Z变换的定义.

第四章 Z 变换

1 Z 变换的定义 (1) 序列)(n x 的ZT ：

[]∑∞

=-=

=0

)()()(n n

z n x n x Z z X

(2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s

e z =是复变量。

(3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。简记为)()(z X n x ZT

?

或)()(z X n x ?

(4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。n z -代表了时延，1-z 是单位时延。 (5) 单边ZT ：

[]∑∞

=-?

=

=0

)()()(n n

z n x z X n x Z (6) 双边ZT ：[]∑∞-∞

=-?

=

=n n

B B z n x z X n x Z )()()(

2 ZT 收敛域ROC

定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。 ∑

∞

-∞

=-n n

z n x )(收敛的充要条件是它∞

<∑

∞

-∞

=-n n z n x )(

(3) 有限长序列的ROC

序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。 收敛域至少是∞<

序列的左右端点只会影响其在0和∞处的收敛情况： 当0,021>≥n n 时，收敛域为∞≤

序列)(n x 在1n n <时0)(=n x 。 如果01=n ，则序列为因果序列。 ROC 的情况：

当01≥n 时，ROC 为∞≤

序列)(n x 在2n n >时0)(=n x 。 如果12-=n ，则序列为反因果序列。 ROC 的情况：

当02>n 时，ROC 为20x R z <<；

当02≤n 时，ROC 为20x R z <≤。 双边序列的ROC

序列在整个区间都有定义。

双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是

∑∑∑--∞

=-∞

=-∞

-∞

=-+

=

=

1

)()()()(n n

n n

n n

z n x z

n x z

n x z X

n

n x n x R )

(lim

1∞

→?

=

n

n x n x R )

(lim

1

2-=

∞

→?

如果1x R 2x R 存在且12x x R R >，则双边序列的ROC 为21x x R z R <<，否则，ROC 为空集，即双边序列不存在ZT 。 注意：

求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；

实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT 与双边ZT 是一致的，收敛域也相同，都是z 平面上的某个圆外面的区域。 关于极点与ROC 关系的一些结论：

一般地讲，序列的ZT 在其ROC 内是解析的，因此ROC 内不应包含任何极点，且ROC 是连通的。

序列ZT 的ROC 是以极点为边界的。

右边序列ZT 的ROC ，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域(不包括圆周)。 左边序列ZT 的ROC ，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域(不包括圆周)。 双边序列ZT 的ROC ，是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括两个圆周)。 3 常用序列及其ZT 单位冲激序列δ(n )

定义：

??

?≠==δ)0(,0)

0(,1)(n n n

ZT ：

[]1

)0()()(=δ=δ=

δ∑∞

-∞

=-n n z n n Z

ROC ：∞≤≤z 0

注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。 单位阶跃序列u (n )

定义：

??

?<≥=)0(,0)

0(,1)(n n n u

ZT ：

[])

1(1

11)()(1

1

1>-=

-=

==

-<∞

=-∞

-∞

=--∑∑z z z z

z z n u n u Z z n n

n n

序列的单边ZT 用双边ZT 表示为：[][])()()(n u n x Z n x Z B = 序列是因果序列的充要条件是：)()()(n u n x n x =

序列是反因果序列的充要条件是：)1()()(--=n u n x n x 矩形脉冲序列G N (n )

定义：

??

?≥<<≤=N n n N

n n G N ,0,00,1)( ZT ：[]1

1

011)(---=---=

=

∑z z z

n G Z N

N n n

N (∞≤

注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样，它们之间还存在一个时移关系。 单位斜变序列nu (n ) [])

1(,)

1()(2

>-=

z z z n x Z

[]

()

1)1()1()(3

2>-+=

z z z z n u n Z []

()

1)1()14()(4

2

3>-++=

z z z z z n u n Z

单边指数序列a n u (n )

[

]()

a z a

z z

z a n u a Z az n n

n n >-==

<∞

=--∑,

)(1

1

[]()

a z a z az

n u na Z n

>-=,)()(2

[]()

a z a z a z az n u a n Z n

>-+=,)()

()(3

2

4 ZT 的性质

(1) 线性性：[][]∑∑∑=====K

k k k K

k k k K

k k k z X a n x Z a n x a Z 1

1

1)

()()( (2

111min max k K

k k K

k R z R ≤≤≤≤<<)

(2) 时域平移性： (i) 双边ZT ：

(a) 左移：[])()(z X z m n x Z m

B =+ (21R z R <<)

(b) 右移：

[])()(z X z m n x Z m

B -=-(21R z R <<) (c) 序列时移最多只会使ZT 在∞==z z 或0处的零、极点情况发生变化。

(ii) 单边ZT ：

左移：

[]??

??

????-=+∑

-=-10)()()()(m k k m

z k x z X z n u m n x Z 右移：

[]????

????+

=-∑

--=--1)()()()(m k k m

z k x z X z

n u m n x Z (21R z R <<)

对因果序列：[])()()(z X z

n u m n x Z m

-=-

(3) 时域扩展性：

定义：

)

0(,0,)()(Z a Z a

n Z a n a

n x n x a ∈≠????

????∈??

? ??=?，a 是扩展因子。

a >1 时，相当于在原序列每两点之间插入(a -1)个零。

a <-1时，相当于原序列先反褶，然后每两点之间插入(-a -1)个零。

[]

()a

a z X n x Z =)()(

ROC ：

21R z R a

<<或 ?????<<<><<0,0,/11/12/12/11a R z R a R z R a a

a a

如序列是偶对称的，则

[][]?

??

??=-==z X n x Z n x Z z X 1)()()( 如序列是奇对称的，则

?

??

??-=z X z X 1)( 如果一个偶对称或奇对称序列的ZT 含有一个非零的零点(或极点)0z ，那么它必含有另外一

个与互为倒数的零点(或极点)01

z 。

(4) 时域共轭性：

(i) []()

*

**)(z X n x Z =

(21R z R <<)

(ii) 如果序列是实序列，则[][]()

*

**)()()(z X n x Z n x Z z X ===

(iii) 如果实序列的ZT 含有一个零点(或极点)0z ，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点(或极点)*

0z 。

(5) z 域尺度变换(或序列指数加权)性：

[]???? ??<

? ??=2

1,

)(x x n R a z R a z X n x a Z

[]2

1),()(x x n R

az R az X n x a Z <<=-

[]2

1),()()1(x x n

R

z R z X n x Z <<-=-

[]()()2

1,)(0

0x x j jn R z R z e X n x e Z <<=ω-ω 用复指数序列0ω

jn e 去调制一个序列时，可以调制其相位特性。 (6) z 域微分(或序列线性加权)性： (i) [][]

)()(n x Z dz d z

n nx Z -= (21R z R <<)

(ii) ROC 唯一可能的变化是加上或去掉0或∞。

(iii) []

[]

)()(n x Z dz d z n x n Z m

m

??????

-= (21R z R <<)

初值定理：)(n x 是因果序列，[]∑∞

=-=

=0

)()()(n n

z n x n x Z z X ，则

)

(lim )0(z X x z ∞

→=。

终值定理：)(n x 是因果序列，

[]∑∞

=-=

=0

)()()(n n

z n x n x Z z X ，则

[]

)()1(lim )(lim 1

z X z n x z n -=→∞

→

只有在)

(lim n x n →∞存在时才能用, 此时)(z X 的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上则只能

位于1=z ，且是一阶极点)。 逆Z 变换的求解

部分分式展开法：基本思路：把)(z X 展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变

换，最后把各逆变换相加即可得到)(n x 。通常做法展开的对象是z z X )

(，而不是)(z X 。

幂级数展开法：把)(z X 按1-z 展成幂级数，那么其系数组成的序列)(n x 即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。

6 离散时间系统

离散时间系统及其分类：

定义：离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入)(n x 通常称为激励，输出)(n y 称为响应。输入输出的对应关系可简记为)()(n y n x →

系统的响应可以分为零状态响应(系统处于零状态时对应的响应)和零输入响应(没有激励时系统的响应)。

线性离散时间系统：对任意一组常数k c (K k ≤≤1)，满足条件

{}

???

?

??????→

?≤≤→∑

∑==K

k k k K k k k k k n y c n x c K k n y n x 11

)()()1(),()(

的系统。否则就是非线性系统。 时不变离散时间系统：在同样起始状态下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关。即：

{}{})()

()()

(N n y N n x n y n x -→

-?→

。否则就是时变系统。

(2) LTI 离散时间系统的表示方法：

一般用差分方程来描述。

有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数和相加。 差分方程的一般形式是：)

()(0

r n x b k n y a R

r r K k k -=-∑∑==

(3) 离散时间系统响应的ZT 法求解的基本步骤： 求出激励的ZT ；

对表示离散系统的差分方程两边施加ZT ； 把激励的ZT 代入，求出响应的ZT ； 求IZT ，即可得到系统的响应。 离散时间系统的传递函数 定义1：定义)(/)()(z X z Y z H =为离散系统的传递函数或系统函数。它表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT 之比值。

定义2：定义离散系统的单位冲激响应为系统对单位冲激序列)(n δ的零状态响应，并记作为

)(n h ，即 )()(n h n →δ

定义3：离散系统的单位阶跃响应为为系统对单位阶跃序列u (n )的零状态响应。

第五章 离散傅里叶变换

1 离散傅里叶变换(DFT)的推导

(1) 时域抽样：

目的：解决信号的离散化问题。

效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断：

原因：工程上无法处理时间无限信号。

方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。

结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓：

目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。

方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。

表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。

(4) 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。

图1 DFT 推导过程示意图

(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：

∑∑

∞

-∞=-=π--δ?????

????=

k N n N kn j s kf f e nT h f H )

()()(~

010/2

(i) )(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k

T k kf f ===00处存在冲激，强度为k a ，其余

各点为0。

(ii) )(~

f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 100===，每个周期内有N 个不同的幅值。

(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。

2 DFT 及IDFT 的定义

(1) DFT 定义：设()

s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n Λ，这N 个点的宽度为N 的DFT

为：

[])1,...,1,0(,)()(1

/2-=????

??==?-=π-∑

N k NT

k

H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N

(2) IDFT 定义：设????

??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k Λ， 这N 个点的宽度

为N 的IDFT 为：

())1,...,1,0(,110/21-==???? ??=???????????? ???-=π--∑

N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N

(3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N

nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们互为共

轭。

(4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它

们是互逆的。

(5) 引入N

j N e W /2π-=

(i) 用途：

(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为

nk N

W 和

nk N

W -。

(b) 核函数的正交性可以表示为：())

(*

1

r n N W W kr N N k kn

N

-δ=∑-=

(c) DFT 可以表示为：)

1,,1,0(,)(10

-==?

??? ??∑

-=N k W nT h NT

k

H N n nk N s s

Λ

(d) IDFT 可以表示为：)

1,,1,0(,1

)(10

-=???

?

??=

∑-=-N n W NT k H N

nT h N k nk N s s Λ

(ii) 性质：周期性和对称性：

(a) 12==π-j N N e W (b) 1

2/-==π

-j N N

e

W

(c) r N

r N

N N r N N W W W W ==+

(d) r

N

r N

N N r N N

W W W W -=-=

+2/2/

(e) )

(1Z m W m N

∈?=

(f)

)

,(/2/2Z n m W e e W n

N

N n j mN

mn j mn mN ∈?===π-π-

3 离散谱的性质

(1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈????

??=?为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。

(2) 性质：

(i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。

(ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都具有共轭

对称性。即

*

k

k H H =-；*k k N H H =-；*22k N

k N

H H μ=±

(iii) 幅度对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都具有幅度

对称性。即

k

k H H -=；

k

k N H H =-；

k

N

k

N H H μ2

2

=±

(3) 改写：

(i) 简记)(s nT h 为)(n h

(ii) 简记?

??? ??s NT

k H 为)(k H

(iii) DFT 对简记为：)()(k H n h DFT

?或)()(k H n h ?

(iv)

()[])

1,,1,0(,)()(10

-===∑-=?

N k W n h n h DFT k H N n nk N

Λ

(v)

[]())

1,,1,0(,1

)()(10

1-===∑-=--?

N n W k H N

k H DFT n h N k nk

N

Λ

4 DFT 总结

(1) DFT 的定义是针对任意的离散序列)(nTs x 中的有限个离散抽样)0(N n <≤的，它并不要求该序列

具有周期性。

(2) 由DFT 求出的离散谱)()(Z k NT k H H k H S k ∈????

??==?是离散的周期函数，周期为s s s f T NT N T N Nf ====1/00、离散间隔为0

1

1f T N f NT s s ===。离散谱关于变元k 的周期为N 。

(3) 如果称离散谱经过IDFT 所得到的序列为重建信号，))(('Z n nTs x ∈，则重建信号是离散的周期函

数，周期为001f T NT s ==(对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为0

01

/Nf N T N NT T s s =

==(对应离散谱周期的倒数)。

(4) 经IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为S

NT T f 1100=

=。

(5) 实序列的离散谱关于原点和2N

(如果N 是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱

信息可以从0~1

2-N

范围获得，从低频到高频。

(6) 在时域和频域N ~0范围内的N 点分别是各自的主值区间或主值周期。

5 DFT 性质

(1) 线性性：对任意常数m a (M m ≤≤1)，有[]∑

∑==?????

????M m m m M m m m n x DFT a n x a DFT 11)()(

(2) 奇偶虚实性：

(i) DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序

列作为最终结果。

(ii) DFT 有如下的奇偶虚实特性： 奇?奇；偶?偶；实偶?实偶；实奇?虚奇；

实 ?(实偶) + j(实奇)；实 ?(实偶)·EXP(实奇)。 (3)

(4) 对偶性：(n X

(i) 把离散谱序列当成时域序列进行DFT ，结果是原时域序列反褶的N 倍； (ii) 如果原序列具有偶对称性，则DFT 结果是原时域序列的N 倍。 (5) 时移性：km

N W k X m n x )()(?-。序列的时移不影响DFT 离散谱的幅度。

(6) 频移性：

)

()(l k X W n x nl

N -?-

(7) 时域离散圆卷积定理：)()()()(k Y k X n y n x ??

(i) 圆卷积：周期均为N 的序列)(n x 与)(n y 之间的圆卷积为

∑-=-=

?1

)

()()()(N i i n y i x n y n x

)()(n y n x ?仍是n 的序列，周期为N 。

(ii) 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线

卷积。

(8) 频域离散圆卷积定理：)

()(1

)()(k Y k X N n y n x ?? (9) 时域离散圆相关定理：

)

()()(*)

(k Y k X n R P xy ?

周期为N 的序列)(n x 和)(n y 的圆相关：

()

∑-=?

-=

=10

*)()

()

()()()(),(N i P xy P n i y i x n R n y n x R

是n 的序列，周期为N 。

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域

若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或0≤t≤∞单边函数,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。 以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。 z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。 拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。 FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分,LT[f(t)]=从零到正无穷对 [f(t)exp(-st)]积分,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数： s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减 因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，

z变换的基本知识

z 变换基本知识 1 z 变换定义 连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号()f t 的拉普拉斯变换()F s 是复变量s 的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s 的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z 变换。 连续信号()f t 通过采样周期为T 的理想采样开关采样后，采样信号*()f t 的表达式为 0*()()()(0)()()()(2)(2)k f t f kT t kT f t f T t T f T t T δδδδ∞ ==-=+-+-+∑ (3)(3)f T t T δ-+L （1） 对式（1）作拉普拉斯变换 23*()[*()](0)()(2)(3)sT sT sT F s L f t f f T e f T e f T e ---==++++L ()e ksT k f kT ∞ -==∑ （2） 从式（2）可以看出，*()F s 是s 的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z ”，令 e sT z = （3） 代入式（2）并令1 ln *() ()s z T F x F z ==，得

1 2 ()(0)()(2)()k k F z F f T z f T z f kT z ∞ ---==+++=∑L （4） 式（4）定义为采样信号*()f t 的z 变换，它是变量z 的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以()[*()]F z L f t =表示。 由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作e sT z =的变量置换。 *()f t 的z 变换的符号写法有多种，如 [*()],[()],[()],[*()],()Z f t Z f t Z f k Z F s F z 等，不管括号内写的是连续信号、 离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变换。 式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、s 域和z 域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是()f kT ，并且时域中的()t kT s δ-、域中的 e ksT -及z 域中的k z -均表示信号延迟了k 拍，体现了信号的定时关系。 在实际应用中，采样信号的z 变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z 的有理分式 11101110 () ()m m m n n n K z d z d z d F z z C z C z C ----++++= ++L L ＋＋ m n ≤ （5） 或1z -的有理分式 1111011110(1) ()1l m m m n n n Kz d z d z d z F z C z C z C z ---+----+--++= ++++L L ＋＋ l n m =- （6） 其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z 变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7） 11()() ()()()()() m n K z z z z KN z F z D z z p z p --= =--L L m n ≤ （7） 2 求z 变换的方法 1）级数求和法

拉普拉斯变换的物理意义

拉普拉斯变换的物理意义 关于拉普拉斯变换的很好教程，见麻省理工学院的公开课-拉普拉斯变换简介。网上一搜索就找到了。 仔细研读过郑君里的信号与系统，曾经一度达到可以背诵上下两本书的程度。 后又熟读程佩青的数字信号处理，对其中的前八章达到背诵的程度。 最后有熟读奥本海默的信号与系统与离散信号处理两本书，这两本书实在是厚啊，总共1000+页！ 楼上很多人都说拉普拉斯变换没有实际的物理意义，相对于傅立叶变换明确的物理意义来说，拉普拉斯变换只是一个算子。 这种说法未免有失偏颇。 首先承认拉普拉斯变换确实起到算子的运用，然而其物理意义长期没有被人发现。 简单的说，大家都认可傅立叶变换的本质是一个信号可以表示成正弦信号的叠加，即无法进行傅立叶变换。 大家如果注意到傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系可以发现，当s=jw时，傅拉普拉斯变换便等于傅立叶变换。可见傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例。那么重点来了，如果一个是增长型的，比如e^2t，这个信号指数增长，是无法表示成 等幅的正弦信号的叠加的。注意，傅立叶变换的物理意义是一个信号可以表示成等幅的正弦信号的叠加！！ 这个等幅的概念有多少人忽略了！！！ 那么，推广一下，不等幅的正弦信号（e^at*sint）便出现了！ 数学波形是很容易想象的。 回到e^2t的问题，这个信号无法表示成等幅的正弦信号的叠加（傅立叶变换），那么它为何不能表示成增幅的正弦信号的叠加呢？ 这就是拉普拉斯变换的物理意义！！！ 上面这个信号在拉普拉斯变换中有一个收敛域，s>2.复频域如何表示自行想象。其意义是啥呢？ 因为收敛域包括s=4这条纵轴，这就意味着这个信号可以表示成∑e^4t*sinkwt 这种增幅信号的叠加形式。 因为收敛域包括s=5这条纵轴，这就意味着这个信号可以表示成∑e^5t*sinkwt 这种增幅信号的叠加形式。 s=6，7，8等等，道理如上。 那么可以发现，在拉普拉斯变换的收敛域内有无数条纵轴，在每一条纵轴上都可

Z变换的定义.

第四章 Z 变换 1 Z 变换的定义 (1) 序列)(n x 的ZT ： []∑∞ =-= =0 )()()(n n z n x n x Z z X (2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s e z =是复变量。 (3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。简记为)()(z X n x ZT ? 或)()(z X n x ? (4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。n z -代表了时延，1-z 是单位时延。 (5) 单边ZT ： []∑∞ =-? = =0 )()()(n n z n x z X n x Z (6) 双边ZT ：[]∑∞-∞ =-? = =n n B B z n x z X n x Z )()()( 2 ZT 收敛域ROC 定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。 ∑ ∞ -∞ =-n n z n x )(收敛的充要条件是它∞ <∑ ∞ -∞ =-n n z n x )( (3) 有限长序列的ROC 序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。 收敛域至少是∞<≥n n 时，收敛域为∞≤时0)(=n x 。 如果12-=n ，则序列为反因果序列。 ROC 的情况： 当02>n 时，ROC 为20x R z <<； 当02≤n 时，ROC 为20x R z <≤。 双边序列的ROC 序列在整个区间都有定义。 双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是 ∑∑∑--∞ =-∞ =-∞ -∞ =-+ = = 1 )()()()(n n n n n n z n x z n x z n x z X n n x n x R ) (lim 1∞ →? =

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换公式总结 The following text is amended on 12 November 2020.

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ?

（2） 定义域 若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞=则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

拉普拉斯变换分析

第四章 拉普拉斯变换分析 1．拉普拉斯收敛域的意义是什么？ 拉普拉斯变换定义为： ()()st X s x t e dt ∞ --∞=? 是广义积分，其中变量s j σω=+是复变量，因而积分是否存在将取决于变量s ， 那么使得广义积分存在的s 的值所组成的集合就是拉氏变换的定义域。这说明，拉氏变换的收敛域确定了拉氏变换存在范围。收敛域不同，说明信号不同。对于单边拉变换来说，其收敛域的一般形式为0σσ>。 2．极点和零点的意义是什么？它们有什么作用？ 如果 l i m ()s p X s →=∞， 则称s p =是()X s 的极点； 如果 l i m ()0s z X s →=， 则称s z =是()X s 的零点。 极点的位置决定了信号波形变化参数，如单调性（增长或衰减）和振荡快慢（频率）；而零点确定了信号波形的不变参数，如振幅和初相位。 3．拉普拉斯变换的初值定理和终值定理的应用条件是什么？ 拉普拉斯变换的初值定理为： 若 () (f t F s ? ， 且()f t 连续可导 则 0l i m ()(0)l i m () s t f t f s F s ++→∞→== 其应用的条件为()F s 必须是有理真分式； 如果不是，则必须利用长除法，将()F s 表示为 ： 0()()() F s B s F s =+ 其中，B (s )是s 的多项式，0()F s 是有理真分式。则有 000lim ()(0)(0)lim ()s t f t f f sF s +++→∞ →=== 拉普拉斯变换的终值定理为： 若 () (f t F s ? ， 且()f t 连续可导 则 0l i m ()()l i m ()t s f t f sF s →∞→=∞=

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- == ? # 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时，lim () 0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分 0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换 的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 ^ 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑