空瓶换饮料问题的最快求解公式
6个空瓶能换1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？
157÷6×5=130.83（向上取整）=131
X=A÷N×(N-1) （向上取整）
如改为:每瓶饮料1元钱，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：131÷5×6=157.2（向下取整）=157
A=X÷(N-1)×N （向下取整）
用这种算法既快又准，不擅长算此类题目的朋友只需记住公式即可从容应对，原本会算的朋友可以快速得出答案（15秒以内），节约时间。行测的要求是又准又快，数学运算题不仅要会做而且要熟练，对一些常考类型的题目进行一般性的总结对可以在保证正确率的前提下提高解题速度，是我们复习时应该注意的内容。希望这个简单的总结对考友们有所帮助。
数量关系：空瓶换酒的问题 这类题经常会问到“最多(可以/可能)”喝掉多少瓶酒(这里特别需要注意：“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值，因为方法可以是假设的，所以这个值应该是假设的最大值。即假设在最有可能的情况下，充分利用每一个空瓶(现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶)凑合换最多的酒。 给出以下两种换法： 举个例子：3个空瓶换1瓶酒，8个空瓶(在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下)最多可以换到多少瓶酒? 第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒，喝完就留下1个瓶。 根据第一种换法，画个示意图： 思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒。如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用。这样显然也就达不到假设的最大值。所以这个答案就不是最多可能的数。 再看第二种方法：先拿2个空瓶换1瓶酒，喝完酒就直接把瓶子留在那里。(即：喝完后不带走酒瓶) 根据第二种换法，再画个示意图： 思路：因为每次换酒喝完后，瓶子都直接留在那里了，没有带回。所以没有剩下空瓶。刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件。只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值。所以这个答案才是最多可能的数。即：8÷(3-1)=4。
通过以上的规律，总结出空瓶换酒的公式。A代表多少个空瓶可以换一瓶XX，B代表有多少个空瓶，C代表通过多少个空瓶可以换一瓶XX，最多能喝到多少瓶XX。公式为：B÷(A-1)=C。 给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。 例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( ) A. 4瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶 【解析】C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。故选C。 例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( ) A. 30瓶 B. 32瓶 C. 34瓶 D. 35瓶 【解析】B 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，张伯伯24瓶啤酒喝完后，24个空瓶可以换24÷(4-1)=8瓶，所以他家前后共能喝掉24+8=32瓶啤酒。故选B。 例题3：5个汽水空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶?( ) A. 129瓶 B. 128瓶 C. 127瓶 D. 126瓶 【解析】A 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，设他们至少买汽水x 瓶。则换回汽水x÷(5-1)瓶，根据题意有：x+ x÷(5-1)=161，解得：x=128.8。所以他们至少买129瓶汽水。故选A。 【总结】通过上面3个例题的学习，告诉大家，在学习的过程中，善于归纳总结公式，合理利用公式来解决问题，在节约时间的同时，也提高了正确率，达到与一反三的效果。
[数算]空瓶换饮料问题的最快求解公式 6个空瓶能换1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？ 157÷6×5=130.83（向上取整）=131 X=A÷N×(N-1) （向上取整） 如改为:每瓶饮料1元钱，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：131÷5×6=157.2（向下取整）=157 A=X÷(N-1)×N （向下取整） 用这种算法既快又准，不擅长算此类题目的朋友只需记住公式即可从容应对，原本会算的朋友可以快速得出答案（15秒以内），节约时间。行测的要求是又准又快，数学运算题不仅要会做而且要熟练，对一些常考类型的题目进行一般性的总结对可以在保证正确率的前提下提高解题速度，是我们复习时应该注意的内容。希望这个简单的总结对考友们有所帮助。 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够
做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。
旧瓶装新酒——仿拟 南平三中王茵 “作业几时了？掩卷问夜天。不知举国学子，此刻有谁眠。我欲弃笔就寝，又恐明日课堂，老师骂耳边。起坐伸懒腰，片刻得清闲。写语文，做数学，夜阑珊。不应打盹，可知英语未做完？生要嬉戏玩乐，师要分高纪严，此事难两全。但愿学习好，百战能过关。” 这则小品文，显然是仿照苏东坡的《水调歌头》创作的。仿作借用苏东坡《水调歌头》的形式，写出了中学生无奈、矛盾的心情。这种用旧瓶装新酒的方法，就是仿拟。它有意仿照人们熟知的现成的语言形式，根据表达的需要临时创造出新的与之对应的语、句、篇来，从而造成巧妙的表达效果。 这种语言手段运用相当普遍。我们大致可以将它们分为三类： 一、仿词（包括固定短语） 如：新闻标题《尽快解决燃煤之急》《谈谈爱“才”如命》《刮民党蒋该死统治下的河南》很明显，“燃煤之急”是“燃眉之急”的改造，“爱才如命”是“爱财如命”的替换，“刮民党”指“国民党” “蒋该死”指“蒋介石”。再看下面两个句子： 1、11月份，西双版纳还是秋高气爽的季节，东北的大兴安岭早已草木皆冰了。 2、每年有些科局年终干部考核时的“民意测验”都是“名义测验”。 “草木皆冰”是仿“草木皆兵”造的新词；“名义测验”是仿“民意测验”造的新词。其他如：某些作家——投笔从“融”（投笔从戎）、银行人员——持“资”以“横”（持之以恒）、某些记者——言为“薪”生（言为心声）、某些教师——谆谆“叫悔”（谆谆教诲）、某些演员——多“财”多艺（多才多艺）、受贿干部——据“礼”力争（据理力争）以上例子，仿词与被仿词之间是因为音同或音近形成的，可称为谐音仿。 仿词和原有词语的某个成分在意义上类似或有某种关系的，叫相类仿。如： 1、至于熊文灿这班龟儿子，他们忘记了，我的名儿叫张献忠，可不叫张献宝！（姚雪垠《李自成》） 2、我是个医生，看见病人能不认真吗？可就因为认真了，才三天两头挨批，说我埋头钻业务，想成名成家，走白专道路，……算了，我走白痴道路，当个大傻瓜，行了吧？（宗福先《于无声处》） 再如：哑巴亏——喇叭亏（因说大话、图虚名而吃亏），红颜知己——蓝颜知己（帅气有风度的男子），托儿所——托老所（照管老年人的场所），开门红——关门红（指结束也和开始一样顺利、成功）都是新出现的相类仿词。 把现成的合成词或成语中的一个语素换成意义相反的语素，临时仿造出一个新的“反义词”叫反义仿。如： 1、有些天天喊大众化的人，连三句老百姓的话都讲不来，可见他就没有下过决心跟老百姓学，其实他的意思仍是小众化。（毛泽东《反对党八股》）
§空瓶换酒悖论 空瓶换酒是厂家为促销而采用的一种销售策略,它被抽象为数学题, 常在竞赛题中出现. 如果我买了n瓶啤酒, 商家规定, n 个空瓶又可以换得一瓶啤酒,问我最多可以喝到多少瓶啤酒?这是空瓶换酒类问题中最简单的一种先看, n=10 , m=3 的特殊情况. 10瓶啤酒喝光后可得到10个空酒瓶, 用它们可换取3瓶酒,还剩了1个空瓶. 把酒喝完后又得到4个空瓶, 再换一瓶酒, 还剩余1个空瓶, 喝完酒后总共有2个空瓶. 实际上我已喝了10 + 3 + 1 =14瓶啤酒. 这就是最多的啤酒数吗? 不是的, 我还可以用最后剩下的那两个空瓶再换一瓶酒喝. 我先向别人,如老板, 借一个空瓶, 凑足 3 个空瓶后按规定就能换到一瓶酒了, 把换得的酒喝光后, 我把空瓶还给那人即可. 因此我最多可喝到15瓶酒再 看一般的解答. 由已知, 若设一瓶酒的价格为x元, 则一个空瓶 的价格应为x m元, 瓶内纯酒的价格应为(x - x m)元, n瓶酒的总价格 为nx元可喝到的纯酒瓶数为 若(m-l) 整除n , 则瓶数为n+n m-1; 若(m-l)不能整n, 则瓶数为n +[ n m-1]可以合写为n +[ n m-1]当n== 10 , m= 3 时代人这个公式,算出 结果为10+[10 3-1]=15，与我们的分析是一致的。
我在讲解这个问题时发现一些同学的回答相当不可思议, 他认为我可以喝到1000瓶酒. 原因很简单, 从上面的讨论中我们发现: (l) 当m个空瓶可以换( A ) 得一瓶酒, 则( m-1)个空瓶照样可以换(B) 取一瓶啤酒. 即空瓶的数目能减少一个. 因为向他人借一个空瓶后可得到m瓶, 把这个空瓶还给那人就行了. (2) 既然(m -1)个空瓶能换(C)一瓶啤酒,同理, ( m-2)个空瓶也能换(D)取一瓶酒. (3)以此类推, 空瓶数目逐次少一个，最终一个空瓶也能换一瓶酒, 进而不要空瓶也可以换啤酒. 因此啤酒是可以白喝的. 如果商店足够大. 啤酒足够多, 就能喝到1000瓶啤酒. 这个结论显然是极其荒谬的, 但要将其中的道理解释清楚却并不容易. 我发现这个悖论后, 经过了仔细分析, 认为产生错误的原因如下. 我们已将错误的论述分为了三个部分, 给它们加上了编号, 下面逐一分析. (l) 是完全正确的, 从刚才那个一般的结论中也可以看出, 仅用空瓶换得的啤酒为[ n m-1]分母m-1 . 其中最关键的一 个字为“ 换” , 我们也给它编了号. 在(A)中的“换” 意为: 用m个空瓶交换一瓶啤酒, 是直接交换. 在(B)中的“换”意思就不一样了, 是间接的交换, 因为直接用(m-1)个空瓶是换不到啤酒的. 我就先去借一个, 凑足了数目以后再
原创总结【空瓶兑换公式】 公式：购买数=总瓶数/ 空瓶数* （空瓶数—兑换瓶数）【求“购买数”时向上取整，求“总瓶数、空瓶数”时向下取整】 6个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？( A ) A.131 B.130 C.128 D.127 ******************************************************************************* X=157/6*(6-1) X=130.8 向上取整，得131 某旅游景点商场销售可乐，每买3瓶可凭空瓶获赠1瓶可口可乐，某旅游团购买19瓶，结果每人都喝到了一瓶可乐，该旅游团有多少人？（D） A19 B24 C27 D28 ******************************************************************************* 冷饮店规定一定数量的汽水空瓶可换原装汽水1瓶，旅游团110个旅客集中到冷饮店每人购买了1瓶汽水，他们每喝完一定数量的汽水就用空瓶去换1瓶原装汽水，这样他们一共喝了125瓶汽水，则冷饮店规定几个空瓶换1瓶原装汽水？（A） A.8 B.9 C.10 D.11 ******************************************************************************* 郁闷了两天终于感觉有点收获，其实做这种题，即使不会也能懵出来。这种题都是极限值选项，要不选最大的、要不选最小的，其实这样的题型还是挺多的，记得以前我也发帖谈过，在不复述 如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水（ C ） A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶 ******************************************************************************* 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到（ B ）瓶啤酒。 A. 13 B. 15 C. 16 D. 17 ******************************************************************************* 某店啤酒可以用7个空瓶再换回2瓶啤酒，啤酒出售为3元一瓶，某人共有60元，请问他最多可以喝到多少瓶啤酒？（C）
空瓶换汽水类似问题讨论 1. 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到（）瓶啤酒？A 13 B 14 C 15 D16 2. 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？ 类似的问题，本人认为自己的方法不错，为了攒些人品，故与大家商榷。 第一题：“用3个空瓶再换回1瓶啤酒”，假设啤酒一瓶3元，则空瓶相应的1元，而真正的酒就只值2元，“某人买回10瓶啤酒”意味着花去人民币3*10=30元， 故而“最多可以喝到（）瓶啤酒”等于30/2=15瓶。 第二题：同理” “5个空瓶可以换1瓶汽水”由题意，假设1瓶汽水5元，空瓶则1元，真正的汽水只值4元，“某班同学喝了161瓶汽水” 则一共真正汽水的钱是：161*4； 而买整个汽水（真正的汽水加空瓶）需要5元，所以“他们至少要买汽水多少瓶”则等于(161*4)/5=(161/5) *4=(32*4）....余1，此时就可算出（32*4+1=129） 这里利用下面几题解释下，我的方法没有公式快，如果记不住公式的或考到时不确定公式的，可以学习下。例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( ) A. 4瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶 解析】C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。故选C 以上是其他同学的求解。 我认为，由题意可知，空汽水瓶的价钱是1元，汽水加瓶是3元，所以“小李有12个空汽水瓶”等于小李有12元钱，问题是“最多可以换几瓶汽水”，就是小李可以喝几瓶汽水，所以汽水（真正的汽水不加瓶）的数目=总共的钱/汽水的钱=12/2=6 例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( ) A. 30瓶 B. 32瓶 C. 34瓶 D. 35瓶 【解析】B 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，张伯伯24瓶啤酒喝完后，24个空瓶可以换24÷(4-1)=8瓶，所以他家前后共能喝掉24+8=32瓶啤酒。故选B。
行测技巧：解答空瓶换水问题 在做行测题目经常会遇到空瓶换水这类问题，大部分考生都喜欢用常规方法一点一点换，这么做虽然可以做出来，但是有两个弊端：错误率高且浪费时间。所以今天带大家系统看下这类题目，总结出一些很简单的方法，以达到做此类题即快又准的目的。 首先我们来看一下，空瓶换水常考的两种题型：一是有N个空瓶，问可以免费喝多少瓶水;二是有N个人，保证每个人都要喝到一瓶水，问最少需要买多少瓶。针对这两类题型，每类都有其固定的做题思路，我们逐个分析。 1、N个空瓶，可以免费喝多少瓶水。 比如：已知5个空瓶可以换一瓶水，现在有44个空瓶，问可以免费喝几瓶水。按照一般的思路，我们肯定直接算，44÷5=8瓶水……4个空瓶，8+4=12个空瓶，还可以接着换，12÷5=2瓶水……2个空瓶，2+2=4个空瓶，不够5个所以不能换了，但如果想的够仔细的话，可以考虑再借一个空瓶，这样又可以换得一瓶水，喝完杯中水之后，将瓶子还给别人，此时可以达到利益的最大化。因此能换8+2+1=11瓶水。这样做当然最终也得出了正确答案，但是很明显较慢较复杂。 现在就告诉大家一个非常不错的方法。由题意可得，5个空瓶=1瓶水，即5个空瓶=1水+1个空瓶，所以相当于4个空瓶可以免费喝一份水，所以44个空瓶可以喝到44÷4=11瓶水。注意：此11瓶水仅仅包括瓶中的水，不包括空瓶。 这就是现在我们做空瓶换水问题的常规解法，这样做就不容易遗漏，正确率也极高。
2、N个人，最少买几瓶。 比如：已知4个空瓶可以换一瓶水，现在全班37个同学出去游玩，问作为班长，最少买几瓶就可以保证大家每个人都能喝到一瓶水? 这类题，需要和生活结合在一起考虑。大家都清楚，如果在现实生活中，作为班长，我们买水肯定不能先买一些，让这些人赶紧喝掉，喝完收集空瓶子再拿去换水，换来的水再发给还没喝到水的那些同学，如果真这样办事情的话，那班长肯定会被赶下台的。而我们一贯的做法都是，先一下子买够全班人喝的，每人一瓶，等大家都喝完了，收集大家的空瓶，看看抵几瓶水，少给这几瓶水的钱即可。所以针对上述问题，班长肯定一下买37瓶，大家喝完产生37个空瓶，37÷4=9……1，意味着37个空瓶抵9瓶水，同时还会余下1个空瓶，所以我们可以少付9瓶水的钱，而余下这1个空瓶抵不了水，所以没用。因此最少需要花钱买37-9=28瓶水即可。
空瓶换水问题，根据题目类型分为两种解题方法。一个是正面求解的类型，要求题目必须给出一开始购买的量，问最后喝到的量;另一个是反面求解的类型，要求题目必须给出最后喝到的量，问一开始购买的量。 例1.某班8名同学买了8瓶汽水，商店规定每3个空瓶可以换一瓶汽水，那么这8名同学最多可以喝多少瓶汽水? 解析：这是第一种形式，给出一开始购买的量，问最后喝到的量。8瓶汽水喝完后就剩下8个空瓶，那么这8个空瓶可以用6个空瓶换2瓶汽水，还多2 个空瓶。喝完这两瓶汽水后共有4个空瓶，那么这4个空瓶又可用3个空瓶再换1瓶汽水，还多出一个空瓶。这1瓶汽水喝完后就有2个空瓶，那么我们可以借一个空瓶，换来1瓶汽水，喝完后正好可以还这个空瓶。这样一来一共就喝了8+2+1+1=12瓶。 这是我们分析出来的，但是大家可以看到这样来求解是非常麻烦的，也容易出错，那怎么办呢?其实只要大家能掌握它的本质就可以了。而空瓶换水的本质就是问你几个空瓶能够换到瓶子里的水，和大家一起寻找一下它的本质。 3个空瓶换1瓶汽水，为了分析方便，我们把一瓶汽水分成两个部分，空的瓶子，和瓶子里面的水，所以就有 3个空瓶=1瓶汽水=1个空瓶+1个水约去左右两边相同的部分 2个空瓶=1个水即：每当有2个空瓶能喝到里面的一个水 现在一共买了8瓶汽水，则有 8瓶汽水=8个空瓶+8个水=4个水(换的)+8个水=12个水 所以综合算式，最终能喝到12个水。这一方法减化了我们的计算量，求解过程更加清晰明了。 第二种类型： 例2.门口的商店贴出告示说，每10个空瓶可以换3瓶啤酒，张三一共喝了123瓶啤酒，且其中一部分是喝完以后换的，问张三一开始买了多少瓶啤酒? A.87 B.92 C.84 D.78 解析：这是第二种形式，给出最后喝到的量，问一开始购买的量。那这种题目要怎么做呢?要先找它的等量关系部分。题目中说10个空瓶可以换3瓶啤酒，可以得到这样一个等式：10空瓶 = 3瓶酒=3个酒 + 3个空瓶左右约去3个空瓶，就能得到 7空瓶 = 3 酒 也就是说，现在每当有7个空瓶就能换2瓶酒，但你现在手里有这7个空瓶吗?没有，要想得到7个空瓶去交换，是不是就先要买到7瓶酒?所以我们先买7瓶，看能喝到多少瓶。 7瓶酒=7个空瓶+7个酒=3个酒+7个酒=10个酒 换句话说就是，每买了7瓶酒，就能喝到10个酒
啤酒瓶换啤酒问题 Prepared on 24 November 2020
啤酒瓶换啤酒问题 青岛开发区初级实验初中孙艺格指导老师：葛岩岩 一.问题的提出 在日常生活中,我们经常会遇到用空啤酒瓶换啤酒的问题。喝完了啤酒还能用空瓶换啤酒继续喝，那么你研究过到底你能换多少啤酒吗怎么合算呢如果你没有经历过这种事情，下面这道数学题应该见到过吧： 现有10瓶啤酒，每三个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢 就这个问题，大部分人给的答案通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=14瓶）。然而有些更聪明的人却认为正确答案应该是15瓶。他们认为剩下的那两个空瓶仍然能够被利用，先借来一瓶啤酒，喝完后，连同剩下的两个空瓶一起还给人家，这样就可以喝15瓶了。 我思考再三也觉得这就是这道题的正确答案。 最近老师布置了作业，我突然又想到了这个问题，它能不能被深入地推广到一般情况呢下面就是我对这个问题的思考与研究。 二.数学模型建立 下表列出了原有啤酒瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：
通过观察，我把上表整理如下，大家能发现什么规律吗 根据归纳总结，我发现有这样一条规律： ①当原有啤酒瓶数X为偶数时，则实际能喝到原来倍瓶数的啤酒。 ②当原有啤酒瓶数X为奇数时，则实际喝到原来倍瓶数取整数的啤酒。 这是简单的一般归纳得出的结论，但能普遍用于一般情况吗那就要通过下面的分析来解决。 三.数学模型分析与问题的解决 经过仔细分析，我发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用前面提到的“借瓶子”的方法再喝一瓶啤酒。我们可以这样处理那些剩余的空瓶：把所有空
空瓶换酒的问题 这类题经常会问到“最多(可以/可能)”喝掉多少瓶酒(这里特别需要注意：“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值，因为方法可以是假设的，所以这个值应该是假设的最大值。即假设在最有可能的情况下，充分利用每一个空瓶(现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶)凑合换最多的酒。 给出以下两种换法： 举个例子：3个空瓶换1瓶酒，8个空瓶(在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下)最多可以换到多少瓶酒? 第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒，喝完就留下1个瓶。 根据第一种换法，画个示意图： 思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒。如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用。这样显然也就达不到假设的最大值。所以这个答案就不是最多可能的数。 再看第二种方法：先拿2个空瓶换1瓶酒，喝完酒就直接把瓶子留在那里。(即：喝完后不带走酒瓶) 根据第二种换法，再画个示意图：
思路：因为每次换酒喝完后，瓶子都直接留在那里了，没有带回。所以没有剩下空瓶。刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件。只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值。所以这个答案才是最多可能的数。即：8÷(3-1)=4。 通过以上的规律，总结出空瓶换酒的公式。A代表多少个空瓶可以换一瓶酒，B代表有多少个空瓶，C代表最多能换多少瓶酒。公式为：B÷(A-1)=C。 给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。 例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( ) A. 4瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶 【解析】C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。故选C。 例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( ) A. 30瓶 B. 32瓶 C. 34瓶 D. 35瓶 【解析】B 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，张伯伯24瓶啤酒喝完后，24个空瓶可以换24÷(4-1)=8瓶，所以他家前后共能喝掉24+8=32瓶啤酒。故选B。 例题3：5个汽水空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶?( ) A. 129瓶 B. 128瓶 C. 127瓶 D. 126瓶 【解析】A 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，设他们至少买汽水x 瓶。则换回汽水x÷(5-1)瓶，根据题意有：x+ x÷(5-1)=161，解得：x=128.8。所以他们至少买129瓶汽水。故选A。 其实也可以这样解答：161÷5=32···1，161－32=129 【总结】通过上面3个例题的学习，告诉大家，在学习的过程中，善于归纳总结公式，合理利用公式来解决问题，在节约时间的同时，也提高了正确率，达到举一反三的效果。
数学拓展课------空瓶换饮料 一、研究背景 （一）对课标的解读 关于解决问题的目标要求，在《数学课程标准（2011版）》中的具体要求，第一学段是：能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法。第二学段是：尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。 关于解决问题的方法与策略，在《数学课程标准（2011年版）解读》中指出在日常教学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。能画图时尽量画，其实质是将抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算等数学过程变得直观，更易于学生展开形象思维。此外，也强调引导学生经历从问题提出到问题解决的全过程，将数学与生活紧密联系在一起。使学生在体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间联系的过程中不断丰富模型思想。 综上所述，基于对学生数学核心素养的培养，以及关于“解决问题”内容的课标要求，教学中都应努力引导学生经历数学抽象、数学推理与数学建模的过程，实现思维的发展，能力的提升。 （二）我们的思考 在小学数学教学中，我们遇到这样一类问题：“买了若干瓶矿泉水，喝完后几个空瓶可换一瓶水，最多可以喝到多少瓶水？”或者“现在若干人准备买水喝，已知几个空瓶可以换一瓶水，至少要买几瓶水？”这类“以瓶换水”常被我们当做思考题来考学生。学生也容易在这方面出错，如果我们尝试以“空瓶换饮料”为教学载体，对四年级孩子开展一节“等量模型解决问题”的拓展课，学会运用等量模型这一数学思想方法来解决一些简单的实际问题或数学问题，引导学生经历数学抽象、数学推理与数学建模的过程，实现思维的发展，能力的提升。 在人教版旧教材中相关内容安排在三年级下册《数学广角》单元中，其中单
典型问题——空瓶换酒 题型解析： 在实际生活中，为了节约资源、保护环境，人们逐渐注意了物资的回收利用，“空瓶换酒”是我们的日常生活中常见的事例，就是有些商店为了鼓励人们把空酒瓶、空汽水瓶等可以再利用的物资交回再利用，实行几个空瓶可以换一瓶酒或汽水，于是就会有只要注意收集，合理安排，可以少花钱，又对社会有利，对个人也有利的现象。 例1：某商店出售啤酒，规定每4个空啤酒瓶可以换1瓶啤酒，张叔叔买了24瓶啤酒，他一家前后最多能喝到多少瓶啤酒？(32瓶) 例2：学校开校运会，要发给师生960人每人一瓶汽水，商店规定5个空汽水瓶可以换1瓶汽水，那么，为了使师生都能喝上一瓶汽水，学校至少要买多少瓶汽水？（768瓶） 例3：某校六年级的80名同学与2名老师共82人去公园春游，学校只准备了180瓶汽水，总务主任向老师交待，每人供应3瓶汽水（包括老师），其余不足的部分可到公园里购买，回校后报销，到了公园，商店贴有告示：每5个空瓶可换一瓶汽水，于是要求大家喝完汽水后空瓶由老师统一退瓶，那么用最佳方法筹划，至少还要购买多少瓶汽水回学校报销？（17瓶） 练习： 1、小明一家喝了汽水都把空汽水瓶收存，准备交社区服务中心回收，这天看到商店贴有告示，可用5个空汽水瓶换1瓶汽水，可以喝多少瓶汽水？还剩多少个瓶？ 2、5个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝完汽水的空瓶换的，那么他们最少买了多少瓶汽水？ 3、学校师生11194人外出参观，计划每人发2瓶汽水，售价1.8元，商店规定每6个空瓶可以换一瓶汽水，带队老师合理筹划，可收空瓶换汽水，如果每人按要求喝到汽水后，可以节省多少钱？
聪明的酒鬼换酒中的思维 《实用文摘》上有这样一道有趣的数学题：某酒店规定用3个空酒瓶换1 瓶啤酒．一位身无分文的酒鬼只有12个空啤酒瓶，他一共可以换回多少瓶啤酒？ 人们对这位酒鬼用这些空酒瓶究竟能换几瓶酒似乎都十分关心．张三说这位酒鬼只能喝到4瓶酒，因为12÷3=4；李四说这位酒鬼可以喝到5瓶，因为先用12个空酒瓶换回4瓶酒，喝完后再用4个空酒瓶中的3个去换回1瓶酒；酒鬼听后摇摇头说：“NO，NO，可以喝到6瓶酒．” 看到这里，我纳闷了：李四的说法很有道理，可酒鬼却说是6瓶，难道他在说醉话？到底是怎么回事呢？我百思不得其解，还是接着往下看吧！ 看看酒鬼的聪明换法 原来酒鬼的换法是：用李四的方法喝完第5瓶后还剩下2个空酒瓶，此时只需要再向他人借1个空酒瓶，凑成3个空瓶后，又可以换回1瓶酒，喝完后再将空酒瓶还给该人． 这个酒鬼虽然爱喝酒，不过他还真是聪明！用“借一还一”的方法竟然多喝了1瓶酒．这位聪明的酒鬼思考问题的方法非常值得我们借鉴．在解决数学问题时，巧用“借一还一”，可使一些看似复杂的问题变得十分简单，下面仅以因式分解中的问题为例说明： 例把x2+4xa-12a2分解因式 分析：通过观察不难发现，多项式的前两项如果能添加4a2项，就是完全平方公式．但添加4a2后还要减去4a2，这样才能使原式值不变，即“借一还一”． 解：原式=x2+4xa+4a2-4a2-12a2 =(x+2a)2-16a2 =(x+2a)2-(4a)2 =(x+2a+4a)(x+2a-4a) =(x+6a)(x-2a) 说明：添加4a2的目的是构成完全平方公式，便于分组后利用平方差公式进行分解．
啤酒瓶换啤酒问题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
啤酒瓶换啤酒问题 青岛开发区初级实验初中孙艺格指导老师：葛岩岩 一.问题的提出 在日常生活中,我们经常会遇到用空啤酒瓶换啤酒的问题。喝完了啤酒还能用空瓶换啤酒继续喝，那么你研究过到底你能换多少啤酒吗怎么合算呢如果你没有经历过这种事情，下面这道数学题应该见到过吧： 现有10瓶啤酒，每三个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢? 就这个问题，大部分人给的答案通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=14瓶）。然而有些更聪明的人却认为正确答案应该是15瓶。他们认为剩下的那两个空瓶仍然能够被利用，先借来一瓶啤酒，喝完后，连同剩下的两个空瓶一起还给人家，这样就可以喝15瓶了。 我思考再三也觉得这就是这道题的正确答案。 最近老师布置了作业，我突然又想到了这个问题，它能不能被深入地推广到一般情况呢下面就是我对这个问题的思考与研究。 二.数学模型建立 下表列出了原有啤酒瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：
通过观察，我把上表整理如下，大家能发现什么规律吗 根据归纳总结，我发现有这样一条规律： ①当原有啤酒瓶数X为偶数时，则实际能喝到原来1.5倍瓶数的啤酒。 ②当原有啤酒瓶数X为奇数时，则实际喝到原来1.5倍瓶数取整数的啤酒。 这是简单的一般归纳得出的结论，但能普遍用于一般情况吗那就要通过下面的分析来解决。
三.数学模型分析与问题的解决 经过仔细分析，我发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用前面提到的“借瓶子”的方法再喝一瓶啤酒。我们可以这样处理那些剩余的空瓶：把所有空瓶分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有空瓶”的啤酒（只可以喝，但不能得到空瓶）。这样把问题简化了，就可描述如下： 当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组0.5X 个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X+0.5X=1.5X瓶。 当原有瓶数X为奇数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组0.5（X-1）个，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝X?+0.5（X—1）=?1.5X-0.5瓶。 通过这两个式子，算出来的结果与上面整理过的表格完全一一对应。这也进一步验证了我们不完全归纳得出的结论。通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢如果是4个、5个或更多空瓶换一瓶啤酒，又会怎么样呢 四.数学模型的进一步推广 现有X瓶啤酒，每Y个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢由上面的推导过程来看，如果是Y个空瓶可以换一瓶啤酒，那么每拥有（Y —1）个空瓶，就可以用“借瓶子”法得到一瓶啤酒。所以当喝完X瓶啤酒得到X个空瓶之后，又能喝到[X/（Y—1）] 瓶啤酒。总共就是[X+X/（Y—1）] 瓶啤酒(若除不尽时则向下取整数).整理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到[XY/（Y—1）] 瓶啤酒(若除不尽则向下取整数)。 五.论文总结： 问题：现有X瓶啤酒，每Y个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢? 通过上面的分析，那么我们可知总共可以喝到[XY/（Y—1）] 瓶啤酒(若除不尽则向下取整数)。
空瓶换空瓶换水水/饮料饮料//酒题型总结及题型总结及公式推导 公式推导公务员行政能力测试中关于空瓶换水/饮料/酒的题型中常见的考点一是已知空瓶数、置换比例求最多可换瓶数；二是已知总瓶数、置换比例求最少需买瓶数。 一、假设现有空瓶数为a ，每n 个空瓶可以换1瓶饮料瓶饮料//…………，求最多 ，求最多可换瓶数 当拿n 个空瓶换第1瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1=a-(n-1)； 再拿n 个空瓶换第2瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1=a-(n-1)*2；再拿n 个空瓶换第3瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1-n+1=a-(n-1)*3 · ··· 再拿n 个空瓶换第x 瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-(n-1)*x 空瓶换饮料/……，最重要的一点是是否可拆借，目前有人认为，已知空瓶数求最多可换饮料数/已知总瓶数求最少需买瓶数意味着可拆借，我也认为，如果题目没有明确指出是否可拆借，有以上字眼即可理解为可拆借。 ①当不可拆借时 当a-(n-1)*x
即x+1=1a ?n →a=(x+1)*(n-1) 可知当a 为n-1倍数时，p=n-1，可换饮料数为x= 1a ?n -1当p 2014山西公务员考试行测技巧：数量关系之空酒瓶换酒问题现在离省考的时间越来越近，许多同学都开始准备省考，当然数量关系作为大家的拉分项目，其重要性不言而喻，但大家在复习的过程中，不知如何学习才能有效的提高数量关系的正确率。在这里就由中公教育资深专家为大家的数量关系学习提供一些指导。 对于数量关系的学习，最好是先把一个知识点吃透，再吃透下一个知识点，久而久之，我们就能把考试的知识点逐一吃透，然后在考试的过程中就会游刃有余。 接下来，就为大家介绍一种在许多省份出现的一种题型——空酒瓶换酒问题。先让大家了解下这类题目。 【例1】12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤酒为多少？【2012-联考】 A．10瓶 B. 11瓶 C. 8瓶 D. 9瓶 【解析】此类题目就是空酒瓶换酒的典型代表。如果我们直接去一个一个的凑就麻烦 了。那么怎样才能快速解决此类题目呢？通过读题，我们会发现，拿12个空瓶子换酒的过程中，不但喝到了一瓶啤酒，还收获了一个空瓶子，即11个空酒瓶就可以喝一瓶酒，所以一共可以换101/11=9……2。也就是可以换九瓶啤酒喝，即答案选D。 【知识点拨】这类题目可以用式子表示：12空瓶=1瓶酒（含瓶）=1瓶酒（不带瓶）+1空瓶，通过换算即可得到：11空瓶=1瓶酒（不带瓶），然后根据空瓶的数量进行换算。 【例2】某商店规定每4个空啤酒瓶可以换1瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，他家前后最多能喝到多少瓶啤酒？【2008-陕西-55】 A.30 B.31 C.32 D.33 【解析】题目很明显是空酒瓶换酒的问题。题目给出的是买了24瓶酒，然后再去换，显然先喝到了24瓶酒，剩下24空酒瓶，对后面的24空酒瓶，利用上面的方法：4空酒瓶=1瓶酒（不带瓶）+1空酒瓶，即：3空酒瓶=1瓶酒（不带瓶），所以又可以换到24/3=8瓶酒，所以共可以喝到24+8=32瓶酒，答案选C。 【例3】某种饮料每瓶2.3元，饮料瓶又可被现场回收，回收价为0.13元／个。问100元钱最多可以喝这种饮料多少瓶？【2011-四川-上-43】 A.44 B.45 C.46 D.47 【解析】这个题目是空酒瓶换酒的变型，用2.3元除了可以买到一瓶饮料还可以回收一个瓶子（0.13元/个），所以列式就是：2.3元=1瓶饮料（含瓶子）=1瓶饮料（不含瓶子）+1个瓶子（0.13元），即：2.3元-0.13元=1瓶饮料（不含瓶子），即2.17元=1瓶饮料（不含瓶子），所以一共可以换100/2.17=46……0.18，也就是可以喝到46瓶饮料。 啤酒瓶换啤酒问题 青岛开发区初级实验初中孙艺格指导老师：葛岩岩 一.问题的提出 在日常生活中,我们经常会遇到用空啤酒瓶换啤酒的问题。喝完了啤酒还能用空瓶换啤酒继续喝，那么你研究过到底你能换多少啤酒吗？怎么合算呢？如果你没有经历过这种事情，下面这道数学题应该见到过吧： 现有10瓶啤酒，每三个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢？ 就这个问题，大部分人给的答案通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10+3+1=14瓶）。然而有些更聪明的人却认为正确答案应该是15瓶。他们认为剩下的那两个空瓶仍然能够被利用，先借来一瓶啤酒，喝完后，连同剩下的两个空瓶一起还给人家，这样就可以喝15瓶了。 我思考再三也觉得这就是这道题的正确答案。 最近老师布置了作业，我突然又想到了这个问题，它能不能被深入地推广到一般情况呢？下面就是我对这个问题的思考与研究。 二.数学模型建立 下表列出了原有啤酒瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据： 通过观察，我把上表整理如下，大家能发现什么规律吗？ 根据归纳总结，我发现有这样一条规律： ①当原有啤酒瓶数X为偶数时，则实际能喝到原来1.5倍瓶数的啤酒。 ②当原有啤酒瓶数X为奇数时，则实际喝到原来 1.5倍瓶数取整数的啤酒。 这是简单的一般归纳得出的结论，但能普遍用于一般情况吗？那就要通过下面的分析来解决。 三.数学模型分析与问题的解决 经过仔细分析，我发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用前面提到的“借瓶子”的方法再喝一瓶啤酒。我们可以这样处理那些剩余的空瓶：把所有空瓶分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有空瓶”的啤酒（只可以喝，但不能得到空瓶）。这样把问题简化了，就可描述如下： 当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组0.5X 个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X + 0.5X = 1.5 X瓶。 已阅读 行测数学运算“真题妙解”之空瓶换酒问题 这类题经常会问到“最多(可以/可能)”喝掉多少瓶酒(这里特别需要注意：“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值，因为方法可以是假设的，所以这个值应该是假设的最大值。即假设在最有可能的情况下，充分利用每一个空瓶(现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶)凑合换最多的酒。 给出以下两种换法： 举个例子：3个空瓶换1瓶酒，8个空瓶(在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下)最多可以换到多少瓶酒? 第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒，喝完就留下1个瓶。 根据第一种换法，画个示意图： 思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒。如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用。这样显然也就达不到假设的最大值。所以这个答案就不是最多可能的数。 再看第二种方法：先拿2个空瓶换1瓶酒，喝完酒就直接把瓶子留在那里。(即：喝完后不带走酒瓶) 根据第二种换法，再画个示意图： 思路：因为每次换酒喝完后，瓶子都直接留在那里了，没有带回。所以没有剩下空瓶。刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件。只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值。所以这个答案才是最多可能的数。即：8÷(3-1)=4。 通过以上的规律，总结出空瓶换酒的公式。A代表多少个空瓶可以换一瓶XX，B代表 有多少个空瓶，C代表通过多少个空瓶可以换一瓶XX，最多能喝到多少瓶XX。公式为：B÷(A-1)=C。 给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。 例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( ) A. 4瓶 B. 5瓶 C. 6瓶 D. 7瓶 【解析】C 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。故选C。 例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( ) A. 30瓶 B. 32瓶 C. 34瓶 D. 35瓶 【解析】B 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，张伯伯24瓶啤酒喝完后，24个空瓶可以换24÷(4-1)=8瓶，所以他家前后共能喝掉24+8=32瓶啤酒。故选B。 例题3：5个汽水空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶?( ) A. 129瓶 B. 128瓶 C. 127瓶 D. 126瓶 【解析】A 本题空瓶换酒问题。根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，设他们至少买汽水x 瓶。则换回汽水x÷(5-1)瓶，根据题意有：x+ x÷(5-1)=161，解得：x=128.8。所以他们至少买129瓶汽水。故选A。 【总结】通过上面3个例题的学习，告诉大家，在学习的过程中，善于归纳总结公式，合理利用公式来解决问题，在节约时间的同时，也提高了正确率，达到与一反三的效果。2014山西公务员考试行测技巧：数量关系之空酒瓶换酒问题
啤酒瓶换啤酒问题
行测数学运算“真题妙解”之空瓶换酒问题
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