高考数学考点归纳之 离散型随机变量及其分布列
一、基础知识
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示?. (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：
?
.有时也用等式
P (X ＝x i )
＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列.
(2)分布列的性质
①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②∑i ＝1n
p i ＝1.
3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列
若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布?，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.
(2)超几何分布列?
在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k
N －M
C n N
，
k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *?.
. 若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．
两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布．
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. m ＝min{M ，n }的理解
m 为k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n ≤M 时，k (抽取的样本中次品的件数)的最大值为m ＝n ；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n ＞M 时，k 的最大值为m ＝M .
考点一 离散型随机变量的分布列的性质
1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为
则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336
D.32＋336
解析：选C 由分布列的性质知 ?????
2－3q ≥0，q 2
≥0，13＋2－3q ＋q 2
＝1，
解得q ＝32－33
6
.
2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a
n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，
则P ????12
＜X ＜5
2的值为( ) A.23 B.34 C.45
D.56
解析：选D 由????11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1，得a ＝5
4.
故P ????12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝5
6. 3.设离散型随机变量X 的分布列为
(1)求随机变量Y ＝2(2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列. 解：(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为：
从而Y ＝2X ＋1的分布列为
(2)列表为
∴P (η＝0)＝P (X ＝1)P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3， P (η＝3)＝P (X ＝4)＝0.3. 故η＝|X －1|的分布列为
(3)首先列表为
从而ξ＝X 2的分布列为
考点二 超几何分布
[典例精析]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人
接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.
[解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M ＝C 48
C 5
10
＝518
. (2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则
P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 1
4
C 510＝521，
P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34
C 510＝521，
P (X ＝4)＝C 16C 44
C 510＝142
.
因此X 的分布列为
[题组训练]
某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列.
解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X 的分布列服从参数N ＝8，M ＝3，n ＝3的超几何分布.
X 的所有可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝i )＝C i 3C 3－
i 5C 38(i ＝0,1,2,3)，则P (X ＝0)＝C 03C 35
C 38
＝528，
P (X ＝1)＝C 13C 25C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 05
C 38＝156
.
所以X 的分布列为
考点三 求离散型随机变量的分布列
[典例精析]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列.
[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝
A 12A 1
3
A 25＝310
. (2)X 的可能取值为200,300,400，
则P (X ＝200)＝A 22
A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 2
2A 35＝310
， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝35.
故X 的分布列为
[题组训练]
有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入座编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法.
(1)求n 的值；
(2)求随机变量X 的分布列.
解：(1)因为当X ＝2时，有C 2n 种坐法， 所以C 2n ＝6，即n (n －1)2
＝6， n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝1A 44＝1
24，
P (X ＝2)＝C 24×1
A 44＝624＝14，
P (X ＝3)＝C 34×2
A 44＝824＝13，
P (X ＝4)＝9A 44＝3
8
，
所以随机变量X 的分布列为
[课时跟踪检测]
A 级
1.若随机变量X 的分布列为
则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.[1,2] C.(1,2]
D.(1,2)
解析：选C 由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，
则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2].
2.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝a ????13k (其中k ＝1,2,3)，则a 的值为( ) A.1 B.913 C.1113
D.2713
解析：选D 因为随机变量X 的分布列为 P (X ＝k )＝a ????13k
(k ＝1,2,3)，
所以根据分布列的性质有a ×1
3＋a ????132＋a ????133＝1，
所以a ????13＋19＋127＝a ×13
27＝1， 所以a ＝27
13
.
3.(2019·赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 24C 35＝35，P (ξ＝2)＝C 23
C 35＝310，
P (ξ＝3)＝C 22
C 35＝110
，故选C.
4.一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2m
A 3n
的是( )
A.P (X ＝3)
B.P (X ≥2)
C.P (X ≤3)
D.P (X ＝2)
解析：选D 依题意知，(n －m )A 2m
A 3n
是取了3次，所以取出白球应为2个.
5.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝16
45
，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
解析：选B 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 1
10－x
C 2
10＝x (10－x )45＝1645
，∴x ＝2或8.
∵次品率不超过40%，∴x ＝2，∴次品率为2
10＝20%.
6.某射击选手射击环数的分布列为
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.
解析：由分布列的性质得a ＋b ＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 答案：40%
7.已知随机变量X 的概率分别为p 1，p 2，p 3，且依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________.
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p 1＋p 2＋p 3＝3p 2＝1，p 2＝1
3
，
又?
????
p 1≥0，p 3≥0，即
??
?
1
3
－d ≥0，13＋d ≥0，
得－13≤d ≤13
.
答案：???
?－13，1
3 8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.
解析：设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布， 其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，
则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 2
4
C 36＝45
.
答案：4
5
9.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；
(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.
解：(1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635
. 所以事件A 发生的概率为635
.
(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，
其中P (X ＝k )＝C k 5C 4－
k 3
C 48(k ＝1,2,3,4).
故P (X ＝1)＝C 15C 33
C 48＝114，
P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝3
7
，
P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝3
7，
P (X ＝4)＝C 45C 03
C 48＝114
，
所以随机变量X 的分布列为
X 1 2 3 4 P
114
37
37
114
10.(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0,1 000]
(1 000,3 000]
(3 000，＋∞)
节数
6
18
12
(1) (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列.
解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为12
36×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X 的可能取值为0,20,40,60.
P (X ＝0)＝1C 26＝115，P (X ＝20)＝C 13C 1
2
C 26＝615＝25，
P (X ＝40)＝C 12＋C 23
C 26
＝515＝13，
P (X ＝60)＝C 13
C 26＝315＝15，
则X 的分布列为
X 0 20 40 60 P
1
15
25
13
15
11.(2018·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳
出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，
(1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列.
解：(1)由题意知1
10[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122，
解得x ＝8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，
所以P (η＝0)＝C 27C 2
6
C 210C 210＝745，
P (η＝1)＝C 17C 13C 26＋C 27C 14C 16
C 210C 210＝91225， P (η＝2)＝C 23C 26＋C 27C 24＋C 17C 13C 16C 1
4
C 210C 2
10＝13， P (η＝3)＝C 23C 16C 14＋C 17C 13C 24
C 210C 2
10＝22225， P (η＝4)＝C 23C 24
C 210C 210＝2225
.
所以η的分布列为
B 级
1.若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A.(1－α)(1－β) B.1－(α＋β) C.1－α(1－β)
D.1－β(1－α)
解析：选B 显然P (ξ＞x 2)＝β，P (ξ＜x 1)＝α.由概率分布列的性质可知P (x 1≤ξ≤x 2)＝1－P (ξ＞x 2)－P (ξ＜x 1)＝1－α－β.
2.一个人有n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X 为随机变量，则P (X ＝k )等于( )
A.k n
B.1n
C.k －1n
D.k ！n ！
解析：选B {X ＝k }表示“第k 次恰好打开，前k －1次没有打开”，∴P (X ＝k )＝
n －1
n ×n －2n －1×…×n －(k －1)n －(k －2)×1n －(k －1)＝1n
. 3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________.
解析：事件“X ＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P (X ＝4)＝C 19C 2
3
C 312＝27220
.
答案：27
220
.
4.某班级50名学生的考试分数x 分布在区间[50,100)内，设考试分数x 的分布频率是f (x )
且f (x )＝???
n
10－0.4，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝5，6，7，－n
5＋b ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝8，9.
考试成绩采用“5分制”，规定：
考试分数在[50,60)内的成绩记为1分，考试分数在[60,70)内的成绩记为2分，考试分数在[70,80)内的成绩记为3分，考试分数在[80,90)内的成绩记为4分，考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b 的值，并估计该班的考试平均分数； (2)求P (ξ＝7)； (3)求ξ的分布列.
解：(1)因为f (x )＝???
n
10
－0.4，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝5，6，7，－n
5＋b ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n ＝8，9，
所以????510－0.4＋????610－0.4＋????710－0.4＋????－85＋b ＋???
?－9
5＋b ＝1，所以b ＝1.9. 估计该班的考试平均分数为
????510－0.4×55＋????610－0.4×65＋????710－0.4×75＋????－85＋1.9×85＋???
?－95＋1.9×95＝
76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3
人，再从这6人中抽出3人，所以P (ξ＝7)＝C 23C 11＋C 13C 22
C 36
＝310.
(3)因为ξ的可能取值为5,6,7,8,9，
所以P (ξ＝5)＝C 11C 22C 36＝120，P (ξ＝6)＝C 11C 12C 13C 3
6＝310，P (ξ＝7)＝310，P (ξ＝8)＝C 23C 12
C 36＝310
，P (ξ＝9)＝C 33
C 36＝120
.
故ξ的分布列为