第四章 分子的对称性
§4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念
原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。与晶体的对称性不同。晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。
○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。
○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。（借助于一定几何实体）
○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。
<2>对称元素及相应的对称操作
○1恒等元素和恒等操作，（E ） Λ
E 所有分子图形都具有。
○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λ
n n C C ,；对称轴是一条特定的直线。绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，n
π
θ2=
如：H 2O ： πθ21
==n 。
分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。
n C 将产生n 个旋转操作：
E =-n
n n n n n C C C C ,,,,12
逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。 )(k n n
k n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，n
C
的轴次不受限制，n 为任意整数。 如： E =→3
32333,,C C C C
○3对称和反映操作。Λ
σσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。
图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。 E =Λ
2σ。 对称面可分为：
v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴；
d σ面：包含主轴且平分相邻'
2
C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。 ○4对称中心（i ）和反演操作。Λ
i i ,，分子图形中有一个中心点，对于分子中任何一个原子来说，在中心点另一侧，必能找到一个相同的原子。两个相对应的原子和中心点在一条直线上，且到中心点有相同的距离。对称中心的反演操作，使分子图形中任一点),,(z y x A 将反射到),,('z y x ---A ，同时A ’ 也将反射到A 点。从而产生分子的等价图形。
○5象转轴和旋转反映操作 Λ
n n S S , 分子图形绕轴旋转操作后，再作垂直此轴的镜面反映。产生分子等价图形。这种由旋转与镜面组合成的对称元素称为象转轴。象转轴和旋转、反映的连续操作相对应，并与连续操作次序无关：
Λ
ΛΛΛΛ==n h h n n C C S σσ。对分子施行n S 轴的k 次操作k
n S Λ时，必有：
⎪⎩⎪⎨⎧====ΛΛΛΛΛ23
231313C S K C S C S K C S k n k n h k n h k
n 为偶数时为奇数时σσ
⎪⎩
⎪⎨⎧====ΛΛΛΛE
S n E S S n S n n h h n
n 2233为偶数时
为奇数时σσ
以及：Λ
ΛΛΛΛ
Λ===i C S S h h σσ221,
如：
如果一个对称操作的结果与两个或多个其它操作连续作用的结果相同时，常
称此操作为其它操作的乘积：
)(Λ
ΛΛ
ΛΛ=A B B
A C 和光
一般讲，Λ
ΛΛ
Λ≠A B B A ，不可交换、不对易、有算符行为、是矩阵。 ○6反轴和旋转反演操作 Λ
n n I I ,。分子图形绕轴旋转操作后，再接轴上的中心点进行反演而产生分子等价图形。这元素是旋转操作与对称中心反演操作联合操作的结果。
Λ
ΛΛ=I n n C i
○7分子的对称操作可分为二大类：第一类是简单旋转操作，为实操作。其特点是能量具体操作，可直接实现。另一类是反映、反演等属虚操作，在想象中实现。
反轴与象转轴是相通的，只选择一种，分子对称中用n S 多，晶体对称性中用n I 多。
§4.2 对称操作的矩阵表示
对称操作行为使人感到抽象，需要有一定的空间想象力。如果从数学上能找到一些方法，就能严格地描述这些操作。描述这些操作之间的关系。那么就会感到比较实在。矩阵可以用来表示对称操作，称为对称操作的矩阵表示。
选定直角坐标为分量的空间向量来表示操作前后的变换关系。
iz
hy gx z fz ey dx y cz
by ax x ++=++=++=''' （新、旧列向量）
表示矩阵)33('''⨯A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x i h
g
f e
d c b a z y x z y x
（一）恒等操作
恒等操作对向量不产生任何影响，操作不变表示矩阵是一个单位矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x 100010001''' z z y y x x ===',
','
（二）旋转操作
若选定Z 轴为旋转轴，Z 分量不受旋转操作影响，只需考虑二级向量（x ,
y ）变化。
φ为旋转角
φ
φφαφφφαα
αcos sin )sin('sin cos )cos('sin cos y x r y y x r x r y r x +=+=-=+=== 这样：绕主轴旋转中角的操作)(φΛ
C 作用于向量（x, y, z ）后：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Λz y x z y x C z y x 10
0cos sin 0sin cos )('''φ
φφφφ )2(360n
n π
θφ==
C 2 ： ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 C 3 ： ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-
--10
0002
12
323
2
1
2
3
C ： ⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---10
0002
12323
2
1
C 4 ： ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100001010 C 6 ： ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-
10
0002
12
3
2321 (三)对称面操作（反映）
有三种反映操作：v σ、h σ与d σ。如果v σ包含主轴（Z ），Z 分量不变，极角为θ，新向量经反映极角为αθ-2。
y
x y y x x r y r x )2(cos )2(sin ')2(sin )2(cos ')2sin(')
2cos('θθθθαθαθ-=+=-=-=
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x v 10
02cos 2sin 02sin 2cos '''θ
θ
θθσ 如是h σ，则垂直于主轴（Z ），Z 改变符号，x 、y 分量不变。
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x h 100010001'''σ d σ与v σ有一样的表示矩阵。
（四）象转操作
)(j k C C S k
n
h h k n k n ===σσ
两个操作矩阵联合（两矩阵相乘）
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x k k k k z y x S z y x n
n n n
k n 10
0cos sin 0sin cos '''2222π
ππ
π
（五）反演操作
各分量均改变符号：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x i z y x 10001000
1''' 22S C i h ==σ （复合操作）
S 2 ：i
C h σ210001000
1100010001100010001⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-- （六）1
2C
1
2
C 垂直于主轴，可为： )()(12θσσθv h C =
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x C z y x 10
02cos 2sin 02sin 2cos '''12θ
θ
θθ
§4.3 对称元素的组合规则 a.两个旋转轴的组合：
两个C 2 轴交角为2φ相交时，在交点上必定出现一个垂直于该点两个C 2 轴的一个n C 轴（φ
π
2=
n ），而垂直于n C 通过交点的平面内必有n 个C 2 轴。由此可推
出：由旋转轴n C 与垂直于它的C 2 轴组合，在垂直n C 的平面内必有n 个C 2 轴，相邻两个轴间的夹角为n π。 b.两个镜面的组合：
两个镜面以交角为2φ相交时，交线必为一个n 次轴n C 。同理，n C 轴以及通过该轴和它平行的镜面组合，则一定存在n 个镜面相邻面间的夹角为n π。 c.偶次旋转轴和与它垂直的镜面的组合
一个偶次轴与一个垂直于它的镜面组合，必定在交点上出现对称中心。
§4.4 分子点群（分子对称类型） （1） 群的基本概念
○1群的定义：群论属于代数学范围，群是按一定规律相互联系着（“乘法”运算）的一些元素的集合。数的集合不一定是群，但群必定是集合，是有条件的一种集合。群的元素可以是数字、矩阵、算符或对称操作等；满足下面四个条件的集合称为群G 。
{} ,,,C B A G = ○2群的条件：
a) 封闭性。若A 、B 是G 中任意两个元素，则有AB=C 及A 2 =D ，C 、D 仍属
于G 中元素。
b) 缔合性。G 中的各元素之间的运算满足乘法结合律，即（AB ）C=A （BC ）。 c) 存在单位元素（恒等元素）。G 中必存在单位元素I 、E ，，它使G 中任
一元素满足于：AE=EA=A 或AI=IA=A 。
d) 存在逆元素。G 中任一元素A 均存有一个逆元素，A -1 ，A -1 也是群中一
元素，且有：A A -1 =A -1 A=I
对称操作的集合满足群条件，可构成群，连续两个对称操作和两个元素相乘对应。
○3群中群元素的数目称为群的阶，用符号h 表示。数目有限时称为有限群；数目无限时称为无限群。如果群中G 有一部分群元素也满足四个条件，则这一部分也构成群G’称为子群。
群中元素—广位的数学对象，物理动作；群的“乘法”—广义的数学运算或物理操作。 ○4举例：
一、全体正、负整数和零对加法运算构成群。 {}n G ±±±±=,,3,2,1,0 封闭性：0+1=1 1+2=3 缔合性：1+2+3=(1+2)+3=1+(2+3)
单位元素：0、 0+1=1+0=1 0+n=n+0=n 逆元素：1+(-1)=(-1)+1=0 n+(-n)=(-n)+n=0 二、水分子中对称操作的完全集合构成群
},,,{'2v v C E G σσ=
v C 2群（4阶群）： 封闭性：v v v v v v C C C E C C σσσσσσ===='
22'
'
222,
,
,
缔合性：E ====22'
2'2'2)()(C C C C C v v v v v v σσσσσσ
单位元素：E
逆元素：E =⋅=⋅===-----C C C C C C v
v v v 1
21221
'
'112
2σσσσ
○5群的乘法表
对一个有限群的元素以及这些元素所有可能的乘积，可用群的乘法表来简明地表达出来，h 阶群就有h 行和h 列构成乘法表，在行坐标为x 和列坐标为y 的交点上找到的元素是yx ,即先x 操作再操作y 。一般乘法是不可交换的，要注意次序，在乘法表中，每个元素在每一行和每一列中只出现一次，不可能有两行是全同，也不可能有两列全同。每行和每列都是元素的重新排列。如：v C 2群
通过乘法表可以清楚看到一个分子全部对称操作符合群的四个条件。另外，可以看出两个第一类操作的乘积和两个第二类操作乘积都是第一类操作。而第一类与第二类操作乘积都是第二类操作。 （2） 分子点群
一个有限分子的所有对称操作的完全集合，即对称操作群称为分子点群。（不只一种对称，是对称元素和）
分子点群有二层含义：
○
1这些对称操作都是点操作，操作时分子中至少有一点不动； ○
2分子中全部对称元素至少通过一个公共点，若不交于一点，分子就不能维持有限性质（如存在二个平行的对称面）。
{}
n
C C C C C
C C n n
h n h h n n n n nh
h n 2,,,;;,,,
1
1
2--I =+σσσσ {}
n n C C
C C C n
v n n n n
nv
v n 2)(,;;
,,,1
2πσσ夹角个I =+-
n n C n C C C D C C n n n n n
n 2)(,;;,,,1
2
121
2⎭⎬⎫⎩
⎨⎧I =+-π夹角个
{}
n
C C n C n C
C C
D D n n
h n h h v n n n n
nh h n 4,,,;;;;,,,1
1212
--I =+σσσσσ 个个
{}
n
S S S S n C n C
C C
D D n n
n n n d n n n
n
nd
d n 4,,,,;;;;,,,1
2252322121
2--I =- σσ个个 (3)分子点群分类：
○
1只有一个对称元素（循环群）： ∞C D S C C C n n s i n ,,,,,2等点群。 ○
2高次轴只有一根（n=1）：
)
(22轴的夹角的对称面轴且平分二个通过C C D D D D D C C C C C C n nd
d n nh
h n n n nv v n nh h n =+=+=⊥+=+=+σσσσ ○3高次轴有二根以上（n>2）:
多个高次轴的对称元素组合必得到与此组合对称性相对应的正多面体，正多面体有五种：（正多边形且相等，顶角、棱边相等）
面数 面的边数 棱数 顶角数 点群符号 名称 4 3 6 4 Td 正四面体 8 3 12 6 Oh 正八面体 6 4 12 8 Oh 立方体 12 5 30 20 Id 正五角十二面体
20 3 30 12 Id 正三角二十面体 常见的群：
Td 群：四面体构型，如4444)(,,,CO Ni SiH CCl CH
主要对称元素是：4个C 3 ，3个C 2 ，3个S 4 ，6个d σ 共有24个独立对称操作，是24阶群。
Oh 群：八面体构型，如--362666])([][CN Fe PtCl UF SF
主要对称元素是：3个C 4 ，4个C 3 ，6个C 2 ，3个h σ，6个d σ，3个S 4 ，4个S 6
共有48个独立对称操作，48阶群。 ○
4线性分子点群（特殊点群） 键轴是无穷次旋转轴和无穷个包含绕轴的反演面为：),(HF CO C v ∞；如有对称中心为：),,,(2222CO N O H D h ∞。对称性最低的分子只有恒等操作，C 1 平庸点群。
（4）分子点群的判别与确定
§4.5 群表示理论初步简介 （1） 点群的矩阵表示
一个分子的全部对称操作构成一个群，而把这些对称操作用对称操作变换矩阵表示时，这些矩阵也构成一个群，因此，称这样矩阵群为相应点群的表示。即用矩阵群来表示对称操作群。
○
1群表示的基，即群元素作用的对象。这些基可以是原子坐标，原子轨道或其它物理量。基不同，同一操作的表示矩阵就不同。 如：水分子 H 2 O ，C 2v 群
C 2v I C 2 xz σ yz σ 基
a Γ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-100010001 原子坐标⎪⎭
⎪
⎬⎫z y x
b Γ 1 1 1 1 z p
c Γ 1 -1 -1 1 y p
d Γ 1 1 -1 -1 z R a Γ：对于坐标x 、y 、z 四个对称操作可在4个3×3变换矩阵表示。
b Γ：对于中心氧z p 轨道，沿Z 方向是圆柱对称，4个操作均不改变轨道的大小和符号。
c Γ：对于y p 作用时，C 2 和xz σ两操作要改变符号。
d Γ：对于z R 转动函数， xz σ和yz σ会改变z R 的旋转方向。 可见，不同的基有不同的表示矩阵。
○
2表示矩阵的约化（可约和不可约表示） 矩阵代数证明，任何一个矩阵A ，都可以找到一个合适的变换矩阵S ，如
果经过S -1AS 操作称相似变换操作，使之成为对角方块矩阵，这个过程称为矩阵约化。
S a a a a a a a a a S AS S nn n n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-- 2
1222211121111 在对角方块矩阵无法再通过相似变换方法约化时，称为不可约化的矩阵，也即不可约表示。反之，矩阵可被相似变换方法约化为对角方块矩阵的矩阵称为可约表示。群的可约表示总是可用不可约表示来描述，一个群可以有许多可约表示，但只有几个不可约表示。一维表示就是一种不可约表示。
在C 2v 群中，x 、y 、z 变换表示矩阵具有相同的分块形式为三个独立的表
示（互不相干）即(x)、(y)、(z)分属于三个不可约表示。因此，C 2v 群有四个不
可约表示。
C 2v E C 2 xz σ yz σ 基
1Γ（A 1） 1 1 1 1 z 、z p 2Γ（A 2） 1 1 -1 -1 z R 3Γ（B 1） 1 -1 1 -1 x 、x p 4Γ（B 2 ） 1 -1 -1 1 y 、y p
（2）特征标的性质和特征标表
矩阵在约化过程中，矩阵元会改变，但对一个方阵来说，矩阵的对角元之和是不会改变的，这种对称操作的矩阵的迹称为特征标，X 标记。
群的特征标与群的不可约表示有密切联系：
○
1群的不可约表示的数目等于群中类的数目，在群G{A 、B 、C …}，当进行BAB -1 =C 相似变换时，A 和C 共轭，这样相互共轭的元素的完备集合称为共轭类。C 2v 群的多个操作，各自成一类，就有4个不可约表示。同类的元素有相同的特
征标。
○
2群的不可约表示的维数的平方和等于群的阶。
C 2v 的四个不可约表示都是一维的，故h=12+12+12+12=4。
○
3群的各不可约表示的特征标之间满足正交、归一条件。 )(R x i 、)(R x j 分别为群元素R 在第 i 个和第 j 个不可约表示中的特征标，h 为点群的阶，则有： ⎩⎨⎧=≠=∑j
i j i R x R x h j i ,1,0)()(1 如C 2v 群，有特征表： C 2v E C 2 xz σ yz σ 基
A 1 1 1 1 1 z 、S 、2x 、
2y 、2z
A 2 1 1 -1 -1 z R xy
B 1 1 -1 1 -1 x 、y R 、xz
B 2 1 -1 -1 1 y 、y R 、
yz {}0)1(1)1(111114
1,2
1=-⨯+-⨯+⨯+⨯A =A =j i {}0)1(111)1(1114
1,1
1=-⨯+⨯+-⨯+⨯=A =B j i {}1)1()1()1()1(11114
1,2
2=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯A =A =j i 区域Ⅰ 横线上方，点群符号；下方，各不可约表示；
区域Ⅱ 横线上方，点群各类，类由符号表示，前后为类元素数目； 区域Ⅲ 各不可约表示的基，一次函数、二次函数之分。
把点群所有不可约表示的特征标与相应的基列成表，称为特征标表。第一列第一栏，点群名称；第二栏，不可约表示符号。
级数：B A ,1→ 对n C 对称1)(=n C x 为A ，反之1)(-=n C x 为B ； T E
→→32
下标：n C C ⊥2或v σ是对称或反对称为1，2；
n C ⊥σ是对称或反对称为“’”，“””；
u g , 是对i 是对称或反对称为u g ,。
如C 2v 群中，A 2 1， 1 ， -1， -1（z R ）
B 2 1， -1， 1 -1（x 、y R ）
例子：
H 2O 分子的分子轨道组成，（用特征标表可以简化分子轨道组成的计算），中心
氧O 原子轨道z p s 2,2属A 1 （全对称）；x p 2属B 1 ；y p 2属B 2 ；H 原子不在C 2 轴上，两个氢原子轨道1Sa 和1Sb 需进行线性组合成对称性匹配原子轨道：
2)(1001=E ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E x b a b a b a
0)(011022=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C x a b b a b a C 2)(1001=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xz xz x b a b a b a σσ 0)(0110=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛yz yz x a b b a b a σσ C 2v E C 2 xz σ yz σ H Γ2 2 0 2 0
112B +A =ΓH
群论的应用：求具有A 1 和B 1 的对称轨道（线性组合）
以C 2v 群的对称操作作用于1Sa （或1Sb ），操作结果分别乘以该不可约表示
的各个操作的特征标，求和即得：
)1(2)1(21)1(111)1(11)(21b a a yz a xz a a S S S S S c S +=-+⨯+⨯-+E ⨯=A ψΛΛΛσσ 归一化：)11(2
1
)(1b a S S +=A ψ )11(21
)(1b a S S B -=ψ
A 1 ：*111
)0(2)0(21)(a a a A n p s z →ψ+ψ+ψH B 1 ：*11
)0(21)(b b x p →ψ+B ψH B 2 ：n p b y
2)0(2非键→ψ )
11(21
22111111111111)(22b a b a a
b b a a
yz a xz a a S S S S S S S S S S S c S -⇒-=+--=⨯+⨯-⨯-E ⨯=B ψΛΛΛσσ A 1 ：*111
020211)(a a a A n p s z →ψ+ψ+ψ=A H B 1 ：n p b x 1)0(21非键→ψ=B
B 2 ：*220222)(b b y p ⇒ψ+B ψ=B H
○
4不可约表示的性质 对一个点群，不可约表示的个数及维数是一定的。
（1） 群的不可约表示的数目等于共轭类数（共轭类通过某种关系联系起来
元素）
（2） 群的不可约表示维数平方和等于群阶
C 2v 群，有4个不可约表示，12+12+12+12=4, 四阶群：'2,,,v v C σσE
C 3v 群，有三类，有3个不可约表示，12+12+22=6,六阶群：
c b a C C σσσ,,,,,233E
（3） 共轭类群元素的特征标相同
（4） 群的不可约表示特征标满足正交归一条件
（5） 群的不可约表示基函数彼此正交
a、属于不同不可约表示的基函数相互正交；属于同一个不可约表示的不同分量
对称性原理 --------化学中的各种对称性化学系11级3班16号贠吉星 摘要：化学科学自身有着丰富的哲学内涵，它于物理学有着密切的联系，物理中存在的对称现象，在化学中也存在。这里，仅从 分子的手性，手性以及晶体结构三个方面的理论问题做一论述。关键词：对称极性手性晶体结构 “对称性”一词在我们的生活中并不陌生。它是人们在观察 和认识自然的过程中产生的一种观念。在物理学中，对称性可以理解为一个运动，这个运动保持一个图案或一个物体的形状在外表上不发生变化。在自然界千变万化的运动演化过程中，运动的多样性显现出了各式各样的对称性。 对称的现象无所不在，不仅存在于物理学科，也存在于化学乃至自然界。 对称性在化学界有着广泛的应用。通过对化学一年多的学习，我浅显的了解到化学中存在的一些对称现象。这些对称现象既深奥，又充满趣味。 分子的极性
在化学这门科学中，从微观的角度讲，分子可分为极性分子和非极性分子。而非极性分子（non-polar molecule）就具有对称性，它是指原子间以共价键结合，分子里电荷分布均匀，正负电荷中心重合的分子（此定义来自百度百科）。 也就是说，在非极性分子中正负电荷中心重合，从整个分子来看，电荷分布是均匀的，对称的。它大概可以分为两种情况：1）当分子中各键全部为非极性键，分子是非极性的（臭氧除外)。例如，H2、O2、N2。2）当一个分子中各个键完全相同，都为极性键，但分子的构型是对称的，则该分子也是非极性的。例如，CO2、CH4、C2H2、BF3等 区分极性分子和非极性分子的方法有以下几种: 1、中心原子化合价法: 组成为ABn型化合物,若中心原子A的化合价等于族的序数,则该化合物为非极性分子.如:CH4,CCl4,SO3,PCl5 2、受力分析法: 若已知键角(或空间结构),可进行受力分析,合力为0者为非极性分子.如:CO2,C2H4,BF3 3、同种原子组成的双原子分子都是非极性分子。 4、简单判断方法 对于AnBm型 n=1 m>1 若A化合价等于主族数则为非极性 分子的手性
分子的对称性 1. 2 分(4002) 判断：既不存在C n轴，又不存在σh时，S n轴必不存在。---------------------------- (X ) 3. 2 分(4004) 判断：分子的对称元素仅7种，即σ，i及轴次为1，2，3，4，6的旋转轴和反轴。---------------------------- ( X ) 4. 2 分(4005) 下面说法正确的是：---------------------------- ( D ) (A) 分子中各类对称元素的完全集合构成分子的对称群 (B) 同一种分子必然同属于一个点群，不同种分子必然属于不同的点群 (C) 分子中有S n轴，则此分子必然同时存在C n轴和σh面 (D) 镜面σd一定也是镜面σv 6. 2 分(4009) 如果图形中有对称元素S6，那么该图形中必然包含：---------------------------- ( C ) (A) C6，σh(B) C3，σh(C) C3，i(D) C6，i 7. 2 分(4010) 判断：因为映轴是旋转轴与垂直于轴的面组合所得到的对称元素，所以S n点群分子中必有对称元素σh和C n。---------------------------- ( X ) 8. 2 分(4019) 下列分子中：(1)对-二氟苯(2)邻-二氟苯(3)间-二氟苯，哪些有相同的点群？-------------------------- ( C ) (A) 1，2 (B) 1，3 (C) 2，3 (D) 1，2，3 (E) 都不同 9. 2 分(4020) Cr 与CO 形成羰基化合物Cr(CO)6，其分子点群为：-------------------------- ( E ) (A) D4h(B) T d(C) D5h(D) D6h(E) O h 10. 2 分(4022) 判断：和空间构型相同，都属于C2 点群。 11. 2 分(4027) B2H6所属点群是：---------------------------- ( 是) (A) C2v(B) D2h(C) C3v(D) D3h(E) D3d 18. 2 分(4042) 下列分子中属于D3群的是：---------------------------- (C ) (A) BF3(B) NH3(C)部分交错式乙烷(D)交错式乙烷 19. 2 分(4045) 下列各组分子中，哪些有极性但无旋光性？----------------------------------- ( E ) (1)I3-(2)O3(3)N3- 分子组：(A) 1，2 (B) 1，3 (C) 2，3 (D) 1，2，3 (E) 2
5．6 分子轨道的对称性和反应机理 分子轨道的对称性对化学反应进行的难易程度及产物的构型和构象有决定的作用。应用分子轨道对称性探讨反应机理，主要有福并谦一提出的前线轨道理论和Woodward和Hoffmann提出的分子轨道对称守恒原理。 5．6．1 有关化学反应的一些原理和概念 化学反应的实质是分子轨道在化学反应过程中进行改组，在改组时涉及分子轨道的对称性。1、加热反应(Δ)，体系受热辐射影响，由于热辐射光子能量小，反应物分子不激发，一般处于基态情况下进行；2、光照反应(hυ)，例如体系受紫外线照射，光子能量大，反应物常受激发而处于激发态。3、催化剂，催化剂的作用为改变反应物的性质，或改变反应的途径。 5．6．2 前线轨道理论 已填电子的能量最高的分子轨道称为最高占据轨道(HOMO)，能量最低的空轨道称为最低空轨道(LUMO)，这些轨道统称前线轨道。前线轨道理论认为反应的条件和方式主要决定于前线轨道的对称性，其内容包括： (1)分子在反应过程中，分子轨道发生相互作用，优先起作用的是前线执道。当反应的两个分子互相接近时，一个分子中的HOMO和另一个分子中的LUMO必须对称性合适，即按轨道正与正叠加、负与负叠加的方式相互接近所形成的过渡状态是活化能较低的状态，称为对称允许的状态。 (2)互相起作用的HOMO和LUMO能级高低必须接近(约6eV以内)。 (3)随着两个分子的HOMO与LUMO发生叠加，电子便从一个分子的HOMO转移到另一个分子的LUMO，电子的转移方向从电负性判断应该合理，电子的转移要和旧键的削霸相一致，不能发生矛盾。 例1、N2+O2=2NO N2：1σg21σu21πu42σg21πg O2：σ2s2σ*2s2σ2pz2(π2px2π2py2)(π*2px1π*2py1)σ*2pz N2：HOMO：2σ2g LUMO：1πg O2：HOMO：(π*2px1π*2py1) LUMO：σ*2pz N2的LUMO：1πg和O2的HOMO：(π*2px1π*2py1)对称性是匹配的，但欲使反应进行，电子需从电负性较高的O向电负性较低的N转移，N2的HOMO：2σ2 g 和O2的LUMO：σ*2pz能量相差很大对称性也不匹配，因此反应是很难进行的。
关于分子的对称性 高剑南 ﹙华东师范大学200062﹚ 1.从《非极性分子和极性分子》一课说起 曾经看过有关《非极性分子和极性分子》的教学设计，也听过《非极性分子和极性分子》的公开课。无论是教学设计，还是公开課，都很精彩。遗憾的是听到教师这样的讲述：CCl4分子为正四面体结构，是对称分子，所以是非极性分子。H2O分子的空间构型为折线形，不对称，所以是极性分子。甚至总结为：“分子的空间构型为直线型、平面正四边型、正四面体等空间对称构型的多原子分子则为非极性分子；分子的空间构型为折线型、三角锥型、四面体等空间不对称构型的多原子分子则为极性分子”。 那么，这样的判断有没有问题？何谓对称？何谓不对称？何谓极性分子？何谓非极性分子？分子的对称性与分子极性有着怎样的内在联系？研究对称性有什么意义？ 2. 对称性 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。——李政道 2.1 对称是自然界的一个普遍性质 对称性是自然界的一个普遍现象。任何动物，无论是低等动物草履虫，还是高等的哺乳动物包括人；任何植物，无论是叶，还是花，都具有某种对称性。人类受此启发，任何建筑，无论是古建筑天坛、罗马式大教堂、泰姬陵，还是现代建筑国家大剧院、鸟巢体育馆；无论是高档别墅，还是普通民居，都具有某种对称性。对称是自然界中普遍存在的一种性质，因而常被认为是最简单、最平凡的现象。然而，对称又具有最深刻的意义。科学家、艺术家、哲学家从各种角度研究和赞美对称，“完美的对称”、“神秘的对称”、“可怕的对称”，表明对称性在人类心灵中引起的震撼。 a. 捕蝇草 b. 台灣萍蓬草 c.对称性雕塑艺术 图1 对称是一个普遍现象 2.2 对称操作与对称元素 对称性用对称元素和对称操作来描述。经过不改变图形中任何两点间距离的操作能够复原的图形称为对称图形。能使对称图形复原的操作称为对称操作。进行对称操作时所依赖的对称要素（点、线、面）称为对称元素。根据对称操作的概念，将一张纸撕成两半，然后再拼接，即使拼得天衣无缝，这“撕”纸的操作不能称为对称操作，这张纸即使修复得“天衣无缝”，也不能说纸在对称意义上“复原”了。因为在撕纸的过程中图形中任意两点间的距离都改变了，不满足对称图形的要求。
第4章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。 绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2 ˆC 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。 答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'v C ∞对称元素系。 CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'h D ∞对称元素系。 H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'2C 对称元素系。 CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ）， 对称中心i ；属于'2h D 对称元素系。 C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、 和对称中心i ，属于'6h D 对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元 素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2 ˆˆ(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2 1 00ˆ()0100 01C z -=- 和 100ˆ()010001h xy σ=- 则 21 00100100ˆˆˆ()()010010010001001 001h C z x y i σ--=-=-=-- 由此得证。
中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 ① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 ②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,这两个图形成中心对称。 分子的对称因素 当物质和它的镜像能重合时，该物质的结构是对称的，没有旋光性。反之，物质和它的镜像不能重合时，该物质的结构是不对称的，有旋光性。 判断一个分子的对称性，要将分子进行某一项对称操作看结果是否与它原来的立体形象完全一致，如果通过某种操作后和原来的立体形象完全重合时，就说明该分子具有某种对称因素。 （1）对称面（plane of symmetry，符号σ）。假如一个平面能把一个分子切成两部分，而一部分正好是另一部分的镜像，这个平面就是该分子的对称面，例如：在2-氯丙烷分子中，C－2原子上连有两个相同的基团（－CH），分子中就有一个对称面如图3-5（а），它把分子切成完全对称的两部分，这两部分正好是实物与镜像的关系。这样的分子就被认为是具有对称面的分子，是一个“对称分子”（symmetric molecules），没有旋光性。 如果分子中所有原子都在同一平面上，例如（E）-1,2-二氯乙烯分子是平面型的，它的sp杂化轨道所处的平面，就是分子的对称面，见图3-5（b），因此也没有旋光性。 （2）对称中心（center of symmetry，符号i）。分子中如有一点P ，通过P 点画任何直线，如果在离P 点等距离的直线两端有相同的原子，那么P 点就是这个分子的对称中心。例如1,3-二氯-2，4-二氯环丁烷，分子中就有一个对称中心，见图3-6，从该分子的任一原 子向P 点画一直线，再延长出去，在等距离处就会遇到相同的原子。化合物如具有对称中心，则它的镜像是能重叠的，该分子就没有旋光性。 3）对称轴（axis of symmetry，符号C）。如果通过分子画一直线，当分子以它为轴旋转一定角度后，可以得到和原来分子相同的形象，这条直线就是分子的对称轴。当分子绕轴旋转360／n（n＝2,3,4.6…）之后，得到的分子与原来的形象完全重叠，这个轴就是该分子的n 重对称轴。例如环丁烷[见图3-7（a）]分子绕轴旋转90°后和原来分子的形象一样，由于36 0／90＝4，这是四重对称轴。苯分子[见图3-7（b）]绕轴旋转60°，即和原来分子形象相同，为六重对称轴（360／60＝6）。 （4）交替对称轴（alternating axis of symmetry，符合S）。分子绕中心轴旋转一定角度后，得到一种立体形象，此形象通过一个与轴垂直的镜面得到的镜像若与原分子的立体形象相同，此轴为交替对称轴，见图3-8。
第四章 分子的对称性 §4.1 对称性操作和对称元素§ <1>分子对称性概念 原子组成分子构成有限的图形，具有对称性。与晶体的对称性不同。晶体的主要对称性是点阵结构，而分子的对称性主要是指分子骨架在空间的对称性以及分子轨道（波函数）的对称性。 ○1分子对称性：指分子的几何图形（原子骨架和原子、分子轨道空间形状）中有相互等同的部分，而这些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比，不发生可辨别的变化，即交换前后图形复原。 ○2对称操作：不改变物体内部任何两点间的距离，使图形完全复原的一次或连续几次的操作。（借助于一定几何实体） ○3对称元素：对图形进行对称操作，所依赖的几何要素，如：点，线，面及其组合。 <2>对称元素及相应的对称操作 ○1恒等元素和恒等操作，（E ） Λ E 所有分子图形都具有。 ○2旋转轴（对称轴）和旋转操作，Λ n n C C ,；对称轴是一条特定的直线。绕该线按一定方向（逆时针方向为正方面）进行一个角度θ旋转，n π θ2= 如：H 2O ： πθ21 ==n 。 分子中可能有 n 个对称轴，其中n 最大的称为主轴，其它称为非主轴，如：BF 3 ，主轴C 3 ，三个C 2垂直于C 3 与分子平面平行。 n C 将产生n 个旋转操作： E =-n n n n n n C C C C ,,,,12 逆时旋转为正操作，k n C ；顺时旋转为逆操作，k n C -。 )(k n n k n C C --= 分子图形完全复原的最少次数称操作周期，旋转操作的周期为 n ；分子中，n C
的轴次不受限制，n 为任意整数。 如： E =→3 32333,,C C C C ○3对称和反映操作。Λ σσ, ：对称面是一个特定的镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称部分，两部分之间互为镜中映像，对称操作是镜面的一个反映。 图形中相等的部分互相交换位置，其反映的周期为2。 E =Λ 2σ。 对称面可分为： v σ面：包含主轴； h σ面：垂直于主轴； d σ面：包含主轴且平分相邻' 2 C 轴的夹角（或两个v σ之间的夹角）。 ○4对称中心（i ）和反演操作。Λ i i ,，分子图形中有一个中心点，对于分子中任何一个原子来说，在中心点另一侧，必能找到一个相同的原子。两个相对应的原子和中心点在一条直线上，且到中心点有相同的距离。对称中心的反演操作，使分子图形中任一点),,(z y x A 将反射到),,('z y x ---A ，同时A ’ 也将反射到A 点。从而产生分子的等价图形。 ○5象转轴和旋转反映操作 Λ n n S S , 分子图形绕轴旋转操作后，再作垂直此轴的镜面反映。产生分子等价图形。这种由旋转与镜面组合成的对称元素称为象转轴。象转轴和旋转、反映的连续操作相对应，并与连续操作次序无关： Λ ΛΛΛΛ==n h h n n C C S σσ。对分子施行n S 轴的k 次操作k n S Λ时，必有： ⎪⎩⎪⎨⎧====ΛΛΛΛΛ23 231313C S K C S C S K C S k n k n h k n h k n 为偶数时为奇数时σσ ⎪⎩ ⎪⎨⎧====ΛΛΛΛE S n E S S n S n n h h n n 2233为偶数时 为奇数时σσ 以及：Λ ΛΛΛΛ Λ===i C S S h h σσ221, 如： 如果一个对称操作的结果与两个或多个其它操作连续作用的结果相同时，常
第四章 分子的对称性 1、HCN 和CS 2都是线性分子。写出该分子的对称元素 解：HCN 分子构型为线性不对称构型，具有的对称元素有：C ∞，n σV ； CS 2分子为线性对称性分子构型，具有对称元素有：C ∞，nC 2, n σV ,σh 2、写出H 3CCl 分子的对称元素 解：H 3CCl 的对称元素有：C 3，3σV 3、写出三重映轴S 3和三重反轴I 3的全部对称操作 解：S 31=C 3σ; S 32=C 32 ; S 33=σ; S 34= C 3 ; S 35 = C 32σ I 31= C 3i ; I 32=C 32 ; I 33= i ; I 34= C 3 ; I 35 = C 32i 4、写出四重映轴S 4和四重反轴I 4的全部对称操作 解：S 41=C 4σ; S 42=C 2 ; S 43=C 43σ; S 44= E I 41= C 4i ; I 42=C 2 ; I 43=C 43 i ; I 44= E 5、写出σxz 和通过原点并与 x 轴重合的C 2轴的对称操作C 21的表示矩阵 解：σ xz 和C 2轴所在位置如图所示(基函数为坐标) σxz (x ，y ，z)’=(x ，-y ，z) σ xz 的变换矩阵为 ??? ? ? ??-100010001 C 21(x ，y ，z)’=(x ，-y ，-z) C 21的变换矩阵为 ??? ? ? ??--10001000 1 6、用对称操作的表示矩阵证明 (1) C 2(z) σ xy = i (2) C 2(x)C 2(y) =C 2(z) (3) σyz σ xz =C 2(z) 解：C 2(x)，C 2(y)，C 2(z)，σ xy ，σyz ，σxz ，i 对称操作的变换矩阵分别为 ????? ??--10001000 1，????? ??--100010001，????? ??--100010001，????? ??-100010001，??? ?? ??-100010001 ????? ??-100010001，??? ? ? ??---10001000 1
04分子的对称性 【4。1】HCN 和2CS 都是直线型分子，写出该分子的对称元素。 解：HCN:(),C υσ∞∞； CS 2 ：()()2,,,,h C C i υσσ∞∞∞ 【4.2】写出3H CCl 分子中的对称元素。 解：()3,3C υσ 【4.3】写出三重映轴3S 和三重反轴3I 的全部对称操作。 解：依据三重映轴S 3所进行的全部对称操作为： 1133h S C σ=，2233S C =, 33h S σ= 4133S C =,52 33h S C σ=， 63S E = 依据三重反轴3I 进行的全部对称操作为: 1133I iC =，22 33I C =，33I i = 4133I C =，5233I iC =，63I E = 【4.4】写出四重映轴4S 和四重反轴4I 的全部对称操作。 解：依据S 4进行的全部对称操作为： 1121334 4442444,,,h h S C S C S C S E σσ==== 依据4I 进行的全部对称操作为： 11213344442444,,,I iC I C I iC I E ==== 【4。5】写出xz σ和通过原点并与χ轴重合的2C 轴的对称操作12C 的表示矩阵. 解: 100010001xz σ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ()1 2100010001x C ⎡⎤ ⎢⎥=-⎢⎥ ⎢⎥-⎣⎦ 【4。6】用对称操作的表示矩阵证明： （a ） ()2xy C z i σ= （b ） ()()()222C x C y C z = (c ） ()2yz xz C z σσ= 解： (a ） ()()11 2 2xy z z x x x C y C y y z z z σ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦, x x i y y z z -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
水分子具有的对称元素 水分子是由两个氢原子和一个氧原子组成的，分子式为H2O。从化 学角度来看，水分子具有许多特点和性质，其中之一是具有对称元素。 对称元素是指分子中具有对称性的原子或离子。在水分子中，氧原 子居于中心位置，两个氢原子分别连接在氧原子两侧，形成一个倾斜 的V形结构。这种V形结构赋予了水分子一定的对称性。 具体而言，水分子的对称元素主要包括镜面对称面和旋转轴。 首先是镜面对称面。镜面对称面是指将分子沿某个平面切割，两侧 呈镜像关系。在水分子中，可以将分子垂直于O-H键的平面作为镜面 对称面。这个平面将水分子对称地分成左右两侧，每一侧的氢原子和 部分氧原子都是另一侧的镜像。镜面对称面存在的结果是使得水分子 的左右两侧具有相同的构型和性质。 其次是旋转轴。旋转轴是指分子围绕某个轴线旋转一定角度后，仍 能和原来的构型相重合。在水分子中，可以通过一个垂直于分子平面 的轴线作为旋转轴。围绕这个轴线旋转水分子90度，可以使得每一个 原子位置不变，即旋转后的水分子和原来的水分子具有相同的结构。 这种旋转轴存在的结果是使水分子的各个方向上都具有相同的性质。 水分子的对称元素除了赋予其美学上的对称之外，还对水的性质和 行为产生一定的影响。首先是对水的物理性质的影响。由于水分子具 有镜面对称面和旋转轴，所以水分子在空间上呈现出一定的有序性，
水分子之间更容易发生氢键的形成，从而导致水的熔点和沸点相对较高，且水的密度在不同温度下具有一定的变化规律。 其次是对水的化学性质的影响。水分子的对称性使得其在反应中具有较高的稳定性。在水的溶解度和反应速率方面，对称元素的存在使得水分子更容易形成水合物（如水合离子），并且在溶液中表现出更快的反应动力学。这些特性使得水成为许多生物和化学过程中重要的溶剂和反应介质。 除了对称元素的存在之外，水分子还有其他的特点和性质。例如，水分子是极性分子，具有较高的电导率和溶解能力；水分子是晶格分子，具有特定的结晶形态和晶体学特征；水分子在液态和气态时有较大的体积变化，使得水在冰冻和沸腾时表现出特殊的性质等等。 综上所述，水分子作为一种普遍存在的化合物，在其分子结构中具有对称元素，包括镜面对称面和旋转轴。这些对称元素不仅赋予水分子美学上的对称性，还对水的物理和化学性质产生重要的影响。通过对水分子的研究和理解，我们可以更好地认识水的特性和行为，进一步探索水在生物和化学领域中的应用和意义。
分子对称性 简介 分子常常因含有若干相同原子或基团而具有某种对称性，如果分子经过某种对称操作后，与未经操作的原有分子无法分辨，则统称为分子对称性。 孤立分子的对称操作仅有四种（不动或还原一般不应是对称操作，但也常包括在内，这样则为五种）：①分子绕一个轴旋转2π/n角，如旋转后能恢复原状，则此轴称为n次对称轴,而这种对称操作称为旋转2π/n角；②分子在一假想平面的镜面中反射，如经过反射后恢复原状，则此假想平面称为分子的对称面，这种对称操作称为反射； ③将分子上各点对称地移到该点与假想点连线上的另一方同距离处，如分子各点经如此操作后恢复原状，则此假想点称为分子的对称中心，这种对称操作称为反演；④分子先在一轴进行2π/n角旋转，然后再在垂直于这个轴的一个平面上反射，如经过这一复合操作使分子恢复原状，则此轴称为n次非正常旋转对称轴,这种操作称为非正常2π/n角旋转。例如，yz面上的水分子的形状如图1所示,它有一个二次旋转对称轴（简称2次轴）,及两个互相垂直的对称面。甲烷是一正四面体形的分子，碳居正中，四个氢原子各占一顶点，这个分子有四个3次轴、三个2次轴、六个对称面和三个非正常4次轴；乙烯则有三个2次轴、一个对称中心和三个对称面;甲烷和乙烯的对称性图见图2。在分子中n的值可以为2,3,4,5,6,7，...，∞等，直线分子有一个∞次轴，通常以n等于2,3,4,6等值为多。n=1即不动，一般不计在内。 具有对称性的分子的许多性质均受其对称性的影响。例如有无偶极矩、光谱的选择定则等均可从其对称性预测。在量子力学计算中常利用分子的对称性而使计算简化分子对称性描述分子的对称性表现并根据分子的对称性对分子作分类。分子对称性在化学中是一项基础概念，因为它可以预测或解释许多分子的化学性质，例如分子振动、分子的偶极矩和它的光谱学数据（以拉波特规则之类的选择定则为基础）。在大学程度的物理化学、量子化学与无机化学教科书中，都有关于对称性的章节。 在各种不同的分子对称性研究架构中，群论是一项主流。这个架构在分子轨域的对称性研究中也很有用，例如应用Hückel分子轨道法、配位场理论和Woodward-Hoffmann规则等。另一个规模较大的架构，是利用晶体系统来描述材料的晶体对称性。 实际测定分子的对称性有许多技术，包括X射线晶体学和各种形式的光谱。光谱学符号是以各种对称条件为基础。 对称性的概念 分子对称性的研究是取自于数学上的群论。 对称元素 分子对称性可分成5种对称元素。
分子的对称性和空间构型 在化学中，分子的对称性和空间构型是两个重要的概念。对称性是指分子在一 些操作下保持不变的性质，而空间构型则是描述分子中原子的相对位置和排列方式。这两个概念在研究分子性质和反应机理中起着至关重要的作用。 首先，让我们来探讨分子的对称性。对称性是指分子在一些操作下保持不变的 性质，比如旋转、反射、转动等。分子的对称性可以通过对称元素来描述，包括轴对称元素和面对称元素。轴对称元素是指分子中存在一个轴，沿着这个轴旋转分子一定角度后，分子与原来的位置完全重合。常见的轴对称元素有Cn轴（n为整数）和S2n轴（n为整数）。面对称元素是指分子中存在一个面，将分子沿着这个面反 射后，分子与原来的位置完全重合。常见的面对称元素有σ面。 对称性对于分子的性质和反应机理的研究非常重要。对称性可以决定分子的光 谱性质、化学反应的速率和选择性等。例如，分子的对称性可以决定分子的振动光谱中是否存在红外活性峰。在化学反应中，对称性可以决定反应的速率和反应产物的选择性。因此，通过对分子的对称性进行研究，可以更好地理解分子的性质和反应机理。 接下来，我们来讨论分子的空间构型。空间构型是描述分子中原子的相对位置 和排列方式的概念。分子的空间构型可以通过分子的立体结构来描述。分子的立体结构可以通过实验技术如X射线衍射、核磁共振等确定。在分子的立体结构中， 原子的相对位置和排列方式对于分子的性质和反应机理有着重要的影响。例如，分子的立体结构可以决定分子的手性性质。手性分子是指与其镜像不可重叠的分子，具有手性的分子在光学活性、药物作用等方面表现出独特的特性。此外，分子的立体结构还可以决定分子之间的相互作用，如分子间的氢键、范德华力等。 分子的对称性和空间构型在化学中的应用非常广泛。在有机化学中，对称性和 空间构型的研究可以帮助我们理解有机分子的合成和反应机理。在无机化学中，对
浅谈共价键的极性和分子的极性判断 共价键的极性是指共价键两端原子的电负性不同，导致分子中带电荷分布不均匀的现象。电负性较大的原子会吸引电子，使其分布偏向这一侧，形成带部分正、部分负的极性分子。常见的含有共价键极性的分子有水、氨和二氧化碳等。 在具体判断分子极性时，需要考虑几个因素： 1. 分子的对称性: 分子若具有完美的对称性，其各个部分的电荷分布也是对称的，这时分子的极性为零。如，四氟化碳分子C(F4)中，氟原子围绕碳原子排列对称，电子分布均匀，因此该分子不带电性质。而水分子中，氧原子周围的电子云呈现三角锥形分布，具有明显的不对称性，故水分子带有明显的极性。 2. 分子中的原子电负性: 分子中不同的原子对电子的亲和力不同，若其中一种原子电负性较大，则会吸引共价键中的电子对自己，引起带电荷的分布不均，形成带极性的分子。如，氢氟酸分子(HF)中，氟原子的电负性远高于氢原子，因而共价键电子对偏向氟原子一侧，形成极性分子，这种极性也被称为极性分子。而二氧化碳分子中，碳和氧原子的电负性相近，电子分布均匀，因此二氧化碳分子不带电荷。 3. 分子中原子的数量: 通常情况下，只有两个原子组成的分子都是带电性质的，而当原子数增多时，带电性质逐渐减小，因为不同原子之间的电子互相影响减弱。如，四氟化碳和氧气分别由两个和两个原子组成，因此带电性较大，分子极性较强；而苯分子由六个碳原子和六个氢原子组成，其电子分布呈环状对称，极性为零。 总之，共价键的极性和分子的极性判断需要考虑诸多因素，包括分子的对称性、原子电负性和分子中原子的数量等。正确判断分子极性有助于理解分子的结构与性质，也对实际应用有着很大的指导意义。
化学中的分子对称性和分子手性化学是一门研究物质变化和构成的科学。在研究物质的时候， 人们关注物质的各个层面，从宏观到微观，从物理性质到化学性质。其中，分子结构是理解物质性质的关键。 分子是由原子组成的，分子的性质受到原子数目、类型和结合 方式的影响。分子的对称性和手性是分子结构研究中的两个关键 概念。接下来，我们一起来了解分子对称性和分子手性的相关内 容吧。 一、分子对称性 对称性是物理学和数学中的一个基本概念，指物体在某种操作下，保持不变或沿着某个方向镜像对称。在分子结构中，分子的 对称性表现为分子各个部分在某些几何变换下保持不变。如旋转、反演、镜面反射等。 分子对称性可以分为平面对称和空间对称。平面对称是指分子 中的某个平面将分子分为两个完全对称的部分。例如在水分子中，氢原子相对于氧原子距离相等，形成了一个平面对称。在NH3
（氨）中，氢原子的三条化学键排列在一个平面上，这也是一个平面对称。 空间对称是指分子围绕空间中的轴或平面进行旋转或反演后，与原始结构重合。如果转动360度之后重合，称为完全对称。一个分子的对称性影响了分子的物理化学性质，也影响了分子的稳定性。 二、分子手性 在分子结构中，当一个分子与其镜像分子之间不能重叠时，这个分子就是手性分子。手性分子有左右两种形态，称为立体异构体。因为它们的分子结构相似，但是它们的化学特性却不同。 手性分子存在于自然界中的生命物质、毒物、药物以及合成材料中。例如，我们生活中常见的左旋糖和右旋糖就是一种手性分子，两种结构相同，但化学性质不同。左旋糖不被人体代谢，而右旋糖能够被人体利用。
分子的手性是由分子中心对称性元素和键的排列方式决定的。 对角线和点对称元素都是分子手性的明显表现。手性分子可以分 为两种类型：左旋和右旋的手性分子。 三、分子对称性和手性的应用 分子对称性和手性的研究是化学和生物化学不可或缺的一部分，因为它们关乎着各种物质的性质。根据分子对称性和手性的不同 表现，可以研究物质的反应规律以及物质的作用机理。 例如，在药物研究中，药物的手性会影响其对人体的影响。反 义药物通常是左旋和右旋异构体，用于治疗疾病，但是，它们对 身体产生的效果却有所不同。在农业和化妆品上，手性也是一个 重要的考虑因素，尤其是当分子在生物体内活动时。因此，分子 对称性和手性的研究在医药和生物领域中具有广泛的应用前景。 总之，分子对称性和手性是分子结构研究不可或缺的一部分， 也是生命科学和材料科学中必须考虑的因素。在研究物质的机理 和性质中，了解分子结构的对称性和手性是理解物质世界的重要 一步。
化学 c2对称 C2对称是指分子具有一个C2轴旋转对称性，在该轴上旋转180度后，分子与原分子完全重合。C2对称的分子通常具有两个对称元素，即C2轴 和平面反演中心，平面反演中心位于C2轴的中点上。 C2对称是一种重要的分子对称性，它可以对分子的物理化学性质产 生影响。下面我们将从分子对称性、分子的物理化学性质和实际应用等方 面探讨C2对称的相关内容。 一、分子对称性 具有C2对称的分子通常具有两个相同的官能团或基团。例如，乙烯 分子（H2C=CH2）具有C2对称，它可以在C2轴旋转180度后与原分子重合。在乙烯分子中，可以看到两个碳原子和两个氢原子的排列方式是完全 相同的。 另外，分子的对称性还可以影响分子内部的化学键角度、键长、键能 等物理化学性质，从而对分子的反应性、稳定性、热力学性质等产生影响。 二、分子的物理化学性质 具有C2对称的分子通常具有以下特点： 1.相同官能团或基团排列对称，可以减小分子的极性，降低分子的极 性化相互作用能。 2.分子的对称结构使得分子的旋转熵比非对称分子低，熵减使得具有 C2对称的分子在相变时过渡态比非对称分子更加稳定。
3.对于非对称分子，它们的化学键如果沿着分子的C2轴对称分布，则它们的分子的轴向平均动能比非对称分子低，从而影响了分子的振动和热力学性质。 三、实际应用 1.催化剂的设计：具有C2对称性的分子反应速率与非对称分子相比具有更高的选择性。因此，在催化剂的设计中，根据需要调整与反应物相互作用的原子官能团的空间取向，以扩大其催化特性的范围。 2.材料工程：在材料工程中，利用C2对称性设计制造多孔材料可以提高其特定的功能。例如用C2对称的二线性配体自组装的多孔材料，可以用来催化有机反应和气体存储。 3.生物医学实验：由于大多数生物分子具有较高的对称性，因此在研究生物学的某些问题时，利用具有C2对称性的分子来模拟生物分子是一种常见的技术手段。这种方法可以用于研究生物分子的结构、运动和相互作用。 总结：C2对称性是一个重要的分子对称性，它不仅可以对分子的物理化学性质产生影响，还可以在化学催化剂、材料工程、生物医学实验等领域中得到应用。对于化学家和材料科学家来说，掌握C2对称性是非常必要的。