上海市高二第一学期数学期末考试试卷
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.
2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 个.
2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空）
3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数
没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73
则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人.
6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ．
7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 ． 8. 已知大小为π6
的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ．
9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相
同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的
正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，
则该几何体的体积为 ．
10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()
P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采
A
B 用 .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)
12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：
①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13
； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.
则以上结论中，正确结论是 . （请填写序号）
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）
A ．条形图
B ．茎叶图
C ．散点图
D ．扇形图
14．下列说法正确的是（ ） A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆
B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥
C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥
15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数
学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错
误的是（ ）
A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小
B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位
数低
C . 甲班参赛同学得分的平均数为84
D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为89
16. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：
①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间
②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件
③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件
④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是
14
以上结论中，正确的个数为（ ）个 A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.
（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；
（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.
18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.
（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；
（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.
19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）
如图,在直角AOB 中，π6
OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2
BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；
（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.
20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）
法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：
（1） 求a 的值；
（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）
（单位：分钟）；
（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间
位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．
21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4
分）
如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.
（1）求证：AC CD ⊥；
（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉
臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，
且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；
（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.
【教师版】
高二数学练习卷答案
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 1 个.
2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_“实验数据”_．（用“观测数据”或“实验数据”填空）
3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数
没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73
则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 0.614 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 36π ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的600名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____68___人.
6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 0.7 ．
7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为
2 ． 8. 已知大小为
π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 3 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相
同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.
二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的
正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，
则该几何体的体积为 56
． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()
P B = 45 . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，
A
B 每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用 “三局两胜制” .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)
12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：
①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13
； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1. 则以上结论中，正确结论是 ① ② ③ . （请填写序号） 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选
项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ C ）
A ．条形图
B ．茎叶图
C ．散点图
D ．扇形图
14．下列说法正确的是（ B ）
A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆
B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥
C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥
15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数
学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错
误的是（ D ）
A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小
B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位
数低
C . 甲班参赛同学得分的平均数为84
D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为89
16. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：
①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间
②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件
③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件
④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是
14
以上结论中，正确的个数为（ C ）个 A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.
（1） 求异面直线1BD 与1CC 所成的角；
（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.
解 （1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC
所成的角或其补角. ……………………………………………………………………2分
设1BB a =，则112B D a =，13BD a =，所以11tan 2B BD ∠.……………1分
所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arc 263arcsin
arccos 33=）……1分 （2）连接BD ，交AC 于O ，在1BDD 中，O 、E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .……………………………………………………………2分
因为OE 在平面AEC 上，而1BD 不在平面AEC 上，…………………………1分
由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .
18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.
（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；
（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.
解 （1）甲摸出的球编号为奇数的概率是12
,…………………………………2分
乙摸出的球编号为奇数的概率是12
,……………………………………………2分 所以两球编号均为奇数的概率是
14.………………………………………1分 （2）()3616
P m n +==,………………………………………………………1分 ()2716P m n +==
,………………………………………………………………1分 ()1816
P m n +==………………………………………………………………1分 所以甲赢的概率为32131616168++=，乙赢的概率为58
.……………………1分 所以这种游戏规则不公平. ……………………………………………………1分
（也可直接写出样本空间，写出答案，酌情给分）
19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）
如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将
锥底面圆直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆周上一点，且π2
BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；
（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.
解 （1）由题，4,3OB OA ==1分 所以圆锥的体积为221164ππ4433π333
V OB OA =⋅⋅=⋅⋅=.……………………2分 圆锥的侧面积为32πS rl π==侧.……………………………………………………2分
（2）取BO 中点BH ，在AOB 中，中位线//DH AO ，可得DH ⊥平面BOC ，
所以DCH ∠即直线CD 与平面BOC 所成的角. …………………………………2分
222315tan 542
DH DCH HC ∠===+.……………………………………………2分 所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为
155.……………………………1分 20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）
法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：
（1） 求a 的值；
（2） 根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）
（单位：分钟）；
（3） 为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间
位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率． 解 （1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，
所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，……………………………2分
得0.02a =，…………………………………………………………………2分
（2） 各区间的中点值为55、65、75、85、95 ……………………………1分
对应的频数分别为10、20、45、20、5…………………………………………1分
这100名大一新生每天阅读时间的平均数为
551065207545852095574.0100
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………1分
所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. …………………1分
（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此每组中抽取的人数分别为1人、2人、2人. ………………2分
因此，再从中任选2人进行调查，其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为
323P=
105
⨯=.………………………………………………………………………2分
21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）
如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.
（1）求证：AC CD ⊥
（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉
与臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC
小面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最
长度.
（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小
（1）证明 因为AB BCD ⊥面，所以AB CD ⊥，…………………………………1分
又BC CD ⊥，所以CD ABC ⊥面………………………………………………………2分
所以AC CD ⊥……………………………………………………………………………1分
（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平 面图形，由题，3π4
BCD ∠=，……………………1分 所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长. 又22311211cos π224
BD =+-⨯⨯⨯=+…………2分 22+…………………………1分
（3） 由题，151153
P ==…………………………1分 23162
P ==……………………………………………1分 321126
P ==……………………………………………1分 所以312P P P <<.………………………………………1分
【附加题】
单选题
1．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（ ）
A ．0,⎡⎣
B ．(0,
C ．[]0,8
D ．(]0,8 【提示】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22
m n +的几何意义求得答案；
【答案】D
【解析】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ， 令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22
x y =⎧⎨=-⎩ ， 即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,
由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，
可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，
而以OA 为直径的圆为22
(1)(1)2x y ++-= ，如图示：
故22
m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方， 而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，
但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立，
即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合，
故22(0,8]m n +∈，
故选：D
2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524a b =+-，则OM 的最小值为（ ） A 5 B 25 C ．33
D 5【提示】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到24
5a b OM +-=
圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.
【答案】B
【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ，
因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524a b =+-， 则24
5a b OM +-=
几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等， 即圆M 与直线240x y +-=相切，
则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，
125=.
故选：B
第一学期高二数学期末考试试卷 注意事项： 1．考试时间：90分钟试卷满分：100分； 2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题； 3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆； 一、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分） 1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________． 2、如图所示，下列空间图形中， ①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台． 上述说法正确的个数为________． 3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________． 4、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.若所有的棱长都是2， 则异面直线AC1与BC所成的角的正弦值为 5、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中， M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的 平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________．
6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点， 则过C 1，E ，F 的截面的周长为________． 7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号) ①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC . 8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________． 9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________． 10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分） 11、下列命题中，正确的是( ) A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台 C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高 12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( ) A ．MF ∥NE B ．四边形MNEF 为梯形 C ．四边形MNEF 为平行四边形 D ．A 1B 1∥NE 13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦
上海市高二第一学期数学期末考试试卷 注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅. 2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 个. 2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空） 3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人. 6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ． 7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 ． 8. 已知大小为π6 的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相 同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的 正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体， 则该几何体的体积为 ． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则() P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱 ，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采
上海市高二第一学期期末考试 数学 时间90分钟，满分100分，(2023年1月) 一、选择题:共20题，1－10题每题3分，11－20题每题4分，总计70分。 1、过点P(－5，7)，倾斜角为135°的直线方程为( ) A.120x y -+= B.20x y +-= C.120x y +-= D.20x y -+= 2、已知曲线经过点P(1，2)，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不可能 3、已知直线1l ：()310a x y -+-=和2l ：()41030ax a y +-+=，则“2a =”是“直线1l 与直线2l 垂直”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4、已知方程2220x y x my m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A.(2，+∞) B.(－∞，2) C.[2，+∞) D.()(),22,-∞+∞ 5、若双曲线C ：221824 x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.6 6、如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AD=2，AA 1=3，P 是线段A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( ) A.DD 1 B.B 1C C.D 1C D.AC 7、已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为( ) 2 2π 2π 2 8、方程22 2143x y λλ +=--表示焦距为25λ的值为( ) A.1 B.－4或1 C.－2或－4或 D.－2或1
上海市浦东新区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试 题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．已知2lim 11n an n →∞-=+，则实数a 的值为__________． 2．直线l:x?13=y+14的一个方向向量可以是__________． 3．方程组250380x y x y --=??+-=? 的增广矩阵是_________. 4．如图，程序框图中，语句1被执行的次数为__________． 5．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 ． 6．设向量a 与b 的夹角为θ，(1,1)a =，(1,1)b a -=-，则cos θ=__________． 7．用数学归纳法证明：223111(1)1n n c c c c c c c ++-++++ +=≠-，当1n =时，左边为__________． 8．已知等差数列{}n a 中，3637a a =，且129a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若n S 取得最大值，则n =__________． 9．求和：1112334(1) n n +++=??+__________． 10．已知点(23)A ， ，(1,0)B ，动点P 在y 轴上，当||||PA PB +取最小值时，点P 的坐标为______. 11．若关于x,y 的二元一次方程组{mx +4y =m +2x +my =m 有无穷多组解，则m 的取值为__________．
12．我们知道：11??()n p p p q n n q q n q n q +-=-++，已知数列{}n a 中，11a =，122(1) n n n a a n n -+=+ +*(2,)n n ≥∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =__________． 二、单选题 13．在四边形ABCD 中，若AB DC =，且0AB AD ?=，则四边形ABCD 是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形 14．直线:0(0,0)l ax by c a b ++=>>的倾斜角是（ ） A ．arctan()a b - B ．arctan a b π- C ．arctan 2a b π + D ．arctan a b π+ 15．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，34a =，则此数列的前n 项和等于（ ） A ．21n + B ．21n - C ．1 (41)3n - D ．1 (41)3n + 16．若动点P 到x 轴、y 轴的距离之比等于非零常数k ，则动点P 的轨迹方程是（ ） A ．(0)x y x k = ≠ B ．(0)y kx x =≠ C ．(0)x y x k =-≠ D ．(0)y kx x =±≠ 三、解答题 17．已知直线:20l x +-=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点. （1）求弦AB 的长； （2）求弦AB 的垂直平分线的方程. 18．已知(1,2)a =，(3,1)b =，c b ka =-，且a c ⊥. （1）求向量b 在向量a 的方向上的投影； （2）求实数k 的值及向量c 的坐标. 19．过点(1,2)P 作直线l 交x 轴正半轴于A 点、交y 轴正半轴于B 点 （1）若3AP PB =时，求这条直线l 的方程； （2）求当三角形AOB （其中O 为坐标原点）的面积为4时的直线l 的方程. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，28a =，10185S =，对每个正整数k ，在k a 与
Al B. O Cl 或O Q ・不存在 16、己知Δ∕4BC 中，ZA = -, ^tB = AC = 1,当每个人,(21,2,3)取遍±1 肘，∣z ¾^β +⅛BC + ⅛C4∣取值不 2 可能是( ) • • A. O B. 1 C 2 D. 2√2 三、简答题(8十10 + 10 + 12 + 12) 18.等苗数列｛q l ｝中，若^ = λα6=9, （1）求等差数列｛〜｝的通项公式和前刃项和以 (2)求 lim — 19.已知LABC 的三个顶点分别为/（1，2）』（4,1）,C （3,6） （1） 求Ee 边上的中线所在直线的一玻式方程. （2） 求MJBC 的面积• 17、 己知二元一次方程组＜ ∖k-3)x-2y = 2k 3x+(2it + l)βy + Jt + 2 = 0 无解，求k 的值:
20>如图，已知点G足边长为1的正三角形屈C的中心，线段Z）E经过点G,并绕点G转动，分别交AB. /C于 点ZA £；^AD^mAB y AE^nAC .其中0 5 S?,0
浦东新区2019学年度第一学期期末教学质量检测 高二数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、填空题（每题3分） K 写岀方程组U 一 V " f β!Q 广矩阵 ___________________________ ・ 3x+βy = 8 2、已知 a = (1,0) , b = (2,4),则 α+5∣ = ____________________ . 答案：5 答案：1 Jr 4、 宜线X^J ny+4= 0的倾斜角为二,则加的位是 ___________________________ • 4 答案：1 5、 己知点N （l,2）, 5（3,0）,则线段/43的垂直平分线的方程足 __________________ . 答案：J = -V-I 6.直线/的一个向= 2）,则Z 与直线X-A = O 的夹角大小为 __________________________ •（用反三角函数表示） 答案：H 8、若无•穷等比数列｛α讣的各项和S 的值为2,公比gv θ∙则首项q 的取值范围足 _______________ . 答案：（2,4） 9、 已知点尸（如），点0的坐标（Xj ）満足:I Z =2•则点尸与点0距离的虽小值为 ________________ ・ 答案：√5 10、 已知/（-2,0）,点F 为曲线√ + ∕ = l 上一个动点，O 为原点，则而•丽 的取值范围定 __________________ . 答案：arccos 3√10 7、向 >O4 = (⅛,12) 55 = (1,2). OC = (3,4),若 4 B 、 C 三点共线.则M 二
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷 试题数：21，总分：150 1.（填空题，4分）若 P n 3=C n 4 ，则正整数n=___ ． 2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是 ___ ． 3.（填空题，4分）直线 y =√3x −1 与直线 y = √3 3 (x −1) 的夹角的大小是 ___ ． 4.（填空题，4分）设 a n =2n +2n+1+2n+2+⋯+22n （n 为正整数），则a k+1-a k =___ ． 5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A （-1，2，-3），B （2，-4，6），若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 点坐标为 ___ ． 6.（填空题，4分）二项式 (x 2−1x )6 展开式中的常数项为___ ． 7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是 ___ ． 8.（填空题，5分）若-1，x ，y ，z ，-9（x 、y 、z∈R ）是等比数列，则实数y=___ ． 9.（填空题，5分）已知直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0，其中k 、b∈R ．若直线l 1 || l 2，则l 1与l 2间距离的最小值是 ___ ． 10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A 公司，30%来自B 公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是 ___ ． 11.（填空题，5分）我们知道： C n m =C n−1m−1+C n−1m 相当于从两个不同的角度考察组合数： ① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是 C n m ； ② 对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有 C n−1m−1 种选法，若A 不选，有 C n−1m 种选法， 两者结果相同，从而得到上述等式． 根据这个思想考察从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k （n ＞m ＞k≥2，且n-k ＞m ）个元素分别选或不选，你能得到的等式是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，设a 1+a 2+⋯+a n =1，当且仅当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ）， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．有下列命题： ① 数列{y n }是等差数列；
2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．设复数21i z i -=，其中i 为虚数单位，则lmz =___________ 2．直线23y x =-+的倾斜角是___________(结果用反三角表示). 3．设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则⋅=a b ___________ 4．已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是____． 5．设复数85(13)(34)z i i +=-满足(i 是虚数单位)，则z =___________. 6．已知圆C 在y 轴正半轴所截得弦长为8，且圆切x 轴于点()3,0，则圆C 的标准方程为___________. 7．若过椭圆22 11612 y x +=上焦点1F 的直线交椭圆于点A ，B ，2F 为椭圆下焦点，则三角形2F AB 的周长为___________. 8．若变量x ，y 满足约束条件201002x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩ ，则目标函数2z x y =-+的最大值为______． 9．数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点A (4，0)，B (0，2)，AC BC =，则ABC 的欧拉线所在直线方程为___________. 10．若向量a →=(1，1)与向量b → =(1，x )的夹角为锐角，则x 的取值范围是___________. 11．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ， 下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.
2020-2021学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷 1.（填空题，3分）9与1的等比中项为___ ． 2.（填空题，3分） n→∞n−22n+1 =___ ． 3.（填空题，3分）若 a ⃗ =（1，2）与 b ⃗⃗ =（2，m ）平行，则实数m=___ ． 4.（填空题，3分）三阶行列式 |1234 56789 | 中，元素5的代数余子式的值为___ ． 5.（填空题，3分）直线l ： √3 x-y+1=0的倾斜角是___ ． 6.（填空题，3分）向量 m ⃗⃗⃗ =（4，3）在向量 n ⃗⃗ =（1，0）方向上的投影为___ ． 7.（填空题，3分）已知数列{a n }为等差数列且a 5=2，则其前9项和S 9=___ ． 8.（填空题，3分）直线l 1：x+y-1=0与直线l 2：x-y+2=0夹角的大小为___ ． 9.（填空题，3分）若方程x 2+y 2-6x-8y-k=0表示的曲线是圆，则实数k 的取值范围是___ ． 10.（填空题，3分）若{a n }是无穷等比数列，且 n→∞ （a 1+a 2+…+a n ）=2，则a 1的取值范围为___ ． 11.（填空题，3分）已知动点P 在曲线（x-1）2+（y+1）2=4上，则动点P 到直线x-y=0的距离的最大值与最小值的和为___ ． 12.（填空题，3分）在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足 |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是___ ． 13.（单选题，3分）直线l ： x−12 = y+13 的一个方向向量可以是（ ） A.（2，3） B.（-2，3） C.（3，2） D.（-3，2） 14.（单选题，3分）二元一次方程 { x −2y =13x +y =5 的系数行列式的值是（ ） A.2 B.5 C.7 D.11 15.（单选题，3分）若等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +a ，则a 的值为（ ） A.3 B.0 C.-1
2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学 期期末数学试题 一、单选题 1．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案. 【详解】由公理2的推论: 过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面, 可得1234P P P P 、、、在同一平面, 故充分条件成立; 由公理2的推论： 过两条平行直线,有且只有一个平面, 可得, 当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、1 2l l 时, 1234P P P P 、、、在同一个平面上, 但1234P P P P 、、、中无三点共线, 故必要条件不成立; 故选:A 【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题; 公理2的三个推论： ()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; ()2经过两条平行直线,有且只有一个平面; ()3经过两条相交直线,有且只有一个平面; 2．在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ， 则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
【答案】B 【解析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解. 【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面 BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹 不可能为圆. 面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为2arctan ，即2arctan θ=时，轨迹为抛物线，arctan 2θ≠时，轨迹为椭圆， 0, 4 πθ⎛⎫ ∈ ⎪⎝ ⎭ ，所以轨迹为椭圆. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题. 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为 A ．[,]43ππ B ．22⎡⎢⎣ C ．[2]4π D ．2π]2 【答案】C 【分析】先过点Q 作QO AD ⊥于点O ，连接OP ，根据题意，得到QPO ∠即为直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ，设正方体棱长为2，设BP x =()02x ≤≤，推出
高二第一学期数学期终试卷 作者:市北中学 数学组 张佶 一、填空题（每题3分） 1. 已知向量(1,)(,2)a x b x =-=- 与平行，则x=_________________。 2. 设A （0，0），B （1，2），C （3，5），则 ________________ ABC S ∆=。 3. 若122⎛ ⎝ 21⎫-⎪⎭a c ⎛ ⎝ b d ⎫⎪⎭为单位矩阵10⎛ ⎝ 01⎫ ⎪⎭，则a+b+c+d=________________ 4. 方程组260 320x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 对应的增广矩阵为____________ 5. 在行列式3 12140 5 3 --a 中，元素a 的代数余子式的值是____________ 6. 已知向量(3,1)(1,3)a b =-=-- 与，则3a b - 的单位向量的坐标为 ____________。 7. 已知||1,||2,60,||____________a b a b a b ==︒+= 与夹角为则 8. 无穷数列{}n a 中，n n a 2 1 = ，则=++++ n a a a 242_________。 9. 在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内 （含边界）任意一点，则OE OF ⋅ 的最大值为 . 10. 在等差数列{a n }中，1a 为首项，n S 是其前n 项的和，将2 )(1n a a S n n += 整理为121 21a a n S n n +=后可知：点 ),,(,),2,(),1,(222111n S a P S a P S a P n n n （n 为正整数）都在直线12 1 21a x y += 上，类似地，若{a n }是首项为1a ，公比为)1(≠q q 的等比数列，则点 ),,(,),,(),,(222111n n n S a P S a P S a P （n 为正整数）在直线 上. 二、选择题（每题3分） 11. 设{(,)|(2)()0}A x y x y x y =+--=，2 {(,)|}0x y B x y x y +=⎧=⎨ -=⎩ 则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）
上海市金山区2021-2022学年高二上学期期末数学试卷 班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题（本大题共4小题，共20分） 1、某家大型超市近10天的日客流量(单位：千人次)分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、 2.8、4.4、 3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（） A. 散点图 B. 条形图 C. 茎叶图 D. 扇形图 2、设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，则以下命题正确的是（） A. 若l//α，α//β，则l⊂β B. 若l//α，α⊥β，则l⊥β C. 若l⊥α，α⊥β，则l⊂β D. 若l⊥α，α//β，则l⊥β 3、由小到大排列的一组数据：x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于−2，则样本2，−x1， x2，x3，−x4，x5的中位数可以表示为（） A. x2+x3 2B. x2−x1 2 C. 2+x5 2 D. x3−x4 2 4、概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔⋅帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问 题：甲、乙两赌徒约定先赢满5局者，可获得全部赌金700法郎，当甲赢了4局，乙嬴了3局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（） A. 甲525法郎，乙175法郎 B. 甲500法郎，乙200法郎 C. 甲400法郎，乙300法郎 D. 甲350法郎，乙350法郎 二、填空题（本大题共12小题，共54分） 5、必然事件的概率是______． 6、半径为1的球的体积为． 7、已知向量a⃗=(2,1,3)，向量b⃗ =(4,m,6)，若a⃗//b⃗ ，则实数m的值为______． 8、教育部门对某校学生的阅读素养进行调研，在该校随机抽取了100名学生进行百分制检测， 现将所得的成绩按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，并根据所得数据作出了频率分布直方图(如图所示)，则成绩在[70,80)这组的学生人数是______．
高二年级第一学期数学期末考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数i i z += 2(i 为虚数单位)，则=||z ． 2．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 3．抛物线2 4y x =的焦点坐标为 ． 4 ．6 2x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ． 5．已知实数x 、y 满足不等式组5 2600 x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪ ⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ． 6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232 =+-a x x 的一个根,则实数=a ． 7．已知21,F F 为双曲线C ：12 2=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则 =⋅||||21PF PF ． 8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同 的安排方案种数为 ． 9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ θ =+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到 直线l 的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02 =++q px x （,p q 是常数）的两 个实根，则直线AB 的方程是 ． 11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足2 21sin cos 2 AP AB AC θθ= ⋅+⋅()R θ∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．
上海中学2015学年第一学期期终考试 高二年级数学试卷 一. 填空题 1. 若不同的两点A 和B 都在参数方程式1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨ =+⎩（θ为参数）的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是 ； 2. z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则||z = ； 3. 将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的 13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ， 则椭圆E 的焦点坐标是 ； 4. 若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是 ； 5. 若双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相 等，则双曲线H 的方程是 ； 6. 二次函数238y x = 的图像的准线方程是 ； 7. 以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是 ； 8. 已知直线y m =与方程y =（[21,21]x k k ∈-+，k Z ∈）的曲线相交， 相邻交点间的距离皆相等，则m = ； 9. 设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-= M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是 ； 10. 已知动圆过定点(4,0)A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其 半径的最小值是 ； 11. 设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=（0y ≥）上，使得2OP PQ =（O 为坐标系 原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是 ； 12. 设抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为 直径的圆过点(0,2)，则p 的值为 ； 二. 选择题 13. 已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ） A. 22x t y t =⎧⎨=-⎩ B. 22x t y t =+⎧⎨=-⎩ C. 22x t y t =⎧⎨=-⎩ D. 22x t y t =+⎧⎨=-⎩ 14. 集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ） A. M R =∅ B. 0M ∉
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第一学期 高二数学期末考试试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 命题：曹建华 审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1.复数()() 22563,,z m m m m i m R i =-++-∈为虚数单位，实数m =_________时z 是纯虚数. 2.复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为_________. 3.抛物线212x y =的准线方程为_________. 4.已知向量()()1,2,1,1,,a b m a b n a b λ=-==-=+r r u r r r r r r ，如果m n ⊥u r r ，则实数λ=_________. 5.若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为_________. 6.设双曲线()22 2109x y b b -=>的焦点为1F 、2F ， P 为该双曲线上的一点，若15PF =，则2PF =_________. 7.设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪ +-≥⎨⎪≤⎩ ，则23z x y =-的最小值是_________. 8.若复数z 满足2 21z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =_________. 9.在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 位于第二象限，且在AOB ∠的 平分线上，2OC =uuu r ，则OC =u u u r _________. 10.参数方程231121t x t t y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ （t 为参数）化成普通方程是__________________. 11.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点， 它的一个焦点坐标为 ) ，()12,1e =r 、
高二上册数学期末试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1.若m>0且1≠m ， 则a=b 是m a =m b 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 2.图示算法的运算结果是 （A ）2005 （B ）2006 （C ）2007 （D ）2008 3．函数x x y 1 - =的单调递增区间是 （A ）R （B ）),0(+∞ （C ）)0,(-∞ （D ）),0(+∞和)0,(-∞ 4.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷5次，那么第3次出现正面朝上的概率是 （A ）2 1 （B ） 5 3 （C ） 5 2 （D ） 5 1 5.若椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）的焦点到相应准线的距离大于椭圆的长轴长，则椭圆 离心率的取值范围是 （A ）（0，13-） （B ）（13-，1） （C ）（0，12-） （D ）（12-，1） 6．方程2 2 2 3 sin cos 1x y αα+=（[]0,απ∈）不能表示的曲线是 （A ）抛物线 （B ）双曲线 （C ）椭圆 （D ）两条直线 7.方程π=+-+++2 222)1()1(y x y x 所表示的曲线是 （A ）线段 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 8.图示程序运行后的结果为 （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 9．下列四个命题中，假命题的个数是 (1)13,2 -≥+∈∀x x R x ；(2)若事件A 与B 互为对立事件，P(A)=0.4，则P(B)=0.6； （3）线性回归方程中的系数a b ,是可正可负的； (4)α∩β=l ，则∃直线a ，a ⊥α且a ⊥β。 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 10.与下列伪代码对应的数学表达式是（ ） （A ）d =1+2+3+…+n （B ）d =2+n 1 ...3121+++ （C ）d =n n )1(1 ...4313212111-++⨯+⨯+⨯+ （D ）d =1+n 1...3121+++ S1 输入A=43 ， B=45 ，C=47 ； S2 计算m ＝26++⨯C B A S3 输出 m . I ←1 While I ≤3 I ←I+2 S ←6+2I I ←I-1 End While Print S Read n d ←1 For I from 1 to n d ← d +I 1 End for Print d
上海市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题沪教版 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分） 1．计算矩阵的乘积=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110n m y x ______________ 2.计算行列式0 10 526 3 12 --=____________ 3.直线04)2(=+--y m x 的倾斜角为4 π ，则m 的值是___________ 4．)23741( lim 2 222n n n n n n -+++∞ → =___________ 5.已知直线0125=++a y x 与圆022 2 =+-y x x 相切，则a 的值为___________ 6.以抛物线x y 42 =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为___________ 7.已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为___________ 8．若向量)1,3(-=AB ，)1,2(=n ，且7=⋅AC n ，那么BC n ⋅的值为___________ 9.若直线l 经过原点，且与直线23+= x y 的夹角为300，则直线l 方程为 ___________10．若三条直线01=++y x ，082=+-y x 和 053=+-y ax 只有两个不同的交点，则实数a 的值为__________ 11.执行右边的程序框图，则输出的结果是___________ 12.若点O 和点F )0,2(-分别为双曲线22 21x y a -=)0(>a 的中心和左焦 点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为__________ 13.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，B 是圆F ：4212 2 =+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-y x (F 为圆心)上一动点， 线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为___________ 14.双曲线22 2 =-y x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点),(n n n y x P )(* N n ∈在其右支上，
南洋模范学校2022-2023学年高二上学期期末考试 数学试卷 2023.01.05 一、填空题（每题3分） 1.小陈掷两次骰子都出现6的概率为______. 2. 从{}1,2,3,4,5中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______. 3. 若等比数列的前n 项和1 4n n S a -=+，则a =______. 4. 若数列{}n a 满足12102 1211 2 n n n n n a a a a a +≤⎧ ⎪⎪=⎨≤-≤<⎪⎪⎩.若167a =，则2023a =______. 5. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg ）： 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg. 6. 已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是______. 7. 已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为______万元. 佑老师和Lisa 老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______. 9. 112S n =++ +，222212S n =+++，333312S n =+++，使1S ，2S ，3S 成等 差数列的自然数n 的所有可能的值为______. 10. 已知()* 234N n n n n a n n +⎧⎪=∈⎨ ⎪⎩为奇数为偶数 ，则数列{}n a 前2m 项之和为______. 11. 已知数列{}n a 满足11a =，()()2 *118 N n n a a m n += +∈，若对任意的正整数n 均有4n a <，则实数m 的最大值是______. 12. 设数列{}n a 满足11 2a =，()() 2 *12023 N n n n a a a n +=+∈， 记()()()12111n n T a a a =---， 则使得0n T <成立的最小正整数n 是______. 二、选择题（每题4分） 13. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学