本科生毕业论文（设计）
题目大数定律与中心极限定理的
关系及应用
姓名学号
院系数学科学学院
专业数学与应用数学
指导教师职称
2013年4 月16 日
曲阜师范大学教务处制
目录
摘要 (3)
关键词 (3)
Abstract (3)
Key words (3)
引言 (3)
1 大数定律与中心极限定理的关系 (4)
1.1预备知识 (4)
1.1.1大数定律 (4)
1.1.2中心极限定理 (5)
1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6)
1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7)
1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8)
1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9)
2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10)
2.1 在误差分析中的应用 (10)
2.2 在数学分析中的应用 (11)
2.3 在近似计算中的应用 (13)
2.4 在保险业中的应用 (14)
2.5 在企业管理方面的应用 (15)
结论 (16)
致谢 (16)
参考文献 (17)
大数定律与中心极限定理的
关系及应用
摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。
关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用
Relationship and Applications between
the Law of Large Number and Central Limit Theorem
Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei
Tutor Liu Li
Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value.
Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。
而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分
大数定律和中心极限定理作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对两者之间的关系和应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对这两类定理的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中。下面文中就通过对大数定律和中心极限定理的讨论,给出了两者之间的关系,归结出一般性结论。最后列举了一些能用大数定律和中心极限定理来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明两者在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对这两类定理的理解。
1 大数定律与中心极限定理的关系
1.1 预备知识
1.1.1 大数定律
大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性。人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，无论个别测量值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题。
阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律。 一般的大数定律都涉及一个随机变量序列),2,1}({ =n n ξ为此我们给出如下定义：
定义1：设),2,1}({ =n n ξ为概率空间},,{P F Ω（其中:Ω样本空间，:F 事件域，P ：概率）上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变量ξ,使对任意的ε＞0恒有0}{lim =≥-∞→εξξn n P ，或等价地有1}{lim =<-∞
→εξξn n P ，则称随机序列}{n ξ依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以使一个常数），并用下面
的符号表示： ξξ=∞
→n n lim )(P 或ξξ?→?P n . 定义2：设}{n ξ为一随机序列，数学期望)(n E ξ存在，令∑==n
i i n n 1
1ξξ，若0][lim =∞
→）（－n n n E ξξ )(P ,则称随机序列}{n ξ服从大数定律，或说大数法则成立。 切比雪夫大数定律：设随机序列}{n ξ为相互独立的随机序列，若n n a E =)(ξ,∞<≤=c D n n 2
)(σξ，则}{n ξ服从大数定律。
马尔可夫定理：设随机序列}{n ξ满足∞<≥?)(,1k E k ξ，∞<∑=)(1
n k k D ξ且
0)(1lim 1=∑=∞→n k k n D n ξ ，那么}{n ξ服从大数定律。 格涅文科定理：设随机序列}{n ξ相互独立，则对0>?ε，
1})(1{lim 1=<-∑=∞→εξξn
k k k n E n P 的充要条件是∑=∞→=-+-n k k
k k k n E n E E 12220})()({lim ξξξξ. 1.1.2 中心极限定理
自从高斯指出测量误差服从正态分布后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见，例如炮弹的弹落点，人的身高、体重等都服从正态分布。观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用微小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布。这种现象就是中心极限定理的客观背景。
中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题，其结论表明： 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值，则它的分布就近似服从正态分布。
为了方便后文的叙述，我们给出如下定义：
定义1：依分布收敛：设),2,1)(( =n x F n ,)(x F 分别为随机变量}{n ξ),2,1( =n 以及ξ的分布函数，若对于)(x F 的任一连续点x 有)()(lim x F x F n n =∞
→，则称随机序列}{n ξ依分布收敛于ξ，并称)(x F 为{)(x F n }的极限分布函数。
如果对于分布函数列)}({x F n 存在一单调不降函数)(x F ，使在)(x F 的每一连续点上)()(lim x F x F n n =∞→，则称)}({x F n 弱收敛于)(x F ，并记为 )()(lim x F x F n n =∞
→ ）（W 或)()(x F x F W n ?→?.
定义2：随即序列}{n ξ服从中心极限定理：设}{n ξ),2,1( =n 为相互独立随机变量序列，有有限的数学期望和方差:k k a E =)(ξ ,2)(k k D σξ= ),2,1( =k 令∑==n k k n D B 12
)(ξ,∑=-=n k n k k n B a 1
ξη ),2,1( =n 若对于R z ∈一致地有 dy e z P z y n n ?∞--∞→=<22121}{lim πη ，则称}{n ξ服从中心极限定理。
列维-林德伯格定理：设}{n ξ),2,1( =n 为相互独立同分布的随机序列，且a E k =）ξ(,∞<=2)(σξk D )0(2>σ),2,1( =k ，则{ξn }服从中心极限定理。
费勒定理：设}{n ξ),2,1( =n 为相互独立的随机序列，若?常数n M ，使 n k n k M ≤≤≤ξ1max ，且0lim =∞→n
n n B M ，则}{n ξ服从中心极限定理。 1.2 大数定律与中心极限定理的关系
大数定律和中心极限定理统称为极限定理，两者都深刻地揭示了大量随机现象的内在规律性。大数定律讨论的是关于独立随机变量序列的平均结果的极限，给出了取平均值的理论依据；而中心极限定理则告诉我们大量独立随机变量之和的极限分布为正态分布。
由以上知识可知：当随机变量 ,,,,21n ξξξ独立同分布，且有大于0的有穷方差时，两定理均成立：
大数定律: 1})(1{lim 1
=≤-∑=∞→εξξn
k k k n E n P . 中心极限定理：)(21
}{lim 2
211x dt t x n nE P x n k k k n e Φ==≤-?∑∞--=∞→πσξξ. 那么，当随机变量 ,,,,21n ξξξ不是同分布的情形，两类极限定理之间又有什么关系呢？服从大数定理的是否服从中心极限定理？反之又如何？是否有两者都服从或都不服从的随机序列？下面我们通过几个例子来研究一下这个问题。
1.2.1 服从大数定律，但不服从中心极限定理的例子
例：设随机变量}{k ξ的分布定义如下：
2k )1(21}{}{+=
-===k k P k P k ξξ,2)1(11}0{+-==k P k ξ 下面证明}{k ξ服从大数定律，但不服从中心极限定理。
证明：(1) 01==∑=n
k k k k P E ξξ, 22
12
)1()(+=-=∑=k k P E D n k k k k k ξξξ, ∴∑∑==+==n
k n k k n k k D B 12212)1(ξ, 011121222→=<
=∑=n
n n D n B n n k k n ξ，∞→n . 由马尔可夫定理可知}{k ξ服从大数定律。 (2)
∏∏∏∑=∞=∞==>=+-
==≥=======n 1k 12
1n 21n
1k 021))1(11(}0{}0{ }
0,0,0,{0}{k k k k k k P P P P ξξξξξξ 若}{k ξ服从中心极限定理，则取0,021> dt e x B x P x x t n k k n ?∑-==<<2122121121}1{π ξ, 而当21,x x 充分靠近0时, 2 121212 21 例：设}{k ξ是相互独立的随机变量序列, }{k ξ的分布定义如下： ),2,1(,21}{,21}{ ==-== =k k P k P k k λλξξ,其中12 1≤≤λ,下面证明}{k ξ服从中心极限定理，但不服从大数定律。 证明：（1）),2,1(,02 ===k k D E k k λξξ, ∑∑====n k n k k n k D B 1212 λξ, 12)1(lim lim 2211212212+=--+=+++∞→+∞→λλλλn n n n n B B n n B n , 当∞→n 时 ,1 2122+=+λλn B n ,注意到 λξk k =, λλξn k n k k n k ≤=∴≤≤≤≤11max max ,且012lim lim 12=+=+∞→∞→λλλλ n n B n n n n . 由费勒定理知}{k ξ服从中心极限定理。 (2) }{k ξ是相互独立的随机变量序列, 0=k E ξ 且 λλξξ222222)(k n k n E k k +=+,注意到121≤≤λ, ∑∑∑===+= =+≥+∴n k n k n k n n k n n n k k n k 1112222224121λλ, 可见 0)(])()([1112222222222→/+=+=-+-∑∑∑===n k n k n k n k k k k k k k n k n E E n E E λξξξξξξ. ∴由格涅文科定理可知}{k ξ不服从大数定律。 1.2.3 大数定律与中心极限定理均不服从的例子 例:设随机变量}{k ξ的分布定义如下： 2 1}2{k =±=k P ξ）（ ,2,1=k ,并设随机变量序列}{k ξ相互独立。下面证明}{k ξ不服从大数定律，也不服从中心极限理。 证明:(1)4 1}2{}2{}2,2{n 11-n n 1-n 1-n = =====-n n n P P P ξξξξ, 当n n n n 2,211==--ξξ时,有 221121--+++-+≥+++n n n n ξξξξξξξξ n n n n 2)222(22221>+++-+≥-- ）（, ∴当n 充分大时，有12121≥≥+++n n n n ξξξ . 事件)2,2(11n n n n ==--ξξ ? 事件)21(1n n n n i i ≥∑=ξ， 于是，当n 充分大时，对1=ε， 04 1}2,2{}1{111→/===≥≥--=∑n n n n n i i P n P ξξεξ. }{k ξ∴不服从大数定律。 （2） 0=k E ξ,k k D 22=ξ, ∴)12(3 442211212 -====∑∑∑===n n k k n k k n k k n D B ξ, 故当n 充分大时，有 n n B 22 2>, 但1212)12(2222+=<-?=+++≤∑n n n n k k ξ, ∴当n 充分大时，有21 12<∑=n k k n B ξ, 故1)1()2(1}21{lim 12<Φ-Φ≠=<∑=∞→n k k n n B P ξ. }{k ξ∴不服从中心极限定理。 从上面地三个例子可以看出，对于}{k ξ不是同分布的情形，大数定律与中心极限定理之间的关系是不确定的。大数定律成立的随机变量序列可以不服从中心极限定理，中心极限定理成立的随机变量序列也可以不服从大数定理，甚至对有些随机变量序列来讲，大数定律与中心极限定理可以都不满足。 因此，从以上讨论可以看出：当随机变量独立同分布且有大于0的有穷方差时，两定理均成立；当随机变量不是同分布的情形，大数定律与中心极限定理之间的关系是不确定的。 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 2.1 在误差分析中的应用 根据大数定律,对于随机误差n δδδ ,,21,应有011 ?→?∑=P n i i n δ 这说明当测量次数较多时, 实测数据的平均值∑=+n i i n a 1 1δ和预测真值a 的差值能以很大概率趋于0,因此,用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的。 例如：某种仪器测量已知量a 时,设n 次独立得到的测量数据为n x x x ,,,21 ,如果仪器无系统误差,问:当n 充分大时, 是否可取作为仪器测量误差的方差的近似值? 解:把),,2,1(n i x i =视作n 个独立同分布的随机变量的观察值,则μ=)(i x E ,),,2,1(,)(2n i x D i ==σ.仪器第i 次测量的误差a x i -的数学期望a a x E i -=-μ)(,方差2)(σ=-a x D i .设2)(a x y i i -=，n i ,2,1=，则i y 也相互独立服从同一分布。 在仪器无系统误差时0)(=-a x E i ,即有a =μ, ),,2,1()(])[(])[()(222n i x D Ex x E a x E y E i i i i i ===-=-=σ, 由切比雪夫大数定律,可得:1}1{lim 1 2=<-∑=∞→εσn i i n y n P , 即1})(1{lim 1 22=<--∑=∞→εσn i i n a x n P . 从而确定,当n →∞时,随机变量∑=-n i i a x n 1 2)(1依概率收敛于2σ,即当n 充分大时可以取∑=-n i i a x n 1 2)(1作为仪器测量误差的方差。 2.2 在数学分析中的应用 定积分是现行新教材加入的新内容，它有其明显的几何意义所在，是新教材中的一大亮点。一般的定积分计算问题都可以借助找原函数或者利用其几何意义来求解。但是，有些复杂的定积分其几何意义不明显且被积函数的原函数不易求得。这时如果与概率论中的大数定律加以联系就会起到事半功倍的效果。 例如：计算定积分dx x g J b a ?=)(的近似值。 为了解这种近似计算的依据，先进行如下分析:若令)(x ?为均匀分布的概率密度函数，即?????≤≤-=其他, 0,1)(b x a a b x ?，则?+∞∞--=dx x x g a b J )()(?）（，而)(x g 的数学期望a b J dx x x g x g E -==?+∞∞-)()()]([?，根据大数定律应该对该数学期望进行估计，即a b J g P n i i -?→?∑=1)(ξ，样本：)()(121ξE a b J x g n n n i i -???→?∑=较大时当， 故可用J x g n a b n i i ??→?-∑=估计1 )(1)(. 这种近似计算的具体过程如下：欲计算定积分dx x g J b a ?=)(的近似值，则应先取样本数列}{i x ,求出函数序列)(i x g ，然后在求出∑=-n i i x g n a b 1 )(1)(，∑=-n i i x g n a b 1 )(1)(即为J 的近似估计值。 大数定律在求解无穷级数上也有很大的作用，它为一些定理和固定公式的理论证明提供另一种有趣而且也有用的办法。下面我们就引用一个很著名的问题来展现大数定律在级数中的应用： 伯努利是一位伟大而且著名的数学家，但是他也被一个在现在已经解决的问 题难住了：求自然数倒数平方的级数和]8[： +++++222131211n . 伯努利公开征求这个问题的求解方法。 三十年过后，先是欧拉利用猜度术的方法找出了它的结果，他是第一个找出答案的，但是却不能证明，只能是数据验证，当然，到现在为止，有了很多种证明的方法，其中一种便是利用了大数定律的原理来完成的。 下面用大数定律的办法来求解这个级数的和。 从自然数中有放回任意取出两个数，设他们的最大公因子是n,事件数为ni A ，ni B 表示第i 次取出n 的倍数事件),4,3,2( =i . 根据第一次和第二次从自然数序列中有放回的随机取出两数是n 的倍数的条件下，这两数的最大公因子是n 的条件概率等于从自然数序列随机取出两数互素的概率。于是有)()(21212A P B B A P n n n =. 显然),2,1(2 =n A n 是互不相容的，且有 ∞ ==Ω12n n A ,ni B 与n 是相互独立的， 2211)(),,2,1(,1)(n B B P n n B P n n ni === , 2 1212121212121)()()()()(1)(n A P B B P B B A P A P A P P n n n n n n n n n n ∑∑∞ =∞=∞======Ω , 于是就有21221611 )(π==∑∞=n n A P . 根据伯努利大数定律知道，概率可近似的利用频率来表示，因此在如此多的自然书中，随机的取出两数互素的概率为26π 。于是知所求级数的和为 61312112 222π=+++++ n . 2.3 在近似计算中的应用 虽然中心极限定理反映的是当∞→n 时，相互独立的随机变量序列的和的极限分布是正态分布的问题，但在应用解决实际问题时，只要n 充分大就可以利用定理作近似计算。 例如：设国际石油市场原油的每日价格n X )1(≥n 的变化是均值为0，方差 为100的独立同分布的随机变量；与第n 天的原油价格n Y )1(≥n 有关系式： n n n X Y Y +=-1)1(≥n 。 如果当天的原油价格为120美元，求16天后原油价格在116美元与124美元之间的概率。 解：令0Y 表示当天的原油价格，则有1200=Y ，由于∑=+==++=+=16 10161514161516i i X Y X X Y X Y Y , ()()()01621161=+++=?? ? ??∑=X E X E X E E i i X , ()()()2162116140=+++=?? ? ??∑=X D X D X D X D i i , 所以，由林德贝格—勒维（Lindeberg-Levy ）中心极限定理得 40161161161161∑∑∑∑=====??? ??? ?? ??-i i i i i i i i X X D X E X 近似服从标准正态分布。 于是}124120116{}124116{16 1 16≤+≤=≤≤∑=i i X P Y P }44{161 ≤≤-=∑=i i X P =}404401404{161 ≤≤-∑=i i X P =208.01)1.0(=-Φ. 即16天后原油的价格在116美元与124美元之间的概率为08.0. 因此，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率,在实际问题上广泛运用。 2.4 在保险业中的应用 大数定律和中心极限定理是概率论中两类具有极大意义的重要定理。 大数定律证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作是总体平均值(数学期望)，它是“算术平均值法则”的理论基础；中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似的服从正态分布。中心极限定理指出：如果一个随机变量有众多的随机因素所引起，每个因素在总的变化里起着不大作用，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似的服从正态分布，所以要求随机变量之和落在某个区间上的概率，只要把它标准化，用正态分布作近似计算即可。中心极限定理还及时了离散型随机变量与连续型随机变量的内在联系，即离散型随机变量的极限分布是正态分布。正是这个结论使得正态分布在近似计算和误差分析中占有特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。 中心极限定理对保险业更是具有指导性的意义，一个保险公司的亏盈，是否破产，我们通过学习中心极限定理的知识都可以做到估算和预测。大数定律和中心极限定理是近代保险业赖以建立的基础。下面我们以一道具体的有关保险业的实例来阐述一下大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用和具体应用。 例：某矿区为井下工人展开人身保险，规定每人年初向保险公司交保险金20元，一年保险期内若工人死亡,保险公司向家属赔偿2000元.历史资料显示该矿井下工人的死亡率为0036.0,现此矿区有10000名井下工人参加人身保险,试计算(1)一年内井下工人死亡数不超过30人的概率;(2)保险公司一年获利不少于86000元的概率；（3）保险公司亏本的概率是多少? 解：设ξ表示一年内井下工人的死亡数。则ξ～），（0036.010000B , 保险公司每年的收入为2000002010000=?元，付出ξ2000 元， （1） 由中心极限定理可知, 一年内井下工人死亡数不超过30人的 概率为 159.0)9964 .00036.010*******.0100000()9964.00036.010*******.01000030(}30{≈???-Φ-???-Φ≈≤P ξ（2）要使保险公司一年获利不少于86000元，必须满足 86000200010000 20≥?ξ－,57≤∴ξ由中心极限定理知 99977.09964 .0363609964.036365757≈?Φ?Φ≈≤P ）－（）－－（）（ξ. （3）保险公司亏本的概率为 }100{1}100{}2000002000{≤-=>=>ξξξP P P =}9964 .036361009964.036369964.036360{1?-≤?-≤?--ξP =)0036.1()7358.1(1-Φ+Φ- =19013.0. 由此可见,我们应用大数定律和中心极限定理的知识可以准确算出保险公司的破产几率。如何降低保险公司的风险以及影响保险公司盈亏的因素是我们需要进一步讨论的。 2.5 在企业管理方面的应用 大数定律与中心极限定理在企业管理中也有着广泛的应用，涉及商品订购、电力供应等方面。下面我们通过一个实例来了解一下这方面的应用： 例：设无线电厂生产某型号微机以满足某地区1000个客户的需求，若由以往的统计资料表明，每一用户对该型号微机的年需求量服从3=λ的泊松分布，问该无线电厂一年内应至少生产多少台这种型号的微机，才能以%7.99的把握来满足客户需求？ 解：假设1000个客户对这种微机的年需求量依次为100021,,,ξξξ ,则由题意 可知:)3(~=λξp ,即）（ ,2,1;1000,2,1! 3}{3====P -k i k k e k i ξ, 因为服从泊松分布，所以λξξ==E k k D , 又设1000η为这1000个客户对这种微机的年需求量，则∑==1000 11000i i ξη, 由于n 较大，根据列维中心极限定理可知:1000η近似地服从正态分布 ）（λλn n N ,,即），（30003000N . 再设该无线电厂应安排年生产量为M 台，则M 应满足下式: 977.0}{1000 1≥≤P ∑=M k k ξ, 从而有977.0)3000 3000(}3000300030003000{1000 1≥-Φ≤-≤-P ∑=M M k k ξ, 查)(x Φ表,可得977.0)75.2(=Φ, 故有75.230003000 ≥-M ,∴62.3150≥M ,取3151=M (台）即可, 即应安排年生产计划为3151台微机,才能使满足需求的概率为%7.99. 结论 本文根据有关大数定律与中心极限定理的相关定义、定理，通过举例得到大数定律与中心极限定理之间的关系，即当随机变量独立同分布且有大于0的有穷方差时，两定理均成立；当随机变量不是同分布的情形，大数定律与中心极限定理之间的关系是不确定的。 在两者的应用上，我们给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。从两者在现实生活中的各方面的应用，我们可以看到大数定律与中心极限定理为促进人类社会和谐又好又快发展有着不可估量的价值。 致谢 本论文是在曲阜师范大学大学数学科学学院**老师的悉心指导下完成的。**老师作为一名优秀的、经验丰富的教师，具有丰富的专业知识和指导经验，在整个论文实验和论文写作过程中，对我进行了耐心的指导和帮助，提出严格要求，引导我不断开阔思路，为我答疑解惑，鼓励我大胆创新，使我在这一段宝贵的时光中，既增长了知识、开阔了视野、锻炼了心态，又培养了良好的思考习惯和科研精神。在此，我向我的指导老师表示最诚挚的谢意！ 在论文即将完成之际，我的心情久久无法平静，从开始选题到顺利论文完成，有不知多少可敬的师长、同学、朋友给了我无数的帮助。感谢数学科学学院全体老师给予我丰富的专业知识和各个方面的关心和帮助，感谢小组长的认真负责，感谢合作组员的热心协助。同时也要感谢大学四年曾经帮助过我的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个困难、解明疑惑，直至本文顺利完成，在这里请接受我诚挚的谢意！ 最后，衷心的感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位老师！ 参考文献： [1]邓集贤，杨维权等.概率论与数理统计（上册）[M].3版.北京：高等教育出版社，1996： 294-317. [2]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2008：201-226. [3]于进伟，赵舜仁.大数定律与中心极限定理之关系[J].高等数学研 究,2001,4(1):15-17. [4]彭美云.应用概率统计[M].1版.北京：机械工业出版社,2010：74-84. [5]熊德之，张志军.概率论与数理统计及其应用[M].1版.北京：科学出版社.2005： 87-97. [6]李蕊.浅谈几个著名的大数定律及应用[J].青海大学成教学院.2010,34:64-65. [7]李生彪.中心极限定理在实际中的应用[J].甘肃科技.2008,24(18):72-73. [8]章志敏.一个级数求和的概率算法[J].数学教学，1984，5：37-39. 青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日 青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日 中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量 Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable 中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则 渤海大学学士学位论文 题目: 中心极限定理与大数定理的关系 系别: 渤海大学 专业: 数学系 班级: 2002级1班 姓名：于丹 指导教师：金铁英 完成日期：2006年5月19日 中心极限定理与大数定理的关系 于丹 （渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国） 摘要：中心极限定理是概率与数理统计的一个重要分支，大数定理和中心极限定理都是讨论的随机变量序列的极限问题，它们是概率论中比较深入的理论结果。 本篇论文从研究大数定理开始，然后由大数定理以及收敛性引出了中心极限定理，最后通过对定理在实际应用中的举例和定理的一些反例的研究使我们弄清中心极限定理的内涵与外延，进一步弄清了大数定理与中心极限定理之间的关系。 关键词：大数定理中心极限定理收敛性 The relation of the central limit theorem and large numbers law Yu Dan (Department of Mathematics Bohai University Liaoning jinzhou 121000 China) Abstract：The Central limit theorem is an important branch of probability and mathematical statistic. The large numbers law and the central limit theorem is limit question of random variable sequence .They are the quite thorough theory result in the theory of probability. This paper commences from large numbers law,then the central limit theorem is cited by large numbers law and convergence.Eventually,we can understand connotation and extension of the central limit theorem by its examples and relationship between large numbers law and the central limit theorem . Key words:large numbers law ; the central limit theorem ; convergence. 引言 中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。 大数据技术原理与应用-林子雨版-课后习 题答案 第一章 1.试述信息技术发展史上的3次信息化浪潮及具体内容。 2.试述数据产生方式经历的几个阶段 答：运营式系统阶段，用户原创内容阶段，感知式系统阶段。 3.试述大数据的4个基本特征 答：数据量大、数据类型繁多、处理速度快和价值密度低。 4.试述大数据时代的“数据爆炸”的特性 答：大数据时代的“数据爆炸”的特性是，人类社会产生的数据一致都以每年50%的速度增长，也就是说，每两年增加一倍。 5.数据研究经历了哪4个阶段？ 答：人类自古以来在科学研究上先后历经了实验、理论、计算、和数据四种范式。 6.试述大数据对思维方式的重要影响 答：大数据时代对思维方式的重要影响是三种思维的转变：全样而非抽样，效率而非精确，相关而非因果。 7.大数据决策与传统的基于数据仓库的决策有什么区别 答：数据仓库具备批量和周期性的数据加载以及数据变化的实时探测、传播和加载能力，能结合历史数据和实时数据实现查询分析和自动规则触发，从而提供对战略决策和战术决策。 大数据决策可以面向类型繁多的、非结构化的海量数据进行决策分析。 8.举例说明大数据的基本应用 9.举例说明大数据的关键技术 答：批处理计算，流计算，图计算，查询分析计算 10.大数据产业包含哪些关键技术。 答：IT基础设施层、数据源层、数据管理层、数据分析层、数据平台层、数据应用层。 11.定义并解释以下术语：云计算、物联网 答：云计算：云计算就是实现了通过网络提供可伸缩的、廉价的分布式计算机能力，用户只需要在具备网络接入条件的地方，就可以随时随地获得所需的各种IT资源。 物联网是物物相连的互联网，是互联网的延伸，它利用局部网络或互联网等通信技术把传感器、控制器、机器、人类和物等通过新的方式连在一起，形成人与物、物与物相连，实现信息化和远程管理控制。 大数据技术与应用专业详细解读 大数据技术与应用专业是新兴的“互联网+”专业，大数据技术与应用专业将大数据分析挖掘与处理、移动开发与架构、人软件开发、云计算等前沿技术相结合，并引入企业真实项目演练，依托产学界的雄厚师资，旨在培养适应新形势，具有最新思维和技能的“高层次、实用型、国际化”的复合型大数据专业人才。 专业背景 近几年来，互联网行业发展风起云涌，而移动互联网、电子商务、物联网以及社交媒体的快速发展更促使我们快速进入了大数据时代。截止到目前，人们日常生活中的数据量已经从TB(1024GB=1TB)级别一跃升到PB(1024TB=1PB)、EB(1024PB=1EB)乃至ZB(1024EB=1ZB)级别，数据将逐渐成为重要的生产因素，人们对于海量数据的运用将预示着新一波生产率增长和消费者盈余浪潮的到来。大数据时代，专业的大数据人才必将成为人才市场上的香饽饽。当下，大数据从业人员的两个主要趋势是：1、大数据领域从业人员的薪资将继续增长；2、大数据人才供不应求。 图示说明：2012-2020年全球数据产生量预测 专业发展现状 填补大数据技术与应用专业人才巨大缺口的最有效办法无疑还需要依托众多的高等院校来培养输送，但互联网发展一日千里，大数据技术、手段日新月异，企业所需要的非常接地气的人才培养对于传统以培养学术型、科研型人才为主要使命的高校来说还真有些难度。幸好这个问题已经被全社会关注，政府更是一再提倡产教融合、校企合作来创办新型前沿几 乎以及“互联网+”专业方向，也已经有一些企业大胆开始了这方面的创新步伐。据我了解，慧科教育就是一家最早尝试高校校企合作的企业，其率先联合各大高校最早开设了互联网营销，这也是它们的优势专业，后来慧科教育集团又先后和北京航空航天大学、对外经济贸易大学、贵州大学、华南理工大学、宜春学院、广东开放大学等高校在硕、本、专各个层次开设了大数据专业方向，在课程体系研发、教学授课及实训实习环节均有来自BAT以及各大行业企业一线的技术大拿参与，所培养人才能够很好地满足企业用人需求。 专业示例 笔者在对慧科教育的大数据技术与应用专业做了专门研究，共享一些主要特色给大家参考： 1.培养模式 采用校企联合模式，校企双方（即慧科教育集团和合作校方）发挥各自优势，在最大限度保证院校办学特色及专业课程设置的前提下，植入相应前沿科技及特色人才岗位需求的企业课程。 2.课程体系 笔者对慧科教育的大数据技术与应用做了专门研究，现分享一下慧科专业共建的课程给大家参考。慧科教育集团的专业课程重在培养学生的理论知识和动手实践能力，学生在完成每个学期的理论学习后，至少有两个企业项目实战跟进，让学生在项目中应用各类大数据技术，训练大数据思路和实践步骤，做到理论与实践的充分结合。 大数据专业的课程体系包括专业基础课、专业核心课、大数据架构设计、企业综合实训等四个部分。 【最新整理，下载后即可编辑】 第一章 1.试述信息技术发展史上的3次信息化浪潮及具体内容。 2.试述数据产生方式经历的几个阶段 答：运营式系统阶段，用户原创内容阶段，感知式系统阶段。 3.试述大数据的4个基本特征 答：数据量大、数据类型繁多、处理速度快和价值密度低。 4.试述大数据时代的“数据爆炸”的特性 答：大数据时代的“数据爆炸”的特性是，人类社会产生的数据一致都以每年50%的速度增长，也就是说，每两年增加一倍。 5.数据研究经历了哪4个阶段？ 答：人类自古以来在科学研究上先后历经了实验、理论、计算、和数据四种范式。 6.试述大数据对思维方式的重要影响 答：大数据时代对思维方式的重要影响是三种思维的转变：全样而非抽样，效率而非精确，相关而非因果。 7.大数据决策与传统的基于数据仓库的决策有什么区别 答：数据仓库具备批量和周期性的数据加载以及数据变化的实时探测、传播和加载能力，能结合历史数据和实时数据实现查询分析和自动规则触发，从而提供对战略决策和战术决策。 大数据决策可以面向类型繁多的、非结构化的海量数据进行决策分析。 8.举例说明大数据的基本应用 答： 9.举例说明大数据的关键技术 答：批处理计算，流计算，图计算，查询分析计算 10.大数据产业包含哪些关键技术。 答：IT基础设施层、数据源层、数据管理层、数据分析层、数据平台层、数据应用层。 11.定义并解释以下术语：云计算、物联网 答：云计算：云计算就是实现了通过网络提供可伸缩的、廉价的分布式计算机能力，用户只需要在具备网络接入条件的地方，就可以随时随地获得所需的各种IT资源。 物联网是物物相连的互联网，是互联网的延伸，它利用局部网络或互联网等通信技术把传感器、控制器、机器、人类和物等通过新的方式连在一起，形成人与物、物与物相连，实现信息化和远程管理控制。 12.详细阐述大数据、云计算和物联网三者之间的区别与联系。 重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日 目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18) 大数据技术原理及应用 (总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 大数据技术原理及应用 大数据处理架构—Hadoop简介 Hadoop项目包括了很多子项目，结构如下图 Common 原名：Core，包含HDFS, MapReduce和其他公共项目，从Hadoop 版本后，HDFS和MapReduce分离出去，其余部分内容构成Hadoop Common。Common为其他子项目提供支持的常用工具，主要包括文件系统、RPC(Remote procedure call) 和串行化库。 Avro Avro是用于数据序列化的系统。它提供了丰富的数据结构类型、快速可压缩的二进制数据格式、存储持久性数据的文件集、远程调用RPC的功能和简单的动态语言集成功能。其中，代码生成器既不需要读写文件数据，也不需要使用或实现RPC协议，它只是一个可选的对静态类型语言的实现。Avro系统依赖于模式（Schema），Avro数据的读和写是在模式之下完成的。这样就可以减少写入数据的开销，提高序列化的速度并缩减其大小。 Avro 可以将数据结构或对象转化成便于存储和传输的格式，节约数据存储空间和网络传输带宽，Hadoop 的其他子项目（如HBase和Hive）的客户端和服务端之间的数据传输。 HDFS HDFS：是一个分布式文件系统，为Hadoop项目两大核心之一，是Google file system（GFS）的开源实现。由于HDFS具有高容错性（fault-tolerant）的特点，所以可以设计部署在低廉（low-cost）的硬件上。它可以通过提供高吞吐率（high throughput）来访问应用程序的数据，适合那些有着超大数据集的应 中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。 -中心极限定理在保险业务中的应用 中心极限定理在保险业务中的应用 学生姓名：许红红指导教师:赵连阔 一、引言 保险是以合同的形式来确定双方经济关系，以投保人缴纳保险费所建立起来的保险基金，对保险合同规定范围内的意外所造成的损失，进行经济补偿或给付的一种经济形式。保险费是根据数理统计原理进行制定，对未来发生的成本进行预测和估算，将预期赔偿金额作为纯保险费来收取的。为避免和减少未来风险因素带来的经济损失，保险公司采取一些方法保证自己的偿付能力。 在实际生活中有诸如交通事故发生率、人口死亡率等许多随机因素影响着保险的预期利润和偿付能力，这些随机因素是相互独立的，且每一个因素的影响在总结果中所起到的作用都是很小的随机变量。这些随机变量都通常近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景条件。 二、中心极限定理 结合上文中心极限定理的产生的客观背景，我们给出中心极限定理的具体内容。我们把描述或验证大量随机变量和的极限是正态分布的那些定理通称为中心极限定理。但其中最常见、最基本且应用最广泛的是两个定理德莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布的正态近似）和林德贝格—勒维中心极限定理（独立同分布下的中心极限定理）。 (一)德莫弗——拉普拉斯定理 设n 重伯努利试验(将事件A 重复进行n 次)中，事件A 在每次试验中出现的概率为 ()01p p <<，记n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，且记* n Y =，其中1.q p =- 则对任意实数y ，有 {}()2 *2lim . t y n n P Y y dt y -→+∞≤==Φ? 这个定理可以说是二项分布的近似正态分布，当n 充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。 即(),A B n p :，其中1q p =-，则当n 很大时，有 ()P a X b ≤≤≈-. (二)林德贝格——勒维中心极限定理 设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()()2,0i i E X Var X μσ==>记 * n Y 则对任意实数y ，有 *lim () n n P Y y ?→+∞≤=22 ()t y y e dt --∞=. 此定理也可称为独立同分布中心极限定理且应用十分广泛，它只假设{}n X 独立同分布、方差存在，且是随便变量的序列，不管原来的分布是什么，只要n 充分大，就可以用正态分布去逼近。于是有： 题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。 关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ， 第一章 1.试述信息技术发展史上的3次信息化浪潮及具体内容。 2.试述数据产生方式经历的几个阶段 答：运营式系统阶段，用户原创内容阶段，感知式系统阶段。 3.试述大数据的4个基本特征 答：数据量大、数据类型繁多、处理速度快和价值密度低。 4.试述大数据时代的“数据爆炸”的特性 答：大数据时代的“数据爆炸”的特性是，人类社会产生的数据一致都以每年50%的速度增长，也就是说，每两年增加一倍。 5.数据研究经历了哪4个阶段？ 答：人类自古以来在科学研究上先后历经了实验、理论、计算、和数据四种范式。 6.试述大数据对思维方式的重要影响 答：大数据时代对思维方式的重要影响是三种思维的转变：全样而非抽样，效率而非精确，相关而非因果。 7.大数据决策与传统的基于数据仓库的决策有什么区别 答：数据仓库具备批量和周期性的数据加载以及数据变化的实时探测、传播和加载能力，能结合历史数据和实时数据实现查询分析和自动规则触发，从而提供对战略决策和战术决策。 大数据决策可以面向类型繁多的、非结构化的海量数据进行决策分析。 8.举例说明大数据的基本应用 答： 9.举例说明大数据的关键技术 答：批处理计算，流计算，图计算，查询分析计算 10.大数据产业包含哪些关键技术。 答：IT基础设施层、数据源层、数据管理层、数据分析层、数据平台层、数据应用层。 11.定义并解释以下术语：云计算、物联网 答：云计算：云计算就是实现了通过网络提供可伸缩的、廉价的分布式计算机能力，用户只需要在具备网络接入条件的地方，就可以随时随地获得所需的各种IT资源。 物联网是物物相连的互联网，是互联网的延伸，它利用局部网络或互联网等通信技术把传感器、控制器、机器、人类和物等通过新的方式连在一起，形成人与物、物与物相连，实现信息化和远程管理控制。 12.详细阐述大数据、云计算和物联网三者之间的区别与联系。 大数定律与中心极限定理 应用题 1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差 为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？ 解 设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设 汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随 机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？ 解 设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。 本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制 目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17) 大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分 概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者：信计1301班王彩云130350119 摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日 中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation 第一章 随机事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 ~ ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0)()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-)) 0(,,() ()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=)/()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P == 应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。 4、若,3.0)(=A P ===)(, 5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ） 。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B -与A 的关系是 （ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 · 7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明： * 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率； （2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P ； （2）由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛 后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。中心极限定理及其应用论文
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