多种插值法比较与应用
（一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式
∏≠=--=
n
k
j j j k
j
k x x
x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ=
称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式
设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件
)()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ=
的n 次多项式
∏∏
∏=≠==--==n
k n
k
j j j
k j k k n
k k n x x x x x f x l x f x L 0
00
))(()()()(
为Lagrange 插值多项式，称
∏=+-+=-=n
j j x n n x x n f x L x f x E 0
)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商
)(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商
i
j i j j i x x x f x f x x f --=
][][],[
依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商
i
k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --=
+-+++++]
,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ
2． Newton 插值多项式
设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件
)()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ=
的n 次多项式
)()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ
为Newton 插值多项式，称
],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n
j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ
为插值余项。 （三）Hermite 插值
设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件
n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为
)()()(0
'12x f x f x H j n
j j j n
j
i n βα∏∏=++=
其中
)())((,)]()(21[)(2
2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα
称为Hermite 插值基函数，)(x l j 是Lagrange 插值基函数，若
],[22b a C f n +∈，插值误差为
220)
22(12)()()!
22()
()()(n x n n x x x x n f
x H x f --+=
-++Λξ，),()(b a x x ∈=ξξ
（四）分段插值
设在区间],[b a 上给定n+1个插值节点 b x x x a n =<<<=Λ10
和相应的函数值0y ，1y ，…，n y ，求作一个插值函数)(x ϕ，具有性质
①i i y x =)(ϕ （n i ,,2,1,0ΛΛ=）。
②)(x ϕ在每个小区间内],[1+i i x x （n i ,,2,1,0ΛΛ=）上是线性函数。 （五）样条插值
设在区间],[b a 上取n+1个节点
b x x x a n =<<<=Λ10 给定这些点的函数值)(i i x f y =。
若函数)(x s 满足条件： ①i i y x s =)(，n i ,,2,1,0ΛΛ=；
②在每个区间],[1+i i x x （n i ,,2,1,0ΛΛ=）上是3次多项式； ③],[)(2b a C x s i ∈； ④取下列边界条件之一：
（ⅰ）第一边界条件：)()(0'0'x f x s =，)()(''n n x f x s =，
（ⅱ）第二边界条件：)()(0''0''x f x s =，)()(''''n n x f x s =或
0)()(''0''==n x s x s
（ⅲ）周期边界条件：)()(0n k k x s x s =，2,1=k
称)(x s 为3次样条插值函数。 （六）有理插值
设在区间],[b a 上给定n+m+1个互异节点
0x ，1x ，2x ，……，1-+m n x ，m n x + 上的函数值)(i i x f y =，m n i +=,,2,1,0ΛΛ，构造一个有理插值
m
m m m n
n n n m n mn b x b x b x b a x a x a x a x Q x p x R ++++++++=
=----11101110)()()(ΛΛ， 满足条件：
)()(i i mn x f x R =，m n i +=,,2,1,0ΛΛ
则称)(x R mn 为点集{0x ，1x ，2x ，……，1-+m n x ，m n x +}上的有理插值函数。
例1．设0x ，1x ，…，n x 为n+1个互异的插值节点，)(0x l ，)(1x l ，…，
)(x l n 为Lagrange 插值基函数，证明 ∏=≡n
j j x l 01)(
证 考虑1)(≡x f ，利用Lagrange 插值余项定理
)())(()!
1()
()()(101n n n x x x x x x n f x L x f ---+=-+Λξ
显然 1)()(≡=x f x L n 。
利用Lagrange 基函数插值公式，有
k j n
j k j j n
j j n x x l x x l x f x L =⋅==∏∏==)()()()(0
例2 给出下列表格：
对于正弦积分
⎰=x
t d t
t
x S 0sin )(， 当45.0)(=x S 时，求x 的值。
解 利用反插值计算
线性插值，取39616.00=t ，58813.01=t ，4.00=x ，6.01=x 。 39616
.058813.039616
.06.058813.039616.058813.04.0)(1--⋅
+--⋅
=t t t L ， 456092097.0)45.0(1=≈L x 。 2次插值，取
19956.00=t ，
39616.01=t ，58813.02=t ，2.00=x ，4.01=x ，6.02=x )
58813.019956.0)(39616.019956.0()
58813.0)(39616.0(2.0)(2----⋅
=t t t L
)58813.039616.0)(19956.039616.0()
5813.0)(19956.0(4.0----⋅+t t
)
39616.058813.0)(19956.058813.0()
39616.0)(19956.0(6.0----⋅
+t t ，
455622509.0)45.0(2=≈L x 。 故x 值约为0.456。
例3 取节点00=x ，11=x 对函数x e y -=建立线性插值。 解 先构造00=x ，11=x 两点的线性插值多项式。因为
（1）Lagrange 型插值多项式
构造)1,0(和),1(1-e 的一次插值基函数
)1()(101
0--=--=
x x x x x x l ，x x x x x x l =--=0
101)( 这样就容易得到
111001)1()()()(-+--=+=xe x x l y x l y x ϕ
（2）Newton 型插值多项式 因为1],[110-=-e x x f ，所以
)1(1],[)()()(110001-+=-+=-e x x x f x x x f x ϕ
例4 根据函数x x f ln )(=的数据表
运用Hermite 插值计算60.0ln 。
解 40.00=x ，50.01=x ，70.02=x ，80.03=x ，首先构造Hermite 插值基函数)(0x α，)(1x α，)(2x α，)(3x α，)(0x β，)(1x β，)(2x β，)(3x β。然后利用Hermite 插值公式写出
∑=+=3
0'7)]()()()([)(k k k k k x x f x x f x H βα
直接计算得 5411)60.0(0=
α，278)60.0(1=α，278)60.0(2=α，5411)60.0(3=α， 1801)40.0(0=β，452)60.0(1=β，452)60.0(2-=β，18
1
)60.0(3-=β.
510824.0)60.0(60.0ln 7-=≈H . 事实上510826.060.0ln -=，另外
x x f ln )(=，8
8!7)(x x f -
=. 例5 判断下面的函数是否是3次样条函数：
⎩⎨⎧≤≤++<≤-++=1
01220
112)(3
3x x x x x x x s 解 )(x s 在]1,1[-上连续，
⎩⎨⎧≤≤+<≤-+=1
0260
123)(2
2'
x x x x x s )('x s 在]1,1[-上连续；
⎩⎨
⎧≤≤<≤-=1
0120
16)(''x x x x x s )(''x s 在]1,1[-上连续，即]1,1[)(2-∈C x s 。
又)(x s 在每段上都是3项式，故)(x s 是3次样条函数。
总结：通过以上定义于例子的学习让我们更好的掌握了插值多项式的方法。
第五章常用插值算法 常用插值算法是计算机图形学中经常用到的一种技术，主要用于在已 知数据点的离散数据集中估计未知位置的值。插值算法根据给定的数据点 之间的关系，推断出其他位置上的值，从而实现数据的平滑化或者补全。 下面将介绍几种常用的插值算法。 1.线性插值算法： 线性插值算法是最简单的插值算法之一，它基于线性关系推断未知位 置的值。对于一维的数据集，线性插值算法使用已知的两个相邻数据点之 间的线性关系来估计未知位置的值。对于二维的数据集，线性插值算法则 使用已知的四个相邻数据点之间的平面关系来估计未知位置的值。线性插 值算法计算简单，但是在处理非线性数据时表现得不够准确。 2.最近邻插值算法： 最近邻插值算法是一种基于距离的插值算法，它假设未知位置的值与 其相邻数据点的值相等。对于一维数据集，最近邻插值算法选择离未知位 置最近的已知数据点的值作为估计值。对于二维数据集，最近邻插值算法 选择离未知位置最近的已知数据点的值作为估计值。最近邻插值算法计算 简单，但是容易产生锯齿状的效果，并且在处理噪声数据时表现得不够稳定。 3.双线性插值算法： 双线性插值算法是一种基于线性关系的插值算法，它考虑了已知数据 点之间的线性关系和未知位置与已知数据点之间的距离。对于二维数据集，双线性插值算法基于已知数据点之间的线性关系和未知位置与已知数据点
之间的距离来估计未知位置的值。双线性插值算法通过考虑更多数据点之间的关系，可以更准确地估计未知位置的值。 4.三次样条插值算法： 三次样条插值算法是一种基于样条函数的插值算法，它通过在已知数据点上构建一组连续且光滑的三次函数曲线来估计未知位置的值。三次样条插值算法通过使用较少的控制点来生成更平滑的曲线，从而可以更好地处理由于离散数据集引起的噪声和震荡问题。 总结起来，常用插值算法包括线性插值算法、最近邻插值算法、双线性插值算法和三次样条插值算法。这些算法在不同的应用场景中都有自己的优势和局限性，选择合适的插值算法需要根据实际需求和数据特点进行综合考虑。
各种插值法的对比研究 插值法是指通过已知数据点来估计两个数据点之间的未知数值。在实 际生活和科学研究中，经常会遇到需要插值的情况，例如气象预测、金融 分析、图像处理等。 本文将对比介绍几种常见的插值方法，包括线性插值、多项式插值、 样条插值和逆距离加权插值。 1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法，假设两个数据点之间的 值变化是线性的。根据已知数据点的坐标和对应的值，通过线性方程推断 两个数据点之间的值。优点是计算简单快速，但缺点是对数据变化较快的 情况下估计效果较差。 2.多项式插值：多项式插值假设两个数据点之间的值变化是一个多项 式函数。通过已知数据点的坐标和对应的值，使用多项式拟合方法求解多 项式函数的系数，再根据该多项式求解两个数据点之间的值。多项式插值 可以准确拟合已知数据点，但在插值点较多时容易出现振荡现象，且对数 据点分布敏感。 3.样条插值：样条插值是一种平滑的插值方法，通过构建分段连续的 多项式函数来逼近整个数据集。根据已知数据点的坐标和对应的值，通过 求解一组多项式函数的系数，使得在相邻区间之间函数值连续，导数连续。样条插值可以减少振荡现象，对于插值点密集的情况能更好地逼近原始数据。 4.逆距离加权插值：逆距离加权插值是一种基于距离的加权插值方法，根据已知数据点与插值点之间的距离，对每个已知数据点进行加权平均得 到插值点的值。该方法认为距离较近的数据点对插值结果的影响更大。逆
距离加权插值简单易用，对数据点的分布不敏感，但对于距离较远的数据点容易受到较大的干扰。 在实际应用中，选择合适的插值方法需要根据数据的特点和要求来决定。若数据变化较简单、平滑，可以选择线性插值或多项式插值；若数据变化复杂，存在振荡现象，可以选择样条插值；若数据点分布较稀疏，可以选择逆距离加权插值。 此外，还有一些其他的插值方法，如Kriging插值、径向基函数插值等，它们根据不同的假设和模型进行插值，具有一定的特点和适用范围。 综上所述，对于选择合适的插值方法，需要根据具体问题和数据特点来综合考虑，结合不同方法的优缺点进行比较研究，以得到更准确和可靠的插值结果。
几种常用的插值方法 常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。 1.线性插值： 线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0) 其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。 2.多项式插值： 多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。 - 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为： y = Σ(yk * lk(x)) 其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为： lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i) - 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：
y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj)) 其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为： finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值： 样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。常用的样条插 值方法有线性样条插值和三次样条插值。 -线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了 插值函数的一阶导数是连续的。 -三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证 了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。三次样条插值具有良好的平滑 性和精度。 4.径向基函数插值： 径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取 决于与插值点的距离。常用的径向基函数包括高斯函数和多孔径函数等。 -高斯函数径向基函数插值使用高斯函数作为局部函数进行插值，公 式为： y = Σ(ωi * exp(-β * ，x - xi，^2)) 其中，ωi是权重系数，β是调节函数衰减速度的参数。 -多孔径函数径向基函数插值使用多孔径函数作为局部函数进行插值，公式为： y = Σ(ωi * ，x - xi，^2 * ln(，x - xi，))
插值方法比较范文 插值方法是数值计算中常用的一种数值逼近技术，用于通过已知数据点之间的关系来估计未知数据点的值。在插值过程中，根据不同的插值方法，可以得到不同的近似函数，从而得到不同的结果。 常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值和样条插值等。下面将对这些插值方法进行比较，包括优缺点。 首先是拉格朗日插值法，它是通过使用已知数据点的函数值来构建一个多项式，再利用这个多项式来估算未知数据点的函数值。拉格朗日插值法的优点是简单易懂、计算简便，而且在已知数据点分布较为均匀的情况下效果较好。然而，拉格朗日插值法的缺点是对于较多数据点的情况，构建的多项式会非常复杂，容易导致插值结果的振荡。此外，拉格朗日插值法对于增加或减少一个数据点都需要重新计算，不够灵活。 其次是牛顿插值法，它也是通过已知数据点的函数值来构建一个多项式，但是与拉格朗日插值法不同，牛顿插值法利用差商的概念来简化多项式的计算。牛顿插值法的优点是可以递推计算差商，避免了重复计算，因此对于增加或减少一个数据点时比较方便。此外，牛顿插值法的插值多项式在已知数据点分布较为稀疏的情况下效果较好。缺点是对于较多数据点的情况，插值多项式同样会变得复杂，容易导致插值结果的振荡。 再者是埃尔米特插值法，它是拉格朗日插值法的一种改进方法。埃尔米特插值法不仅利用已知数据点的函数值，还利用已知数据点的导数值来构建插值函数，从而提高了插值的精度。埃尔米特插值法的优点是可以通过已知数据点的导数值来更好地拟合函数的特点，从而得到更准确的插值结果。缺点是在计算过程中需要求解一系列线性方程组，计算量较大。
最后是样条插值法，它是常用的插值方法之一、样条插值法通过将插值区间划分为若干小区间，在每个小区间上构建一个低次多项式，通过满足一定的光滑性条件来保证插值函数的平滑性。样条插值法的优点是插值函数的平滑性较好，能够解决拉格朗日插值法和牛顿插值法的振荡问题。缺点是在计算过程中需要求解大规模的线性方程组，计算量较大。 综上所述，插值方法各有优缺点，选择合适的插值方法需要考虑已知数据点的分布、插值精度的要求以及计算效率等因素。在实际应用中，可以根据具体情况选择最适合的插值方法来进行数值逼近。
插值法的原理及应用 1. 插值法的概述 插值法是数值计算和数值分析中常用的一种方法，它通过已知数据点的函数值来估计在这些数据点之间的未知函数值。插值方法的目的是找到一个简单的函数，它可以近似地表达已知数据点的函数值，并能够在数据点之间进行插值。 插值法的原理是基于一个假设，即已知的数据点所对应的函数值在数据点之间是连续变化的。根据这个假设，插值方法可以通过构造一个适当的插值函数来实现对未知部分的估计。 2. 插值法的基本思想 插值法的基本思想是利用已知数据点构造一个插值函数，使得这个函数在已知数据点上与真实函数的函数值相等。通过这个插值函数，就可以估计在已知数据点之间任意点的函数值。 插值法通常使用不同的插值函数来逼近真实函数，常见的插值函数有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等。这些插值函数都有着自己特定的优点和适用范围。 3. 插值法的应用领域 插值法在实际应用中具有广泛的应用领域，下面列举了几个常见的应用领域：•地理信息系统(GIS)：在地理信息系统中，插值法被用于估计未知地点的特征值，比如海拔高度、降雨量等。通过已知地点的观测值，可以利用插值法来生成整个区域的连续表面。 •图像处理：在图像处理中，插值法被用于图像放大和缩小。通过已知像素点的颜色值，可以使用插值法来估计未知像素点的颜色值，从而实现图像的放大和缩小。 •金融领域：在金融领域，插值法被广泛用于计算隐含利率曲线、期权价格等。通过已有的市场数据点，可以使用插值法来估计未知数据点，从而进行金融风险管理和定价等工作。 •物理模拟：在物理模拟中，插值法被用于数值求解微分方程。通过已知的初始条件和边界条件，可以使用插值法来逼近微分方程的解，从而对物理系统进行模拟和预测。
插值法的方法与应用 武汉科技大学城市建设学院 琚婷婷 结构工程 201108710014 【摘要】文章讨论插值法在数值分析中的中心地位和重要作用，比较插值法间的优缺点，应用以及各种方法之间的相互联系。 【关键词】插值法；应用。 1．插值问题的提出 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，使用或计算起来十分麻烦。这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 2．插值法的数学表达 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f (x)的近似解析表达式。 3．常用多项式插值公式构造 (I)拉格朗日插值 n 次拉格朗日插值多项式p n (x)对可表示为 p n (x)= y i l i (x)n i=0= y i ( x ?x j x i ?x j n j ≠0i ≠j n i=0) 其中l i x ,i =0,1,2???,n 称为插值基函数，插值余项为： R n (x)= f (x)- p n (x)=f n +1 (ξ) n+1 ！ (x ?x i )n i=0 拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函
数很容易推导和形象的描述算法，但是也有一些缺点，当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度，此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。 (2)牛顿插值多项式 牛顿插值多项式为 N(x)=f(x0)+f x0,x1(x?x0)++???+f［x0,x1,???,x n］(x?x0)(x?x1)???(x?x n?1)用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。一般情况讨论的插值多项式的节点都是任意分布的，但是在实际应用中，出现了很多等距节点的情形，这时的插值公式可以进一步简化，在牛顿均差插值多项式中各阶均差用相应的差分代替，就得到了各种形式的等距节点插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。 (3)分段插值 在整个插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式的次数必然增高，而高次插值会产生Runge现象，不能有效的逼近被插函数，人们提出用分段的低次多项式分段近似被插函数，这就是分段插值法。构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法，即先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，再对基函数作线性组合。它的优点在于只要节点间距充分小，总能获得所要求的精度，即收敛性总能得到保证，另一优点是它的局部性质，即如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响。 (4)Hermite插值 分段线性插值的算法简单，计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等，若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值，而且还要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同的若干阶导数值，这类问题称为Hermite插值。 (5)样条插值 通常我们用到的分段三次埃尔米特插值构造的是一个整体上具有一阶光滑性的插值多项式，但在实际中，对光滑性的要求更高。如飞机外形的理论模型，舶体放样等型值线等常要求有二阶的光滑度。工程上常用的是3次样条函数s(x)。其基本思想是将插值区间n等分后，在每一个小区间上，采用分段3次Hermite
多种插值法比较与应用 （一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏≠=--= n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ= 称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0 )1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商
i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ 2． Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα
各种插值方法比较 插值是一种常见的数据处理技术，用于估计缺失数据或填充数据空缺。在数据分析、统计学和机器学习等领域中，插值可以帮助我们处理缺失数 据或者对连续数据进行平滑处理。常见的插值方法包括线性插值、多项式 插值、样条插值、Kriging插值等。 1.线性插值： 线性插值是一种简单但广泛使用的插值方法，基于原始数据中的两个 点之间的直线来估计缺失点的值。这种方法适用于数据分布较为均匀的情况，但对于非线性的数据，可能会导致估计值与实际值之间的较大误差。2.多项式插值： 多项式插值是通过使用多项式函数来拟合原始数据，从而估计缺失点 的值。多项式插值方法具有较高的灵活性，可以在不同的数据点之间产生 平滑曲线，但在数据点较多时，可能会导致过拟合问题。 3.样条插值： 样条插值是一种常见的插值方法，它通过使用分段多项式函数来拟合 数据，从而在数据点之间产生平滑曲线。样条插值方法克服了多项式插值 的一些问题，同时在数据点较少的情况下也能有效地估计缺失点的值。 4. Kriging插值： Kriging插值是一种基于统计学和地理学原理的插值方法，它考虑了 数据点之间的空间关系，并使用半变异函数来估计缺失点的值。Kriging 插值方法适用于具有空间相关性的数据，例如地理信息系统中的地形数据 或环境监测数据。
除了上述常见的插值方法之外，还有一些其他的插值方法，如逆距离加权插值、最近邻插值、高阶插值等。 5.逆距离加权插值： 逆距离加权插值方法假设距离越近的数据点对估计值的贡献越大，它根据数据点之间的距离来计算权重，并将其与对应数据点的值进行加权平均来估计缺失点的值。逆距离加权插值方法适用于数据点密集、分布不均匀的情况，但对于噪声较大或异常值较多的数据，可能会导致估计值的不准确。 6.最近邻插值： 最近邻插值方法简单和直观，它假设与缺失点距离最近的已知点的值与缺失点的值相同。这种方法适用于数据点之间的空间相关性较强，但在数据点分布不均匀或者缺失点周围的数据点值变化较大的情况下，可能会导致估计值的不准确。 7.高阶插值： 高阶插值方法通过使用高阶多项式函数来拟合原始数据，从而克服了低阶插值方法可能出现的过拟合问题。高阶插值方法适用于数据分布非常复杂或不规则的情况，但在数据点较少时可能导致算法复杂度较高。 总体而言，不同的插值方法适用于不同的数据分布和应用场景。在实际应用中，选择适当的插值方法需要考虑数据的特征、插值的准确性要求以及计算性能等因素。此外，在进行插值处理时，还需要对估计结果进行合理的验证和评估，以确保其准确性和可靠性。
1. 克里金法(Kriging） 克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择,IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题.它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法(Inverse Distance Weighted,IDW） 反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值.点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如,为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值,可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。 由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联,因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果. 3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers) 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性. 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动,直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格(Topo to Raster） 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数（Spline） 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值,以生成恰好经过输入点的平滑表面.
插值法的研究及应用 插值法是数值计算中常用的一种方法，其主要作用是利用已知数据的特征来估计未知数据的情况。插值法的研究和应用在各个领域都有着重要的作用，下面我们将从定义、应用和优缺点三个方面来展开讨论。 1. 定义 插值法是一种数值分析方法，采用给定的数据点构造一个插值函数，使该函数能够通过已知的数据点并且在未知的数据点上具有平滑性。插值法通常用于研究样本数据，通过样本数据预测未来或者未知数据点的值。 插值法根据不同的逼近函数可以分为拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法等。在实际应用中，由于样本数据的种类各异，选择适合的插值法对于保证插值函数的准确性至关重要。 2. 应用 插值法是数值计算中非常常见的技术，可以应用于各个领域。以下是插值法在某些领域的具体应用： 2.1. 数学
在数学中，插值法可以用于实现函数逼近和积分计算等。例如在微积分中，为了计算某个函数的面积或者弧长，我们需要拟合出该函数的近似函数。往往要借助于插值法来完成这个任务。 此外，插值法还在微积分中发挥着重要作用，比如根据已知点分段拟合一阶或者二阶函数，从而计算导数或者曲率等数学概念。 2.2. 工程 在工程学上，插值法的应用十分广泛。例如在测量上，经常需要通过记录的数据点建立精准的计量模型。插值法可以将稀疏的测量数据处理成一系列流畅的数据点，有助于更好地理解测量数据。 在通信领域，插值法还可以用于数字信号的重构和平滑。通过将采样后的离散信号插值到连续信号中，我们可以得到更精细的信号波形，从而更准确地还原信号。 3. 优缺点 3.1. 优点 插值法的主要优点在于其简单易懂、易于实现。在数值计算中，插值法是一种非常重要的技术，可以快速而有效地分析大量数据。
反距离权重法的工作原理 反距离权重(IDW) 插值使用一组采样点的线性权重组合来确定像元值。权重是一种反距离函数。进行插值处理的表面应当是具有局部因变量的表面。 此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如，为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 使用幂参数控制影响 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。
由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。 可将所产生的最小平均绝对误差最低的幂值视为最佳幂值。ArcGIS Geostatistical Analyst 扩展模块提供了一种研究此问题的方法。 1. 3 限制用于插值的点 也可通过限制计算每个输出像元值时所使用的输入点，控制内插表面的特性。限制经考虑的输入点数可加快处理速度。此外，由于距正在进行预测的像元位置较远的输入点的空间相关性可能较差或不存在，因此有理由将其从计算中去除。 可直接指定要使用的点数，也可指定会将点包括到插值内的固定半径。 2. 4 可变搜索半径 可以使用可变搜索半径来指定在计算内插像元值时所使用的点数，这样一来，用于各内插像元的半径距离将有所不同，而具体情况将取决于必须在各内插像元周围搜索多长距离才能达到指定的输入点数。由此将导致一些邻域较小而另一些邻域较大，这是由位于内插像元附近的测量点的密度所决定的。另外，也可指定搜索半径不得超出的最大距离（以地图单位为单位）。如果在获取指定点数之前特定邻域的半径达到最大距离，则会针对最大距离内的测量点数执行该位置的预测。通常，如果此现象产生的偏差较大，则应使用较小邻域或最少点数。
17世界后牛顿,拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式.在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 三种插值方法的比较： 拉格朗日插值、分段线性插值与三次样条插值三种插值法在处理问题时的比较。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1个实点 0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…，f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1个离散数据对｛（i x ，i y ）｝i n ＝0．要估算f(x)在其它点ｘ处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y (i x )＝f (i x )，i=0，1，…，n ．并以y (x)作为f (x)的近似值．其中y (x)称为插值函数，f (x)称为被插函数．[1,2,3] 选用不同类型的插值函数，逼近的效果不同，下面给出拉格朗日多项式插值、 分段线性插值及三次样条插值在处理问题时的应用比较分析． 多项式插值是最常见的一种函数插值．在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过ｎ的插值多项式满足上述条件．从几何上看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻找一条次数不超过ｎ的多项式曲线通过这些点．插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日(Lagrange)插值多项式，另一个是牛顿(Newton)插值多项式．且 Ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式恒等于Ｎｅｗｔｏｎ插值公式． 分段线性插值与三次样条插值可以避免高次插值可能出现的大幅度波动现象(龙格现象)，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差．为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法———三次样条插值成为比较理想的工具。 所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值基点作线性插值，即可得分段线性插值函数。特点：插值函数序列具有一致收敛性，克服了高次Ｌａｇｒａｎｇｅ插值方法的缺点， 故可通过增加插值基点的方法提高其插值精度．但存在基点处不光滑、插值精度低的缺点．从几何上看所谓分段线性插值就是通过插值基点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理.
多种插值法比较与应用 (一) Lagrange 插值 1. Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 n x x j j 0 X k X j j k 称为Lagrange 插值基函数 2. Lagrange 插值多项式 足插值条件 的n 次多项式 n f(xj k (x) k 0 n x f (X k )( k 0 j 0 X k j k 为Lagrange 插值多项式，称 (n 1) 为插值余项，其中x (x) (a,b) (二) Newton 插值 1 .差商的定义 f(x)关于X i 的零阶差商 f[xj f(xj f(x)关于X i , X j 的一阶差商 f[X j ] f[X i ] E(x) f(X) L n (x) (n 1)T j o (X X j ) l k (x) 0,1, ,n 设给定n+1个互异点(x k , f(x k )) , k 0,1, ，n , X i X j , i j ，满 L n (X k ) f(X k ), 0,1, L n (X ) |)
X j X i 依次类推，f(x)关于X i , X i 1 , .................... , X i k 的k 阶差商 f[X i 1, , X i k ] f [X i , ,X i k 1] f[X i ,X i 1, , X i k ] X i k X i 2. Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点(X k , f (X k )) , k 0,1, ,n , X i X j , i j , 称满足条件 N n (X k ) f(X k ) , k 0,1, ,n 的n 次多项式 N n (x) f[X 。] f[X 0,X 1](X X 。) f[X o ,X 1, ,X n ]( x X 。) (X X n 1) 为Newton 插值多项式，称 E(x) f(x) N n (x) f [X o ,X 1, ,X n ] j n (X X j ),x [a,b] 为插值余项。 (三) Hermite 插值 设f(x) C 1[a,b]，已知互异点X 0 , X 1，…，x n [a,b]及所对应的函 数值为 f o , f 1，…，f n ，导数值为f o',(，…，f n',贝 U 满足条件 H 2n1 (X i ) f i ,H 2n 1 ( X i ) f i', ' 0,1, ,n 的2n 1次Hermite 插值多项式为 n n H 2n1(X ) f i j (x) f j' j (X) j j 0 其中 j (x) [1 2(x X j )l j (X j )]l j 2, j (x)(x X j )l j 2(x)
几种插值法的对比研究1 插值法是一种在数据缺失、信号平滑和曲线拟合等方面广泛应用的技术。在实际应用中，人们常常需要对不连续或缺失的数据进行插值处理，以获得连续的数据序列。常见的 插值方法包括多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。本文将对这些方法的原理和优 缺点进行介绍和分析。 1.多项式插值 多项式插值是最早被使用的一种插值方法。可以通过已有数据点之间的连续函数来计 算其它位置的值。多项式插值的主要优点是计算简单，直观易懂。但是，当插值多项式的 次数过高时，会出现插值误差增大和震荡等问题。 2.样条插值 样条插值是一种较为高级的插值方法，其不同于多项式插值将整个区间看作一个整体 来进行插值，而是将区间划分为多个小区间，对每个小区间进行插值。每个小区间内的插 值函数为一次或二次多项式，这些小区间的多项式函数共同构成了一个光滑的曲线。样条 插值方法的缺点是计算复杂性高，同时需要确定分段函数的节点和边界条件，且容易产生 超调（overshoot）现象等问题。 3.径向基函数插值 径向基函数插值（Radial Basis Function Interpolation）是一种较为新的插值方法，利用径向基函数对数据进行拟合。径向基函数具有高精度、自适应性和较强的通用性，可 以在低次次数的情况下进行快速拟合，且可以适用于大多数类型的数据。径向基函数插值 的缺点是对噪声和异常值较为敏感，同时需要确定径向基函数的数量和类型。 综上所述，多项式插值、样条插值和径向基函数插值各有优缺点，应根据实际应用的 需求和数据特点选择合适的插值方法。在选用插值方法时，应考虑插值精度、计算复杂度、对噪声的稳健性等问题，以获得最可靠的插值结果。
插值算法的介绍及其在数学建模中的应用 一、插值的介绍及其作用 数模比赛中，常常需要根据已知的样本点进行数据的处理和分析，而有时候现有数据较少或数据不全，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用插值法“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。 在直观上，插值就是找到一个连续函数使其经过每个样本点 插值法还可用于短期的预测问题 （插值与拟合经常会被弄混，为了区分，这里简要介绍一下拟合：即找到一个函数，使得该函数在最小二乘的意义下与已知样本点的总体差别最小，该函数不一定要经过样本点。通常情况下，拟合要求已知样本点的数据较多，当数据较少时不适用） 二、插值法原理 三、插值法的分类 注：下面的1、2、3、4 并非是并列关系，几个部分之间也有交
叉，目的在于逐渐引出数学建模中最常用的两种插值方法：三次样条插值与三次埃尔米特插值。 1、普通多项式插值 多项式插值中，拉格朗日插值与牛顿插值是经典的插值方法，但它们存在明显的龙格现象（下面会解释龙格现象），且不能全面反映插值函数的特性（仅仅保证了插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值）。 然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。因此，数学建模中一般不使用这两种方法进行插值，这里也不再介绍这两种方法。 龙格现象（Runge phenomenon）: 1901年，Carl Runge 在他的关于高次多项式插值风险的研究中，发现高次插值函数可能会在两端处波动极大，产生明显的震荡，这种现象因此被称为龙格现象。所以在不熟悉曲线运动趋势的前提下，我们一般不轻易使用高次插值。 下面是对函数f(x)=\cfrac{1}{1+x^2}不同次数拉格朗日插值多项式的比较图，其中红线为函数本身图像。可以发现，n值越大，在两端的波动越大。
数值分析中的插值方法应用数值分析是一门研究数值计算方法和计算机求解数学问题的学科。在实际问题中，我们经常需要根据有限的数据估计和预测未知数值，而插值方法就是一种常用的数值计算技术，用来构造未知数据点的函数表达式。本文将介绍数值分析中的插值方法及其应用。 一、线性插值方法 1. 线性插值原理 线性插值是一种简单而常用的插值方法，它假设函数在给定的两个数据点之间是线性的。根据两个已知数据点(x0, y0)和(x1, y1)，可以通过以下公式求得在这两个点之间插值的函数表达式： y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0) 2. 线性插值应用场景 线性插值方法适用于对连续函数进行近似估计的场景。例如，在传感器数据处理中，由于数据采样的时间间隔有限，我们需要通过线性插值方法来估计中间时刻的数据值，以获得更精确的测量结果。 二、拉格朗日插值方法 1. 拉格朗日插值原理 拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法，它通过构造一个满足已知数据点的多项式函数来进行插值。给定n个数据点，拉格朗日插值多项式的表达式如下：
P(x) = Σ yi * li(x)，i=0 to n 其中，yi是第i个数据点的函数值，li(x)是拉格朗日基函数，计算公式为： li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)，j ≠ i 2. 拉格朗日插值应用场景 拉格朗日插值方法适用于对离散数据进行高次多项式逼近的场景。例如，在数据拟合中，我们可利用拉格朗日插值方法构造出一个多项式函数，以逼近已知数据点所代表的曲线，从而进行数据的预测和估计。 三、牛顿插值方法 1. 牛顿插值原理 牛顿插值是一种利用差商的插值方法，它通过构造一个满足已知数据点的插值多项式来进行插值。给定n个数据点，牛顿插值多项式的表达式如下： P(x) = f[x0] + Σ f[x0, ..., xi] * Π (x - xj)，i=0 to n-1 其中，f[x0, ..., xi]是差商，计算公式为： f[x0, ..., xi] = (f[x1, ..., xi] - f[x0, ..., xi-1]) / (xi - x0) 2. 牛顿插值应用场景
插值法的应用与比较 信科１302 万贤浩 1327１０3８ 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律,而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测,在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式,其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值)多项式.数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1７７９年发现,不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现。179５年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。 1．１拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(−9， 5）, (−4, 2)， （−１， −2), (7, ９)，拉格朗日多项式： )(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y ， )(22x l y 以及)(x l y ςς各 穿过对应的一点,并在其它的三个点的x 值上取零。 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ，………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个。如果计入次数更高的多项式,则有无穷个,因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点: