摘要
在实际应用中,常常会遇到积分制的计算,插值法是常见的求积分方法.牛顿-柯特斯与高斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是非等距节点下的积分公式.牛顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的方法,而高斯型求积公式是计算高阶积分的方法.
梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的牛顿-柯特斯求积公式.公式的导出及其分类,余项,代数精度,收敛性与稳定性,及其几何意义,这些都是本课题重点介绍的内容.而高斯型求积公式中主要介绍常用的高斯型求积公式,不同的区间,不同的权函数导致高斯点和高斯系数的不同,从而形成不同的公式,其中重点讲解了高斯-勒让德求积公式.
关键词余项;梯形求积公式;辛普森求积公式;流程图;代数精度
目录
引言 (1)
第一章牛顿-柯特斯公式 (2)
§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念 (2)
§1.2 N-C公式 (4)
§1.2.1 公式的导出 (4)
§1.2.2 梯形求积公式 (5)
§1.2.3 辛普森求积公式 (5)
§1.2.4 柯特斯求积公式 (7)
第二章高斯型求积公式 (10)
§2.1 高斯型求积公式的有关定义 (10)
§2.2 利用正交多项式构造高斯求积公式 (12)
§2.3 高斯-勒让德公式的详细总结 (13)
§2.4 插值型求积公式之间的比较 (11)
参考文献 (16)
附录A (17)
附录B (18)
附录C (19)
引言
在工程上的实际计算中想利用求原函数的方法来求定积分常会遇到困难.这是因为工程上的被积函数)
f有时比较复杂,求原函数十分困难或者根本找不到可用初
(x
等函数表示的原函数,有时我们甚至还无法知道被积函数)
f的解析表达式,而只知
(x
道一组对应的离散数据.因此就要利用计算机进行数值计算,以确定定积分的值,这就是数值积分.
数值积分最有效的算法是插值型求积公式.
插值型求积公式分为两类,一类是等距节点下的求积公式;另一类是非等距节点下的求积公式.前者包括梯形求积公式,普森求积公式,柯特斯求积公式;后者包括高斯型求积公式.
插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一.梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的;辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的;柯特斯求积公式对所有次数不超过 5 多项式是准确成立的.此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在,不难得知,牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性.稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.而高斯型求积公式是最高代数精度的插值型求积公式.使用高斯型求算例中积分,数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化.
本课题最要介绍插值型求积公式的区别,即等距节点下牛顿-柯特斯公式与非等距节点下的高斯型求积公式的比较,包括余项,代数精度的比较,收敛性与稳定性的对比.第一章介绍牛顿-柯特斯的相关知识,而第二章介绍高斯型求积公式的有关知识.第三章详细讲述等距节点下的公式与非等距公式的比较.
第一章 牛顿-柯特斯公式
借助插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式.一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式.本章主要介绍等距节点下的插值型求积公式,即低阶N C -公式.低阶N C -公式是很有代表性的插值型求积公式.公式的导出,余项的计算,代数精度的证明都将是本章要求掌握的知识.
§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念
定义1.1 依据积分中值定理,()()()b
a f x dx
b a f ξ=-⎰,就是说,低为b a -而高为ξ
的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积.
取[,]a b 内若干个节点k x 处的高度()k f x ,通过加权平均的方法射年工程平均高
度()f ξ,这类求积公式称机械求积公式
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰
式中k x 称为求积节点,k A 称为求积系数.
定义1.2 由插值理论可知,任意函数()f x 给定一组节点01n a x x x b =<<<= 后,可用一n 次多项式()n P x 对其插值,即()()()n n f x P x R x =+,因此
()()()b
b b
n n a
a
a
f x dx P x dx R x dx =+⎰
⎰⎰.
当()n P x 为拉格朗日插值多项式时,即0
()()()n
n k k k P x l x f x ==∑,则
(1)1
11
()
()()()()(1)!
(())()[]
()[]
n n
b
b b
k
k
a
a
a
k n
b k k n a
k n
k k n k f f x dx l x f x dx x dx
n l x dx f x R f A f x R f ξω+====++=+=+∑⎰
⎰
⎰
∑⎰∑
其中
011011()()()()
()()()()()b
b k k n k k a a
k k k k k k n x x x x x x x x A l x dx dx
x x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰
(1)()
[]()(1)!
n b
n a
f R f x dx n ξω+=+⎰
通常称为插值型求积公式.
定义 1.3 如果求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确成立.但对于1m +的多项式不能准确成立,则称该公式具有m 次代数精度
说明：
)a 若机械求积公式的代数精度0,m ≥则有0n
i i A b a ==-∑.
)b 若机械求积公式的代数精度为m ,即当()1,,,m f x x x = 时有
()()n
b
i i a
i f x dx A f x ==∑⎰
则对任意次数不超过m 的k 次多项式(),k P x k m ≤有
()()n
b
k i k i a
i P x dx A P x ==∑⎰
)c 代数精度的高低,从一侧面反应求积公式的精度高低.
定义1.4 在求积公式0
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰中,若0
0lim ()()n
b
k k a
n k h A f x f x dx →∞=→=∑⎰其中
11max()i i i n
h x x -≤≤=-,则称求积公式是收敛的.
定义1.5对任给0ξ>,若0,δ∃>只要|()|(0,1,,),k k f x f k n δ-≤=
就有
|()|n
n
k k k k k k A f x A f ξ==-≤∑∑
则称求积公式是稳定的.
注：由于计算()k f x 可能有误差,实际得到k f ,即.()k k k f x f δ=+
§1.2 N-C 公式
§1.2.1 公式的导出
设区间[,]a b n 等分,步长b a
h n
-=
,取等分点k x 够造出的插值型求积公式（其中,0,1,,k x a kh k n =+= ）
()0()()n
n n k k k I b a C f x ==-∑
称作n 阶牛顿-柯特斯公式. 其中()n k C 为柯特斯系数
()00
(1)()*!()!i k
n k
n n n k
i C
t i dt n k n k ≠-=-=--∏⎰ ()0110110
00
()()()()()()
()()()()
((1))((1))()((1))((1))()()(1)()*!()!
i k
b
n k k a
b
k k n a
k k k k k k n x a th
n
n k n
n
i b a C l x dx
x x x x x x x x dx
x x x x x x x x t t k t k t n b a
dt k k k k k k n n
b a t i dt
n k n k ≠-+-+=+-=-=----=-------+--=
---+---=
--⎰⎰⎰
∏⎰
表1-1 柯特斯公式的系数
n ()n k C
1 1
2 12 2 1
6 2
3 16 3
1
8
3
8
38 1
8
4 790 164
5 215 1645 790 5 19288 259
6 25144 25144 25
96 19288 6 41840 945 9280 34105 9280 935 41840 7 75117280 357717280 132317280 298917280 298917280 132317280 357717280 751
17280 8
98928350 588828350 92828350- 1049628350 454028350- 1049628350 92828350- 588828350 989
28350
§1.2.2 梯形求积公式
当1n =时,由表1-1柯特斯系数表第一行知
11(1)
(1)010011(1),22
C t dt C tdt =--===⎰⎰
故得梯形公式
()[()()]2
b a b a T f x dx f a f b -==+⎰.
梯形公式的余项
3''
()()()12
b a R f f η-=-
梯形公式的几何意义是用一条过两点的直线近似代替被积函数的曲线,从而用一个梯形的面积来近似代替一个曲边梯形的面积.
x
y
0A B y=P(x)y=f(x)
f 0
f 1x 0=a
x 1=b
图1.1 梯形公式的几何意义
梯形求积公式分类及其截断误差见表1-1 流程图如下所示：
图1.2 梯形公式流程图
表1-2 梯形求积公式分类及其截断误差
名称
公式 余项 代数精度
左矩形 2
()
()()()()2
b a
b a f x dx b a f a f η-'=-+⎰ 2()()2f R b a η'=- 代数精度为 0 右矩形 2
()()()()()2b a b a f x dx b a f b f η-'=-+⎰ 2()()2f R b a η'=-
代数精度
0 中矩形
3
()
()()()()224b a b a b a f x dx b a f f η--''=-+⎰
3()()24f R b a η''=- 代数精度 1 §1.2.3辛普森求积公式
当2n =时,由表1-1柯特斯系数表第二行知
(2)(2)
(2)02114,.66
C C C ===
故得辛普森公式
输入a 和b
计算步长h=b-a
T=（h/2）[f(a)+f(b)]
输出T
定义函数f(x)
[()4()()]62
b a a b
S f a f f b -+=
++. 辛普森求积公式的几何意义是用一条过三点的抛物线近似代替被积函数的曲线,从而用一个二次抛物线所围成的容易计算的曲边梯形面积来近似代替原来的曲边梯形的面积.
x
y
x 0x 2
x 1y=P (x )y=f (x )
图1.3 辛普森求积公式的几何意义
辛普森求积公式余项及其代数精度见表1-2 流程图如下：
图1.4 辛普森求积公式流程图
表1-3 辛普森求积公式余项及其代数精度
名称
公式
余项 代数精度
输入a 和b
计算步长h=b-a
S=（h/6）[F(a)+4f(a+h/2)+f(b)]
输出结果S
定义函数f(x)
辛普森求积公式
[()4()()]62
b a a b S f a f f b -+=
++ 5(4)
()()2880
S b a R f η-=- 代数精度是
3 §1.2.4柯特斯求积公式
当3n =时,由表1-1柯特斯系数表第三行知
(4)(4)
(4)(4)(4)0413273212,,.909090
C C C C C =====
故得柯特斯求积公式
33[7()32()12()32()7()]90424
b a a b a b a b C f a f f f f b -+++=++++
柯特斯求积公式余项及其代数精度见表1-3 流程图如下所示：
图1.5 柯特斯求积公式的流程图
表1-4 柯特斯求积公式余项及其代数精度
名称 公式
余项
代数精度 柯特斯求积公式
3[7()32()12()9042332()7()]
4
b a a b a b C f a f f a b f f b -++=+++++ 6
(6)()()1935360C b a R f η-=- 代数精度
是5 例1.1 分别用梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式计算积分
1204
1dx x +⎰
输入a 和b
计算步长h=b-a
C=（h/90）[7f(a)+32f(a+h/4)+12f(a+h/2)+32f(a+3h/4)+7f(b)]
输出结果C
定义函数f(x)
由：
1
()[()()](42)322b
a b a T f x dx f a f b -==
+=+=⎰.
1[()4()()](412.82) 3.13333626
b a a b S f a f f b -+=++=++=.
33[7()32()12()32()7()]90424
1
(28120.47058938.481.9214)90
282.79058990
3.1421176555
b a a b a b a b C f a f f f f b -+++=++++=
++++=
=
在例1-1中,我们根据梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式和它们的流程图编写出它的程序,见附录A,B,C.将程序输入到C++里进行测试,经过反复的修正和改错,得到了便于计算且实用的程序.上机实现的运行结果见附录A,B,C.
程序运行结果：
梯形求积公式结果是：3.000000 辛普森求积公式结果是：3.13333 柯特斯求积公式结果是：3.142118
上机计算的结果为,与例题1-1中的算数结果是一致的.说明这个梯形求积公式的程序是正确无误的,可以应用到复杂的数值计算中.
第二章 高斯型求积公式
牛顿-柯特斯型求积公式是封闭的（区间[,]a b 的两端点,a b 均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制,牛顿-柯特斯求积公式的代数精度只能是n （n 为奇数）或1n +（n 为偶数）.而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅k A 而且k x 也加以选取,这就可以增加自由度,从而可提高求积公式的代数精度.
§2.1 高斯型求积公式的有关定义
定义2.1 求积公式0
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰含有22n +待定参数,(0,1,),
k k x A k n = 适当选择这些参数使其具有21n +次代数精度.这类求积公式称为高斯型求积公式.Guass 求积公式的节点(0,1)k x k n = 是高斯点,系数k A 称为Guass 系数.
对于任意次数不超过21n +的多项式均能准确成立
()()()n
b
k k a
k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰
（2-1）
称其为带权的高斯公式.
定义2.2 若求积公式0
()()()n
b
k k a
k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰对一切不高于m 次的多项式
()p x 都等号成立,即()0R p =;而对于某个1m +次多项式等号不成立,则称次求积公
式的代数精度为m .
因为Guass 求积公式也是插值型求积公式,故有结论：
1n +个节点的插值型求积公式的代数精度d 满足：21n d n ≤≤+.
定理2.1 插值型求积公式0
()()n
b
k k a
k f x dx A f x =≈∑⎰其节点(0,1,)k x k n = 是高斯点
的充分必要条件是以这些点为零点的多项式0
()()n
k k x x x ω==-∏与任意次数不超过n 的
多项式()P x 均正交：()()0b
a
P x x dx ω=⎰
定理2.2 设()[,],f x C a b ∈则高斯求积公式是收敛的.即
lim ()()().n
b
k k a
n k A f x f x x dx ρ→∞
==∑⎰
定理2.3 高斯求积公式总是稳定的,即0,0,1,.k A k n >= 定理2.4 设节点01,,,[,],n x x x a b ∈ 则求积公式
()()()n
b
k k a
k x f x dx A f x ρ=≈∑⎰
的代数精度最高为21n +次.
高斯公式的分类及其余项见表2-1
表2-1常用的高斯求积公式
名称
高斯-勒让德 高斯-切比雪夫 高斯-拉盖尔
高斯-埃尔米特
积分区间 [1,1]-
[1,1]-
[0,]+∞
[,]-∞+∞
权函数 ()1x ρ=
2
1()1x x
ρ=
-
()x x e ρ-=
2
()x x e ρ-=
公式
1
1
()()
n
k
k k f x dx A
f x -=≈
⎰
∑
1
2
1
()1()
n
k
k
k f x dx x A f x -=≈
-⎰
∑
00
()()
x
n
k
k k e f x A
f x +∞
-=≈
⎰
∑
2
()()
x n
k
k k e
f x A
f x +∞
--∞
=≈
⎰
∑
余项 234
3
(22)
2[(1)!]*(23)[(22)!]()
n n n R n n f η+++=
++
2(2)2*
2(2)!()
n n R n f πη= 2(22)[(1)!]*[2(1)!]()
n n R n f ξ++=+
1(22)(1)!*
2(22)!()
n n n R n f πξ+++=+
零点 01,,n x x x 21
cos(
),22
0,1,,k k x n k n π+=+= 01,,n x x x 01,,n x x x
求积系数
见表2-2
1
k A n π
=
+
2
21[(1)!][()]k k n k n x A L x ++=
1212(1)!*
[()]n k n
k A n H x π
++=+'
图2.1 高斯型求积公式流程图
§2.2利用正交多项式构造高斯求积公式
设(),0,1,2,,n P x n = 为正交多项式序列,()n P x 具有如下性质： 1.对每一个,()n n P x 是n 次多项式.0,1,n =
求解高斯型求积公式
若求积公式代数精度为n ，则分别将21,,,n x x x 准确代入积分公式中，从而得到方程组.
以1n +次正交多项式的零点01,,n x x x 作为高斯点
构造高斯点
解方程组求得高斯点k x
及高斯系数k A
求得高斯点k x
利用正交多项式
待定系数法
求得高斯系数
()()b
k k a
A x l x dx ρ=⎰
2.（正交性）()()()0,()b
i j a
x P x P x dx i j ρ=≠⎰
3.对任意一个次数1n ≤-的多项式()P x ,有
()()()0,1b
n a
x P x P x dx n ρ=≥⎰
4.()n P x 在(,)a b 内有n 个互异零点.
利用正交多项式构造高斯求积公式的步骤：
Step 1 以1n +次正交多项式的零点01,,,n x x x 作为积分点（高斯点）。 Step 2 用高斯点01,,,n x x x 对()f x 作Lagrange 插值多项式0()()()
n
i i i f x l x f x =≈∑代入积分式
()()()(()())(()())()
n
b
b
i i a
a
i n
b i i a
i x f x dx x l x f x dx
x l x dx f x ρρρ==≈=∑⎰
⎰∑⎰
因此,求积系数为()(),(0,1,,)b
i i a
A x l x dx i n ρ==⎰
§2.3高斯-勒让德公式的详细总结
在高斯求积公式中（2-1）中,若取权函数()1x ρ=,区间为[1,1]-,则得公式 1
1
()()n
k k k f x dx A f x -==∑⎰ （2-2）
此为高斯-勒让德公式,勒让德正交多项式1()n P x +的零点就是其高斯点.
234
(22)3
2[(1)!][](),[1,1](23)[(22)!]
n n n n R f f n n ηη+++=∈-++ 如果积分区间是[,]a b ,用线性变换22
b a a b
x t -+=
+将积分区间从[,]a b 变成[1,1]-,由定积分的换元积分法有
11()()222
b
a
b a b a a b
f x dx f t dt ---+=+⎰⎰ 这样就可以用Gauss-Legendre 求积公式计算一般区间的积分.
当0n =,得到公式
1
1
()2(0)f x dx f -≈⎰
当1n =,得到公式
1
1
11()()()33
f x dx f f -≈-
+⎰
当2n =,得到三点Gauss-Legendre 求积公式：
1
1
5158515
()()(0)()95995
f x dx f f f -≈
-++⎰
表2-1 列出高斯-勒让德求积公式（2-2）的节点和系数
表2-2 高斯-勒让德求积公式的节点和系数
n
i x i A n
i x i A 0 0 2
0.6612093865± 0.3607615370 1 0.5773502692± 1
0.2386191861± 0.4679139346 2 0.7745966692± 0.555555556 6 0.9491079123± 0.1294849662
0 0.8888888889
0.7415311856± 0.2797053915 3 0.8611363116± 0.3478548451
0.4058451514± 0.3818300505 0.3399810436± 0.6521451549 0 0.4179591837 4 0.9061798459± 0.2369268851 7 0.9602898565± 0.1012285363
0.5384693101± 0.4786286705
0.7966664774± 0.2223810345 0 0.5688888889
0.5255354099± 0.3137066459 5 0.9324695142± 0.1713244924
0.1834346425± 0.3626837834 §2.4插值型求积公式之间的比较
例2.2 分别用不同方法计算如下积分,并做比较
1
0sin x I dx x
=⎰ 各种做法比较如下： 方法一 用Newton-Cotes 公式
当1n =时，即用梯形求积公式，0.9270354I = 当2n =时，即用辛普森求积公式，0.9461359I ≈ 当3n =时，0.9461090I ≈ 当4n =时，0.9460830I ≈ 当5n =时，0.9460830I ≈ 方法二 用Gauss 公式
令1
1sin(1)/2
(1)/2,1
t x t I dt t -+=+=+⎰
（1）用2个节点的Gauss 公式
11
sin (0.57735031)sin (0.57735031)220.94604110.577350310.57735031
I -++≈+=-++ （2）用3个节点的Gauss 公式
11
sin (0.77459071)sin 220.55555560.88888890.774590701
1
sin (0.77459071)20.55555560.94608310.77459071
I +≈⨯+⨯+++⨯=+
算法比较：对Newton-cotes 公式,当1n =时只有1位有效数字,当2n =时有三位有效数字,当5n =时有7位有效数字.用Gauss 公式仅用了3个函数值,就得到结果.
表2-3列出插值型求积公式之间的比较 表2-3 插值型求积公式之间的比较 名称
公式 余项 代数精度
梯形求积公式 [()()]2b a T f a f b -=+ 3()()12
T f R b a η''=--
1
辛普森求积公式
[()6
4()()]
2
b a S f a a b f f b -=+
++
5(4)
()()2880
S b a R f η-=-
3
柯特斯求积公式
[7()90332()12()42332()7()]
4
b a C f a a b a b f f a b f f b -=+
++++++
6(6)
()()1935360
C b a R f η-=-
5
高斯型求积公式
1
1
()()n
k k k f x dx A f x -==∑⎰
234
3(22)2[(1)!][](23)[(22)!]()
n n n n R f n n f η+++=
++ 21n +
参考文献
[1]薛毅,耿美英.数值分析[M].北京:北京工业大学出版社.2003年
[2]刘长安.数值分析教程[M].西安:西北工业大学出版社.2005年
[3]吴勃英,万中.数值分析原理[M].北京:科学出版社.2003年
[4]薛毅，耿美英.数值分析[M].北京:北京工业大学出版社.2003年
[5]李庆扬,王能超,易大义.数值分析（第五版）[M].北京:清华大学出版社.2007年
[6]封建湖,车刚明,聂玉峰.数值分析原理[M].北京:科学出版社.2001年
附录A 梯形求积公式的程序及运算结果.
#include
#include
double f(double x)
{double z;
z=4/(1+x*x);
return z;
}
main()
{ float h;
float a;
float b;
float T;
printf("请输入区间端点 a = ");
scanf("%f",&a);
printf("请输入区间端点 b = ");
scanf("%f",&b);
h=b-a;
T=(h/2)*(f(a)+f(b));
printf("输出结果：");
printf("%f\n",T);
}
图梯形求积公式的运算结果
附录B 辛普森求积公式的程序及运行结果
#include
#include
double f(double x)
{double z;
z=4/(1+x*x);
return z;
}
main()
{ float h;
float a;
float b;
float S;
printf("请输入区间端点 a = ");
scanf("%f",&a);
printf("请输入区间端点 b = ");
scanf("%f",&b);
h=b-a;
S=(h/6)*(f(a)+ 4*f(a+ h/2)+ f(b));
printf("输出结果：");
printf("%f\n",S);
}
图辛普森求积公式的运行结果
摘要 在实际应用中,常常会遇到积分制的计算,插值法是常见的求积分方法.牛顿-柯特斯与高斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是非等距节点下的积分公式.牛顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的方法,而高斯型求积公式是计算高阶积分的方法. 梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的牛顿-柯特斯求积公式.公式的导出及其分类,余项,代数精度,收敛性与稳定性,及其几何意义,这些都是本课题重点介绍的内容.而高斯型求积公式中主要介绍常用的高斯型求积公式,不同的区间,不同的权函数导致高斯点和高斯系数的不同,从而形成不同的公式,其中重点讲解了高斯-勒让德求积公式. 关键词余项;梯形求积公式;辛普森求积公式;流程图;代数精度
目录 引言 (1) 第一章牛顿-柯特斯公式 (2) §1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念 (2) §1.2 N-C公式 (4) §1.2.1 公式的导出 (4) §1.2.2 梯形求积公式 (5) §1.2.3 辛普森求积公式 (5) §1.2.4 柯特斯求积公式 (7) 第二章高斯型求积公式 (10) §2.1 高斯型求积公式的有关定义 (10) §2.2 利用正交多项式构造高斯求积公式 (12) §2.3 高斯-勒让德公式的详细总结 (13) §2.4 插值型求积公式之间的比较 (11) 参考文献 (16) 附录A (17) 附录B (18) 附录C (19)
引言 在工程上的实际计算中想利用求原函数的方法来求定积分常会遇到困难.这是因为工程上的被积函数) f有时比较复杂,求原函数十分困难或者根本找不到可用初 (x 等函数表示的原函数,有时我们甚至还无法知道被积函数) f的解析表达式,而只知 (x 道一组对应的离散数据.因此就要利用计算机进行数值计算,以确定定积分的值,这就是数值积分. 数值积分最有效的算法是插值型求积公式. 插值型求积公式分为两类,一类是等距节点下的求积公式;另一类是非等距节点下的求积公式.前者包括梯形求积公式,普森求积公式,柯特斯求积公式;后者包括高斯型求积公式. 插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一.梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的;辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的;柯特斯求积公式对所有次数不超过 5 多项式是准确成立的.此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在,不难得知,牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性.稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.而高斯型求积公式是最高代数精度的插值型求积公式.使用高斯型求算例中积分,数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化. 本课题最要介绍插值型求积公式的区别,即等距节点下牛顿-柯特斯公式与非等距节点下的高斯型求积公式的比较,包括余项,代数精度的比较,收敛性与稳定性的对比.第一章介绍牛顿-柯特斯的相关知识,而第二章介绍高斯型求积公式的有关知识.第三章详细讲述等距节点下的公式与非等距公式的比较.
第三章习题答案 1.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes 公式计算积分 1 , I=⎰并估计误差。 解：1）用梯形公式有： ()( ) 110.51 [10.5]10.42678 242 f f ⎛ - ≈+=+≈ ⎝⎭ ⎰ () () () 333 3 33 22 0.51 2.6042107.365710 12124 T b a E f fηηη -- ---⎛⎫ '' =-=--=⨯≤⨯ ⎪ ⎝⎭ 事实上， ( ) ()() ( )()() 1 1 0.4309644 10.5 0.510.4267767 2 10.5 0.510.0041877 2 T f x I I f f E f f f === - ≈+= ⎡⎤ ⎣⎦ - ∴=-+= ⎡⎤ ⎣⎦ ⎰ ⎰ 2）Simpson公式 ( ) 110.5311 1410.43093 642122 f f f ⎛ -⎡⎤ ⎛⎫⎛⎫ ≈++=+= ⎪ ⎪ ⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭ ⎣⎦⎝⎭ ⎰ []()() 4 47 44 2 11 1115 22 1.1837710 180218028 S b a b a E f fηη-- ⎛⎫ -- ⎪⎛⎫ -- ⎛⎫ =-=--≤⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎝⎭ 3 12 2 ()''() 48 T f f b a E 事实上，()()() 1 0.5 10.50.51 0.5410.0000304 62 S E f f f f -⎡+⎤ ⎛⎫ =-++= ⎪ ⎢⎥ ⎝⎭ ⎣⎦ ⎰ 3）由Cotes公式有： ()() () 1 1 1537 270.532123271 90848 1 4.949752 5.2982210.3923029.9332670.43096 180 f f f f f -⎡⎤ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ≈++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥ ⎝⎭⎝ ⎭⎝⎭ ⎣⎦ =++++= ⎰ 157 32127) 18088
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 ε是的绝对误差，是的误差，εε，ε为的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：ε即：εε 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x=π=3.1415926…那么ε,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记其中若，则有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值（）有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值（）的相对误差限则它有n位有效数字 为为 （） 令、是、的近似值，且η、η 1.x+y近似值为且ηηη（）和的误差（限）等于误差（限）的 和 2.x-y近似值为且ηηη（） 3.xy近似值为ηηη 4.ηηη 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|
数值分析复习资料 一、重点公式 第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~ 1 2k b a x α+--< 2）迭代法收敛阶：1lim 0i p i i c εε+→∞ =≠，若1p =则要求01c << 3）单点迭代收敛定理： 定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ?∈且' ()1x l ?≤<，[],x a b ?∈，则迭代格式收敛 于唯一的根； 定理二：设()x ?满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ?∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ???∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且： 110 1 11i i i i i x x x l l x x x l αα+-≤ ---≤-- 定理三：设()x ?在α的邻域内具有连续的一阶导数，且' ()1?α<，则迭代格式具有局部收敛性； 定理四：假设()x ?在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ?+=是P 阶收敛的 () ()()0,1,,1,()0j P j P ? α?α==-≠ （Taylor 展开证明） 4）Newton 迭代法：1' () () i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理： 设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]' ()0,,f x x a b ≠∈； ③：[]'' ,,f x a b ∈不变号
④：初值[]0,x a b ∈使得'' ()()0f x f x <； 则Newton 迭代法收敛于根α。 6）多点迭代法：1111111 ()()() ()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=- =+---- 收敛阶：P = 7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1' () () i i i i f x x x r f x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()() ,()()() i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。 8）迭代加速收敛方法： 221 1211212()() i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x ??++++++++-= -+==当不动点迭代函数()x ?在α的某个邻域内具有二阶导数， '()1,0L ?α=≠平方收敛 9）确定根的重数：当Newton 迭代法收敛较慢时，表明方程有重根 2211212121 12i i i i i i i i i i i x x x x r x x x x x x x +++++++++-≈--+-- 10）拟Newton 法 1111111 1 1111 ()()()()() (()())()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x A F x A x x F x F x A H A A A A x x H F x H F x F x x x H H H +-++-+++++++?=-?-=-=??=+???=-?-=-??=+??若非奇异，则
第一章 1误差 相对误差和绝对误差得概念 例题： 当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时 ，一般要经历哪几个阶段？在哪些阶 段将有哪些误差产生？ 答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差： 建立数学模型过程中产生：模型误差 参数误差 选用数值方法产生：截断误差 计算过程产生：舍入误差传播误差 6?设a =0.937关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差.对于f(x^ .j_x ，估计 f(a)对于f(x)的误差和相对误差 I l / ￡、I I 匚 . a-x I .(2^10 . _ _3 | E( f)冃心 _x —G —a |= ------------ _,=] < ------------------ =10 、1—x +H — a| 2 沃 0.25 | E r (f)|E10， 1 -a =4 10；. □ 2有效数字 基本原则：1两个很接近的数字不做减法： 2： 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题： 4 ?改变下列表达式使计算结果比较精确： a 的相对误 差: 由于 1 _3 x —a |E(x)|< x — <-10 . E r (X )=— 2 X E r (x) < 1 2 7 2 1 2 10 =— 10 . 18 (Th1) 解 f(a)对于f(x)的误差和相对误差
第二章 拉格朗日插值公式（即公式（1）） 插值基函数（因子）可简洁表示为 n 其中：n (x) - JI. 1 n (X - X j ), n X i =「 (X i - X j ) j / j 工 j 料 例1 n=1时，线性插值公式 R(x) = y ° x ( ) +y 1 (x-X 0) X ----------------- ? (xo-xj ' (X 1 -X o ) 例2 n=2时，抛物插值公式 牛顿（Newton ）插值公式 由差商的引入，知 （1） 过点x 0, x 1的一次插值多项式 为 其中 （2） 过点x 0, x 1, x 2的二次插值多项式为 其中 重点是分段插值： 例题： (1) -1 0 1/2 1 -3 -1/2 0 1 (2) -1 0 1/2 1 -3/2 1/2 解⑵： 方法一.由Lagrange 插值公式 (1) (2) 1 1 - x 1 2x 1 x (3) 解⑴ ⑶ 1 - COS X x 对 x 0,| x 卜：：：1. 2x1(1 x)(1 2x). ⑵ 2 x (\ X 1 X 、X - 1 x) 2 1 -cosx sin x sin x ------------------ = ------------------------------ a s --------------------- x x(1 cosx) 1 cosx 1 x
第一章 1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。ε*=|e*|叫做近似值的误差限， e ?x = x ??x x 为相对误差， εr ?=ε? |x | 为相对误差限。 2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取 3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3. ε(x 1?±x 2?)≤ ε(x 1?)+ε(x 2? ) ε(x 1?·x 2?)≤|x 1?|ε(x 2?)+|x 2?|ε(x 1?) ε(x 1?/x 2? )≤|x 1?|ε(x 2?)+|x 2?|ε(x 1? )2?2 4.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。 T1. 已测得某场地长?的值为?*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |? - ?*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=?d 的绝对误差限与相对误差限。 解：因为s= ?d, es e? =d,es ed =?. 故 ε(s ?) ≈|(es el )?|ε(l ?) + |(es ed )? |ε(d ?), (es el )?=d ?=80m (es ed )? =l ?=110m ε(l ?)=0.2m ε(d ?)=0.1m 得绝对误差限 ε(s ?)=27(m 2)
相对误差限 εr ?= ε(s ?)|s | = ε(s ?)l d ≈0.31% T3. 计算I n =e ?1∫x n e x dx(n =0,1,…)1 并估计误差。 解：由分部积分可得 I n =e ?1∫x n d (e x )=e ?1(x n e x |01?∫e x d (x n )1 )1 =1?e ?1n ∫x n?11 e x dx =1?nI n?1 I 0=e ?1 ∫e x 10 dx =1?e ?1 得到通式{I n =1?nI n?1 (n =1,2,…) I 0=1?e ?1 (1) 为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数 计算。由 e ?1 ≈1+(?1)+ (?1)22! +?+ (?1)k k! , e ?1≈0.3679 , 截断误差R 7=|e -1-0.3679|≤ 18! < 1 4 * 10-4 当初值取I 0≈0.6321=I ?0时,用式(1)递推计算公式为 A ={I ?0=0.6321I ?n =1?nI ?n?1,n =1,2,… 计算结果见表1-1 表1-1 从表中n=8时，出现负值，这与I n 大于0矛盾。由积分估值得： e ?1n+1 =e ?1(min 0≤x≤1 e x )∫x n dx 1 0数值分析-第六章小结
姓名班级学号 第六章数值积分 一、学习体会 这一章主要解决的问题是定积分的数值方法——数值积分法，对于解决一些很难求解原函数或者根本就没有解析表达式的定积分，非常有用。它直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度。 本章第一节首先定义了数值求积公式及其代数精度，之后介绍插值型的求积公式进而引出按照节点等距求解的Newton-Cotes求积公式。对于该公式对应不同的N那么就产生了不同的求积公式，求积公式的数值稳定性无法得到保证，而且仅适用于少节点的情形，这样就产生了另一类求积公式，即复化求积法，它将区间划分为若干子区间，在每个子区间上运用Newton-Cotes求积公式，进而使得这种方法达到了很高的精确度。但是计算节点过多又会产生计算量大，所以为了适用最少的节点达到预先的精度，这样就产生了区间主次划分的方法，这种方法的基本思想是让步长可变。 在N个节点的求积公式中，Gauss型求积公式具有最高的求积精度，由于正交多项式随区间和权函数的不同而不同，因而就可以构造出不同类型的求积公式。我们在进行定积分求解时，要根据求解的条件和结果不同，选择不同的求积方法，进行以得出比较准确的求解结果，这对以后工程上的求解问题有很大帮助。 二、知识梳理
)]
三、思考题 1、推导中点求积公式 3'' ()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰ 证明：构造一次函数P （x ），使 '''',()(),()02222a b a b a b a b P f P f P x ++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 则，易求得' ()( )()()222 a b a b a b P x f x f +++=-+ 且 '()()()()222b b a a a b a b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤ =-+⎢⎥⎣ ⎦⎰ ⎰ 0( )()()22 b a a b a b f dx b a f ++=+=-⎰，令()()b a P x dx I f =⎰ 现分析截断误差：令'()()()()( )()()222 a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=--+ 数值积分
第一章：数值分析与科学计算引论 截断误差：近似 解与精确解之间的误差。 近似值的误差：（.为准确值）： e*-x*-x 近似值的误差限一： 1疋 近似值相对误差（较小时约等） 近似值相对误差限 ： 函数值的误差限 : 苗⑺“ Ifool 叱） 近似值；一士心:化叙…®）"八■有n 位有效数字: 第二章：插值法 P (对J =0.1/*%?] Oo + %呵+…+偽！曙=九 % +如股+…+ %!珥=Y1 % +舸斗1 +…+ %坊=儿 2•拉格朗日插值 (x- x k )6J n+1(x k ) .次插值基函数: (X- x )-(x-x fc -i)(x-曲十 1)…a — X JJ ) (Xk - X 0)-(X k - X k _i) (x k - x k¥1)-(x k - X…) 1•多项式插值 其中: P(x) = a()+ OjX + …+ a n ^ I >k — O.L —.n = _xl(r -n+l
引入记号: ^n+l(X)={X-Xo)(A?-粗)…(#- Xj 余项： =f(x} - SG)=:;:;詁+W > 5 e 3： 3•牛顿插值多项式： ^nW = /（^0）+f 必珀（"叼）+・” +/■［和巧严如（龙-坯”心-*_』 〔阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边） ： 店”“皿］丿杯Fmr gd 余项: 4•牛顿前插公式（令心'小，计算点值，不是多项式）： PQ +t h ）=/o +帧 + 忖A 讥 + - + 心1）：：*%° 〔阶差分： AVo = A n "7i - 余项： 严（和E 3J 5•泰勒插值多项式: •阶重节点的均差: 6.埃尔米特三次插值： p （x ） -f （^X Q ）十打和尤』仗—如+f 1叼公1也］（JC-衍）（ 工一 Xi ） +人（尤-叼）（黑-衍）o — x 2） 其中，A 的标定为： 咋沪f （社） 7.分段线性插值: 第三章：函数逼近与快速傅里叶变换p n (x) = 7(X Q ) + f(x Q )(x -和)+ “•+警(U 血屯“匈
插值型求积公式的求积系数 插值型求积公式是一种常用的数值积分方法，其核心在于通过已知的函数值构造出一个插值多项式，再将积分转化为该多项式的积分。而求积系数，则是决定插值多项式精度和计算效率的关键因素。 下面是插值型求积公式中常用的三种求积系数： 1. 牛顿—柯茨公式的求积系数 牛顿—柯茨公式通过插值多项式的递推方式来求解积分。其求积系数可用牛顿插值多项式的差商来表示。具体公式如下： $$ \int_{x_{0}}^{x_{n}} f(x) d x \approx w_{0} f\left(x_{0}\right)+w_{1} f\left(x_{1}\right)+\cdots+w_{n} f\left(x_{n}\right)$$ 其中， $$ w_{0}=h,\ \ w_{i}=\frac{h}{i !} \prod_{j=0}^{i-1}\left(n-j\right) $$ 2. 拉格朗日公式的求积系数 拉格朗日公式的求积系数是通过对插值多项式的积分来求解的。具体
公式如下： $$ \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \sum_{i=0}^{n} f\left(x_{i}\right) \int_{a}^{b} L_{i}(x) d x$$ 其中， $$ \int_{a}^{b} L_{i}(x) d x=\frac{b-a}{n+1} \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} $$ 3. 均值型求积公式的求积系数 均值型求积公式的求积系数是通过对插值多项式在插值点上的值进行 平均来求解的。具体公式如下： $$ \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2 n} i\right)$$ 以上三种求积系数组合使用，在不同的数值积分问题中都能够提供较 为准确和高效的计算结果。
插值型求积公式一般形式 求积是数学中常用到的一类计算问题，从微积分的定义中也可以明确看出，求积是求定积分的特殊情况。其中有一种情况，是用插值的方法来求积，即插值型求积公式。 什么是插值？通常而言，插值指的是在数据点之间，使用某种拟合函数来代替原始的数据，而将这种拟合的函数引入到求积的过程中，就形成了插值型求积公式。 一般而言，插值型求积公式均可以表示为： $$ int_{a}^{b}f(x)varphi_n(x)dx $$ 其中，$f(x)$表示待求积函数，$a$和$b$分别表示积分区间的下限和上限，$varphi_n(x)$表示插值函数，插值函数的选择可以不同，比如有多项式插值法、拉格朗日插值法、牛顿插值法等等，它们的构造方式也各有不同。 一般来说，对于某种插值函数，它们都可以表示为： $$ varphi_n(x)=C_0+C_1(x-x_0)+C_2(x-x_0)(x-x_1)+cdots+C_n(x-x_ 0)(x-x_1)cdots(x-x_{n-1}) $$ 这里，$C_0,C_1,ldots,C_n$表示插值函数中的常数系数，
$x_0,x_1,ldots,x_{n-1}$表示分别是区间[a,b]内等分后的n个数 据点。 假定某插值函数的形式已知，我们可以求解它的常数系数。一般的求解方法分为三步： （1）选取待求积函数$f(x)$在n个等分点 $x_0,x_1,ldots,x_{n-1}$的值 $f(x_0),f(x_1),ldots,f(x_{n-1})$; （2）令$C_0,C_1,ldots,C_n$为未知常数，将它们代入插值函数$varphi_n$中，构造出一个关于$C_0,C_1,ldots,C_n$的方程组； （3）将这个方程组求解，解出$C_0,C_1,ldots,C_n$便求得了插值函数$varphi_n$的形式。 有了插值函数，就可以使用插值型求积公式来计算积分值了，这是一种大大减轻了计算任务的积分计算方法。 插值型求积公式的应用比较多，特别是在积分计算的实际应用中，如果给定的待积函数的形式比较复杂，又不太好用普通定积分的方法求解，此时就可以采取插值型求积公式。它也常常用在用有限数据估计函数值的实际工程中。 从以上可知，插值型求积公式是一种比较重要的数学方法，它不仅可以简化积分计算的任务，还有很多的实际应用。 综上所述，插值型求积公式在解决一些新的积分计算问题中有着重要的作用，它具有简化积分计算任务的优点和很多的实际应用价值。因此，它是一个值得深入研究和发展的数学方法。
具有6个互异节点的插值型求积公式,代数精度 一、概述 插值型求积公式是数值积分中的重要内容，在实际工程和科学计算中有着广泛的应用。插值型求积公式的代数精度是评判其优劣的重要标准之一。本文将讨论具有6个互异节点的插值型求积公式及其代数精度。我们将介绍插值型求积公式及其基本概念，然后详细分析具有6个互异节点的插值型求积公式的构造方法和性质，最后给出其代数精度的理论分析和数值实例。 二、插值型求积公式的基本概念 插值型求积公式是利用已知函数在一些离散节点上的函数值，对函数的积分进行数值近似的方法。对于区间[a,b]上的函数f(x)，我们希望求取其积分∫f(x)dx的近似值。插值型求积公式通过构造插值多项式Pn(x)来逼近f(x)，再对插值多项式Pn(x)进行积分得到近似值。插值型求积公式通常由节点和权值两部分构成，节点是离散的取点，权值是节点处的函数值在积分中的系数。 三、具有6个互异节点的插值型求积公式的构造方法 对于具有6个互异节点的插值型求积公式，我们可以采用拉格朗日插
值法来构造插值多项式。设节点为x0,x1,x2,x3,x4,x5，相应的函数值为f0,f1,f2,f3,f4,f5。拉格朗日插值多项式Pn(x)的表达式为： Pn(x)=ΣfiLi(x)，i=0,1,2,3,4,5 其中Li(x)是拉格朗日基函数，表达式为： Li(x)=Π(x-xj)/(xi-xj)，i≠j，j=0,1,2,3,4,5 根据拉格朗日插值法可以得到具有6个互异节点的插值型求积公式的构造方法。 四、具有6个互异节点的插值型求积公式的性质分析 具有6个互异节点的插值型求积公式的性质与节点的选取和插值多项式的构造方法有关。一般来说，节点选取越均匀，插值型求积公式的代数精度越高。插值型求积公式的误差估计和收敛性也是其重要性质之一。通过分析插值型求积公式的性质，我们可以更好地理解其在数值计算中的应用。 五、具有6个互异节点的插值型求积公式的代数精度分析 具有6个互异节点的插值型求积公式的代数精度是指其能够准确计算
插值型求积公式的比较 信科1304 魏佳铭 一、问题引入 在计算过程中要求I(f)=∫f (x )dx b a 根据Newton-Leibniz 公式∫f (x )dx b a =F(a)-F(b)可以计算得出 但是在实际计算中存在原函数表达式复杂，求解困难；f(x)表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表等问题，使问题无法求解。 二、方法引进 为得出数值积分的算法，我们对其做离散化处理来简化问题，方便计算。 若存在实数x 1,x 2…….x n ;A 1,A 2…..A n ,且任取f(x)∈C[a,b]都有 ∫f(x)dx b a ≈∑A i f(x i )n i=1 为一个数值求积公式。A i 称为求积系数，x i 称为求积节点，而称 R(f)=∫f(x)dx b a −∑A i f(x i )n i=1为求积余项 评价一个求积公式的优劣可以用求积余项说明，通常用与求积余项有关的所谓代数精度来评价求积余项。 三、插值型求积公式 插值型求积公式借助多项式插值函数来构造求积公式。常用的插值型求积公式有Newton-Cotes 求积公式及Gauss 求积公式。 1. Newton-Cotes 求积公式 （1） n 点的Newton-Cotes 公式（等距节点求积公式） 为了使插值型求积系数A i 计算更简单，将求积节点x i 取为[a,b]上的等距节点 x i =a +(i −1)h, h =b−a n−1,i =1,2,…..n 令积分变量x=a+th 作变换，当x ∈[a,b]时，有t ∈[0,n-1],于是有插值型求积公式的求积系数为 A i =∫ ∏ (x −x k x i −x k )dx n k=1，k≠i b a 记C i (n) = 1 n−1∫∏(t−k+1i−k )dt n k=1，k≠i n−1 则有A i =(b −a )C i (n ) ,i =1,2,…..n ，易证∑C i (n) n i=1=1 得∫f(x)b a dx ≈（ b −a ）∑C i (n ) f(x i )n i=1 （2） 2点的Newton-Cotes 公式（梯形公式） ∫f(x)b a dx ≈ b −a 2(f (a )+f(b)) 几何意义：用一条过两点的直线近似代替被积函数的曲线，从而用一个梯形 的面积
插值型求积公式、Newton-Cotes 型求积公式、复化求积公式、Romberg 求积、Guass 求积公式总结 一、 本章知识梳理 1、代数精度的概念 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确地成立，但对于1m +次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。 2、插值型的求积公式 设[,]a b 上有1n +个互异节点01,, ,n x x x ，()f x 的n 次 Lagrange 插值多项式为 ∑==n k k k n x f x l x L 0) ()()( 其中∏ =--=n j i k i x x x x x Lk 0 )(，插值型求积公式为 ()()() n b n k k a k I f L x dx A f x =≈=∑⎰ (1.1) 其中 (), 0,1, ,b k k a A l x dx k n ==⎰。可看出， {}k A 仅 由积分区间[,]a b 与插值节点{}k x 确定， 与被积函数()f x 的形式无关。求积公式(1.1)的截断误差为
(1)1[]()()() ()(1)! b b n a a n b n a R f f x dx L x dx f x dx n ξω++=-=+⎰⎰⎰ (1.2) 3、.Newton-Cotes 型求积公式 被积函数在积分区间内变化平缓，可用等距节点插值公式近 似。将积分区间[,]a b 划分为n 等分，步长 b a h n -= ，等距节点k x a kh =+，0,1,k = ,n 。此时求积公式(1.4)中的系 数可得到简化 00()()n n b b b j k k a a a j j k j j k j k x x x a jh A l x dx dx dx x x k j h ==≠≠---===--∏∏⎰⎰⎰ 作变换x a th =+，则有 000000 ()(1)()()!()!(1)()()!()!n k n n n n k j j j k j k n k n n j j k t j h h A hdt t j dt k j h k n k b a t j dt k n k n -==≠≠-=≠--==-----=--∏∏⎰⎰∏⎰ 令
第四章 数值积分 一．问题提出： （1）针对定积分()b a I f x dx =⎰ ，若()5 f x x =,a=0,b=1，即有1 61 500166 x I x dx ===⎰，但当 ()sin x f x x = ，()2sin f x x =，……，时，很难找到其原函数。 （2）被积函数并没有具体的解析形式，即()f x 仅为一数表。 二．定积分的几何意义 定积分()b a I f x dx =⎰的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面 积，这四条曲线分别是()y f x =，y=0，x=a ，x=b 。 x y 三．机械求积公式 1.中矩形公式 ()()2b a a b I f x dx b a f +⎛⎫ =≈- ⎪⎝⎭ ⎰； 几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。
x y 2 2.梯形公式 ()()()2 b a b a I f x dx f a f b -=≈ +⎡⎤⎣⎦⎰ 梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积： x y 3.辛普生公式 ()()()462b a b a a b I f x dx f a f f b -⎡ +⎤⎛⎫ =≈ ++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎰ 辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由 ()(),(),,,,()22a b a b a f a f b f b ⎛++⎫ ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭三点构成。
x y a+b 2 4.求积公式的一般形式 ()()0 n b k k a k f x dx A f x =≈∑⎰，其中k x 称为节点，k A 称为求积系数，或权。 5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法） 含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。 定义：若某积分公式对于()0,1,,k x k m =均能准确成立，但对于1m x +不能准确成立。则 称该公式具有m 次代数精度。 解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。 例1．研究中矩形公式()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫ ≈- ⎪⎝⎭ ⎰的代数精度及几何意义。 解：当()01f x x ==时，公式左边()1b b a a f x dx dx b a ===-⎰⎰，公式右边b a =-，左=右； 当()1 f x x =时，公式左边()2222 2 b b b a a a x b a f x dx x dx -=== =⎰⎰ ， 公式右边()22 22a b b a b a +-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()3332 33 b b b a a a x b a f x dx x dx -====⎰⎰ ， 公式右边()2 2a b b a +⎛⎫ =- ⎪⎝⎭ ，左≠右；
第七章 微积分的数值计算方法 7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题 求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。 2．定积分计算问题 计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I b a ⎰= )( 当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算： )()()(a F b F dx x f I b a -==⎰ 然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。 3．数值积分的基本形式 数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式 ∑⎰=≈n k k k b a x f A dx x f 0 )()( (7.1.1) 或记成 ∑⎰=+=n k n k k b a f R x f A dx x f 0 ][)()( (7.1.2) ∑==n k k k x f A I 0 * )( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其 余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。 这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数 k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论* I 的算法设计及其数值稳定 性。 4．插值型求积公式 如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式 )(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。 近似值的误差e∗（x为准确值）： e∗=x∗−x 近似值的误差限ε∗： |x∗−x |≤ε∗ 近似值相对误差e r∗（e r∗较小时约等）： e r∗=e∗ x ≈ e∗ x∗ 近似值相对误差限εr∗： εr∗= ε∗|x∗| 函数值的误差限ε∗(f(x∗))： ε∗(f(x∗))≈|f′(x∗)| ε∗(x∗)近似值x∗=±(a1.a2a3⋯a n)×10m有n位有效数字： ε∗=1 2 ×10m−n+1 εr∗= ε∗ |x∗| ≤ 1 2a1 ×10−n+1第二章：插值法 1.多项式插值 P(x)=a0+a1x+⋯+a n x n 其中： P(x i)=y i ,i=0,1,⋯,n {a0+a1x0+⋯+a n x0n=y0 a0+a1x1+⋯+a n x1n=y1 ⋮ a0+a1x n+⋯+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值 L n(x)=∑y k l k(x) n k=0=∑y k ωk+1(x) (x−x k)ωn+1 ′(x k) n k=0 n次插值基函数： l k(x)= (x−x0)⋯(x−x k−1)(x−x k+1)⋯(x−x n) (x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n) ,k=0,1,⋯,n 引入记号：
ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)余项： R n(x)=f(x)−L n(x)=f(n+1)(ξ) (n+1)! ωn+1(x) ,ξ∈(a,b) 3.牛顿插值多项式： P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）： f[x0,x1,⋯,x n−1,x n]=f[x1,⋯,x n−1,x n]−f[x0,x1,⋯,x n−1] x n−x0 余项： R n(x)=f[x,x0,x1,⋯,x n]ωn+1(x) 4.牛顿前插公式（令x=x0+tℎ，计算点值，不是多项式）： P n(x0+tℎ)=f0+t∆f0+t(t−1) 2! ∆2f0+⋯+ t(t−1)⋯(t−n−1) n! ∆n f0 n阶差分： ∆n f0=∆n−1f1−∆n−1f0余项： R n(x)=t(t−1)⋯(t−n)ℎn+1 (n+1)! f(n+1)(ξ) ,ξ∈(x0,x n) 5.泰勒插值多项式： P n(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0) n! (x−x0)n n阶重节点的均差： f[x0,x0,⋯,x0]=1 n! f(n)(x0) 6.埃尔米特三次插值： P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中，A的标定为： P′(x1)=f′(x1) 7.分段线性插值： Iℎ(x)=x−x k+1 x k−x k+1 f k+ x−x k x k+1−x k f k+1 第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. S(x)属于 n维空间φ：
摘要 在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关. 本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题. 关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发
目录 引言 (1) 第一章曲线拟合 (2) §1.1 基本思想及基本概念 (2) §1.1.1 方法思想 (2) §1.1.2几个基本概念 (2) §1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4) §1.2.1辛普森求积公式的定义 (4) §1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5) §1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5) §1.2.4辛普森公式的应用 (6) 第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7) §2.1 复化辛普森求积公式 (7) §2.1.1问题的提出 (7) §2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7) §2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8) §2.1.4复化辛普森公式的应用 (9) §2.2 变步长辛普森求积公式 (10) §2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10) §2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12) §2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13) §2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14) §2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14) §2.2.6小结 (14) §2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14) 参考文献 (16) 附录A (17)
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -⨯。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点. 又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=⨯≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-⨯= <=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-⨯≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-⨯≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-⨯≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-⨯=x 的绝对误差限均为