概率论与数理统计必考大题解题索引
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题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。
【相关公式】 全概率公式:
()()()()()()
n 1122S P()=|()||()()
(|)()
=()(|)()(|).
i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++=
=+12设实验的样本空间为,为的事件,B ,B ,……,B 为的划分,且>0,则有:
P ?…其中有:。特别地:当n 2时,有:
贝叶斯公式:
()()i 1
00(1,2,,),()(|)()
(|)()(|)()
=()(|)()
(|)()(|)()(|)()
i i i i n
i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>=====
+∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ,B ,……,B 为S 的一个划分,且P ,……则有:特别地:
当n 2时,有:
【相关例题】
1.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求:
(1)恰好取到不合格品的概率;
(2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。 解:设事件
表示:“取到的产品是不合格品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工
厂生产的”(i =123,,)。
则Ω== 3
1i i A ,且P A i ()>0,321A A A 、、两两互不相容,由全概率公式得
(1)∑=?=3
1
)|()()(i i i A A P A P A P
1000/37100
210035100410025100510040=?+?+?=
(2)由贝叶斯公式得 )|(2A A P =
∑=3
1
22)
|()()
|()(j j j A A P A P A A P A P
0.250.04
10/3737/1000
?=
=
2.有朋友远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求:
( 1 ) 此人来迟的概率;
( 2 ) 若已知来迟了,此人乘火车来的概率。 解:设事件
表示:“此人来迟了”;事件i A 分别表示:“此人乘火车、轮船、汽车、飞
机来”(i =123,,,4)。则Ω== 4
1
i i A ,且P A i ()>0,4321A A A A 、、、两两互不相容
(1)由全概率公式得
∑=?=4
1)|()()(i i i A A P A P A P
5
1
8152121101315141103=?+?+?+?=
(2)由贝叶斯公式得
P A A (|)1=∑=41
11)
|()()|()(j j j A A P A P A A P A P 3131041/58
?
=
=
题型二:1、求概率密度、分布函数;2、正态分布
1、求概率密度
【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导;已知概率密度f(x)求分布函数抓住公
式:()1f x dx +∞
=-∞?,
且对于任意实数,有:212211
{}()()()x P x X x F x F x f x dx x <<=-=?。 【相关例题】
(1)设随机变量X 的分布函数为: 0,1x < F X (X )= ln ,1x x e ≤< 1,x e ≥
① 5(2)(03)(2)2
P X P X P X <<≤<<求、、 ② ().x f x 求概率密度
(1)(2)(2)ln 2
(03)(3)(0)101555
(2)()(2)ln
2241(2)()X X X X X P X P X P X F F P X F F d F X dx x
<=≤=<≤=-=-=<<=-==解:
1
,1x e x <<
()x f x ∴=
0,其他 (2)2
()()1A
f x x x
=
-∞<<+∞+,是确定常数A 。 200+1
-1+([arctan ][arctan ]11
A
dx x A x x A π
+∞-∞∞=∞+==-
?解:由相关性质得:解得:
,036
x
x ≤< (3)设随机变量X 具有概率密度f(x)= 2,342
x
x -≤<,求X 的分布函数。
0,其他 解:
0,x<0
,0306x x dx x ≤2
,0312
x x ?≤< 362
2,3403x x x x +-≤?232,344
x x x ?-+-≤< 1,4x ≥ 2、正态分布
【相关公式】
()F x =
(1
)公式22
()2()()x f x x μσ--
=-∞<<+∞其中:
,,μσμσ为常数,则称X 服从参数为的正态分布。 (2)若()2~=
~(0,1).x X N
Z N μ
μσσ
-,,则
(3)相关概率运算公式:
122112{}{
}(
);
{}{}()();()1().
X x x P X x P x x x x X P x X x P x x μ
μ
μ
σ
σσ
μμμμ
μσσσσσ
---≤=≤=Φ-----≤<=≤<=Φ-ΦΦ=-Φ-
【相关例题】
1、某地区18岁女青年的血压(收缩压:以mmHg 计)服从N~(110,122),在该地任选一名18岁女青年,测量她的血压X ,求: (1){105},{100120};P X P X ≤<≤ (2)确定最小的,{}0.05x P X x >≤使
2(1)
~(110,12)
1101051105
{105}{
}()1(0.42)10.66280.3372;121212
100110110120110101010
{100120}{}()()2()10.5934
121212121212
110110(2){}1{}1{}1212X N X P X P X P X P X x P X x P X x P --∴<=<=Φ--Φ=-=---<≤=<≤=Φ-Φ-=Φ-=-->=-≤=-≤解:min 110
1()0.05
12
110
()0.95(1.65)
12
110 1.65129.8
12
129.8x x x x x -=-Φ≤-Φ≥Φ-?≥?≥∴=即有:
2、由某机器生产的螺栓的长度(cm )服从参数10.05,0.06μσ==的正态分布,规定长度在范围10.050.12±内为合格品,求一螺栓为不合格的概率。
()
{}.
9.9310.0510.0510.1710.0510.05
(){
}(22)2(2)10.9544
0.060.060.060.06
()1()10.95440.0456A P A X X P A P P P A P A =----=≤≤=-≤≤=Φ-=∴=-=-=解:设一螺栓合格,本题求
【题型三】二维随机变量的概率密度和边缘概率密度事件的独立性
1.设G 为由抛物线y x =2
和y x =所围成区域,()X Y ,在区域G 上服从均匀分布,试求:(1)X Y 、的联合概率密度及边缘概率密度;
(2)判定随机变量X 与Y 是否相互独立。
解:如图所示,G 的面积为
A x x dx =
-=
?
()20
1
1
6
因此均匀分布定义得X Y 、的联合概率密度为
f x y x y G
(,),(,),
=∈??
?60其他 而
f x f x y dy dy x x x X x
x
()(,)()===-≤≤-∞
+∞
?
?660122,
f y f x y dx dx y y y Y y
y
()(,)()=
==-≤≤-∞
+∞
?
?
6601,
所以关于X 和关于Y 的边缘分布密度分别为
f x x x x X ()(),,=-≤≤???
601
02其他
f y y y y Y ()(),,
=-≤≤??
?
6010其他
(2)由于),()()(y x f y f x f Y X =,故随机变量X 与Y 不相互独立。 2.设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为
???<<=-其它,
00,),(y
x e y x f y
求:(1)随机变量X 的密度函数)(x f X ; (2)概率}1{≤+Y X P 。
解:(1)x ≤0时,f x X ()=0;
x >0时,f x X ()=f x y dy e dy e y x x
(,)==--+∞
-∞
+∞??
故随机变量X 的密度函数f x X ()=e x
x x -<≤???
,,000
(2)P X Y {}+≤1=
=--+≤?
?
??f x y dxdy dx e dy y x
x
X Y (,)10
121
=+---e e 112
12
3.设随机向量()X Y ,的概率密度为
??
?<<<<=其他,
00,10,),(x
y x A y x f
试求:(1)常数A ;(2)关于X Y 、的边缘概率密度。
解:(1)由归一性 ????
=
==
∞+∞-∞
+∞
-1002
),(1A
d y d x A d x d y y x f x
所以2=A 。
的联合概率密度为
??
?<<<<=其他,
00,10,2),(x
y x y x f
(2)关于X Y 、的边缘概率密度为 )10(22),()(0≤≤===??+∞
∞-x x dy dy y x f x f x
X
即
??
?≤≤=其它0
1
0,2)(x x x f X 同理可求得关于Y 的边缘分布密度为
??
?≤≤-=其他,
01
0),1(2)(y y y f Y
4.设随机变量(X ,Y )具有概率密度
???≥≥=+-其它,
00
,0,),()(y x Ce y x f y x ,
求(1)常数C ;(2)边缘分布密度。 解:(1)由于f x y dxdy (),-∞
+∞
-∞+∞?
?=1,故
1=
Ce dxdy C e dx e dy C x y x y -++∞
--+∞
+∞
+∞?
???==()0
所以C =1,即
f x y e x y x y (,),()=≥≥??
?-+,
,
其他
00
(2)??+∞
∞--+-+∞
===x y x X e dy e dy y x f x f )(0
),()( 0≥x ,即
?????≥=-其他
,00,)(x e x f x X
??+∞∞--+-+∞
===y y x Y e dx e dx y x f y f )(0
),()( 0≥y ,即
?????≥=-其他
,00
,)(y e y f y Y
【题型四】最大似然估计的求解
【相关公式】
()()(1)()0ln ()0220ln 0(1,2,3,,)i i
d d L L d d i i L L i k θθθθθ
θθ==≥??===??当只有一个变量的时候,有:或;当未知变量有的时候,有:或……
【相关例题】
1、设概率密度为:
,01x
e x λλ-<<
()f x =
0,其他
λ求的最大似然估计.
()111
1
()exp ln ()ln ()1()0=.n
n
x
n
i i i n
i
i n
i i n
L e
x l L n x d n l x d d l d x λλλλλλθλλλλλλλλ-====??
==- ?
??==-=-=∑∏∑∑解:令,即有:
2、
123,,,n X X X X 设,?… 是来自概率密度为:
1
,01x x θθ-<<
(;)f x θ=
0,其他 的总体的样本,θ未知,求θ的最大似然估计。
()1
1
11111()()ln ()ln 1ln ln ()ln ln ()=0=
ln n
n n
i i i n i i n i i n i i L x
x l L n x d n l x d d l d n x θθθθθθθθθθθθθθ
θ--=====??
== ?
??
??
==+- ?
??
??=+ ???-??
???
∏∏∏∏∏解:令,得: 【题型五】正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验
【相关公式】
()()()/20222
22
12
1(2)(1)
(1)21(1)
1:(1)X Z X t t n X t t n H n S n n S n αασσχσχσ-=
=
-=
≥----≥-1、正态总体均值的假设检验
标准差已知(Z 检验法):
标准差未知(t 检验法):
拒绝域为:、正态总体方差的假设检验
当为真时,有:
拒绝域为
【相关例题】
1、某批矿砂的5 个样品中的镍含量,经测定(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在α=0.01下能否接受假设,这批矿砂的镍含量的均值为
3.25.
()012
=0.013.25: 3.25
3.252=0.0130.3442
:(1)0.005(4) 4.6061, 4.6061(4.6061,)0.3442 4.6061=0.01H x H x x S X t t t n t t H ααμα=≠===-==∈-∞-?+∞<∴∴0解:
在显著性水平下检验问题::检验统计量,,=3.25,n=5。代入数据,得观察值:拒绝域为即:接受在 3.25.
的情况下可以接受假设,这批矿砂的镍含量均值为
2、某种导线,要求电阻的标准差不得超过0.005Ω,尽在一批导线中取样品9根,测得s=0.007Ω,设总体为正态分布,参数值均未知,问在显著水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著偏大?
012
2
22
2210.050
=0.050.0050.005
0.007,9,0.005
(1)80.00715.68
0.005:(1)(8)15.50715.6815.507=0.05H H s n n S t n H αασσσσχχα-≤>===-?==≥-==>∴∴解:
在显著水平下检验问题:::检验统计量:代入数据,得观察值:拒绝域为拒绝在显著性水平下能认为这批导线的标准差显著性偏大。
【证明题部分】
1.设事件A B 与事件相互独立,试证明: (1)事件A B 与事件相互独立; (2)事件A B 与事件相互独立; (3)事件A B 与事件相互独立。
证明:(1)欲证明A B 、相互独立,只需证P AB P A P B ()()()=即可。而
P AB P A AB P A P A P B P A P B P A P B ()()()()()()(())()()=-=-=-=1 所以事件A B 与事件相互独立。 同理
(2)由于
P AB P B AB P B P A P B P B P A P A P B ()()()()()()(())()()=-=-=-=1 所以事件A B 与事件相互独立。 (3)由于
P AB P A B P A B P A P B P AB ()()()()()()==-=--+ 11 =--+1P A P B P A P B ()()()() =--=[()][()]()()11P A P B P A P B 所以事件A B 与事件相互独立。
2.若P A B P A B (|)(|)=,证明事件A B 与事件相互独立。 证明:由于A AB AB = ,且AB AB =φ,所以 P A P B P A B P B P A B ()()(|)()(|)=+ =+P B P A B P B P A B ()(|)()(|) =+=[()()](|)(|)P B P B P A B P A B 从而有
P AB P A B P B P A P B ()(|)()()()== 故由独立性定义知,事件A B 与事件相互独立。
3.{}i X 是来自正态整体X 的简单随机样本,已知 ()11261
,
6
Y X X X =
++ ()()922
278921
11, 32i i Y X X X S X Y ==++=-∑。
求)12Y Y Z S -=分布。
解:
()()()()()()()()()()
)()12121267891212126789222
2121211
06311
369
11 6336920
~, ~0, 12E Y Y E Y E Y E X X X E X X X D Y Y D Y D Y D X X X E X X X Y Y Y Y Y Y N N σσσσμσ-=-=
++-++=-=+=+++++=?+?=
---???-?= ???
)
)
()()
12
12
0, 1
~
0, 10, 1
~~~12, 3,
Y Y
Y Y N
Z
S
S
N N
t n n
σ
σ
-
-
?==
-=
4.()
~
X t n,求
2
1
X
的分布。
解:
()
()
()
()
()
()
()
()
222
2
222
0,11
~~~~~,1
1
0,11
1
n n n
N n n n
X t n X F n
X N
χχχ
χ
χ
??
一、单项选择题(每题2分,共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件,且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量,则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3.下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ,则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ; (B)设X 为连续型随机变量,则P (X =任一确定值)=0; (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ; (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率; 4.若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =; (B)X 与Y 相互独立 ; (C)0=XY ρ; (D)()()D X Y D X Y -=+; 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+,则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)-1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6.设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布,则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P
习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律; (2) X 的分布函数并作图; (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 (2) 当x <0时,F (x )=P (X ≤x )=0 当0≤x <1时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时,F (x )=P (X ≤x )=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3. 故X 的分布律为 分布函数 5.(1) 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ, 其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . (2) 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N , k =1,2,…,N , 试确定常数a . 【解】(1) 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率;
(2) 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,则X~b (3,0.6),Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则X ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道,则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X ~6(5,0.3) (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b (7,0.3) 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时间间 隔起点无关(时间以小时计). (1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1)32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ,Y 的概率分布,如果已知P {X ≥1}=5 9 ,试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ,故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案: 解: 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则 ==)3(X P ______. 答案: 解答: 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故 3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案: 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调,反函数为()h y =所以 4.设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答: 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ= 41e -=-. 5.设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案: 解答: 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一. 选择题(20分,每题2分) 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为: A .)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命,设:事件A={该器件的寿命为200小时},事件B={该器件的寿 命为300小时},则: A . B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3.设A,B 都是事件,且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P () A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件,且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容,则=)(B A P () B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件,且2 1 )(= A P , A, B 互不相容,则=)(B A P () B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容,则它们相互独立 C .若A,B 相互独立,则它们互不相容 D .若6.0)()(==B P A P ,则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ,且}3{}2{===X P X P ,则)(),(X D X E 的值分别为: A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8.总体X ~),(2 σμN ,μ未知,4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本,下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量:、
A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ,μ未知,54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本,下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量: A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ,μ未知,54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本,记 ∑==n i i X n X 1 1, 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=, 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=, 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ,21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ,则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ,使1}{=+=b aX Y p ,且+∞<<)(0X D ,则Y X ,
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ). (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成 立. (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有 X a P <(≤=)b ( ). (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ).
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制:王健 审核: 题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式: ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为,为的事件,B ,B ,……,B 为的划分,且>0,则有: P ?…其中有:。特别地:当n 2时,有: 贝叶斯公式: ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ,B ,……,B 为S 的一个划分,且P ,……则有:特别地: 当n 2时,有: 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求: (1)恰好取到不合格品的概率; (2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。 解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工 厂生产的”(i =123,,)。 则Ω== 3 1i i A ,且P A i ()>0,321A A A 、、两两互不相容,由全概率公式得 (1)∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是: S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是: S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则A= ;B:数点大于2,则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A与B都发生,而C不发生表示为: . (3)A与B都不发生,而C发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: . (5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S:则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
(1)=?B A ,(2)=AB ,(3) =B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随 机地抽一个签,说明两人抽“中‘的概率相同。
《概率论与数理统计》试题(1) 一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( ) 二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、(10分)设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< , 的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.
·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 (3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = (4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: (1)仅A 发生; (2),,A B C 中至少有两个发生;
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是: S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= ,
(3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已 知 , 2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地 抽一个签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒, 从中随机地取一个球,求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1. 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂, 求(1)该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02, B 被误收作A 的概率为0.01,信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A ,问原发信息是A 的概率是多少? §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图,其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路(用T 表示)的概率。 A B L R C D 3. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,
概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】