高三数学复习专题平面向量
一、考点透视
本章考试内容及要求：
平面向量的有关概念B级
平面向量的线性运算（即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积）C级
平面向量的数量积C级（老教材为D级）
向量的坐标表示C级
向量运算的坐标表示C级
平行向量及垂直向量的坐标关系C级
向量的度量计算C级
注：
B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。
C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。
二、复习要求
1．理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念；
2．掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；
3．掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式；
4．能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。
概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量基本形式（3种）及基本运算（4种），关注向量简单应用。
三、复习建议
向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量基本知识的掌握和运用，难度不要拔高。
四、知识要点
1．平面向量的有关概念
（1）平面向量：我们把平面上既有大小又有方向的量叫做平面向量(以下涉及的“向量”，如不作特别说明就指平面向量)。用带有箭头的线段AB 表示向量。以A 为始点，B 为终点的向量，记作
，也可用加黑的小写字母a 表示。向量的大小，也就是的模(或称长度)
。
（2）零向量：模为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是不确定的。
（3）单位向量：模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。向量a 的单位向量是指与向量a 方向相同且长度等于1个单位长度的向量，记作0a
，a
0。
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c 。规定0与任一向量平行。平行向量也叫做共线向量。
（6）负向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的负向量。 2．向量的运算
(1)向量的加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 ①加法法则
三角形法则(见图6—1)； 平行四边形法则(见图6—2)。
②运算性质：a+b=b+a
（a+b ）+c=a+（b+c ） a+0=0+a=a ③坐标运算： 设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a+b=（x 1+x 2，y 1+y 2）。 （2）向量的减法 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 ①减法法则
三角形法则(见图6—3)
②坐标运算： a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a-b=（x 1—x 2，y 1—y 2）。 设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2)， 则AB =（x 1—x 2，y 1—y 2）。 （3）实数与向量的积
a
a+b
b 图6—1 图6—2 b
a a-
b 图6—3
①定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：当其中
0>λ，λa 与a 同向，|λa |=|λ||a |； 当λ<0时，λa 与a 反向，|λa |=|λ||a |；
当λ=0时，λa =0。 ②运算律：
μλ(a ）=（λμ）a ，
（μλ+）a =λa +μa ，
λ（a+b ）=λa +λb 。
③坐标运算：
设a=（x ，y ），则λa =λ（x ，y ）=（λx ，λy ）。 (4)平面向量的数量积
①定义：a·b=|a||b|coa θ，（a ≠0，b ≠0，)18000
≤≤θ。规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 0·a =0。 ① 重要性质
设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1) e ·a =a ·e =|a |cosθ。 (2) a ⊥b a ·b =0。
(3) 当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b = —|a ||b |。特别地，a ·a =|a |2或|a (4)cos
.a b
a b
(5)|a ·b |≤|a ||b |。
③运算律 a·b=b·a ，（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ），（a+b ）·c =a·c+b·c 。 ④坐标运算： 设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a·b =x 1x 2+y 1y 2。 3．重要定理、公式
（1）两个非零向量a ，b 平行的充要条件 a ∥b ?a =λb 。
设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则01221=-y x y x 。 （2）两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a·b =0
设a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2)，则a ⊥b ? x 1x 2+y 1y 2=0。 （3）平面上两点间的距离公式
设表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2)，
那么|a
(4)线段的定比分点公式
设P （x ，y ），P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2)，且21PP P P λ=，
则???
????
++=++=λ
λλ
λ11212
1y y y x x x 。
中点坐标公式
???
???
?+=+=22
2121y y y x x x 五、例题解析
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？
（1）若a =b ，则a ·c =b ·c ；
（2）若a ·b =c ·d 且x=y ，则(a ·b )x =(c ·d )y ； 【分析】（1）真命题。
∵a =b ，∴|a |=|b |且a 与b 同向，∴a ，b 与c 夹角相等，设夹角为θ， 则a ·c =|a ｜｜c |cosθ=|b ||c | cosθ= bc 。 （2）真命题。
由a ·b =c ·d ∈R ，可设a ·b =c ·d =k ，∵x=y ，∴k x=k y 。
【例2】有四个等式：（1）0·a=0，（2）0a =0，（3）－=，（4）|ab |=|a ||b |，其中成立的个数为 （ ）
A 4个
B 3个
C 2个
D 1个 【分析】(1)0·a 表示零向量与任意向量a 的数量积，其结果是数0而不是零向量； (2) 0a 表示实数0与向量a 的乘积，其结果应为零向量，而不是数0；
(3) 等式0－BA AB =成立；
(4)对 a ·b 数量积的定义式两边取绝对值，得|a ·b |=|a ||b ||cosθ|，只有θ=0，π 时，|a ·b |=|a ||b |才成立。 ∴应选D 。
【点评】例1、例2考查向量的加法、减法、实数与向量的乘积及数量积这四种运算及有关概念。 【例3】如图6—4所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，P 为平面内任意一点，求证：4=+++。
【分析】注意到O 是AC 、BD 的中点，与，
BO 与DO 互为负向量。
【证明】∵O 为平行四边形ABCD 对角线AC 与BD 的交点 ∴ O 为AC 及BD 的中点。
∴)(21+=
，)(21
+=， ∴)(2
1
2PD PC PB PA PO +++=。
故4=+++。
【点评】本题考查向量加法、减法的几何意义（即几何形式）。 【例4】已知|a |=4，|b |=5，（1）当a ∥b ，（2）a ⊥b ，（3）a 与b 的夹角θ=120°，求a·b 。 【分析】直接利用向量数量积的定义解题。
【解】（1）当a ∥b 时，若a 与b 同向，则θ=00，从而a ·b =|a ||b |cos00=4×5=20； 若a 与b 反向，则θ=1800，从而a ·b =|a ||b |cos1800=4×5×（-1）=-20； （2）当a ⊥b 时，θ=900，a ·b =|a ||b |cos900=0；
（3）当a 与b 的夹角θ=120°时，则a ·b =|a ||b |cosθ=5×4×cos120°=5×4×（2
1
-
）= -10。 【点评】本题考查平行向量、垂直向量、向量夹角及向量数量积等有关概念和知识。
【例5】三角形ABC 的三边长均为1，且BC =a ，=c ，CA =b ，求a ·b +b ·c +c ·a 的值。
A
P 图6—4
【分析】由已知条件可知：a 、b 、c 两两夹角均为
3
2π。 【解】如图6—5，由题意：|a |=|b |=|c |=1，且a 、b 、c 两两夹角均为3
2π。∴a ·b =|a ||b |32cos
π=2
1
-。 同理：b ·c =c ·a =21-，故a ·b + b ·c +c ·a =2
3
-。
【点评】本题考查向量夹角、向量数量积知识。 【例6】求证：直径所对的圆周角是直角。
如图6—6， 已知AC 为⊙O 的一条直径，∠ABC 是圆周角。
求证：∠ABC=900。
【分析】要证∠ABC=900，即要证明⊥BC ，即证明·
BC =0，可用平面向量的数量积知识证明。
【证明】设a AO =，b OB =，则a OC =，
∵b a AB +=，b a BC -=，而|a |=|b |，
∴·BC =（a +b ）·（a -b ）=|a |2-|b |2=0，
故⊥，即∠ABC=900。
【点评】本题考查向量数量知识在平面图形中的应用。
【例7】已知A （1，2），B （3，1），C （-1，0）。 （1）求向量AB 的坐标，并求它的模； （2）取点D ，使AB CD =，求点D 的坐标；
A
B
C
c a
b
图6—
5
A
C
图6—6
（3）设向量AB 与的夹角为θ，求cosθ的值； （4）求平行四边形ABCD 的面积。
【解】（1）=（3-1，1-2）=（2，-1），||=5； （2）设D （x ，y ），则=（x+1，y ）=AB =(2,-1)， ∴ x=1，y=－1，∴ D （1，－1）。 （3）=（-2，-2），||=22，
·=||||cosθ=102 cosθ，
∵·AC =2×(－2)+( －1) ×(－2)= －2，∴ cosθ=10
10
-
。 （4）S ABCD =2S △ABC =|AB ||AC |sinθ=|AB ||AC |θ2
cos 1-=6。
【点评】
（1）本题考查向量的坐标形式的加、减法运算公式和向量模的公式； （2）本题考查向量的坐标形式相等概念； （3）本题考查向量的夹角公式； （4）本题考查三角形面积公式。
【例8】已知|a |=2，|b |=5，ab =－3，求|a+b |和|a-b |。
【分析】先计算|a+b |2和|a-b |2，利用|a ±b |2=（a ±b )2就非常方便。
【解】∵|a+b |2=(a+b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2ab +|b |2=4－6+5=3，∴|a+b |=
∵|a －b |2=(a-b )2=a 2－2a ·b +b 2=|a |2－2a ·b +|b |2=4+6+5=15，∴|a －b |=15。
【点评】本题考查向量数量积的运算律。
【例9】已知|a |=5，|b |=4，且a 与b 的夹角为600，问当且仅当k 为何值时，向量k a -b 与a +2b 垂直？
【分析】利用两个向量垂直的充要条件来证。 【证明】∵（k a -b ）⊥（a +2b ）∴（k a -b ）·（a +2b ）=0，即k a 2
+（2k-1)a ·b －2b 2=0。 ∴k×52+(2k-1) ×5×4×cos600－2×42=0。∴k=
15
14
。 【点评】本题考查向量数量积的运算公式和运算律。
【例10】已知e 1与e 2是夹角为600的单位向量，且a=2e 1+e 2，b =－3e 1+2e 2，求a ·b 及a 与b 的夹角α。 【分析】由于e 1与e 2都是单位向量，且其夹角已知，故可求得e 1与e 2的数量积，进而可以求得a ·b ，
图6—14
再利用模的公式求|a |与|b |，代入夹角余弦公式，可求a 与b 的夹角α。 【解】∵e 1与e 2都是单位向量，且其夹角为600， ∴e 1·e 2=|e 1||e 2|cos600=1×1×21
=
2
1。 ∴a ·b =（2e 1+e 2)( －3e 1+2e 2)= －6e 12+ e 1·e 2+2e 22 =－6|e 1|2+ e 1·e 2+2|e 2|2=－6+
21+2=2
1
3-。 而|a |2=a 2=(2e 1+e 2)2=4e 12+4 e 1·e 2+e 22 =4|e 1|2+4 e 1·e 2+|e 2|2=4+4×2
1
+1=7。 |b |2=b 2=( －3e 1+2e 2)2=9e 12－12e 1·e 2+4e 22
=9|e 1|2－12 e 1·e 2+4|e 2|2=9－6+4=7，
∴|a |=7,|b |=7,于是，217
72
13cos -
=?-=
=
α。∴a ·b =2
13-， α=1200。 【点评】本题考查向量数量积的运算律、运算公式和夹角公式。 【例11】已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时， (1)k a +b 与a -3b 垂直？
(2)k a +b 与a -3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
【分析】由已知启发我们先用坐标表示向量k a +b 与a -3b ，然后用两个向量平行和垂直的充要条
件解答。
【解】 (1)k a +b =k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)， a -3b =(1，2)-3(-3，2)=(10，-4)． 当(k a+b )·(a -3b )=0时，这两个向量垂直． 由(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0，
解得k=19，即当k=19时，k a +b 与a -3b 垂直．
(2)当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a +b =λ(a -3b )．
由(k-3，2k+2)=λ(10，-4)，得??
?-=+=-.
422,
103λλk k 。
这是一个以k 、λ为未知数的二元一次方程组．解这个方程组得
=k 1-3
时，向量k a +b 与a -3b 平行，这时k a +b=1
-3a -b 。因为31-=λ<0，所以向量-3
a +
b 与a -3b 反向。 【点评】本题考查向量平行、垂直、向量数量积的坐标公式和运算。
【注意】本例也可以根据两个向量平行的充要条件的坐标公式，从(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0，先解出1
-3
k
，然后再求λ。 【例12】如图6—7，在以原点O 和A （5，2）为两个顶点的等腰直角三角形OAB 中，∠B=900，求点B 和的坐标。
【分析】关键是求出点B 的坐标，可用直接法。设B （x ，y ），由
⊥且||||=，可列出x ，y 的方程组，解方程组可求出
x ，y ，再求的坐标。
【解】设B （x ，y ），则=（x ，y ），=（x －5，y －2） ∵⊥，所以，x （x －5）+y (y －2)=0，
即x 2+y 2－5x －2y =0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（1） 又||||=，得x 2+y 2=（x －5)2+(y －2)2
即10x +4y =29。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2）
联立方程组（1）（2），解之得???????-==232711y x 或???
????
==272
311y x 。
所以，B 点坐标为（
)23,27-或（)27,23，即)27,23(-=或)2
3
,27(-=。 【点评】本题考查向量垂直、向量相等、向量数量积的坐标公式和运算。
【例13】已知a =)1,3(-，b =)2
3
,
2
1(，且存在实数k 和t ，使得x =a +（t 2－3)b ， y =－k a +t b ，且x ⊥y ，试求t
t k 2
+的最小值。
【分析】本题主要考查向量的坐标运算及向量垂直的条件。解题时要注意观察，挖掘题中隐含条件，根据向量垂直的充要条件得出k 与t 之间的关系，转化成二次函数的最小值问题求解。 【解】由题意得：|a |=2)1()3(2
2
=-+，| b |=1)2
3(
)21(2
2=+， a ·b =02
3
1213=?-?
，故有a ⊥b 。 由x ⊥y 得：[a +（t 2－3)b ]·[－k a +t b ]=0，即 －k a 2+(t 3－3t)b 2+(t －t 2k+3k)ab =0，
∴－k|a |2+(t 3－3t)|b |2=0 ,将|a |=2，| b |=1代入得：4
33
t
t k -=。
故t t k 2+=47)2(41)34(4122-+=-+t t t ，即当t=－2时，t t k 2+有最小值为4
7-。
【点评】熟练掌握向量的基本概念和运算法则是解答好各类向量综合问题的前提和基础，要善于识别各种条件形式下的向量问题。
【变题】已知非零向量a =(cosα，sinα),b =(cosβ，sinβ)，其中α，β∈0,2，且a ，b 满足关系式：
|k a +b |=3|a —k b |(k ∈R)。
图6—14
【例14】已知c =m a +n b =()2,32-，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为1200，且b ·c =－4，|a |=22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角。
【分析】本题考查向量数量积的坐标运算和综合运用向量知识的能力。 【解】∵ c =m a +n b =()2,32-，∴| c |=4。
由bc =－4=|b ||c |cos1200=－2| b |，得：| b |=2。 ∵ c =m a +n b ，∴ c ·c =m a ·c +n b ·c ， ∵ a 与c 垂直，∴ a ·c =0，又b ·c =－4，c ·c =| c |2=16，∴ n=－4。 由 c =m a +n b 得：c ·a =m a ·a +n b ·a ，即 0=8m －4b ·a 。∴2m= b ·a 。 ∴ c ·b =m a ·b +n b ·b ，即 －4= m b ·a －16。 ∴ m b ·a =12。解得：m=6±
，b ·a=62±。
由62±= b ·a =|b ||a |cosθ=24cosθ，得：cosθ=2
3±，∴ θ=300
或1500。 ∴ n=－4 ，m=6±
， θ=300或1500。
【点评】在c =m a +n b 两边“点乘”同一个向量，构造应用已知条件的形式，这是一种解题技巧。 【例15有风时飞机的航速和方向。
【分析】设W =风速，V a =有风时飞机的航行速度， V b =无风时飞机的航行速度，则V b =V a --W
【解】如图6—9，因为V b =V a —W ，所以V b 、V a 、W 构成了 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ，则∠BAD=450。 【点评】本题是向量的一个应用问题，数形结合是处理这类问题的常用方法。
【例16】求证：以原点为始点的三个向量c b a ,,的终点A 、B 、C 在同一条直线上的充要条件是βα+=，
（1,,=+∈βαβαR ）。 【分析】由于A 、B 、C 三点中任意两点构成的向量一定可以用,,来表示，利用两个向量平行的充要条件适当变形就可以证明结论。
【证明】
（1）必要性：若A 、B 、C 在同一直线上，则存在实数λ，使得λ=，
图6—9
图6—14 图6—14
所以，)(OA OB OA OC -=-λ，即a b a c -=-(λ）。 整理得：λλ+-=)1(。令1λ-=α，由α+β=1，有λ=β。 则βα+=。 （2）充分性：
若βα+=，（1,,=+∈βαβαR ） 则ββ+-=)1(，所以：)(-=-β，
即：)(-=-β，所以β=，故A 、B 、C 在同一直线上。
【点评】本题考查运用向量知识论证问题的能力，有一定的运算要求。本题也是平面上三点共线的一个常用结论。
【例17】如图6—11，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC ，CA ，AB 上的点，且使
FB
AF
EA CE DC BD =
=，求证：△ABC 和△DEF 的重心相同。
【分析】要证明△ABC 和△DEF 的重心相同，一种方法是利用向量相等，另一种方法是证明两个重心的坐标相同。
【证法一】设△ABC 的重心为G ，△DEF 的重心为G '，且设
FB
AF
EA CE DC BD =
==λ，)0,(>∈λλR ，则对于平面内任意一点O ，有：)(31
++=，
)(31G O ++='，因为FB
AF
EA CE DC BD =
==λ， 所以，λλ++=
1，λλ++=1，λ
λ++=1
即：λ
λ++++++=
++1)
()(
=
λ
λ++++1)
)(1(。
所以，++=++，所以，G 与G '重合。
图6—11
B
D
C
E
A F
【证法二】设△ABC 三点的坐标分别为A （a 1，a 2），B （b 1，b 2），C （c 1，c 2），其重心G 的坐标为（g 1，g 2）。设△DEF 三点的坐标分别为D （d 1，d 2），E （e 1，e 2），F （f 1，f 2），其重心G '的坐标为（g /1，g /2）。
则)(311111c b a g ++=，)(31
2222c b a g ++= )(311111
f e d
g ++='，)(312222f e d g ++='， 因为FB
AF EA CE DC BD =
==λ，所以，DC BD λ=，EA CE λ=，FB AF λ= 所以，λλ++=
1111c b d ，λλ++=1222c b d ，λλ++=1111a c e ，λ
λ++=12
22a c e ，
λ
λ++=11
11b a f ，λλ++=122b a f 。
λ
λ++++++=
++1)
()(111111111b a c a c b f e d =111c b a ++。
同理，222222c b a f e d ++=++
所以，)(311111
c b a g ++=',)(3
1
2222
c b a g ++='， 故G 与G '重合。
【点评】本题考查综合运用向量知识解决问题的能力，有一定的运算要求。
【例18】
【点评】本题是平面向量的概念和运算问题，最终体现三角函数的恒等变换及其图像变换的基本技能，有一定的运算要求。
【例19】
图6—12
图6—13
图6—14
【点评】本题考查向量的概念、向量的形式、向量的运算及综合运用向量知识解决问题的能力，有一定的运算要求。
【例20】已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动
图6—15
六、跟踪练习
一、选择题
1．下列说法：①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量 平行；④零向量只能与零向量平行。
其中正确的有 ( B )个。 A ．1 B ．2
C ．3
D ．以上都不对
2．下列物理量中，不是向量的有 ( C )个。 ①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
3．已知正方形ABCD 的边长为1, AB = a , BC = b , AC = c ,则| a +b +c |等于 （ D ）
A ．0
B ．3
C ．2
D ．22 4．a =－b 是|a | = |b |的
（ A ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件 5．若2
0AB BC AB ＋＝，则ΔABC 为 （ A ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
6．已知平面内三个点A(0,-3)，B(3,3)，C(x,-1)，且∥BC ，则x 的值是（ B ）
A 。5
B 。1
C 。-1
D 。-5
7．点A (2,0),B (4,2),若|AB |=2|AC |, 则C 点的坐标为
（ D ）
A ．(－1,1)
B ．(－1,1)或(5,－1)
C ．(－1,1)或(1,3)
D ．无数多个
8．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，连结AC 、BD 、PB 、PC 、PD ，则下列各组向量中，数量积不恒为零的是（ A ） A.→ PC 与→ BD B.→ DA 与→PB
C.→ PD 与→
AB
D.→ P A 与→
CD
9．如图,在平面四边形ABCD 中,下列结论中错误的是 ( C ) A ．= B.=+ C.BD AD AB =- D.=+
10．G 为△ABC 内一点，且满足AG BG CG →+→+→=→
0，则G 为△ABC 的（ D ）
A ． 外心
B. 内心
C. 垂心
D. 重心
11．等边△ABC 的边长为1，=a ,=b ,=c ,那么a·b + b·c + a·c =（ D ）
A ．0 B.1 C.21
-
D.2
3- 12．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为
（ A ）
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
13．已知a =(2,3) ，b =(－4,7) ,则a 在b 上的投影值为 （ C ）
A ．13
B ．
5
13
C ．565
D ．65
14．已知a =(2,1) , b =(3,x ), 若(2a －b )⊥b ,则x 的值为
（ C ）
A ．3
B ．－1
C ．－1或3
D ．－3或1
15． 设1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且212143,23e e b e e a
+-=+=，则b a ?等 （ C ）
A ． 1 B. 2 C. –1 D. –2 16．若向量()()()421111，，，-=-==，则＝（
B ）
A ．b a 3+- B.b a 3-
C.b a -3
D.b a +-3
17．已知向量()()(
)
OB OC CA →=→=→=
202222，，，，，cos sin αα，则OA →与OB →
夹角
的范围是（ C ） A ．04，
π??
??
?
?
B.π
π4
512，???
???
C.π
π12512，???
??
?
D.512
2π
π，???
??? 18．在ABC ?中，已知0
4
15
=3
=5，则=∠BAC ( C )
A ．30
B ．60
C ．150
D ．30 或150
19．已知a 、b 均为非零向量，有下列四个命题： （1）
-=+”是“⊥”的充要条件； （2）“2
2
=”是“=”的必要且不充分条件； （3）“//”是“同向与b a ”的充分且不必要条件； （4）“//”是
=
的既不充分也不必要条件。
其中正确的命题是 （ A ） A ．（1）和（2） B.（1）和（3） C.（2）和（4） D.（3）和（4）
20．在平面上，已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)．给出下面的结论： ①=- ②=+ ③2-= 其中正确．．结论的个数是 ( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 二、填空题
21． 若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_____。 21．28千米、东偏北45°
22．|a |=5, |b |=3,|a －b |=7,则a 、b 的夹角为__________。 22．120°
23．已知a =(2,－1), b =(λ,3)。
（1)若a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是________； （2)若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是_________； （3)若a ⊥b ,则λ的取值范围是_________；
（4)若a ∥b ,则λ的取值范围是_________。
23．（1）23>λ （2）23
<λ，且6-≠λ （3）2
3=λ （4）6-=λ
24． 若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是?180，且53||=，则=______________。 24．)6,3(-
25．如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a ×b 为向量a 与b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它
的长度为|a ×b |=|a ||b |sinθ，如果|a |=3，|b |=2，a ·b ＝－2，则a ×b ＝_________。
25．
26．已知点A (1， －2)，若向量与a ＝{2，3} ＝213，则点B 的坐标为。（04上海理） 26.B(5,4)
27．若向量b a
、的夹角为 150，4,
3==b a ，则=+b a
2。 (06上海春)
27.2
28．直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=?，则点P 的轨迹方程是__________。（05上海理） 28．x+2y-4=0
三、解答题
29． 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中
],0[π∈x 。 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值。 （04上海春季）
29.解：由若向量与OQ 垂直，得()()()0122cos 2cos 1cos 2=-?++?+=?x x x ，
[]3
2,0,21cos 0cos ,0cos cos 22π
ππ==∴∈=
==-?x x x x x x x 或又或。 30．已知| a |=4,|b |=5,|a +b |=21 ,求：
（1） a ·b （2） (2a －b )·(a +3b )
30．解：（1）|a +b |2=（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2，222
||||||2
--∴?=a +b a b a b
=102
251621-=--。
（2）（2a －b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b －3b 2=2|a |2+5a ·b －3|b |2=2×42+5×（－10）－3×52=－93。 31．已知向量a = (4,3), b =(－1,2),
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训
知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x
一、多选题 1．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b = B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22 ()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2 2 2 a b a b +=+，则a 与b 垂直 D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2 π 2．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 4．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()1 2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。
一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八
专题26 平面向量（知识梳理） 一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边 作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；
平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4）
2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4）
对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D
20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5