上海市浦东新区2022-2022学年高二上学期期末数学试
卷Word版含解
2022-2022学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是______．2．若线性方程组的增广矩阵为
，则该线性方程组的解是______．
3．行列式中元素8的代数余子式的值为______．
4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=______．6．已知向量=（1，2），=（1+某，某），且⊥，则某的值为______．7．已知=﹣
，若实数λ满足
=λ
=______．
，则λ的值为______．
8．一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为
______．
9．关于某的方程=0的解为______．
10．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为
______．
11．已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则取值范围是______．12．定义
=
（n∈N某）为向量
=（某n，yn）到向量
的
=（某n+1，|=______．
yn+1）的一个矩阵变换，设向量
=（coα，inα），O为坐标原点，则|
二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)
13．用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=时，左边应该是（）
A．1+a+a2B．1+a+a2+a3C．1+aD．114．下列正确的是（）A．若B．若
（anbn）=a≠0，则（anbn）=0，则
an≠0且an=0或
bn≠0bn=0
=
”时，在验证n=1成立
C．若无穷数列{an}有极限，且它的前n项和为Sn，则D．若无穷数列{an}有极限，则
an+1
a1+a2+…+an
15．如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）
A．
+=+B．+=+C．+=+D．+=+16．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若已知S6＜S7，S7＞S8，则下列叙述中正确的个数有（）
①S7是所有Sn（n∈N某）中的最大值；②a7是所有an（n∈N某）中的最大值；③公差d一定小于0；④S9一定小于S6．
A．1个B．2个C．3个D．4个
三、解答题
17．已知，某，y的方程组
．
（1）求D，D某，Dy；
（2）当实数m为何值时方程组无解；
（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解．
18．已知等比数列{an}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n 项和为Sn，且Tn=求
Tn的值．
19．已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．
（1）若∥，求的坐标；
（2）当取最小值时，求co∠APB的值．
20．已知无穷等数列{an}中，首项a1=1000，公比q=，数列{bn}满足bn=
（lga1+lga2+…+lgan）．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和的最大值．
21．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（n∈N某，p，q 为常数），a1=2，a2=1，a3=q﹣3p．
（1）求p，q的值；
（2）求数列{an}的通项公式；（3）记集合M={n|λ≥
，n∈N某}，若M中仅有3个元素，求实数λ的取值范围．
2022-2022学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1．数1与9的等差中项是5．【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得．【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：5．
2．若线性方程组的增广矩阵为
，则该线性方程组的解是
．
【考点】二元一次方程组的矩阵形式．
【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线
性方程组，根据方程解出某，y，即可
【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组
的表达式
∴
故答案为
3．行列式中元素8的代数余子式的值为﹣1．
【考点】三阶矩阵．
【分析】由代数余子式的定义A12=﹣
=﹣1即可求得答案．
【解答】解：设A=，
元素8的代数余子式A12=﹣
=﹣1；
故答案为：﹣1．
4．若向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，则向量的单位向量（﹣，﹣）．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】利用平面向量坐标运算公式求解．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，3），=3﹣，∴=（3，6）﹣（﹣1，3）=（4，3），∴向量
的单位向量
=
=±
=±（，）．
=（，）或故答案为：（，）或（﹣，﹣）．
5．等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，an=9，则n=6．【考点】等差
数列的通项公式．
【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的
通项公式求解即可．【解答】解：等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3，
∴a3=﹣1+2d=3，∴d=2，
∵an=9=﹣1+（n﹣1）某2，解得n=6，故答案为6．
6．已知向量=（1，2），=（1+某，某），且⊥，则某的值为【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由⊥，可得=0，即可得出．【解答】解：∵⊥，
∴=（1+某）+2某=1+3某=0，解得某=
，
．
故答案为：﹣．7．已知
=﹣
，若实数λ满足
=λ
，则λ的值为﹣3．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案．
2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷 1. 小陈掷两次骰子都出现6的概率为______. 2. 从{1,2,3,4,5}中随机取两个元素(可相同)，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为 ______. 3. 若等比数列的前n 项和S n =4n−1+a ，则a =______. 4. 若数列{a n }满足a n+1 ={2a n 0≤a n ≤1 22a n −112 ≤a n <1 ，若a 1=67 ，则a 2023=______. 5. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数 据如下(按从小到大的顺序排列，单位：kg) 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg. 6. 已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是______. 7. 已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为 ______万元． 8. 第14届国际数学教育大会(ICME −14)于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张 老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______. 9. S 1=1+2+⋯+n ，S 2=12+22+⋯+n 2，S 3=13+23+⋯+n 3，使S 1，S 2，S 3成等 差数列的自然数n 的所有可能的值为______. 10. 已知a n ={ 2n +3,n 为奇数4n , n 为偶数 (n ∈N ∗)，则数列{a n }前2m 项之和为______. 11. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=1 8(a n )2+m(n ∈N ∗)，若对任意的正整数n 均有a n <4， 则实数m 的最大值是______. 12. 设数列{a n }满足a 1= 12 ，a n+1= a n +(a n )2 2023(n ∈N ∗)，记T n =(1−a 1)(1−a 2)⋯(1−a n )， 则使得T n <0成立的最小正整数n 是______. 13. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95 户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学
2021年高二上学期期末联考数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 参考公式： 球的表面积公式：柱体的体积公式： 球的体积公式：锥体的体积公式： 棱台的体积公式 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．抛物线的准线方程是( ) 2．圆在点处的切线方程为（） A．B． C．D． 3．若直线与直线平行，则实数的值为（） A．B．1 C．1或D． 4．长方体有共同顶点的三条棱长分别为1，2，3，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球体的表面积为（）（） A．B．C．D． 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（）
第6题图D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A 6．如图，平行六面体中，则等于（ ） A ． B ． C ． D ． 7．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个 充分条件是（ ） A ．a ⊥α，b//β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α//β C ．a ⊂α，b//β，α⊥β D ．a ⊂α，b ⊥β，α//β 8．在下列结论中，正确的是（ ） ①为真是为真的充分不必要条件； ②为假是为真的充分不必要条件； ③为真是为假的必要不充分条件； ④为真是为假的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 9．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A . B . C . D . 10．已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为 （ ） A. B. C. D. 第Ⅰ卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上相应位置上． 11．已知直线与关于轴对称，直线的斜率是_____. 12．曲线表示双曲线，则的取值范围为 . 13．已知且与互相垂直，则的值是 . 14．是椭圆的上一点，点分别是圆和上的动点，则的最大值为 . 15．如图，在长方形中,,,为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到时，则 所形成轨迹的长度为 .
2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学 期期末数学试题 一、单选题 1．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案. 【详解】由公理2的推论: 过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面, 可得1234P P P P 、、、在同一平面, 故充分条件成立; 由公理2的推论： 过两条平行直线,有且只有一个平面, 可得, 当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、1 2l l 时, 1234P P P P 、、、在同一个平面上, 但1234P P P P 、、、中无三点共线, 故必要条件不成立; 故选:A 【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题; 公理2的三个推论： ()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; ()2经过两条平行直线,有且只有一个平面; ()3经过两条相交直线,有且只有一个平面; 2．在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ， 则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
【答案】B 【解析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解. 【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面 BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹 不可能为圆. 面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为2arctan ，即2arctan θ=时，轨迹为抛物线，arctan 2θ≠时，轨迹为椭圆， 0, 4 πθ⎛⎫ ∈ ⎪⎝ ⎭ ，所以轨迹为椭圆. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题. 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为 A ．[,]43ππ B ．22⎡⎢⎣ C ．[2]4π D ．2π]2 【答案】C 【分析】先过点Q 作QO AD ⊥于点O ，连接OP ，根据题意，得到QPO ∠即为直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ，设正方体棱长为2，设BP x =()02x ≤≤，推出
2020-2021学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷 1.（填空题，3分）9与1的等比中项为___ ． 2.（填空题，3分） n→∞n−22n+1 =___ ． 3.（填空题，3分）若 a ⃗ =（1，2）与 b ⃗⃗ =（2，m ）平行，则实数m=___ ． 4.（填空题，3分）三阶行列式 |1234 56789 | 中，元素5的代数余子式的值为___ ． 5.（填空题，3分）直线l ： √3 x-y+1=0的倾斜角是___ ． 6.（填空题，3分）向量 m ⃗⃗⃗ =（4，3）在向量 n ⃗⃗ =（1，0）方向上的投影为___ ． 7.（填空题，3分）已知数列{a n }为等差数列且a 5=2，则其前9项和S 9=___ ． 8.（填空题，3分）直线l 1：x+y-1=0与直线l 2：x-y+2=0夹角的大小为___ ． 9.（填空题，3分）若方程x 2+y 2-6x-8y-k=0表示的曲线是圆，则实数k 的取值范围是___ ． 10.（填空题，3分）若{a n }是无穷等比数列，且 n→∞ （a 1+a 2+…+a n ）=2，则a 1的取值范围为___ ． 11.（填空题，3分）已知动点P 在曲线（x-1）2+（y+1）2=4上，则动点P 到直线x-y=0的距离的最大值与最小值的和为___ ． 12.（填空题，3分）在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足 |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是___ ． 13.（单选题，3分）直线l ： x−12 = y+13 的一个方向向量可以是（ ） A.（2，3） B.（-2，3） C.（3，2） D.（-3，2） 14.（单选题，3分）二元一次方程 { x −2y =13x +y =5 的系数行列式的值是（ ） A.2 B.5 C.7 D.11 15.（单选题，3分）若等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +a ，则a 的值为（ ） A.3 B.0 C.-1
2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二上学期期末数 学试题 一、单选题 1．复平面中有动点Z ，Z 所对应的复数z 满足|3||i |-=-z z ，则动点Z 的轨迹为（ ） A ．直线 B ．线段 C ．两条射线 D ．圆 【答案】A 【分析】设出动点Z 坐标为(),x y ，根据题意列出方程，求出结果. 【详解】设动点Z 坐标为(),x y ，则i z x y =+，所以|i 3||i i |x y x y +-=+-，即 () ()2 2 2231x y x y -+=+-，化简得：340x y --=，故动点Z 的轨迹为直线. 故选：A 2．已知事件A ､B ､C 满足A B ⊆，B C ⊆，则下列说法不正确的是（ ） A ．事件A 发生一定导致事件C 发生 B ．事件B 发生一定导致事件C 发生 C ．事件A 发生不一定导致事件C 发生 D ．事件C 发生不一定导致事件B 发生 【答案】D 【分析】根据集合之间的包含关系可得答案. 【详解】因为事件A ､B ､C 满足A B ⊆，B C ⊆，所以A C ⊆，所以A 正确； 事件B 发生一定导致事件C 发生，B 正确； 因为A C ⊆，所以⊆C A ，所以事件A 发生不一定导致事件C 发生，所以C 正确； 因为B C ⊆，所以⊆C B ，事件C 发生一定导致事件B 发生，所以D 错误. 故选：D. 3．2021年12月29日19时13分，长征二号丁遥四十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将天绘-4卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功.已知天绘-4卫星的运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，距地球表面最近点的距离为m 千米，距地球表面最远点的距离为n 千米，地球可近似地看作一个半径为R 千米的球体，则天绘-4卫星的运动轨道的短轴长为（ ）千米. A ．2m n R ++ B ．2()()m R n R ++ C ． 22 ++m n R
2020-2021学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题 一、单选题 1．直线210x y ++=与直线36100x y 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．重合 C ．平行 D ．垂直 【答案】C 【解析】根据直线的一般方程满足111 222 A B C A B C =≠,则两直线平行. 【详解】 解: 直线210x y ++=与直线36100x y , 满足 1213 6 10 , 故直线210x y ++=与直线36100x y 平行. 故选:C 【点睛】 本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足 111 222 A B C A B C =≠,则两直线平行. 2．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A ．22x y = B ．y x = C ．y x = D ．0x y += 【答案】A 【解析】设点的坐标，利用点到两坐标轴距离相等建立方程即可得到到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程 【详解】 解:设点的坐标为(),x y , 因为点到两坐标轴距离相等, 所以x y =,即22x y =. 故到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是22x y =. 故选:A. 【点睛】 本题考查轨迹方程,求轨迹方程的方法为:建立平面直角坐标系,设所求的点的坐标,找限
制条件,代入限制条件,化简即可得到轨迹方程,可简记为:"建设限代化". 3．已知数列{}n a 满()()1,120191(),20202 n n n a n ⎧≤≤⎪=⎨-≥⎪⎩,则n n a lim →∞ =（ ） A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．不存在 【答案】B 【解析】分别讨论12019n ≤≤时,和当2020n ≥时, 结合奇数和偶数,以及极限的求法即可解出答案. 【详解】 解:因为数列{}n a 满()()1,120191(),20202n n n a n ⎧≤≤⎪ =⎨-≥⎪⎩, ①当12019n ≤≤时, 10n n n lim l a im →∞→∞ == ②当2020n ≥时, 当n 为奇数时,1 02n n n m a li →∞=- = 当n 为偶数时,1 02 n n n m a li →∞== 综上所述,0n n lim a →∞ =. 故选:B 【点睛】 本题主要考查数列的极限求法,注意运用常见数列的极限.考查计算能力,属于基础题. 4．已知ABC 中,2 A π ∠= ,1AB AC ==．当每个 1,2,3i i 取遍±1时, 312AB BC CA λλλ++的取值不可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．【答案】B 【解析】将 1,2,3i i ,分别取±1,逐一代入312AB BC CA λλλ++,结合 2 A π ∠= ,1AB AC ==即可得出答案. 【详解】 解:①当2131λλλ===时, 21300AB BC CA AB BC CA λλλ=+=++=+;
上海市黄浦区向明中学2022-2023学年上学期期中考试 高二数学试题 一、填空题（共12小题）. 1．过点P（3，4）且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为． 2．向量（3，﹣4）的单位向量是． 3．（++…+）＝． 4．已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y＝． 5．已知，，（2）＝3，则向量与的夹角为． 6．若，则＝． 7．过直线x+y﹣1＝0与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 8．三阶行列式中，5的余子式的值是． 9．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是． 10．设、、是任意的平面向量，给出下列命题： ①； ②； ③； ④． 其中是真命题的有（写出所有正确命题的序号） 11．在等比数列{a n}中，前n项和S n满足S n＝，则首项a1的取值范围是．12．已知三条直线的方程分别为y＝0，，，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为． 二、选择题 13．已知，，在上的投影是（）
A．3 B．C．4 D． 14．已知数列{a n}是等比数列，则方程组的解的情况为（） A．唯一解B．无解C．无穷多组解D．不能确定 15．下列命题为真命题的是（） A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示 B．不经过原点的直线都可以用方程表示 C．经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x1﹣x2）（y﹣y2）＝（y1﹣y2）（x﹣x2）表示 D．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示 16．对于每个确定的实数θ，方程x cosθ+（y﹣2）sinθ＝1表示一条直线，从中选出n条直线围成一个正n边形，记这个正n边形的面积是S n，则S n＝（） A．B．πC．4 D． 三、解答题 17．已知向量、均为非零向量，且与不平行． （1）若，，，求证：A、B、D三点共线； （2）若向量与平行，求实数m的值． 18．已知数列{a n}是等差数列，a1＝14，公差d＝5，{b n}是等比数列，b1＝1，公比q＝﹣2，构造数列{c n}：a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…． （1）求数列{c n}的通项公式； （2）若c k＝64，求k的值及数列{c n}的前k项和． 19．已知|t|≤1，直线l1：tx﹣y+1＝0和直线l2：x+ty+1＝0相交于点P，l1和y轴交于点A，l2和x轴交于点B． （1）判断l1与l2的位置关系，并用t表示点P的坐标； （2）求|OP|的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置．
2021-2022学年上海市杨浦高级中学高二上学期期末数学试 题 一、单选题 1．某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间.该教师调查了60位学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5小时.这里的总体是（） A ．杨高的全校学生； B ．杨高的全校学生的平均每天自习时间； C ．所调查的60名学生； D ．所调查的60名学生的平均每天自习时间. 【答案】B 【分析】由总体的概念可得答案. 【详解】某老师希望调查全校学生平均每天的自习时间，该教师调查了60位学生， 发现他们每天的平均自习时间是3.5小时， 这里的总体是全校学生平均每天的自习时间. 故选：B. 2．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（） A ．13 B ．12 C ．23 D ．34 【答案】C 【分析】设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案. 【详解】设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ，高为2R 所以球的体积为3 43 R π, 表面积为24R π. 圆柱的体积为：3 2 22R R R ππ⨯=,所以其体积之比为：3 3423 23 R R ππ= 圆柱的侧面积为：2224R R R ππ⨯=, 圆柱的表面积为：222426R R R πππ+= 所以其表面积之比为： 2242 63R R ππ= 故选：C 3．10(1)x -的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（）项.
A ．6 B ．5 C ．4和6 D ．5和7 【答案】A 【分析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解. 【详解】因为二项式10(1)x -展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大， 易知当r ＝5时，10r C 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项. 故选：A 4．在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（） A ． 1 55 B ． 255 C ． 355 D ． 655 【答案】B 【分析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率. 【详解】如下图，正方体中如：111,,AD BB C D 中任意2条所在的直线都是异面直线， ∴这样的3条直线共有8种情况， ∴任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为31282 55 C =. 故选：B. 二、填空题 5．从甲、乙、丙、丁4位同学中，选出2位同学分别担任正、副班长的选法数可以用m n P 表示为____________. 【答案】24P 【分析】由题意知：从4为同学中选出2位进行排列，即可写出表示方式. 【详解】1、从4位同学选出2位同学， 2、把所选出的2位同学任意安排为正、副班长， ∴选法数为24P . 故答案为：24P . 6 倍，则其体对角线与底面所成角的大小为_________. 【答案】45 4 π 【分析】如图所示，其体对角线与底面所成角为DAC ∠，解三角形即得解. 【详解】 解：如图所示，设,AB BC x CD === ，所以AC =. 由题得CD ⊥平面ABC ,
2021-2022学年上海市虹口高级中学高二上学期期末数学试题 一、填空题 1．在等差数列{}n a 中，已知12a =，34a =-，则4a =__． 【答案】7- 【分析】利用通项公式的相关的性质即可求解. 【详解】设公差为d ，则31 32 a a d -==-， 所以437a a d =+=-. 故答案为：7- 2．等比数列(){*}n a n ∈N 中，若2116a = ，51 2 a =，则8a =_____． 【答案】 4 【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案． 【详解】设等比数列(){*}n a n ∈N 的公比为q ，则3 521 2 a a q ⨯== ，解得38q =，即2q ，所以 3581 842 a a q =⨯⨯==， 故答案为：4． 3．半径为2的球的表面积为________. 【答案】16π 【分析】代入球的表面积公式:2 =4S R π表即可求得. 【详解】2R =， ∴由球的表面积2=4S R π表公式可得, 2=42=16S ππ⨯⨯球表, 故答案为:16π 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 4．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答). 【答案】1 6 【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.
【详解】解：从4名同学中选2名同学共有2 443 621 C ⨯= =⨯种, 甲､乙两人都没有被选到有1种， ∴ 甲､乙两人都没有被选到的概率为1 6 . 5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 576 0a a a +-=，则11S =________． 【答案】22 【分析】根据等差数列的性质可得62a =，再根据求和公式即可求出． 【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 由25760a a a +-=得2 6620a a -=，所以62a =，60a =（舍） 6111 11211112222 a a a S += ⨯=⨯= 故答案为：22 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于基础题． 6．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为________ 【答案】(4,3,2)- 【详解】 如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为1DB 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C , 所以1(4,3,2)AC =-. 7．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超
上海浦东区进才中学2022-2023学年上学期期中考试 高二数学试卷 一、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）. 1．已知M（7，3），N（﹣1，5）则线段MN的垂直平分线方程是． 2．在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为． 3．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝3关于直线3x+5y+6＝0对称的圆的方程为． 4．若不论m为任何实数，直线（m+2）x+（m﹣1）y﹣2m+3＝0恒过一定点，则该定点坐标为． 5．已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为．6．若圆x2+y2＝4，与圆C：x2+y2+2y﹣6＝0相交于A，B，则公共弦AB的长为． 7．已知P（a，b）为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0上任意一点，则的最大值是． 8．已知动直线l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0与圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是． 二、解答题（共7小题） 9．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．（1）求圆C的方程； （2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程． 10．（19分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知2|AB|＝3|F1F2|． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，求直线PB的斜率．11．（19分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设A为椭圆的下顶点，B为椭圆的上顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若+＝10，求k的值． 12．（19分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝
2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）期中 数学试卷 一、填空题（本大题共10题，满分30分） 1．（3分）两条异面直线所成的角的取值范围是． 2．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小为．3．（3分）若正四面体ABCD的棱长为，则异面直线AB与CD之间的距离为．4．（3分）将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为27π，则该几何体的全面积为． 5．（3分）某圆锥的底面积为4π，侧面积为8π，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为． 6．（3分）有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为（结果用π表示）． 7．（3分）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为．
8．（3分）已知三棱锥A﹣BCD的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的侧面积的最大值为． 9．（3分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是． 10．（3分）在三棱锥S﹣ABC中，已知SA＝4，SB≥7，SC≥9，AB＝5，BC≤6，AC≤8．则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分） 11．（3分）已知向量，，x∈R，则“x＝﹣1”是“∥” 的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 12．（3分）下列命题为真命题的是（） A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直 B．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行 C．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直 D．若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行 13．（3分）几何体Γ的表面上有三条线段AB、CD、EF，有AB、CD、EF所在直线两两异面，则在①棱柱；②棱锥；③圆柱；④圆锥；⑤球中，Γ有可能是（）
上海市长宁区2021-2022学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______． 2．甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.5，则甲、乙两人下成和棋的概率为___________. 3．若球的大圆的面积为π，则该球的表面积为___________. 4．同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是__________. 5．正四棱锥P ABCD -底面边长和高均为2,,,,E F G H 分别是其所在棱的中点，则棱台EFGH ABCD -的体积为___________. 6．某古典概型的样本空间{}Ω,,,a b c d =，事件{},A a b =，则()P A =___________. 7．盒子中放有大小和质地相同的2个白球､1个黑球，从中随机摸取2个球，恰好都是白球的概率为___________. 8．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________. ①直线AF 与直线CN 垂直； ①直线BM 与直线CN 相交； ①直线ME 与直线CN 平行； ①直线AB 与直线CN 异面； 9．某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有___________. 10．已知平面α和两条不同的直线,a b ，则下列判断中正确的序号是___________. ① 若a ∥,b α∥α，则a ∥b ；
上海市金山区2021-2022学年高二上学期期末数学试卷 班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题（本大题共4小题，共20分） 1、某家大型超市近10天的日客流量(单位：千人次)分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、 2.8、4.4、 3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（） A. 散点图 B. 条形图 C. 茎叶图 D. 扇形图 2、设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，则以下命题正确的是（） A. 若l//α，α//β，则l⊂β B. 若l//α，α⊥β，则l⊥β C. 若l⊥α，α⊥β，则l⊂β D. 若l⊥α，α//β，则l⊥β 3、由小到大排列的一组数据：x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于−2，则样本2，−x1， x2，x3，−x4，x5的中位数可以表示为（） A. x2+x3 2B. x2−x1 2 C. 2+x5 2 D. x3−x4 2 4、概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔⋅帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问 题：甲、乙两赌徒约定先赢满5局者，可获得全部赌金700法郎，当甲赢了4局，乙嬴了3局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（） A. 甲525法郎，乙175法郎 B. 甲500法郎，乙200法郎 C. 甲400法郎，乙300法郎 D. 甲350法郎，乙350法郎 二、填空题（本大题共12小题，共54分） 5、必然事件的概率是______． 6、半径为1的球的体积为． 7、已知向量a⃗=(2,1,3)，向量b⃗ =(4,m,6)，若a⃗//b⃗ ，则实数m的值为______． 8、教育部门对某校学生的阅读素养进行调研，在该校随机抽取了100名学生进行百分制检测， 现将所得的成绩按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，并根据所得数据作出了频率分布直方图(如图所示)，则成绩在[70,80)这组的学生人数是______．
2021-2022学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共4小题，共12.0分） 1.两条直线没有公共点是两条直线平行的()条件 A. 充分非必要 B. 必有非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 2.下列命题： (1)若空间四点共面，则其中必有三点共线； (2)若空间有三点共线，则此四点必共面； (3)若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面； (4)若空间四点不共面，则其中任意三点不共线． 其中正确的命题有()个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1 的中点，则下列直线中与直线EF相交的是() A. 直线AA1 B. 直线A1B1 C. 直线A1D1 D. 直线B1C1 4.一个平行于圆锥(其底面半径和母线均为定值)底面的平面将 圆锥分成上、下两部分，设圆锥所分的上、下两部分的侧面 积分别为x，y，则函数y=f(x)的图像大致是() A. B.
C. D. 二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5.公理2：不在同一直线上的______点确定一个平面． 6.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的______直线都垂直，那 么此直线与该平面垂直． 7.三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条 斜线在______垂直． 8.已知球的半径为3，则它的体积为______ ． 9.一个圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为______cm2． 10.已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面 所成的角的大小为______． 11.一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是______． 12.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 ______． ①直线AF与直线DE相交； ②直线CH与直线DE平行；
上海市浦东新区2021-2022学年高一上学期期末质量测试数学试题 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1．已知全集{}1,2,345U =，，，集合{}123A =，，，则A = ． 2．函数1 ln 2x y x -=-的定义域为 ． 3．已知幂函数()y f x = 的图像过点(，则()3f = ． 4．当0a < 时，求a +的值 ． 5．计算：2log 2 222 log 24log 3+-= ． 6．在用反证法．．．证明“已知332a b +=，求证：2a b +≤”时应先假设 ． 7．已知αβ、是关于x 的方程()22240x mx m m R -+-=∈的两个根， 则αβ-= . 8．已知3x >-，则1 3x x ++的最小值为 ． 9．若函数()3 1f x x x =--在区间[]1,1.5内的一个零点的近似值用二分法．．． 逐次计算列表如下： 那么方程310x x --=的一个近似解为x = （精确到．．．0.1）． 10．若()y f x =是奇函数，当0x >时()()2log 2f x x =+，则()2f -= 2- ．
11．已知问题：“35x x a ++-≥恒成立，求实数a 的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论： 小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题. 请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a 的取值范围 ． 12．已知函数()21, 02, 0 x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若()()221f a a f a -≤-，则实数a 的取值范围 是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是 正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．“12 a = ”是“指数函数x y a =在R 上是严格减函数”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14．任意x R ∈，下列式子中最小值为2的是（ ） A. 1x x + B. 22x x -+ C. 222x x + D. 22 22 x x ++ + 15．已知18log 9a =，185b =，则36log 45=（ ） A. 2a b a + B. 2a b a + C. 2a b a ++ D. 2a b a +- 16．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的 解析式来琢磨函数图像的特征，如函数2 ()a f x x x =+ （a ∈R ）的图像不可能．．．是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
2021-2022学年上海市浦东新区南汇中学高二（上）月考数学试 卷（10月份） 一、填空题 1．直线与平面所成角的范围是． 2．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是．3．从同一点出发的四条直线最多能确定个平面． 4．“直线l在平面a外”是“直线1与平面a平行”的条件．（填“充分不必要”，“必要 不充分”，“充要”，“非充分非必要”） 5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面BCC1B1所成角的大小为．（结果用反三 角函数值表示） 6．一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是． 7．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A作平面A1BC1的垂线l，则直线l与直线CC1所成角的余弦值为． 9．异面直线a，b成60°角，P是a，b外一定点，若过P点有且只有两条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为． 10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为． 11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为．
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、K分别为线段A1D1、C1D1、FC的中点，下述四个结论： ①直线AE、CF、DD1共点； ②直线AE、BK为异面直线； ③四面体ABFE的体积为； ④线段AB上存在一点N使得直线AE∥平面NFC． 其中所有正确结论的序号为． 二、选择题 13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（） A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1 14．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（） A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 15．下列四个命题： ①任意两条直线都可以确定一个平面； ②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；
2022-2023学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题 一、填空题 1．过平面外一点与该平面平行的平面有_____个． 【答案】1 【分析】假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，由面面平行的性质推出矛盾，得出结果为1. 【详解】由面面平行的传递性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，则平面β∥平面γ， 假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，则这些平面均相交，与上述结论相矛盾， 所以假设不成立， 所以过平面外一点与该平面平行的平面有1个． 故答案为：1． 2．小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是______．（用“观测数据”或“实验数据”填空） 【答案】实验数据 【分析】根据具体的实验，得到具体的实验数据. 【详解】由题意，小王做具体投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是实验数据. 故答案为：实验数据. 3．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示. 则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______. 【答案】307 500 ##0.614 【分析】根据经验概率的定义可求出结果. 【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为307，又试验总次数为500， 所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于307 500 .
故答案为： 307 500 4．已知球的表面积为36π,则该球的体积为______. 【答案】36π 【分析】设球半径为R ，由球的表面积求出3R =，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为R ， ∵球的表面积为36π， ∴24π36R π=， ∴3R =， ∴该球的体积为3344 V ππ33633 R π==⨯⨯=． 故答案为36π． 【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 5．“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有__________人. 【答案】68 【分析】根据题意可知，随机抽查比例是4:1，算出被抽查的100名学生中对“二十四节气歌”一句也说不出的人数，按比例计算即可得出结果. 【详解】由题意可知，随机抽查100名学生中有100453817--=人一句也说不出， 又抽查比例为4:1， 所以，该校高二年级的400名学生中共有400 1768100 ⨯=人对“二十四节气歌”一句也说不出. 故答案为：68 6．某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 ___________． 【答案】0.7## 710 【分析】利用方差的公式求解. 【详解】解：数据为6，6.5，7，7，8.5， 所以平均数为： ()1 6 6.5778.575 ++++=，