黄金分割专项练习30题（有答案）
1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．
（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）
3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．
（1）尺规作图并保留作图痕迹；
（2）写出你的作法；
（3）证明：腰与底之比为黄金比．
5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；
（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．
6．如图，线段AB的长度为1．
（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；
（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；
（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；
上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．
8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．
9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD
为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．
为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．
11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：
（1）AD=BD=BC；
（2）点D是线段AC的黄金分割点．
12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．
13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在
黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．
15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，
BE交DC于点F，已知，求CF的长．
19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的
折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．
20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的
黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图
3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）
22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．
23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．
25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）
等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长；
③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美
感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．
27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．
（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）
注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．
答：CM与AB之间的数量关系是．
28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：
第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．
第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．
30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．
黄金分割专项练习30题参考答案:
1．（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，
∴AD2=CD?AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD?AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为
2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=99，
整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，
当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，
而AB＞AD，
所以x=11，即AB的长为11cm；
（2）不能．理由如下：
设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得x（20﹣x）=101，
整理得x2﹣20x+101=0，
因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，
所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积可能等于101cm2；
（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，
根据题意得20﹣x=x，
解得x=10（﹣1），
则20﹣x=10（3﹣），
所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴=，即=，
∴AD2=AC?CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=AC，
∵AC=2，
∴AD=﹣1
4．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，
（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；
②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．
③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；
④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．
（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，
=．
5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，
则AP=2×=﹣1，
或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；
（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．
6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，
∵AC2=BC?AB，
∴x2=1×（1﹣x），
整理得x2+x﹣1=0，
解得x1=，x2=（舍去），
所以线段AC的长度为；
（2）设线段AD的长度为x，AC=l，
∵AD2=CD?AC，
∴x2=l×（l﹣x），
∴x1=，x2=（舍去），
∴线段AD的长度AC；
（3）同理得到线段AE的长度AD；
上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点
7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB==72°．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠ABC=36°．
∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD．
∵∠A=∠1，
∴AD=BC．
∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
又∵AB=AC，AD=BC=BD，
∴，
∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点
8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴
∵AB=AC，
∴=，
∵AB=AC=2，BC=﹣1，
∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），
解得AD=，
AD：AC=（）：2．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．
∵AE=BC，DF=BC，
∴AE=DF=BC=AD，
又∵∠ADF=90°，
∴四边形AEFD是正方形．
BE=，
∴，
∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
10．解：设正方形ABCD的边长为2，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，
由勾股定理知EB===，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，
HB=AB﹣AH=3﹣；
∴AH2=（）2=6﹣2，
AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，
∴AH2=AB?HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．
11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∵∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，
∴△ADB是等腰三角形，
∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC?DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC?DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，
∴点D是AB的黄金分割点
而点C是AB的黄金分割点，
∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，
∴==或==．
13．解：矩形ABFE是黄金矩形．
∵AD=BC，DE=AB，
∴==﹣1==．
∴矩形ABFE是黄金矩形．
14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），
∴AD=AB=10﹣10，
∵EC+CD=AC+CD=AD，
∴EC+CD=（10﹣10）cm．
15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．
答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．
16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，
∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，
DM=AD﹣AM=3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于=，
∴点M是AD的黄金分割点．
17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP×AB，
又∵S1=AP2，S2=PB×AB，
∴S1=S2．
18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，
∴△BCF∽△EAB，
∴，即，
把AD=，AB=+1代入得，=，
解得：CF=2．
故答案为：2．
19．解：矩形EFDC是黄金矩形，
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=DC=AF，
又∵，
∴，
即点F是线段AD的黄金分割点．
∴，
∴，
∴矩形CDFE是黄金矩形．
20．解：
（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；
（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；
（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则
，
∴
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．
（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，
设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：
=0.618，
解得：x≈7.5cm．
故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．
22．解：设正方形ABCD的边长为2a，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，
由勾股定理知EB==a，
∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，
HB=AB﹣AH=（3﹣）a；
∴AH2=（6﹣2）a2，
AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，
∴AH2=AB?HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．
23．证明：设正方形ABCD的边长为2，
E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE==，
又∵B′E=BE=1，
∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，
∴AB″
∴点B″是线段AB的黄金分割点．
24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE==，
∵EF=BE=1，
∴AF=AE﹣EF=﹣1，
∴AM=AF=﹣1，
∴AM：AB=（﹣1）：2，
∴点M是线段AB的黄金分割点．
25．解：（1）∵BD=DC=AC．
则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．
又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；
（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC是黄金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．
∴△CDA是黄金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC是黄金三角形．
②△BAC是黄金三角形，
∴，
∵BC=2，∴AC=﹣1．
∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，
∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．
ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．
26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N为BC的中点，
∴NC=BC=a．
在Rt△DNC中，．
又∵NE=ND，
∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．
∴．
故矩形DCEF为黄金矩形．
27．解：（1）
（2）CM=AB（4分）
28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．
在Rt△BCF中，BF==，
则A′F=BF﹣BA′=﹣1．
设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，
即，
解得x=，
即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．
29．解：（1）如图所示；
（2）△BCD是黄金三角形．
证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BCD是黄金三角形．
（3）设BC=x，AC=y，
由（2）知，AD=BD=BC=x．
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
整理，得x2+xy﹣y2=0，
解得．
因为x、y均为正数，所以．
（4）．
理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠ACE=180°﹣72°=108°，
∴∠ACE=∠B1A1C1．
∵A1B1=AB，
∴AC=CE=A1B1=A1C1，
∴△ACE≌△B1A1C1，
∴AE=B1C1．
由（3）知，
∴，，
∴．
30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
则，，，
∴，．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线CD是△ABC的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴S△DFC=S△DFE，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．
又∵，
∴．
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）
（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
（9分）
2020中考复习--黄金分割专题训练（一） 一、选择题 1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为() A. 0.191 B. 0.382 C. 0.5 D. 0.618 2.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么 它到塔底部的距离大约是() A. 289.2m B. 178.8m C. 110.4m D. 468m 3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那 么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为() A. 1?x x =x 1 B. 1?x 1 =1 x C. x 1?x =1?x 1 D. 1?x x =x √5 4.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是() A. 2√5?2 B. 6?2√5 C. √5?1 D. 3?√5 5.一条线段的黄金分割点有()个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个 6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分 割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD， 取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE， 以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分 割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积 为S2，则S1与S2的大小关系是() A. S1>S2 B. S1
.. 资料 《黄金分割》专题练习 一、选择题 1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则 AC ∶AB 为（ ）A ． 21 5 B ． 2 5 3 C ． 2 1 5 D ． 2 1 5或 2 5 32．若 1y y x 黄金数，则 y x 的值是（） A ．5 5 B ． 2 1 C ． 2 5 D ． 5 3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ） A ．5 3 B ． 1 5 C ．5 1 D ． 5 34．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美 感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉。如果某女士身高为 1.60m ， 躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（） A ．2.5cm B ．5.1cm C ．7.5cm D ．8.2cm 5．如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点 M 、N ．下列命题： ①四边形EDCN 是菱形；②四边形MNCD 是等腰梯形；③△AEN 与△EDM 全等；④△AEM 与△CBN 相似； ⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点，其中假命题有（）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 二、填空题 1．C 是AB 的黄金分割点，则 BC AC 。 2．P 为线段AB ＝10cm 的黄金分割点，则 AP ＝ cm （保留两个有效数字）。 3．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的。一位身高为 165cm ，肚脐到头顶高度为65cm 的女性，应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm ）。4．如图，节目主持人现站在舞台 AB 的一端A 点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果， 若舞台AB 长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处， 她应走到距A 点至少 米处，如果向 B 点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到 0.1米）
黄金分割专项练习 1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）． （1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度； （2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点． 为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说． 12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值． 14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长． 15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
八下数学期中复习图形的相似 【知识点 5】黄金分割 1、点C是线段AB上的一点，当满足_________________,则称点C是线段AB的黄金分割点。 2、AC与AB 的比值约为________,比值也称为_________. 3、一条线段有__________个黄金分割点。 4、黄金三角形：________________________ 5、黄金矩形：________与_________的比等于______的矩形称为黄金矩形。 【基础练习】 1、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=10cm，求线段AC=_______________。 2、如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形，若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则 DE=______________（精确到0.01） 3、如图，点P是AB的黄金分割点，且PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB矩形面积，那么S1__________S2. 【知识点 6】图形的位似 1、两个多边形不仅_____________, 而且________________________________, 对应边__________________________________,像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________________. 2、利用位似图形可以把图形________________. 【基础练习】 1、视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似 2、如图．位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投彩三角形的对应边长为_______________ 3、请在如图的正方形网格纸中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍． 4、如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则A′B′= _________cm，
初中数学例题：黄金分割 5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？ 【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为 ，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明 ＝即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为 ＝ ＝ 所以矩形ABFE 也是黄金矩形． 【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三： 【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示， BC AB 2 15-2 15-AB AE 215-AB AE AB ED AB AD AB ED AD -=-2 1512151)15)(15() 15(21152 -=-+=-+-+=--
（1）求AM ，DM 的长， （2）试说明AM 2 =AD ·DM （3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点， ∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°， ∴PD ＝。 ∵PF ＝PD ， ∴AF ＝ ，在正方形ABCD 中，AM ＝AF ＝，MD ＝AD －AM ＝3－ （2）由（1）得AD ×DM ＝2（3－）＝6－2， ∴AM 2 =AD ·DM ． （3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点． 6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）. A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 【答案】C. 522=+AD AP 15-15-555526)15(22-=-=AM x l
黄金分割专项练习30题（有答案） 1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）． （1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度； （2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗若能，求出AB的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点． 如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比． （1）尺规作图并保留作图痕迹； （2）写出你的作法； （3）证明：腰与底之比为黄金比． 5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长； （2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．
6．如图，线段AB的长度为1． （1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度； （选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度； （选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度； 上面各题的结果反映了什么规律（提示：在每一小题中设x和l） 7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由． 8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点． 9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成． 10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点． 为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗请试一试，说一说． 11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证： （1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点． 12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．
八年级数学知识点：黄金分割数www.5y https://www.doczj.com/doc/158526236.html, 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。 后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学
家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。 （3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用
黄金分割 （浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙 在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其 中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。（如图1） 世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他发现: 在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比， 那么这一比值就等于…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们 从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。如正五边形中， Kheops (公元前Q C P 图1
莱奥纳多·达·芬奇 相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。 文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则) 1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2 15 的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个 正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是 一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种 “和谐”的感觉。 后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。这一命名一直延用至今。 欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商
比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【： 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d ，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD = 2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016?兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A ．2a=3b B ．3a=2b C ． D ． 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 【答案】B ． 【解析】A 、2a=3b ?a ：b=3：2，故选项错误； B 、3a=2b ?a ：b=2：3，故选项正确； C 、=?b ：a=2：3，故选项错误； D 、=?a ：b=3：2，故选项错误． 故选B ． 【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三： 【变式】（2015?崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72 += 【答案】C ． 2. 设432z y x ==，求2222232z xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简． 【答案与解析】设4 32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -??-+??-?＝222412k k --＝2 1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型二、黄金分割
黄金分割专项练习 2 1定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC =BC?AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点.如图 2, △ ABC 中，AB=AC=1 , / A=36 ° BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D . (1) 求证：点D 是线段AC 的黄金分割点; 2 .如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD (AB > AD ). 99cm 2 ,求 AB 的长度； 101cm 2 吗？若能，求出 AB 的长度，若不能，说明理由; AD 与AB 之比等于黄金比 逅二丄)，求该矩形的面积. 9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形， 如在矩形ABCD 中，当-'_ J 时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成. 40cw (1) 若这个矩形的面积等于 (2) 这个矩形的面积可能等于 (3) 若这个矩形为黄金矩形( (结果保留根号) (2)求出线段AD 的长.
10.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD ;取AD的中点E，连接EB;延长DA至F,使EF=EB ; 以线段AF为边作正方形AFGH .则点H是AB的黄金分割点. 为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说. 12 .已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求「的值. AC 14.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C, D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 15?人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄 金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
黄金分割练习题 一、请你填一填 （1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项. （2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）. （3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则 d =_____________cm. （4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________. （5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选 （1）已知y x 23=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x =2y B.xy =6 C.32=y x D.32=x y （2）把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2 C.b d c a =2 D.d a b c 2= （3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 （4）有以下命题: ①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有d c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC = 5－1 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（ ） A 、P B AB AP ?=2； B 、PB AP AB ?=2； C 、AB AP PB ?=2； D 、222AB BP AP =+
《 4.2 黄金分割 一、教材分析： 1、教材中的地位和作用 《黄金分割》是 8 年级数学下册第四章《相似图形》第 2 节的内容。本章 是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，是现实生活中广泛存在的一种现 象。学习相似图形，离不开线段的比和比例线段， 黄金分割》将从一个崭新的角 度加深同学们对比例线段和线段的比地认识，是第一节内容的延续和拓展，同时 通过黄金分割在建筑、艺术等方面的实例让学生进一步体会数学与自然及人类社 会的密切关系，将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、 概括的能力和审美意识的发展。因而，在整个几何学习中起着桥梁和纽带的作用。 基于本节课的特殊地位及新《课程标准》的要求，确定教学目标如下： 2、教学目标设计： 知识技能目标： (1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法； (2)会进行黄金分割的有关计算。 过程方法目标： 经历黄金分割的引入及黄金分割点作法的探究过程，掌握数形结合法在数学 解题中的运用。 情感态度目标： 在现实情境中体会黄金分割的文化价值，培养同学们主动参与、积极思考、 合作交流的学习品质。增强学生的实践意识和自信心 。 3、本课内容及重点、难点分析： 学习重点：黄金分割的定义，做一条线段黄金分割点的方法； 学习难点：探究线段黄金分割点的作法。 二、学情分析： 对八年级学生而言，他们对新鲜事物特别有兴趣。因此，教学过程中创设生 动活泼，直观形象，且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有 利于学生对内容的较深层次的理解；另一方面，学生已经具备了一定的学习能力， 1
2020中考复习——黄金分割专题训练（二） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题 1. 已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，使BE =1，过点E 作EF ⊥AD ， F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点(BE >EC)，则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为( ) A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 2. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知 这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( ) A. 12.36 cm B. 13.6 cm C. 32.36 cm D. 7.64 cm 3. 已知线段AB =1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为( ) A. √5?12 B. 3?√5 2 C. √5?12或3?√52 D. 以上都不对 4. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则下列等式中成立的是( ) A. BC 2=AC ?AB B. AC 2=2AB ?BC C. AB 2=AC ?BC D. AC 2=BC ?AB 5. 我们把宽与长的比值等于黄金比例√5?1 2 的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形 ABCD (AB >BC)的边AB 上取一点E ，使得BE =BC ，连接DE ，则AE AD 等于( )
A. √2 2B. √5?1 2 C. 3?√5 2 D. √5+1 2 6.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是() A. a=4，b=√5+2 B. a=4，b=√5?2 C. a=2，b=√5+1 D. a=2，b= √5?1 7.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=1 2 AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A 为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是() A. BC AB =√5 5 B. AE AC =√5?1 2 C. EC AC =3+√5 2 D. AC AB =2√5 5 8.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越 给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度 大约为() A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 二、填空题 9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄 金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB 的长度为10cm，那么AP的长度为______cm． 10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB·BP，那么AP 长为______厘米． 11.已知a?b a =1 3 ，则a b 的值为;已知点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，若AB= 2，则PB=. 12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在 想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米． 13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主 持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．(结果精确到0.1米)
初二数学知识点归纳：黄金分割数1 初二数学知识点归纳：黄金分割数1 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0618或1618∶1，即长段为全段的0618。0618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0618，那么，这样比例会给人一种美感。
后，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√-1)/2，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（gldensetinrati通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0618近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0618)/0618=06一条线段
一、填空题 1．若点C 是线段AB 的黄金分割点（BC AC >），则 AC:AB=_____,BC:AB___________:=BC AC ． 如果AB=10cm,则AC=______,BC=_________. 若C 是线段AB 的黄金分割点，则____:=BC AC 2．若Q P ,是线段AB 上的两个黄金分割点，且452-=PQ ，则____=AB 3．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则 ______,AB BC AC AB ==_______． 4．若点C 是线段AB 的黄金分割点（BC AC >），则AB 与AC 的比 值是__________，BC 与AC 的比值是_________． 5．在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：3，则AP ：AB=______， 6．如图，已知3 ,(1)2AB AC BC CE AD AE DE AE ===则:=______， （2）若BD=10cm ，则AD=______；（3）若△ADE 的周长为16cm ， 则△ABC 的周长为_______ ． 二、认真选一选 7．已知y x 2 3=,那么下列式子成立的是（ ） A.3x=2y B.xy=6 C.32=y x D.32=x y 8．把ab=2 1cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2
C.b d c a =2 D.d a b c 2= 9已知线段x,y 满足（x+y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ） A.3∶1 B.2∶3 C.2∶1 D.3∶2 10．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）． A ．17 B ．7 C ．-17 D ．-7 10．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）． A ．7：5 B ．5：2 C ．2：7 D ．5：7 11有以下命题: ①如果线段d 是线段a,b,c 的第四比例项，则有d c b a = ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则 AC=5－1 其中正确的判断有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A ．7：5 B ．5：2 C ．2：7 D ．5：7
初二数学知识点归纳：黄金分割数1 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0618或1618∶1，即长段为全段的0618。0618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0618，那么，这样比例会给人一种美感。 后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，
在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。 （3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．、0．618、0．809（2）1、1．382、1．、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为/2，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（gldensetinrati通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0618来近似表示，通过
天才是百分之一的天分,再加上百分之 九十九的努力 第4课时黄金分割 学习目标： 1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念. 2、会运用黄金分割进行相关计算和证明. 学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念. 学习难点：运用黄金分割解决实际问题. 【预习案】 一、链接 请写出比例的基本性质. 二、导读 阅读课本P95-96，回答下列问题： （1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比. 【探究案】 ㈠、黄金分割的定义：
1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空： 度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ， 计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC BC 的值 A B C 相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。其中AB AC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。 ⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。 2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则AB AC = 。 ㈡、确定黄金分割点： 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD= 21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB. （3）在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。 ㈢、黄金矩形： 宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。 【训练案】 1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= . 2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中， =11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长. 3、已知，如图在 △ABC 中 EC AE DB AD = E D A A B 5?12
初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题（附答案详解） 1．点D 是线段AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），若AB ＝2，则BD ＝（ ） A ．51- B ．3 52 C ．5﹣1 D ．3﹣5 2．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，则有（ ） A ．A B 2=AP?PB B ．AP 2=BP?AB C ．BP 2=AP?AB D ．AP?AB=PB?AP 3．若线段 ，且点C 是AB 的黄金分割点，则BC 等于（ ） A ． B ． C ．或 D ．或 4．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞BP ，设以AP 为边的等边三角形的面积为S 1，以PB 、AB 为直角边的直角三角形的面积为S 2，则S 1与S 2的关系是 ( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1=S 2 D ．S 1≥S 2 5．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点(AP ＞BP )，则P A 的长为( ) A ．2﹣2 B ．6﹣2√5 C ． D ．4﹣2 6．已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2=BC?AB ，则下列式子成立的是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．线段MN 长为1cm ，点P 是MN 的黄金分割点，则MP 的长是( ) A ． B ． C ．或 D ．不能确定 9．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ．记以AP 为一边的正方形面积为S 1，以BP 、AB 为邻边矩形的面积为S 2，则（ ） A ．12S S > B ．12S S = C ．12S S < D ．1S 、2S 大小不能确定 10．已知线段AB 长是2厘米，P 是线段AB 上的一点，且满足AP 2＝AB?BP ，那么AP 长为_____厘米．
第三课时 ●课 题 §4.2 黄金分割 ●教学目标 （一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求 理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用. ●教学重点 了解黄金分割的意义，并能运用. ●教学难点 找黄金分割点和画黄金矩形. ●教学方法 讲解法 ●教具准备 投影片一张：（记作§4.2 A ） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 图4－6 ［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. Ⅱ.讲授新课 ［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、AC BC ,它们的值相等吗？ ［生］相等. ［师］所以AC BC AB AC . 1.黄金分割的定义
在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中AB AC ≈0.618. 投影片（§4.2 A ） 黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C 就是线段AB 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割. 黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等. 黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用. ［师］既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点. 2.作一条线段的黄金分割点. 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB . （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？ 若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足 AC BC AB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1. 证明：∵AB =1,AC =x ,BD = 21AB =21 ∴AD =x +2 1 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 （x + 21）2=12+（2 1）2 ∴x 2+x +41=1+41 ∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x ）