13.3等腰三角形
13.4课题学习最短路径问题
专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用
1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)
2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．
3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE的长．
专题二等边三角形的性质和判定
4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．
5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
专题三最短路径问题
7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）
A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E
8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)
状元笔记
【知识要点】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．
2．等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】
1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．
2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．
【方法技巧】
1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．
2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．
3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．
参考答案:
1．①②③ 解析：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ．∵BF 是∠ABC 的平分线，CF 是∠ACB 的平分线，∴∠FBC=∠DBF ，∠FCE=∠FCB ．∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠EC F ，∴△DFB ，△FEC 都是等腰三角形．∴DF=DB ，FE=EC ，即有DE=DF+FE=DB+EC ．∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC ．综上所述，命题①②③正确．
2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB ，∴BD=CE ．
∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．
∵BE=CF ，
∴△BDE ≌△CEF ．
(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=12(180°－∠A)=12
(180°－40°)=70°． ∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE=∠CEF ．
∴∠DEF=180°－∠BED －∠CEF=180°－∠BED －∠BDE=∠B=70°．
(3)不能．∵∠DEF=∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形．
(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°． ∴∠EDF+∠EFD=120°．
3．解：（1）△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC ．
（2）AD 与BE 垂直．
证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ，
∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合．
∴A 、D 是对称点．
∴AD ⊥BE ．
（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，
∴AE=DE ．
在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，
AE =DE BE =BE ⎧⎨⎩
，， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）．
∴AB=BD ．
又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠C=45°．
又∵ED ⊥BC ，
∴△DCE 为等腰直角三角形．
∴DE=DC ．
即AB+AE=BD+DC=BC=10．
4．6 解析：连接OD ，∵PO=PD ，∴OP=DP=OD ．∴∠DPO=60°．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA －60°．∴△OPA ≌△PDB ．∵AO=3， ∴AO=PB=3，∴AP=6．
5．解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．
∴△ODE是等边三角形．
（2）BD=DE=EC．
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°．
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°．
∴∠DBO=∠DOB．
∴DB=DO．
同理，EC=EO．
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．
6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12．
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12－2t．
解得t=4．
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM．
∴∠AMN=∠ANM．
∴∠AMC=∠ANB．
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形．
∴∠C=∠B ．
在△ACM 和△ABN 中，
AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，∠∠，
∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ．
∴CM=BN ．
设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形， ∴CM=y －12，NB=36－2y ，CM=NB ．
y －12=36－2y ，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M 、N 运动的时间为16秒．
7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B 关于a 的对称点B′与A 的连线的交点F ，煤气分管道的连接点是点A 关于b 的对称点A′与B 的连线的交点C ．故选A ．
8．解：如图，作点B 关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C ，则这个基地建在C 处，才能使它到这两个超市的距离之和最小
.
人教版八年级数学上册测试题:13.4课题学习最短路径问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH 上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 ________． 二、解答题 2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B． (1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短； (2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长． 3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小． 4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD 上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．
6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P. (1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由； (2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数． 7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点． (1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置． (2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________． 8．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数． 9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ. (1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小； (2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
13.4 最短路径问题 基础巩固 1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置． 2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？ 3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小． 4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? 能力提升 5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD， 若A到河岸CD的中点的距离为500 m. (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出 该处，并说明理由； (2)最短路程是多少？
参考答案 1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点． 2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2； (2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N. 因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少． 3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′； (2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)． 4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A. 5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
人教版八年级数学上册课时练 第十三章轴对称 13.4 课题学习--最短路径问题 一、选择题 1．如图，在锐角△ABC 中，∠ACB ＝50°；边AB 上有一定点P ，M 、N 分别是AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 2．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）. A ． B ． C ． D ． 3．如图，已知24AOB ∠=?，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（ ） A ．36? B ．48? C ．60? D ．72? 4．如图,在公路 MN 两侧分别有 A 1, A 2......A 7,七个工厂,各工厂与公路 MN(图中粗线)之间有小公路连接.现在需要在公路 MN 上设置一个车站,选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是（ ）. ①车站的位置设在 C 点好于 B 点;
②车站的位置设在 B 点与 C 点之问公路上任何一点效果一样; ③车站位置的设置与各段小公路的长度无关. A ．① B ．② C ．①③ D ．②③ 5．如图，在ABC ?中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ?的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ） A ．125 B ．4 C ．245 D ．5 6．在△ABC 中，AB=BC ，点D 在AC 上，BD=6cm ，E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点，△DEF 周长的最小值为6 cm ，则ABC ∠=( ) A ．20° B ．25° C ．30° D ．35° 7．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短 路径同步培优 一、选择题 1. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使P A＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是() 2. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为() A．10 B．11 C．11.5 D．13 3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足() A．PB＝PC B．P A＝PD C．∠BPC＝90°D．∠APB＝∠DPC 4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为() A．130°B．120°C．110°D．100°
5. 如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案() 6. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是() 7. 如图，点P，Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:△O1PQ，△O2PQ，…，△O n PQ，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长() A.不断变大 B.不断变小 C.先变小再变大 D.先变大再变小 8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为()
13.3等腰三角形 13.4课题学习最短路径问题 专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用 1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号) 2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数； （3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ （4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由． 3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D． （1）请你写出图中所有的等腰三角形； （2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由． （3）如果BC=10，求AB+AE的长．
专题二等边三角形的性质和判定 4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________． 5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程． 6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题 一、选择题（共16小题；共80分） 1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站， 向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 A. B. C. D. 2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的 一个动点，要使最小，则点应该满足 A. B. C. D. 3. 四边形中，，，在，上分别找一 点，，使三角形周长最小时，则的度数为 A. B. C. D. 4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得 的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接
与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 A. 转化思想 B. 三角形的两边之和大于第三边 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和， 且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为， 点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时 A. B. C. D. 7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与 关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是
A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是的两条中线，是 上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是 A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找 一点，，使的周长最小，此时， A. B. C. D. 10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点 ，上有一动点．若周长最小，则最小周长是 A. B. C. D. 11. 如图，四边形中，，，，分别是， 上的点，当的周长最小时，的度数为
人教新版八年级上学期 《13.4 课题学习最短路径问题》同步练习卷 一．选择题（共2小题） 1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是（） A．15 km B．16 km C．17 km D．18 km 2．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB 上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（） A．10B．15C．20D．30 二．解答题（共18小题） 3．如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
4．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合” 思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则， ，则问题即转化成求AC+CE的最小值． （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 的最小值等于，此时x=； （2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 5．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河岸L的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河岸L上选择水厂的位置M（作图并标注出来），使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 6．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？
《13.4课题学习—最短路径问题》达标测评（附答案） 一．选择题（共15小题，满分45分） 1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（） A．EF B．AB C．AC D．BC 2．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（） A．55°B．56°C．57°D．58° 3．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（） A．120°B．60°C．30°D．90° 4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（） A．110°B．112°C．114°D．116°
5．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使P A+PB最小，则下列图形正确的是（） A．B．C． D． 6．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC 上，点Q为边OA上一动点，则P A+PQ的最小值是（） A．1B．2C．3D．4 7．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（） A．B．C．D． 8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.4课题学习最短路径问题》 同步测试题（附答案） 一．选择题（共9小题，满分45分） 1．如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（） A．3B．6C．9D．12 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（） A．4B．2C．3D．+2 3．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（） A．B．3C．3D．2 4．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（） A．无法确定B．10C．13D．16
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC 于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（） A．B．5C．3D． 6．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（） A．5B．15C．20D．30 7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（） A．80°B．90°C．100°D．130° 8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（） A．7B．6C．9D．10
2020-2021学年人教版八年级上册数学课堂小测 13.4课题学习 最短路径问题 1.如图，直线l 外不重合的两点,A B ，在直线l 上求作一点C ，使得AC BC +的长度最短.作法为①作点B 关于直线l 的对称点B '；②连接AB '与直线相交于点C ，则点C 为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ） A.转化思想 B.三角形的两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 2.如图，AOB ∠内一点12,,P P P 分别是P 关于,OA OB 的对称点， 12P P 交OA 于点M ，交OB 于点N ，若125cm PP =，则PMN △的周长是（ ） A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 3.如图，∠AOB ＝30°，点P 是∠AOB 内的一个定点，OP ＝20cm ，点C 、D 分别是OA 、OB 上的动点，连结CP 、DP 、CD ，则△CPD 周长的最小值为（ ）
A ．10 cm B ．15 cm C ．20cm D ．40cm 4.如图，ABC △是等边三角形，AD 是BC 边上的高，点E 是AC 边的中点，点P 是AD 上的一个动点，当PC PE +最小时，CPE ∠的度数是（ ） A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒ 5.如图，点,P Q 在直线AB 外，在点O 沿着直线AB 从左往右运动的过程中，形成无数个 三角形:121n n O PQ O PQ O PQ O PQ +⋯， ，，，△△△△，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（ ） A.不断变大 B.不断变小 C.先变小再变大 D.先变大再变小 二．填空题
13.4 课题学习最短路径问题 基础巩固 1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A —B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置． 2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？ 3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? 能力提升 5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由． 6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m. (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由； (2)最短路程是多少？
参考答案 1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点． 2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2； (2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N. 因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少． 3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′； (2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)． 4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A. 5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
章节测试题 1.【答题】如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（） A. 10 B. 11 C. 11.5 D. 13 【答案】A 【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【解答】∵直线m垂直平分AB， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交AB于D， ∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ∴△APC周长的最小值是6+4＝10． 选A．
2.【答题】如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD＝5，则EP+CP的最小值为（） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解． 【解答】作点E关于AD的对称点F，连接CF， ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴AD是BC的垂直平分线，
∴点E关于AD的对应点为点F， ∴CF就是EP+CP的最小值． ∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点， ∴F是AB的中点， ∴CF是△ABC的中线， ∴CF＝AD＝5， 即EP+CP的最小值为5， 选C． 3.【答题】如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（） A. PA＝PC B. PA＝PE C. ∠APE＝90° D. ∠APC＝∠DPE 【答案】D 【分析】作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小，依据轴对称的性质即可得到∠APC＝∠DPE． 【解答】如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时 PA+PE的值最小．
人教版八年级上册数学13.4课题学习路径最短问题同步训 练 一、单选题 1．直线l 是一条河，P ，Q 是在l 同侧的两个村庄．欲在l 上的M 处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M 处到P ，Q 两地距离相等的方案是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，已知点D 、 E 分别是等边三角形ABC 中BC 、AB 边的中点，6AD =，点 F 是线段AD 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 3．如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中△ACB =50°，AC =BC ， E ， F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且 AE =CF ， 当 BF ＋CE 取最小值时，△AFB 的度数为（ ） A ．75° B ．90° C ．95° D ．105° 4．在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，AD BC ⊥于D 点，且4=AD ，若P 点在边AC 上移动，则BP 的最小值是（ ） A ．4.5 B ．4.6 C ．4.7 D ．4.8 5．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝AC ＝10，S △ABC ＝25，△BAC 的平分线交BC 于点
D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ） A ．4 B ．245 C ．5 D ．6 6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝10，S △ABC ＝60，AD△BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB ＋PD 最小，则这个最小值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 7．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ） A ．125 B ．4 C ．245 D ．5 二、填空题 8．如图，在ABC 中，4AB =，6AC =，7BC =，EF 垂直平分BC ，点D 为直线EF 上的任意一点，则ABD △周长的最小值是__________．
13.4 课题学习最短路径问题课时训练 一．选择题 1．已知A（﹣1，1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为（） A．（0，0）B．（，0）C．（﹣1，0）D．（﹣，0）2．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（） A．B． C．D． 3．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使P A+PB的值最小，则点P坐标为（） A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2） 4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，
且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（） A．2B．4C．6D．8 5．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC 边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（） A．50°B．60°C．70°D．80° 6．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（） A．84°B．88°C．90°D．96° 二．填空题 7．在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（1，﹣1）两点，现在y轴上取一点P，当P点的坐标为时，AP+BP的值最小． 8．如图，已知点A（0，3），B（3.0），C（1，2）．在y轴上找一点P，使PC+PB的值最小．请你估计点P的坐标是． 9．如图，P为∠MON内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当△
13.4 课题学习最短路径问题 1.已知点A(-2,1),B(3,2),在x 轴上求一点P,使AP+BP 最小,下列作法正确的是( ). A.点P 与O(0,0)重合 B.连接AB 并延长,交x 轴于点P,点P 即为所求 C.过点A 作x 轴的垂线,垂足为P,点P 即为所求 D.作点A 关于x 轴的对称点A',连接A'B,交x 轴于点P,点P 即为所求 2.如图,OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,MD=5 cm,MC=7 cm,CD=10 cm,一只小蚂蚁从点M 出发爬到OA 边上任意一点E,再爬到OB 边上任意一点F,然后爬回点M 处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为( ). A.12 cm B.10 cm C.7 cm D.5 cm 3.如图,牧童在A 处放牛,其家在B 处,A,B 到河岸的距离分别为AC 和BD,且AC=BD,若点A 到河岸CD 的中点的距离为500 m,则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路程是m. 4.如图,l 为河岸(视为直线),要想开一条沟将河里的水从A 处引到田地里去,应从河边l 的何处开口才能使水沟最短,找出开口处的位置并说明理由. 5.如图,在四边形ABCD 中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F 分别是BC,DC 上的点,当△AEF 的周长最小时,∠EAF 的度数为( ).
A.50° B.60° C.70° D.80° 6.如图,某公路(视为x 轴)的同一侧有A,B,C 三个村庄,要在公路边建一货栈(即在x 轴上找一点)D,向A,B,C 三个村庄运送农用物资,路线是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在D 使送货路程之和最短?若存在,请在图中画出D 所在的位置;若不存在,请说明理由. 7.某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图所示的两直排(图中的AO,BO),AO 桌面上摆满了橘 子,BO 桌面上摆满了糖果,站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.
13.4 课题学习最短路径问题 一、选择题（共12小题；共60分） 1. 如图，点为内一点，分别作点关于，的对称点，，连接， 交于，交于，若，则周长为 A. B. C. D. 2. 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是 上的一个动点，当最小时，的度数是 A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动 点，则下列线段的长度等于最小值的是 A. B. C. D. 4. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和，且， 若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短 距离是 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向，两 地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 A. B. C. D. 6. 如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线的某点处修建一个向， 供水的水站．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管 道一定最短的是 A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动 点，则下列线段的长等于最小值的是 A. B. C. D.
8. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线 对称，为线段上一动点，则的最小值是 A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一 点，，当的周长最小时，的度数为 A. B. C. D. 10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点， 上有一动点．若周长最小，则最小周长是 A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线是一三象限的角平分线，点的坐标为， 点是直线上的动点，点是轴上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 12. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和 射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为
最短路径问题· 一．选择题（共6小题）; 1．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为;（） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是;（） A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边; C．两点之间，线段最短; D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角; 3．（2015•同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）; A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2015•芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为;（） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF 上的任一点，则AP+BP的最小值是（）;
A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2014秋•监利县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为;（） A．15° B．22.5°C．30° D．45° 二．填空题（共6小题）; 7．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为． ; 8．（2015•惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为; ． 9．（2015春•沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是．;