13.4《最短路径问题（2）》教案
【数学思想】分类讨论，数形结合
【思路点拨】直线AB上有一点P，此时点P与线段AB的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB上；②如图2和图3，点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上.
【解题过程】⑴当点P在线段AB上时，如图1，PA+PB=AB即PA+PB最小值为AB的值；⑵当点P在线段BA的延长线上时，如图2，PB-PA=AB；⑶当点P 在线段AB的延长线上时，如图3，PA - PB =AB；
【答案】⑴线段AB上；⑵线段BA的延长线上；⑶线段AB的延长线上.
⑷如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P，使得｜PB－PA｜的值最大？
【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边
【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则｜PB－PA｜＜AB；当点P与A、B共线，点P在线段BA的延长线上时，即点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－PA｜=AB.
【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－PA｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB，即｜PB－PA｜=AB；
【答案】如图，连接BA并延长交直线l 于P，此时｜PB－PA｜的值最大. （二）课堂设计
1.知识回顾
⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换（简称平移）. 平移不改变图形的形状和大小.
⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边
2.问题探究
探究一运用轴对称解决距离之差最大问题
●活动①回顾旧知，引入新知
师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况：
●活动②整合旧知，探究新知
例1. 如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．
【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系
【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.
【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，则点C即为所求．
●活动③类比建模，证明新知
师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC +BC 最小的吗？试类比证明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正确性？
理由：在直线l上任找一点C ′ (异于点C )，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.
练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.
【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边
【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB 最小
【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PA －PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B 的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.
【答案】如图，点P与点Q即为所求：
探究二利用平移解决造桥选址问题★▲
●活动①结合实际，难点分解
师：常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？
如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.
●活动②生活中的实际问题
例2. 如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
【知识点】平移知识，两点之间线段最短
【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN 最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到A A′，则A A′=MN，AM+NB=A′N+NB，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？如图2，连接A′，B两点的线中，线段A′B最短，因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径A→M→N→B是最短的.
图1
【解题过程】⑴如图2，平移MN到AA′（或者过点A作A A′垂直于河岸），且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.
【答案】如图所示，则MN为所建的桥的位置．
图2
●活动③几何证明
上述作图为什么是最短的？请你想想.
先让学生小组合作完成，进行展示、分享.
证明：由平移的性质，得MN∥AA′，且MN= AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B两地的距离:AM+MN+BN= AA′+ A′N+ BN = AA′+ A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′，若桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M ′⊥a，垂足为M ′，连接AM ′，A′N ′，N ′B.由平行知：AM′=A′N′，AA′= N′M′，则建桥后AB两地的距离为：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B. 在△A′N′B中，
∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.
【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择.
练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？
【知识点】平移的知识，两点之间线段最短
【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．
【解题过程】(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
【答案】如图2所示，则MN为所建的桥的位置．
3. 课堂总结
知识梳理
本堂课主要知识为两个最值问题：
（1）利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题；
（2）利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题．
重难点归纳
解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
⑴“距离之差最大”问题的两种模型：①如果两点在一条直线的同侧时，过两点
的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．
⑵“造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
（三）课后作业
基础型自主突破
1.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）
A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E 【知识点】最短路径问题．
【思路点拨】图中隐含了两个“两点（同侧）一线型”的模型.
【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．
【答案】A
2. 如图所示，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M处于同一水平线．有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有（）
A.点A、B、C
B. 点A、B、D
C. 点B、C、D
D. 点A、B、C、D 【知识点】轴对称的知识
【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内．如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、
D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．
【解题过程】如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．
【答案】B
3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和
【解题过程】∵在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD=130°延长AB到P，使BP=AB，延长AD到Q，使DQ=AD，则点A关于BC的对称点为点P，关于CD的对称点为点Q，连接PQ与BC相交于点E，与CD相交于点F，如图，PQ的长度即为△AEF的周长最小值；又∵∠BAD=130°，∴在△APQ中，∠P＋∠Q＝180°－130°＝50°. ∵∠AEF＝∠P＋∠PAE＝2∠P，∠AFE＝∠Q＋∠QAF＝2∠Q，∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠P＋∠Q)＝2×50°＝100°，∴∠EAF
=180°－100°=80°
【思路点拨】①补全图形，转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题；
②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．
【答案】D
4.如图，村庄A，B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P，此点P 使得｜PB－PA｜值最大，试作出公交车站P的位置.
【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边
【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则｜PB－PA｜＜AB；当点P与A、B共线时，即在线段BA的延长线上，点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－PA｜=AB.
【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－PA｜＜
AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB，即
｜PB－PA｜=AB；
【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.
5. 如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的中点，当EF+EC取得最小值时，求∠ECF的度数.
【知识点】等腰三角形的“三线合一”，轴对称知识，两点之间线段最短
【思路点拨】拆分出点F、点C和直线AD，构成“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键，连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC
取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.
【解题过程】取AB得中点F′，则等边三角形AC边的中点F与点F′关于直线AD对称；连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°.
作图解题之前应该忽略图中的点E，如图1，又由“两点一线型”的最短距离的模型得到图2；
【答案】∠ECF的度数为30°
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC 的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.
【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质
【数学思想】数形结合，转化
【解题过程】如图，过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值
为CM的长度. ∵AC=6，BC=8，AB=10，S
△ABC =
1
2
AB•CM=
1
2
AC•BC，
∴CM=AC BC
AB
⋅
=
68
10
⨯
=
24
5
，即PC+PQ的最小值为
24
5
．
【思路点拨】因为∠BAC的对称轴是∠BAC的平分线所在的直线AD，所以点Q 的对称点在射线AB上.若点Q关于直线AD的对称点为点M，PC+PQ =PC+PM，又当PC、PM共线时，PC+PM的最小值为线段CM的最小值，根据垂线段最短，所以当CM⊥AB时线段CM的值最小.过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点
P，过点P作PQ⊥AC于点Q，因为AD是∠BAC的平分线，得出PQ=PM，这
时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度，再运用S
△ABC =
1
2
AB•CM=
1
2
AC•BC，
得出CM的值，即PC+PQ的最小值．本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
【答案】24 5
能力型师生共研
7.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC 的中点，点P是线段EF上一个动点，连接BP、GP，求△BPG周长的最小值．【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短
【思路点拨】要使△PBG的周长最小，而BG=1.5是一个定值，只要使BP+PG 最短即可，则转化为“两点一线型”的最短路径问题. 连接AB交直线EF于点P 即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小.
【解题过程】如图，连接AG交EF于M.∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴AG⊥BC，EF∥BC，则AG⊥EF，AM=MG，∴A、G关于EF对称，连接AB交直线EF于点P，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，∵AP=PG，BP=BE，∴最小值是：PB+PG+BG=AE+BE +BG=AB+BG=3+1.5=4.5．
【答案】4.5
探究型多维突破
8. 读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25，
则斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：
如图，已知A、B两个村庄位于河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺
设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？（保留痕迹，不写作法）
【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短
【思路点拨】根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B 与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出．此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．
【解题过程】依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．又过点A′向BD作垂线，交BD 的延长线于点E，在直角三角形A′BE中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100（万元）．
【答案】100万元
9. 读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25，
则斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：
如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．
【知识点】轴对称的知识
【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
【解题过程】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．∴根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，M′N′22
31
1010
10
自助餐
1. 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A 村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短
【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．
【解题过程】如图所示，点E即为所求．
2. 如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，
那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜PB－PA｜最小? (保留作图痕迹及简要说明)
【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识
【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即｜PB－AP｜≥0，所以当点PA=PB 时，｜PB－PA｜最小值为0.
【解题过程】作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P，交点P即为符合条件的点．如图，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，
则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1
2AB为半径画弧，
两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．
【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.
3. 如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC 的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l 相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法是（）
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【知识点】轴对称的知识、两点之间最短
【解题过程】∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，
又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA= AB′最短，即此时点C使CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”，体现了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．【思路点拨】利用“两点之间线段最短”分析并验证即可．此题主要考查了利用轴对称知识解决最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理“两点之间线段最短”，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【答案】D
4.如图，在△ABC中，AC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值= .
【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短
【数学思想】数形结合.
【解题过程】∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称.连接AC交EF于D，∴当P和D重合，即当点P在直线EF上的D点处时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为5.
【思路点拨】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D 重合时，AP+BP的最小值为AC长度5.
【答案】5
5. 如图，在平面直角坐标系中，PQ⊥x 轴于点Q，P（-4，8）. 直线AB垂直平分线段OQ,交x 轴于点C，点M为直线AB上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；
【知识点】平移知识，两点之间线段最短
【思路点拨】将直线AB和y轴看作河的两岸，点P和点Q′看作河岸两侧的点，转化为造桥选址问题.从P到Q要走的路线是P→M→N→Q，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要PM＋QN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到PP′，从P′→N→Q应是余下的路程，当P′N+NQ的值最小时PM＋MN＋NQ有最小值.作点Q关于y轴的对称点Q′，连接P′Q′的线段
即为最短， P′Q′与y 轴的交点为N ，过N 作直线AB 的垂线，垂足为点M ，则PM ＋MN ＋NQ 的最小值为线段P′Q′的长．
【解题过程】因为PQ ⊥x 轴于点Q ，P （-4，8）所以Q （-4，0）又因为直线AB 垂直平分线段OQ ,交x 轴于点C ，所以C （-2，0）.如图2，过点P 作PP′⊥AB 于P′，且PP′等于OC ．又作点Q 关于y 轴的对称点Q′（4，0），连接P′Q′与y 轴的交点为N ，过N 作直线AB 的垂线，垂足为点M ，则PM ＋MN ＋NQ 的最小值为线段P′Q′+MN 的长．又易得P′C =8， Q ′C =6，借助勾股定理，在直角三角形P′CQ ′中可得P′Q′=22''C Q C P +=2268+=10，所以PM ＋MN ＋NQ 的最小值为10+2=12.
【答案】PM ＋MN ＋NQ 的最小值为12.
13.4 最短路径问题（2） 一、温故互查 1.已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上 求一点P，使得PA+PB 最小。 二、情景导入 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在 河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直） 三、设问导读 阅读课本P86-87问题2,完成上面问题． 分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要 与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是 固定的． 我们可以将点A沿与河垂直的方向平移 MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只 需A1B最短。根据两点之间距离最短，连接A1B， 交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径 AMNB就是最短路径．如图2． 证明：如图3，如果在不同于MN的位置 造桥M1N1．由于M1N1=MN=AA1；又根据“两 点之间，线段最短”．可知，A1N1+N1B＞ A1N+NB．所以，路径AMNB要短于AM1N1B． 四、自主探究 如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河， 我们要建的桥都是与河岸垂直的．我们如何找 到这个最短的距离呢？ 方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂 直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径 中两座桥的长度是固定的．为了使路径最短， 只要A2B最短．连接A2B，交河流2河岸于N， 在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P， 在此处造桥PQ．所得路径AQPMNB最短． 方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂 直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条 l
河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1，与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短．五、新知应用 如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？ 方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的．为了使路径最短，只要A3B最短． 连接A3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A2M，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河流1于R，在此处造桥RS。所得路径ASRQPMNB最短． 方法2：此处还可以先将A沿与河流1河岸垂直的方向平移两个单位到A1、A2，再将B 沿与河流3河岸垂直的方向平移一个河宽到B1；或先将A沿与河岸垂直的方向平移1个单位到A1，再将B沿与河岸平移2一个河宽到B1、B2，来选择修桥位置．（请同学们自己画出图形．）六、巩固训练 如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？ 方法1：如图10，先将点A沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ．所得路径AQPMNB最短． 方法2：也可以将A沿与河流1垂直的方向平移1个河宽，得到A1，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河宽得到B1，连接A1B1与河流1、河流2分别相交于N、P，分别作桥MN、PQ．所得路径AQPNMB最短．
13.4课题学习最短路径问题 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 【过程与方法】 体会图形的变换在解决最值问题中的作用. 【情感、态度与价值观】 通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 【教学难点】 利用图形变换进行线段的转移. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由. 二、合作探究 探究点1三角形周长最短的问题 典例1如图,∠AOB的内部有一点P,在射线OA,OB边上各取一点P1,P2,使得△PP1P2的周长最小,作出点P1,P2,叙述作图过程(作法),保留作图痕迹. 第 1 页共 3 页
[解析]如图,作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA 于点P1,交OB于点P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求. 理由:∵P1P=P1E,P2P=P2F, ∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF, 根据两点之间线段最短,可知此时△PP1P2的周长最短. 探究点2坐标系中的将军饮马问题 典例2如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x 轴上行驶. (1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标. (2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标. (3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置. [解析](1)由垂线段最短可知当汽车位于点(2,0)处时,汽车距离A点最近. (2)由垂线段最短可知当汽车位于点(7,0)处时,汽车距离B点最近. 第 2 页共 3 页
13.4最短路径问题 一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。 二、教学目标 1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题 2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。 三、教学重难点 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 四、教学问题诊断 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。 解答“当点A\B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。 教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。 五、教学过程 教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什
13.4《最短路径问题（2）》教案
【数学思想】分类讨论，数形结合 【思路点拨】直线AB上有一点P，此时点P与线段AB的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB上；②如图2和图3，点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上. 【解题过程】⑴当点P在线段AB上时，如图1，PA+PB=AB即PA+PB最小值为AB的值；⑵当点P在线段BA的延长线上时，如图2，PB-PA=AB；⑶当点P 在线段AB的延长线上时，如图3，PA - PB =AB； 【答案】⑴线段AB上；⑵线段BA的延长线上；⑶线段AB的延长线上. ⑷如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P，使得｜PB－PA｜的值最大？ 【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边 【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则｜PB－PA｜＜AB；当点P与A、B共线，点P在线段BA的延长线上时，即点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－PA｜=AB. 【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－PA｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-PA=AB，即｜PB－PA｜=AB； 【答案】如图，连接BA并延长交直线l 于P，此时｜PB－PA｜的值最大. （二）课堂设计 1.知识回顾 ⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换（简称平移）. 平移不改变图形的形状和大小. ⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边 2.问题探究 探究一运用轴对称解决距离之差最大问题 ●活动①回顾旧知，引入新知 师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况：
13．4课题学习最短路径问题 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交 通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题
在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案． 解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； (2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求． 【类型四】运用轴对称解决距离之差最大问题 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离 之差最大． 解析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l 于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，
人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题教学设计 一、教学目标 1.了解最短路径问题的基本概念及其应用场景； 2.掌握图的遍历方法，构建最短路径树； 3.学会利用Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等解决最短路径问题。 二、教学重难点 •最短路径问题的定义、特点和应用场景； •如何构建最短路径树以及应用Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法求解最短路径问题。 三、教学内容及安排 1. 最短路径问题简介（20分钟） 1.最短路径问题的定义； 2.最短路径问题在生活中的应用。 2. 最短路径树（25分钟） 1.构建最短路径树的方法； 2.最短路径树的应用。 3. Dijkstra算法（40分钟） 1.算法介绍； 2.算法应用。 4. Floyd-Warshall算法（40分钟） 1.算法介绍； 2.算法应用。
5. 综合应用（15分钟） 通过综合应用加深学生对最短路径问题、最短路径树、Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等知识点的理解。 四、教学方法 本课程采用演讲+实例演示的方式进行，旨在通过演示操作过程，使学生了解 最短路径问题和其解决方案，并在操作过程中培养学生的逻辑思维能力，提高学生的实际应用能力。 五、教学资源 教师授课PPT、书本、笔记本、投影仪、计算机等。 六、教学评估 1.课堂提问：教师针对本课程所涉及的知识点进行提问，检测学生掌握 情况； 2.实战演练：对学生进行课堂练习以及课后作业布置，测试学生的实际 应用能力； 3.课程评估：收集学生的学习体验和反馈等信息，对本课程进行评估和 优化。 七、教学注意事项 1.在教学过程中需抓住重难点、难点，注意启发式提问，帮助学生深入 理解本课程所涉及的知识点； 2.在教学过程中注意引导学生进行交互式学习，通过互动起到知识点的 加深与巩固； 3.教师在教学过程中要注意与学生进行互动交流，引导学生思考和学习， 在学习中寻求提高。
13.4课题学习最短路径问题教学设计
我们可以将实际问题抽象为数学问题：我们可以把两条桌子看成两条线段AB和CD，E为学生坐的座位，E到AB的点为F，E到CD的点为H，F 和H为两动点，当F和H在什么位置时，EF+FH+HE最小？ 由这个问题，我们可以联想到下面的问题：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到河对岸的B地喂马. 同样的，我们可以简化成几何图形问题：如图，点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用我们以前学过的知识：“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”，将A、B两点连接起来，与直线l相交于C点，这个C点即为所求. 但是，现在的这个问题和它不同，那我们能不能同样利用“两点之间，线段最短”这个理论呢？ 我们可以利用轴对称，作E点关于CD的对称点E′，作E点关于AB 的对称点E″，连接E′E″，与AB相交于F点，与CD相交于H点. 以例题结合我们曾经学过的“将军饮马”问题，通过“两点之间，线段最短”来探讨“将军饮马”的变式问题. 回顾将军饮马的经典问题，让学生对新知与旧知之间的关系进行对比和分析，从而达到转化新知的目的，通过老师的引导让学生思考最终发现迁移旧知解决新的问题. 让学生体会由两定一动一定线型的最短路径问题拓展到一定两动
由轴对称的性质可知：EH=E′H，EF=E″F 当E″F+E′H+FH最短时，EF+FH+HE最短 又∵两点之间，线段最短 即：当E′E″成一条线段时，E″F+E′H+FH最短，EF+FH+HE也最短.两定线类型问题间的关系，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识． 下边我们来看一看另一类问题 问题2：有一个牧民，他喂了一群马，每天早上，牧民都得到放置水桶的E点去取水桶，然后到远处的小河CD处挑水，最后将水挑到水槽AB处，倒入槽中，让马都可以喝到水，那么，牧民怎么走，才能让自己的行进线路最短呢？ 首先，我们可以把水槽和小河抽象成两条直线，取水点F，可以看成CD上的一个动点，取水回来，将水倒到H点，那么，上面的问题可以转化为：当点F在CD上的什么位置时，EF和FH的和最小. 我们可以将E点对称到河对岸，然后比较不同的F点时，这两条线段距离之和.通过轴对称变化和“点到直线的距离，垂线段最短”来解决“将军饮马”的变式问题. 让学生自己亲身经历实际问题转化成数学问题的过程，提高学生解决实际问题的能力.
课堂教学设计表 章节名称§13.4 课题学习最短路径问题学时 1 学习目标 课程标准：《数学课程标准（实验稿）》第三学段（7-9年级） 利用轴对称、平移研究某些最短路径问题。 本节（课）学习目标： 知识和能力:理解“两点之间线段最短”的结论并能用这一结论解释一些简单的问题. 过程和方法:经历观察、实验、猜想等数学活动发展合情推理能力能有条理地、清晰地阐述自己的观点, 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能应用所学知识解决问题；学会与他人合作并能与他人交流思维的过程和结果.问题情境——组织数学活动——引导自主、合作学习——实践活动、探索新知——问题解决 情感态度和价值观:积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 学生特征二(9)学生好奇心、求知欲强，思维活跃，富有个性，他们的动手能力、感知能力和思考能力都有明显提高，学生已学过轴对称、平移等相关知识，虽然他们以前很少涉及最值问题，经验尚显不足，但学生对运用轴对称、平移等数学知识解决问题兴趣很浓。 学习目标描述知识点 编号 学习 目标 具体描述语句 1 情境引入在创设的温馨情境中复习“两点之间，线段最短”等知识点 2 引导思考为什么要学，怎么样去学？ 3 展示课题明确研究目标 4 探究铺垫引导学生体会如何将实际问题转化为数学问题 5 牧民的困惑这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 6 位置探究一 饮马的地点有无数个，怎样找出使两条线段和最短的直线上的点 并证明 7 造桥选址问题 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题 吗？ 8 位置探究二体会“桥梁”的作用，感悟转化思想，丰富数学基本活动经验 9 目标检测（1、2、3）让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法 10 师生小结 引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会 轴对称和平移在解决问题中的作用，感悟转化思想的重要价值11 作业布置再次让学生加深理解,掌握知识,学会应用. 项目内容解决措施
《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计 刘艳娟 巩义市站街镇实验学校
《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计 共1课时 13.4 课题学习最短路径 一、学习目标 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想； 2. 能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题，并能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟“转化”作用。 二、学情分析 由于八年级学生首次遇到某条线段或线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。 三、重点难点 1. 重点：将实际问题抽象为数学问题；将同侧两点转化为异侧两点． 2. 难点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短. 四、教学过程 活动1【导入】创设情境、引入新课
小伙子，把你的笔记本拿给老师好吗？谢谢，请问，你刚才为什么要选择从这条路径走，而不是绕外围呢？ 同学们，你们能用我们的数学知识来解释这个生活常识吗？ 现实生活中，我们常常涉及到选择最短路径问题，今天我们将利用大家前一阶段所学的知识解决生活中的实际问题：§13.4 课题学习最短路径问题 让我们穿越时空，回归到遥远的古希腊，来探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 活动2【讲授】探究“将军饮马问题” 1、提出问题，抽象模型 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程来拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到驻地B处，问到河边的什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，就利用数学知识回答了这个问题，后来被称为“将军饮马问题”。同学们，你是海伦，怎么将这个实际问题抽象为数学问题呢？ 2、化未知为已知，化“同侧”为“异侧” (1) 这l上有无数个点，究竟点C落在何处，才能使AC+BC最短呢？（利用几何画板实验验证同学们的错误观点，特别是“垂线段最短”）我们仔细观察，直线L上确实存在一个点到A、B两点的和最短，那么这个点究竟在哪里呢？
教学设计 单元（章节）轴对称课题课题学习：最 短路径 课时 1 课型新授课教具 三角板、圆规 PPT 主备人课时教学目标 1．能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题.（重点） 2．体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（难点） 板书设计 最短路径问题 教学流程 环节设计教与学（以教导学，以学为主）随记 一、复习导入 二、授课过程 （例1自主-学生代表回答） 例2（小组讨论-教师点拨-师生合作共同证明） 1.轴对称的性质 2.如何画轴对称图形. 探究点一：饮马问题 【类型一】两点同侧 例1如图，有一位将军骑着马从A点的军营出发返 回河对岸的B点的家中，途中要经过河L，让马去河里喝 水。该如何选择路线，让将军回家的路线最短. 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 【类型二】两点异侧 例2现在将军把家的位置搬到了河的对岸，和自己 的军营同侧，这次如何选择路线呢？ 此题首先抽象 成数学模型：一 线两点模式.接 着利用两点之 间线段最短即 可得出结论. B A l B A
例3（师生合 作-小组讨论- 教师点拨） 三、课堂达标 解析：可以将例2转化成例1的模式，此时需要找 到其中一点的对称点，连接对称点和另一点即可作答. 探究点二：造桥选址问题 例3如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最 短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解析：将两条线合并成一条，转化成例2的模式， 方可解答 1.如图，正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为 对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则作点P使△PBQ的 周长最小. 2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1， 4）、（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C 三点不在同一直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐 标___． A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3) 此题先要明确 两条河之间的 距离是不变的， 将两条河岸压 缩成一条即可 转化成例2的 模式. B A
13.4 课题学习最短路径问题 一、教材分析 1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。 2、目标和目标解析： （1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想. （2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 3、教学重、难点 教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决. 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程
二、自主探究合作交流建构新知 追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2：尝试解决数学问题
第十三章轴对称 13.4课题学习《最短路径问题》 一、教学目标 让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 二、教学重点及难点 重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题． 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺 四、相关资源 微课，动画，图片. 五、教学过程 （一）引言导入 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题． 设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向． （二）探究新知 问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 1．将实际问题抽象为数学问题 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识． （1）把A，B两地抽象为两个点； （2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．
2．解决数学问题 （1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求． （2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？ （3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决． （4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？ 学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出： 作法：①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求． 3．证明“最短” 师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．
13.4.最短路径问题 仙桃市第九中学王月娥 一、内容和内容解析 1．内容 利用轴对称、平移研究某些最短路径问题 2．内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短” “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. . 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、目标和目标解析 1.目标： （1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用， （2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想． 2. 目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，建立数学模型，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短． 达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想． 三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手. 对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小， 一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”． . 对学生而言，造桥选址问题的难度在于河的宽度如何处理，教师可作适时的点拨，如通过平移河岸使它们重合，引导学生朝着平移A或平移B去考虑.. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题． 四．教学支持条件分析 根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，
13.4 最短路径问题最短路径
教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 教学难点选择合理的方法解决问题. 四、教学策略 教法情景创设法 学法自主阅读 教学思路引导学生复习知识点，通过创设问题情境，归纳总结解决问题的方法，找出解决最短路径问题的突破点 板书设计 五、教学过程 学生活动（主体）教师活动（主导）设计意图 课前准备（疑）1.如图，连接A、B两点的所有连线中， 哪条最短？ ②最短，依据：两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与 该直线l上各点连接的所有线段中，哪 条最短？ PC最短，依据：垂线段最短 3. 如图，直线l是线段AB的对称轴，C 是直线l上任意一点，则AC和BC的大 小关系是什么？你的依据是什么？ AC=BC. 依据“线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等”. 4. 如图，如何做点A关于直线l的对称 点？ 以学生学过 的知识为基础引 入课题，培养学 生的学习兴趣. A B ① ② ③ P l A B C D
例将军要先带马去河边喝水，再去单位上班。请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？ 将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l ． 问题一你能用自己的语言把问题抽象为数学问题吗？ 问题二点C应该在哪里？ 为什么呢？ 问题1 现在，单位搬到了将军府的同侧，将军还是要先带马去河边喝水，再去单位上班。此时，将军应该如何走才能使所走路线最短？ 将两地抽象为A、B两个点，将河抽象为直线l 数学问题：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？作法： (1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l相交于点P.则
13.4 课题学习最短门路问题 第2课时课题学习最短门路问题(2) 【教育目标】 理解并掌握如何选址造桥能使门路最短的问题. 能利用轴对称和平移的有关知识解决实质问题半门路最短的问题. 在运用轴对称和平移知识解决问题的过程中，进一步培育和发展学生的逻辑思想本事和推理论证的表达本事. 【要点难点】 要点：利用轴对称和平移将造桥选址问题转变成“两点之间，线段最短”问 题. 难点：最短门路问题的解决思路及证明模式. ┃教育过程设计┃ 教育过程 设计企图 一、创建情境，导入新课 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，辩解向 A， B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 问题：(1)此问题转产生数学问题是：________. (2)如何找到泵站的地点P? (3)为何在P点的地点修建泵站，就能使所用的输 经过详细问题导 入，用问题激起学生 研究的兴趣.回首上 节知识的同时，为新 课的研究做好铺垫. 气管线最短呢？ 二、师生互动，研究新知从上边的分析与 问题1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在作图来看，经过平移 河上建一座桥MN.桥造在哪边才能使从A到B的门路AMNB把桥的牢靠长度奇妙 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河笔挺) 地化解开去，分析出
“AM＋BN”最短间隔 为A1N＋BN(也就是点 A1到点B之间的线段 最短)，从而实现了问 题的求解.表现了化 教师提出问题. 繁为简，转变的数学 学生经过思虑，小组内议论沟通不难得出，就是在河思想.同时这个问题 两岸辩解选两点M，N，使得AM＋MN＋NB的和最小的问题. 有着分外好的实质背 同时MN与河岸是笔挺的.以以下图. 景，情境切近生活实 际. 让学生在证明中 更为判定作图的正确
13.4课题学习：最短路径问题 教学目标： 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.. 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题.. 3.通过独立思考;合作探究;培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力;感受学习成功的快乐.. 教学重点： 将实际问题转化成数学问题;运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题;确定出最短路径的方法.. 教学难点： 探索发现“最短路径”的方案;确定最短路径的作图及原理.. 导学过程： 一、创设情景;引入新知.. 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中;线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中;垂线段最短”等的问题;我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题;本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题.. 二、自主学习;探究新知.. 问题1 话说灰太狼从羊村落魄回来途中;不小心掉进茅厕坑;为了不让老婆看到自己落魄不堪的样子;于是决定去河边先洗个澡;冲洗掉身上的脏物;然后再回家;如图所示;请你设计一种路线;教教可怜的灰太狼;告诉他走那条路线回家最近吗 茅厕 河边 你能将这个问题抽象为数学问题吗
追问1 这是一个实际问题;你打算首先做什么 将A;B 两地抽象为两个点;将河ｌ 抽象为一条直线． 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思;并把它抽象为数学问题吗 1从A 地出发;到河边ｌ洗澡;然后到B 地； 2在河边洗澡的地点有无穷多处;把这些地点与A;B 连接起来的两条线段的长度之和;就是从A 地到洗澡地点;再回到B 地的路程之和； 3现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线ｌ上的点．设C 为直线上的一个动点;上面的问题就转化为：当点C 在ｌ 的什么位置时;AC 与CB 的和最小如图． 问题2 如图;点A;B 在直线ｌ 的同侧;点C 是直线上的一个动点;当点C 在ｌ 的什么位置时;AC 与CB 的和最小 我们不妨先考略这个问题: · A ｌ
《13.4 课题学习——最短路径问题》教学设计
教师活动：提出自主学习的要求。巡视自主学习情况，催促、参与小组交流，收集解答情况。组织小组在全班的展示，并同学生一起解决学生出现的错误，引导学生归纳小结。 由问题1、2受到的启示：在生活中从甲地到乙地走直线最近。 三、合作探究： 问题3： 现将问题2中燃气管道L 的位置发生改变，泵站又应该修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 教师活动：提出小组合作学习的要求，组长组织，小组成员人参与，动脑、动手、动口。 提示：1.组长组织组员一起读题，理解题意；2.画出图形。3.由问题1、2受到的启示探索问题的答案。4.说明其中的道理。 教师活动：巡视小组合作学习的情况，根据实际情况给予适当的提示。〔如何将同侧的 学生自主探究，然后小组交流后， 全班展示。 学生根据问 题1、2的解决谈谈体会。 小组合作探究。 1.读题。 2.画图。 3.讨论解决 问题的方案。 4.说明其中 自主探究为学生提供自我展示的舞台，使学生获得 成功的体验，进一步激发学生探讨的兴趣 问题3的学习是本节课的重点及难点内容。通过前面两个相似问题的学习引入问题3的学习，此时学生已获得成功的体验，有较强的求知欲及攻克困难的决 心，教师组织学生参与讨论，在小组合作中突破本节的难点。 B B · · A l C A B A B l
点变化到异侧〕 教师活动：根据小组展示的结果给予适时评价，并收集小组的不同做法。和学生一道补充完整。组织学生归纳小结。 将问题3抽象为数学问题： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 提问： (1)把点B 移到l 下边和把点A 移到l 下边在直线l 上找到的点是同一点吗？ (2)你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？写出证明过程。〔注意C ´点的选择是任意一点〕 的道理。 小组内推荐发言人，展示本组探究过程和结 果，其它组员可补充。 其它小组对展示的结果进行评价。 学生试着写出证明过程 小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法，从中获益，增加学生的合作探究精神，有意识地培养学生的说理能力，逻辑推理能力，语言表达能力 B ' B · · A l C B · · A l A ' C '
13.4课题学习最短路径问题)
课程设计 修改和反思 实际问题转化为数学问题来解决。 今天我们就通过几个实际问题学习如何设计最短路径。 （设计意图：在学习本节课之前让学生们清楚学习这节课的知识在解决生活实际问题中有什么作用，同时让学生意识到数学知识应用的广泛性。） 导： 相传，古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题: 如图，从点A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”。 （设计意图：利用问题故事的形式导入，既激发学生的学习兴趣，又明确的出示了这节课的学习内容。） 知识回顾： 1.如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？ A B l
课程设计 修改和反思 为什么？ 2.如图，点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ 3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 4.如图，如何做点A 关于直线l 的对称点 ● ┐ （设计意图：在学习本节课之前先让学生预习几个知识点，便于这节课学生们能熟练的运用所学的知识解决本节课的内容。） 师：让我们回到刚才出示的问题中，引导学生将实际问题转化为数学问题，并明确作图要求。 A B ① ② ③ P l A B C D l A A B l 抽象成 A B l 数学问题
课程设计 修改和反思 作图：在直线l 上求作一点C,使AC+BC 最短问题. （设计意图：运用转化的思想，将实际问题抽象成数学问题，用数学思想和方法进行解决。） 思：现在假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？ 根据是“两点之间，线段最短” “两边之和大于第三边”。 （设计意图：让学生们思考假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短的问题，并用数学知识进行验证和推理。） 师：回到刚才的问题上。 问题 如果点A,B 分别是直线l 同侧的两个点，又应该如何解决？ 思：1.如何把“同侧”转换“异侧”？ 2.满足直线l 上的任意一点C ，使CB 与CB ′的长度相等？ 利用轴对称，作出点B 关于直线l 的对称点B ′ 3.在直线l 上求作一点C,使AC+BC 最短问题. ┐ ●B B A A l C