学 习 资 料 汇编
2.1 曲线的参数方程
[对应学生用书P22]
[读教材·填要点]
定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数
?????
x ＝f t ，y ＝y
t ，
a ≤t ≤
b ①
如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数．如果从参数方程中消去参数t ，就得到联系x 和y 的方程F (x ，y )＝0，则方程F (x ，y )＝0是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程)．
[小问题·大思维]
1．参数方程中的参数t 是否一定有实际意义？
提示：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？
提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如
???
??
x ＝4t ＋1，y ＝2t
t ∈R
和
?????
x ＝2m ＋1，y ＝m
(m ∈R ) 都表示直线x ＝2y ＋1.
[对应学生用书P22]
[例1] 指出下列参数方程表示什么曲线：
(1)?
??
??
x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t ；(t 为参数)
(2)???
?
?
x ＝5cos t ，y ＝4sin t ；
(t 为参数)
(3)?????
x ＝2t
－2－t
，y ＝2t ＋2－t
.
(t 为参数)
[思路点拨] 本题考查化参数方程为普通方程的方法．解答此题需要从一个方程中解出
t ，代入另一个方程．
[精解详析] (1)(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝16cos 2
t ＋16sin 2
t ＝16， 即(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝16，表示以(1，－2)为圆心，半径为4的圆． (2)? ????x 52＋? ??
??y 42
＝cos 2t ＋sin 2
t ＝1， 即x 2
25＋y 2
16＝1，表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆． (3)x 2
－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2
＝－4， 即y 2
－x 2＝4.
又2t >0，y ≥2 2t ·2－t
＝2，
故y 2
－x 2
＝4(y ≥2)，它表示双曲线的上支．
(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：
①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如，对于参数方程
?????
x ＝a t ＋
1
t
θ，y ＝a
t －1
t
θ，
如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2
θ
＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么可以利用(t ＋1t )2－(t －1t
)2
＝4消参．
(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．
1．已知曲线的参数方程为?
??
??
x ＝sin θ＋1，
y ＝cos θ＋3，0≤θ≤2π.
把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线．
解：由x ＝sin θ＋1，y ＝cos θ＋3可得sin θ＝x －1， cos θ＝y －3.由sin 2
θ＋cos 2
θ＝1得(x －1)2
＋(y －3)2
＝1，
∴曲线的普通方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝1，它表示以(1,3)为圆心.1为半径的圆．
[例2] 经过原点作圆x 2
－2ax ＋y 2
＝0的弦，求这些弦的中点的轨迹参数方程． [思路点拨] 本题考查曲线参数方程的求法．解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x 和y .
[精解详析] 如图，设OQ 是经过原点的任意一条弦，OQ 的中点是M (x ，y )，设弦OQ 和x 轴的夹角为θ，取θ作为参数．已知圆的圆心是O ′(a,0)，连接O ′M ，那么O ′M ⊥OQ ，过点M 作MM ′⊥OO ′，那么|OM |＝a cos θ，
∴????
?
x ＝|OM ′|＝|OM |cos θ＝a cos 2
θ，y ＝|MM ′|＝|OM |sin θ＝a cos θsin θ，
(θ为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x ，y )是轨迹上任意一点的坐标，画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，
y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在
研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．
(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．
2．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，交OA 于D ，PB ∥OA .试求点P 的轨迹的参数方程．
解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ.由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得
x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.
所以P 点轨迹的参数方程为
?????
x ＝2a cos 2
θ，y ＝2a tan θ.
(－π2<θ<π
2
)
[对应学生用书P23]
一、选择题
1．将参数方程?
????
x ＝2＋sin 2
θ，
y ＝sin 2
θ(0≤θ≤2π)化为普通方程为( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x ＋2
C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)
D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)
解析：选C 化为普通方程：y ＝x －2，但是x ∈[2,3]，y ∈[0,1]． 2．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2,3)
B ．(1,5) C.?
????0，π2
D ．(2,0)
解析：选D 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.
3．曲线的参数方程为?
????
x ＝3t 2
＋2，
y ＝t 2
－1，则曲线是( )
A ．线段
B ．双曲线的一支
C ．圆
D ．射线
解析：选D 消去参数得x －3y －5＝0，且x ≥2，故是射线．
4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2
－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.???
??
x ＝|t |y ＝t
B.???
?
?
x ＝cos t y ＝cos 2
t
C.????
?
x ＝tan t y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t
D.????
?
x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t
解析：选D A 显然错误，B 中x ∈[－1,1]与原题中x 的范围不同，C 可化为y －1
x
2＝0，
故选D.
二、填空题
5．方程x 2
＋y 2
－4tx －2ty ＋3t 2
－4＝0(t 为参数)所表示的圆的圆心轨迹的参数方程为________．
解析：由x 2
＋y 2
－4tx －2ty ＋3t 2
－4＝0得 (x －2t )2
＋(y －t )2
＝4＋2t 2
. 设圆心坐标为(x ，y )，
则?
??
??
x ＝2t ，y ＝t .
答案：?
??
??
x ＝2t ，y ＝t
6．已知曲线C 的参数方程是???
??
x ＝3t ，
y ＝2t 2
＋1
(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C
的位置关系__________________________(填点是否在曲线上)．
解析：将M 1的坐标(0,1)代入方程组，解得t ＝0.
因此M 1在曲线C 上．同理可知方程组?
????
5＝3t ，4＝2t 2
＋1无解，
故M 2不在曲线C 上．
答案：M 1在曲线C 上，M 2不在曲线C 上
7．若点(x ，y )在曲线?
??
??
x ＝3＋2cos θ，
y ＝－4＋2sin θ(0≤θ≤2π)上，则x 2＋y 2
的最小值是
________．
解析：法一：由题可知，x 2
＋y 2
＝(3＋2cos θ)2
＋(－4＋2sin θ)2
＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)(tan φ＝4
3
)，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.
法二：将原式转化为普通方程(x －3)2
＋(y ＋4)2
＝4，它表示圆．令t ＝x 2
＋y 2
，则t 可看成圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离
减去半径，t min ＝[
－
2
＋＋
2
－2]2＝9，所以x 2＋y 2
的最小值为9.
答案：9
8．在直角坐标系xOy
中，已知曲线C 1：?
??
??
x ＝t ＋1，
y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：
?????
x ＝a sin θ，y ＝3cos θ
(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.
解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 2
9
＝1.直线2x ＋y ＝3
与x 轴的交点坐标为? ??
??32，0，故曲线x 2
a 2＋y 2
9＝1也经过这个点，代入解得a ＝32? ????舍去－32. 答案：3
2
三、解答题
9．化下列参数方程为普通方程： (1)?????
x ＝1－t 1＋t ，y ＝2t
1＋t
(t ∈R 且t ≠－1)；
(2)????? x ＝tan θ＋1tan θ，y ＝1cos θ＋1
sin θ
? ??
??θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z . 解：(1)变形为?????
x ＝－1＋2
1＋t
，y ＝2－2
1＋t
，
∴x ≠－1，y ≠2.∴x ＋y ＝1(x ≠－1)． (2)?????
x ＝1
sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θ
sin θcos θ. ②
②式平方，再结合①得y 2
＝x 2
＋2x .
由x ＝tan θ＋1
tan θ
知|x |≥2.
所以方程为(x ＋1)2－y 2
＝1(|x |≥2)．
10．物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，求以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程．
解：设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )， 由于物体作平抛运动，
依题意，得?
???
?
x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2
.
这就是物体所经路线的参数方程．
11．舰A 在舰B 的正东，相距6 km ；舰C 在舰B 的北偏西30°，相距4 km.它们准备围捕海中某动物，某时刻舰A 发现动物信号，4 s 后舰B 、舰C 同时发现这种信号，舰A 于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为 1 km/s ，炮弹初速度为
203g
3 km/s ，其中g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰A 炮击的方位角与仰角． 解：以BA 为x 轴，BA 中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5,23)．设该动物位于P (x ，y )．因为|BP |＝|CP |，所以P 在线段BC 的中垂线上，易知中垂线方程是y ＝
3
3
(x ＋7)．
又|PB |－|PA |＝4，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x 24－y 2
5＝1.
从而得P (8,53)．
设∠xAP ＝α，则tan α＝k AP ＝3，∴α＝60°.这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A 为原点，AP 为x ′轴建立坐标系x ′Ay ′(如图)．|PA |＝10，设弹道曲线方程是
?
????
x ′＝v 0t cos θ，y ′＝v 0t sin θ－12gt 2(其中θ为仰角)．
将P (10,0)代入，消去t 便得sin 2θ＝3
2
，θ＝30°或60°.这样舰A 发射炮弹的仰角为30°或60°.
敬请批评指正
曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。
第三课时 直线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆222r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0 30 ，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程
?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。带符号. （2）、经过两个定点Q 1 1 ( ,)y x ，P 2 2 (,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为 12112 1(1){ x X y y x y λλ λλλλ++++= =≠-为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里 参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的 数量比QM MP 。当o λ >时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时， 点M 与Q 重合。 例题演练： 例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点 M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。 例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆 22 1164 x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴
y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
求曲线的方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.动点P到点(-1,2)的距离是3,则动点P的轨迹方程为( ) A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=9 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=3 2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 3.等腰三角形ABC底边两端点是A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0),顶点C的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点 4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A.9π B.8π C.4π D.π 5.在平面直角坐标系中,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足错误!未找到引用源。=α错误!未找到引用源。+β错误!未找到引用源。,其中α,β∈R,且α+β=1,O 为坐标原点,则点C的轨迹为( ) A.射线 B.直线 C.圆 D.线段 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足错误!未找到引用
源。·错误!未找到引用源。=4,则点P的轨迹方程是. 7.(2013·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-错误!未找到引用源。,0),B(错误!未找到引用源。,0)连线的斜率的积为定值-错误!未找到引用源。,则动点P的轨迹方程为. 8.(2013·揭阳高二检测)已知直线l:错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P 是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个顶点C的轨迹方程,试说明它的轨迹是什么? 10.已知A,B分别是直线y=错误!未找到引用源。x和y=-错误!未找到引用源。x 上的两个动点,线段AB的长为2错误!未找到引用源。,P是AB的中点.求动点P 的轨迹C的方程. 11.(能力挑战题)在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程. 答案解析 1.【解析】选A.由条件可知,点P的轨迹是以(-1,2)为圆心,以3为半径的圆,
《参数方程和普通方程的互化》导学案3 1. 了解参数方程化为普通方程的意义. 2 ?理解参数方程与普通方程的互相转化与应用. 课标解读 3 .掌握参数方程化为普通方程的方法 知识梳理 参数方程与普通方程的互化 (1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式?一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x =f(t)，把它代入普通方程, |x= f t 求出另一个变数与参数的关系y= g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数 i y= g t 方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致. 思考探究 普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？ 【提示】不一定惟一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参 数不同，那么所得的参数方程的形式也不同 课堂互动 |x= a+1 cos 0 , 例题1在方程y= ?+ t sin 0, （a，b为正常数）中， (1) 当t为参数，0为常数时，方程表示何种曲线?
(2) 当t为常数，0为参数时，方程表示何种曲线?
非零常数时，利用平方关系消参数 0，化成普通方程，进而判定曲线形状. x = a + t cos 0 , ① 【自主解答】 方程* (a , b 是正常数)， |y = b + t sin 0 , ② (1) ①x sin 0 —②x cos 0 得 x sin 0 — y cos 0 — a sin 0 + b cos 0 = 0. ■/ cos 0、sin 0不同时为零， ???方程表示一条直线. (2) ( i )当t 为非零常数时， 即(x — a )2+ (y — b )2= t 2,它表示一个圆. (ii)当t = 0时，表示点(a , b ). 1?消去参数的常用方法 将参数方程化为普通方程， 关键是消去参数，如果参数方程是整式方程， 常用的消元法 有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前要 做必要的变形?另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin 2a+ cos 2a = 1，(e X + e — x )2 2 x —x 2 1 — k 2 2k 2 -(e -e ) =4,("+ E=1 等. 2?把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普 通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同， 可表示不同的曲线. 将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状: x = 2cos 0 ⑴彳 (0为参数，0W 0 < n ); |y = 2s in 0 r 4 4 x = sin 0 + cos 0 ⑵f . 2 2 ( 0为参数)； |y = 1 — 2sin 0 cos 0 2 2 x — a ③2+④得 —cos 0， —sin 0 . 2 y — b 2 ■=1, ④ 「X — a I t 原方程组为\ ￥
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
《双曲线的参数方程》教学案2 一、教学目标 (1). 双曲线、抛物线的参数方程. (2). 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系。 (3)．通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力 二、教学重难点 学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导 学习难点：(1) 双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2) 双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化 三、教学指导： 认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________ 五、教学过程 （阅读教材29-34完成） (一)双曲线的参数方程 1双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________ 注：（1）?的范围__________________________ （2）?的几何意义___________________________ 2双曲线)0,0(122 22>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________ (二)抛物线的参数方程
抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________ (三)典型例题 、 的轨迹方程。 ，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12 B x y o A M
2.1.2求曲线的方程 一、教学目标： 1.知识技能目标： （1）理解坐标法的作用和意义. （2）掌握求曲线方程的常用方法和步骤,能根据条件，选择适当的坐标系和方法求 （1 （2 （3. （1 （2 难点：（1）如何根据条件建立恰当坐标系； （2）如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系. （3）如何选择恰当的方法将几何等量关系转化为曲线的方程. 三、教学方法：探究发现教学法和多媒体辅助教学 四、课型：新授课.
五、教学过程： Ⅰ.复习回顾： 师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方 例1设
x+2y－7=0① 我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即x+2y1－7=0x1=7－2y1 点M1到A、B的距离分别是 （1 方程. 练习：已知点M与x轴的距离和点M与点F(0，4)的距离相等，求点M的轨迹方程. 师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤. 例2已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.
解：如图所示，设点M （x,y ）是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么点 M 属于集合}.2|||| {=-=MB MA M P 由距离公式，点M 适合的条件可表示为： 2)2(22=--+y y x ① 将①式移项后再两边平方，得 22221AM 与 4例 3.略. 练习： 思考题：课本第37页：练习第3题. 本题有多种思路，可让学生先分组讨论，然后每组派代表发言，可以学生点评，教 师补充. Y (). ,0,3122的轨迹方程求连线的中点为和定点上移动，在曲线动点M M A M y x B =+
极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )
【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
参数方程的概念学案 第八大周 年级：高二 学科：数学（文） 主备人：张淑娜 审核人：王静 【学习目标】1.理解曲线参数方程的概念，体会实际问题中参数的意义； 2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。 【学习重点】曲线参数方程的定义及求法 【学习难点】曲线参数方程的探求。 一、【课前预习】 引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？ 思考交流：把引例中求出的物资运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方 程进行比较，体会参数方程的作用。 二、【新知探究】 1、参数方程的概念 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y ）都是某个变数t 的函数 ??? ，并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的_______________, 联系变数x,y 的变数t 叫做____________,简称________。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_______________。 2、关于参数几点说明： （1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 3、求曲线的参数方程的一般步骤。 （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 三、【预习检测】 1、曲线2 1,(43x t t y t ?=+?=-? 为参数）与x 轴的交点坐标是( ) A 、（1，4） B 、25(,0)16± C 、25(,0)16 D 、(1,3)- 2、方程sin ,(cos x y θθθ=??=? 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A 、（2，7） B 、12(,)33 C 、11(,)22 D 、（1，0）
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
? + = 2 课题：参数方程与普通方程的互化 【学习目标】 1. 进一步理解参数方程的概念及参数的意义。 2. 能通过消去参数将参数方程化为普通方程，由普通方程识别曲线的类型 3. 能选择适当的参数将普通方程化成参数方程 【重点、难点】 参数方程和普通方程的等价互化。 自主学习案 【问题导学】阅读课本 P24—P26，然后完成下列问题： 1. 参数方程的概念 (1) 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数t ? x = f (t ) 的函数? y = g (t ) (t ∈ D ) , 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫这条曲线的 ，联系变数 x 、 y 的变数 t 叫做 ，简称 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F (x , y ) = 0 叫做 。 (2) 是联系变数 x,y 的桥梁，可以是一个有 意义或 意义的 变数，也可以是 的变数。 2、 （ 1） 圆 心 在 原 点 O ， 半 径 为 r 的 圆 的 一 个 参 数 方 程 是 ； （2）圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的一个参数方程是 . 3、指出下面的方程各表示什么样的曲线： （1）2x+y+1=0 表示 (2) y = 3x 2 + 2x +1 表示 2 (3) x y 1表示 9 4
t ? (4) ?x = cos + 3(为参数) 表示 ? y = sin 【预习自测】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？ ?x = t +1 ?x = 2 c os 1、? y = 1- 2t （t 为参数） 2、? y = sin （为参数） ? ? 思考： 1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？ 2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？ 合作探究案 考向一、参数方程化普通方程 例 1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线 （1） ??x = ? + 1 ?x = sin + cos （t 为参数） （2） ? y = 1 + sin 2 （为参数） ?? y = 1 - 2 ? 小结： t
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计） 教学目标： 知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点. 3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标: 1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力. 2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标： 1.渗透数形结合思想. 2.培养学生的辨证思维. 教学重点 1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题. 教学难点 1. 寻找“几何关系”. 2. 转化为“动点坐标”关系. 教学方法 启发诱导式教学法. 启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径. 教学过程 一、复习回顾： 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ; 2.写出适合条件P 的几何点集:{} ()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式; 5.证明(查漏除杂). 说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法： 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程； (2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．
《直线的参数方程》导学案 紫云民族高级中学高二数学组 学习目标： 1、了解直线的参数方程及参数的的意义 2、能选取适当的参数，求直线的参数方程 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 一、回忆旧知，做好铺垫 1.→a 与→b 共线向量的充要条件是什么？________________________ 2.直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 3.什么是单位向量？________________________ 4.斜率存在且为k 的直线l 的方向向量怎样表示？________________________ 5.倾斜角为α的直线l 的单位方向向量怎样表示?________________________ 6直线方程的有几种形式？ 二直线参数方程探究 问题1：经过点M(x0,y0),倾斜角为 ??? ??≠2παα 的直线l 的 普通方程是________________________; 合作探究：过定点0M ),(00y x ,倾斜角为α的直线l 的参数方程如何建立？
得出结论：定点 ) ,(000y x M 倾斜角 α直线的参数方程为 观察直线的参数方程，知道那些量可以把直线的参数方程写出来？ 练一练 1.写出满足下列条件直线的参数方程： （1）过点（2,3）倾斜角为4π （2）过点（4,0）倾斜角为32π
知识探究一： 由 t M 0 ,你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何 意义吗？ 知识探究二： 如图所示：请讨论参数t 的符号； 利用t 的几何意义，如何求过M0直线上两点AB 的距离？ 点A,点B 在M0同侧点A,点B 在M0异侧 e
2.4一些常见曲线的参数方程 [对应学生用书P37] [读教材·填要点] 1．摆线的概念 一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线． 2．渐开线的概念 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． 3．圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)摆线的参数方程：??? ?? x ＝a t －sin t ， y ＝a －cos t . (2)圆的渐开线方程： ? ?? ?? x ＝a t ＋t sin t ，y ＝a t －t cos t . [小问题·大思维] 1．摆线的参数方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆滚动时转过的角度． 2．渐开线方程中，字母a 和参数t 的几何意义是什么？ 提示：字母a 是指基圆的半径，参数t 是指OA ―→和x 轴正向所成的角(A 是绳拉直时和圆的切点)． [对应学生用书P38] [例1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程． [思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．
[精解详析] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0， 由于a >0， 即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝ 1 k π (k ∈Z )． 又a >0，所以a ＝ 1 k π (k ∈N ＋)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1 π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ????? x ＝1πt －sin t ， y ＝1π －cos t (t 为参数)． 由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径． 1．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程． 解：x M ＝r ·θ－r ·cos(φ＋θ)－π 2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ? ?? ??φ＋θ－π2＝r [1－cos(φ＋θ)]．