转化与化归思想方法的运用
在高中数学的学习中，我们常常会遇到这样一类问题，直接解决较为困难，但若把问题加以转化，就能使问题的解答过程变得较为简单。这类问题的解决方法就是转化与化归的思想方法。
转化与化归不只是一种重要的解题方法，更是一种基本的思维策略。数学中的转化与化归思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。转化与化归的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在转化思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们转化的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，通过不断的转化，把复杂、不规范、不熟悉的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。实现这种转化的方法是多种多样的，例如我们熟悉的配方法，待定系数法，整体代入法等等。 而就不同的功能，转化与化归方法的运用于又可以分为几种不同的类型
一．由特殊到一般
一般成立则特殊也成立，由特殊可以得到一般的普遍规律，这是一种基本的化归思想的体现，在平时解题过程中经常运用，普遍涉及。一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。
例1：若),sin ,(cos 11θθ=OA )sin ,(cos 22θθ=OB ，满足0=⋅OB OA ，OAB ∆的面积OAB S ∆等于多少？
解：可取21,θθ的某些特殊值代人求解。由条件0=⋅OB OA 可得0)cos(21=-θθ。利用特殊值，如设0,221==θπ
θ代 入，则)0,1(),2,0(B A ，故面积为1。
例2：已知函数)10()(≠>+=a a a a a x f x x
且,求)10099()1002()1001(f f f +++ 的值.
解：直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系
.:=-+)1()(x f x f a a a x x +a a a x x
++--11=a a a x x +a a a a
x ++ =a a a x x +x a a a ++=1=++a a a a x x
于是)100
99()1002()1001(f f f +++ =)10050()10051()100
49()10098()1002()10099()1001(f f f f f f f +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+
=2
992`1491=+⨯ 二．由数到形的转化
在许多数学问题中，许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。虽然在做大题目时要求我们给出具体的运算过程，不能直接由图给出答案，但是数与形转化思想的培养对于我们思维能力的提升有重要意义，而且在做选择题，填空题时，也可以帮助我们快捷准确地得出答案。
例3：在直角坐标系平面内，与点3 \* MERGEFORMAT )2,1(A 距离为2，且与点3 \* MERGEFORMAT )6,4(B 距离为3的直的线共有几条？
解：与点3 \* MERGEFORMAT A 距离为2的点的集合为圆3 \* MERGEFORMAT
()4)2(122=-+-y x ，与点3 \* MERGEFORMAT B 距离为3的点的集合为圆3
\* MERGEFORMAT 9)6()4(22=-+-y x ，则题目所求转化为求二圆的公切线。由
于二圆相切，由图可得共有3条。
例4：3 \* MERGEFORMAT 3 \* MERGEFORMAT []t 表示不超过 3 \*
MERGEFORMAT t 的最大整数，求方程 3 \* MERGEFORMAT
3 \*
MERGEFORMAT 02][lg lg 2
=--t t 的实根个数。 解:本题直接求解较为困难，但是将方程转化为 3 \* MERGEFORMAT
[]2lg lg 2+=t t ，设3 \* MERGEFORMAT t x =画出图象，如右图，直接
得到共有3 \* MERGEFORMAT C B A ,,三个交点。
例5：如图，3 \* MERGEFORMAT AB 是平面3 \* MERGEFORMAT
α的斜线段，3 \*
MERGEFORMAT A 为斜足，若点3 \* MERGEFORMAT P 在平面3 \* MERGEFORMAT α内运动，使得3 \* MERGEFORMAT
ABP ∆的面积为定值，则动点3 \* MERGEFORMAT P 的轨迹是什么？
解：可以看作有一个圆柱体，以3 \* MERGEFORMAT AB 为轴，而点3 \* MERGEFORMAT P 就在该圆柱的侧面上，而圆柱的侧面与平面的交线即为轨迹。所以根据
图，可以得到该轨迹为椭圆。
例6;已知向量 3 \* MERGEFORMAT
)sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(a a AC OC OB ===求向量
3 \* MERGEFORMAT OB OA ,的夹角范围。 解：画出图象，如右图，点在圆3 \* MERGEFORMAT C 上移动，夹角
最大时3 \* MERGEFORMAT OA 与圆相切，最小时3 \* MERGEFORMAT AC
OA ,在同一直线上时，根据各角度条件，得出范围为3 \* MERGEFORMAT ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡125,12ππ 三．由常量到变量
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。在处理这类问题时应该注意将所求向已知转化，由常量到变量转化，易于得出答案。
例7：设3 \* MERGEFORMAT AD 是半径为5的半圆3 \* MERGEFORMAT O 的直径（如图），3 \* MERGEFORMAT C B ,是半圆上的两点，已知 3 \* MERGEFORMAT 10==BC AB ，求3 \* MERGEFORMAT DB DC ⋅的值。
解： 3 \* MERGEFORMAT
72
2520207))((2=+++=+⋅+⋅+⋅=--=⋅OA OC OB OB OA OA OC OD OB OD OC DB DC 例8：已知曲线系k C 的方程为1492
2=-+-k
y k x ,试证明:坐标平面内任一点()0,)(,≠b a b a ,在k C 中总存在一椭圆和一双曲线过该点.
解：若从曲线的角度去考虑,即以x,y 为主元,思维受阻.若从k 来考虑,不难看出,当k C 944时，或<< 2=-+-k y k x 整理得 0)9436()13(22222=--+-++b a k b a k ① .05)9(,05)4(), 9436()13()(2222222>=<-=∴--+-++=a f b f b a k b a k k f 令 可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在)4,(-∞和(4,9)内分别有一根,即对平面内任一点(a,b),在曲线系k C 中总存在一椭圆和一双曲线通过该点。 例9：对于任意 3 \* MERGEFORMAT [],1,1-∈a 函数 3 \* MERGEFORMAT a x a x x g 24)4()(2-+-+=的值大于零，求3 \* MERGEFORMAT x 的取值范围。 解：3 \* MERGEFORMAT )44()2()()(2 +-+-==x x a x a g x f ，只要 3 \* MERGEFORMAT 0442)1(2>+-+-=-x x x g 3 \* MERGEFORMAT 0442)1(2>+-+-=x x x g ，解得3 \* MERGEFORMAT x 的取值范围为3 \* MERGEFORMAT ()()+∞⋃∞-,31,。 四．由陌生到熟悉 数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化。把看似陌生而复杂的题型转化为我们熟悉的模式，运用我们熟练运用的方法解答实际问题。 例10：求证：3 \* MERGEFORMAT 10,10<<< 证明：可视4 (),x y 为在以4 ()()()()0,0,0,1,1,0,1,1为四顶点的正方形中到四顶点的距离之和，由两点之间线段最短得:当其位于正方形中心时所求的式子构成正方形的两条对角线长之和，长为4 22，∴原式4 22≥ 得证 例11：对任意函数D x x f ∈),(可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ① 输入数据D x ∈0，经数列发生器输出)(01x f x =； ② 若D x ∉1，则数列发生器结束工作；若D x ∈1则将1x 反馈回输入端，再输出)(12x f x =，并依此规律继续下去，现定义1 24)(+-=x x x f 。 ⑴若输入65 490=x ，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出{}n x 的所有项； ⑵若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据0x 的值； ⑶若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x ，满足对任意正整数n 均有1+ 求0x 的取值范围。 解：解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言。 （1） )(x f 的定义域),1()1,(+∞---∞= D ， ∴数列{}n x 只有三项，19 111=x ，512=x ，13-=x Y N 结束打印f D x i ∈ （2） x x x x f =+-=12 4)(，即0232=+-x x ， ∴n n n n x x x x x x x =+-====+1 2 4 21,2110时，或即或 故当当时，,110==n x x 20=x 时，)(2+∈=N n x n （3）解不等式12 4+- 21x x <，则11- 211< 412 4)(+-=+-=x x x x f ，若11- 若211< 依此类推可得数列{}n x 的所有项均满足)(1++∈>N n x x n n 综上所述，)2,1(1∈x 由)(01x f x =，得)2,1(0∈x 例12：为了考察冰川的融化状况，已知科考队在某冰川上相距8km 的 3 \* MERGEFORMAT B A ,两点的直线为3 \* MERGEFORMAT x 轴，线段3 \* MERGEFORMAT AB 的垂直平分线为3 \* MERGEFORMAT y 轴，建立平面直角坐标系，在直线3 \* MERGEFORMAT 2=x 的右侧，考察范围为到点3 \* MERGEFORMAT B 的距离不超过3 \* MERGEFORMAT 55 6km 区域；在直线3 \* MERGEFORMAT 2=x 的左侧，考察范围为到3 \* MERGEFORMAT B A ,两点距离之和不超过3 \* MERGEFORMAT 54km 区域。 （1）求考察区域边界的方程。 （2）如图所示，设线段 3 \* MERGEFORMAT 3221,P P P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 解：（1)由题设条件联想到圆和椭圆的定义，故考察区域边界曲线的方程（如图）为 3 \* MERGEFORMAT ) 2(1420:)2(536)4(:2 22221<=+≥=+-x y x C x y x C 和 (2)设过点 3 \* MERGEFORMAT 21,P P 的直线为 3 \* MERGEFORMAT ,1l 过点 3 \* MERGEFORMAT 21,P P 的直线为3 \* MERGEFORMAT ,2l 则直线3 \* MERGEFORMAT 21,l l 的方程分别为 3 \* MERGEFORMAT 6,133=+=y x y ，设直线3 \* MERGEFORMAT l 平行于直线3 \* MERGEFORMAT ,1l 其方程为3 \* MERGEFORMAT m x y +=3代入椭圆方程 3 \* MERGEFORMAT 14 202 2=+y x ，消去 3 \* MERGEFORMAT y 得 3 \* MERGEFORMAT 0)4(53101622=-++m mx x 。 由 3 \* MERGEFORMAT () 0451********=-⨯⨯-⨯=∆m m 解得 3 \* MERGEFORMAT 8=m 或3 \* MERGEFORMAT 8-=m 从图中可以看出，当 3 \* MERGEFORMAT 8=m 时，直线3 \* MERGEFORMAT l 与 3 \* MERGEFORMAT 2C 的公共点到直线 3 \* MERGEFORMAT 1l 的距离最近，此时直线 3 \* MERGEFORMAT l 的方程为3 \* MERGEFORMAT 83+=x y ，3 \* MERGEFORMAT l 与3 \* MERGEFORMAT 1l 之间的距离3 \* MERGEFORMAT 3318 14=+-=d ， 又直线3 \* MERGEFORMAT 2l 到3 \* MERGEFORMAT 1C 和3 \* MERGEFORMAT 2C 的最短距离 3 \* MERGEFORMAT 35 5661>-=d ，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3， 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为 3 \* MERGEFORMAT n 年，则由题设及等比数列求和公式， 得3 \* MERGEFORMAT 31 2)12(2.0≥--n 解得3 \* MERGEFORMAT 4≥n ， 故冰川边界线移动到考察区域的最短时间为4年3 \* MERGEFORMAT . 五．等价代换 在许多题目中在同等条件下或是相似条件下，可以由已知的或是已经得出的直接得到相同或是相似的结论，可以为我们节省比较多的时间。其实转化与化归的方法分为等价转化与非等价转化，前者要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根）我们讨论的是等价转化的方法，而等价代换就是等价转化中的等价转化，考察我们是否具备足够的类比和转化能力。有的时候题目中等价代换的解法有一定的思维挑战性，需要我们突破常规解法的局限性，将解题能力和技巧提升到一个新的高度。 例13：已知直线 3 \* MERGEFORMAT 1:111=+y B x A l 和 3 \* MERGEFORMAT 1:222=+y B x A l 相交于点 3 \* MERGEFORMAT )3,2(P ，求过点 3 \* MERGEFORMAT ),(111B A P 与3 \* MERGEFORMAT ),(222B A P 的直线方程。 解：两直线都过点 3 \* MERGEFORMAT P ，则满足 3 \* MERGEFORMAT 132,1322211=+=+B A B A ，可以看成点3 \* MERGEFORMAT ()()2211,,,B A B A 都在直线3 \* MERGEFORMAT 132=+y x 上，故所求直线方程为3 \* MERGEFORMAT 132=+y x 。 例14：若 3 \* MERGEFORMAT )2(+x f 为奇函数，且满足 3 \* MERGEFORMAT )()6(x f x f =-，3 \* MERGEFORMAT 2)3(=f ，求3 \* MERGEFORMAT )2008 (f 3 \* MERGEFORMAT )2009 (f +的值。 解:本题中的等价代换是常规解法，为我们提供了一种解这种函数问题的一般方法。 由于 3 \* MERGEFORMAT )2(+x f 是奇函数，得 3 \* MERGEFORMAT )2()2(+-=+-x f x f 3 \* MERGEFORMAT ) 4()() 6()()2() ()2())2(4()2() ()2())4(6()4() 4()22()()2)2((+=-==-∴-=--=+--=+-=+=--=---=+--==+--∴x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 故其为周期为4的周期函数。 高中数学中转化与化归思想方法 江苏省宿豫中学 陆新江 转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 一、转化与化归的主要方式： 1、等价转化， 2、空间图形问题转化为平面图形问题， 3、局部与整体的相互转化， 4、特殊与一般的转化， 5、非等价转化， 6、换元、代换等转化方法的运用， 7、正与反的转化, 8、数与形的转化， 9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等. 我们可以通过以下例题来观察： 例1.已知ABC ?中,若2C A = ,求证：2 b c a -< 分析：已知条件是角的关系，而结论是边的关系，所以应设法将角的关系转化成边的关系，所以使用正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 进行等价转化。 解：由2C A =即2C A =, 故()3B A C A ππ=-+=- 所以sin sin(3)sin3B A A π=-= 故1sin sin sin 2C A B --=1sin 2sin sin 32 A A A -- =21sin (2cos 1)2 A A --<0 即1sin sin sin 2 C A B -< 由正弦定理得：2 b c a -< 本题是等价转化问题，转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过 转化与划归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与划归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的相互转化、实际问题向数学问题的转化等。各种变换、具体解题方法都是转化的手段。 常见的策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等 一、转化与划归思想在三角函数中的应用 例1：已知R a ∈，求函数()()x a x a y cos sin --=的最小值。 例2：已知ABC ?中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，ABC ?的外接圆半径为2，且()()B b a C A sin sin sin 2222-=-? （1）求角C ; （2）求ABC ?的面积的最大值。 二、转化与划归思想在数列中的应用 例3：已知数列{}n a 的首项*11,123,53N n a a a a n n n ∈+== + （1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：对任意的();,321111,0*2N n x x x a x n n ∈?? ? ??-+-+≥> （3）证明：1 2 21+>+???++n n a a a n 三、转化与划归思想在函数与导数中的应用 例4：已知函数()R x xe x f x ∈=-)( （1）求函数)(x f 的单调区间和极值； （2）已知函数)(x g y =的图像与函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，证明：当1>x 时，)()(x g x f >； （3）如果21x x ≠，且()()21x f x f =，证明：221>+x x 备选： 1、函数()π20sin 2cos 231sin )(≤≤---=x x x x x f 的值域是__________ 2、设函数,2)(2x x x f -=若0)()()1()1(≤+≤+++y f x f y f x f ，则点()y x P ,所形成的 第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式． 方法一 特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案． 例1 (1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直 的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12 ，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9 B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5 D ．x 2＋y 2＝4 思路分析 求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线的交点，即为蒙日圆上一点 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，所以1a ＋1＝12 ，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23 ＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2， 所以两条切线的交点坐标为(2，3)， 又过A ，B 的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋(3)2＝7， 2019高考数学转化与化归思想典型运用 所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。 转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决，其思维过程的形式如下图： 转化具有多向性、层次性和重复性的特点。为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性。 转化思想方法包含三个基本要素： 1、把什么东西转化，即转化的对象； 2、转化到何处去，即转化的目标； 3、如何进行转化，即转化的方法。 转化思想方法应遵循以下五条原则： 1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。 2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。 4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。 转化思想的典例剖析 1. 数与形的转化 例1.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 分析: 动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点, 横坐标相同，那么 MN 就是纵坐标之差，即sin cos MN x x =-求最值。 论、 转化与化归思想在初中数学中的应用 摘要：数学思想是指在现实生活中对各类数学理论形成的本质认知，体现了 数学学科中的总结性、广泛性和奠基性特点。研究数学中体现的思想和方法，有 助于提高课堂教学的效率，发展和改善学生的认知结构。数学思想和方法包括转 化与化归、数形结合、分类与讨论、函数与方程。数学问题的研究与求解过程， 是一种从未知到已知的变化过程，即通过联想和类比来分析数学问题，选择合适 的方式进行演化，最终确定比较合理且容易的解决方法。将转化与化归思想应用 到初中数学教学活动中，有利于学生掌握数学知识以及解题技巧。基于此，本篇 文章对转化与化归思想在初中数学中的应用进行研究，以供参考。 关键词：转化与化归思想；初中数学；应用分析 引言 数学基本思想对数学原理概念以及法则等都有着深刻的揭示，数学学习者必 须要具备一定的数学思想意识，才能在解题的过程中运用正确的、科学合理的解 答相关问题．因此，初中数学教师必须有意识地引导学生提高数学思想意识，并 积极寻求培养方法的有效途径，将转化与化归思想运用到实际解题教学中，促使 初中生提高数学综合能力。 一、转化思想的内涵 转化思想是一种基本的解题思想，也是一种效率很高的思维方式。在分析、 探究、解决相关数学问题时，解题者使用科学的方法转化问题从而提高解题效率，这就是转化思想的内涵。转化思想包括将复杂问题转化为简单问题，将未知难题 转化为熟悉的简单问题，将抽象数学问题转化为直观的数学问题，将求不等问题 转化为求等价关系问题，等等。归根结底，转化思想是一种解题者从运动变化发 展的角度，对问题之间的关联进行探究，从而实现对问题的变换、转化的数学思想。 转化与化归思想在数学解题中的应用 转化与化归思想，是将一个问题由难化易，由繁化简的过程。是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。转化与化归思想作为重要的数学思想之一，是中学数学中最重要的解题意识，在数学教学活动中充分注意这种意识的培养，可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 在初中数学学习过程中化归思想存在解决问题的各个方面，是在数学学习过程中快速解决问题的有效途径。 一、数与形的转化 数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化。化归思想在初中数学学习中的应用就是教会学生能够以动态的视角去学习相关的知识，能够发现知识之间的相关性，从而使得在初中数学中学习的知识都能够很好的融入到学生的知识体系中。例如讲三角形、特殊四边形等形的问题时可以转化为数量关系来处理，就数论形；如图1两个正方形并列摆放，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问题：只允许剪两刀，使裁剪后的图形能拼成一个大正方形。这个问题很多学生看到后都进行了动手操作，这里画一条线，那里剪一下，试了很多次也不能找到正确答案。实际上，我们只需把形转化为数，利用数的角度很容易就能理解明白，且迅速解决。解决办法如图2. 转化与化归思想在高中数学教学中的应用 摘要：转化与化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能、化归的实质、化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内 容出发，着重归纳了用化归思想方法、原则及解题的技巧，力求比较全面地体现 化归思想在中学数学解题中的作用和地位。 关键词：转化与化归；思想；原则；途径；方法 在中学数学中，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问 题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换 转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问 题通过变换转化为已解决的问题。 转化与化归思想是高中数学的重要思想，通过转化，使所要解决的问题由难 变易或变为已经解决的问题，或者把某一数学分支中的问题变为另一数学分支中 的问题，以有利于解决的一种数学思想。 化归思想常常以变换题目的结构形式、变更问题、从反面探究结论等方式出现，转化与化归应遵循以下基本原则：熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的 问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；简单化原则：将复杂的 问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题目的；和谐化 原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的 形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思 维规律；直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；正难则 反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反机去 探求，使问题获解。 常用的化归思想如：数与形相互转化思想、函数与方程思想、正难则反思想、一般与特殊的转化、等与不等的转化等。下面，笔者就以上转化与化归思想加以 举例说明： 一、数与形相互转化思想 数与形相互转化思想，也称数形结合思想，是利用几何中的有关性质来解决 代数有关问题，也可以借数量关系来研究几何性质。如题： 二、函数与方程思想 函数与方程思想，函数是方程与不等式的中介，它们既有区别又有联系，函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程式、不等式的问题需要函数的帮助，解答此类问题有时需要构造函数，通过探究函数的单调性和最值来解决问题。如题： 三、正与反的想互转化 正与反的想互转化，既正难则反思想，当问题在正面入手难度较大时，不妨 考虑它的反面，然后通过求补集的方法解决原问题。这种“正难则反”的思想是一 种重要的解题策略，灵活运用该思想，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得 巧解，例如： 以平行六面体ABCD-ABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为？高中数学中转化与化归思想方法
转化与划归思想
转化与化归思想
2019高考数学转化与化归思想典型运用
转化与化归思想在初中数学中的应用
转化与化归思想在数学解题中的应用
转化与化归思想在高中数学教学中的应用
高中数学转化、与化归思想方法