欠阻尼二阶自动控制系统性能指标计算公式
经过这几天对二阶自动化系统的学习，使我对二阶自动化系统有了初步的了解。二阶自动控制系统有四种情况，可分为无阻尼情况、欠阻尼情况、临界阻尼情况，以及过阻尼情况。我主要对二阶控制系统里的欠阻尼情况进行了学习。了解了无阻尼二阶系统欠阻尼的性能指标。
指标有以下几点：
1. 上升时间ｔｒ
2.峰值时间ｔｐ：
3.最大超调量σ
ｐ
4.调整时间ｔｓ
5.振荡次数Ｎ
6.稳态误差ｅｓｓ
通过学习也了解到二阶系统的平稳性主要由阻尼比ζ决定，ζ越大，超调量越小，系统的平稳性越好；相反ζ越小，平稳性越差，ζ＝０时系统不能稳定工作。ζ比较小时，调整时间与ζωｎ成反比，快速性也就越差。
§3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 )10(<≤ξ 1． 欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法 （1） 直角坐标表示 n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±= （2 ） “极”坐标表示 ? ??=∠=βλωλn ? ??-==21sin cos ξβξ β 2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 s s s s R s s C n n n 1 2)()()(2 22 ?++=Φ=ωξωω ) 2()2(]2[222 2n n n n n s s s s s s s ωξωξωωξω+++-++= 2 22)1()(21n n n s s s ωξξωξω-+++-=
22222222)1()(11)1()(1n n n n n n s s s s ωξξωωξξξ ωξξωξω-++-?---+++-= 利用复位移定理 [] )()(a s F e t f L at +=?- 系统单位阶跃响应为 t e t e t h n t n t n n ωξξξ ωξξωξω22 2 1sin 11cos 1)(--- --=-- [] t t e n n t n ωξξωξξ ξξω222 2 1s i n 1c o s 111-+---- =- []t t e n n t n ωξβωξβξ ξω2 2 21s i n c o s 1c o s s i n 11-?+-?-- =- )10(<≤ξ ()t t t h n n ωωcos 190sin 1)(-=?+-= )90,0(?==βξ
)10(<≤ξ 系统单位脉冲响应为 []????? ?++=Φ='=--22 2 112)()()(n n n s s L s L t h t k ωξωω ??? ?????-++-?-=-22222 1)1()(11n n n n s L ωξξωωξξω 欠阻尼二阶系统单位脉冲响应
57 3.3 二阶系统的时间响应及动态性能 3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。系统闭环传递函数为 K s s T K s ++= Φ21)( 化成标准形式 2 2 22)(n n n s s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5） 1 21 )(22++= Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6） 式中，K T T 1= ，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。 ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。 二阶系统闭环特征方程为 02)(2 2=++=n n s s s D ωξω 其特征特征根为 12 2,1-±-=ξωξωλn n 若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。
58 数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数t e 1λ，t e 2λ，, t n e λ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。 如果特征根中有多重根λ，则模态是具有t te λ， ,2 t e t λ形式的函数。 如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与t e )j (ωσ-可写成实函 数模态t e t ωσsin 与t e t ωσcos 。 每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。 3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 设过阻尼二阶系统的极点为 ()n T ωξξλ11211---=- = () n T ωξξλ11 22 2-+-=-= )(21T T > 系统单位阶跃响应的拉氏变换 s T s T s s R s s C n 1 )1)(1()()()(212++==ωΦ 进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(2 1 122 1 -+ -+ =- - T T e T T e t h T t T t 0≥t （3-7）
邢台学院物理系 《自动控制理论》 课程设计报告书 设计题目:二阶系统的性能指标分析 专业:自动化 班级: 学生姓名: 学号: 指导教师: 2013年3 月24 日
邢台学院物理系课程设计任务书 专业：自动化班级： 2013年3 月24 日
摘要 二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机﹑RLC电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。 控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。 稳态过程性能 稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值 本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。 关键词：二阶系统性能指标稳态性能指标动态性能指标稳态误差调节时间
目录 1.二阶系统性能指标概述 (1) 2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。 (1) 3.二阶系统的时间响应及动态性能 (4) 3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 (4) 3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 (5) 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 (7) 3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 (14) 4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真 (18) 5 总结及体会 (19) 参考文献 (19)
1.二阶系统性能指标概述 二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机﹑RLC 电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。 控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。 稳态过程性能 稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值 2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。 1．2—l 是典型二阶系统原理方块图，其中T0＝1秒；T1＝0.1秒；K1 分别为10；5；2.5；1。 开环传递函数为： ) 1()1()(11 101+=+= S T S K S T S T K S G （2－1） 其中，== 1 T K K 开环增益。 闭环传递函数： 22 22 22 121 21 )(n n nS S S T S T K S S T K S W ωξωωξ++= ++= ++= （2－2） 其中，01111T T K T K T n = == ω （2－3） 110 2 1T K T = ξ （2－4） 图2－1 二阶系统
clear all; close all; clc dt = 0.01; tmax = 20; t = 0 : dt : tmax; s = tf('s'); %设定待辨识传递函数 w = 3; % 自然频率 f = 0.5; % 欠阻尼系数 H = w^2/(s^2 + 2*f*w*s + w^2) %传递函数 %设定输入的阶跃函数,并画出输入与输出函数 U = ones(1,tmax/dt + 1); y = lsim (H,U,t);%求输出 plot(t,U,t,y); legend('u','y'); ylabel('Step Response') xlabel('Time, Seconds') %对二阶欠阻尼自衡对象传递函数参数进行辨识 int t1n t2n for i=1:tmax/dt-1 if (y(i)<=y(i+1))&(y(i+1)>=y(i+2)) t1n = i break end end for i=t1n+1 : tmax/dt-1 if (y(i)<=y(i+1))&(y(i+1)>=y(i+2)) t2n = i break end end Tz = (t2n - t1n)*dt %求Tz Y1 = y(t1n - 1) - 1 Y2 = y(t2n - 1) - 1 f0 = 1/(1 + (pi /log(Y1))^2)^0.5 if f0 < 1 w0 = 2*pi/(Tz*(1 - f0^2)^0.5) else w0 = 0; end H0 = w0^2/(s^2 + 2*f0*w0*s + w0^2) %传递函数 y1 = lsim (H0,U,t);%求输出 figure(2); plot(t,y,t,y1); %画出原函数输出与辨识出的函数输出图像对比 legend('原系统','辨识系统'); title('原系统与辨识系统阶跃响应对比'); ylabel('Step Response') xlabel('Time, Seconds')