定积分练习题
一.选择题、填空题
1.将和式的极限
lim 1p 2 p
3p .......
n p
0) 表示成定积分
n P 1
( p
(
)
n
1
1
1 p
dx
1
1 p
dx
1
x
p dx
A .dx
B . x
C .()
D . ()
0 x
0 x
n
2.将和式 lim ( 1
1 .........
1
) 表示为定积分
.
n
n 1
n 2 2n
3.下列等于 1 的积分是
(
)
A . 1
xdx
B . 1
C . 1
1
1
( x 1)dx
1dx
D . dx
2
1
2
4 | dx =
4. | x
(
)
A .
21
B .
22
23
25
3
3
C .
3
D .
3
5.曲线 y
cos x, x
[0,
3
] 与坐标周围成的面积
(
)
2
5
A .4
B .2
D . 3
C .
2
1
e x
)dx =
6. (e
x
(
)
A . e 1
B .2e
2
D . e
1
e
C .
e
e
7.若 m
1
e x
dx , n
e
1
dx ,则 m 与 n 的大小关系是( )
1 x
A . m n
B . m n
C . m n
D .无法确定 8.
9 y x
2 1 和 x 轴围成图形的面积等于 S
.给出下列结果:
.由曲线
1
1)dx ; ② 1
1
①( x 2
(1 x 2
)dx ; ③ 2 ( x
2
1)dx ; ④ 2 (1 x 2 )dx . 1
1
1 则 S 等于(
)
A . ①③
B . ③④
C . ②③
D . ②④ 10. y
x
cost sin t)dt ,则 y 的最大值是(
(sin t )
A . 1
B . 2
C .
7 D . 0
2
17
f ( x)
11. 若 f (x) 是一次函数,且
1
1
2 dx 的值是
f ( x) dx 5 , xf ( x)dx
6
,那么
x
1
.
15.设 f (x )
sin x 3 x
,则
f (x) cos2 xdx (
)
其余
( A )
17. 定积分
3 3 (D )- 1
( B )
(C )1
4
4
sin x sin 3 xdx 等于 _______
18. 定积分
cos x
cos 3 xdx 等于 ( )
( A )
3 ( B )
2 ( C )
4 4 3
( D )
3
19. 定积分
2
| sin x cos x | dx 等于 (
)
( A ) 0
( B )
1
( C )
2 1
(D )2( 2 1)
2
20.定积分
max{ x 3
, x
2
,1}dx 等于 ( )
2
( A ) 0
( B ) 4
( C )
16
( D )
97
3
12
综合题:
(1) 1
x 2
dx (2) 1
x)dx
2
( x
2
4
x 2 x cos 5 x)dx
ln(1
(3)
x
2
x 2
2 (4)
e
dx
2 dx e
x
(1
ln x)ln x
(5)
3
(3 2x 2
)2
x
(6)
2 tan 2 x[sin 2
2x ln( x
1 x
2
)]dx
(7)
2
1 dx
2
2
4 x 2
(14) 用定积分定义计算极限: lim( n n
...
n
)
2 2 2
2
2
n
n 1 n 2
n
n
定积分练习题
1
x) 1 x 2 dx
2.
(1 (
)
1
( A )
( B )
2
(C ) 2
( D )
4
3. 设 f
C [ 0, 1] ,且
1
x dx ,则
2
f (cos 2
x) sin 2xdx ()
f
( 2
)
( A )2 (B )3 ( C )4 (D )1
4. 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续,且
b 0 ,则(
f ( x)dx )。
a
( A )在 [ a, b] 的某个子区间上, f ( x) 0 ;
( B )在 [ a, b] 上, f ( x) 0 ;
( C )在 [ a, b] 内至少有一点
c , f (c) 0 ;
( D )在 [ a, b] 内不一定有 x ,使 f ( x)
0 。
2
5.
x 3 2x 2
xdx =(
)
(A)
4
(2
2)
4
(2
2 )
4 2
8 2 (D)
4 2 8 2
15 15
3
5
3 5
1
e x
dx 6..
e x
(
)
1
1
(A)
1 e 1 e (D)
1
1 (B)
e
(C)
e
1 1 填空、选择题
(1) 2 sin 8 xdx _______,
2
cos 7 xdx _______,
x
(2)lim
t sin tdt
______;
x)
x 0
ln(1
2
x 2
2x dx _______;
(3) 1
曲线
y x t(1
的上凸区间是
_______;
(4)
1
t )dt
(5) 1 cos2xdx _______;
设
是连续函数,且
,则: f ( x) ______;
(6)
f ( f ( x ) si n xf ( x dx
1
x(1
x 2005 )(e x
e x )dx
______; (7)
1
(8) lim
1 x 1
)dt _______;
ln(1
x
x 1
t
定积分练习题
一.计算下列定积分的值
( 1) 3 2
2
5
2
;(4) 2
2
xdx ;
(4x x )dx
;( )
( x 1) dx
; ( ) ( x sin x)dx cos
1
2
1
3
2
π
1
1
1 x 2
e
2
( 5)
2
cos 2
d
(2x 3) dx ;
dx ; 0
2 (6) 0 (7) 01 x 2 ( 8) e
dx
x ln x
;
1
e x
e x 3 tan 2
xdx
9
1 4
dx
(9) 0
2
dx ;
(10) 0 (11) 4 ( x
x
)dx;
( 12) 0 1
x ;
e
1
(ln x) 2
dx
5
x
1
dx
;
(13) 1
x
2
cos xsin 2xdx; (15) 2 e sin xdx; (16)
(x 2
x 1) 3 / 2
e (14) 0
2
cos x
1
dx
sin 2 x
dx;
(18)
e x
;
(17) 0 1
e x
三.利用定积分求极限
( 1)
lim n
n 1 1 1 ;
(n 1) 2
( n 2) 2
(n n) 2
( 2)
lim
n(
2
1
2
1 1
2 );
n
n 1 ( n
2)
2n
定积分练习题
一、填空题:
如果在区间 [a, b] 上 ,
b
1. f ( x) 1,则 f (x)dx
.
a
2.
1
(2x 3)dx
.
3. 设 f ( x)
x
2dt ,则 f ( x)
. sin t
4. 设 f ( x)
1
e t 2 dt ,则
f (x)
.
cosx
5.
2
cos 5 x sin xdx
6.
2 sin 2n 1 xdx
.
2
7.
1
3 dx
.
1
x
3
3
8. 比较大小 ,
x 2
dx
x 3
dx .
1
1
9. 由曲线 y sin x 与 x 轴 ,在区间 [0, ] 上所围成的曲边梯形的面积为
.
10. 曲线 y
x 2 在区间 [0,1] 上的弧长为
.
二、选择题:
3
1. 设函数 f(x) 仅在区间 [0, 4]上可积,则必有
f (x)dx =[
]
2
f ( x)dx
3
1
3
f ( x)dx
A .
0 f ( x)dx
B .
f (x)dx
2
1
5
3
10 3
f (x)dx
C . f (x)dx
f (x)dx
D .f ( x) dx
5
10
1
2
2.设 I 1 = xdx , I 2 =
x 2 dx ,则 [
]
1
A . I 1
I 2
B . I 1 I 2
C . I 1
I 2
D . I 1
I 2
y
x 3
2) dt 则
dy
x
0 3. 0 (t
1) (t
dx
A . 2
B . -2
C . 0
D . 1
a
3x)dx
2, 则 a 4.
x(2
A .2
B . -1
C . 0
D . 1
5. 设 f ( x ) =
2
( x 0) 则
f (x)dx =[ ]
x
1
x(x
0)
1
A . 2
1
xdx
B . 2 x 2 dx
1
1
x 2
dx +
xdx
1
C . 1
D . xdx
x 2dx
1
x sin t 2dt 6. lim
x 2
x 0
1
1
C . 0
D . 1
A .
B .
2
3
x
e
t
7.
F ( x)
costdt, 则 F (x) 在 [0, ]上有(
)
(A)
F ( ) 为极大值 , F (0) 为最小值
F ( ) 为极大值 ,但无最小值
2 2 (B)
F ( ) 为极小值 ,但无极大值 F ( ) 为最小值 , F (0) 为最大值
2
2
x 2
2
x
3 ,则 f (2)
9. 设 f ( x) 是区间 a,b 上的连续函数,且
f (t)dt (
)
1
(A) 2 (B) -2
1
1
(C)
(D)
4
4
1
ln(1 x)
10. 定积分
1
x 2
dx =(
)
( A )
1
( B ) 2
( )
ln 2
( ) ln 2
C
D
8
11. 定积分
4
tan 2 x
=( )
4 1 e x
dx
( A )
1
( B )
1
2
4 2
( C )
1 2
( D )
1
4
13. 设函数 f
R[ a, b] , 则极限 lim
f ( x) | sin nx | dx 等于(
)
n
( A )
2 f (x)dx
( B ) 2
f (x)dx
1
( C )
f ( x)dx
( D ) 不存在
x x 2
x
14. 设 f (x) 为连续函数,且满足
x)dt
e
1,则 f (x)
f (t
(
)。
2
( A )
x e x
( B ) x e x
( C ) x e x
( D ) x e x
15. f
C [ a , b) , F ( x)
x
x
1
dt ,则 F ( x) 0 设正定函数 f (t) dt
f ( x)
在
a
b
( a , b) 内根的个数为
( )
(A )0
( B )1
(C )2
(D )3
三.计算题:
1. d
x
2
1 t 2
dt
2. 2
sin xdx
dx
(
x t
2 dt ) 2
1 dx
e
3.
4. lim
2
x
2
x
0 te 2t dt
4 x
5. a 1 dx (a 0)
6.
4 dx
x 2 a 2
1
x
x
1
t
2
1
x
dx
2
dt 7.
te
8.
e
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?