目录
摘要 ................................................................................................................................. I Abstract............................................................................................................................ II 第一章引言.. (1)
1.1 课题背景 (1)
1.2 研究工作 (2)
第二章预备知识 (4)
2.1记号与基本知识 (4)
2.2 二值膨胀方程的解 (7)
第三章平坦膨胀（腐蚀）方程的解 (8)
3.1 平坦膨胀方程的解 (8)
3.1.1 平坦膨胀方程解的存在性 (8)
3.1.2 平坦膨胀方程全体解的结构 (8)
3.2 平坦腐蚀方程的解 (10)
3.2.1 平坦腐蚀方程解的存在性 (10)
3.2.2 平坦腐蚀方程全体解的结构 (11)
第四章灰度膨胀（腐蚀）方程的解 (13)
4.1 灰度膨胀方程的解 (13)
4.1.1 灰度膨胀方程解的存在性 (13)
4.1.2 灰度膨胀方程全体解的结构 (13)
4.2 灰度腐蚀方程的解 (15)
4.2.1 灰度腐蚀方程解的存在性 (15)
4.2.2 灰度腐蚀方程全体解的结构 (15)
第五章总结与展望 (18)
参考文献 (19)
致谢 (21)
作者简历 (22)
第一章引言
1.1课题背景
二十世纪六十年代，马瑟荣（Matheron）和塞拉（Serra）在研究多孔介质透气性时创建了数学形态学。在此之后，国内外越来越多的人们认识到它的应用价值和研究意义，特别是以法国为代表的欧美各国对数学形态学的研究热情极其高涨[1]。基于简单的数学描述和强大的图像分析工具，数学形态学在近几十年来得到了持续的发展。目前，在图像分析、生物医学、材料学等诸多领域，数学形态学都有着广泛的应用，它也成为图像处理的一个主要研究方向[2-4]。
近年来，国际光学工程年会还在其年会中特别举办了以数学形态学为主题的专门年会，并且每年出版一本《Image Algebra and Morphological Image Processing》。2011年，第十三届国际体视学大会在会前还专门举办国际数学形态学培训班。有关的国际刊物也刊登了很多数学形态学的研究成果，如《计算机视觉与图形图像处理杂志》在1986年出版了数学形态学专刊[5]。
经过几十年的发展，二值形态学相关的数学理论基础工作已经非常完善。然而灰度形态学领域的研究还处于不断发展阶段，有大量的研究工作有待开展[6-10]。
二值形态学基础理论研究的发展主要有以下具有代表性的研究工作：
1975年，G. Matheron在《Random sets and intergral geometry》中将黑白图像与集合对应，并与集合运算建立联系，奠定了数学形态学的理论基础[11,12]。
1982年，J. Serra在《Image Analysis and Mathematical Morphology》中，用数学表达式具体表示数学形态学的概念，建立了图像处理和数学形态学的真正联系，使数学形态学公式化[13]。
2004年，C.O. Kiselman在《Digital Geometry and Mathematical Morphology》中对二值形态学基本算子膨胀、腐蚀、开启、闭合以及距离变换、骨架提取等算子做了系统研究与介绍，并对格上的形态学算子做了初步探讨[14]。
目前，在灰度形态学领域，对膨胀、腐蚀算子的数学理论基础研究还较少。有代表性的研究工作是：
2002年，邓廷权在《Grey-Scale Morphology Based on Fuzzy Logic》中借助模糊数学引入了灰度膨胀和灰度腐蚀算子，并对其性质进行了研究[15]。
2014年，郭艳艳、国起在《 A sort of gray-scale morphological dilations and erosions》中对[15]中灰度膨胀、腐蚀的定义进行了改进，引进了另外一种灰度膨胀、腐蚀的定义并研究了其性质[16]。