2020中考复习——黄金分割专题训练（二）
班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题
1. 已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，使BE =1，过点E 作EF ⊥AD ，
F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点(BE >EC)，则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为( )
A. 1.5
B. 1.6
C. 1.7
D. 1.8
2. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知
这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )
A. 12.36 cm
B. 13.6 cm
C. 32.36 cm
D. 7.64 cm
3. 已知线段AB =1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为( )
A. √5?12
B. 3?√5
2
C. √5?12或3?√52
D. 以上都不对
4. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则下列等式中成立的是( )
A. BC 2=AC ?AB
B. AC 2=2AB ?BC
C. AB 2=AC ?BC
D. AC 2=BC ?AB
5. 我们把宽与长的比值等于黄金比例√5?1
2
的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形
ABCD (AB >BC)的边AB 上取一点E ，使得BE =BC ，连接DE ，则AE
AD
等于( )
A. √2
2B. √5?1
2
C. 3?√5
2
D. √5+1
2
6.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()
A. a=4，b=√5+2
B. a=4，b=√5?2
C. a=2，b=√5+1
D. a=2，b=
√5?1
7.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=1
2
AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A
为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是()
A. BC
AB =√5
5
B. AE
AC
=√5?1
2
C. EC
AC
=3+√5
2
D. AC
AB
=2√5
5
8.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越
给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l
的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度
大约为()
A. 4cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 10cm
二、填空题
9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄
金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB
的长度为10cm，那么AP的长度为______cm．
10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB·BP，那么AP
长为______厘米．
11.已知a?b
a =1
3
，则a
b
的值为;已知点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，若AB=
2，则PB=.
12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在
想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米．
13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主
持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．(结果精确到0.1米)
14.如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点，支撑点C是靠近点B的黄金分
割点，若AB=10cm，则AC≈_____cm.(结果精确到0.1)
15.如图示，在五角星形中，AD=BC，C、D两点都是AB的黄金分割点，且AB=3，
则CD=________．
三、解答题
16.(1)已知a
b =3
5
，求a+b
b
的值；
(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，求PA、PB的长．
17.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上
取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。
(1)求AM，DM的长
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由。
18. 我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BC
AC ，那么称点C 为线段AB
的黄金分割点．类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形
分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S
2
S 1
，那么称直线l 为该图形
的黄金分割线．如图2，在ΔABC 中，∠A =36°
，AB =AC ，∠C 的平分线交AB
于点D ．
(1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点； (2)证明直线CD 是ΔABC 的黄金分割线．
19. 宽与长的比是√5?12
(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学
价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H.请在图中找出所有黄金矩形并说明理由．
20.定义：底与腰的比是√5?1
的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，
2
AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．
(1)证明：AB2=AA1?AC；
(2)探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；(提示：此处不妨设AC=1)
(3)应用：已知AC=，作A1B1//AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2/
/AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3//AB交BC于B3，…，依此规律
操作下去，用含a，n的代数式表示A n?1A n.(n为大于1的整数，直接回答，不必说
明理由)
21.阅读下列材料，并完成相应任务．
古希腊数学家，天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约前400?前347)曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，这个相=0.618033988749?，黄金分割在我们生活中有广泛运用，黄金分割点等的比就是√5?1
2
也可以用折纸的方式得到．
第一步：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，然后展平，再折出线段AE，再展平；
第二步：将纸片沿EM折叠，使EB落到线段EA上，B的对应点为B′，展平；
第三步：沿AN折叠，使AB落在AE上，B′的对应点为B′′，展平，这时B′′就是AB的黄金
分割点．
任务：
(1)试根据以上操作步骤证明B′′就是AB 的黄金分割点； (2)请写出一个生活中应用黄金分割的实际例子．
22. 如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC =√5?12
AB ，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫作线段AB 的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段AB 上另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD 和BD ，若BD =√5?12
AB ，则称点D
是线段AB 的黄金“左割”点． 请根据以上材科，回答下列问题
(1)如图2，若AB =8，点C 和点D 分别是线段AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC =________，DC =________；
(2)若数轴上有M ，P ，Q ，N 四个点，它们分别对应的实数为m ，p ，q ，n ，且0 q 的值． 答案和解析1.B 解：∵点E是线段BC的黄金分割点(BE>EC)，BE=1， ∴BE BC =√5?1 2 ，BC=1.6， 又∵AB=BE=1， ∴矩形ABCD的面积为1.6×1=1.6． 2.A 解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，∴书的宽约为20×0.618=12.36cm． 3.C 解：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC>BC， ∴AC=√5?1 2AB=√5?1 2 ； 当AC ∴BC=√5?1 2AB=√5?1 2 ， ∴AC=AB?BC=1?√5?1 2=3?√5 2 ． 4.D 解：∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)， ∴AC AB =BC AC ， ∴AC2=AB?BC； 5.B 解：设AB=a， ∵矩形ABCD为黄金矩形， ∴AE=a?√5?1 2a=3?√5 2 a， ∴AE AD = 3?√5 2 a √5?1 2 a =√5?1 2 ， 6.D 解：∵宽与长的比是√5?1 2 的矩形叫做黄金矩形， ∴b a =√5?1 2 ， ∴a=2，b=√5?1， 7.C 解：设BC=a，则AC=2a， 由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√5a，由题意得，AE=(√5?1)a， ∴EC=(3?√5)a， ∴BC AB = √5a =√5 5 ，A正确，不符合题意； AE AC =√5?1 2 ，B正确，不符合题意； EC AC =3?√5 2 ，C错误，符合题意； AC AC =2√5 2 ，D正确，不符合题意； 8.C 解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得： 99+y 165+y =0.618， 解得：y≈8cm． 9.5√5?5 解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)， ∵AB=10cm， ∴AP=√5?1 2 ×10=(5√5?5)cm． 10.(√5?1) 解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB?BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段， ∴AP=√5?1 2AB=2×√5?1 2 =(√5?1)厘米． 11.3 2 ；3?√5 解：(1)已知a?b a =1 3 ，可得1?b a =1 3 ， ∴b a =2 3 ， 则a b =3 2 ； (2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，∴PA=√5?1 2 AB=√5?1， PB=AB?PA=2?(√5?1)=3?√5． 12.(10√5?10) 解：设所求边长为x，由题意，得x 20=√5?1 2 ， 解得x=(10√5?10)cm．13.6.1 解：如图所示：AP ∵BP=√5?1 2AB=16×√5?1 2 =8√5?8(m)， 第1节黄金分割 一、兔子问题和斐波那契数列 1.兔子问题 问题与解答 意大利数学家斐波那契（L.Fibonacci，1170-1250）在《算盘书》（1202年）中曾经收录一个有趣的民间数学问题——兔子问题，叙述如下： 设初生的兔子一个月以后成熟，而一对成熟兔子每月会生一对兔子。假设每次生的一对兔子都是一雌一雄。且所有的兔子都不病不死，那么，又发一对初生兔子开始，12个月后会有多少对成熟兔子呢？ 我们可以一个月一个月地往下数来求出答案。 第1个月有1对初生兔子；第2个月有1对成熟兔子；第3个月有1对成熟兔子和1对初生兔子；第4个月有两对成熟兔子和1对初生兔子；第5个月有3对成熟兔子和两对初生兔子；第6个月有5对成熟兔子和3对初生兔子；等等。这样一直数到第13个月，知道有144对成熟兔子，这就是答案。 现在从第1个月后起，把每个月的成熟兔子的对数列出： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 这就是即将介绍的“斐波那契数列”的前12项。 “兔子问题”的另外一种提法是： 第1个月是一对成熟兔子，类似繁殖；到第12个月时，工有多少对兔子？ 这个问题的条件与上一个问题不同，第1个月就已经是一对成熟的兔子了。这个问题的要求也与上一个问题不同，不是问“到第12个月后”，而是问“到第12个月时”；不是问“有多少对成熟兔子”，而是问“共有多少对兔子”。 这次解决问题时，我们把“一个月一个月地数”的办法，换成“列表”的办法。简单起见，把初生兔子叫做“小兔子”；把成熟兔子（能生小兔子的兔子）叫做“大兔子”。于是列出下面的表框后，一列一列地往表里填数。 ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ月 份 1123581321345589144大 兔 对 . 中考中的黄金分割问 题 一、黄金分割点 例1（湖北十堰）如图1，已知线段AB ，点C 在AB 上，且有 AC BC AB AC ，则AC AB 的数值为______；若AB 的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好． 2.（2005?太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm ，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC= cm ，DC= cm ． 3.（2009?浙江）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（2009?孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时， 越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是， 为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ． 4cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm 二、黄金三角形 例1.（2010?本溪）如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为 的三角 形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形， 已知AB=4，则DE= _________ ． 2．（2010四川内江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 . 3.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC 中，AB=AC ， BD 是∠ABC 的角平分线，交AC 于D ，若AC=4cm ，则BC= cm ． 4．（2007·太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形.为此，请你解答问题(1). 已知：如图(1)，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：△ABD 与△DBC 都是等腰三角形 图 (1) 归纳提升：本题综合考查等腰三角形的性质与判别，还可这样反思：条件改为“在△ABC 中，AB=AC ，AD=BD=BC ”，求△ABC 中各内角的度数. (2)在证明了 角形. 三、黄金矩形 例1 （扬州市） 这样的矩形叫做 （1）操作：请你 一边作正方形A （2）探究：在（ （3）归纳：通过 1．宽与长的比是 第三步：以N 为 第四步：过B 作 请你根据以上作 2.（2010 嵊州市 一、选择题 1、若3a=4b ，则 A 、 2、（2002?太原 A D E F A B C D E F M N 1黄金分割法的优化问题 （1）黄金分割法基本思路： 黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 （2）黄金分割法的基本原理 一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。 黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。如果f(a1)>f(a2)，令 a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1) 黄金分割 专题讲解 一、请你填一填 （1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足 关系式________，即AP 是________与________的比例中项. （2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）. （3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm. （4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. （5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选 （1）已知y x 23 =,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y B.xy =6 C.32=y x D.32=x y （2）把ab =21 cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2 C.b d c a =2 D.d a b c 2= （3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 （4）有以下命题: ①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ） A 、P B AB AP ?=2； B 、PB AP AB ?=2； C 、AB AP PB ?=2； D 、2 22AB BP AP =+ 4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ） A 、)15(5- B 、)15(5+ C 、)25(10- D 、)53(5- 2020中考复习--黄金分割专题训练（一） 一、选择题 1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为() A. 0.191 B. 0.382 C. 0.5 D. 0.618 2.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么 它到塔底部的距离大约是() A. 289.2m B. 178.8m C. 110.4m D. 468m 3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那 么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为() A. 1?x x =x 1 B. 1?x 1 =1 x C. x 1?x =1?x 1 D. 1?x x =x √5 4.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是() A. 2√5?2 B. 6?2√5 C. √5?1 D. 3?√5 5.一条线段的黄金分割点有()个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分 割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD， 取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE， 以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分 割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积 为S2，则S1与S2的大小关系是() A. S1>S2 B. S1 熟记巧用速解法 ——快速解决“黄金分割”有关的考题 锐才数学明星老师 卢志康教授 “黄金分割”是自然界中一种重要现象。不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域有很多体现，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。“黄金分割”虽是初中数学教学的一个知识点与考点，但这一知识内容的掌握与学生进一步的数学技能发展却又关联不大。因此长期以来只限于要求概念的掌握和知识的记忆，考题的难度也不是很大，花尽量少的时间去快速准确的解决这类问题成为解题的关键。 在2010年的中考中，我们见到了下面两题： 1.（2010 嵊州市）如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F 、C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ，若CD ＝CF ，则 =AD AE 2．（2010四川内江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 . 这是两道难度较大的中考填空题，难度系数均相当于中考填空题最后一题。 不熟悉“黄金分割”理论的同学在遇到这两道题的时候可能会感觉无从下手，因为虽然可以不断将要求的比转化成新的比，但题中并不存在可以直接利用的明确的比值。这就需要学生敏感的意识到这是有关黄金分割的问题。 我们先来看黄金分割比例理论：在线段AB 上有一点C ，若AC:AB=BC:AC ，则C 点就是线段AB 的黄金分割点。有两个重要的数需要我们熟记巧用，短:长=2 15-（黄金分割比）；长：短=5＋12 （黄金分割比的倒数）。在遇到关于黄金分割点知识点的情况不妨直接填上相应的答案或选项。 下面我们来解这两道题。 第一题：先将AE:AD 转化成AE:AD=AE:BC,然后利用三角形相似关系得到 E D M A B F C N A B D E F C 教学内容：比例和比例线段 【重点、难点、考点】 重点：应用平行线分线段成比例定理及其推论和比例的性质进行有关的计算和证明。 难点：熟练应用比例的性质进行各种比例变形。 考点：平行线分线段成比例定理及其推论和比例的性质是学习相似形的重要基础，但各地中考试题中单独考核该项内容较少。 【经典范例引路】 例1 如图已知BE AB =ME AM =CE AC 。 求证：BC CA BC AB ++=ME AE 【解题技巧点拨】 本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的 例2 如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB ． 【解题技巧点拨】 本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“A 型”或“ 型”，得到相应的比例式，并注意由公共线段“ED ” 产生“中间比”，最后使问题得证。 【综合能力训练】 一、填空题 1．）已知a ∶b ＝3∶1且a ＋b ＝8，则a －b ＝ 。 2．）已知n m =q p =32 (n+q ≠0)，则q n p m ++＝ 。 3．一个三角形三边的比为2∶3∶4则这个三角边上的高的比为 。 4．线段a ＝3，b ＝4，c ＝5则b ，a ，c 的第四比例项是 ，b 、c 的比例中项是 ． 5．直角三角形的三边为a ，a+ b ，a+2b 且a ＞0,b ＞0则a ∶b ＝ 。 6．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若AP ＞BP ，AP=5-1，则AB ＝ 。 7．△ABC 的周长为100cm ，如图若AB AE =AC AF =BC EF =53 ，△AEF 的周长 为 。 黄金分割点教案 教学目标： （一）知识技能目标： （1）知道黄金分割的定义． （2）会找一条线段的黄金分割点． （二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．（三）情感态度目标： （1）从学生乐于接受的现实背景中学习黄金分割，认识到数学上解决实际问题和进行交流的重要工具。 （2）通过对黄金分割的理解和掌握，明确黄金分割的作图方法，体会数形结合的思想。 （3）通过分组讨论学习，体会在解决实际问题的过程与他人合作的重要性，从而培养学生的团结协作精神。 教学重点：黄金分割的定义和简单应用。 教学难点： 黄金点的画法和验证。 教学方法和手段 1、采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的学习方式。 2、利用多媒体教学设备辅助教学，充分调动学生的积极性，创设和谐、轻 松的学习氛围。 学法指导学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索，发现问题，小组之间互相合 作，取长补短。养成自主学习和合作学习相结合的良好习惯。 教学准备 教师准备多媒体课件，黄金分割的学习资料直尺圆规 教学流程设计 （一）、创设问题情境，激发学生兴趣 向学生展示与“黄金分割”有关的图片：以激发学生兴趣，引起学生探索的欲 望。 问：为什么它们会给人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉? （二）、实例引入，导出定义。 1、（这是本节课的重点。学生学习“线段的比”仅有两节课，掌握程度比较浅，而黄金分割的定义又使用了这一知识点，所以在课件使用过程中应注意帮助学生体会、理解定义中出现的“线段的比”。） 以五角星为例引入黄金分割的定义，在五角星中也存在黄金分割。 首先，《黄金分割》学习资料 ［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方．那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？ ［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然 后计算、,它们的值相等吗？ ［生］相等． ［师］所以． ［设计意图］阅读是学生自主获取知识的一种重要学习方法，培养学生良好的学习习惯和数形结合的思想，加深对概念的理解。 2、黄金分割的定义 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section ），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中~0 618 : 1 . 3、想一想 古希腊时期的巴台农神庙( Parthenom Temple )．把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？ 中考几何题中的新定义型题集锦 在近年的中考试题中，涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，为了便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。 一、定义一种新的几何体 例1（2001年泰州市）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图1，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体。 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A. 两个球体 B. 两个圆锥体 C. 两个圆柱体 D. 两个长方体 （2）请猜想出相似体的主要性质： ①相似体的一切对应线段（或弧长）的比等于_______； ②相似体表面积的比等于_______； ③相似体体积的比等于_______。 （3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m ，体重为18kg ，到了初三，身高为1.65m ，问他的体重为多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 解：（1）由相似体的定义可知，应选A 。 （2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方。 （3）设初三时体重为x kg ，则由题意，得 ()3 1.1:65.118:x =， 解之，得()kg 75.60x ≈ 故到了初三时，他的体重约为60.75kg 。 二、定义一种新的规则 例2 （2003年安徽省）如图2，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。 设等腰三角形的底和腰分别为a 、b ，底角和顶角分别为α、β，要求“正度”的值是非负数。 同学甲认为：可用式子|b a |-来表示“正度”，|b a |-的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。 黄金分割的正确计算方法 1．618减去基数1，得0．618，1再减去0．618得0．382，黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：直接从波段的低点加上0．382倍、0．618倍、1．382倍、1．618倍……作为其涨升压力。或者直接从波段的高点减去0．382倍及0．618倍，作为其下跌支撑。 另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。而应该以前一波段的涨跌幅度作为计算基期，黄金分割的支撑点可分别用下述公式计算：(抄底不可盲目，要抓住真正机会！) 1、某段回档高点支撑＝某段终点－（某段终点－某段最低点）0．382 2、某段低点支撑＝某段终点－（某段终点－某段最低点）0．618 如果要计算目标位：则可用下列公式计算 3、前段最低点（或最高点）＝（前段最高点－本段起涨点）1．382（或1．618） 上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应用。 案例分析托普软件（000583） 该股的走势颇为符合黄金分割原则，1999年3月份，该股从14．31元起步，至6月底，该股拉升到34．31元，完成这一波的涨升，随后我们来看该股的支撑价位： 根据公式：下跌低点支撑＝34．31－（34．31－14．35）0．618＝22元事实上该股1999年11月份回调最低点为22．48元，误差极小，投资者只要在22元一线附近吸纳，就可以找到获利机会。目标价位也可通过公式计算。 上升上涨压力＝21．97＋（34．31－21．97）1．618＝42元 该股在今年二月份摸高至45元后回落，投资者在42元可以从容卖出获利。 该股走势说明了如果对黄金分割掌握透彻，可以成功利用它来捕捉黑马。使用时要注意。 1、买点在回调到0．618处比较安全，回调到0．382处对于激进型投资者较适合，稳健型投资者还是选择回调到0．618处介入。 黄金分割专项练习30题（有答案） 1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）． （1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度； （2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点． 如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比． （1）尺规作图并保留作图痕迹； （2）写出你的作法； （3）证明：腰与底之比为黄金比． 5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长； （2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB． 6．如图，线段AB的长度为1． （1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度； （选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度； （选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度； 上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l） 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由． 黄金分割率的应用 黄金分割 1.618减去基数1，得0.618，1再减去0.618得0.382。 黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：直接从波段的低点加上0.382倍、0.618倍、1.382倍、1.618倍……作为其涨升压力。或者直接从波段的高点减去0.382倍及0.618倍，作为其下跌支撑。 另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。而应该以前一波段的涨跌幅度作为计算基期，黄金分割的支撑点可分别用下述公式计算： 1、某段行情回档高点支撑=某段行情终点-(某段行情终点-某段行情最低点)0.382 2、某段行情低点支撑=某段行情终点-(某段行情终点-某段行情最低点) 0.618 如果要计算目标位：则可用下列公式计算 3、前段行情最低点(或最高点)=(前段行情最高点-本段行情起涨 点)1.382(或1.618) 上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应用。 使用时要注意： 1、买点在回调到0.618处比较安全，回调到0.382处对于激进型投资者较适合，稳健型投资者还是选择回调到0.618处介入。 2、卖点在涨升1.382处比较保守，只要趋势保持上升通道，可选择涨升1.618处卖出。 1、黄金分割法可以为个股的强弱定性 A、对强势上升股股性的判断： 假设一只强势股，上一轮由10元涨至15元，呈现一种强势，然后出现回调，它将回调到什么价位呢?黄金分割的0.382位为13.09元，0.5 位为12.50元，0.618位为11.91元，这就是该股的三个支撑位。若股价在13. 09元附近获得支撑，该股强势不变，后市突破15元创新高的概率大于70%。若创了新高，该股就运行在三主升浪中。能上冲什么价位呢?用一个0.382价位即 (15-13.09)+15=16.91元，这是一压力位;用两个0.382价位 (15-13.09)×2+15=18.82元，这是二压力位;三压力位为10元的倍数即20元。回到前头，若该股从15元下调至12.50元附近才获得支撑，则该股的强势特征 2021年中考数学复习难题训练 一、选择题 1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为() A. 0.191 B. 0.382 C. 0.5 D. 0.618 2.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么 它到塔底部的距离大约是() A. 289.2m B. 178.8m C. 110.4m D. 468m 3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那 么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为() A. 1?x x =x 1 B. 1?x 1 =1 x C. x 1?x =1?x 1 D. 1?x x = √5 4.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是() A. 2√5?2 B. 6?2√5 C. √5?1 D. 3?√5 5.一条线段的黄金分割点有()个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分 割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD， 取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE， 以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分 割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积 为S2，则S1与S2的大小关系是() A. S1>S2 B. S1 A. 如果AC AB =BC AC ，那么线段AB被点C黄金分割 B. 如果AC2=AB?BC，那么线段AB被点C黄金分割 C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比 D. 0.618是黄金比的近似值 8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点 D，点E，则下列结论中错误的是() A. 点D是线段BC的黄金分割点 B. 点E是线段BC的黄金分割点 C. 点E是线段CD的黄金分割点 D. ED BE =√5?1 2 二、填空题 9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则 这个气温约为_________℃(结果保留整数)． 10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm． 11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC 2014年河南省中学数学优质课评选 （初中组） 课题学习：《黄金分割》 代慧枢 开封市第三十三中学 2014年4月 课题学习：《黄金分割》教学设计说明 一、地位与作用： 本节课内容在教材中不占有重要地位，但它的内涵比较丰富。对这节课是“小题大做”，打破以书本知识为唯一学习途径的局限，通过创设情景、让学生自主探求、上网搜集资料、小组交流等不同形式的学习，使学习过程转变成学生产生兴趣、不断提出问题、分析问题、解决问题的探索过程，使学生感受数学学习活动的探索过程，获得一些研究数学问题的方法和经验，让学生在问题解决中求知，拓宽学习的渠道，激发起学习的积极性和潜力。 二、教学目标 依据新课标的要求，为了使学生在双基、数学能力、理性精神等方面都能有所发展，基于学生的认知能力和思维能力以及情感态度的分析，确立以下三个方面的教学目标： （1）知识与技能 了解黄金分割,通过折叠黄金矩形活动，加深对黄金分割的认识. （2）过程与方法 通过观察、推理、交流、反思等数学活动过程培养学生发现、分析、解决问题的能力，积累数学活动经验. （3）情感、态度、价值观 通过学生主动参与、积极思考、合作交流体会黄金分割的文化价值，感悟到“数学奇”、“数学美”。 自主探究，合作交流 三、课堂结构： 本节课的结构可以简单概括为：一段文化、六个活动。即创设情景发现美，动手实践探索美，学以致用应用美，欣赏拓展感悟美，课堂小结收获美，布置作业延伸美；通过这六个活动学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学学习中的问题，增强应用数学的意识，体会黄金分割的文化价值。从而提升学生的人文素养，增加数学自身的人文魅力。 四、教法特点以及预期效果分析 1教法特点 （1）本节课在教法上体现教师的“启发诱导”，突出教师对活动的组织设计和方法的引导，为学生搭参与和交流的平台；在学法上突出学生的“自主探究”，让学生自己去观察，去思考，去发现，并鼓励与他人合作交流，充分体现以学生为主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者的新课程理念. （2）注重培养学生的合作意识.合作能力是现代人才必备的基本素质之一.是否具有协作精神，能否和他人有效合作，已成为一个人能否成功的重要因素.教师要创设合作学习的机会，使学生学会和他人合作. 2 预期效果分析 《数学课程标准》指出：“数学是人类的一种文化。我有意识引导学生从生活文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，不仅丰富 中考数学专题复习-----有理数 说明：1.考试用时60分钟，满分为100分. 2.考试内容：有理数 评分： 一、选择题（每小题3分，共54分） 1．2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m ，用科学记数法表示这个数是（ ） A ．0.156×10－5 B ．0.156×105 C ．1.56×10－6 D ．1.56×106 2．《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ） A ．107.2610? 元 B ．972.610? 元 C ．110.72610? 元 D ．117.2610?元 3．实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误．．的是（ ） A ．0ab > B ．0a b +< C ．1a b < D ．0a b -< a b 0 4．3 (3)-等于（ ） A ．-9 B ．9 C ．-27 D ．27 5．计算2)3(-的结果是（ ）．A ．－6 B ．9 C ．－9 D ．6 6．在数轴上表示2-的点离开原点的距离等于（ ）A ．2 B ．2- C ．2± D ．4 7．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为 （ ） A ．1 B ．1- C ．12a - D ．21a - 8．2 1-的倒数是 （ ） A ．2 B ．－2 C ．2 1 D ．2 1- 9．下面的几个有理数中，最大的数是（ ）．A ．2 B ．13 C ．－3 D ．1 5 - 10．2009)1(-的相反数是（ ）A ．1 B ．1- C ．2009 D ．2009- 11．如果ab<0，那么下列判断正确的是( )． A ．a<0，b<0 B ． a>0，b>0 C ． a ≥0，b ≤0 D ． a<0，b>0或a>0，b<0 12．一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A ．1a + B ．21a + D 1 13． 3(1)-等于（ ）A.－1 B ．1 C ．－3 D ．3 14．计算2009(1)-的结果是（ ）A ．1- B ．1 C ．2009- D ．2009 15．如果a 与1互为相反数，则|2|a +等于（ ）A ．2 B ．2 - C ．1 D ．1- 16．某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为－8℃，那么这天的最高气温比最低气温高 ( ) Ａ.-10℃ Ｂ.-6℃ Ｃ.6℃ Ｄ.10℃ 2020中考复习——黄金分割专题训练（二） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题 1. 已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，使BE =1，过点E 作EF ⊥AD ， F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点(BE >EC)，则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 2. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知 这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( ) A. 12.36 cm B. 13.6 cm C. 32.36 cm D. 7.64 cm 3. 已知线段AB =1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为( ) A. √5?12 B. 3?√5 2 C. √5?12或3?√52 D. 以上都不对 4. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则下列等式中成立的是( ) A. BC 2=AC ?AB B. AC 2=2AB ?BC C. AB 2=AC ?BC D. AC 2=BC ?AB 5. 我们把宽与长的比值等于黄金比例√5?1 2 的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形 ABCD (AB >BC)的边AB 上取一点E ，使得BE =BC ，连接DE ，则AE AD 等于( ) A. √2 2B. √5?1 2 C. 3?√5 2 D. √5+1 2 6.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是() A. a=4，b=√5+2 B. a=4，b=√5?2 C. a=2，b=√5+1 D. a=2，b= √5?1 7.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=1 2 AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A 为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是() A. BC AB =√5 5 B. AE AC =√5?1 2 C. EC AC =3+√5 2 D. AC AB =2√5 5 8.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越 给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度 大约为() A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 二、填空题 9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄 金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB 的长度为10cm，那么AP的长度为______cm． 10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB·BP，那么AP 长为______厘米． 11.已知a?b a =1 3 ，则a b 的值为;已知点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，若AB= 2，则PB=. 12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在 想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米． 13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主 持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．(结果精确到0.1米) 中考数学专题复习相似图形 【基础知识回顾】 一、成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线 段的比就是它们的比，即：AB CD= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果a b=那么四条线段叫做同比例线段，简称 3、比例的基本性质：a b= c d<＝> 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。】 二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边 ⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三 角形相似 ⑵两边对应且夹角的两三角形相似 ⑶两角的两三角形相似 ⑷三组对应边的比的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角对应边 ⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、位似： 1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 中考专题黄金分割 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 .中考中的黄金分割问题 一、黄金分割点 例1（湖北十堰）如图1，已知线段AB ，点C 在AB 上，且有AC BC AB AC =，则AC AB 的数值为______；若AB 的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好． 2.（2005?太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm ，两个端点 A 、 B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点B 的黄金分割点（即 AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割 点，则AC= cm ，DC= cm ． 3.（2009?浙江）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金 比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（2009?孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时， 越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是， 为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ． 4cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm 二、黄金三角形 例1.（2010?本溪）如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为 的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE= _________ ． 2．（2010四川内江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， 点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的 中点，则AE ∶AF 的值为 . 3.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC 中，AB=AC ， BD 是∠ABC 的角平分线，交AC 于D ，若AC=4cm ，则BC= cm ． 4．（2007·太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为 36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它 分成两个小等腰三角形.为此，请你解答问题(1). 已知：如图(1)，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：△ABD 与△DBC 都是等腰三角形 图 (1) 归纳提升：本题综合考查等腰三角形的性质与判别，还可这样反思：条件改为 “在△ABC 中，AB=AC ，AD=BD=BC ”，求△ABC 中各内角的度数. (2)在证明这种特性请你形，并在图中 (3)接着，小如：直角三角种特性的三角说明：要角形. (ABCD AB A >（2）探究：在是，请说明理（3）归纳：通1．宽与长的比 黄金矩形，心矩形令人赏心调，匀称的美学活动中，折纳出以下作图S 1≥S 2 一、选择题 1、若3a=4b ，则 A D E F A B C D E F M N 生活中的黄金分割 在数学课中，教师自身角色的转变，努力发挥“辅”和“导”的功能，科学、能动地组织学生进行课前准备，课堂交流，能起到出乎意料的作用。下面就记录九年级第一学期的一堂“黄金分割”的数学课，课前教师布置预习作业，让学生去查录有关黄金分割的资料，课上进行交流发言。 开场： 教师：中世纪的数学家开普勒（1571—1630）对黄金分割作了很高的评价。他说：几何学有两大宝藏：一个是勾股定理，另一个是黄金分割。黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。 下面我们先请一位同学讲述一下，什么是黄金分割？ 学生袁某举手答：在已知线段上求作一个点，使该点所分线段的其中一部份是全线段与另一部份的比例中项，这就是黄金分割问题。如下图 教师：说得很好，黄金分割在数学上是把一条线段分成两部分，其中较长的线段是较短的线段和整个线段的比例中项。那么黄金分割在生活中有什么作用呢？ 学生邵某：“黄金分割”的比值为0.618，它不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数。日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素。在他们的膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值。 学生陈某：一天合理的生活作息也应该符合黄金分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道。掌握与运用好黄金分割，可使人体节约能耗，延缓衰老，提高生命质量。 教师：太好了，以上两位同学介绍了黄金分割在饮食、生活作息中的运用，相信对同学们有许多帮黄金分割
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