，不断提高自己的物理素养。
固体物理教程答案 【篇一：黄昆固体物理课后习题答案4】 >思考题 1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？ [解答] 正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正 常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低. 2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量?l/l与x射线衍射测定的晶格常数相对变化量?a/a存在差异，是何原因？ [解答] la. 3.kcl晶体生长时，在kcl溶液中加入适量的cacl2溶液，生长的 kcl晶体的质量密度比理论值小，是何原因？ [解答] 2?2??由于ca离子的半径(0.99a)比k离子的半径(1.33a)小得不是 太多, 所以caoo 离子难以进入kcl晶体的间隙位置, 而只能取代k占据k离子的位置. 但ca 一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据k离子的一个 ca?2???2?比k高?将引起相邻的一个k?变成空位. 也就是说, 加入的cacl2越多, k?空位就越多. 又因为ca的原子量(40.08) ?与k的原子量(39.102)相近, 所以在kcl溶液中加入适量的cacl2 溶液引起k空位, 将导 致kcl晶体的质量密度比理论值小. 4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所 需能量低?
精品文档 一．本章习题 P272 习题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 一．说明： C 是上下底面距离， a 是六边形边长。 二．分析： 首先看是怎样密堆的。 如图 (书图 1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12 个近邻。 （同一面上有 6 个，上下各有 3 个） 上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a。 中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a。 所以球心之间即格点之间距离均为a（不管是同层还是上下层之间）。 三．证明： 如图 OA=a ，OO ’=C/2 （中间层是上下面层的一半），AB=a O’是 ABC 的三垂线交点 AO'AB a 33 （由余弦定理 x2a2x 22ax cos30 a a a 2xcos30 , x) 2cos303 OA222( c)2( a )2 OO'AO' 23 a2( c )2( a )2 22 2 a2 1 c2 34 c82 2 1.633 a33
2．若晶胞基矢 a,b, c 互相垂直，试求晶面族（ hkl ）的面间距。 一、分析： 我们想到倒格矢与面间距的关系 d 2 。 G 倒格矢与晶面族 （ hkl ）的关系 G hb 1 kb 2 lb 3 写出 (b 1b 2b 3 ) 与正格子基矢 (ab c) 的关系。即可得与晶面族（ hkl ） 垂直的倒格矢 G 。进而求 得此面间距 d 。 二、解： a,b, c 互相垂直，可令 a ai , b bj ,c ck 晶胞体积 v a (b c ) abc 倒格子基矢： b 1 2 (b c) 2 (bj ck ) 2 i v abc a b 2 2 (c a) 2 (ck ai ) 2 v abc j b b 3 2 (a b) 2 (ai bj ) 2 k v abc c 2 ( h i k j l k ) G hb 1 kb 2 lb 3 而与 （ hkl ）晶面族垂直的倒格矢 a b c ( h ) 2 ( k )2 ( l ) 2 G 2 a b c 故（ hkl ） 晶面族的面间距 2 d G 2 2 ( h )2 ( k ) 2 ( l ) 2 a b c 1 ( h ) 2 ( k )2 ( l )2 a b c
第一章 晶体结构 1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明： 结构 X 简单立方 52.06 =π 体心立方 68.08 3 ≈π 面心立方 74.06 2 ≈π 六角密排 74.06 2 ≈π 金刚石 34.06 3≈π 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====π ππr r a r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)3 34(3423423 3 3 3≈=?=?=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) 22(3443443 3 33≈=?=?=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ?? =??=2 a 233
晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062) 22(3443443 3 33≈=?=?=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 34.0633 3834 83483 33 33≈=?=?=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+?? r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 31230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 213422()()4a b i j k i j k a a ππ∴=??-++=-++r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。
1.1如果将等体积球分别排列成下列结构，设X表示钢球所占体积与总体积之比， 证明结构X简单立方n / 6 〜0.52 体心立方3 n / 8 〜0.68 面心立方 2n / 6 〜0.74六方密排2 n / 6 〜0.74 金刚石3 n /16 〜0.34 解：设钢球半径为r ,根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a与r的关系 不同，分别为：简单立方：a = 2r 体积为’ /二8k,每个晶胞包含一个钢球，体积为1 4兀厂」/3所以x = 〃‘6 0.52 体心立方：y/3a — 4r 体积为占n'=(4r/73)^每个晶胞包含两个钢球，体积为：8打//3 所以x = 73^/8^0.68 面心立方：\[2a -4r 体积为：<73 =(4r/V2)3,每个晶胞包含四个钢球，体积为：16力」/3 所以工二VL T/6Z74 六方密排：a = 2r,c = J&/3<3 体积为：—个元胞内包含两个钢球，体积为S.rr'/3 所以x = V2/r/6^074 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子 紧贴，因此有 I A g \3 d 丁 = (J^)二？八所以齡胞体积为/二4厂―每个晶胞包含8个原了•体积为8-—r3, 4 M丿3 则x 二一-一孝034 16 1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。证明：体心立方格子的基矢可以写为
a 】 =T (-i + j + k) a, = — (i — j + k) a 3 = — (i + j — k) 面心立方格子的基矢可以写为 -j + k)x^(i + j-k}] £ b 2 = —(k + i ■ 同理_罚 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为 4n / a 的面心立方的基矢，说明体心立方晶 格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布， 因 此 该 面 心 立 方 只 是 形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 2眩 bj = (&! xaj } V -2兀 =(^/4) 吟屮咛(“D] 2JT =二一Ei * j + k) a b 2 =—(i-j + k) b 3 =—(i +j-k) 同理 口 日 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为 4 n a 的体心立方晶格的基矢。 L5证明：倒格子饮量© =応+込+礪垂眉」誓勒指数为(冲角)的晶面嬴 (hjghj 证明：根据定义，密勒指数为 一 ■的晶面系中距离原点最近的平面 ABC 交于基矢的 截距分别为 打]d 2 d 3 ____ ___________________ % N ' 鸡 二万1 / h\-&J h 3 CB - a 2 f h 2 —S 3 / h 3 如果6 =加百+甩玄+粕瓦分別垂宜J C4和昌，则滨矢.就垂直于平面上所冇的直稣 即为平面的法线 1.4证明：倒格子原胞的体积为(2^ !v c .具中q 为IT 格了原胞的体积。 叫二彳 (j + k) 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 亦 =—(k + i) -? 眄斗 (i+j) b <-- 二一(k + j + k 十 i + j — i) a 、IT
固体物理第一章习题及参考答案 1．题图1－1表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和W －S 元胞，写出元胞基矢表达式。 解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定 任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。 把一个基元用一个几何点代表，例如用B 种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。 初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。 其中一种选法如图所示。W －S 也如图所示。 左图中的正六边形为惯用元胞。 2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 解： 基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。 11.对于六角密积结构，初基元胞基矢为 → 1a =→→+j i a 3(2 →→ →+-=j i a a 3(22 求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。 倒空间 ↑→ j i i (B)
由倒格基失的定义，可计算得 Ω⨯= → →→ 3212a a b π=a π2)3 1(→ →+j i → →→ →→ +-=Ω⨯=j i a a a b 3 1(22132ππ → → →→ =Ω⨯=k c a a b ππ22213 正空间二维元胞（初基）如图（A ）所示，倒空间初基元胞如图（B ）所示 （1）由→ →21b b 、组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六 角晶系的特征。 （2）由→→21a a 、构成的二维正初基元胞，与由→ →21b b 、构成的倒初基元胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。 12．用倒格矢的性质证明，立方晶格的（hcl ）晶向与晶面垂直。 证：由倒格矢的性质，倒格矢→ → → → ++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（h 、k 、l ）。由晶面向定义（h 、k 、l ）晶向，可用矢量→A 表示。→A ＝→ →→++321a l a k a h ， 倒格基矢的定义 Ω ⨯= → →→ ) (2321a a b π Ω⨯= → → → )(2132a a b π Ω ⨯=→ → → ) (2213a a b π 在立方晶格中，可取→ → → 321a a a 、、 相互垂直且→→→==321a a a ,则可得知→→11||b a ,→ →22||b a , →→33||b a , 且⎢⎢→1b ⎢=|→2b |=⎢→ 3b ⎢ =m （为常值，且有量纲，即不为纯数） 则 m a l a k a h m G hkl ）＝321(++=→ → → → A 则 −→ −hkl G 与→ A 平行。 证毕 若以上正、倒基矢，换为正、倒轴矢，以上证明仍成立，则可用于fcc 和bcc 晶格。 13.若轴矢→ →→c b a 、、构成简单正交系，证明。晶面族（h 、k 、l ）的面间距为 2 222 ) ()()(1 c l b k a h hkl d ++=
11．设有一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子的作用，试求格波的色散关系。 解： 第n 个原子位移x n ，第n+p 个位移x n+p ，第n-p 个位移x n-p （P=1，2，3，……）。 设最近邻原子间力常数为β1，次近邻β2，再次近邻β3，……β p 简谐近似下(由书P47，式3.1.6)：∑≠+=j i ij ij x U U 204 1 β 第n 个原子的运动方程：)(22n i in n i n n x x x U dt x d M -=∂∂-=∑≠β 第n+p 和第n-p 个原子对第n 个原子的作用力： )2()()(n p n p n p p n n p n p n p p x x x x x x x f -+=---=-+-+βββ 第n 个原子总的受力：)2(n p n p n p p p p x x x f -+=-+∑∑β 运动方程：)2(22n p n p n p p n x x x dt x d M -+=-+∑β 试探解：)(t naq i n Ae x ω-= 代入运动方程： ) 2cos 2(0) 2(2 2-=-∴≠-+=-∑∑-paq M x x e x e x Mx p p n n ipaq n ipaq n p p n βωβω 所以色散关系为：)cos 1(2 )(2pqa M q p p -= ∑β ω
12. 设有一维双原子晶格，最近邻原子间的力常数交错地等于β和10β，假定两种原子的质量相等，最近邻原子间距为a/2，试求格波的色散关系。 解： 同一维单原子类似，可写出两种原子的运动方程 n n n n u v v dt u d M βββ2101012 2-+=- n n n n v u u dt v d M βββ102122⨯-+=+ 试探解为 )(t naq i n Ae u ω-= )(t naq i n Be v ω-= 代入运动方程有： n n iaq n n u v e v Mu βββω210102-+=-- n iaq n n n v e u u Mv βββω202-+=- 将u n 、v n 代入消去公因子)(t naq i e ω-得 B A e A B M A B B e A M iaq iaq βββωβββω20210102 2-+=--+=-- 整理，化为关于A 、B 的线性方程组 { )20()1(0)1(10)2(2 2=-++-=+---B M A e B e A M iaq iaq ωβββωβ A ， B 有非零解的条件是上式系数行列式等于零，即
固体物理学课后题答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章 晶体结构 1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明： 结构 X 简单立方 52.06 =π 体心立方 68.08 3 ≈π 面心立方 74.06 2 ≈π 六角密排 74.062 ≈π 金刚石 34.06 3≈π 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====π ππr r a r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)3 34(3423423 3 3 3≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3 74.062) 22(3443443 3 33≈=⨯=⨯=πππr r a r x
（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==⨯= ⨯ n=1232 1 26112+⨯+⨯ =6个 74.062)22(3443443 3 33≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ⇒⨯= n=8, Vc=a 3 34.0633 3834 83483 33 33≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪ ⎪ =+⎨⎪ ⎪=+⎪⎩ 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π = ⨯Ω 3 1230, ,22 (),0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯= =，2 23,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ⨯==-++ 213422()()4a b i j k i j k a a π π∴=⨯⨯-++=-++ 同理可得：232()2() b i j k a b i j k a π π= -+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。
《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 2 a 那么， Rf Rb 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°