浅析一次函数解析式中k 和b 的几何意义
朱治辉
一次函数)0k (b kx y ≠+=的图象是一条直线。斜率k 的正负性表示函数的增减性，即当k>0时，函数y 随着自变量x 的增加而增加，当k<0时，函数y 随着自变量x 的减少而减少。在图象表示为当斜率k>0时，直线从左至右呈上升趋势；当k<0时，直线从左至右呈下降趋势。并且斜率k 的绝对值表示函数y 在自变量x 的每个单位时间内变化的快慢。当k 的绝对值较大时，函数在自变量的每个单位内变化的快，在图象上就表示为直线比较陡；当k 的绝对值较小时，函数在自变量的每个单位内变化的慢，在图象上就表示为直线比较平缓。而截距b 在图象上表示为直线与纵轴的交点位置，当b>0时，直线与纵轴的交点在其正半轴上；当b<0时，直线与纵轴的交点在其负半轴上。
例1. 如图1所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定，水注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽），水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是（ ）
分析：先审清题意，本题中的时间可分为三个段。第一段从注水开始到水注满烧杯结束，在这段时间内水槽的水面高度为零；第二段时间从水槽内有水开始到高度上升到烧杯的高度为止，在这段时间内水槽内水的高度迅速增加；第三段时间从水到烧杯高度开始到水槽内的水注满结束，在这段时间内水槽内的水的高度缓慢增加。所以在图象上表示为第一段时间内高度为零，可先排除C 答案和D 答案。再看A 答案和B 答案，由于第三段时间内水高上升的速度要比第二段时间内上升的缓慢，在图象上表示为第三部分要比第二部分平缓，所以应选择B 答案。
另外：若水先注入水槽中，水的高度h 与时间t 的关系如何？或在上述两种情况下，烧 杯中水的高度h 与时间t 的关系大致如何？请读者自行思考。
例2. 教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接水量都是相等的，两个放水管同时打开时，它们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量)L (y 与放水时间(min)x 的函数关系如图3所示：
（1）求出饮水机的存水量y （L ）与放水时间x （min ）的函数关系式。
（2）如果打开第一个水管后2min 时，恰好有4个同学接完水，则前22个同学接完水共需要几分钟？
（3）按（2）的放法，求出在课间10min 内班级最多有多少个同学能及时接完水？ 分析：先审清题意，用待定系数法求出两段解析式。再利用斜率k 的几何意义，验证所求结果。
解：（1）设线段AB 为：11b x k y +=，把A （0，18），B （2，17）分别代入可得： ?
??+=+=111b k 217b 018 即???=-=18b 5.0k 1
1 所以线段AB 为：
)2x 0(18x 5.0y ≤≤+-=。
设线段BC 为：22b x k y +=，把B （2，17），C （12，8）分别代入可得：
???+=+=2
222b k 128b k 217 即???=-=8.18b 9.0k 2
2 所以线段BC 为：
)9/188x 2(8.18x 9.0y ≤≤+-=。
注：在求线段AB 时，由b 的几何意义可知：b=18，验证所得结果。
（2）误解：一个水管2分钟可接满4个同学，则一个水管1分钟可接满2个同学；二个水管1分钟可接满4个同学，所以22个同学中，前4个同学用时2分钟，后18个同学用时5.4418=÷分钟，所以共需要5.65.42=+分钟。
误解原因：根据第（1）问中所求结果可知9.0k ,5.0k 21-=-=，
则2:19.0:5.0k :k 21≠=，
就是说，在单位时间内打开一个水管和打开两个水管时的出水量不是1：2，所以解答错误。
正解一：前4个同学共接水：
L 11718=-水，
则每人需水量为：L 25.041=÷，
所以22个同学共需要水量为：L 5.52225.0=?，
所以22个同学接完水后的存水量为：
L 5.125.518=-，
则对于线段BC ：8.18x 9.0y +-=，可令5.12y =，则有：
8.18x 9.05.12+-=，
即7)9.0()8.185.12(x =-÷-=分钟。
正解二：利用斜率k 的几何意义来求解，斜率k<0表示存水量在下降，其绝对值0.9表示存水量每分钟减少0.9L 。所以22个同学中，前4个同学用时2分钟，后18个同学用时0.2559.018=÷?分钟，所以共用时752=+分钟。
（3）令x=10，则存水量
L 918109.0y =+?-=，
则放水量为：L 9918=-，
所以人数为：3625.09=÷人。
本题中：斜率k<0表示存水量在下降，其绝对值表示存水量每分钟减少了多少。
从上面两个习题可以看出真正理解斜率k 的几何意义是非常重要的，它有助于我们抓住问题的本质，在解决有关问题时能够快速的达到目的。
一次函数与几何综合（k，b的几何意义与特殊 角）（人教版）（专题） 一、单选题(共8道，每道10分) 1.已知函数的图象为直线，点P的坐标为(2，1)，则点P到直线的距离为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：略 2.如图，点A的坐标为(-1，0)，点B在直线y=x-3上运动，则线段AB最短为( )
A. B. C.4 D. 答案：A 解题思路： 当AB垂直于直线y=x-3时，线段AB最短，如图， 设直线y=x-3与x轴交于点C，则点C的坐标为(3，0)．对于直线y=x-3来说， ∵k=1， ∴∠ACB=45°， ∵点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(3，0)， ∴OA=1，OC=3， ∴AC=4， 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴ 故选A 试题难度：三颗星知识点：略
3.如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，连接AC，=75°，则点B的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 对于直线y=x+b来说， ∵k=1， ∴∠ABC=45°， ∵=75°， ∴∠OAC=30°. ∵点A的坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∴， ∴， ∵点B在x轴负半轴上， ∴点B的坐标为. 故选B. 试题难度：三颗星知识点：略
4.如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，则AC所在直线的表达式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：略 5.如图，在平面直角坐标系中放入一张矩形纸片ABCO，OC=9，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知，则折痕B′E所在直线的解析式为( )
富乐实验中学：魏世君 《一次函数与几何图形的综合运用》 教学目标：继续探索一次函数与几何图形的综合运用。 学情分析：学生已经学习和掌握了一次函数与一元一次方程、一元一次不等（组）、二元一次方程组有关的综合性问题；前面也探讨了一次函数与简单的几何图形的有关问题，具有一定的分析能力和解题能力。本节课是在已学过的类型上进行加深和变式，加入了几何的平移、折叠、运动性问题，渗透了分类讨论和化归思想。 教学重点：一次函数与几何变换的综合问题。 教学难点：一次函数与几何变换的综合问题。 教学过程： 一、知识回顾 1、一次函数的一般形式是 ，它的图象是 ，与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 ； 2、待定系数法求一次函数解析式的步骤是 。 二、热身训练 例：如图，一次函数34 3+-=x y 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ； （1）点A 的坐标是 线段OA= （2）点B 的坐标是 线段OB= （3）线段AB= ； （4）________AOB S ?=， （5）将直线AB 向下平移3个单位，此时直线对应的函数解析式为 变式训练：若点P 是直线AB 上的一个动点，当点P 在第一象限运动时， （1）求△AOP 的面积S 与自变量x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当3AOP S ?=，P 点坐标为 ，此时在x 轴上求作一点M ，使得BM+PM 的和最小，作出图形并求出点M 的坐标。
反思提炼： 师生活动：学生认真审题，教师用几何画板动态演示该题的运动过程，引导学生分析问题，得出解答过程。 三、自主探究：若以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角△ABC，求斜边所在直线的函数解析式。 反思提炼： 师生活动：学生认真审题，自主作图，在在小组内进行讨论，教师用几何画板动态演示作图过程，引导学生分析问题，得出解答过程。 四、合作探究：如图，若在x轴上有一点C，点H在y轴上，将△AOB沿AH折叠，使点B恰好与点C重合；（1）求出点C和点H的坐标； （2）在平面坐标系内确定一点D,使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，求出点D的坐标。 反思提炼： 师生活动：学生认真审题，自主作图，在在小组内进行讨论，教师用几何画板动态演示作图过程，引导学生分析问题，得出解答过程。对于分类讨论做到不重不漏。
一次函数与几何图形综合专题 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即-k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即- k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0) 当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1 与y 2 相交于y 轴上同一点（0，b 1 ）或（0，b 2 ） ； ③?? ?≠=2 121, b b k k ?y 1 与y 2 平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1 与y 2 重合. 例题精讲： 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB
一次函数K与b的意义 尹敏华 一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b/k,0)的一条直线. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点满足函数关系式,满足函数关系式 的点都在直线上. 在一次函数y=kx+b(k≠0)中, 当k>0,b>0时,则图象过一,二,三象限. 当k>0,b<0时,则图象过一,三,四象限. 当k<0,b>0时,则图象过一,二,四象限. 当k<0,b<0时,则图象过二,三,四象限. 当k>0时,y随x的增大而增大.图像经过一、三象限. 当k<0时,y随x的增大而减小.图像经过二、四象限. 当b>0时,图象与y轴的交点在x轴的上方. 当b<0时,图象与y轴的交点在x轴的下方. 在x轴上的点,y=0,则kx+b=0,则x=-b/k.点的坐标为(-b/k,0). 在y轴上的点,x=0,则b=y.点的坐标为(0,b). 例：教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接水量都是相等的，两个放水管同时打开时，它们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿， 再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量与放水时间 的函数关系如图所示： （1）求出饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系式。 （2）如果打开第一个水管后2min时，恰好有4个同学接完水，则前22个同学接完水共需要几分钟？ （3）按（2）的放法，求出在课间10min内班级最多有多少个同学能及时接完水？ 分析：先审清题意，用待定系数法求出两段解析式。再利用斜率k的几何意义，验证所求结果。
解：（1）设线段AB为：，把A（0，18），B（2，17）分别代入可得： 即 所以线段AB为： 。 设线段BC为：，把B（2，17），C（12，8）分别代入可得： 即 所以线段BC为： 。 注：在求线段AB时，由b的几何意义可知：b=18，验证所得结果。
一次函数与几何图形 1、 平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少？ 2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。 3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线y=1/3x+b 恰好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。 4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少? 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大
值为多少？ 6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A点，交x轴于点B（-6，0），△AOB的面积为15，且AB=AO，求正比例函数和一次函数的解析式。 7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。 8、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A 点的坐标是（-1，0）， （1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积； （2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。
9、在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(b 小于0）的图像分别与x 轴、y 轴和直线x=4交于A 、B 、C ，直线x=4与x 轴交于点D ，四边形OBCD 的面积为10，若A 的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式 10、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y 轴交于点A ，且OA=OB ：求这个一次函数解析式 11、如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，m ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0，2），直线PB 交y 轴于点D ，S AOP =6. 求：（1）△COP 的面积 （2）求点A 的坐标及m 的值； （3）若S BOP =S DOP ，求直线BD 的解析式 12、一次函数y=- 3 3x+1的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内做等边△ABC
一次函数与几何综合（垂直的函数意义）（人教 版） 一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图，直线：y=x+2与y轴交于点A，将直线绕点A旋转90°后，所得直线的表达式为( ) A.y=x-2 B.y=-x+2 C.y=-x-2 D.y=-2x-1 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何转化 2.在平面直角坐标系中，把直线y=2x+4绕着原点O顺时针旋转90°后，所得的直线一定经过下列各点中的( ) A.(2，0) B.(2，3)
C.(4，2) D.(6，-1) 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何转化 3.如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，则AC所在直线的表达式为( ) A. B. C. D.
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合 4.如图，在平面直角坐标系中放入一张矩形纸片ABCO，已知点B的坐标为(4，-3)，连接AC，作AC的垂直平分线交AB于点D，交y轴于点E.则DE所在直线的表达式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合 5.如图，在平面直角坐标系中放入一张矩形纸片ABCO，OC=6，将纸片沿过点C的直线翻折 后，点B恰好落在x轴上的点D处，折痕交AB于点E，若，则DE所在直线的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合 6.如图，已知长方形纸片OABC，D是OA上的一点，且OD：AD=5：3，CD=，把△OCD 沿折痕CD向上翻折，若点O恰好与AB边上的点E重合，则CD所在直线的表达式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
一次函数应用题（k的实际意义）（人教版） 一、单选题(共5道，每道20分) 1.已知，A，B两市相距260千米，甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市，如图是两车距A市的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲车提速后的速度是( )千米/时，乙车的速度是( )千米/时，点E的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 2.（上接第1题）（2）乙车返回时y与x的函数关系式为( )
A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 3.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：（1）快车和慢车的速度分别是( )km/h． A.80；60 B.140；80 C.140；60 D.70；60
答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 4.（上接第3题）（2）两车返回时y与x之间的函数关系式为( ) A. B. C. D.
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题 5.甲、乙两个港口相距72千米，一艘轮船从甲港出发，顺流航行驶往乙港，休息1小时后立即返回；一艘快艇在轮船出发2小时后从乙港出发，逆流航行驶往甲港．已知水流速度是2千米/时，下图表示轮船和快艇之间的距离y（千米）与轮船出发时间x（小时）之间的函数关系式(顺流速度=船在静水中速度+水流速度；逆流速度=船在静水中速度-水流速度)． 请问快艇出发( )小时，轮船和快艇相距12千米？ A.2.2或2.6或5或5.4 B.0.2或0.6或3或3.4 C.0.2或0.6或5 D.3或3.4 答案：C
12.11练习 一、k和b的作用 1.一次函数y=-3x-1的图象不经过（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.一次函数y=5x-4的图象不经过（） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3.一次函数=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所 示，则k和b的取值范围是（） A.k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 B.C. k＜0，b＜0 D. k＜0，b＞0 4.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（） A. 2 B. 0 C. -1 D. -2 5.已知一次函数y=-x+b的图象经过第一、二、四象限，则b 的值可以是（） A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 6.关于函数y=-x+1，下列结论正确的是（） A. 图象必经过点（1，1） B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） D. y随x的增大而增大 7.已知正比函数y＝kx（k≠０）的函数值y随x的增大而减 小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是下图中的（） A. B. C. D. 8.一次函数y=kx+b，b＜0且y随x的增大而增大，则其图象 可能是（） A. B. C. D. 9.一次函数y=kx-k的图象大致是（） A. B. C. D. 二、平移 10.在平面直角坐标系中，将函数y=3x的图象向上平移6个单 位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（） A.（2，0） B. （-2，0） C. （6，0） D. （-6，0） 11.若把一次函数y=2x-3的图象向上平移3个单位长度，得到 图象对应的函数解析式为（） A.y=2x B. y=2x-6 C. y=4x-3 D. y=-x-3 12.把y=2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关 系式是（） A.y=2x+5 B. y=2x+6 C. y=2x-4 D. y=2x+4 13.将直线y=-2x+1向下平移2个单位，平移后的直线表达式为 （） A.y=-2x-5 B. y=-2x-3 C. y=-2x-1 D. y=-2x+3 14.直线y=2x-3向上平移4个单位，所得直线的函数表达式为 ______． 15.将直线向下平移个单位得到直线，则直线对 应的函数表达式为________. 16.将函数y=2x的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的 解析式为______． 17.把直线y=2x-1向下平移1个单位，平移后直线的关系式为 ______． 18.若直线y=2x+1下移后经过点（5，1），则平移后的直线解 析式为______． 第1页，共1页
一次函数与几何图形综合 思想方法小结 ：（1）函数方法．（2）数形结合法． 例题1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM 的 值不变；②(MQ －AC )/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 x y x y
2、如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA =OB 时，试确定直线L 的解析式； (2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM =4，BN =3，求MN 的长。 (3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 第2题图① 第2题图② 第2题图③
3、如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足. (1)求直线AB的解析式； (2)若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值； (3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为－1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．
第5周一次函数——平移与k 、b 性质 一、平移 方法：直线y=kx+b 与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。 直线y=kx+b 向左平移2，向上平移3 <=>y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。 1.直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 2.直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3.直线y=2 1x 向右平移2个单位得到直线 4.直线y=223+-x 向左平移2个单位得到直线 5.直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6.直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 7.直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线。 8.直线14 3 +-=x y 向下平移2个单位，再 向左平移1个单位得到直线________。 9.过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直 线是 10.过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________. 11．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________； 12．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________； 二、函数图像及其性质 ☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k≠0）的倾斜程度； b （称为截距）表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的，也表示直线在y 轴上的。 ☆同一平面内，不重合的两直线y=k 1x+b 1（k 1≠0）与y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系： 当时，两直线平行。 当时，两直线垂直。 当时，两直线相交。 当时，两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程：
一次函数与几何综合（一）（讲义） 课前预习 1. 若一次函数经过点A (2，-1)和点B (4，3)，则该一次函数的表达式为____________．2.如图，一次函数的图象经过点A ，且与正比例函数y =-x 的图 象交于点B ，则该一次函数的表达式为____________． 第2题图 第3题图3.如图，直线334y x =- +与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点C 是y 轴负半轴上一点，若BA =BC ，则直线AC 的表达式为__________． 4.如图，点A 在直线l 1：y =3x 上，且点A 在第一象限，过点A 作y 轴的平行线交直线l 2：y =x 于点B ． （1）设点A 的横坐标为t ，则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，线段AB 的长为__________；（用含t 的式子表示） （2）若AB =4，则点A 的坐标是__________．
知识点睛 1.一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题．2.函数与几何综合问题中常见转化方式： （1）借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段长，结合几何特征利用线段长列方程； （2）研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象交于点C ，点C 的横坐标为1，则△OBC 的面积为_______ ． 第1题图 第2题图2.如图，直线l 1：364 y x =+与y 轴相交于点N ，直线l 2：y =kx -3与直线l 1相交于点P ，与y 轴相交于点M ，若△PMN 的面积 为18，则直线l 2的表达式为______________．3.如图，一次函数123 y x =+的图象与y 轴交于点A ，与正比例函数y =kx 的图象交于第二象限内的点B ，若AB =OB ，则k 的值为__________ ． 表达线段长：横平线段长，横坐标相减，右减左；竖直线段长，纵坐标相减，上减下．
1文档来源为: . 专题训练：一次函数与几何图形综合 1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC 的解析式； (2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并 证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不 变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； (2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 (3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 第2题图① 2题图② 题图③
2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. （1）求直线2l 的解析式；（3分） （2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在 这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6分） 4.如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、 b 满足 . (1)求直线AB 的解析式； (2)若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； (3)过A 点的直线交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直线 交AP 于点M ，试证明的值为定值． 5.如图，直线AB ：y =-x -b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且OB ：OC=3：1。 （1）求直线BC 的解析式： （2）直线EF ：y =kx-k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若 存在，求出k 的值；若不存在，说明理由？ （3）如图，P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ ，连接QA 并延长交ｙ轴于点K ，当P 点运动时，K 点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。 C B A 0x y Q M P C B A x y
学生做题前请先回答以下问题 问题1：若一次函数表达式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0），k是______，表示___________，可以用几何中的坡度来解释.坡面的____________与____________的比叫坡度或坡比. 问题2：b表示____________________________. 问题3：一次函数与几何综合解题思路中，求直线表达式的思路有哪些？ 一次函数与几何综合（一）（K，b的几何意义） （北师版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.如图，点B，C分别在直线y=3x和直线y=kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且，则k的值是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：k的几何意义 2.如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，连接AC，，则点B的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：k的几何意义 3.如图，直线AP的解析式为，且点P的坐标为（4，2），PA=PB，则点B的坐标是( ) A.（5，0） B.（6，0） C.（7，0） D.（8，0） 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：k的几何意义 4.如图，已知一条直线经过A（0，2），B（1，0）两点，将这条直线向左平移，与x轴、y 轴分别交于点C，点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为( ) A. B. C. D.
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转 5.已知点，B（0，0），，AE平分∠BAC，交BC于点E，则直线AE的函数表达式是( ) A. B.y=x-2 C. D. 答案：D 解题思路：
一次函数与几何综合 例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形纸片ABCO 的顶点A C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且BC =15．将纸片沿过点C 的直线折 叠后，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，折痕交AB 于点D ．若3 4OC OB'=则直线CD 的表达式为____________． 【思路分析】 1. 由折叠性质得，△BCD ≌△B′CD ，则B′C =BC =OA =15， =2. 设AD =t ，则B′D =BD =9-t ，在Rt △B′AD 中利用勾股定理可求出t =4，故D (15，4)； 3. 由C (0，9)，D (15，4)，可通过k ，b 的几何意义得到直线CD 的表达式：1 9 3y x =-+． 例2：如图，点A 的坐标为(-2，0)，点B 在直线1 22y x =- +上运动，则当线段AB 最短时，点B 的 坐标为_____________． 【思路分析】 1. 如图，当AB ⊥l 时，线段AB 最短； 2. 因为AB ⊥l ，所以1 ()1 2AB k ?-=-，故k AB =2，设l AB ：y =2x +b ，把A (-2，0)代入，得b =4； 3. 联立可求得点B 的坐标为(- 一、知识点睛 1. 一次函数表达式：y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0） ①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为____________，BM 即为____________，则= AM k BM ． ②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标． M A B
专题训练：一次函数与几何图形综合 1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1)求AC (2)在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥ BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3)在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2．如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； (2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 (3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第 x y x y 第2题图① 第2题图②
一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。 问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式； （2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。 第2题图③
一次函数与几何综合（习题） ? 例题示范 例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知长方形纸片ABCO 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且BC =15．将纸片沿过点C 的直线折叠后，点B 恰 好落在x 轴上的点B ′处，折痕交AB 于点D ．若3 4 OC OB'=，则直线CD 的表达式为 _____________． D (15，4)； 3. 例2：如图，点A 的坐标为(-2，0)，点B 在直线1 22 y x =-+上运动，则当线段 AB 最短时，点B 的坐标为_____________． 思路分析： 1. 如图，当AB ⊥l 时，线段AB 最短； 2. 因为AB ⊥ l ，所以1 ()12 AB k ?-=-，故k AB =2，设l AB ：y =2x +b ，把A (-2，0)代 入，得b =4； 3. 联立可求得点B 的坐标为(? 巩固练习
1.如图，点B，C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A，D是x轴上的两点．若 四边形ABCD是长方形，且AB:AD=1:2，则k的值为____________． 第1题图第2题图 2.如图，已知直线l1：y=-x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1，l2分别交x 轴于点E，G，矩形ABCD顶点C，D分别在直线l1，l2上，顶点A，B都在x轴上，且点B与点G重合，则长方形ABCD的面积为____________． 3.如图，已知长方形纸片OABC，D是OA上的一点，且OD:AD=5:3， CD OCD沿折痕CD向上翻折，若点O恰好与AB边上的点E重 合，则CD所在直线的表达式为____________． 第3题图第4题图 4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4， 0)，P为AB边上一点，沿CP折叠正方形，折叠后的点B落在平面内的点B′ _____________，直线CP的表达式为___________________． 5.如图，点A的坐标是(-2，0)，点B的坐标是(6，0)，点C在第一象限内，且 △OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为点E，交OC于点F，则点C的坐标为_______，直线AE的表达式为______________．
一次函数的定义 一、引入 共同特征：函数的关系式都是用含自变量的一次整式 二、归纳 1、一次函数的定义：函数的关系式都是用含自变量的一次整式表示的函数。 式子表示：y ＝kx ＋b (k,b 为常数，k ≠0) 条件：○ 1含自变量 ○ 2自变量的次数为1 ○ 3整式 特别地，当b=0,一次函数y=kx(k ≠0)叫正比例函数 注：（1）对于y ＝kx ＋b 当k ≠0,b 为任意数时是一次函数 当k ≠0,且b=0时是正比例函数 (2)正比例函数是特殊的一次函数 一次函数不一定是正比例函数 (3)若y 是x 的一次函数关系，则函数关系一定可表示为y ＝kx ＋b (k ≠0)形式,反过来，能化为y ＝kx ＋b (k ≠0)形式的函数一定是一次函数 若y 是x 的正比例函数关系，则函数关系一定可表示为y ＝kx (k ≠0)形式,反过来，能化为y ＝kx (k ≠0)形式的函数一定是正比例函数 三、典例 1、函数：○ 1y=2x ○2y=4x=3 ○3y=1 2 ○ 4y=3x +1 ○5y=3x+1 ○6y=ax ○7xy=3 ○ 82x+3y-1=0 ○9y=12x 2+1 ○10y=x 2 ○ 11 y=x(x-4)-x 2 ○12 y=-5x 2 _ 一次函数是__________ ___ 正比例函数是___________ 2、 关于x 的函数y=(5m-3)x 2-m +(m+n) (1) 当m 、n 为何值时，它是一次函数 (2) 当m 、n 为何值时，它是正比例函数。 3、 关于x 的函数3)3(3 +--=-n x m y m (1) 当m 、n 为何值时，它是一次函数 (2) 当m 、n 为何值时，它是正比例函数。 4、 已知y 与x-3成正比例，当x=4时，y=3 (1) 写出y 与x 的函数关系式 (2) Y 与x 之间是什么函数关系。 (3) 当x=2.5时，求y 的值。 小结： 1. y 与x 成正比例，则函数关系可设为y=kx(k ≠0) 2. 成正比例不一定是正比例函数，但正比例函数一 定成正比例。 5、当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 3 2-m +（m-4）是 一次函数？ 6、已知函数34)3(1 2-++=+x x m y m (x ≠0)是一次 函数 7、若函数3 2 )2(-+=a x a y 是正比例函数，求a 的值。
第1页一次函数与几何综合 班级：__________ 姓名：__________ 【知识点睛】 1.一次函数表达式：y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0） ①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡 面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示， AM 即为竖直高度，uj7BM 即为水平宽度，则= AM k BM ，②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标． 2.设直线l 1：y 1=k 1x+b 1，直线l 2：y 2=k 2x+b 2，其中 k 1，k 2≠0． ①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1∥l 2； ②若k 1·k 2=-1，则直线l 1⊥l 2． 3.一次函数与几何综合解题思路 从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交 点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．【精讲精练】 1.如图，点B ，C 分别在直线y=2x 和y=kx 上，点A ，D 是x 轴上的两点，已 知四边形ABCD 是正方形，则k 的值为______． y=kx y=2x A C B D O x y A O C D E B l 1l 2x y D y x O B C A 第1题图第2题图第3题图 2.如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA=m ，OB=n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_________． M A B
一次函数与几何的结合 一、以代数为中心的数形结合问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2交y轴交于点A，交x轴于点B，将线段AB 绕B点逆时针旋转90°到点C． (1)求直线AC的解析式； (2)若C、D两点关于直线AB对称，求D点坐标； (3)若AC交x轴于M，点P（ 5 - 2 ，m）为BC上一点，在线段BM上是否存在点N，使PN 平分△BCM的面积？若存在，求N点坐标；若不存在，说明理由． 2．(1)如图1，直线AB的解析式为y=1 3 x+1，C（0，-2），直线y=kx-l交AB于G点，交 AC于N点，且MN=MG，求k． (2)如图2，直线AB的解析式为y=1 3 x+1，C（0，-2），直线y=kx+k交AB于E点，交AC 于F点，且PE=PF，求k．
3．已知，如图1，在平面直角坐标系内，直线1l ：y= -x+4与坐标轴分别相交于点A 、B ，与直线2l ：y=13 x 相交于点C ． (1)求点C 的坐标； (2)如图1，平行于y 轴的直线x=a 交直线1l 于点E ，交直线于2l 点D ，交x 轴于M ，若DE=2DM ，求a 的值； (3)如图2，点P 是第四象限内一点，且∠BP0=135°，连接AP ，探究AP 与BP 之间的位置关系，并证明你的结论． 4．如图，直线y= x+4与坐标轴交于A 、B 两点，BD 平分∠ABO ，交y 轴于D ，OE ⊥BD 交AB 于E 点，点F 在OB 上，且OF=AE ，AF 与OE 相交于M 点． 求证 ：(1) AE=OD ； (2) DM ⊥AF.
5．如图，直线33y x =+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∠OAB 的角平分线与OB 的垂直平分线相交于P 点． (1)求P 点的坐标； (2)作∠ABO 的平分线交AP 于M ，判断△PBM 的形状． 二、构造全等三角形的数形结合问题 6．如图，直线AB 的解析式为y=-2x+4，D （0，-2），CD ⊥AB 交x 轴于C 点． (1)求直线CD 的解析式； (2)直线y=kx (k<0)上有一点E ，∠EAO=∠BAO ，BF ∥AE 交直线y=kx 于F ，求 AE BF AB +的值.
一次函数与几何综合（讲义） ?课前预习 1.小明认为，在一次函数y=kx+b中，x每增加1，kx+b就增加了k，y也就增 加了k．因此要想求出一次函数表达式中的k，只需要知道x每增加1个单位长度，y增加的单位长度即可．例如：在如图所示的一次函数图象中，x从1变到2时，y的值由3变到5，即x每增加1个单位长度，y就增加2个单位长度，因此k的值就是2．再结合b为函数图象与y轴交点纵坐标，可得b=1．故容易求出一次函数表达式为y=2x+1．请你用待定系数法验证小明的说法． x 请根据小明的思路，直接写出下图中一次函数的表达式． ?知识点睛 1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0） ①k
的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为____________，BM 即为____________，则= AM k BM ． M A B ②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标． 2. 设直线l 1：y 1=k 1x +b 1，直线l 2：y 2=k 2x +b 2，其中k 1，k 2≠0． ①若k 1=k 2，且b 1≠b 2，则直线l 1_____l 2； ②若k 1·k 2=_________，则直线l 1_____l 2． 3. 一次函数与几何综合解题思路 坐标 几何图形 一次函数 ①要求坐标，______________________________________； ②要求函数表达式，________________________________； ③要研究几何图形，________________________________． ? 精讲精练 1. 如图，点B ，C 分别在直线y =2x 和y =kx 上，A ，D 是x 轴上的两点，若四边 形ABCD 是正方形，则k 的值为________．