【标题】立体几何问题转化为平面几何问题方法初探
【作者】王天秀
【关键词】立体几何问题平面几何问题类比思想转换思想方法
【指导老师】冉彬
【专业】数学与应用数学
【正文】
1.引言
《立体几何》学习在中学数学学习中，占有重要一席。在培养学生的空间想象能力上，在培养学生逻辑推理能力上，在培养数学的表达能力上，是其他学科不能比拟也不能代替的。几何学习重要，学生也是承认的，可在实际中，普遍反映：学生最怕它，最不愿意学它，又因为中、高考都有它，不得不学它。为怎么造成这种局面，还不值得人深思吗？
客观世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的；事物之间又是在一定条件互相转化的；事物是永远处于运动变化之中的。客观世界的这些特性，要求我们在观察问题、处理问题时，要有意识地对问题进行转化，把复杂的、难解决的问题转化为简单的或是易解决的问题，这种意识称为化归意识。化归意识使我们用联系发展的、运动变化的眼光观察问题、认识问题。
化归思想，无论对于实际生活问题还是工作、学习都能给予一定的启示。对于立体几何的学习，利用化归思的想把立体几何问题转化为平面几何问题常能解决大量复杂的问题。更为重要的是化归的意识的培养不仅有助于问题的解决，而且对于培养学生思维的灵活性与逆向思维都能起到促进作用。同学们的思维是否具有灵活性，是与能否迅速、妥善地处理问题有密切关联的。
中学立体几何是研究空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用的科学。而这些空间图形是由点、线、面构成的。平面图形是空间图形的一部分，而很多空间图形是由平面图形组成的。认清平面图形与空间图形的关系，掌握由空间问题转化为平面问题，用平面几何的知识去加以解决。这种思维方法即为化归意识，是本文的重要指导思想和解决立体几何问题的重要方法。
2.研究立体几何问题转化为平面几何问题的依据
人类在漫长的历史长河中，为了生存和发展，就必须对客观世界作描述：将未知领域转换为已知领域。客观的世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的；事物之间又是在一定条件下互相转化的；事物是永远处于运动变化之中的。客观世界的这些特性，要求我们在观察问题、处理问题时，要有意识的对问题进行转化，把复杂、难解决的问题转化为简单的或易解决的问题，之中意识称为化归意识。回归意识使我们用联系的、发展的、运动变化的眼光观察问题、认识问题。如：17世纪，几何学由于法国的数学家笛卡儿在研究点和方法的转换——用代数方法研究几何，从而使几何学走上了一条崭新的道路。他的核心思想就是要建立一种普遍的数学，使算术、代数、几何统一起来，统一的桥梁是在平面上建立坐标系。这样将研究代数方程的问题转换为用几何直观的方法去研究处理；把研究几何图形的问题转换为研
究代数方程的问题。
随着几何学的不断发展，人们研究客观世界也是多角度、多层次、多方面的变换，人们自然会提出将复杂问题转换为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题。立体几何对于平面几何而言，是比平面几何要复杂、抽象，能否将立体几何的问题转换为平面几何问题来解决呢？这又给我们提出了一个研究观念的转换。
一种几何可以用公理化方法来构建，也可以把变换群与几何学联系起来，给几何学以新的定义。这种用变换群来研究几何学的观点，是由克莱因提出的。克莱因群论观点：某一种几何学是研究在相应变换群的一切变换下，保留图形不变性质的科学。按此观点，我们就找到了将立体几何问题转换为平面几何的理论依据，而立体几何中的三个公理,特别是公理3及其三个推论，又将立体几何转化为平面几何的理论依据进一步加强。
正如实际生活中占有空间的房屋是由一面一面的墙壁组成的那样, 立体几何中的很多空间图形也可以由几个平面图形构成，平面图形是空间图形的组成部分。例如：正方体就是由六个不同平面内的正方形围成的（如图1）；两条平行的直线平行移动，可以形成两个平行的平面（如图2）；
图1 正方体图2 两平面直线平行移动示意图两条垂直的直线平行移动，可以形成两个垂直的平面（如图3）；两条相交直线，当一条绕着交点旋转，另一条不动时，可以形成垂直的直线与平面（如图4）。因此，我们又找到了将立体几何问题转换为平面几何问题的现实依据。
图3 两垂直直线平行移动示意图图4 两相交直线旋转示意图
3. 立体几何平面化的思想方法
立体几何是平面几何的延伸与拓展，两者之间在不断升维与降维的转化中实现内容的补充和问题的解决。虽然有的平面几何定理不能移到空间，但是在空间的任一平面上，平面几何的结论都是成立的。因此选取或构造一个恰当的平面，使问题在这个平面上获得突破性进展，甚至全部解决，是一种自然而重要的思考方法，也体现了几何教学的衔接性、统一性。对这种方法的掌握和运用，一定程度上反映了研究空间问题的水平和质量，特别是对中学生，这种能力的培养和展现，直接体现其数学能力的可塑性程度。因此，在教学中必须重视和认真研究空间问题平面化方法的教学。
现实空间是三维的，我们在现实生活中遇到的大量问题属于立体几何问题，而解决立体几何问题的基本方法是把它类比或转化为平面几何问题。因此把平面几何知识与立体几何知识融为一体，用类比与转换思想来理解与解决立体几何问题是最重要的数学思想方法，也是中学生解决现实空间问题的出发点和基本思想方法。
3.1 类比的思想方法
所谓类比的思想方法，就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题做出猜想，并由此寻求问题的解决途径和结论。很多数学家，特别是那些有卓越贡献的数学家，他们大多是运用归纳与类比的能手。正如波利亚在《怎样解题》中指出“类比是一个伟大的引路人”。康德也提到：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”。刻卜勒也曾经说过：“我珍视类比，它是我最可信赖的老师，它知道自然界的一切秘密，在几何学中尤其不能忽视它。”欧拉是其中的佼佼者，他对类比曾有很高的评价，他说：“类比就是大胆的创造。不过，
你应该首先找到双方的相似属性。”
类比思想是中学数学教学中的重要思想方法之一。将未知问题已知化，将多维问题降维化，将复杂问题简单化，都是利用类比方法解决有关问题常用的手段，往往有些百思不得其解的问题由此可瞬时步入豁然开朗的境界。数学家认为，类比是发现的源泉，是伟大的引路人。
立体几何教学中，类比的思想方法被广泛采用。如将几何中的点和直线与立体几何中的直线和平面分别对应起来，由平面几何中角的概念可类比出立体几何中二面角的概念，由平面上直线a∥b, b∥c,则a∥c，可类比为空间内平面∥，∥，则∥；与平行四边形类比可得到平行六面体的不少类似性质；“面面垂直”与“线线垂直”，四面体与三角形均有较多的类似性质等，都是类比的思想方法获得运用的体现与展示。教学中，随时注意帮助学生掌握和运用类比的思想方法，可起到巩固旧知识，加速对新知识的形成、理解和记忆，促进知识的正迁移，培养学生思维广阔性的作用。
当然，类比仅仅是一种猜想，其正确性尚须逻辑论证。
又如解题教学中，将空间问题“在平面同侧有两点A、B，在内求一点C，使AC+BC 最小”和平面问题“在直线同旁有两点A、B，在上求一点C，使AC+BC最小”进行类比如图5所示：
图5
极容易发现这一空间问题也可以考虑折线变直线的思想方法予于解决；与平面问题“求证正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”的证明方法类比，很容易得到空间问题“求证正四面体内任意一点到个面的距离之和为定值”的证明方法：用体积法证明其值等于正四面体的高。
由此可见，在教学中，注意启发和诱导学生将空间问题和数量关系、位置结构与相似的平面几何问题进行类比，可以开拓学生的思路、诱发灵感，增强数学发现的能力，同时还可以沟通知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构。
3.2 转换的思想方法
研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟知的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化思想。美国数学教育家波利亚在《怎样解题》中强调指出：“为了辩明哪一条思路正确，哪一种方向可以接近它，我们就要试探各种方向和各种思路，就变更题目”。他所说的“变更题目”实质上就是转化。而转换是思想就是我们立体几何学习中的一种十分重要的思想方法。著名数学家高斯也曾说过“数学中的转换是美的发现。”这种思想方法是研究立体几何中做重要的思想方法，它贯穿于立体几何教学的始终，而将立体几何问题转化为平面问题是用转换方法解决立体几何问题的基本方法。
将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题时最重要的数学思想方法。将空间问题转化为平面问题就是把立体几何问题中的基本元素转换到一个或几个平面图形中，然后用平面几何的知识上来解决。事实上，立体几何中由于许多重要概念如：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的大小就是用两相交直线的角来定义的。因此，空间图形中许多基本元素的计算、证明问题就可以转换成平面图形来解决。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外），侧面上最短线路问题也多是通过侧面展开转化为平面问题；旋转体的有关问题也多是通过轴截面
而转化为平几问题。其实，立体几何中三种角（线线角、线面角、面面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转换。故此，教学中的适时揭示与恰当运用，确能强化学生的思维和目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。
4. 立体几何问题平面化的具体方法和典型例题
4.1 类比的思想方法
众所周知，平面几何与立体几何有许多相似的内容，这种知识内容的相似决定了逻辑方法上的相似。类比就是先从一个类似的平面几何问题出发，去探求解决立体几何问题的途径。在立体几何中类比联想的思维方法是解决问题的一把钥匙，它既可以帮助我们确定未知结论，也可以帮助我们寻找解决问题的方法。正如美国数学教育家G．波利亚说：“…对平面几何和立体几何作类比，…是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。
例1：如果多面体存在内接球，求证：这个多面体的体积等于它的表面积与内接球半径乘积的三分之一。
分析：与平面几何问题：“求证：多边形存在内切圆，这个多边形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的二分之一。”类比，其证题思路就是利用内切圆圆心到各顶点的连线把这个多边形分为若干个以多边形的边为底边的等高三角形，由此推测，这道立体几何题亦可用内切球球心与个顶点的连线，把这个多面体分成若干个以多面体各面为底面的等高锥体来解决。
例2：空间n个平面最多把空间分成多少个部分?
解：“最多”需任意两个平面不平行，任意三个平面不交于一直线。
平面之于空间低一维，恰似直线之于平面低一维。所以我们可以类比直线分平面的个数使问题获解。
分割元素的个数直线分平面的个数平面分空间的个数
1 2
2 2 4
4 3 7
8 4 11
15 5 16 26
…… …… ……
当直线分平面时，第k条直线与前k –1条直线有k –1个交点，这k –1个交点把直线分成k段，每一段把原所在平面分成2部分。
记k条直线分平面的个数为P（k）=P（k –1）+k
类比上述直线分平面的关系可知，第k个平面与前k–1个平面有k–1条直线，这k–1条直线把平面分P（k –1）个平面，每一平面分原所在空间2部分。
记k个平面分空间的个数为W（k）=W（k –1）+P（k –1）
由2，4，7，11，16……可得
P（n）=P（n –1）+n
=P（n –2）+（n –1）+n
=……
=P（1）+2+3+……+（n –1）+n
=
P（1）+P（2）+……+P（n – 1）= =
W（n）=W（n –1）+P（n –1）
=W（n –2）+P（n –2）+P（n –1）
=……
=W（1）+P（1）+……+P（n –1）
=
另解：由P（n）= 类比之，猜想W（n）= （a，b，c，d为待定系数）。当n=1，2，3，4时，求出a，b，c，d的值，即a=1/2，b=0，c=5/2，d=3，
所以猜测W（n）= ，这用数学归纳法证之即可使原问题获解。
例3：已知：G是的重心，平面过点G，使A点与B，C两点分别在平面的两侧。作于F，作于H，试猜想AE与BF，CH的关系，并证明你得到的结论。
简析：显然，此题的困难在于猜想未知结论和寻找证题方法。下面运用类比的思维方法将它转换为平面几何问题去思考。
首先，构造一个类似的平面几何问题（三维化为二维）：
已知：G是的重心，直线l过点G，使A与B，C两点分别在 l的两侧。作于E，作于F，作于H，试猜想AE与BF，CH的关系，并证明你的结论。
其次，由平面几何问题的结论猜想立体几何的结论。
图6
平几：AE=BF+CH。
立几（猜想）：AE=BF+CH。
最后，类比联想证明方法
平几：如图6，作于M，则BF+CH=2DM=AE。
立几：如图7，延长EG交FH于N，则平面AEGND和平面BCHF交于DN，
∵，
∴交线
∴
∴ BF+CH=2DN=AE。
图7
以上三步，在解决立体几何问题时有比较广泛的应用。
运用类比的思想方法指导教学，常常体现在双向联想的结合。即由平面几何问题类比联想推广到立体几何问题中去，又运用类比的思想方法将立体几何问题化归为平面几何问题去思考。例如，三角形有四心，因此类比联想四面体也有四心。即（1）四面体各棱的垂直平分线交于一点，这点到四面体各顶点的距离相等，是四面体的外接球的球心，简称四面体的外心。
（2）四面体的各二面角的平分面相交于一点，这点到四面体各面的距离相等，是四面体内切球的球心，简称四面体的内心。
（3）在四面体中，连结一个顶点和对面重心的四条线段相交于一点。这点到顶点的距离与这点到对面重心的距离的比是3:1，这点称为四面面体的重心，
上述三个结论是成立的。通过类比联想，发现第（3）个命题证明如下：
如图8四面体D-ABC，设分别是 , , , 的重心。
图8
取BC的中点E，则在AE上，在DE上， : : =2:1，设交于G，∴∥DA，∴ DG: =AG: =DE: =3:1.
类似可证必过G点，且BG: =CG: =3:1
还可类比得到：
四面体的四条高交于一点。
虽然这个结论不成立，但却有下述三个结论成立（证明略）
四面体对棱均垂直的充要条件是：各面的重心与对顶的连线共点；
在四面体中，如果有两条高相交，那么另外两条高也相交；
如果四面体的三条高相交于一点，那么第四条高也必过这一点。
类比法还可以用来探求某一类立体几何问题的内在规律，使我们获得解决一类立体几何问题的一般方法和结论。总之,类比是一种重要的数学方法,是某种类型的相似形，特别是未完全说清楚的类比可能是含糊的。类比，不只一个特殊的类比，在平面几何与立体几何之间有若干类比关系，比如：怎样从一个三角形出发可以通过一般化步骤上升到多边形，通过特殊化步骤下达为等边三角形，或者通过类比化为不同的立体图形，使左右两边都有类比。类比不仅仅是特殊的，或某一方面的而是多方面，全方位的，多渠道的，都可以类比。因此，指导学生用类比方法去分析和解决立体几何问题,会丰富他们的想象,提高他们的空间思维能力。
4.2 转换的思想方法
立体几何是平面几何的推广和发展.因此解决立体几何问题的基本思考方法是：寻找正确的手段和方法。将它转化为平面几何去解决。转换思想是理解和解决立体几何问题的最重要的数学思想方法。为了实现这种转化，又产生了许多数学方法。如平移法、射影法、展开法、辅助平面（截面）法等。
4.2.1 平移法
例4：如图9，在正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD，的中点，求AE与CF所成的角。
分析：求异面直线所成的角，通常是利用平移，转化成相交直线所成的角，怎样转换方便，这是首先要考虑的问题。如果将E移到C，A点就到了四面体的外面，显然不好。对于几何体中的一条线段，平移时应选定一个面（或截面），让线段在这个平面内移动。如选定截面AED，过F作AE的平行线，也可选定平面BCF，平移CF，使C与E重合。
图9
解：连接DE，作FG∥AE，交DE于G，连接CG，则∠CFG为AE与CF所成的角。设四面体的棱长为a，则：
AE=CF=DE= ,FG= ，
在△CFG中，由余弦定理得：
∴ AE与CF所成的角为
以上例题是用平移法将异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角，从而实现了立体几何平面化，使问题得以解决。
4.2.2 射影法
在立体几何中许多问题都与射影有关，如各种角度，各种距离及有关定理等。准确找到点、线、面的射影往往是解题的突破口。而合理的构造射影面，对空间中的点线面进行投影是将空间问题转化为平面问题的一条重要途径，同时也是处理更广泛空间问题的通法。
例5：在正方体中，E，F分别是AB，的中点，K，H分别在DC，BC上，且，，求
证：。
分析：作交于G，则平面AC，且G为BC的中点。连接EG（如图10），欲证，只需证。这样问题就转化为同一平面内的线线垂直问题。
图10
证明：作交BC于G
∴平面AC
连接EG、AC、BD
∵，
∴ KH∥DB,同理可证EG∥AC
在正方体中有
∴
∴
例6：已知MN、PQ是空间异面直线，A、B、C是PQ上的三点，且B在A、C之间，是A、B、C在MN上的射影（如图11），求证：。
图11
分析与简解：
作垂直于MN的投影面，设
，
B在A、C之间，∴之间
∴在中有
∴
命题得证。
注意：在进行投影过程中，也需要形与形、量与量、形与量的变化，在变化中找出它们之间的衔接点。
4.2.3 展开法
例7：半径为8的球O内有一内接圆台，圆台上、下底面半径分别为4，8。若AB 是圆台下底面上的一条直径，试求由A到B沿球买内的距离及沿圆台侧面的最短线。分析与简解：显然，由A到B沿球面的距离即是A、B的大圆上AB的长，为⊙O的半圆周长8 。
作圆台的轴截面（如图12（1）），将圆台侧面展开得一扇环（如图12（2）），在图13（1）中，
图2（1）图12（2）
由已知，CM=4，OA=OC=8，∴，从而，故AC=8，由此可计算得扇环的中心角为。设截得圆台的圆锥的顶点S，因AB是圆台底面上一条直径，故在展开图中，有，且有SC:SA=SC:(SC+CA)=4:8,由此可求得SC=8,故SA=16,连接AB,则线段AB的长即为A点到B点沿圆台的最短距离.
在RT ASB中,SA=SB=16(SA、SB是截得圆台的圆锥的母线),由勾股定理求得。
与上题类似，如（图13）所示，AB是圆台的母线，其上、下底买内的半径分别为2.5cm和5cm，AB=10cm，从AB中点开始，把一条绳子沿着圆台侧面绕到A点。求绕一圈时，绳子的最短长度是多少，绳上的点与上底圆周上的点的最短距离当中最短的距离是多少？
图13
分析：此题直接按立体图形求解会让你一筹莫展，如果画出侧面展开图，转化为平面图形，就会助你走出困境。
沿圆台母线AB切开，然后展开成上图，AB和分别表示切口处两条重合的母线，O 为圆弧的圆心，M是的中点。连接AM，则线段AM的长即是所求的最短绳长。自O作于H，交于P，PH就是绳上的点与上底圆周上的点之间的最短距离。
容易求得:AM=25cm，PH=2cm.
利用展开发将立体结合问题转化为平面几何问题，多是用在求空间中的最值问题，在用立体几何知道直接求解这类问题比较困难时，用展开侧面（或截面）法便可迎刃而解。
4.2.4 辅助平面法
立体几何的知识结构告诉我们，线面的垂直平行关系是内容的核心。而它们又是通过判定定理、性质定理相互转换的，定理的运用过程就是下述关系的联系与转化过程：点点——点线——点面（线线）——线面——面面。而在运用定理的过程中，恰当作好辅助平面是一个不容忽视的重要环节，它为立体问题的解决铺平了道路。例8：如图14（1），设正方体的棱长为a，M是面对角线的中点，N为对角线上的分点，。
试求：（1）顶点D到平面BMN的距离；（2）面对角线BD与平面BMN所成的角
图14（1）
分析：首先找出所在的平面与正方体相截的截面。将对角面另画一平面如图15（2），不难证明与BN重合且BN与垂直，
∴所在的平面与正方体相截的截面就是正，运用三垂线定理与“线面垂直”定理可证，垂足是N，从而把立体问题转化为对角面内的平面问题求解（如图14（2）），
图14（2）
线段DN为顶点D到平面BMN的距离；是直线DB与平面BMN所成的角，易计算得：，
本例题需要恰当选择已知的点、线，构造辅助平面，使立体几何问题集中的反映到平面上，转化为平面几何问题。
4.2.5 组合截面法
平面截几何体所在几何体内部的部分，即为几何体的截面。通过截面去暴露“组合体”中的相切与相接的关系是立体几何中常见的一类问题，有时我们也可以利用截面去分析单个几何体的内部结构与特征，以达到管中窥豹的目的。
例9：在正方体中，求二面角的大小。
图15
简析：找、证、求是处理角度问题和距离问题的主要过程，找是关键。如图15，注意到所在的平面即为截面，则过A作BD的垂线，交于M、N，连接CM，由正方体的对称性知，故即为所求。如果我们将视角放大，事实上所在平面即为截面，在中M为中心，AN为中线，所以。
注意：上述解法中，我们利用截面使局部与整体很好地结合起来，通过整体来反馈局部特征，避免了求解角的繁琐过程。当然截面问题的难点在于如何作截面，在要求学生有扎实的基本功。
4.2.6 旋转开发新平面法
思维是数学的灵魂，每一种具体的数学知识都包含深刻的思想方法。每一中思想方法都同摄若干问题。立体几何的平面化思想正是化归思想的具体体现，能够主动自觉到运用化归思想处理立体几何问题，为寻求在新平面下的问题解决大开了广阔的思维空间。
例10：正方体的棱长为1，P∈AC，过的平面与底面所成角，过的平面与底面成角，求的最小值。
简析：如图16（1），作出平面角，为了求，可将作为某一三角形的两个角，故将绕PO旋转到面上得，将绕PO旋转到面上得，如图16（2），只需的顶角最大即可。
图16（1）图16（2）
在中，可求得
设，由
知，当的底边、高均为一定时，只有两边相等时，顶角最大，可求得，故
注意：利用旋转巧妙的将空间问题转化为平面问题，使问题得到了简化。转化的方式很多，不拘泥于现成的模式，只要有利于问题的解决和思想方法的深入，便是立体几何平面化思想的本质。
5.立体几何问题转化为平面几何问题的教学思考
《数学课程标准》中提出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
《数学课程标准》将数学思想的培养列入数学学习的主题之一，从而进一步确立了数学思想在素质教育中的重要地位，转换思想的其中之一。众所周知，每门学科都在研究转换。如：医学在研究病理如何向健康转换；生物学在研究现有技术如何向尖端技术转换，为人类提供有利的帮助；人们的肌体每天都在把事物转换为可吸收的糖类、蛋白质、脂肪等。数学是研究空间形式和数量关系的相互转化。数学本身是研究矛盾对立面在一定条件下依照规律互相转换——已知与未知，多与少，抽象与具体，运动与静止，无限与有限，数与形等都在一定的条件下相互转化。从未知领域出发，向已知领域转化，为了实现转化，就要借助于“代换”，故称之为转换。中学数学中的转换有：代数中有解析式的衡等变换；方程、不等式的同解转换；解析几何中有坐标转换，数形转换，图象转换；几何中有合同转换，相似转换，射影
转换，等积转换等。各种转换的本质是变中的不变，转换是手段，揭示其中不变的东西才是目的。
在中学数学教育中，立体几何知识是其中非常重要的一部分内容，要怎样把握这一部分的教学才能实现学生在原有的知识结构上对这部分知识的同化和顺应呢，要怎样才能使学生建立起完整的立体几何知识结构并与原有的平面几何知识结构相融合，解决更多的现实问题？这就需要教师认真思考与研究了。鉴于对大量前辈教师的经验和自己的一点实习实践总结，现就关于立体几何中的空间问题平面化方法教学作如下思考：
把空间问题转化为平面问题来研究，是解决立体几何问题的重要方法，立体几何是平面几何的进一步延伸与拓展，也体现了几何教学的衔接性、统一性。对这种方法的掌握和运用，一定程度上反映了教师研究空间问题的水平和质量；对于学生，这种能力的培养和展现，直接体现其数学能力的可塑性程度。因此，在教学中要注意培养学生这方面的能力和注意这方面教学方法的研究。
5.1 在知识的形成过程中揭示空间问题与平面问题的转化
在现行的人教版中学数学教材中立体几何部分，空间问题转化为平面问题是教学的焦点之一，如：
5.1.1 空间角的平面化
空间角主要是指异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，这三个概念的定义，为我们把空间角转化为平面角提供了理论依据和具体方法。因此，在一个问题中，如果条件或结论关系到空间角的概念，首先要以概念为指导作出有关的空间角，然后逐步转化为平面角去解决。
例如当学生熟悉了异面直线的概念之后，很自然地会出现这样的问题：如何区分几组异面直线的不同位置关系呢？如图17中a，c是异面直线， b，c也是异面直线，如何区分这两
图17
组同是异面的直线？这里我们很自然地会想到在平面几何中区分同是相交直线时是用它们的夹角来区分的，这样就引出如何定义异面直线所成角的问题。异面直线是空间中既不相交也不平行的直线，怎么能得到它们的交角呢？为了解决这个问题，一个重要的数学意识——化归思想，正像教科书中讲的那样，将空间问题转化为平面问题来处理，问题了可得到妥善的处理了。
另外在讲授二面角及二面角的平面角的定义时，教师也应注意将立体几何问题类比或转换到学生熟悉的平面几何问题中去。平面角的定义：从一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形，叫做角，记作。平面角的概念是由射线——点——射线构成的。二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，如图18所示，叫做二面角。记作：
图18
，其中AB（或a）叫做二面角的棱。二面角的概念是由平面——直线——平面构成的。从旋转的角度仍能进行相似的类比：平面角：一条射线绕着它的端点旋转，它的起始位置和它的最终位置所组成的图形。类比到二面角：从一条直线出发的半个平面绕着这条直线旋转，它的起始位置和它的最终位置所组成的图形。在知道了二面角的概念后我们要怎样用数量来度量它呢，这样根据实际的需要和可能，运用“化归”的思想把空间二面角的度量转换为平面内平面角的度量，而平面角的度量
是很容易办到的，这样就引出了二面角的平面角的概念。二面角的平面角的定义：在二面角上的棱上任取一点，在两个半平面内分别作该棱的垂线，那么这两条射线所组成的图形就是二面角的平面角。如图19所示。
图19
在二面角中，，则是二面角的平面角。
例11：P为二面角M-a-N一点，有，且PA=5，PB=8，AB=7，求这个二面角的度数。
图20
解：过相交直线PA，PB作一平面与棱a交于C，连AC，BC。∵，∴，同理，∴平面PABC。∴，∴是二面角M-a-N的平面角。在平面PABC中，∴。在中根据余弦定理：
∴，则，即二面角M-a-N为120°。
5.1.2 空间距离的平面化
立体几何中的距离问题，根据它们的定义都可转化为两点间的距离问题，这就是空间距离平面化的理论依据。例如求异面直线距离的基本方法是：或转化为求它们公垂线段的长；
或转化为求直线平行于平面间的距离；或转化为求二平行平面间的距离。而这三种方法最终又转化为求两点间的距离。
例12：已知正四面体V-ABC，求侧棱AB与VC的距离。
分析：如图21所示，如找到既与AB、VC都相交且垂直的DE是解决这道题的关键，根据“化归”思想，将问题转化为平面问题来解决。
图21
解：在平面ABC内作，连VD。在平面VDC内作，∵为正三角形，∴ D为AB
的中点，又为正三角形，∴，∴平面VDC，，∴，∴ DE为异面直线AB 和VC的距离。设AB=a，则，。
5.1.3 三垂线定理
三垂线定理可作为平面的斜线与该平面内直线垂直的判定定理。关于平面的斜线和该平面内直线垂直的判别，一般说来是一个空间问题，三垂线定理把空间问题转化为平面内与该斜线在平面内射影垂直的判别这一平面问题。所以，这些知识无不体现空间问题平面化方法的运用。但是，因数学方法不像数学知识具体化那样明显、易于感知，因此，在知识形成过程中，教师应结合教学内容不失时机地揭示内容的空间问题平面化方法，让学生通过感知深刻理解和领会这种方法的思维过程。
例13：在长方体中，AB=2，，E是的中点，连DB、ED、EB、EC。求二面角E-BD-C 的大小。
分析：如图22所示，要作出二面角E-BD-C的平面角。采用三垂线定理法，根据长方体的性质先作出平面BDC的垂线ED，则平面角易得到了。
图22
解：是长方体，∴侧面与底面ABCD互相垂直，在内过E作DC的垂线EO，垂足为O。在平面BDC内过O作，连EP。则可知，则即为二面角E-BD-C的平面角。
在中，，，则可得到∽。，∴，在中，EO=1，，∴，
。即二面角E-BD-C为。
5.2 在例题教学中突出空间问题平面化方法
例题教学具有传授新知识，积累数学经验，完善数学认知结构等多种功能。因此在教学立体几何知识时,通过有关的实际例子,说明立体几何平面化方法在立体几何学习中的重要性,使学生认识学习和掌握这种数学方法的意义,并积极参加数学实践活动...因此,在数学教学中应加强解题的教学,教给学生学习方法和解题方法同时,进行有意识的强化训练
例题14：如图23（1），已知两条异面直线a，b所成的角为，他们的公垂线段的长度为d，在直线a，b上分别取点E，F，设，求EF。
图23
（1）
分析：本题所求的是两条异面直线上两点间的距离。因为已知条件比较分散，所以设法把它们转移使之转化为平面几何问题。由条件a，b所成的角为，联想到两条异面直线所成角的定义，于是过A点作直线c∥a，则b，c所成的角为，且，设两条相交直线c，b确定的平面为，两平行直线a，c确定的平面为（如图23（2）），
图23（2）
易证，从而，且，在内作，易知，，这样已知条件a，b所成的角为，全都被转移到平面内。
解之得：，
则，
∴
求异面直线上两点间的距离，是一个典型的空间问题。本题的成功之处在于通过条件转移，把相对分散的已知条件恰当集中，促使空间问题平面化，问题便不难得到解决。
例题15：在底面半径为5，母线长为10的圆锥中，AB为底面直径，P为顶点，从点A绕锥面打扫母线PB的中点M，
求：（1）最短曲线AM的长；
（2）点P到这最短线的长。
略解：将圆锥的侧面展开，如图24
图24
（1）设扇形的圆心角为，则
，∴，；
（2）作，
∵，∴。
“展平”是空间图形平面化常用的方法之一。如把圆柱、圆锥和圆台的侧面展开而得举行、扇形和扇环的图形等，以解决有关问题。
5.3 在作业设计中运用空间问题平面化方法的习题
数作业是课堂教学的延续和补充，是学生独立完成学习任务的活动形式，是数学教
学的重要环节，通过完成一定数量的数学作业，能使学生巩固课堂上所学的知识，并将知识转化为技能、技巧，培养分析问题、解决问题的能力，掌握科学的数学学习方法，也利于教师了解教学情况，及时反思改进。作业是为了检验和巩固课堂教学的成果,是一种强化训练的手段，是数学教学的重要环节，是学生实践空间问题平面化方法的主要途径，因此在设计作业时，教师应重视布置空间问题平面化方法的习题。
5.3.1 研究课本习题，挖掘空间问题平面化方法的好素材，选好习题、用好习题。
5.3.2 增补典型题，强化空间问题平面化方法的运用。
如在直棱柱侧面积的教学后，可以补充下题：
例题16：如图25所示，长方体的三条棱分别为a，b，c，且a＞b＞c，现有一个小虫从A点出发沿长方体的表面爬行带C点，问小虫爬行的最短路程是多少？
解这道题看来是无从下手，若用空间问题平面化分析、思考，联想到像求直棱柱侧面积那样把长方体的表面展平，则只须运用平面上“两点之间线段最短”的知识即可解决。
图25
5.3.3 紧扣教训内容，设计考查空间问题平面化方法的思考题
总之，随着素质教育问题的深入探讨和不断实践，作为中学数学内容的立体几何部分，其作为教育重要环节的立体几何作业也应适应素质教育的需要。只有教师在设计作业的过程中作不懈努力，滴滴渗透立体几何问题平面化方法，学生掌握类比与转换的数学思想方法。这样才能更有效的发挥、巩固和延伸知识，培养和发展学生能力，进一步提高数学教学效益，为素质教育的实施注入生机和活力。
5.4 在复习小结中归纳总结空间问题平面化方法的特点
空间问题平面化方法的运用和掌握只能在中滴滴渗透，因而往往缺乏系统性，常常导致学生认识的片面和运用的呆板，为弥补这种缺陷，在复习小结中教师必须对空间问题平面化方法的特点进行归纳总结，促使学生认识的深化。
通过以上几个环节的教学，由浅入深，系统地让学生运用和掌握好空间问题平面化方法。
结束语
数学的发展时至今日，研究数学的方法和手段越来越多，但类比方法仍然是我们数学教学中的一种重要的手段。在强调素质教育的今天，类比和转换的思想方法应该得到进一步的加强。使中学生的思维能力和解题能力得到进一步加强。
事实上，更重要的是，类比和转换的思想方法有助于提高人们的数学修养，养成科学的思维习惯，归根到底，可以提高人的素质。类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，而转换是美的发现，是解决问题的转折点，这种情况在科学发展史上是比比皆是，在数学领域里也屡见不鲜。
这些方法在立体几何教学中的运用有待我们进一步研究，这方面的研究将随着几何学本身的和数学教育教学的发展不断深化。
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征 （1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱； 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；Ⅱ、两底面是全等多边形； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形； Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 （2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形，由这些面 围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质： Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似， 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比； Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三 角形；通过四个直角三角形POH Rt ?，POB Rt ?， PBH Rt ?，BOH Rt ?实现边，高，斜高间的换算 2、 旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征 A B C D O H P
（2）性质： ①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得 的圆叫大圆，不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆） ②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且 2d 2 =，其中R为球半径，r为截 r- R 面半径，d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证： //1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 A 1 C _ H _ G _ D _ A _ B _ C E F
G P A B C D F E A B C D E F 例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。求证：AF ∥平面PCE ； ②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面 P A B C D M N ③ 如图，已知AB 平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ； 的交点.求证：//1O C 面 ④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线11 AB D ． D 1C 1 B 1 A 1
高中数学立体几何学习的几点建议 一逐渐提高逻辑论证能力 立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确 无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充 分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出 二立足课本，夯实基础 直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线 与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处： （1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。 （2）培养空间想象力。 （3）得出一些解题方面的启示。 在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。 三“转化”思想的应用 我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如： 1. 两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影 所成的角。 2. 异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转
必修2 第一章 空间几何体知识点总结 一.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 二.空间几何体的直观图 斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450 （或1350 ） ③画对应图形 在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变； 在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：4 2S ?=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 h S V ?=柱体h S V ?= 3 1锥体() 1 3 V h S S S S =+?+下下 台体上上 球的表面积和体积 32 3 44R V R S ππ= =球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结 一. 平面基本性质即三条公理 公理1 公理2 公理3 图形语言 文字 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线 在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号 语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈????∈∈? ,,,,A B C A B C α ?不共线确定平面 ,l P P P l αβαβ=?∈∈??∈? 作用 判断线在面内 确定一个平面 证明多点共线 公理2的三条推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 二．直线与直线的位置关系 共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交） 三．直线与平面的位置关系有三种情况： 在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α 说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 1．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号： ////a b a a b ααα ?? ?????? 2．直线和平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行. 符号: a a a b b α βαβ??=? ???? 3．直线与平面垂直 ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
1.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 2.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 3.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量 分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2 π ]， 直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ????，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0， π ]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的， 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以 下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面 ，设 ∩ ＝OA ， ∩ ＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线 AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥ ，垂足为B ，AC ⊥ ，垂足为C ，则∠BAC ＝ 或 ∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面 内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面 内的射影图形
高考中常见的立体几何题型和解题方法 黔江中学高三数学教师：付 超 高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的 逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正 确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多 一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体 的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过 程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与 距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行 与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能， 通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平 行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能 力和空间想象能力． 2． 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过 程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间角主要研究射影以 及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解 决． 空间角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系 进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线 所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定 的手段将其转化为一个平面内的角，并把 它置于一个平面图形，而且是一个三
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积： 1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体： 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
【高中学习立体几何的方法有哪些】高中立体几何做辅助线方法 升入高中后，面对新的课程，新的知识，新的学习方法很多学生多会感到无所适从，尤其是在高中立体几何方面颇感头疼。那么高中学习立体几何的方法有哪些呢?以下是小编分享给大家的高中学习立体几何的方法的资料，希望可以帮到你! 高中学习立体几何的方法一 立足课本，夯实基础 直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。(这个定理对今后学习线面垂直以及二面角的平面角的作法非常重要)定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处： (1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。 (2)培养空间想象力。 (3)得出一些解题方面的启示。 在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，(我要求学生用手里的书本当平面，笔作直线)这样亲自实践可以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。 高中学习立体几何的方法二 培养空间想象力
从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。 建立空间观念要做到：重视看图能力的培养：对于一个几何体，可从不同的角度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视，体会不同的感觉，以开拓空间视野，培养空间感。加强画图能力的培养：掌握基本图形的画法;如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等;对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都要画出其图形，而且要画出具有较强的立体感，除此之外，还要体会到用语言叙述的图形，画哪一个面在水平面上，产生的视觉完全不同，往往从一个方向上看不清的图形，从另方向上可能一目了然。加强认图能力的培养：对立体几何题，既要由复杂的几何图形体看出基本图形，如点、线、面的位置关系;又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形，既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分。能实现这一些，可使有些问题一眼看穿。 此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中证明定理和构造定理的图，对于建立空间观念也是很有帮助的。 高中学习立体几何的方法三 建立数学模型 新课程标准中多次提到数学模型一词，目的是进一步加强数学与现实世界的联系。数学模型是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的描述。数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式等等。实际问题越复杂，相应的数学模型也越复杂。 从形状的角度反映现实世界的物体时，经过抽象得到的空间几何体就是现实世界物体的几何模型。由于立体几何学习的知识内容与学生的联系非常密切，空间几何体是很多物体的几何模型，这些模型可以描述现实世界中的许多物体。他们直观、具体、对培养大家的几何直观能力有很大的帮助。空间几何体，特别是长方体，其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系，是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的直观载体。学习时，一方面要注意从实际出发，把学习的知识与周围的实物联系起来，另一方面，也要注意经历从现实的生活抽象空间图形的过程，注重探索空间图形的位置关系，归纳、概括它们的判定定理和性质定理。 高中学习立体几何的方法四
高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四 边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成 的几何体叫 做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是 高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 （2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的底面是四边形 底面是平行四边形 侧棱垂直于底面 底面是矩形 底面是正方形 棱长都相等 图1-1 棱柱
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==?? ?? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 面面∥面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：
立体几何教学中的哲学思想 摘要：数学作为一门经典科学，其理论的产生、发展与完善又很好阐释了哲学的各理论。数学教学中需要从哲学的角度认识数学、理解数学，从哲学的角度探讨数学中的辩证思想：自觉地渗透辩证的思维方法、辩证的认识论，从而有助于学生更好地理解数学的产生与发展，更好地理解先人发现数学的历程与艰难，并进而更有助于开拓学生视角、优化学生思维。 关键词：对立与统一；具体到抽象；归纳与类比 中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）06-276-01 数学的产生与发展是与哲学紧密相连的，哲学作为一切运动最普遍规律的学科，渗透到数学发展的各个阶段和各个领域。同时，数学作为一门经典科学，其理论的产生、发展与完善又很好阐释了哲学的各理论。数学教学中需要从哲学的角度认识数学、理解数学，从哲学的角度探讨数学中的辩证思想：自觉地渗透辩证的思维方法、辩证的认识论，从而有助于学生更好地理解数学的产生与发展，更好地理解先人发现数学的历程与艰难，并进而更有助于开拓学生视角、优化学生思维。
何以需要把哲学认识观融入立体几何的教学中，究其因，一方面，哲学认识观给数学教学送来了获得智慧的经验与方法，能高屋建瓴的认识立体几何，给统领立体几何教学的观点、方法与思想带来了一个高度；另一方面，立体几何中诸多的知识与方法素材更是诠释哲学思想、哲学认识论的良好契机，如空间问题转化为平面问题、几何关系与数量关系的互化都昭示了事物的普遍联系与相互转化。 一、对立与统一地认识问题 唯物主义哲学告诉我们，对立统一规律是辩证法的实质与核心。唯物辩证法认为，事物联系的根本内容就是互相区别、相互对立的矛盾双方之间的联系。用这个观点考查立体几何就容易发现，在立体几何中，处处都存在着典型的、深刻的矛盾辩证法。空间由点、线（直线与曲线）、面（平面与曲面）、体元素构成，点动成线、线动成面、面动成体，从这个角度上说，这四者体现的是部分与整体的关系。当我们在具体判断这些元素位置关系时，它们却是对立统一的：线线、线面、面面等位置关系可以相互转化，呈现对立统一之态。 例如，在判断线面平行时，可以转化为线线平行（线面平行判定定理）思考，抑或可以转化为面面平行（面面平行性质）思考。线线平行、线面平行、面面平行既对立又统一。对立体现的是相互的区别性、统一体现的是相互的联系
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的
平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式： S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=2 22rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2 r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 侧面 母线 B
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定
一、线线平行的证明方法: 1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线。 3、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与交线平行。 (线面平行的性质定理) 4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理) 5、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理) 6、平行于同一条直线的两条直线平行。 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。(需证明) 二、线面平行的证明方法: 1、定义法:直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。(线面平行的判定定理) 3、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 三、面面平行的证明方法: 1、定义法:两平面没有公共点。 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理) 3、平行于同一平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。 5、垂直于同一直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法: 1、勾股定理。 2、等腰三角形。 3、菱形对角线。
4、圆所对的圆周角就是直角。 5、点在线上的射影。 6、如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。 7、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。(三垂线定理,需证明) 8、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线垂直,那么它也与这条斜线的射影垂直。(三垂线逆定理,需证明) 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法: 1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直。 2、点在面内的射影。 3、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(线面垂直的判定定理) 4、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(面面垂直的性质定理) 5、两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面。 6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面交线垂直于第三个平面。 8、过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。 六、面面垂直的证明方法: 1、定义法:两个平面的二面角就是直二面角。 2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。(面面垂直的判定定理) 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。 4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。
立体几何中常用的数学思想方法 郑云 数学思想是数学的灵魂，是同学们学习过程中最需要总结的法宝，下面例析数学思想方法在立体几何中的应用。 一. 分类讨论的思想 例1. 不共面的4个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）。 A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个 解：把不共面的4个定点看成四面体的4个顶点，平面α可分两类。第一类，如图1所示，4个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类α有4个。第二类，如图2所示，4个定点分布在α的两侧各2个，此类α有3个。综上，共有4+3=7（个），故选D 。 二. 转化的思想 化归与转化的思想在立体几何中随处可见，特别是空间问题平面化，如空间中的角与距离转化为平面中的角与距离。 例2. 一个与球心距离为1的平面截球所得的截面面积为π，则球的表面积为（ ） A. 82π B. 8π C. 42π D. 4π 解：如图3所示，作出球的大圆截面图，由截面小圆的面积为π 即ππr 2=，得r =1 R r =+=1222 则S R 球==482ππ，应选B 。 图3
三. 函数的思想 例3. 已知圆锥的底面的半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A. 22πR B. 942π R C. 832πR D. 322πR 解：如图4所示，设内接圆柱的半径为r r R ()0<<，高为h 则有h R R r R 3=-，得h R r =-3()。 图4 ∴当时，全面积最大，最大值为，故选。圆柱全S r rh r r R r r Rr r R R R r R R B =+=+-=--=--?? ???+≤=2226432 4349494 3494 2222222πππππππππ() () 四. 方程的思想 例4. 已知正三棱锥P ABC -的体积为723，侧面与底面所成的二面角为60°。 （1）证明：PA BC ⊥。 （2）求底面中心O 到侧面的距离。 （1）证明：取BC 边的中点D 连结AD 、PD ，则AD BC PD BC ⊥⊥， 故BC APD ⊥平面，因此PA BC ⊥。 （2）解：如图5所示，由（1）可知平面PBC APD ⊥平面 则∠PDA 是侧面与底面所成二面角的平面角 由题意知点O 到各个侧面的距离相等
收集整理:宋氏资料 ２０1６－1-１ 201６高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 ２ 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 （二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 １.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体 直平行 六面体长方体 正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧（c 是底周长,h 是高） S 直棱柱表面 ＝ ｃ·h+ 2S 底 V 棱柱 ＝ S 底 ·ｈ? 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 （1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱
所围成的几何体叫做棱锥。 (2）正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.２ 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积:1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 对棱间的距离为 a 2 (正方体的边长） 正四面体的高 a 6(正方体体对角线l 3 2 =） 正四面体的体积为 32a （正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61= ） 3 、棱台的结构特征 3．1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 ３.2 正棱台的结构特征 （1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形; （2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (３)正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点。 ４ 、圆柱的结构特征 A B C D P O H
立体几何证明方法总结及典例 例1：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法： 三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱 柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。 线面平行的证明方法： 面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法： 面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。 【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥面BCE. 证法一： 如图（1），作PM∥AB交BE于M， 作QN∥AB交BC于N,连接MN, 因为面ABCD∩面ABEF=AB, 则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, ∴ PM =PE , QN =BQ . AB AE DC BD ∴ PM =QN . AB DC ∴PM∥QN.
四边形PMNQ为平行四边形. ∴PQ∥MN. 又∵MN ?面BCE，PQ ?面BCE， ∴PQ∥面BCE. 证法二： 如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK. ∵AD∥BC, ∴ DQ =AQ . QB QK 又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ， ∴ AQ =AP .则PQ∥EK. QK PE ∴EK ?面BCE，PQ ?面BCE. ∴PQ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】 证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等 【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G ． 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD ． 证明：∵ SA ⊥平面ABCD， ∴ SA ⊥BC ． ∵ AB ⊥BC ，