重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用
分院数学与统计学院
专业数学与应用数学（师范）
班级 10数本1班
学号201006034109
姓名张永东
指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日
目录
摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3)
1.1引言 (3)
1.2预备知识 (3)
1.2.1相关定义 (3)
1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4)
1.3几类重要的大数定律的应用 (4)
1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4)
1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6)
1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6)
1.4大数定律的意义 (8)
2 中心极限定理的应用 (8)
2.1前言 (8)
2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9)
2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9)
2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10)
2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11)
2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14)
3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15)
3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15)
结论 (16)
致谢 (17)
参考文献 (18)
大数定律与中心极限定理及其应用
张永东
（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业 2010级一班重庆万州 404000）摘要：大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理，也是概率论与数理统计联系的关键所在，更是生活中不可缺少的一部分.较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限定理，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性.但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少.本文介绍了几种较为常见的大数定律和中心极限定理，并列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用.将理论具体化、将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论与实际相结合，使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识.
关键词：大数定律;中心极限定理;期望;方差;应用
Application of the law of large numbers and the central
limit theorem
ZHANG yong-dong
(Grade 2010, Mathematics and Applied Mathematics, School of Mathematics and Statistics ,Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )
Abstract:The law of large numbers and central limit theorem is very important in probability theory theorem,and it is not only the contact key of Probability theory and mathematical statistics,but also an indispensable part of life. Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers and central limit theorem.Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers,and have obtained the astringent using the law of large numbers and central limiting theorems.But here has no many results in practical life and applicable scope.Here I introduce several kinds of laws of large numbers and central limit theorems,then this paper enumerates some different applicants in economic life,mathematics and information theory and so on.It makes theory concretely,and considers some concrete mathematical model,and so makes mathematical theory reality,thus we can have deeper understanding on the law of large numbers and the central limiting theorem.
Key words: The law of large numbers,Central limit theorem,Expectation, Variance, Application
2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）
１ 大数定律的应用
1.1 引言
生产、生活及科学实验中的风险事故都具有不确定性，或者称为随机性.但是，任何事
情的发生、发展都具有一定的客观规律.如果各种条件都能预知,则事物发生的结果也能予以
正确地测定，此时虽然风险事故仍然存在，损失仍然会发生，但是，随机性将因此消失.如
果有大量的事例可供考察研究，则这些未知的、不确定的力量将有趋于平衡的自然倾向，那
些在个别事例中存在的随机风险将在大数中消失，这种结论就是概率论中的大数定律.它的
结论也可叙述为：大量的随机现象由于偶然性相互抵消而呈现出某种必然的数量规律.
1.2 预备知识
1.2.1 相关定义
在介绍大数定律之前,先介绍几个相关定义：
定义1 设),2,1( =n n ζ为概率空间),,(P F Ω上定义的随机变量序列（简称随即序列）,
若存在随即变数ξ使对任意0＞ε，恒有：{}0lim =≥-∞→εζζn n p 或{}
1lim =≤-∞→εζζn n p ,则称随即序列｛n ξ｝依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是一个常数），并用下面的符号
表示：
)(lim p n n ζζ=∞→或ζζ?→?p n
定义2 设{}n ζ为一随即序列,数学期望)(n E ζ存在,令∑==n
i i n n 1
1ζζ,若 []
)()(lim P o E n n n =-∞→ζζ， 则称随机序列{}n ζ服从大数定律，或者说大数法则成立.
定义 3 设{})(x F n 是分布函数序列，若存在一个非降函数)(x F ,对于它的每一连续点x ,
都有)()(lim x F x F n n =∞
→,)()(x F x F w n ?→?，则称分布函数序列{})(x F n 弱收敛于)(x F . 定义4 设),2,1)(( =n x F n ,)(x F 分别是随机变量),2,1( =n n ζ及ξ的分布函数,若
)()(x F x F w n ?→?,则称{}n ζ依分布收敛于ξ亦记为ζζ?→?L n 且有：
(1)若ζζ?→?p n 则ζζ?→?L
n ；
(2)设c 为常数,则c p n ?→?ζ的充要条件是c L n ?→?ζ.
张永东：大数定律和中心极限定理的应用
1.2.2 切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式：设随机变量X 具有有限数学期望μ和方差2
σ,则对于任意正数ε,如下不等式成立，{}22εσεμ≤≥-X P 或有{}22
1ε
σεμ-≥≤-X P 这个不等式可解释为：对任意给定的正常数ε,可以作出两个区间),(εμ--∞和
),(+∞+εμ，不等式表示,在一次试验中,随机变量ξ的取值落在
),(εμ--∞ ),(+∞+εμ的 概率小于等于22
ε
σ. 切比雪夫（Chebyshev ）不等式的应用：
（1）已知期望和方差,我们就可以利用切比雪夫不等式估计在期望的ε邻域的概率.
（2）已知期望和方差,对确定的概率,利用切比雪夫不等式求出ε,从而得到所需估计区间的
长度.
（3）对n 重伯努利试验,利用切比雪夫不等式可以确定试验次数.
（4）它是推导大数定律和其他定理的依据.
例1：已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数的平均值是7300,均方差是700,利用
切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率.
解：设X 表示每毫升血液中含白细胞个数,则7300=EX ,700)(=X σ则
{}{}{}210073001210073009400
5200≥--=≤-=≤≤X P X P X P 而
{}9
121007002100730022=≤≥-X P 所以
{}9
894005200≥≤≤X P 1.3 几类重要的大数定律的应用
1.3.1 切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用
切比雪夫大数定律：设独立随机变量序列 ,,,,21n X X X 的数学期望
),(),(21X E X E
),(,n X E 与方差 ),(,),(),(21n X D X D X D 都存在,并且方差是一致有上界的,即
存在某一常数K ,使得 ,,,2,1,)(n i K X D i =＜,则对于任意的正数ε,有
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1))(11(lim 1
1=-∑∑==∞→ε＜n
i i n i i n X E n X n P . 推论1：设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立,且它们具有相同的分布及有限的数学
期望和方差：),2,1(,2 ===i Dx a EX i i σ,则对任意给定的正数ε,有
1)1(lim =-∑∞→ε＜a X n
P i n .【1】 此推论表明：n 个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量,当n 很大时,它们的
算术平均值几乎是一常数,这个常数就是它们的数学期望.
例2：使用某仪器测量已知量a ,设n 次独立得到的测量值为 ,,,,21n X X X .如果仪器
无系统误差,问n 充分大时,是否可以用∑=-=n i n
a X n S 122)(1作为仪器误差的方差近似值？ 分析：用2σ表示仪器误差的方差真值.如果0＞ε?,恒有1)(lim 2
2=-∞
→εσ＜n n S P ,则n 充分大时2
n S 就可以看作是2σ的近似值. 解：依题意,可以将观察结果 ,,,,21n X X X 看作是相互独立具有相同分布的随机变量.
则),2,1()(,)(2n i X D X E i i ===σμ,仪器第i 次测量误差i X a -的数学期望
2)(,)(σμ=-=-i i X D a a X E
设2)(a X Y i i -=亦是相互独立的具有相同分布随机变量,在仪器无系统误差时有
a X E i =)(,即a =μ
[][]
n i X D X E a X E Y E i i i i ,,2,1,)()()()(222 ===-=-=σμ
由切比雪夫大数定律,0ε?＞,有 1)1(lim 21
=-∑=∞→εσ＜n
i i n Y n P , 即0＞ε?,有
1))(1(lim 21
2=--∑=∞→εσ＜n
i i n a X n P 从而确定当∞→n 时,随机变量∑=-n i i a X n 1
2)(1依概率收敛于2σ,即当n 充分大时, 可以用∑=-=n i i n
a X n S 122)(1作为仪器误差的方差近似值.
张永东：大数定律和中心极限定理的应用
1.3.2 伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用
伯努利大数定律（频率的稳定性）：设n μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数,p 是事件A
在每次试验中发生的概率,则对于任意正数ε,恒有
0lim =??????≥-∞→εμp n n n 或1lim =?
?????≤-∞→εμp n n n 【2】 表明：随着n 的增大,事件A 发生的频率n n μ与其概率p 的偏差p n
n -μ大于预先给定的精度ε的可能性愈来愈小,小到可以忽略不计.这就是频率稳定于概率的含义,或者说频率
依概率收敛于概率.这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性,因此,在实际应用中,
当试验次数很大时,便可以用时间发生的频率来代替事件的概率.伯努利大数定律提供了用
频率来确定概率的理论依据.我们可通过多次重复一个试验,确定事件A 在每次试验中出现的概率为)(n A P P n
=≈μ.
譬如,抛一枚硬币出现正面的概率p=0.5.若把这枚硬币连抛10次,则因为n 较小,发生
大偏差的可能性有时会大一些,有时会小一些.若把这枚硬币连抛n 次,当n 很大时,由切比雪
夫不等式知：证明出现的概率与0.5的偏差大于预先给定的精度ε（若取精度ε=0.01）的可能性n P n 410n0.01
0.50.501.05.04
2=?≤??????-＞μμ. 当n=105时,大偏差放松的可能性小于
％5.2401=.当n=106时,大偏差发生的可能性小于％25.0400
1=.可见试验次数愈多,偏差发生的可能性愈小.
1.3.3 辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用
我们已经知道,一个随机变量的方差存在,则其数学期望必定存在；但反之不成立,即一
个随机变量的数学期望存在,则其方差不一定存在.以上几个大数定律均假设随机变量序列
{}n X 的方差存在,以下的辛钦大数定律去掉了这一假设,仅设每个i X 的数学期望存在,但
同时要求{}n X 为独立同分布的随机变量序列.伯努利大数定律仍然是辛钦大数定律的特例.
辛钦大数定律 ：设{}i X 为一独立同分布的随机变量序列,若i X 的数学期望存在,则{}i X 服
从大数定律,即对任意的0＞ε,有
1))(11(lim 1
1=-∑∑==∞→ε＜n
i i n i i n X E n X n P 成立.
辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望)(X E 的近似值的方法.设想对随机变量X 独立
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重复地观察n 次,第k 次观察值为k X ,则n X X X ,,,21 应该是相互独立的,且它们的分布
应该与X 的分布相同.所以,在)(X E 存在的条件下,按照辛钦大数定律,当n 足够大时,可以把平均观察值∑=n
i i X n 1
1作为)(X E 的近似值.这样做法的一个优点是我们可以不必去管X 的分布究竟是怎样的,我们的目的只是寻找数学期望.
事实上,用观察值的平均去作为随机变量的均值在实际生活中是常用的方法.譬如,用观
察到的某地区5000个人的平均寿命作为该地区的人均寿命的近似值是合适的,这样做法的
依据就是辛钦大数定律.
概率论借助于数学分析,可以较好地描述、处理、解决随即现象的有关理论和应用问题.
反之,用概率方法来解决数学分析中的一些问题,也是概率论的重要研究方向之一[3].数学分
析中的有些问题,用数学分析的方法很难解决,但如果巧用概率论的方法,则变得比较容易处
理了.
再比如,许多极限的运算运数学分析的方法会很麻烦,但是运用概率论中相关的知识或
许会达到事半功倍的效果.
例3：假设?
?????
≤≤≤++=1,,0,2:),,,(212222121n n n n x x x n x x x x x x G ,求其极限??n G n dx dx 1.
解 ：假设随机变量),2,1( =i i ξ在[0,1]上有均匀分布,而且相互独立,有
3
1,212==i i E D ζζ 易见{}?
?????≤++=∈=??2),,,(22221211n P G P dx dx n n n G n n ζζζζζζ ??????≤-++=??????≤++=61)(121)(122222122221i n n E n
P n P ζζζζζζζ ??????≤-=∑=61121
2i n i i E n P ζζ 由n ζζζ,,,21 独立同分布,可见2
2221,,,n ζζζ 独立同分布.根据辛钦大数定律知
张永东：大数定律和中心极限定理的应用
1)6
11(lim 212=-∑=∞→＜i n i i n E n P ζζ 从而
1lim 1=??∞→n G n n dx dx
1.4 大数定律的意义
概率论与数理统计是研究随即现象的统计规律的科学，而随机现象的统计规律性只有在
相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.大数定律是概率论中的重要内容,其目的
是考察随机序列的稳定性.从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的概率具有稳定性，
即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些
随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说，无论个别随机个
体以及它们在随机试验过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征
无关，且不再是随机的.深入考虑后,大数定律就是要研究在什么条件下具有稳定性的问题，
同时大数定律是保险财政稳定性重要的理论基础，大数定律在概率论的所有部分中都有着应
用.
除此之外,许多学者利用概率论思想研究了大数定律在其他相关领域的应用.例如统计
方面的应用,在信息论中的应用,在分析,数论等方面的应用.
2 中心极限定理的应用
2.1 前言 大数定律讨论的是多个随机变量的平均∑=n
i i X n 1
1的渐近性质,但没有涉及到随机变量的分布的问题.而概率论与数理统计中,正态分布是一种最常见而又最重要的分布.在实际应用
中,有很多随机变量都服从正态分布.在实际应用中,有很多随机变量都服从正态分布,即使
原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量,它们的和分布也近似服从正态分布,自然要
提出这样的问题：为什么正态分布如此广泛地存在,从而在概率论中占有如此重要的地位？
应如何解释大量随机现象的这一客观规律性呢？事实上,这正是客观实际的反映,中心极限
定理就是概率论中论证随机变量和的极限分布为正态分布的定理总称.概率论中有关论证独
立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理.
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2.2 几类重要的中心极限定理的应用
2.2.1 林德伯格定理及其在保险方面的应用
林德伯格定理：设独立随机变量 n X X X ,,,21满足林德伯格条件，对于任意的正数ε,有∑?=-∞→=-n i s x i i n n n i dx x f x S 1220)()(1lim εμμ＞.
其中)(x f i 是随机变量i X 的概率密度,则当∞→n 时,我们有
dt e z Z P z t n n ?∞--∞→=≤2221)(lim π
即
dt e z s X P z t n n i i i n ?∑∞--=∞→=≤-21
221))((lim πμ
其中z 是任何实数.
林德伯格定理可以解释如下：假如被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的和,
其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用,则可以认为这个随机变量实际上是服从正态
分布的.
例如,进行观测时,不可避免地有许多引起观测误差的随机因素影响着我们的观测结果,
其中有些误差是由测量仪器的情况引起的,这些情况可以在温室、大气压力或其他因素的影
响之下改变着；有些误差是属于观测站个人的误差,这些误差大多数是由于视觉或听觉引起
的等等.这些因素中的每一个都可能使观测的结果产生很小的误差,然而由于所有这些误差
共同影响着观测结果,于是我们得到的是一个“总的误差”.所以,实际观测的到的误差可以
看作是一个随机变量,它是很多数值微小的独立随机变量的总和,按林德伯格定理,这个随机
变量应该服从正态分布.此外,还可以举出很多类似的例子,这里具体举出一个例子[4]
.
例4：某保险公司有2500个人参加保险,每人每年付1200元保险费,在一年内一个人死亡的
概率为0.002,死亡时某家属可向保险公司领得20万元.
问：(1)保险公司亏本的概率多大？
(2)保险公司一年的利润不少于100万元,200万元的概率各位多大？
解：（1）设X 为一年内死亡的人数,则X ～B(2500,0.002),5=np ,99.4=npq P(亏本)=)15(1)15()30020(≤-==X P X P X P ＞
＞ 00007.099993.01)48.4(1)99.45
15(1=-=Φ-=-Φ-=
保险公司亏本的概率为0.00007,几乎为零.
（2） P(利润100≥))10020300(≥-=X P
张永东：大数定律和中心极限定理的应用
98.0)99.45
10()10(=-Φ≈≤=X P
P(利润200≥))20020300(≥-=X P
5.0)99.45
15()5(=-Φ≈≤=X P
以上结果说明保险公司几乎不可能亏本,不过要记住,关键之处是对死亡率估计必须正
确,如果所估计死亡率比实际低,甚至低得多,那么情况就会不同.
2.2.2 列维定理及其在极限求解方面的应用
列维定理：设随机变量n X X X ,,,21 相互独立,服从同一分布,且有有限的数学期望
μ
和方差2σ,则随机变量σ
μn 1n X Y n i i -=∑=的分布函数)(x F n 满足如下极限式
dt e x n n X P x F x
t n i i n n n ?∑∞--=∞→∞→=≤-=21
221))((lim )(lim πσμ,
其中x 是任何实数.
定理的应用：对于独立的随机变量序列{}n X ,不管),,2,1(n i X i =服从什么分布,只
要他们是分布,且有有限的数学期望和方差,那么,当n 充分大时,这些随机变量之和∑=n i i
X
1近似地服从正态分布),(2
σμn n N .
大数定律和中心极限定理是概率论中的重要理论,是分析中的极限理论在概率论中的综
合运用,同时极限定理中的一些结果也为分析中的许多极限问题提供了有力工具[5]. 例5：求极限n n
k k
n e k n -=∞→∑0!lim 解 引入随机变量)(:!
n P e k n X n k
k -=（参数为n 的泊松分布）, ,2,1=k ,且{}k X 相互独立,由泊松分布的再生性知, )(:1n P X n k k ∑=,所以P ｛n X n k k ≤∑=1｝=n n
k k
e k n -=∑0!,而
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E （
∑=n k k X 1）=D ｛∑=n k k X 1｝=n,P ｛∑=n k k X 1≤n ｝=P ｛n n n n n X n k k -≤-∑=1｝
即： n n k k
e k n -=∑0!=P ｛n n X n
k k -∑=10≤｝ 令n ∞→,由中心极限定理可知：
n n k k
n e k n -=∞→∑0!lim =∞→n lim P ｛n n X n
k k -∑=1
0≤｝=)0(Φ=21 2.2.3 棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：设在独立试验序列中,事件A 在各次试验中发生的概
率为)10(＜
＜p p ,随机变量n Y 表示事件A 在n 次试验中发生的次数,则有 dt e z p np np Y P z t n n ?∞--∞→=??????????≤--22
21)1(lim π, 其中z 是任何实数.
棣莫弗-拉普拉斯定理是概率论历史上的第一个中心极限定理,它是专门针对二项分布的,因
此称为“二项分布的正态近似”.在之前概率论的学习中有“二项分布的泊松近似”，两者
相比,一般在p 较小的时候,用泊松分布近似较好,而在5＞np 和5)1(＞p n -时,用正态分布
近似较好.
二项分布的极限分布是正态分布，即如果),(~p n B X 则
)()(e 21)1(22
a b dt b p np np a P b a t Φ-Φ=≈??
????????≤--≤?-πη 一般地,如果),(~p n B X ,则 {}))1(())1(()1()1()1(p np np a p np np b p np np b p np np X p np np a P b X a P --Φ---Φ≈??
????????--≤--≤--=≤≤
说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法.
张永东：大数定律和中心极限定理的应用
在给出棣莫弗-拉普拉斯定理应用之前,先说明两点：
(1) 因为二项分布是离散分布,而正态分布是连续分布,所以用正态分布作为二项分布
的近似计算中,作为修正可以提高精度.若21k k ＜均为整数,一般先作如下修正后再用正态
近似)5.05.0()(121+-=≤≤k k P k k P n n ＜＜μμ.
(2) 若记)(y Φ=β,则由棣莫弗—拉普拉斯极限定理给出的近似式
β=Φ≈≤*)()(y y Y P n ，
可用来解决三类计算问题：（1）已知y n ,求β；（2）已知β,n 求y ;（3）已知β
,y 求n .
以下我们就分这三类情况给出一些具体的例子.
① 给定y n ,，求β.
例6：一复杂系统由100个相互独立工作的部件组成,每个不见正常工作的概率为0.9.一直
真个系统中至少有85个不见正常工作,系统工作才正常.试求系统正常工作的概率.
解：记n =100,n Y 为100个部件中正常工作的部件数,则
n Y ～b(100,0.9)；90)(=n Y E ；9)1()(=-=p np Y D n
所求概率为
966.0)83.1()3
5.5(1)3905.085(
1)85(=Φ=-Φ-=--Φ-≈≥n Y P ② 已知β,n ，求y .
例7：某车间有同型号的机床200台,在一小时内每台机床有70％的时间是工作.假定各机床
工作是相互独立的,工作时每台机床要消耗电能15kW.问至少要多少电能,才可以有95％的
可能性保证此车间正常生产.
解： 记n =200,n Y 为200台机床中同时工作的机床数,
则：n Y ～b(200,0.7),42)(,140)(==n n Y D Y E . 因为n Y 台机床同时工作需消耗15n Y （kW ）电能,所以设供电数为y (kW),则正常生产为
{}y Y n ≤15,由题设{}95.015≥≤y Y P n ,其中
{}95.0421405.01515≥???
? ??-+Φ≈≤y y Y P n 查正态分布表得
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645.142140
5.015≥－＋y
从中解得2252≥y （kW ）,即此车间每小时至少需要2252（kW ）电能,才有95％的可能
性保证此车间正常生产.
③ 已知β,y ，求n .
例8：某调查公司受委托,调查某电视节目在S 市的收视率p ,调查公司将所有调查对象中收
看此节目的频率作为p 的估计∧
p .现在要保证有90％的把握,使得调查所得收视率 ∧
p 与真实收视率p 之间的差异不大于5％.问至少要调查多少对象？
解： 设共调查n 个对象,记 i X =0,当第i 个调查对象收看此电视节目；
i X =1,当第i 个调查对象不看此电视节目.
则i X 独立同分布,且P (i X =1)=p ,P (i X =0)=p -1,n i ,,2,1 =
又记n 个被调查对象中,收看此电视节目的人数为n Y ,则有
),(~1p n b X Y n
i i n ∑==
由大数定律,当n 很大时,频率
n
Y n 与概率p 很接近,即用频率作为p 的估计是合适的. 根据题意有 90.01))
1(05.0(2)05.01(1≥--Φ≈-∑=p p n p X n P n i i ＜, 所以
95.0))
1(05
.0(≥-Φp p n , 查正态分布表得 645.1)
1(05
.0≥-p p n , 从中解得： n ≥p(1-p)2
2
05.0645.1=p(1-p)×1082.41 又因为25.0)1(≤-p p ,所以6.270≥n ,即至少调查271个对象. 例9：某单位有200台电话分机,每台有5％的时间要使用外线通话,假定每台分机是否使用
外线是相互独立的,问该单位总机要安装多少条外线,才能以90％以上的概率保证分机用外
线时不等待？
解 ：设有X 部分机同时使用外线,则有),(~p n B X ,
其中200=n ,05.0=p ,10=np ,08.3)1(=-p np
张永东：大数定律和中心极限定理的应用
设有N 条外线.由题意有{}9.0=≤N X P
由棣莫弗-拉普拉斯定理有
{}??????-Φ=????????--Φ≈??????????--≤--=≤08.310)1()1()1(N p np np N p np np N p np np X P N X P 查表得90.0)28.1(=Φ,故N 应满足条件28.108.310≥-N . 即94.13≥N ,取14=N ,即至少要安装14条外线.
2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用
设{}n X 为独立随即变量序列,若存在0＞δ,满足0)(1lim 122=-∑=++∞→n i I I n
n X E B δδ
μ 则对任意的x ,有dt x X B P n i i i n n ?∑∞=∞→=??????≤-x -2t -12e 21)(1lim πμ
其中i i X E μ=)(,2)(σ=I X D ,22221)(n i n X D B σσσ+++==
例10：一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列.某学生答对第1题的概率为0.99；答对第2题的概率为0.98；一般地,他答对第i 题的概率为1－100i , ,2,1=i .假如该学生回答各题目是相互独立的,并且要正确回答其中60个题目以上（包括60个）才算通过考试.试计算该学生通过考试的可能性多大？
解：设若学生答对第i 题,则1=i X ；若学生答错第i 题,则0=i X .
于是X i 相互独立,且服从不同的二点分布：
1001)1(i p X P i i -
===,1001)0(i p X P i i =-==,99,,2,1 =i . 而我们要求的是??? ??≥∑=60991i i X P ，为使用中心极限定理,我们可以设想从100X 开始的随机变 量都与99X 同分布,且相互独立.下面我们用1=δ来验证随机变量序列{}n X 满足李雅普诺夫条件,因为
+∞→-==∑∑==n
i i i n i i n p p X
Var B 11
)1()( )(+∞→n )1()1()1()(333i i i i i i i i p p p p p p p X E -≤-+-=-,
于是
0)1(1)(1211133→??????-≤-∑∑==n i i i n i i I n p p p X E B （n +∞→）,
即{}n X 满足李雅普诺夫条件,所以可以使用中心极限定理.
又因为 5.49)100
1()(991991991=-
==∑∑∑===i i i i i i p X E ,
2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）
665.16)100
)(1001()(9919912
99
=-==∑∑==i i i i i X D B 所以该学生通过考试的可能性为
???
???????????-≥-=??????≥∑∑==665.165.4960665.165.4960991991i i i i X P X P 005.0)5735
.2(1=Φ-≈ 由此看出：此学生通过考试的可能性很小,大约只有千分之五.
3 大数定律和中心极限定理的比较应用
3.1 大数定律和中心极限定理的比较应用
例11：现有一大批种子,其中良种占
16,今在其中任选6000粒,试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子良种所占的比例与16之差小于1％的概率是多少？ 解：（1）设取出的种子中的良种粒数为X ,则)6
1,6000(~B X 于是 100061 ×6000===np EX 10006565616000)1(?=??=-=p np DX 要估计的规律为{}6010001001616000＜＜-=?
?????-X P X P , 相当于在切比雪夫不等式中取60=ε,于是
{}26016010001001616000DX X P X P -≥-=?
?????-＜＜ 由题意得7685.02315.0136001100065160
12=-=??-=-DX 即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685. （2）由拉普拉斯中心极限定理,对于二项分布)61
,6000(B 可用正态分布
)10065,1000(?N 近似,于是所求概率为 {})65 10001000940()65 100010001060(10609401001616000?-Φ-?-Φ≈=??????-＜＜＜X P X P 9625.01)0785
.2(2≈-Φ≈ 即用中心极限定理估计此概率不小于0.9625.
张永东：大数定律和中心极限定理的应用
从本例看出：用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685,而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625.从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是较低的.但由于它的要求比较低,只要知道X的期望和方差,因而在理论上有许多运用.
当然，两者的比较还有在许多方面的应用，这里就不做详细的介绍了，只起到一个引导的作用.
结论
随着社会的飞速发展,市场竞争日趋激烈,决策者必须综合考察以往的信息及现状从而作出综合判断,决策概率分析这门学科越来越显示其重要性.利用数学方法,定量地对医学问题进行相关分析,使其结论具有可信度,更有利于促进对病人的对症施治等.本文详细介绍了大数定律和中心极限定理及其在生活各方面的应用.通过这些详细的讲述,可以看到这两个概率公式的应用是多方面的.灵活使用这两个概率公式会给我们的解题带来很大方便,而这两个概率定理的应用范围十分广泛,成为我们解决更复杂问题的有效工具.
本次毕业论文的撰写,使我扩大了知识范围,锻炼了观察和思维能力,进一步提高了动手和实践能力.理论联系实际,使毕业论文中所应用的理论知识有了更可靠的依据.但由于研究周期较短,本研究还有很多不足之处,本文只是举了几个例子来说明它们的应用,事实上它们的应用远不止于此,还可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题.另外还有什么样的问题应该用大数定律解决呢？什么样的问题应该用中心极限定理？什么样的问题要综合两个定理才能够解决？本文都没有得出明确的方法和分类,这些都是今后有待进一步深入研究的问题.总之这两大定理的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率,有助于把握随机事件间的相互影响关系,为生产实践提供更有价值的决策信息,成为我们解决问题的有效工具.
2014届数学与应用数学专业毕业设计（论文）
致谢
大学四年，生活其实很简单，只是一些读书、写字、考试和娱乐的周而复始.如果把这种单调的生活看作一场场的巡回演出，那么我只是一个安静的演员，无论台下有多少观众，即使是只说给自己听，在他谢幕时也总要感激一些人，是那些人帮助他走上舞台，成功或者不那么成功地“演出”.
感谢我的导师，陈飞翔老师.我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师.陈老师为人随和，治学严谨细心，在闲聊中他总是能像知心朋友一样鼓励你.陈老师工作繁忙，还要带我们组的毕业论文设计.在我写毕业论文的每个阶段，陈老师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从论文目录到一遍遍地指出初稿中的具体问题，陈老师在百忙之中多次审阅，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，在此我表示衷心感谢.当然也要感谢曾经教育和帮助过我的所有老师，我的点滴成就都来自你们，感谢四年来对我的栽培和教育.
感谢我的室友，同窗好友，整个毕业论文的写作期间和我密切合作的同学，和曾经在各个方面给予我帮助的伙伴们，友谊情深，勿需多言.
最后，我要感谢，感谢培育我的重庆三峡学院，学校浓厚的学术气氛，舒适的学习环境我将终身难忘！
再次感谢我的家人、老师和那些永远也不能忘记的朋友，你们的支持与情感，是我永远的财富.
张永东：大数定律和中心极限定理的应用
参考文献
[1]沈恒范编著．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社,2010：111-115.
[2]茆诗松,程依明等编著．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社,2009：133-154.
[3]李少辅等．概率论与数理统计[M]．河南大学出版社,1996：88-99.
[4]谢兴武．李宏伟主编,概率统计释难解疑[M]．科学出版社,2007：98-109.
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[6]张从军，刘亦农，肖丽华编著．概率论与数理统计[M],复旦大学出版社,2006：110-120.
[7]刘次华．概率论与数理统计[M]．华中科技大学出版社,2009：115-125.
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[9]陈萍,李文等编．概率与统计[M]．科学出版社，2008：99-115.
[10]封希媛.大数定律与中心极限定理在实际中的应用[J]青海师范大学学报第二版，2006.
青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日
青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日
中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量
Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable
中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则
渤海大学学士学位论文 题目: 中心极限定理与大数定理的关系 系别: 渤海大学 专业: 数学系 班级: 2002级1班 姓名：于丹 指导教师：金铁英 完成日期：2006年5月19日 中心极限定理与大数定理的关系 于丹 （渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国） 摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。 本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。 关键词：大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言
中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日
目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)
中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
-中心极限定理在保险业务中的应用
中心极限定理在保险业务中的应用 学生姓名：许红红指导教师:赵连阔 一、引言 保险是以合同的形式来确定双方经济关系，以投保人缴纳保险费所建立起来的保险基金，对保险合同规定范围内的意外所造成的损失，进行经济补偿或给付的一种经济形式。保险费是根据数理统计原理进行制定，对未来发生的成本进行预测和估算，将预期赔偿金额作为纯保险费来收取的。为避免和减少未来风险因素带来的经济损失，保险公司采取一些方法保证自己的偿付能力。 在实际生活中有诸如交通事故发生率、人口死亡率等许多随机因素影响着保险的预期利润和偿付能力，这些随机因素是相互独立的，且每一个因素的影响在总结果中所起到的作用都是很小的随机变量。这些随机变量都通常近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景条件。 二、中心极限定理 结合上文中心极限定理的产生的客观背景，我们给出中心极限定理的具体内容。我们把描述或验证大量随机变量和的极限是正态分布的那些定理通称为中心极限定理。但其中最常见、最基本且应用最广泛的是两个定理德莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布的正态近似）和林德贝格—勒维中心极限定理（独立同分布下的中心极限定理）。
(一)德莫弗——拉普拉斯定理 设n 重伯努利试验(将事件A 重复进行n 次)中，事件A 在每次试验中出现的概率为 ()01p p <<，记n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，且记* n Y =，其中1.q p =- 则对任意实数y ，有 {}()2 *2lim . t y n n P Y y dt y -→+∞≤==Φ? 这个定理可以说是二项分布的近似正态分布，当n 充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。 即(),A B n p :，其中1q p =-，则当n 很大时，有 ()P a X b ≤≤≈-. (二)林德贝格——勒维中心极限定理 设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()()2,0i i E X Var X μσ==>记 * n Y 则对任意实数y ，有 *lim () n n P Y y ?→+∞≤=22 ()t y y e dt --∞=. 此定理也可称为独立同分布中心极限定理且应用十分广泛，它只假设{}n X 独立同分布、方差存在，且是随便变量的序列，不管原来的分布是什么，只要n 充分大，就可以用正态分布去逼近。于是有：
题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，
大数定律与中心极限定理 应用题 1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差 为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？ 解 设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设 汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随 机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？ 解 设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。
本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制
目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)
大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分
概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者：信计1301班王彩云130350119 摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。
毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日
中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation
第一章 随机事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 ~ ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0)()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-)) 0(,,() ()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=)/()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==
应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。 4、若,3.0)(=A P ===)(, 5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ） 。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B -与A 的关系是 （ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 · 7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明： * 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率； （2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P ； （2）由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛 后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。
中心极限定理及其应用 【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。 【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量 一、概述 概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn 、…的部分和的分布律：当n →∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。 二、定理及应用 1、定理一（林德贝格—勒维定理） 若 ξ 1 ，ξ 2 ，…是一列独立同分布的随机变量，且 E k ξ=a, D k ξ = σ 2 ( σ 2 >0) ,k=1,2,…则有 dt e x n na p x t n k k n ? ∑∞ -- =∞ →= ≤-2 1 221)(lim π σξ 。 当n 充分大时， n na n k k σξ ∑=-1 ~N （0,1），∑=n k k 1 ξ ~N （2 ,σn na ） 2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理） 在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。, 错误！未 找到引用源。为n 次试验中事件A 出现的次数,则dt e x npq np p x t n n ?∞ -- ∞ →= ≤-2 2 21 )( lim π μ 其中1q p =-。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n 充分大时，可
中心极限定理论文：中心极限定理及其简单应用 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极pH定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用中心极限定理有多种形式：1、独立同分布下的中心极限定理定理 1[1]，设x1，X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量，EXi=μDXi=σ2（i=1，2，…，n)则它表明当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的 随机变量之和近似服从正态分布。定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。其中上下同除n，分子中有xi，其在数理统计中可表示样本的均值，可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。而上述定理应用到伯努利实验序列的情形，我们可以得到如下定理。定理2[1](拉普拉斯定理)，在n重伯 努利试验中，事件A在每次实验中出现的概率P(0 2、同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。 例1[3]，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少? 解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1， X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ（1.414）=1-0.9215 =0.0785 例 2[3]，一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n 根据独立同分布的中心极限定理：即最多可以装98箱。例3[2]，报名听 心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。问 该教授讲授两个班的概率是多少? 分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于 100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X=Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。解：可知 E(X)=100，D(X)=100 ∴P（X≥120）=1-φ（）=1-φ（2）=0.023 即教授讲授两个班的概率是0.023。例4[1]，火炮向目标不断地射击，若每
中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此
故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解:
中心极限定理的内涵 和应用
中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ -= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}? ∞ -- ∞ →=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π 21)(lim 2 2 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设 μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ?? ???? =)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 1 1)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??? ???+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 2 2?2 2 t e -