学号：2013
大学毕业论文
五种插值法的对比研究
A Comparative Study of Five Interpolation Methods
学院: 理学院
教学系：数学系
专业班级: 信息与计算科学专业1301
学生:
指导教师: 讲师
2017年6月7日
目录
容摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 1 导言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.1 选题背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1
1.2 研究的目的和意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2
2 五种插值法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
3 2.1 拉格朗日插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.2 牛顿插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4 2.3 分段线性插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 2.4 分段三次Hermite插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5
2.5 样条插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5
3 五种插值法的对比研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 3.1 五种插值法的解题分析比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6
3.2 五种插值法的实际应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15
4 结语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21 致．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22
容摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。在实际问题中遇到的函数是许许多多的，有的甚至给不出表达式，只供给了一些离散数据，例如，在查对数表时，需要查的数值在表中却找不到，所以只能先找到它相邻的数，再从旁边找出它的更正值，按一定的关系把相邻的数加以更正，从而找出要找的数，这种更正关系事实上就是一种插值。在实际应用中，采用不同的插值函数，逼近的效果也不同。我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三Hermite插值和样条插值函数。此篇论文就是围绕这些插值法展开讨论，先是简单介绍五种插值法，了解其基本概念与解题思路，然后通过分析对比不同插值法在解答典型例题的过程中存在的优缺点进行总结对比，得出结论。最后使用MATLAB软件的编程实现，绘制出不同插值法下的函数曲线，从几何上再次进行对比，得出结论。通过此次论文的写作，我对于插值法有了更深的理解和认知，对于今后插值法的选择也会更加容易权衡把握。
关键词：插值法；对比；插值函数；多项式
Abstract:Interpolation is one of the most basic methods in numerical analysis.There are many functions in practical problems,some give no expression,some only supply discrete data. So we only find it again from the adjacent number next to find its correct value and according to a certain relationship to the adjacent number corrected.The correct relationship is an interpolation in fact.In practical applications,the effect of approximation is also different when different interpolation functions are used.We have contacted five basic interpolation methods,such as Lagrange interpolation,Newton interpolation, piecewise linear interpolation, piecewise three Hermite interpolation and spline interpolation function.Firstly,this paper introduces the basic concepts and ideas to solve problems of five kinds of interpolation methods.And then through the comparative analysis of the advantages and disadvantages of different interpolation methods in the process of solving typical problems.Finally,using MATLAB software programming,draw different interpolation method of function curve,from geometry again contrast,draw conclusions.Through the writing of this paper,I have a deeper understanding and recognition of the interpolation method,and it will be easier to balance and select which interpolation methods to use in the future.
Key Words:Interpolation methodcomparisoninterpolationfunctionpolynomial
1导言
1.1 选题背景
插值方法最早来源于生产实践，作为一种数学方法，其经历了漫长的历史考验与证实。早在数千多年前，我们的祖先就凭借插值方法，利用已知的少部分日月五星运行规律的观测值获得了相对较完整的运行规律。在一千多年前的隋唐时期，中国的贤能之士就将插值技术应用到了制定历法的过程中。而到公元六世纪时，隋朝的焯又把等距节点的二次插值应用于天文计算中。在16-19世纪，多项式插值被用来解决航海学和天文学的一些重要问题。十七世纪时，牛顿（Newton）和格雷格里（Gregory）建立了等距结点上的一般插值公式，后来拉格朗日（Lagrange）建立出了非等距结点插值公式。在微积分产生并且广泛应用之后，插值的基本理论和结果随之有了进一步的完善，之后其应用也越来越广泛，尤其是在计算机普遍使用之后，插值法在各领域中的地位也越来越重要，与此同时自身也得到了发展。
经典的插值方法是基于泰勒插值（Taylor）和拉格朗日插值的，其实Taylor插值与拉格朗日插值的联系十分密切，即拉格朗日插值的极限形式可以视为Taylor插值，反之，Taylor插值的离散化形式就是拉格朗日插值。我们在建立拉格朗日插值多项式时很是简单方便，但一旦节点增加，就不能再使用原来的多项式计算，需要重新建立新的多项式，这无疑使计算变得繁琐起来，而Newton（牛顿）插值就克服了这一问题。此外根据实际问题，插值法的应用在很多情况下都需要尽量满足插值函数与原函数相差无异的前提，即要求在节点上插值函数与被插值函数的函数值和导数值都是相等的，也就是另一种插值法，Hermite（埃尔米特）插值法。事实上，我们把Taylor插值和拉格朗日插值进行联系融合就能总结出Hermite（埃尔米特）插值，这也推广了前两种插值法。
现在，插值技术的应用在很多领域得到了普与，当我们需要认识某一事物的本质时，常根据其观测点，利用插值技术对特定问题进行深入拓展和解决，以加深对该事物的认识。
多项式插值是函数插值中最常用的一种形式。在一般的插值问题中，插值条件可以唯一地确定一个次数不超过n的插值多项式。从几何上可以解释为：可以从多项式曲线中找出一些不超过n次的点通过平面上1
n个不同的点。插值多项式有两
种常用的表达式形式，一种是拉格朗日插值多项式，另一种是牛顿插值多项式，此外拉格朗日插值公式与牛顿插值公式永远相等。
此外，在进行高阶次插值时常常出现不稳定的情况，而采用样条插值和分段线性插值法就可以防止这类情况的发生。分段线性插值或分段三次埃尔米特插值等此种分段低次插值法可以使逼近效果加强，但却整体光滑而不收敛。为此，引入了更理想化的三次样条插值法。
1.2 研究的目的和意义
在数值分析中，对于插值函数的学习是必不可少的，因为它能辅助我们把模糊的数据准确化，把想当然的数据变得无懈可击。但是对于五种插值函数，他们具有不同的优势和适用围，五种方法对同一问题的处理的结果一定不同，这时对于方法的选择显得至关重要。因此我们对于他们差异化的了解与认知是必不可少的。
通过此篇论文的对比研究，我希望不但可以给数值分析领域中的学习者一些帮助和启示甚至让他们在求知的路上少些磕绊，也能推动一些运用到插值函数知识的社会工作领域的工作者的职业进步。
2 五种插值法
2.1 拉格朗日插值
拉格朗日是n 次多项式插值，解题方法是先构造插值基函数再求n 次插值多项式。对Lagrange n 次插值多项式，首先要选取1+n 个插值点n x x x ,......,10上的n 次插值基函数，)
)...()()...(()
)...()()...()(110110n i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=
+-+-（
)...,2,1,0(n i =有了这1+n 个n 次插值基函数，就能很容易的写出n 次Lagrange 插值
多项式了，其具体的表达式为)()()(0
x l x f x Ln i n
i i ∑==[1]。
拉格朗日插值原理：
表1 插值数值表
i x 0x 1x 2x ... n x )(i x f )(0x f
)(1x f
)(2x f
...
)(n x f
Lagrange 插值的方法是：对于给定的n 个插值节点n x x x ,......,10和对应的函数值n y y y y ,......,,,210，
我们利用n 次Lagrange 插值多项式，可以对插值区间上任意的x 对应的函数值y 利用下式)(x Ln 来求解。
表1中的n 次Lagrange 插值多项式)(x Ln 的数学表达式为：
)()()(0x l x f x Ln i n
i i ∑==。其中，)(x l i )...,2,1,0(n i =是插值基函数，即∏
=--=n
j j
i j i x x x x x l 0
)(。
Lagrange 插值多项式的余项是)()()!
1(1
)()()()1(x f n x Ln x f x Rn n ωξ++=-=，且其
中))...()(()(10n x x x x x x x ---=ω。
2.2 牛顿插值
牛顿插值也是n 次多项式插值，提出了构造插值多项式的另一种方法。它具有继承性和易变化节点的特点。 牛顿插值原理：
Newton 插值的方法：由表1构造的牛顿插值多项式为：
]
,...,,[))...((...
],,[))((],[)()()(1010210101000n n x x x f x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x N ---++--+-+=
用上式插值时，首先要计算各阶差商，而各阶差商的计算可以归纳为一阶差商的逐次计算，一般的1
11021010]
,...,,[],,...,,[],...,,[-----=
k k k k k n x x x x x f x x x x f x x x f
余项为：)(],...,,,[)()()(10x x x x x f x N x f x Rn n ω=-=[2], 其中))...()(()(10n x x x x x x x ---=ω 2.3 分段线性插值
分段线性插值的意义在于克服拉格朗日插值法的非收敛性。其实分段线性插值就是利用每两个相邻的插值基点做线性插值，就可以得到分段线性插值函数：
11)()()(+++=i i i i f x l f x l x y ，],[1+∈i i x x x ，)...,2,1,0(n i = 其中11)(++--=
i i i i x x x x x l ，i
i i
i x x x x x l --=
++11)([4]
。
设分段线性插值函数为)(x y ，则具有以下性质：
①)(x y 可以分段表示并且)(x y i 在每个小区间],[1i i x x -上都是线性函数； ②)(x y i i i f x f ==)(，)...,2,1,0(n i =； ③)(x y 在整个区间],[b a 上连续[3]。
特点：插值函数的序列具有一致的收敛性，弥补了高阶拉格朗日插值方法的不足，可是存在插值精度低、基点处不光滑的缺陷，其中增加插值点可以提高插值精
度。几何上，分段线性插值是通过顺次连接各插值点形成线段，从而逼近原始曲线，这也是计算机绘图的基本原理。 2.4 分段三次Hermite 插值
对于函数)(x f ，有时我们不仅知道它在一些点处的函数值，而且还能知道它在这些点的导数值。当在这些点上的插值函数)(x P 的函数值和导数值同时满足与)(x f 的函数值和导数值相等的要求时，此时的问题就是Hermite 插值问题或带有导数的插值问题。
假定已知函数)(x f 在插值区间],[q p 上的1+n 个互不一样的节点i x ),...,1,0(n i =处满足i i f x f =)(与),...,2,1,0()(n i f x f i i ='='，如果函数)(x G 的存在满足下列条件： ①)(x G 在每个小区间上的多项式次数为3； ②],[)(1b a C x G ∈；
③)()(i i x f x G =，)()(i i x f x G '='，),...,1,0(n i =[5]
就称)(x G 是)(x f 在1+n 个节点i x 上的分段三次埃尔米特插值多项式。
所以，1111)()()()()(++++'+'++=k k k
k k k k k y x H y x H x y h x y h x G 12
112111
2
1112111))(())(
())(21())(2
1(++++++++++++'---+'---+----++----+=k
k
k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k y x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x
2.5 样条插值函数 2.5.1 样条插值的相关概念
分段低次插值函数，虽然有收敛性，但平整度差。因此，早期的制图工程师在制图时首先会在样点处固定弹性木条，其他各处任意成形，这样就能画出一条曲线，定义样条曲线。事实上，该曲线是由分段三次曲线并接而成，在连接点也就是样点
上必须要二阶连续可导，从数学角度加以归纳得到数学样条这个概念。
利用样条插值方法得到的插值曲线光滑性好，但却不收敛。由此我们可以引用三次样条函数以达到插值函数的收敛性且光滑度也更好了。 2.5.2 三次样条插值函数
对于给定区间],[q p 上q x x x n =<<<=...p 10这1+n 个节点和在这些点上的函数值),...,1,0()(n i y x f i i ==，若函数)(x g 满足：
①在每个子区间],[1i i x x -),...,2,1(i n =上，多项式)(x g 的次数不超过3； ②)(x g ,)(),(x g x g '''在],[q p 上连续； ③满足),...,1,0()(n i y x g i i ==的插值条件。
则)(x g 是函数)(x f 关于n 个节点i x 处的三次样条插值函数。
3 五种插值法的对比研究
3.1 五种插值法的解题分析比较 例1已知
表2
0 1 1/2
y
1
2-e 1-e
请写出在以上3个节点处的牛顿插值（一次和二次）以与拉格朗日插值。 解:
（1） 拉格朗日型插值多项式 构造过（0,1）),1(2-e 的一次插值基函数
)1()(1
01
0--=--=
x x x x x x l x x x x x x l =--=
10
1)( 则一次插值多项式为：
211001)1()()()(-+--=+=xe x x l y x l y x ϕ
构造过210,,x x x 的二次插值基函数
)2
1
)(1(2))(())(()(2010210--=----=
x x x x x x x x x x x l
)21
(2))(())(()(2101201-=----=
x x x x x x x x x x x l
)1(4)
)(()
)(()(1202102--=----=
x x x x x x x x x x x l
因此二次插值多项式为：
1
22211002)1(4)2
1(2)21)(1(2)
()()()(-----+--=++=e
x x e x x x x x l y x l y x l y x ϕ （2）牛顿型插值多项式 构造牛顿一次插值函数： 因为
1)
()(],[20
10110-=--=
-e x x x f x f x x f
所以
)
1(1]
,[)()()(2
10001-+=-+=-e x x x f x x x f x ϕ
构造牛顿二次插值函数： 因为
1)
()(],[20
10110-=--=
-e x x x f x f x x f
)(2)
()(],[121
21221---=--=
e e x x x
f x f x x f
120
21021210422]
,[],[],,[---+=--=
e e x x x x
f x x f x x x f
于是
)
422)(1()1(1]
,,[))((],[)()()(1
2
2
2101010002----+-+-+=--+-+=e e x x e x x x x f x x x x x x f x x x f x ϕ
综上，由拉格朗日公式)()(0x l y x j n
j j n ∑==ϕ，牛顿公式
],..,,[))...((...],[)()()(10101000n n n x x x f x x x x x x f x x x f x ---++-+=ϕ
与例题可以看出：
（1）拉格朗日插值法
优势：公式的结构整齐紧密，对于理论研究分析非常方便；
缺点： 当增加或减少一个插值点的计算，将需要重新计算相应的插值基函数，然后插值多项式的公式代入结果也会改变，大大增加了计算量，解题十分繁琐。此外，当插值点很多时，拉格朗日多项式的插值次数也会很高，使计算结果的值变得动荡。换言之，即使在已知的几个点处得到正确的结果，但在附近的点处“事实上”
的值和得到的结果之间的会有较大的差距。
（2）牛顿插值法
优势：牛顿插值法的公式是另一种n 次插值多项式的构造形式，然而它却克服了拉格朗日插值多项式的缺陷，它的一个显著优势就是每当增加一个插值节点，只要在原牛顿插值公式中增加一项就可形成高一次的插值公式。此外，如果在实际应用中遇到等距分布的插值节点，牛顿插值公式就能得到进一步的简化，从而得到等距节点的插值公式，这样为缩短实际运算时间做出了很大的贡献。
缺点：这种插值仅仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值，而这种插值多项式却不能全面反映被插值函数的性态。然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有一样的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有一样的低阶甚至高阶的导数值。对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。
例2 过0,1两点并且满足2
1
)1(,2)1(,21)0(1)0(='=='=f f f f ，构造一个三次埃尔
米特插值多项式[6]。 解：利用公式有
22
1
010100)1)(21())(2
1()(-+=----+=x x x x x x x x x x x h 22
101011)23())(2
1()(x x x x x x x x x x x h -=----+= 22
1
0100)1())(
()(-=---=x x x x x x x x x H )1())(
()(22
1011-=---=x x x x x x x x x H
所以
12
1
23)1(2
1
)1(21)23(2)1)(21()()()()()(2322221100
1100+++
-=-+-+-+-+='+'++=x x x x x x x x x x x x H y x H y x h y x h y x H 由这个例题2可以看出：对于埃尔米特插值，我们不仅已知函数在某些点处的函数值，而且插值函数在这些点处的导数与被插函数一样。
因此，（1）优点：关于插值函数和被插函数的贴合程度，埃尔米特插值比多项式的好。 （2）缺点：埃尔米特插值只有在被插值函数在插值节点处的函数值和导数值已知时才可以使用，而这在实际问题中是无法实现的，因为在一般情况下我们是不可能也没必要知道函数在插值节点处的导数值。因此成为能否运用埃尔米特插值的一个重要因素就是：我们知不知道插值函数在节点处的导数值。 例3 对于函数
11,2511
)(2
≤≤-+=
x x
x f 取等距节点)10,...,1,0(10
2
1=+-=i i x i ，建立插值多项式)(10x ϕ，并探究它与)(x f 的误差。
解： 根据题意知道多项式的次数为10，代入拉格朗日插值多项式的公式有
∑==10
10)()()(i i i x l x f x ϕ
其中
2
2511
)(i
i x x f +=
10,...,1,0,10
2
1=+
-=i i x i )
)()...(())()...(()(10901090x x x x x x x x x x x x x l i i i i ------=
[7]
计算结果如下表所示：
表3
i x
2
2511
)(i
i x x f +=
)(10i x ϕ
i x
2
2511
)(i
i x x f +=
)(10i x ϕ
-1.00 0.03846 0.03846 -0.40 0.20000 0.19999 -0.90 0.04706 1.57872 -0.30 0.30769 0.23535 -0.80 0.05882 0.05882 -0.20 0.50000 0.50000 -0.70 0.07547 -0.22620 -0.10 0.80000 0.84340 -0.60 0.10000 0.10000 0.00 1.00000
1.00000
-0.50
0.13793
0.25376
对于[0,1] 区间上的值可以由对称性得到，根据结果可以看出，)(10x ϕ在原点附近能较好的逼近)(x f ，而在其余点处)(10x ϕ与)(x f 的差异较大，越靠近端点，逼近效果就越不好。
由例题3可以不难发现，在高次插值中拉格朗日插值多项式存在较大缺陷，因而为了弥补这种不足我们一般利用分段线性插值的方法。 例 4 给定函数11,25112≤≤-+=
x x y 取等距节点)10,...,1,0(10
2
1=+-=i i x i
，作分段线性插值函数)(x ϕ，并计算)9.0(ϕ的值。
解：
首先计算出[-1,0]区间上的函数值表：
表4
x -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 y
0.03846
0.05882
0.10000
0.20000
0.50000
1.00000
对于区间[0,1]上的函数值可由对称性得到。 其次，构造各点的插值基函数：
⎩⎨
⎧≤<--≤≤-+-=1
8.00
8
.01)8.0(50x x x l
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
++--+--++-≤≤+-+-+-+-≤≤-+---+=)]
1(511),1(511[\]1,1[0)1(511511)]1(511[5511)1(511)]1(511[5)(j j j x j j x j x j j x x l j (9,...,2,1=j )
⎩⎨
⎧≤<-≤≤-=1
8.0)
8.0(58
.010
10x x x l
故得到分段线性插值函数)(x ϕ
)
())()((50000.0))()((20000.0))()((10000.0))()((05882.0))()((03846.0)(564738291100x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x +++++++
+++=ϕ
把9.0=x 代入上式，
)9.0(ϕ=0.03846×(-5)×(-0.9+0.8)+0.05882×5×(-0.9+1)
=0.5×0.03846+0.5×0.05882
=0.04864
优点： 一方面，与原函数相比，分段线性插值和3次多项式插值函数在每个单元区间上收敛性强，数值稳定性好且易于计算机编程实现；另一方面，分段线性插值计算简便。
缺点：分段线性插值不能保证在节点处的插值函数的导数的连续性，即不光滑。但三次样条插值却弥补了分段线性插值在节点处不光滑的缺陷，从而在某些工程技术上得到了很好的应用。 例5 给定数据表如下：
表5
j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53
j y
0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280
并满足条件0)53.0()25.0(=''=''s s ，求出三次样条插值[8]。 解： 0)(,0)(40=''=''x S x S
2640.3,3157.4,022100-=-==''=d d f d 0,4300.2443=''=-=f d d
040==μλ
由此得矩阵形式的方程组为
040==M M
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛4300.22640.33157.42730
5225301492
321M M M 求解此方程组，得
8809.1,010-==M M
0,0304.1,8616.0432=-=-=M M M
又 三次样条表达式为
j
j j
j j j
j j
j j j
j j j j j
h x x h
M
y h x x h M y h x x M h x x M x S --
+--
+-+-=+++++)
6
()
6
(6)(6)()(21112
1
3
1
将43210,,,,M M M M M 代入得
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎨⎧∈-+-+--∈-+-+----∈-+-+----∈-+-+--=∴]53.0,45.0[)45.0(1.9)53.0(3987.8)53.0(1467.2]45.0,39.0[)39.0(1903.11)45.0(4186.10)39.0(8622.2)45.0(3933
.2]39.0,30.0[)30.0(9518.6)39.0(1138.6)3.0(5956.1)39.0(4831.3]30.0,25.0[)25.0(9697.10)3.0(10)25.0(2697.6)(33
3333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x S
综上，当插值节点的密度渐渐变大时，三次样条插值函数不但收敛于函数本身与其微商也收敛于函数的微商，这一特性比多项式插值更好。此外，样条函数不必是逐段三次多项式，或它可以是一个简单的函数且连续点保持足够光滑。
3.2 五种插值法的实际应用
例1 有一种闸阀，其关闭度为d h d /-=ϕ(d 为管径, h 为开度)，局部阻力系数为α，
ϕ与α存在)(αϕf =的函数关系，其对应关系如下：
表6
ϕ
0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 α
0.00
0.07
0.20
0.81
2.06
5.52
17.60
97.80
如果将闸阀控制在)8/2.1(15.0==ϕ时，求其局部阻力系数α的值[9]。
解： 由题可知，该函数表是等距节点排序。因此，选取ϕ=0.15附近的三个节点使用牛顿插值公式进行二次插值，绘制图表。并将其一阶和二阶差分算出列于该表的右侧各列：
表7
ϕ
α
α∆
2α∆
3α∆
0 0.00 1/8 0.07 0.07 2/8 0.26 0.19 0.12 3/8
0.81
0.59
0.26
0.24
2.18
10
8/2.10
=-=
-=
h
t ϕϕ 0984.02.1)]12.1(2
12
.007.0[00.0)]1(2[)15.0(02002=⋅-++=-∆+∆+==t t N αααα
若进行三次插值，则需选取4个节点，于是我们再选一个节点ϕ=3/8，添加在表上的最后一行，其
2031068.7)22.1)(12.1(2.16
24
.0)2)(1(6-⨯-=--⨯⨯=--∆t t t α 这样，由三次插值所得的α值为：0982.01068.70984.0)15.0(23=⨯-==-N α 综上可以得知，当需要在原插值上取更高次的插值时，只需再添一项对应的节点并进行计算，而且仍可以使用之前的计算结果，也不会带来任何影响。这是 Newton 插值法的优点。
例2 气象局在的9月收集到某一天从上午九点到下午三点的气温变化数据如下：
,15,2.0,14,5.0,13,1,12,5.0,11,2.0,10,1.0,9=============x y x y x y x y x y x y x ;1.0=y 求这段时间温度与时间的关系。
解： 方法一：用拉格朗日插值法解， x=[9:1:15]; y=1./(1+x.^2) ; xh=[9:0.1:15]; yh=lagrange(x,y,xh) ; y1=1./(1+xh.^2) ; plot(xh,yh,'--r') hold on
学号：2013 大学毕业论文 五种插值法的对比研究 A Comparative Study of Five Interpolation Methods 学院: 理学院 教学系：数学系 专业班级: 信息与计算科学专业1301 学生: 指导教师: 讲师 2017年6月7日
目录 容摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 1 导言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.1 选题背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.2 研究的目的和意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 2 五种插值法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.1 拉格朗日插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.2 牛顿插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 2.3 分段线性插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 2.4 分段三次Hermite插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 2.5 样条插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3 五种插值法的对比研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 3.1 五种插值法的解题分析比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 3.2 五种插值法的实际应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 4 结语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21 致．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22
各种插值法的对比研究 插值法是指通过已知数据点来估计两个数据点之间的未知数值。在实 际生活和科学研究中，经常会遇到需要插值的情况，例如气象预测、金融 分析、图像处理等。 本文将对比介绍几种常见的插值方法，包括线性插值、多项式插值、 样条插值和逆距离加权插值。 1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法，假设两个数据点之间的 值变化是线性的。根据已知数据点的坐标和对应的值，通过线性方程推断 两个数据点之间的值。优点是计算简单快速，但缺点是对数据变化较快的 情况下估计效果较差。 2.多项式插值：多项式插值假设两个数据点之间的值变化是一个多项 式函数。通过已知数据点的坐标和对应的值，使用多项式拟合方法求解多 项式函数的系数，再根据该多项式求解两个数据点之间的值。多项式插值 可以准确拟合已知数据点，但在插值点较多时容易出现振荡现象，且对数 据点分布敏感。 3.样条插值：样条插值是一种平滑的插值方法，通过构建分段连续的 多项式函数来逼近整个数据集。根据已知数据点的坐标和对应的值，通过 求解一组多项式函数的系数，使得在相邻区间之间函数值连续，导数连续。样条插值可以减少振荡现象，对于插值点密集的情况能更好地逼近原始数据。 4.逆距离加权插值：逆距离加权插值是一种基于距离的加权插值方法，根据已知数据点与插值点之间的距离，对每个已知数据点进行加权平均得 到插值点的值。该方法认为距离较近的数据点对插值结果的影响更大。逆
距离加权插值简单易用，对数据点的分布不敏感，但对于距离较远的数据点容易受到较大的干扰。 在实际应用中，选择合适的插值方法需要根据数据的特点和要求来决定。若数据变化较简单、平滑，可以选择线性插值或多项式插值；若数据变化复杂，存在振荡现象，可以选择样条插值；若数据点分布较稀疏，可以选择逆距离加权插值。 此外，还有一些其他的插值方法，如Kriging插值、径向基函数插值等，它们根据不同的假设和模型进行插值，具有一定的特点和适用范围。 综上所述，对于选择合适的插值方法，需要根据具体问题和数据特点来综合考虑，结合不同方法的优缺点进行比较研究，以得到更准确和可靠的插值结果。
几种克里金温度插值的比较 1克里金插值法 克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型/克里金点模型)和块克里金插值。常规克里金插值，其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。克里金插值有多种方式，可分为简单克里金插值、普通克里金插值、泛克里金插值等线性插值法，指示克里金插值、析取克里金插值等非线性插值法和概率克里金插值、贝叶斯克里金插值等。克里金法提供了一个在有限区域内对空间变量进行无偏最优估计的方法。 1.1简单克里金插值 图1 未经数值变换的简单克里金插值（作图：曹源飞）
图2 数值变换后的简单克里金插值（作图：曹源飞） 采用简单克里金插值时，由于原温度数据不满足正态分布，故进行数值转换，即在Transformation Type中选择Normal Score，Order of trend removal 中选择Second得到图2. simple kriging很少直接用于估计，因为它假设空间过程的均值依赖于空间位置，并且是已知的，但在实际中均值一般很难得到。它可以用于其它形式的克立格法中例如指示和析取克立格法，在这些方法中数据进行了转换，平均值是已知的。 1.2 普通克里金插值
图3 普通克里金插值（作图：杨敏） Ordinary kriging是单个变量的局部线形最优无偏估计方法，也是最稳健常用的一种方法。普通克里金(Ordinary Kriging)提供了一个在有限区域内对空间变量进行无偏最优估计的方法，是根据样本空间位置不同、样本间相关程度不同，对每个样品赋予了不同的权，进行滑动加权平均，以估计待测点的值。普通克里金法为一种广泛使用的地理统计的插值方法，但一般都只依据经验使用一个变异函数来计算插值结果。 普通克里金插值法要求区域化变量满足二阶平稳假设，但实际应用中这一假设往往无法满足，即存在漂移现象，这时需要采用泛克里金插值。 1.3 泛克里金插值 图4 泛克里金插值（作图：张敏） 泛克里金法，就是在漂移的形式E[Z(x)]=m(x)，和非平稳随机函数Z(x)的协方差函数C(h)或变异函数Y(h)一致的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线性统计学方法。 ●普通克里金插值法要求区域化变量满足二阶平稳假设。但实际应用中这一假设往 往无法满足。即存在漂移现象。这时需要采用泛克里金插值。 ●在实施泛克里金法插值法之前需要埘所插值的数据点属性值进行适当的审查和处 理，主要包括特异值的识别、处理和数据点属性值分布的近似转换。 1.4指示克里金插值
空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋
插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x ,
多种插值法比较与应用 （一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏≠=--= n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ= 称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0 )1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商
i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ 2． Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα
南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：基于matlab的函数插值方法性能比较姓名：xxx 学号：xxxxxxxxxx 成绩：
摘要 函数插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。 本文首先介绍了五种插值方法：线性插值、lagrange插值、newdun插值、三次样条插值和三次B样条插值，并从五种插值法的基本思想和具体实例仿真入手，探讨了五种插值法的优缺点。通过对五种插值法的对比研究及实际应用的总结，从而使我们在以后的应用中能够更好、更快的解决问题。 关键字插值法对比matlab
目录 摘要 (2) 0 引言 (4) 1插值问题的提出、发展史及简单应用 (4) 1.1插值问题的提出 (4) 1.2插值法的发展史 (4) 1.3插值法的简单应用 (4) 2 五种插值法的定义 (5) 2.1线性插值法 (5) 2.2Lagrange插值法 (5) 2.3Newton插值法 (6) 2.4 三次样条插值法 (6) 2.5B样条插值 (6) 3五种插值法的matlab仿真实现 (8) 4五种插值方法性能对比 (11) 5结束语 (12) 参考文献 (12)
0 引言 近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等世纪问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值等，更获得广泛应用，称为计算机图形学的基础。 插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。 1插值问题的提出、发展史及简单应用 1.1 插值问题的提出 许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实 验或观测得到的。虽然()x f 在某个区间[]b a ,上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出 []b a ,上一系列点i x 的函数值()() 2,1,0==i x f y i i ，这只是一张函数表.有的函数虽有解析 表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表.为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表中的函数值.因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数()x f 的特性，又便于计算简单函数 ()x p ，用()x p 近似()x f 。通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式） 作为()x f ，并使()()i i x f x p =对() 2,1,0=i 成立.这样确定的()x p 就是我们希望得到的插值函数。 1.2 插值法的发展史 插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋唐刘焯将等距点二次插值应用于天文计算.但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐渐发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。 1.3 插值法的简单应用 在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点()()n i y x i i ,2,1,0==，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其他店的函数值，才能加工出外表光滑的零件。
1. 克里金法(Kriging） 克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择,IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题.它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法(Inverse Distance Weighted,IDW） 反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值.点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如,为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值,可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。 由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联,因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果. 3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers) 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性. 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动,直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格(Topo to Raster） 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数（Spline） 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值,以生成恰好经过输入点的平滑表面.
插值法的研究及应用 插值法是数值计算中常用的一种方法，其主要作用是利用已知数据的特征来估计未知数据的情况。插值法的研究和应用在各个领域都有着重要的作用，下面我们将从定义、应用和优缺点三个方面来展开讨论。 1. 定义 插值法是一种数值分析方法，采用给定的数据点构造一个插值函数，使该函数能够通过已知的数据点并且在未知的数据点上具有平滑性。插值法通常用于研究样本数据，通过样本数据预测未来或者未知数据点的值。 插值法根据不同的逼近函数可以分为拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法等。在实际应用中，由于样本数据的种类各异，选择适合的插值法对于保证插值函数的准确性至关重要。 2. 应用 插值法是数值计算中非常常见的技术，可以应用于各个领域。以下是插值法在某些领域的具体应用： 2.1. 数学
在数学中，插值法可以用于实现函数逼近和积分计算等。例如在微积分中，为了计算某个函数的面积或者弧长，我们需要拟合出该函数的近似函数。往往要借助于插值法来完成这个任务。 此外，插值法还在微积分中发挥着重要作用，比如根据已知点分段拟合一阶或者二阶函数，从而计算导数或者曲率等数学概念。 2.2. 工程 在工程学上，插值法的应用十分广泛。例如在测量上，经常需要通过记录的数据点建立精准的计量模型。插值法可以将稀疏的测量数据处理成一系列流畅的数据点，有助于更好地理解测量数据。 在通信领域，插值法还可以用于数字信号的重构和平滑。通过将采样后的离散信号插值到连续信号中，我们可以得到更精细的信号波形，从而更准确地还原信号。 3. 优缺点 3.1. 优点 插值法的主要优点在于其简单易懂、易于实现。在数值计算中，插值法是一种非常重要的技术，可以快速而有效地分析大量数据。
17世界后牛顿,拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式.在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 三种插值方法的比较： 拉格朗日插值、分段线性插值与三次样条插值三种插值法在处理问题时的比较。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1个实点 0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…，f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1个离散数据对｛（i x ，i y ）｝i n ＝0．要估算f(x)在其它点ｘ处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y (i x )＝f (i x )，i=0，1，…，n ．并以y (x)作为f (x)的近似值．其中y (x)称为插值函数，f (x)称为被插函数．[1,2,3] 选用不同类型的插值函数，逼近的效果不同，下面给出拉格朗日多项式插值、 分段线性插值及三次样条插值在处理问题时的应用比较分析． 多项式插值是最常见的一种函数插值．在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过ｎ的插值多项式满足上述条件．从几何上看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻找一条次数不超过ｎ的多项式曲线通过这些点．插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日(Lagrange)插值多项式，另一个是牛顿(Newton)插值多项式．且 Ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式恒等于Ｎｅｗｔｏｎ插值公式． 分段线性插值与三次样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象(龙格现象)，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差．为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具。 所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值基点作线性插值，即可得分段线性插值函数。特点：插值函数序列具有一致收敛性，克服了高次Ｌａｇｒａｎｇｅ插值方法的缺点， 故可通过增加插值基点的方法提高其插值精度．但存在基点处不光滑、插值精度低的缺点．从几何上看所谓分段线性插值就是通过插值基点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理.
综合实验报告——比较拉格朗日插值法和样条插值法 实验班级： 实验人员：实验组员：
一、实验目的： 应用MATLAB软件，对以获取的数据分别用拉格朗日插值法和样条插值法进行处理，对比两种方法的优劣。 二、实验内容： ⒈拉格朗日插值： ⑴.前项插值：将第1、3、5个数据值作为准确值，用拉格朗日插 值法算出第2个数作为校正值，再用第3、5、7个 数据值算出第4个校正值，依此类推。然后用奇数 号的准确值与偶数号的校正值构成新的数据，并计 算新数据与原始数据的均方差； ⑵.后项插值：将第1、3、5个数据值作为准确值，用拉格朗日插 值法算出第4个数作为校正值，再用第3、5、7个 数据值算出第6个校正值，依此类推。然后用奇数 号的准确值与偶数号的校正值构成新的数据，并计 算新数据与原始数据的均方差； ⑶.取平均值：将前项插值与后项插值后的新数据再取平均值，并 计算该数据与原始数据的均方差，画出两组数据的 图进行对比。
图1. 拉格朗日插值对比图 ⒉样条插值： 由奇数号的数据，用样条插值法算出偶数号的值，并与原奇数号的数据构成新的数据，算出该数据与原始数据的均方差， 并画出两组数据的图进行对比。
图2. 样条插值对比图 三、实验总结： 拉格朗日插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。其基本思想将待求的n次多项式插值函数改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出多项式。 样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，与拉格朗日插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。 图像可见对于本次试验两种插值法体现无明显差异
五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国刘焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用范围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个 离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插
几种常用高程插值方法的比较数学模型 【最新版3篇】 目录（篇1） 1.引言 2.常用高程插值方法介绍 2.1 反距离权重法 2.2 普通克里金插值法 2.3 普通最小二乘法 2.4 残差最小二乘法 2.5 线性回归法 2.6 多项式回归法 3.各方法的优缺点比较 4.结论 正文（篇1） 高程插值是在地理信息系统 (GIS) 和遥感技术中常用的数据处理方法，目的是根据已知的高程点数据，估算出其他地点的高程值。高程插值的方法有很多种，下面将对几种常用的高程插值方法进行介绍和比较。 2.1 反距离权重法 反距离权重法是一种基于距离的插值方法，其基本思想是根据距离衰减权重，对各个高程点进行加权平均。该方法的优点是简单易行，计算速度快，但是缺点是插值结果受距离衰减系数的选择影响较大，且不能很好地处理数据中的噪声。 2.2 普通克里金插值法
普通克里金插值法是一种基于网格的插值方法，其基本思想是利用周围的已知高程点，通过插值函数估算待求点的高程值。该方法的优点是插值精度高，能够很好地处理数据中的噪声，但是缺点是计算量较大，需要进行多次迭代计算。 2.3 普通最小二乘法 普通最小二乘法是一种基于最小二乘原理的插值方法，其基本思想是通过最小化误差的平方和来估算待求点的高程值。该方法的优点是简单易行，插值精度较高，但是缺点是需要选择合适的基函数，且计算量较大。 2.4 残差最小二乘法 残差最小二乘法是一种改进的普通最小二乘法，其基本思想是将待求点的残差作为基函数，通过最小化残差的平方和来估算待求点的高程值。该方法的优点是插值精度更高，能够更好地处理数据中的噪声，但是缺点是计算量较大，需要进行多次迭代计算。 2.5 线性回归法 线性回归法是一种基于线性回归模型的插值方法，其基本思想是通过线性回归模型估算待求点的高程值。该方法的优点是简单易行，计算速度快，但是缺点是插值精度较低，不能很好地处理非线性关系。 2.6 多项式回归法 多项式回归法是一种基于多项式回归模型的插值方法，其基本思想是通过多项式回归模型估算待求点的高程值。该方法的优点是插值精度较高，能够很好地处理非线性关系，但是缺点是计算量较大，且多项式阶数过高容易过拟合。 3.各方法的优缺点比较 不同的高程插值方法具有不同的优缺点，具体比较如下: 反距离权重法：优点是简单易行，计算速度快;缺点是插值结果受距 离衰减系数的选择影响较大，且不能很好地处理数据中的噪声。
DEM插值方法研究 摘要：数字高程模型（DEM）是很多领域的重要基础数据。而插值是构建DEM 的核心问题。为了构建适合于不用场景的DEM，本文对DEM插值方法进行了总 结归纳，并对常用的五种插值方法进行了分析，给出了不同插值方法的插值原理，优缺点及适用场景。本文结果对于构建DEM时选取插值方法具有重要的参考价值。 关键词：DEM；插值方法；反距离权重法；克里金插值法 1.引言 数字高程模型（DEM）是描述地球表面形态多种信息空间分布的有序数值阵列，它是一种特殊的数字地形模型。随着地理信息系统（GIS）的发展，DEM成为空间信息系统的一个 重要组成部分，在测绘、水文、气象、地貌、地质、土壤、工程建设、通讯、军事等国民经 济和国防建设以及人文和自然科学领域有着广泛的应用。在测绘中可用于绘制等高线、坡度、坡向图、立体透视图、立体景观图，制作正射影像图、立体匹配片、立体地形模型及地图的 修测；在各种工程中可用于体积、面积的计算、各种剖面图的绘制及线路的设计；军事上可 用于导航、精确打击、作战任务的计划等；在遥感中可作为辅助数据用于分类；在环境与规 划中可用于土地现状的分析、各种规划及洪水险情预报等[1]。 插值是构建DEM的核心问题及关键步骤。DEM插值是根据若干已知点的高程值计算出 未知点的高程值。任意一种插值方法都是基于原始地形起伏变化的连续光滑性，或者是邻近 点之间的相关性内插出待定点的高程。现阶段已经有很多成熟的内插方法。不同的插值方法 对于DEM的精度和质量有一定的影响。因而对插值方法进行归纳总结，分析不同方法适用场景及插值方法的优缺点，是一件十分有必要的事。 2.DEM插值方法 2.1插值方法分类 李志林和朱庆[1]根据已知点的搜索范围将插值算法分为全局插值、局部插值和分块插值；汤国安等[2]从数据分布、插值范围、插值曲面与参考点关系、插值函数性质等五个方面 对DEM插值算法进行了全面而详细的分类（见表1）。 2.2 DEM插值原理 DEM插值可以根据已知采样点估计未知插值点的主要原因在于研究对象地形的特殊性：地形具有空间异质性和空间相关性等特征，这些特征使得利用一些空间位置合理的采样点获 得对地形表面相对精确的描述成为可能[3]。 地形是地貌和地物的总称。地球上有各种形态的地貌。空间异质性主要表现在地貌方面。空 间异质性决定了空间插值范围的有限性，即空间插值在局部范围才有意义。空间相关性可以 通过地理学第一定律来描述，即地理相似定律，空间中相近的事物具有更高的相似性。 空间异质性从空间范围的角度，空间相关性从属性相关的角度为DEM插值提供了理论基础。 2.3现阶段常用的插值方法及适用场景 现阶段常用的插值方法有：反距离权重插值法、径向基函数插值法、克里金插值法、多项式插值法、三角网线性插值法[3-4]。 2.3.1反距离权重插值法 （1）原理 该方法是基于彼此距离较近的事物要比彼此距离较远的事物更相似的原理实现的。反距离权重法假定每个测量点有一定的局部影响，这种影响会随着距离的增大而减小。 反距离权重插值法进行插值时，需要设置两个参数，分别为权重函数和局部邻域。权重函数是基于距离的幂函数，其中幂值可根据均方根预测误差值来确定最佳幂值。而局部邻域 可根据数据是否存在方向影响而设定，当数据中不存在方向影响时，将搜索邻域定义为圆。 当存在方向影响时，将局部邻域的形状更改为主轴与风向平行的椭圆。 （2）优缺点及适用场景：
几种插值法的对比研究1 插值法是一种在数据缺失、信号平滑和曲线拟合等方面广泛应用的技术。在实际应用中，人们常常需要对不连续或缺失的数据进行插值处理，以获得连续的数据序列。常见的 插值方法包括多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。本文将对这些方法的原理和优 缺点进行介绍和分析。 1.多项式插值 多项式插值是最早被使用的一种插值方法。可以通过已有数据点之间的连续函数来计 算其它位置的值。多项式插值的主要优点是计算简单，直观易懂。但是，当插值多项式的 次数过高时，会出现插值误差增大和震荡等问题。 2.样条插值 样条插值是一种较为高级的插值方法，其不同于多项式插值将整个区间看作一个整体 来进行插值，而是将区间划分为多个小区间，对每个小区间进行插值。每个小区间内的插 值函数为一次或二次多项式，这些小区间的多项式函数共同构成了一个光滑的曲线。样条 插值方法的缺点是计算复杂性高，同时需要确定分段函数的节点和边界条件，且容易产生 超调（overshoot）现象等问题。 3.径向基函数插值 径向基函数插值（Radial Basis Function Interpolation）是一种较为新的插值方法，利用径向基函数对数据进行拟合。径向基函数具有高精度、自适应性和较强的通用性，可 以在低次次数的情况下进行快速拟合，且可以适用于大多数类型的数据。径向基函数插值 的缺点是对噪声和异常值较为敏感，同时需要确定径向基函数的数量和类型。 综上所述，多项式插值、样条插值和径向基函数插值各有优缺点，应根据实际应用的 需求和数据特点选择合适的插值方法。在选用插值方法时，应考虑插值精度、计算复杂度、对噪声的稳健性等问题，以获得最可靠的插值结果。
几种常用高程插值方法的比较数学模型 摘要： 一、引言 1.高程插值的重要性 2.几种常用高程插值方法的介绍 二、高程插值方法的比较 1.插值算法的基本原理 2.插值精度的对比 3.数据处理效率的对比 4.适用场景的对比 三、数学模型 1.反距离权重法（IDW） 2.线性插值法（Linear） 3.三次样条插值法（Spline） 4.克里金插值法（Kriging） 四、案例分析 1.数据来源及处理 2.各种插值方法的应用 3.结果分析与讨论 五、结论 1.各种高程插值方法的优缺点
2.选择合适方法的建议 3.对未来研究的展望 正文： 在地理信息系统（GIS）和地球空间数据处理领域，高程插值是一项重要的任务。高程插值旨在通过一定的数学算法，将离散的高程点数据转化为连续的高程表面。这对于地形分析、资源评估、城市规划等领域具有重要意义。本文将对几种常用的成熟高程插值方法进行比较，以帮助读者在实际应用中选择合适的方法。 一、引言 高程插值的重要性不言而喻。随着科技的发展和人类对地球表面认识的不断深入，获取高精度的高程数据成为了研究的热点。高程数据不仅可以反映地形特征，还可以为许多实际应用提供重要依据。然而，实际测量过程中，数据采集往往受到成本、技术等因素的限制，导致数据分布不均、缺失值等问题。因此，高程插值方法的研究和应用成为了地理信息科学领域的关键任务。 二、高程插值方法的比较 1.插值算法的基本原理 高程插值方法主要可以分为两类：一类是基于距离的插值方法，另一类是基于地形的插值方法。其中，基于距离的插值方法认为离插值点越近的样本点对插值结果的影响越大，如反距离权重法（IDW）；而基于地形的插值方法则利用地形特征数据进行插值，如线性插值法（Linear）、三次样条插值法（Spline）和克里金插值法（Kriging）。 2.插值精度的对比
插值方法优缺点的比较及选择 比较不同插值方法的优缺点需要考虑多个方面，包括方法的精度、稳定性、计算成本、可扩展性等。以下是一些常见的比较方法： 1.精度比较：比较不同插值方法的预测精度，可以使用均方根误差、平均绝 对误差、相关系数等指标进行评估。精度较高的方法更优。 2.稳定性比较：比较不同插值方法在不同数据集和不同参数下的表现，可以 使用交叉验证、反复试验等方法进行评估。稳定性较好的方法更优。 3.计算成本比较：比较不同插值方法的计算复杂度和计算时间，可以使用时 间复杂度和空间复杂度等指标进行评估。计算成本较低的方法更优。 4.可扩展性比较：比较不同插值方法在大规模数据和复杂模型下的表现，可 以使用可扩展性和并行化等指标进行评估。可扩展性较好的方法更优。 在实际应用中，可以根据具体的需求和数据情况选择合适的比较方法。如果对精度要求较高，可以选择精度较高的方法；如果对计算资源有限制，可以选择计算成本较低的方法；如果需要处理大规模数据或复杂模型，可以选择可扩展性较好的方法。同时，也可以通过实验比较不同方法的优缺点，选择最适合的方法来处理数据。 以下为您推荐几种插值方法： 1.多项式插值：以一个多项式的形式来刻画经过一系列点的曲线。该基函数 的一个优点是当增加一个新的插值节点时，只需在原有基函数的基础上增加一个新的函数即可。但随着节点数逐渐增加，插值曲线可能会出现不稳定的现象。 2.分段插值：为了解决高次插值多项式的缺陷，常用的方法是分段插值。这 种方法把插值区间分为若干个子区间，并在每个子区间上构造低次插值多项式。常见的分段插值法有分段线性插值和三次Hermite插值等。 3.三次样条插值：此法利用分段插值绘制通过节点的曲线，有效地避免了龙 格现象。
五种插值法的对比研究---开题报告 D
非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。 多项式插值是最常见的一种函数插值.在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过n 的插值多项式满足上述条件.从几何上看可以理解为：已知平面上n+1 个不同点，要寻找一条次数不超过n 的多项式曲线通过这些点.插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日（Lagrange ）插值多项式，另一个是牛顿（Newton ）插值多项式. 且Lagrange 插值公式恒等于Newton 插值公式. 分段线性插值与样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用
分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差.为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具. （1）拉格朗日插值 Lagrange 插值是n 次多项式插值，其成功地利用构造插值基函数的方法解决了求n 次多项式插值函数问题。对Lagrange n 次插值多项式，首先构造n+1个插值点0x 1x ,....,n x 上的n 次插值基函数 )(x l i ))...()()...(())...()()...(110110n i i i i i i n i i x x x x x x x x x x x x x x x x --------=+-+-（，)...,2,1,0(n i = 有了这n+1个n 次插值基函数，n 次Lagrange 插值多项式就容易写出来了，具体表达式为) ()()(0x l x f x Ln i n i i ∑==。 表1 插值数值表 i x 0x 1x 2x ... n x