普通物理
黄 武 英
第二章
一.牛顿第一定律
质点动力学
三.牛顿第三定律
§2.1 牛顿定律
二.牛顿第二定律
§2.2 常见的力
一.万有引力 五.四种基本力 二.重力 三.弹力 四.摩擦力
牛顿定律应用举例
§2.3 单位制和量纲 §2.4 动量定理和动量守恒定律 §2.5 动能定理和功能原理 §2.6 能量守恒定律 §2.7 角动量定理和角动量守恒定律
物理与电子信息学院
§2.4 动量定理和动量守恒定律
一、质点的动量定理 二、动量定理的应用 三、质点系的动量定理 四、质心运动定理 五、质点系的动量守恒定律 六、变质量物体的运动方程
§2.5 动能定理和功能原理
一、动能及功的定义 三、功率 五、保守力和非保守力 六、质点的功能原理 七、质点系的动能定理和功能原理 二、动能定理
四、功的计算举例
§2.6 能量守恒定律
一、机械能守恒定律 二、守恒定律(机械能与动量) 的综合应用 三、能量转化及守恒定律 四、碰撞
§2.7角动量守恒定律
一、力矩 二、角动量 三、角动量守恒定律
四、动能定理
K rb G K 2 2 1 Wab = ∫K f ? dr = 1 2 mVb ? 2 mVa
ra
本章小结 G G dp d (mv ) G 一、牛顿第二定律 = =F dt dt
二、质点系的动量定理
五、质点系的功能原理和机械能守恒定律
Ekb + E pb ? ( Eka + E pa ) = W外 + W非保守内力
则： E kb + E pb = E ka + E pa 六、角动量定理和角动量守恒定律 K K dL 角动量定理 M= G dt 若 M =0 （条件）
功能原理
若外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零（条件） 机械能守恒定律
G I =
∫
t2
t1
G G G F合外 dt = ∑ mi vi (t 2 ) ? ∑ mi vi (t1 )
i i
三、质点系的动量守恒定律 若系统不受外力作用，或所受外力的矢量和为零（条件） n K K K K 则： ∑ miVi＝m1V1 + m2V2 + " mnVn = 恒量
i =1
G
则
dL =0 dt
G L = 常矢量
角动量守恒定律
牛顿简介
牛顿的生平与主要科学活动
少年时代的牛顿，天资平常，但很喜欢制 作各种机械模型，他有一种把自然现象、语言 等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对自然 现象极感兴趣。 青年牛顿
1661年考入剑桥大学三一学院 1665年获学士学位 1666年6月22日至1667年3月25日， 两度回到乡间的老家
1642-1727
牛顿简介
全面丰收的时期
1667年牛顿返回剑桥大学当研究生， 次年获得硕士学位 1669年由于巴洛的推荐，接受了“卢卡斯数 学讲座”的职务 1669年发明了二项式定理 1672年，由于制造反射望远镜的成就被接 纳为伦敦皇家学会会员 1672年进行了光谱色分析试验 1680年前后提出万有引力理论 1687年出版了《自然哲学的数学原理》 力学以及微积分学/光学、热学和天文学
§2.1 牛顿定律
一、 牛顿第一定律 每个物体都将保持静止或者沿直线做匀速运动状态，除 非对它施加作用力迫使它改变这种运动状态。 A body at rest remains at rest, and a body in motion moves with uniform velocity in a straight line, unless a force acts on it. 数学形式： F = 0 时，v
K
G
=常矢量
说明：1.牛顿运动定律中的物体是指质点。 2. 任何物体都有保持其运动状态不变的性质----惯性。 3.力是物体运动状态发生变化的原因。
4. 惯性系 ?惯性(参考)系 在一个参考系观察，一个不受力作用或处 于平衡状态的物体，将保持静止或匀速直线运动的状态， 这个参考系叫惯性系。 ?此定律也称惯性定律，它是理想化抽象思维的产物，不 能用实验严格验证；此定律的核心是指存在一个惯性系。 ?惯性系是整个牛顿力学的基础. 然而,从实验和测量的角度,我们至今还没有找到严格的 惯性系，只找到了近似的惯性系.
实用的近似的惯性系有: FK4系: 以1535颗恒星平均静止位形作为基准的参考系. 太阳系:以太阳中心为原点, 坐标轴指向恒星的参考系. 地心系:以地心为原点, 坐标轴指向恒星的参考系. 地面系: 坐标轴固定在地面上的参考系.
Z
地面系
太阳系
Y X 地心系
5. 相互作用力
O
二、牛顿第二定律 1、定律的表述： G 在惯性系中一个质点的 G “动量” p 用在该质点上的力 F ，即：
G = mv 的变化率等于作
G G dp d (mv ) G = =F dt dt
静止在光滑水平地面上的小球，保持速度值为零的静平衡 状态。如果让可绕点转动的细棒撞击小球，棒与小球将发 生短暂的相互作用，使小球的速度由零变为某个不等于零 的值，即产生加速度。 若小球是完美无缺的，水平地面是完全光滑的，则小球与 棒分开后将保持作匀速直线运动的状态。
The rate of change of momentum of a body is equal to the impressed force and takes place in the direction of that force. 质点的质量不变时：F = m 对应单位：
G
G dv G = ma dt
N
kg m / s 2
讨论： (1)质量的理解：质量是惯性的量度。不受外力保 持运动状态不变；一定外力作用时，质量越大，加 速度越小，运动状态越难改变；质量越小，加速度 越大，运动状态容易改变。因此，这里的质量叫做 惯性质量。 （物体的质量m 是物体惯性大小的量度） (2)瞬时性的理解：定律中的力和加速度都是瞬时 的，同时存在，同时消失。 (3)矢量性的理解：力与加速度都是矢量，二者 方向相同，满足叠加原理。 叠加原理：几个力同时作用在一个物体上，物 体产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加 速度的叠加。
G G dv F =m dt
G G G G G 分别表示合力、合加速度，a1、a2、 "、ai 分别
"、Fi 同时作用在物体上，F、 力 F1、F2、 a
G
G
G
表示各个力产生的加速度。
G G G K F = ∑ Fi = ma = m∑ ai 是矢量式
i i
直角坐标系
，
? dV x d 2x ? Fx = m a x = m dt = m dt 2 ? dV y d2y ? =m ? Fy = m a y = m dt dt 2 ? ? dV z d 2z =m 2 ? Fx = m a z = m dt dt ?
K K K K K K K K F = Fx i + Fy j + Fz k a = ax i + a y j + az k
2. 牛顿第二定律的微分形式 牛顿第二定律原文意思：运动的变化与所加的 动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。 这里的“运动”指物体的质量和速度矢量的乘积。
G G p = mv
牛顿第二定律实质上是：
自然坐标系
K G G F = Ft et + Fn en
Ft = mat = m
Fn = man = m
v2 = mrω 2 r
dv = mrα dt
G G K a = at et + an en
G dp G =F dt
或
G G dp = Fdt
牛顿第二定 牛顿第二定 律的微分形 律的微分形 式 式
速度远低于光速时，过渡为
G G F = ma
牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式， 适用于高速运动情况与变质量问题。
三、牛顿第三定律 1.定律的表述： 当两个质点相互作用时,作用在一个质点上的力与它反 作用于另一个质点上的力 . K K K, 大小相等而方向相反 A
f′ f =?f′
§2.2 常见的力
一、万有引力----存在于一切 物体间的相互吸引力 牛顿万有引力定律:
G K m2 m1 G r F12 12 F21
B
When two particles interact, the force on one particle is equal and opposite to the force on the other.
说明：1.作用力与反作用力分别作用于不同的物体上；
万有引力常数 2.它们是同一性质的力；同时存在，同时消失。
区别： 平衡力是作用在同一物体上大小相等方向相反的 说明：
G K mm G F12 = ? F21 = G 0 1 3 2 r12 r12
G0 = 6.67 × 10?11 N ? m 2 ? kg -2
一对力，平衡力可以是不同性质的力。
引力质量与惯性质量在物理意义上不同，但是 二者相等，因此不必区分
二、重力 重力：在地球表面的物体，受到 地球的吸引而使物体受到的力。 注意，由于地球自转，重力 并不是地球的引力，而是引力沿 竖直方向的一个分力，地球引力 的另一个分力提供向心力。
G F
R
地心
ω
m
G W
设地球的质量为M, 地球的半径为R,物体的质量为m, 物体距地面的高度为h, 即物体到地心的距离为 r=R+h, 则物体受到地球的引力的大小为
ω
m
G F
F = G0
Mm r2
M
h
R
G W
忽略地球自转的影响, 物体的 重力就等于地球对它的引力,由 牛顿第二定律有
mg = G0 Mm GM ? g = 02 r2 r
地心
M
在一些精确度要求不太高的计算中,可 W: 重力 忽略地球自转的影响，认为重力约等 于地球对地球表面附近的物体的引力。 F: 地球的引力
当h<
g=
G0 M G0 M GM = ≈ 02 r2 ( R + h) 2 R
三、弹力（正压力、拉力或张力、恢复力等） 弹性力：两个相互接触并产生形变的物体企图恢复原 状而彼此互施作用力。 条 方 件：物体间接触、物体的形变。 向: 始终与使物体发生形变的外力方向相反。
由于地球半径R≈6400km,因此在地球表面附近,不同 高度处的重力加速度可以视为常量. 重力与重力加速度的方向都是竖直向下。 应当明确,地球并不是严格的圆球,而是椭球, 而且地球 上各部分的质量也不是均匀分布的,这些因素使得不同 地区的地球引力产生差异,进而使测得的重力加速度也 略有差异. 因而,同质量的物体在不同地区的重量可能不同. 如果 某一地区测得的重力加速度值出现异常, 则说明地球 在该地域部分的质量分布存在着特异性. 重力探矿法 就是根据这一道理进行矿藏勘探的.
三种表现形式： (1)正压力-两个物体通过一定接触面相互挤压 大小:取决于挤压程度。 方向:垂直于接触面指向受力物体。
G N′
K N
(2)拉力(张力)
G F
G ?F
拉力
当绳索、琴弦等弹性体被拉伸时,要 恢复因拉长而发生的形变,对拉伸它 的物体产生一种弹力作用, 这种弹 力称为拉力, 如图所示. 大小：取决于绳的收紧程度。 方向：沿着绳指向绳收紧的方向。
G a
说明：
G T2
M
G F
G G a T1′
G T1
G a
G F
①、若绳子的质量可略去不计时,绳中各处张力相等。 ②、如果 a
= 0 ,则绳子内各点处的张力相等。
G T G ?T
张力
当弦、索产生拉力时,其内部各部分 之间也有相互弹力作用, 这种内部的 弹力, 称作张力. 如果在讨论的问题 中, 绳索的质量小到可以忽略的程 度,这时就认为其内部张力处处相等, 而且等于外力.
③、对于滑轮两边绳子的张力，若要相等必须同时满足： A 绳子轻质 B 无阻力 C 滑轮质量不计
四、摩擦力 (3)恢复力----弹簧的弹力 弹性限度内，弹性 力满足胡克定律： x 两个相互接触的物体沿着接触面发生相对运动 或有相对运动趋势时，在接触面之间产生的一对阻 碍相对运动或相对运动趋势的力。 条件：表面接触挤压；相对运动或相对运动趋势。 方向：与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。
G f
K K f = f x i f x = ? kx
式中k是弹簧的劲度系数, 其值由实验测定, 单位是 N?m-1.
O G
f
（1）滑动摩擦力：
fk = μk N （2）最大静摩擦力： f s = μ s N
K f
G mg
G N
负号表示该力总是指向坐标原点(平衡点)，即指向 要恢复弹簧原长的方向。
其中 μs为静摩擦系数，μk为滑动摩擦系数。它们与 接触面的材料和表面粗糙程度有关。 μ k < μ s < 1
摩擦在实际中的意义 ? 害处: 消耗大量有用的能量, 使机器运转部分发热等. ? 减少摩擦的主要方法: 化滑动摩擦为滚动摩擦, 化干摩擦为湿摩擦. ? 摩擦的必要性: 人行走, 车辆启动与制动, 机器转动（皮带轮）, 弦乐器演奏等. 失重状态下悬浮在飞船舱内的宇航员, 因几乎受 不到摩擦力将遇到许多问题. 若他去拧紧螺丝钉, 自 己会向相反的方向旋转, 所以必须先将自己固定才行.
五、四种基本力——万有引力、电磁力、强力、弱力 电磁力：存在于静止电荷之间的电性力以及 存在于运动电荷之间的磁性力，本质上相互联 系，总称为电磁力。 分子或原子都是由电荷系统组成，它们之间 的作用力本质上是电磁力。例如：物体间的弹力、 摩擦力，气体的压力、浮力、粘滞阻力。 强力：亚微观领域，存在于核子、介子和超 子之间的、把原子内的一些质子和中子紧紧束缚 在一起的一种力。 作用范围： < 10
?15
m?
?10 ?15 ~ 0.4 × 10 ?15 m引力 ?< 0.4 × 10
?15
m
斥力
弱力：亚微观领域内的另一种短程力，是导致β衰 变放出电子和中微子的重要作用力。 四种基本力的比较
力类型 项目 力 程 万有引力 长程 0~∞ 10-34N 电磁力 长程 0~∞ 102N 强 力 短程 <10-15m 104N 弱 力 短程 >10-15m 10-2N
温伯格 萨拉姆 格拉肖
弱相互作用 电磁相互作用
电弱相互 作用理论
三人于1979年荣获诺贝尔物理学奖 . 鲁比亚, 范德米尔实验证明电弱相互作用， 1984年获诺贝尔奖 . 电弱相互作用 强相互作用 万有引力作用 “大统一”（尚待实现）
作用范围 相邻质子间力 的大 小
★牛顿第二定律应用举例 两类力学问题： ?已知力求运动 ?已知运动求力 解题步骤： (1)确定研究对象 (2)使用隔离法分析受力情况，作出受力图 (3)分析运动情况，判断加速度 (4)建立坐标系，根据牛顿第二运动定律列方程 (5)求解，进行讨论
牛顿定律适用范围： 1、牛顿定律仅适用于惯性系; 2、牛顿定律只适用于低速宏观情况。 例1、设电梯中有一质量可以忽略不计的定滑轮，在滑轮 的两侧，用轻绳悬挂着质量分别为 m1 , m2 的重物A、B； m1 > m2 求： 已知 当电梯 (1) 匀速上升； (2)匀加速上升时绳中 的张力和物体A相对 电梯的加速度 ar
K ar
K ar
G T
G KT ar
y
m1
m2
K ar K mg
1
G m2 g
O
解：（1）选取地面作为参照系则： 方法一、隔离法： 对 m1 有：T ? m1 g = ?m1ar 对 m2 有： T ? m2 g = m2 ar
(m1 + m2 )ar = (m1 ? m2 )g
( m ? m2 ) g ar = 1 m1 + m2
G T
K ar K mg
1
G KT ar
G m2 g G m2 g
y
（2）当电梯以加速度 a 上升时 A相对于地面的加速度: a1 = a ? ar B相对于地面的加速度: a2 = a + ar 对 m1 有： T ? m1 g = m1 (a ? ar ) 对 m2 有： T ? m2 g = m2 (a + ar )
G
K ar
m1 m 2
K K ar a
2m m g T= 1 2 m1 + m2
O
y
(m ? m )( g + a) ar = 1 2 m1 + m2
T= 2m1m2 ( g + a ) m1 + m2
方法二、整体法
(m1 ? m2 ) g = (m1 + m2 )ar
( m ? m2 ) g ar = 1 m1 + m2
2m m g T= 1 2 m1 + m2
K ar
K m1g
O
G G KT T a 2
K a1
K m 1g
G m2 g
y
说明：当电梯以加速度a 下降时则：
ar =
(m1 ? m2 )( g ? a) 2m m ( g ? a ) T= 1 2 m1 + m2 m1 + m2
O
例2、计算一小球在水中竖直沉降的速度，已知小 球的质量为m B ，水对小球 G ，水中小球的浮力为 G 的粘性力为 R = ? KV 解： mg ? kV ? B 小球受到的合外力为： G R dV = mg ? kV ? B m 由牛顿第二定律知： G
dt
?
ln( g ?
m kV B ln( g ? ? ) =t +C k m m
kV B k k ? )=? t? C m m m m
分离变量：
dV kV B =g? ? dt m m
B
k ? t kV B g? ? = De m m m
? t B kV = g ? ? De m m m k
雨滴下落的终极 速度为 7.6 m / s
B m
G B
G a G mg
G R
kV B d (g ? ? ) m m m = dt ? k g ? kV ? B m m m kV B ? ln( g ? ? ) =t +C k m m
G a G mg
当 t = 0 时， V =0 故 D = g?
Y
人下落的终极速 度为 75m / s
所以： V =
k ? t mg ? B (1 ? e m ) k
Y
mg ? B 讨论：当 t → ∞ 时，V → =常量 k
终极速度
例3、有一密度为 ρ 的细棒，长度为 A ，其一端 用细绳悬着，下端紧贴着密度为 ρ ′ 的液体表面。 现将悬线剪断。设液体没有粘性。 求:细棒在恰好全部没入液体时的沉降速度。 解：棒此时受到的合力为：
ρAg ? ρ′xg = ρAv
分离变量得：
dv dx
ρ
x
F = mg ? ρ ′Vg = ρ sAg ? ρ ′sxg
dv ρ sAg ? ρ ′sxg = ma = ρ sA dt dv ρAg ? ρ′xg = ρA
产生的加速度为：
ρ
x
( ρ Ag ? ρ ′xg ) dx = ρ Avdv
A
ρ′
G f浮
A
ρ′
G f浮
x
∫
x
A
0
( ρ Ag ? ρ ′xg )dx = ∫ ρ Avdv
0
v′
x
dt
dv dv dx dv 因为： = =v dt dx dt dx
G mg
v′ =
2 ρ Ag ? ρ ′Ag
G mg
x
ρ
§2.3 单位制和量纲
各种物理量通过描述物理规律的方程和新物理量的定 义而彼此相互联系.通常在其中选取一组互相独立的物 理量, 作为基本量, 以基本量的单位作为基本单位； 其他物理量根据定义式或方程式导出,称为导出量, 其单位称为导出单位, 从而建立起系统的单位制. 物理学中最先建立的单位制是以长度、质量、时间 为三个基本量的单位制，规定长度以厘米(cm)、质 量以克(g)、时间以秒(s)为基本单位，此单位制称为 厘米·克·秒制(简称CGS) ，后来又以此为基础建立了 米·千克·秒制. 在1960年召开的国际计量大会上,以米·千克· 秒制为基 础, 确立了以长度、质量、时间、电流强度、热力学 温度、物质的量、发光强度为七个基本物理量的单位 制. 规定 长度以米(m)、 质量以千克(kg)、 时间以秒(s)、 电流强度以安培(A)、 热力学温度以开尔文(K)、 物质的量以摩尔(mol)、 发光强度以坎德拉(cd) 为基本单位, 此单位制称为国际单位制(简称SI).
本书主要采用国际单位制.国际单位制中“质量、时间、 长度”的单位“千克、秒、米” 的定义分别是： 一千克(kg)是国际千克原器(用铂铱合金制成的一个 高度和直径都是39毫米的圆柱体)的质量; 一秒(s)是 铯133原子( Cs133 )基态的两个超精细能级间 跃迁相对应的辐射的9192631770个周期的持续时间 (1967年国际计量大会采用); 1米(m)是光在真空中传播 (1/299792458)s 时间内所经 路径的长度(1983年国际计量大会采用).
国际单位制中 “热力学温度”的单位“开尔文(K)” 和“物质的量”的单位 “摩尔(mol)” 的定义将在本书第二篇热力学中介绍, “电 流强度”的单位“安培(A)”的定义在第三篇电磁学中介绍. 除基本物理量以外的其他物理量都是导出量,其单位 都是导出单位.导出单位用基本单位的乘方之积表示. 例如,根据速度的定义式和加速度的定义式,有
G G v = dr / dt
G G v = dr / dt
[速度的单位] = [长度的单位] = [长度的单位] ? [时间的单位]?1 [时间的单位]
G G a = dv / dt
对国际单位制(SI)中的七个基本物理量—长度、质量、 时间、电流强度、热力学温度、物质的量、发光强度, 分别用符号[L]、[M]、[T]、[I]、[Θ]、[N]、[J]表示他 们的量纲(dimension), 将导出量的量纲用基本量的量 纲的乘方之积来表示, 这种表达式称为导出量的量纲式, 简称量纲. 例如, 速度、加速度和力的量纲分别是
[加速度的单位] =
[速度的单位] = [长度的单位] ? [时间的单位]?2 [时间的单位]
[v] = [ L] ? [T ]?1 [a ] = [ L] ? [T ]?2 [ F ] = [ L] ? [ M ] ? [T ]?2
其他导出量的量纲将在本书的其他章节中介绍. 需要说明的是: 物理量Q的量纲[Q]也记为dimQ.
因此, 在国际单位制中速度的单位和加速度的单位分别是
m?s
?1
和 m?s
?2
定律和定理
利用量纲式, 可以确定导出量的导出单位. 利用量纲式 还可以进行单位换算、 检查等式正确与否(只有量纲 相同的量才能相加和相减以及用等号相联接). 有些导出单位本身已有专门名称和特有符号,例如,力 的单位牛顿(N),能或功的单位焦耳(J),功率的单位瓦特 (W),电量的单位库仑(C),等等. 这些专门名称和符号又可以用来组成其他导出单位, 从而比用基本单位来表示要更简单一些,他们的具体 名称和符号也将在本书的其他章节中介绍.
第二定律的推论(m不变)
K G F = ma
G K dp d (mv ) K = =F dt dt
第二定律
动量定理
∫
t
t0
G G G Fdt = p (t ) ? p0
∫
L (ab )
K K 2 2 1 F ? dr = 1 2 mvb ? 2 mva
K dL K =M dt
动能定理
角动量定理
K K d K K r × F = (r × p) dt
§2.4 动量定理和动量守恒定律
牛顿运动方程： 物体所受外力与产生的加速度的瞬时关系。 力对时间的累积 力的累积效应 力对空间的累积 一、质点的动量定理
K G dp d ( mV ) K = = f (t ) dt dt
G K K t2 K I = ∫ f (t )dt = mV (t2 ) ? mV (t1 )
t1
说明： 1、冲量和动量是两个不同的矢量，冲量是过程量， 动量是状态量，动量定理建立了它们之间的关系； 问：冲量是矢量，它的方向就是力的方向吗 ？ 2、动量定理的实用形式是分量式
G t2 I = ∫t
1
K K d[mV ] = f (t)dt K K K K K mV ( t2 ) f (t )dt = ∫ K d [ mV ] = mV (t2 ) ? mV (t1 ) mV ( t )
1
K K K K f = f xi + f y j + f z k
t2 t1 t2
t1 t2
K K K K I = I xi + I y j + I z k
冲量 文字表述： 在给定的时间间隔内，质点所受合外力的冲 量等于质点动量的增量。
质点的动量定理
I x = ∫ f x (t )dt = mVx (t2 ) ? mVx (t1 )
I y = ∫ f y (t )dt = mVy (t2 ) ? mVy (t1 )
I z = ∫ f z (t )dt = mVz (t2 ) ? mVz (t1 )
t1
K K 3、若 f = f (t ) 的具体函数形式已知，则可由积分 K 计算出冲量 I ，从而由动量定理求得动量的改变量。 K K 4、若 f = f (t ) 的具体函数形式未知，可用动量定理
G K K t2 K I = ∫ f (t ) dt = mV (t2 ) ? mV (t1 )
t1
G K K t2 K 二、动量定理的应用 I = ∫t f (t )dt = mV (t2 ) ? mV (t1 )
1
K 来求出冲量 I ，然后再用平均值公式求力的平均值。 F
Ix (t2 ? t1 )
例1： 已知：一质量为m 的物体，从 距离地面为h1的高度下落，与 地面碰后反弹到高度h2处 设碰撞时间为 τ 。 求：小球对桌面的平均冲力。 ［方法一］侧重分析碰撞阶段。
V1 = 2 gh1
h1
h2
G N
G V2
G V1
fx =
fy =
Iy
(t2 ? t1 )
fz =
Iz (t2 ? t1 )
F
?
V2 = 2 gh2
G mg
∫
t1
t2
τ
0
( ? mg + N ) dt = mV2 ? ( ? mV1 ) = mV2 + mV1
?mgτ + ∫ Ndt = m
0
5、动量定理是牛二律的积分形式，因此 其适用范围是惯性系。
τ
(
2 gh1 + 2 gh2
)
m
∫
τ
0
N dt = Nτ
N = mg +
(
2 gh1 + 2 gh2
)
τ
［方法二］考虑小球运动的整个过程。
t1 = 2h1 g
t2 = 2h2 g
，
三、质点系的动量定理
V1 = 0
V2 = 0
G G G G d ( m1V1 ) F1 + ( F12 + F13 + ... F1 n ) =
dt
K
质点系
Nτ ? mg (t1 + t2 + τ ) = 0 ? 0 = 0
? 2h1 ? 2h2 Nτ = mg ? ? g + g +τ ? ? ? ?
h1
h2
G G G G d ( m 2V 2 ) F2 + ( F21 + F23 + ... F2 n )=
K
# # # K G G G G d ( m nVn ) Fn + ( Fn1 + Fn 2 + ...Fn ,n ?1 ) =
dt
n
dt
K F1
K K F F12 21 K K m2 F23 m1 F 13
K F2
mn
N = mg +
m
(
2 gh1 + 2 gh2
)
K n d mV G G G G G ( i i) ? ? " + + + + + = F F F F F ∑ ∑ i 21 n ?1, n n , n ?1 ? ? 12 dt i =1 i =1
τ
根据牛顿第三定律，系统内一切内力的矢量和等于零。 G G G G ( F12 + F21 ) + " + ( Fn ?1, n + Fn , n ?1 ) = 0
G G G G ( F12 + F21 ) + " + ( Fn ?1, n + Fn , n ?1 ) = 0
G ∑ Fi = ∑
n n i =1 i =1
K n d mV G G G G G ( i i) ? ? F F F F F " + + + + + = ∑ ∑ 21 i n ?1, n n , n ?1 ? ? 12 dt i =1 i =1
n
四、 质心运动定理 1、 质心运动定理 按照“质点系的牛顿第二定律”, 有
G G G dP d drj d d G G F= = ∑ p j = ∑ mjv j = ∑ mj dt dt j dt j dt j dt G G d ( m j rj ) d 2 m j rj d d2 G = ∑ = 2 ∑ m j rj = M 2 ∑ dt j dt dt j dt j M
K d ( mV i i) dt
d = dt
G ∑ miVi
n i =1
G G F合外 dt = dP系
∫
t1
t0
G F合外 dt =
∫
G P 1 G P0
G dP系
式中M=m1+m2+m3+…是质点系的总质量.
质点系动量定理 系统动量的增量.
作用于系统的合外力的冲量等于
G G d 2r 称为质点系质心的位置矢量。 则 F = M 2c dt
G mr G rc = ∑ j j M j
K K dvC K F合 外 力 = M = Ma C dt
手榴弹质心（红点）的运动轨迹是抛物线 上式表示:质点系的质量与质心加速度的乘积等于系统 所受一切外力的矢量和.此结论称为质点系的质心运动 定理. 质点系的整体运动行为, 就如同质点系的所有质量都集 中在质心, 且所有外力也都作用于这一点. 我们常关注的是形状几乎不变的物体的运动, 如: 汽车、 飞机、铅球等等. 这样的物体在外力作用下的整体运动 行为, 就如同它们的总质量集中在质心的质点一样. ? 其余质点的运动 质心的平动
+
绕质心的转动
2、质心的概念 质心可看作整个质点 系的代表点，系统的全部 K 质量 m，动量 p 都集中 在它上面.（质量中心） 3、 质心的位置 y
? 对质量离散分布的体系：
yC C zC
z
K r3
m2
m3
K r2
KC r c m1
K r1
xC C
xC =
∑m x
i =1
n
i i
M
yC =
∑m y
i =1
n
i i
M
zC =
∑m z
i =1
n
i i
M
O
x
? 对质量连续分布的物体：
有 n 个质点组成的质点系，其质心的位置：n
K K K m r + m2 r2 + …… + mi ri + …… K rC = 1 1 = m1 + m2 + …… + mi + ……
K ∑ mi ri
i =1
xC =
说明
1 M
∫ xdm
yC =
1 M
∫ ydm
zC =
1 M
∫ zdm
对密度均匀、形状对称的物体，其质心在 其几何中心．
M
五、质点系的动量守恒定律
质点系的动量 守恒定律
(2)动量守恒定律的分量式
n
(直角坐标系中)
若系统不受外力作用，或所受外力的矢量和为零，
在 ∑ fix = 0 条件下，有∑ miVix = 恒量
i =1
n
i =1
K? d? miVi ? = 0 ∑ ? dt ? i =1 ?
n
∑ m V ＝m V + m V
i =1 i i 1 1
n
K
K
K
2 2
K + " mnVn = 恒量
在 ∑ fiy = 0 条件下，有∑ miViy = 恒量
n i =1 n
n
i =1 n
说明： (1)
在 ∑ fiz = 0 条件下，有 ∑ miViz = 恒量
i =1
i =1
∑ mV (t ) = 恒量，指∑ mV (t )＝∑ mV (t )，其中t1 , t2
i =1 i i
i =1 i i 1 i =1 i i 2
n
K
n
K
n
K
如果系统所受各个外力在某方向上的分量的代数和为零， 那么系统的总动量在该方向上的分量保持不变 (3) 各质点的速度必须是相对同一惯性系而言的， 且要 注意各速度的方向。
是两个任意时刻
例题2：水平光滑铁轨上有一小车，长度为L，质 量为M，车的一端站有一人，质量为m，人和小 车原来都静止不动，现设该人从车的一端走到另 一端。问：人和小车移动了多少距离？ L 解：设人和小车在X方向 Δx′ 的速度分别为 v人地 和 V车地 X方向上动量守恒：
X
′ = v人地 ? V车地 = v人车
m+M v人地 M
′ 车 dt = v人
∫ v′
0
t
人车
dt =
M +m t v dt M ∫0 人地
ΔX
m +M v人 地 d t M
L
Δx ′
X
mv人地 + MV车地 = 0
V车地 = ?
Δx′ =
Δx
ΔX
X
′ 设人相对于小车的速度为 v人车
G G G ′ + V车地 v人地 = v人车
′ = v人地 ? V车地 = v人车
m v M 人地
M +m Δx M M Δx = L M +m
Δx
X
ΔX = Δ x ′ ? Δ x
ΔX = L ? M m L= L M +m M +m
m+M v人地 M
六、 变质量物体的运动方程 物体 m与质元 dm在 t时刻的速度以及在 t+dt时刻 合并后的共同速度如图所示： 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时 刻的动量分别为：
G G G G G (m + dm)(v + dv ) ? mv ? dmu = Fdt G G G G K mdv + dmdv + dm(v ? u ) = Fdt
略去二阶小量，两端除dt
对系统利用动量定理
G G mv + dmu
初始时刻 末时刻
m
dm
G F
G u
m+dm
d G dm G G (mv ) ? u=F dt dt
变质量物 体运动微 分方程
G G (m + dm)(v + dv )
t
G v
G G v + dv
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，
t + dt
G dm u 为尾气推力。 dt
例题3：火箭飞行原理 “神州”号飞船升空
v
M t 时刻
(u )
dm
v + dv
M + dM
(t + dt) 时刻
dm = ?dM
u是dm相对火箭体的喷射速度,定值。 选 (M+dM , dm)为质点系。 设火箭在自由空间飞行,系统动量守恒:
Mv = dm(v + dv ? u) + (M + dM )(v + dv)
= ?dM (v + dv ? u) + (M + dM )(v + dv)
Mv = ?dM (v + dv ? u) + (M + dM )(v + dv) = ?dMv + dMu + (Mv + dMv + Mdv) = dMu + (Mv + Mdv)
dM dv = ?u M
vf
Mf
v
M t 时刻
(u )
dm
v + dv
M + dM
(t + dt) 时刻
∫ v
i
dv = ?u
Mi
∫
dM M
提高速度的途径：
vf ? vi = u ln N
Mi vf ? vi = u ln M
f
1.提高气体喷射速度u； 2.增大Mi /Mf (受限制),采用多级火箭,终速度为
设火箭质量比Mi /Mf =N, 则火箭增加的速度为
vf ? vi = u ln N
v= u1 ln N1 + u2 ln N2 + u3 ln N3 +"
例4 一长为 l、密度均匀的柔软链条，其单位长度 的质量为λ ．将其卷成一堆放在地面上 ．若手提 链条的一端 ， 以(1)匀速 v 将其上提；(2)若以加速 度a将其从静止匀加速上提，当一端被提离地面高 度为 y 时，求手的提力.
(2) t时刻，系统总动量
P = λ yv
dP d ( λ yv ) dy dv = = λv +λy dt dt dt dt
y
K F
K λyg
解 (1)取地面参考系, 链条为系统. 在 t 时刻链条动量
y
K Oλ(l ? y)g
K FN
K K dp dy K (1) j = λv2 j = λv K dt dt K K dP K F + λ yg = ( F ? λ yg ) j = dt
可得
K K p (t ) = λ y v j
= λv2 + λay
Y
G v
= λ 2 ay + λ ay
G a
y
O
F = λ v 2 + λ yg
= 3λ ay
系统动量对时间的变化率为：
dP = 3 λ ay dt
t时刻，系统受合外力
§2.4 动能定理和功能原理 K K K K d ( mV ) 引言：当 f = f (t ) 时，由 f = 两边对时间积分可
G F
F ? λyg + N ?λ(l ? y)g
Y
= F ? λ yg
根据牛二律，得到
G a
G
K 若 f 是空间坐标的函数，由牛二律还可导出另一积分式
力的空间累积效应 此运动过程中的任一中间状 功、动能、动能定理等
Y
得动量定理 ∫t f (t )dt = mV (t2 ) ? mV (t1 )
1
t2
K
dt K
K
y
O
λ yg
G N
F ? λ yg =
dP = 3λ ay dt
F = λ yg + 3λ ya
λ(l ? y)g
G
态，由第二定律有:
G Va
K K dV f =m dt
G ra
O
G r
G θ f
G V
G Vb
G rb
X
K K dV f =m dt K K K K dV K dV K f ? dr = m ? dr = m ? Vdt dt dt K K K K f ? dr = mV ? dV
K K K rb K K dW = F ? dr ? Wab = ∫K F ? dr ra
一、动能及功的定义
Y
∫
K rb
K ra
G K 2 2 1 f ? dr = 1 2 mVb ? 2 mVa
G Va
G ra
G G dr = Vdt
G θ f
1.动能
1 2
G Vb
G r
G V
mV 2 称为质量为 m 的物体在速率为 V 时的动能
2 Ek = 1 2 mV
G rb
2.功
单位：焦耳(J)
1 2
K K K K O1 K K K K 1 d (V 2 ) = 1 2 d (V ? V ) = 2 V ? dV + 2 dV ? V = V ? dV
Wab = ∫K
K rb ra
X
K K K K f ? dr 称为质点作位移 dr 过程中，力 f 所作的元功
2 =1 2 mV
K K VKb K K 1 VKb f ? dr = ∫ K mV ? dV = m∫ K d (V 2 ) Va 2 Va K
Vb K Va
2 2 1 =1 2 mVb ? 2 mVa
K rb G K 2 2 1 Wab = ∫K f ? dr = 1 2 mVb ? 2 mVa ra
G G K K ∫rKa f ?Kdr 称为质点沿轨道从 ra 处运动 rb 处的过程中， K 力 f 所作的功 b rb K K W = ∫ dW = ∫K f ? dr
K rb
G K dW = f ? dr
单位：焦耳(J)
a
第二定理对空间坐标积分所得的积分形式
ra
3.功的计算式 K K K 方法1：dW = f ? dr = f dr cos θ b b K W = ∫ dW = ∫ f dr cos θ
a a
K b rb K K W = ∫ dW = ∫K f ? dr a ra
三、功率
功率：单位时间内力 f 所作的功 设在 Δt 时间内力 f 所作的功为 ΔW 平均功率：
K
K
方法2：dW = f x dx + f y dy + f z dz
，
P=
f y dy + ∫ f z dz
za zb
W = ∫ dW = ∫ f x dx + ∫
a xa
b
xb
yb ya
二、动能定理
∫
K rb
K ra
G K 2 2 1 f ? dr = 1 2 mVb ? 2 mVa 质点的动能定理
等于合外力在此过程中所作的功。
状态量
瞬时功率 (功率): 平均功率的极限值 ΔW dW P = lim = Δt → 0 Δ t dt 1 W = 1 J ? s ?1 1 kW = 103 W （瓦特） 功率的单位
P=
ΔW Δt
文字表述：在一运动过程中，质点的动能的增量在数值上 过程量
K G dr dW = f? dt dt
K K = f ? V = fV cos θ
四、功的计算举例 1、恒力作功 b K W = ∫ f dr cos θ
Y
θ
xa
G f
X
解：在任意一位置上摆锤 无限接近于 平衡位置，摆 锤受合力为零 水平方向: F ? T sin θ = 0 竖直方向: T cos θ ? G = 0
θ0
= f ( xb ? xa ) cos θ = f Δx cos θ
2、变力作功 刚开始时绳子竖直，现有一力 水平的作用于摆锤上，使摆锤 无限缓慢的移动，求绳子与竖 直线成θ 0时，在此过程中力F做 的功。
θ0
=∫
a xb
xa
fdx cos θ
x
dx xb
Aθ
G
dθ
K T dr
K K G dW = F ? dr = F cos θ dr
dW = Gtgθ cos θ Adθ = GA sin θ dθ
F
? F = Gtgθ
F
G dr = ds = Adθ
G
A
G
所以当摆锤由 00 → θ 0 的过程中力F作的总功为
W = ∫ dW = ∫ GA sin θ dθ = GA(1 ? cos θ 0 )
0
θ0
五、保守力和非保守力 1、重力作功
2、万有引力的功
K K K dr = ? dxi + dyj
B G K yB W = ∫ G ? dr = ∫ ? mgdy A yA
G K G = ? mg j
y
yB
B
D
K dr
θ
G G
A
mM f =G K r2 K f 在m作位移 dr 的过程中
y
G rb
M
B
dr G G G r + dr θ dr
所作的元功为 K dW = f cos θ dr
K K dr cos θ = dr cos(π ? β )
= ? ( mgy B ? mgy A ) = mgy A ? mgy B
yA
O
K = ? dr cos β = ?dr
x
结论：重力作功只与初末位置有关，与具体路径无关。
K 质点m从A点运动到B点的过程中 f 所作的总功 r Mm Mm = GMm ? 1 ? 1 ? = ?GMm ? 1 ? 1 ? W = ∫ ?G dr = G ? ? ? ? r ?r r ? ?r r ? r
rb
b
Mm dW = ?G 2 dr r
O
G ra
G r
m A
K f
β
x
ra
2
ra
b
a
a
b
结论：万有引力做功只与初末位置有关，与具体路径无关
B G G W = ∫ F ? dr A
K K F = ? kx i
xB
3、弹性力作功
4、摩擦力的功
K K F F′
O xA x
功的数值与物体的运动路径有关，因而要根据具体 情况才能确定功的大小。
= ∫ ? kxdx
1 2 1 2 = ?( kxB ? kx A ) 2 2 1 2 1 2 = kx A ? kxB 2 2
xA
xB
x
5、保守力与非保守力 保守力：力做功只与初末位置有关，与具体路径无关； 力沿任意闭合路径的线积分为零。 非保守力： 力做功依赖于路径，力沿闭合路径的线积分 一般不为零。 6、势能 对于保守力的功，按上面的计算结果，均有现成的计 算公式，这些公式看起来各不相同，但实际上可以把 它们写成一个统一的数学形式。
结论：弹力作功只与初末位置有关，与具体路径无关。
重力作功
作函数
E p ( y ) = mgy
重力势能
说明： （1）W = E pa ? E pb = ?( E pb ? E pa ) 保守力的功等于势能增量的负值 若保守力作正功 势能减小 若保守力作负功 势能增加 （2）势能本身的大小无意义，只有势能差具有确切的意义 令 Mm 2 1
W = E p ( ya ) ? E p ( yb )
引力作功
作函数
E p ( r ) = ?G
Mm r
引力势能
W = E p (ra ) ? E p (rb )
弹力作功 作函数
2 E p ( x) = 1 2 kx
弹性力势能
E p ( y ) = mgy + C g E p (r ) = ?G
r
+ C E p ( x) = 2 kx + Ck
伸长长度 各保守力的功均可表示为某坐标函数的差值 W保 = E p(初相对位置) ? E p (末相对位置) = E pa ? E pb 保守力的功可表示为初末状态势能的差值。
W = E p ( xa ) ? E p ( xb )
规定零势能点
W保 = E p(初相对位置) ? E p (末相对位置) 成立
（3）势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。
例题: 讨论弹簧振子的势能与力的关系. 对于弹簧振子系统, 系统的势能为 对上式两边取微分得
类似地, 可以讨论引力势能与力的关系。 对于引力, 势能为
E p (r ) = ? GMm +c r
r = x2 + y 2 + z 2
Ep = kx + ck
1 2 2
对坐标x求导数, 得
dE p dx =? d ? GMm ? d ? GMm ? dr ? GMm ? x ? ?=? ? ? =? ? dx ? r ? dr ? r ? dx ? r 2 ? r
dE p = kxdx = ? f x dx
由此得到保守力fx(x)与势能Ep之间的如下微分关系
fx = ?
dE p dx
同理
dE p dy dE p dz ? GMm ? y =? 2 ? ? r ?r ? GMm ? z =? 2 ? ? r ?r
此关系说明: 力在某个方向上的分量是势能对相应坐 标的导数的负值.
? GMm ? x ? GMm ? y ? GMm ? z fx = ? ? 2 ? , f y = ? ? 2 ? , fz = ? ? 2 ? ? r ?r ? r ?r ? r ?r
而 dE p
注意到万有引力为 G G G G G GMm r GMm ? x G y G z G ? f =? 2 = ? 2 ? i + j + k ? = f xi + f y j + f z k r r r ?r r r ? 即
六、质点的功能原理 质点所受的合力分解为保守力和非保守力之和 G G G f = f保 + f非 质点的动能定理改写成 G b G K K b G 2 2 1 1 = ∫ f保 + f非 ? dr = W保 + W非 2 mVb ? 2 mVa = ∫a f ? dr a
(
)
dE p ? GMm ? z ? GMm ? x dE p = ? GMm ? y =? 2 ? =? ? 2 ? ? dx ? r ? r dy ? r ? r dz ? r 2 ? r 我们有 dE dE dE fx = ? p , f y = ? p , fz = ? p dx dy dz 力是势能对坐标的导数的负值，即力是势能梯度的负值.
W保 = E p(初相对位置) ?Ep (末相对位置) = E pa ? E pb
(E
kb
+ E pb ) ? ( Eka + E pa ) = W非
初态的机械能
质点的功能原理
末态的机械能
质点机械能的增量等于非保守力作的功。
七、质点系的动能定理和功能原理 质点的动能定理推广到质点系 （先讨论只有两个质点） 1．两个质点所组成的质点系的动能定理 各个质点的运动满足动能定理
b1 G b1 G 1 1 G G m1v12b ? m1v12a = ∫ F1 ? dr1 + ∫ f12 ? dr1 a1 a1 2 2
b2 G b2 G 1 1 G G 2 2 m2v2 m2v2 f 21 ?dr2 b ? a = ∫ F2 ? dr2 + ∫ a2 a2 2 2
1
A
2
1 1 ?1 ?1 2 ? 2 2 ? m1v12b + m2 v2 m2 v2 b ? ? ? m1v1a + a? ? 2 2 ?2 ? ?2 ?
b1 G b2 G b1 G b2 G G G G G = ? ∫ F1 ? dr1 + ∫ F2 ? dr2 ? + ? ∫ f12 ? dr1 + ∫ f 21 ?dr2 ? ? a1 ? ? ? a1 ? a2 a2 ? ? ?
1
m1
A 2
G G m f12 f 21 2
G F1 G F2
m1
G G m f 12 f 21 2
B
G F1
两式相加
1 1 ?1 ?1 2 ? 2 2 ? m1v12b + m2 v2 m2 v2 b ? ? ? m1v1a + a? ? 2 2 ?2 ? ?2 ?
b1 G b2 G b1 G b2 G G G G G = ? ∫ F1 ? dr1 + ∫ F2 ? dr2 ? + ? ∫ f12 ? dr1 + ∫ f 21 ?dr2 ? ? a1 ? ? ? a1 ? a2 a2 ? ? ?
G F2
∑ 2m v ? ∑ 2m v
i =1 2 i ib i =1
2
1
2
1
2 i ia
bi G bi G G G = ∑ ∫ Fi ? dri + ∑∑ ∫ fij ? dri 2 2 i =1 ai i =1 j ≠ i ai
B
系统动能的增量
外力所做的功之和 一对内力所做的功之和
∑ 2m v
i =1
2
1
2 i ib
2 1 2 ? ∑ m i via = i =1 2
∑∫
i =1
2
bi ai
2 G G Fi ? dri + ∑ ∑ i =1 j ≠ i
∫
bi ai
G G f ij ? dri
2．质点系的势能及功能原理 对于由 N 个质点所组成的质点系
一对对内力做功之和
系统动能的增量 外力所做的功之和 内力所做的功之和 一对内力做功之和
∑ 2 m v ? ∑ 2m v
i =1 2 i ib i =1
N
1
N
1
2 i ia
N G G G G N = ∑ ∫ Fi ? dri + ∑∑ ∫ f ij ? dri i =1 i =1 j ≠ i
G G G G dW = f12 ? dr1 + f 21 ? dr2 G G G G = ? f 21 ? dr1 + f 21 ? dr2
A
G dr1
G f 12
K dr ′
G f 21
Ekb ? Eka = W外 + W内 = W外 + W保守内力 + W非保守内力
E pa ? E pb
B
G G G G G = f 21 ? ( dr2 ? dr1 ) = f 21 ? dr ′
G dr2
Ekb + E pb ? ( Eka + E pa ) = W外 + W非保守内力
末态的机械能 初态的机械能 质点系的功能原理
一对内力做功之和只与相对位移有关
文字表述： 外力及非保守内力做功和等于系统机械能的增量。
说明： (1) 从功能原理的建立过程来看: 与一对保守内力相关的 势能是由这对保守内力所作的功之和来定义的，即：“势 能是属于一个质点系的”. 在特殊情况下,保守内力为质点与作为参考系的物体之 间的相互作用力,由于不考虑参考系本身的位移,作用在 参考系上的那个保守内力所作的功为零,作用在质点上 的那个保守内力所作的功就等于这一对保守内力所作的 功,这时在形式上也可以用单个保守内力的功来定义势 能.质点的功能原理中描述的正是这种情况. (2)势能的一个重要性质是: 在一个运动过程中, 系统的 势能的改变量与参照系的选择无关. 这是因为一对保守 内力所作的功之和与参照系的选择无关. 动能无此性质, 在一个运动过程中, 系统的动能的改变量与参照系的选 择密切相关(绝对速度=相对速度+牵连速度).
例1
利用动能定理重做例题3
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为 l l 1 W = ∫ (G ? f浮 )dx = ∫ ( ρ l ? ρ ′x) sgdx = ρ l 2 gs ? ρ ′l 2 gs 0 0 2 应用动能定理，因初速度为 0 ， 末速度大小v可求得如下 ρ 1 2 1 2 1 2 2
ρl gs ? ρ ′l gs = mv = ρlsv
2 2 2
x
v=
(2 ρ l ? ρ ′l )
A
ρ′
ρ
g
G f浮
与用牛二律方法所得结果相同， 而现在的解法无疑大为简便。
x
G mg
x
例2 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软匀质 物体以初速 v0 向右送上水平台面，物体前端在台面 上滑动s距离后停下来。已知滑道上的磨擦可不计， 物体与台面间的摩擦系数为 μ ，而且 s>L ，试计算 物体的初速度v0。
L v0
0 < x < L, x ≥ L,
fr = μ
m gx L f r = μ mg
当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为
G G s L m s W = ∫ F ? d r = ?∫ fr d x = ?∫ μ gx d x ? ∫ μmg d x 0 0 L L
再由动能定理得
O
x
L
s
解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面 之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量 成正比，所以它所受台面的摩擦力 fr 是变化的。本 题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方便 的。我们把变化的摩擦力表示为
L L = ? μ mg ( + s ? L) = ? μ mg ( s ? ) 2 2
L 1 2 ?μmg(s ? ) = 0 ? mv0 2 2
L v0 = 2μg(s ? ) 2
§2.5
一、机械能守恒定律
能量守恒定律
解：在整个碰撞的过程 中，动量和机械能守恒。
v0 m1 k1 k2
m2
Ekb + E pb ? ( Eka + E pa ) = W外 + W非保守内力
在外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零 （条件） 即：
(E
kb
+ E pb ) ? ( E ka + E pa ) = 0
E kb + E pb = E ka + E pa 质点系的机械能守恒定律
二、守恒定律(机械能与动量)的综合应用 例1 在不计摩擦的情况下， 求他们间的最大作用力。 v0
m1 k1 k2
令两车相对静止时速度为v,弹簧的压缩量分别为 x 1 x 2 m1v0 = (m1 + m2 )v (1) 1 1 1 1 2 2 (2) m1v = (m1 + m2 )v 2 + k1 x12 + k2 x2 2 2 2 2 (3) F =kx =k x
0
1 1
2 2
m2
将(1)，(3) 代入(2)可得： mv 1 1 1 1 k 2 x2 2 m1v0 = (m1 + m2 )( 1 0 ) 2 + k1 x12 + 1 1 2 2 m1 + m2 2 2 k2 m1m2 k2 m1m2 k1k2 F= v0 x1 = v0 (m1 + m2 )(k1 + k2 ) m1 + m2 k1 (k1 + k2 )
例2 在一辆小车上固定装有一光滑的轨道，轨道的 下端水平，小车的质量为M，静止放在光滑的水平 面上，有一质量为m，速度为V0的铁球沿着轨道下 端水平入射弧形轨道上，上升到某一高度，然后下 降离开小车。 求：1、铁球离开小车时相对于地面的速度； 2、铁球沿着弧面上升的最大高度。
解：（1）水平方向不受力，故水平方向动量守恒 动量守恒：
?mV0 = mV ? MV ′
V=
V′
机械能守恒，取轨道水平处为零的势能参照点
1 1 1 mV02 = mV 2 + MV ′2 2 2 2
M ?m V0 (特例M=m) m+M
正方向
（2）上升到最大高度 h 时
1 1 1 mV02 = mV12 + MV12 + mgh 2 2 2
V0
M
m
?mV0 = ? mV1 ? MV1
V
V0
MV02 h= 2 g (m + M )
M
m
V
例3 质量为 m 1 和m 2 的两块薄板，用一个轻质的 弹簧连接起来，弹簧的倔强系数为k，问至少用 m1 上，才能使该力突然撤去后 m1 多大的力作用于 m2 刚好被提起? 板跳起来，
F
m1
弹性势能零点
x0
m1 x1
F
m1
x2
m1
重力势能零点
m2
x2
m1
（ a）
x0
m1 x1
m2
（ b）
m2
（c）
m2
（ d）
( a ) → (b) 由平衡条件可得 m1 g = kx0
(b) → (c ) C状态则受力平衡 m1 g + F = k ( x0 + x1 )
（ a）
m2
（ b）
m2
（c）
m2
（ d）
m2
(c ) → (d ) 系统机械能守恒 1 1 2 k ( x0 + x1 ) 2 = m1 g ( x0 + x1 + x2 ) + kx2 2 2 m1 在最高点时刚好能够将 m 2 提起 kx2 = m2 g
m1 g = kx0
m1 g + F = k ( x0 + x1 )
x0 =
m1g k
kx2 = m2 g
F = (m1+m2 )g
三、能量转化及守恒定律 自然界中，除了机械运动还有热运动、电磁运动、化学 运动、原子核运动等，自然界中不同的运动形式对应着 不同的能量，在一定的条件下不同形式的能量之间会发 生相互转换。 精确的实验表明：尽管各种不同形式的能量可 以互相转化 。但对于一个不受影响的体系来 说，它所具有的各种不同形式能量的总和守恒。 能量只能从一个物体传递给另一个物体，或从 一种形式转化为其它形式，既不能消失也不能 创造。 能量转化及守恒定律
1 1 2 k ( x0 + x1 ) 2 = m1 g ( x0 + x1 + x2 ) + kx2 2 2
mg+F 1 m1 g F 2 1 2 k( + ) = m1 g ( 1 + x2 ) + kx2 2 k k k 2
F x1 = k
(m1 g )2 m1 gF F 2 (m1 g ) 2 m1 gF 1 2 + + = + + m1 gx2 + kx2 2k 2k 2 k k k (m1 g ) 2 F 2 1 2 ? + m1 gx2 + kx2 = 0 2k 2k 2
1 (m g ) 2 F 2 ?m1 g + (m1 g ) 2 ? 4 × k[ 1 ? ] 2 2k 2k x2 = k
=
?m1 g + F k
四、碰撞 1、碰撞 （1）定义： 物体间相互作用时间极短,但运动状态的改变却非常显 著的现象称为碰撞。 （2）碰撞的特点 碰撞时间极短，冲力相当大，可忽略系统所受外力 的作用，故系统遵守动量守恒定律；且碰撞前后两 质点的相对位置不会发生明显的改变，系统的势能 保持不变。 （3）碰撞的分类 A 对心碰撞 B 非对心碰撞 完全非弹性碰撞
完全弹性碰撞 非弹性碰撞 机械能不变
机械能减少 碰撞后两物体粘在一起
设两个质点组成的孤立系统碰撞前的动能为Ek, 碰撞 后的动能E’k , 则系统机械能的改变量为
′ ? E K = ΔE K Q = EK
则弹性碰撞，Q=0；非弹性碰撞，Q<0；超弹性碰撞， Q>0，增加的机械能来自系统内部其他形式的能量
2、完全弹性碰撞 两物体碰撞后分开的，碰撞前后两物体总机械能保持不变。 G G G G
V10 V20 V1 V2
m1 (V10 ? V1 ) = m2 (V2 ? V20 )
V1 = 讨论： (m1 ? m2 )V10 + 2m2V20 (m1 + m2 )
V10 + V1 = V2 + V20
V2 = (m2 ? m1 )V20 + 2m1V10 (m1 + m2 )
速度交换
m1
m2
X
m1
m2
X
m1V10 + m2V20 = m1V1 + m2V2
1 2 2 2 2 2 1 1 m1V10 +1 2 m2V20 = 2 m1V1 + 2 m2V2 m1 (V10 ? V1 ) = m2 (V2 ? V20 ) 2 2 m1 (V10 ? V12 ) = m2 (V22 ? V20 ) m1(V10 ?V1)(V10 +V1) = m2 (V2 ?V20 )(V2 +V20 )
m1 = m 2
V1 = V20 ,V2 = V10
m1 = m2且 V20 = 0
m1 << m 2 且 V20 = 0
m1 >> m 2且 V20 = 0
V1 = 0,V2 = V10 V1 ≈ ?V10 ,V2 ≈ 0
V10 +V1 = V2 +V20
V1 ≈V10 ,V2 ≈ 2V10
3、完全非弹性碰撞 两个物体碰撞后粘在一起运动 G G
V10 V20 G V
4、非弹性碰撞(碰撞问题中的一般的情况)
G V10 G V20 G V1 G V2
m1
m2
X
m1 + m2
m1
X
m2
m1
m2
动量守恒定律
在一般的碰撞问题中，碰撞前后两物体的总动能不可能 保持不变，因为一部分机械能将转变为其它形式的能量 牛顿碰撞定律：碰撞后两物体的分离速度 (V2 ? V1 ) 碰撞前两物体的接近速度 (V10 ? V20 ) V 2 ? V1 恢复系数 比值由两物体的材料性质决定 V1 0 ? V 2 0 若 e = 0 完全非弹性碰撞 0 < e < 1 一般的碰撞 完全弹性碰撞 若 e =1
m1V10 + m2V20 = ( m1 + m2 )V
V=
m1V10 + m2V20 m1 + m2
e=
例1、求由于碰撞使弹簧得到的最大压缩量 完全弹性碰撞 m 分析： 此问题总共可以分为三个过程： 第一个过程： 小球自由下落到与板碰撞前 第二个过程： 小球与板碰撞 第三个过程： 板向下压弹簧到最大压缩量
m0 >> m
mgh = 解：第一个过程：
m0
v0
v1 h
x
正
v
第二个过程： 动量守恒： mv0 = ? mv1 + m0 v 1 2 1 2 1 2 动能守恒： mv0 = mv1 + m0 v 2 2 2 m0 ? m ] 2 gh 解得： v1 = [? m0 + m
1 2 mv0 2
m
m0
v0
v1 h
x
正
v
v=
1 1 2 1 m0 v 2 + kx0 + m0 gx = k ( x + x0 ) 2 2 2 2
第三个过程： 设板放在弹簧上时弹簧的压缩量为 x0
2m 2 gh m + m0
m0 >> m
m0 g = kx0
解得：
x=
2m m + m0
2m0 gh k
§2.6 角动量守恒定律 一、力矩 G K K d (mv ) 根据牛顿第二定律 F (r )= dt K 用r 左叉乘上式两边
二、角动量
G v
K r (t )
αθ
G F
定义
K K G L = r × (mv )
矢量
为质点的角动量 角动量的大小：L
d K G K K r×F = [ r × ( m v )] dt
力矩
G K G G K K d ( mv ) dr 因为 d [ r × ( mv )] = r × + × ( mv ) dt dt dt =0 d K G K K r×F = [ r × ( m v )] 力矩的大小: M = Fr sin θ dt
力矩
G K K K K d ( mv ) r × F (r ) = r × dt
o
= rmv sin α
G M
K r (t )
角动量
G v
G L
角动量的方向: 右螺旋法则确定 另外还可用矩阵表示
αθ
G F
G M
角动量 L
G
力矩的方向 : 右螺旋法则确定
G L= x mvx
G i
G j y mv y
G k z mvz
o
例1：质量为 m 大小可忽略的滑块，以速度v = vi 沿着 X 轴自由地滑动，求：其绕 O 点的角动量和 绕 B点的角动量. 解：滑块对O点的位矢为
K
K
三、角动量守恒定律
G K K d K r × F = [r × (mv )] dt
K K rO = xi K K K LO = rO × ( mv ) = 0
K G K rB = xi ? Aj
K i
K 由力矩和角动量的定义 K dL M= dt 物体受到的力矩等于它的角动量的变化率。
滑块对 B 点的位矢为
如果力矩为零
K K K LB = rB × (mv ) =
K j
K k
x ?l mv 0
0 = 0i + 0 j + (mvl )k = mvlk 0
K
K
K
K
G dL =0 dt
G M =0
G L = 常矢量
角动量定理 守恒条件 角动量守恒定律
谢 谢
普通物理
黄 武 英
第二章
一.牛顿第一定律
质点动力学
三.牛顿第三定律
§2.1 牛顿定律
二.牛顿第二定律
§2.2 常见的力
一.万有引力 五.四种基本力 二.重力 三.弹力 四.摩擦力
牛顿定律应用举例
§2.3 单位制和量纲 §2.4 动量定理和动量守恒定律 §2.5 动能定理和功能原理 §2.6 能量守恒定律 §2.7 角动量定理和角动量守恒定律
物理与电子信息学院
§2.4 动量定理和动量守恒定律
一、质点的动量定理 二、动量定理的应用 三、质点系的动量定理 四、质心运动定理 五、质点系的动量守恒定律 六、变质量物体的运动方程
§2.5 动能定理和功能原理
一、动能及功的定义 三、功率 五、保守力和非保守力 六、质点的功能原理 七、质点系的动能定理和功能原理 二、动能定理
四、功的计算举例
§2.6 能量守恒定律
一、机械能守恒定律 二、守恒定律(机械能与动量) 的综合应用 三、能量转化及守恒定律 四、碰撞
§2.7角动量守恒定律
一、力矩 二、角动量 三、角动量守恒定律
四、动能定理
K rb G K 2 2 1 Wab = ∫K f ? dr = 1 2 mVb ? 2 mVa
ra
本章小结 G G dp d (mv ) G 一、牛顿第二定律 = =F dt dt
二、质点系的动量定理
五、质点系的功能原理和机械能守恒定律
Ekb + E pb ? ( Eka + E pa ) = W外 + W非保守内力
则： E kb + E pb = E ka + E pa 六、角动量定理和角动量守恒定律 K K dL 角动量定理 M= G dt 若 M =0 （条件）
功能原理
若外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零（条件） 机械能守恒定律
G I =
∫
t2
t1
G G G F合外 dt = ∑ mi vi (t 2 ) ? ∑ mi vi (t1 )
i i
三、质点系的动量守恒定律 若系统不受外力作用，或所受外力的矢量和为零（条件） n K K K K 则： ∑ miVi＝m1V1 + m2V2 + " mnVn = 恒量
i =1
G
则
dL =0 dt
G L = 常矢量
角动量守恒定律
第2章 质点动力学 一、选择题 1. 如图1所示，物体在力F 作用下作直线运动, 如果力F 的量值逐渐减小, 则该物体的 (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 [ ] 2. 一物体作匀速率曲线运动, 则 (A) 其所受合外力一定总为零 (B) 其加速度一定总为零 (C) 其法向加速度一定总为零 (D) 其切向加速度一定总为零 [ ] 3. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? (A) 质点沿着力的方向运动 (B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大 (D) 质点的速度将不会发生变化 [ ] 4. 用细绳系一小球使之在竖直平面内作圆周运动, 小球在任意位置 (A) 都有切向加速度 (B) 都有法向加速度 (C) 绳子的拉力和重力是惯性离心力的反作用力 (D) 绳子的拉力和重力的合力是惯性离心力的反作用力 [ ] 5. 如图2所示，三艘质量均为0m 的小船以相同的速度v 鱼贯而行．今从中间船上同时以速率u (与速度v 在同一直线上)把两个质量均为m 的物体分别抛到前后两船上. 水和空气的阻力均不计, 则抛掷后三船速度分别为 (A) v ，v ，v (B) u +v ，v ，u -v (C) u m m m 0++ v ，v ，u m m m +-v (D) u m m m 0++ v ，v ，u m m m 0 +-v [ ] 6. 质量为m 的铁锤竖直落下, 打在木桩上并停下. 设打击时间为?t , 打击前铁锤速率为 v ，则在打击木桩的时间内, 铁锤所受平均合外力的大小为 (A) t m ?v (B) mg t m -?v (C) mg t m +?v (D) t m ?v 2 [ ] 7. 用锤压钉不易将钉压入木块, 用锤击钉则很容易将钉击入木块, 这是因为 (A) 前者遇到的阻力大, 后者遇到的阻力小 (B) 前者动量守恒, 后者动量不守恒 (C) 后者锤的动量变化大, 给钉的作用力就大 (D) 后者锤的动量变化率大, 给钉的作用力就大 [ ] 8. 质点系的内力可以改变 (A) 系统的总质量 (B) 系统的总动量 图1 图2 v
习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正 方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 t v m ma f F mg d d ==--
即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2?? =- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-=
习题二 2-1 质量为m得子弹以速率水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹得重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间得变化关系; (2)子弹射入沙土得最大深度。 [解] 设任意时刻子弹得速度为v,子弹进入沙土得最大深度为s,由题意知,子弹所受得阻力f= - kv (1) 由牛顿第二定律 即 所以 对等式两边积分 得 因此 (2) 由牛顿第二定律 即 所以 对上式两边积分 得到 即 2-2 质量为m得小球,在水中受到得浮力为F,当它从静止开始沉降时,受到水得粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降得速率v与时间得关系为 [证明] 任意时刻t小球得受力如图所示,取向下为y轴得正方向,开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 整理得 对上式两边积分 得 即 2-3 跳伞运动员与装备得质量共为m,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气得阻力与速率得平方成正比,即。求跳伞员得运动速率v随时间t变化得规律与极限速率。 [解] 设运动员在任一时刻得速率为v,极限速率为,当运动员受得空气阻力等于运动员及装备得重力时,速率达到极限。 此时 即 有牛顿第二定律 整理得 对上式两边积分 得 整理得 2-4 一人造地球卫星质量m=1327kg,在离地面m得高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求:(1)卫星所受向心力f得大小;(2)卫星得速率v;(3)卫星得转动周期T。 [解] 卫星所受得向心力即就是卫星与地球之间得引力
由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 ()() s m 1096.61327 1085.11063781082.736 33e ?=?+???=+= m h R f v (3) 卫星得运转周期 ()() 2h3min50s s 1043.710 96.61085.1106378223 3 63e =?=??+?=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方得地球同步卫星距地面得高度。 [解] 设同步卫距地面高度为h ,距地心为R +h ,则 所以 代入第一式中 解得 2-6 两个质量都就是m 得星球,保持在同一圆形轨道上运行,轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ,求:(1)每个星球所受到得合力;(2)每个星球得运行周期。 [解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动,因此,她们受到得合力必须指向圆形轨道得圆心,又因星球不受其她星球得作用,因此,只有这两个星球间得万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径得两个端点上,且其运行得速度周期均相同 (1)每个星球所受得合力 (2) 设运动周期为T 联立上述三式得 所以,每个星球得运行周期 2-7 2-8 2-9 一根线密度为得均匀柔软链条,上端被人用手提住,下端恰好碰到桌面。现将手突然松开,链条下落,设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上,求链条下落距离s 时对桌面得瞬时作用力。 [解] 链条对桌面得作用力由两部分构成:一就是已下落得s 段对桌面得压力,另一部分就是正在下落得段对桌面得冲力,桌面对段得作用力为。显然 时刻,下落桌面部分长s 。设再经过,有落在桌面上。取下落得段链条为研究对象,它在时
第二章质点动力学单元测验题 一、选择题 1.如图，物体A和B的质量分别为2kg和1kg，用跨过定滑轮的细线相连，静 止叠放在倾角为θ=30°的斜面上，各接触面的静摩擦系数均为μ=0.2，现有一沿斜面向下的力F作用在物体A上，则F至少为多大才能使两物体运动. A.3.4N; B.5.9N; C.13.4N; D.14.7N 答案：A 解：设沿斜面方向向下为正方向。A、B静止时，受力平衡。 A在平行于斜面方向：F m g sin T f f 0 A12 B在平行于斜面方向：1sin0 f m g T B 静摩擦力的极值条件：f1m g cos， B f m m g 2(B A)cos 联立可得使两物体运动的最小力F min满足： F min (m B m A)g sin (3m B m A )g cos=3.6N 2.一质量为m的汽艇在湖水中以速率v0直线运动，当关闭发动机后，受水的阻力为f=-kv，则速度随时间的变化关系为 A.v k t =v e m; B. v= -t k t v e m 0; C. v=v + k m t ; D. v=v - k m t 答案：B 解：以关闭发动机时刻汽艇所在的位置为原点和计时零点，以v0方向为正方向建立坐标系. 牛顿第二定律： dv ma m kv dt 整理： d v v k m dt
积分得：v= - v e k t m 3.质量分别为m和m（ 12m m）的两个人，分别拉住跨在定滑轮（忽略质量）21 上的轻绳两边往上爬。开始时两人至定滑轮的距离都是h.质量为m的人经过t 1 秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为 2 m m1m-m1 1; C.1(h gt2)2h gt 1 2 A.0; B.h+; D.(+) m m2m2 222 答案：D 解：如图建立坐标系，选竖直向下为正方向。设人与绳之间的静摩擦力为f，当 质量为m的人经过t秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为h'，对二者12 分别列动力学方程。 对m： 1 f m g m a m 11m1 1 dv m 1 dt 对m： 2 f m g m a m 22m2 2 dv m 2 dt 将上两式对t求积分，可得： fdt m gt m v m 11m1 1dy m 1 dt fdt m gt m v m 22m2 2dy m 2 dt 再将上两式对t求积分，可得： 1 fdt m gt 0m h 22 11 2 1 fdt m gt m h m h 22 222 2
第二章 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2 sin 2 1t g y α= 由①、②式消去t ，得 2 2 sin 21x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1- =+ ? ? - = +t v v dt m KV mg dV 10
dt m KV mg KV mg K 1ln 10 - =++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1)(10- += ?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 00 0mg KV K m mg KV mg K m t + = += ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ? ?? ?? ????-+= = -0 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02 -??????-+- =- 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02 max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K +?- ??? ?????-+= +?- )1ln(11)(0 2 2 002 mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln() (02 20 002 mg KV g K m KV mg KV KV mg K m + - ++= )1ln(02 20mg KV g K m K mV + - = 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.
% 2015-2016（2）大学物理A （1）第二次作业 第二章 质点动力学答案 ［ A ］ 1、【基础训练1 】 一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M 的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量M m 2 1 = ．若人相对于绳以加速度a 0向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是 (A) 3/)2(0g a +． (B) )3(0a g --． (C) 3/)2(0g a +-． (D) 0a [解答]： ()()()()00000() ,/3, 2/3 Mg T Ma T mg m a a M m g M m a ma a g a a a g a -=-=+-=++=-∴+=+ 、 ［ D ］2、【基础训练3】 图示系统置于以g a 2 1 = 的加速度上升的升降机内，A 、B 两物体质量相同均为m ，A 所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦并不计空气阻力，则绳中张力为 (A) mg ． (B) mg 2 1． (C) 2mg ． (D) 3mg / 4． [解答]： 设绳的张力为T ，F 惯=ma mg ?T +ma =ma‘， T =ma’， mg +mg /2=2ma’. 》 所以 a’=3g/4, T=3mg/4 ［ B ］ 3、【基础训练5】 光滑的水平桌面上放有两块相互接触的滑块，质量分别为m 1和m 2，且m 1
第2章质点动力学 一、质点： 是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。 二、力： 是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。 1、弹性力：（为形变量） 2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。 固体间的静摩擦力：（最大值） 固体间的滑动摩擦力： 3、流体阻力：或。 4、万有引力： 特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。 式中R为地球半径，M为地球质量。 在地球上方（较大），。 在地球内部（），。 三、惯性参考系中的力学规律牛顿三定律 牛顿第一定律：时，。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了
惯性系。 牛顿第二定律： 普遍形式：； 经典形式：（为恒量） 牛顿第三定律：。 牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。 四、非惯性参考系中的力学规律 1、惯性力： 惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系 的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。 2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律： 五、求解动力学问题的主要步骤 恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出 分量式的运动方程。 变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。 第2章质点动力学 二、解题示例 【例2-1】如题图2-1a所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦
第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?-o 2(2) s ∴= 把式（2）代入式（1）得， 220.198 u = 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G r 和轨道对它的支持力T r .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 22 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-=r r r 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα= ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v v r v mg mg r mg α αα ωαα α=-===+==-=-? ?o r 得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为 T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两者 习题2－2图
第二章 习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-=ρ（单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+==ρρ, j i a m F ?12?24+==ρρ 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+=ρ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a ρρρ2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F ρ ρρ2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可 伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ 2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2 的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。 解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： f 1 N 1 m 1 g T a F N 2 m 2g T a N 1 f 1 f 2 T' a T' a
质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v ? 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①、②式消去t ，得 2 20 sin 21x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F ? ??+= a m f P ???=+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ??-=+t v v dt m KV mg dV 01 0 dt m KV mg KV mg K 1 ln 10-=++
)(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ??? ?? ????-+==-0000 1 )(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-??????-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ?-??? ?????-+=+?- )1ln(1 1)(0 22 02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-????? ? ?????? +-+= )1ln()(022 0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++= )1ln(0 220mg KV g K m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有
习题二 2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。 [解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律t v m ma f d d == 即t v m kv d d ==- 所以t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0d d 0 得t m k v v -=0ln 因此t m k e v v -=0 (2)由牛顿第二定律x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即x v mv kv d d =- 所以v x m k d d =- 对上式两边积分??=- 000d d v s v x m k 得到0v s m k -=- 即k mv s 0 = 2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉 降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m t kv F mg v 00 d d y
得m kt F mg kv F mg -=---ln 即??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即 2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时2 T kv mg = 即k mg v = T 有牛顿第二定律t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2 =- 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21 d d 00 2??=- 得m t v k mg v k mg = +-ln 整理得T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2)由牛顿第二定律h R v m f +=e 2 (3)卫星的运转周期 2-5试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。 [解]设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则
2-1 质量为0.25kg 的质点，受力为()F ti SI =的作用，式中t 为时间。0t =时，该质点以 102v jm s -=?的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____. 解 因为 40.25 dv F ti ti dt m ===,所以() 4dv ti dt =，于是有()0 4v t v dv ti dt =? ?， 222v t i j =+；又因为 dr v dt =，所以()222dr t i j dt =+，于是有()222dr t i j dt =+??，32 23 r t i tj C =++，而t=0时质点通过了原点，所以0C =，故该质点在任意时刻的位置 矢量为3 223 r t i tj =+。 2-2 一质量为10kg 的物体在力(12040)()f t i SI =+作用下，沿x 轴运动。0t =时，其速度 106v im s -=?，则3t s =时，其速度为（ ） A. 1 10im s -? B. 1 66im s -? C. 1 72im s -? D. 1 4im s -? 解 本题正确答案为C 在x 方向，动量定理可写为()3 12040t dt mv mv +=-?，即0660mv mv -= 所以 ()10660660 67210 v v m s m -=+ =+=?。
一物体质量为10kg 。受到方向不变的力3040()F t SI =+的作用，在开始的2s 内，此力的 冲量大小等于______;若物体的初速度大小为1 10m s -? ，方向与F 同向，则在2s 末物体的 速度大小等于_______. 解 在开始的2s 内，此力的冲量大小为 ()2 3040140()I t dt N s = +=?? 由质点的动量定理得 0I mv mv =- 当物体的初速度大小为1 10m s -?，方向与F 同向时，在2s 末物体速度的大小为 10140 1024()10 I v v m s m -=+=+=? 2-4 一长为l 、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上。若使其长度的1/2悬于桌边下，由静止释放，任其自由滑动，则刚好链条全部离开桌面时的速度为（） 解 本题正确答案为B 。 根据题意作图.设链条的质量为m ，则单位长度的质量为m l ，若选取桌面为零势能点，则由机械能守恒定律得 21 2422m l l m l g l g mv l l ????????????-???=-???+ ? ? ? ????????????????? 其中v 为链条全部离开桌面时的速度。解之得 v =
:B : 3、【基础训练5】 光滑的水平桌面上放有两块相互接触的滑块，质量分别为 2015-2016 (2)大学物理 A (1)第二次作业 第二章 质点动力学答案 :A : 1、【基础训练1】一根细绳跨过一光滑的定滑轮, g 2a o /3 一 1 2、【基础训练3】 图示系统置于以a —g 的加速度上升的升降机内， A 、B — 2 两物体质量相同均为 m A 所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略滑轮轴 上和桌面上的摩擦并不计空气阻力，则绳中张力为 T = ma , mg+ me/ 2=2ma . 所以 a ’ =3g/4, T=3mg/4 一端挂一质量为 M 的物体， 1 另一端被人用双手拉着，人的质量 m —M .若人相对于绳 2 以加速度 a o 向上爬，则人相对于地面的加速度(以竖直向上 为正)是 (A) (2 a o g)/3. (B) (3g a o ) ? (C) (2a o g)/3. (D) a o ［解答］: Mg T T mg M m Ma m(a a o ) M m a ma o , a o /3, (A) mg (B) Img . (C) 2 mg (D) 3 mg / 4. ［解答］: 设绳的张力为T , F 惯二 ma mg- T + ma= ma ',
N sin mg N mg /sin 增加，N 减小。 m i 和m ,且m i
第2章质点动力学习题解答 2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，?求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。 解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F += 2-2 如图所示，质量为10kg 物体，?所受拉力为变力2132 +=t F （SI ），0=t 时物体静止。该物体与地面的静摩擦系数为20.0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ，取10=g m/s 2，求1=t s 时，物体的速度和加速度。 解：最大静摩擦力)(20max N mg f s ==μ max f F >，0=t 时物体开始运动。 ma mg F =-μ，1.13.02+=-= t m mg F a μ 1=t s 时，)/(4.12s m a = dt dv a = Θ，adt dv =，??+=t v dt t dv 02 01.13.0 t t v 1.11.03+= 1=t s 时，)/(2.1s m v =
2-3 一质点质量为2.0kg ，在Oxy 平面内运动，?其所受合力j t i t F ρ ρρ232 +=（SI ），0 =t 时，速度j v ρρ20=（SI ），位矢i r ρρ20=。求：（1）1=t s 时，质点加速度的大小及方向；（2） 1=t s 时质点的速度和位矢。 解： j t i t m F a ρρρ ρ+==22 3 2 2 3t a x = ，00=x v ，20=x ?? =t v x dt t dv x 02 23，2 3t v x = ?? ?==t x t x dt t dt v dx 03 2 02，28 4+=t x t a y =，20=y v ，00=y ? ? =t v y tdt dv y 02 ，22 2 +=t v y ?? ?+==t y t y dt t dt v dy 02 0)22(，t t y 26 3+= （1）1=t s 时，)/(2 32s m j i a ρ ρρ += （2）j t i t v ρρρ)22(223++=，1=t s 时，j i v ρ ρρ2521+= j t t i t r ρρρ)26()28(34+++=，1=t s 时，j i r ρ ρρ6 13817+= 2-4 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。
第二章 习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可 伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ 2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2 的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。 解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： f 1 N 1 m 1 g T a F N 2 m 2g T a N 1 f 1 f 2 T' a T' a
第一章 质点的运动 1－1已知质点运动方程为t R x ω-=sin ，)cos 1(t R y ω-=，式中R ，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。 解： cos ,sin x y dx dy v Rw wt v Rw wt dt dt v Rw = =-==-∴== 222 sin ,cos y x x y dv dv a Rw wt a Rw wt dt dt a Rw = ===∴== sin ,(1cos )x R wt y R wt ==- 222()x y R R ∴+-=轨迹方程为 质点轨迹方程以R 为半径，圆心位于（0，R ）点的圆的方程，即质点作匀速率圆 周运动，角速度为ω；速度v = R ω；加速度 a = R ω2 1－2竖直上抛运动的物体上升到高度h 处所需时间为t 1，自抛出经最高点再回到同一高度h 处所需时间为t 2，求证：h =gt 1 t 2/2 解：设抛出点的速度为v 0，从高度h 到最高点的时间为t 3，则 012132012221201112()0,2()/2()11 222 12 v g t t t t t v g t t t t h v t gt g t gt gt t -+=+=∴=++∴=- =-= 1－3一艘正以v 0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a ＝-kv 2，k 为一常数，求证船在行驶距离x 时的速率为v=v 0e -kx . 解：取汽艇行驶的方向为正方向，则 020 0,,ln v x v kx dv dx a kv v dt dt dv dv kvdt kdx v v dv kdx v v kx v v v e -==-= ∴ =-=-∴=-=-∴=?? 1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。 解：人前进的速度V 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，