(完整版)定积分习题及答案

第五章 定积分

(A 层次)

1．?20

3

cos sin π

xdx x ； 2．?-a

dx x a x

2

2

2

； 3．?+3

1

2

2

1x

x

dx ；

4．?--11

45x xdx ； 5．?

+4

1

1

x dx ； 6．?--1

4

3

1

1x dx ；

7．?

+2

1

ln 1e x

x dx

； 8．?

-++0

222

2x x dx

； 9．dx x ?+π02cos 1； 10．dx x x ?-π

πsin 4

； 11．dx x ?-

22

4

cos 4π

π； 12．?-++5

5242

312sin dx x x x

x ；

13．?3

4

2sin π

πdx x x

； 14．?41ln dx x x ； 15．?10xarctgxdx ； 16．?20

2cos π

xdx e x ； 17．()dx x x ?

π

2

sin ； 18．()dx x e

?1

ln sin ；

19．?-

-24

3

cos cos π

πdx x x ； 20．?+4

sin 1sin πdx x

x ； 21．dx x x

x ?+π02cos 1sin ；

22．?-+21

11ln dx x

x

x ； 23．?∞+∞-++dx x x 42

11； 24．?20sin ln π

xdx ； 25．(

)()

?∞+++0

211dx x x dx

α

()0≥α。

(B 层次)

1．求由0cos 0

=+??x

y

t

tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数

dx

dy 。 2．当x 为何值时，函数()?-=x

t dt te x I 0

2

有极值？

3．

()

?x x dt t dx

d cos sin 2

cos π。 4．设()???

??>≤+=1,2

11,12x x x x x f ，求()?20dx x f 。

5．()1

lim

2

2

+?+∞

→x dt arctgt x

x 。

6．设()?????≤≤=其它,00,sin 21

π

x x x f ，求()()?=x dt t f x 0

?。

7．设()??????

?<+≥+=时当时当0,110,11

x e x x

x f x

，求()?-2

1dx x f 。

8．()

22

21

lim

n n n n n +++

∞→Λ。

9．求∑

=∞

→+n

k n

k n k n ne

n e

1

2lim 。

10．设()x f 是连续函数，且()()?+=1

2dt t f x x f ，求()x f 。

11．若?

=

-2ln 26

1

x

t

e dt π

，求x 。

12．证明：?

-

--<<21

2

121222

dx e e

x 。

13．已知?∞+-+∞→=??? ??+-a x

x

x dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。 14．设()?????≥<+=-0

,

0,

12

x e x x x f x

，求()?-3

1

2dx x f 。

15．设()x f 有一个原函数为x 2

sin 1+，求()?'20

2π

dx x f x 。

16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()?3

1

dx x f 最

小。

17．已知()2

x e

x f -=，求()()?'''1

dx x f x f 。

18．设()()()??+-=1

2

22dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。 19．()()[]?

'-π

2

sin cos cos cos dx x x f x x f 。

20．设0→x 时，()()

()dt t f t x x F x

''-=?0

22的导数与2x 是等价无穷小，试求

()0f ''。

(C 层次)

1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知

()()()??

????+???

??+=

?

12140611

f f f dx x f ，求()dx x

g b a ?。 2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，

使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f b a

''-+??? ??+-=?3

24

12。 3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。试证

()()()()()()2

a f

b f a b dx x f a f a b b

a +-<<-?。

4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f b

a ?'≤

2

1(b x a <<)。 5．设()x f 在[]1,0上连续，()01

=?dx x f ，()11

=?dx x xf ，求证存在一点x ，

10≤≤x ，使()4>x f 。

6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()()

d t t x tf x F x

?-=022，求()4

lim

x

x F x →。 7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则

()

()()x f dx x f a b b

x a b

a

'≤-≤≤?max 4

2

。 8．设()x f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<，求证()()dx k

x f k x f b a

k ?

-+→0

lim

()()a f b f -=。

9．设()x f 为奇函数，在()+∞∞-,内连续且单调增加，()()()dt t f t x x F x

?-=0

3，

证明：(1)()x F 为奇函数；(2)()x F 在[)+∞,0上单调减少。

10．设()x f 可微且积分()()[]dt xt xf x f ?+1

的结果与x 无关，试求()x f 。

11．若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：

()()[]?=''+π

3sin xdx x f x f 。

12．求曲线()()?--=x

dt t t y 0

21在点(0,0)处的切线方程。

13．设()x f 为连续函数，对任意实数a 有

()?+-=a

a

dx x xf ππ

0sin ，求证

()()x f x f =-π2。

14．设方程()?

-=--y

x tdt y x tg x 0

2

sec 2，求22dx

y

d 。

15．设()x f 在[]b a ,上连续，求证：

()()[]()()a f x f dt t f h t f h

x

a h -=-+?+

→1lim 0

(b x a <<) 16．当0≥x 时，()x f 连续，且满足()()x dt t f x x =?

+10

2，求()2f 。

17．设()x f 在[]1,0连续且递减，证明

()()??≤λ

λ0

10

dx x f dx x f ，其中()1,0∈λ。

18．设()x f '连续，()()()dt t a f t f x F x

-'=?20

，()00=f ，()1=a f ，试证：

()()122=-a F a F 。

19．设()x g 是[]b a ,上的连续函数，()()dt t g x f x

a

?=，试证在()b a ,内方程

()()0=--

a

b b f x g 至少有一个根。

20．设()x f 在[]b a ,连续，且()0>x f ，又()()()

dt t f dt t f x F x

b

x

a

??+=1

，证明： (1)()2≥'x F (2)()0=x F 在()b a ,内有且仅有一个根。 21．设()x f 在[]a 2,0上连续，则()()()[]??

-+=a

a dx x a f x f dx x f 0

20

2。

22．设()x f 是以π为周期的连续函数，证明：

()()()()??+=+π

ππ0202sin dx x f x dx x f x x 。

23．设()x f 在[]b a ,上正值，连续，则在[)b a ,内至少存在一点ξ，使

()()()???

=

=b

a b

a

dx x f dx x f dx x f 2

1ξ

ξ

。 24．证明()()()

()???++=+1001

0ln 1ln

ln du u f du u f u f dt t x f x

。 25．设()x f 在[]b a ,上连续且严格单调增加，则()()()??<+b

a

b a

dx x xf dx x f b a 2。

26．设()x f 在[]b a ,上可导，且()M x f ≤'，()0=a f ，则()()22

a b M

dx x f b

a

-≤

?。

27．设()x f 处处二阶可导，且()0≥''x f ，又()t u 为任一连续函数，则

()()()??

?

??≥??a a

dt t u a f dt t u f a

0011，()0>a 。 28．设()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()0<''x f ，则()()??

?

??+-≤?2b a f a b dx x f b a 。 29．设()x f 在[]b a ,上连续，且()0≥x f ，()0≤?b

a

dx x f ，证明在[]b a ,上必有

()0≡x f 。

30．()x f 在[]b a ,上连续，且对任何区间[][]b a ,,?βα有不等式

()δ

β

α

α

β+-≤?1M dx x f (M ，δ为正常数)，试证在[]b a ,上()0≡x f 。

第五章 定积分

(A)

1．?20

3cos sin π

xdx x

解：原式41cos 41cos 20

420

3=-=-=?π

π

x xdx 2．?-a

dx x a x 0

222

解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2

π=

t

原式???=20

22cos cos sin π

tdt a t a t a

()??-==

20

4202

4

4cos 18

2sin 4

π

π

dt t a

tdt a

420

4

4

164sin 41828a t a a π

ππ

=-=

3．?

+3

1

2

2

1x

x

dx

解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为

4π，3

π

原式θθθθ

π

πd tg ?=34

22

sec sec

()?-=34

2

sin sin π

πθθd

33

2

2-= 4．?

--11

45x

xdx

解：令u x =-45，则2

4145u x -=

，udu dx 2

1-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式()

6

1

5811

32=-=?du u 5．?

+4

1

1

x dx

解：令t x =，tdt dx 2=

当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式??

????+-=+=???

212

121

1212t dt dt t tdt

()[]

3

2

ln

221ln 22

12

1+=+-=t t 6．?--1

4

3

1

1x dx

解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=

x 时0,2

1=u 原式2ln 2111

121221

00

21-=-+-=--=??du u u du u u

7．?

+2

1

ln 1e x

x dx

解：原式()?

?++=+=221

1

ln 1ln 11ln ln 11e e x d x

x d x

232ln 1221

-=+=e x

8．?

-++0

222

2x x dx

解：原式()

()?

--+=++=02

22

111x arctg x dx

()2

4

4

11π

π

π

=

+

=--=arctg arctg

9．dx x ?

+π

2cos 1

解：原式??==π

π

2cos 2cos 2dx x dx x

()??-+=ππ

π

2

20

cos 2cos 2dx x xdx

22sin sin 2220=?????

?-=πππ

x x 10．dx x x ?-π

π

sin 4

解：∵x x sin 4为奇函数

∴?-=π

π

0sin 4xdx x

11．dx x ?-22

4cos 4π

π

解：原式()?

?=?=2

2

2

20

4

cos 22cos 24π

πdx x xdx

()

()

??

++=+=20

220

2

2cos 2cos 2122cos 12π

π

dx x x dx x

()?

?+++=20

20

20

4cos 12cos 22π

π

π

dx x xdx x

?+++=20

2

044cos 41

22sin 2π

π

π

πx xd x πππ

23

4sin 412320

=+=x

12．?-++5

524

231

2sin dx x x x

x 解：∵1

2sin 2423++x x x

x 为奇函数

∴01

2sin 5

524

23=++?-dx x x x

x 13．?3

4

2

sin π

πdx x x

解：原式?-=34

π

πxdctgx

?+-=34

3

4

π

πππ

ctgxdx xctgx 34sin ln 9341π

ππx +?

??

? ??-= 22

ln 23ln 9341-+???? ??-=π 23ln 219341+???

? ??-=π 14．?

4

1

ln dx x

x

解：原式?=4

1

ln 2x xd

??

???

?-=?4

141ln ln 2x d x x x

?????

?

-=?4112ln 42dx x x

?-

-=41

2

1

22ln 8dx x

42ln 8-= 15．?1

0xarctgxdx

解：原式?=1

221arctgxdx

??

????+-=?1022102

121dx x x arctgx x ??++-

=

10210121218

x

dx

dx π

1

01

021

218arctgx x +-=π

2

14-=

π

16．?20

2cos π

xdx e x

解：原式?=20

2sin π

x d e x

??-=20

220

22sin sin π

πdx e x x

e x x

?+=20

2cos 2π

πx d e e x

??-+=20

220

22cos 2cos 2π

ππdx e x x

e e x x

?--=20

2cos 42π

π

xdx e e x

故()

25

1cos 20

2-=

?π

π

e xdx e x 17．()dx x x ?

π

2

sin

解：原式()??-==π

π

2

2

2

2cos 1sin dx x

x dx x x ??-=

ππ02

022cos 2

121xdx x dx x ?-

=ππ

02

3

2sin 4

161

x d x x ????

???--

=

?πππ002

3

22sin 2sin 416

xdx x x x

?-

=

π

π03

2cos 4

16

x xd 462cos 2cos 4163003

πππππ-=????

??--=

?xdx x x 18．()dx x e

?1

ln sin

解：原式()()??-=e e

dx x

x x x x 111ln cos ln sin

()?-=e

dx x e 1

ln cos 1sin

()()?????

?

?+-=?e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin

()?-+-=e

dx x e e 1

ln sin 11cos 1sin

故()()11cos 1sin 2

ln sin 1

+-=

?e

dx x e

19．?--24

3cos cos π

πdx x x

解：原式()?--=24

2cos 1cos π

πdx x x

()??

+-=-

20

04

sin cos sin cos π

π

xdx x dx x x

()()2

23

4

23cos 32cos 32π

π??????-+??????=-x x

3

2

344-=

20．?+4

sin 1sin π

dx x

x

解：原式()?--=4

2sin 1sin 1sin π

dx x

x x ???

? ??-=4022cos sin π

dx x tg x x ()

??

---=40240

21sec cos cos π

π

dx x x

x

d ()24

2cos 1

4040

-+

=--=

π

π

πx tgx x

21．dx x

x

x ?

+π0

2

cos 1sin 解：令t x -=

2

π

，则

原式?-??

? ??-+??

? ??-??? ??--=2222cos 12sin 2πππππdt t t t

?-

+-+-=22

2

2sin 1cos sin 1cos 2π

ππ

dt t t t t t

()4sin sin 1cos 22020

2

π

πππ

π

==+=?t arctg dt t

t 22．?-+21

11ln

dx x

x

x 解：原式?

???

?

??-+=210

2211ln x d x x ()()()

?--+--?+-?--+=21

022

2

1

02

111111211ln 2dx x x x x x x x x x ?-+=21

02

21

ln 3ln 81dx x x

??-++=21

0221013ln 8

1x dx

dx

2

1

011

ln 21213ln 81+-++=x x

3ln 8

321-=

23．?∞

+∞-++dx x x 4

2

11 解：原式??

∞+∞+++=++=02220

4

2

1

11

211dx x x

x dx x x ??? ?

?

-+??? ?

?

-=?

∞+x x d x x 12

1120

2

π22

1

220=-

=+∞

+

x x arctg

24．?20

sin ln π

xdx

解：原式()??++??? ?

?

-==40220cos ln sin ln 2ln 22cos 2sin 2ln π

πdt t t dx x x t x 令

??

?

???++=??4040cos ln sin ln 22ln 2π

ππ

tdt tdt

??

????++??-=24402

sin ln sin ln 22ln 2π

πππ

π

udu tdt u

t

?+=

20

sin ln 22ln 2

π

π

tdt

故2ln 2

sin ln 20

π

π

-

=?xdx

25．(

)(

)?

∞+++0

211α

x x dx

()

0≥α

解：令t x 1

=，则dt t

dx 21-=

原式()()

??∞+∞+++=+?+-

=020********

ααααt t dt t t

t t t dt t ∴(

)()()()()()

???

∞+∞+∞

++++++=++02020

21111112ααααx

x dx

x x x dx x x dx 2110

2π==+=∞

+∞

+?arctgx dx x

故(

)()

4110

2π

α

=++?∞+x

x dx

(B)

1．求由0cos 0

=+??x

y

t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数

dx

dy

。 解：将两边对x 求导得

0cos =+x dx dy

e y

∴y e x dx dy cos -=

2．当x 为何值时，函数()?-=x

t dt te x I 0

2

有极值？

解：()2

x xe x I -='，令()0='x I 得0=x

当0>x 时，()0>'x I 当0

∴当0=x 时，函数()x I 有极小值。

3．

()

?x x dt t dx

d cos sin 2

cos π。 解：原式()()

????

??+=??t a a x dt t dt t dx d cos 2sin 2cos cos ππ ()()

????

??+-=

??x a x a dt t dt t dx d cos 2sin 2

cos cos ππ ()()()

()'

+'-=x x x x cos cos cos sin sin cos 22π

()()()x x x sin cos cos cos sin cos 22-+-=ππ ()()x x x x 22sin cos sin cos sin cos πππ---= ()()x x x 2sin cos cos sin π-=

4．设()???

??>≤+=1,2

11,12x x x x x f ，求()?20dx x f 。

解：()()?

??++=21

2

10

20

2

11dx x dx x dx x f 3

861212

131

02=+???

??+=x x x

5．()1

lim

2

2

+?+∞

→x dt arctgt x

x 。

解：()()()

x x arctgx x dt arctgt x x

x 212

1lim

1

lim

212

2

20

2-+∞

→∞

∞

+∞

→++?型

()()

x

arctgx x

x x

arctgx x x x 222

21

1lim

1lim

+

=+=+∞→+∞

→

()411lim

222π=+=+∞

→arctgx x

x

6．设()??

???≤≤=其它,00,sin 21

π

x x x f ，求()()?=x dt t f x 0

?。

解：当0

===??x

x dt dt t f x ?

当π≤≤x 0时，()2

cos 1sin 210x

tdt x x

-==?

? 当π>x 时，()()()()10sin 2

1000=+=+==?????x

x x dt tdt dt t f dt t f dt t f x π

πππ?

故()()???????>≤≤-<=时当时当时当ππ?x x x x ,

10,cos 12

1

0,

0。

7．设()??????

?<+≥+=时当时当0,110,11

x e x x

x f x ，求()?-2

1dx x f 。

解：()??????

?<+≥=--时当时当1,111,1

11

x e x x

x f x

()()???

-+++=--211

01

20

111

11dx x e dx dx x f x ()??+-+-+=---211

011

1111x dx x d e

e e x x x ()2ln 1ln 110

1++-=-x e

()e +=1ln 8．()

22

21

lim

n n n n n +++

∞→Λ。

解：原式n

n n n n n 1

21lim ???? ??+

++=∞→Λ 3

2

1lim 101

==?=?∑

=∞

→dx x n n i n

i n

9．求∑

=∞

→+n

k n

k n k

n ne

n e

1

2lim 。

解：原式∑

=∞

→+=n

k n

k n k n n

e

e

1

211lim 4

110

1

02π

-

==+=?arctge arctge dx e

e x x x

10．设()x f 是连续函数，且()()?+=1

2dt t f x x f ，求()x f 。

解：令()A dt t f =?1

，则()A x x f 2+=，

从而()()A dx A x dx x f 22

1

21

10

+=

+=?? 即A A 221+=

，2

1-=A ∴()1-=x x f 11．若?

=

-2ln 26

1

x

t

e dt π

，求x 。

解：令u e t =-1，则()21ln u t +=，du u

u

dt 2

12+= 当2ln 2=t 时，3=u 当x t =时，1-=x e u ∴(

)

31

31

22ln 22121

--=+=-?

?

x x e e x

t

arctgu

u

u udu

e dt

6

132π

π=??? ??--=x e arctg

从而2ln =x 12．证明：?

-

--<<21

2

12

1222

dx e e

x 。

证：考虑??????-21,21上的函数2

x e y -=，则

2

2x xe y --='，令0='y 得0=x

当???

??-∈0,21x 时，0>'y

当???

??∈21,0x 时，0<'y

∴2

x e

y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2

x e

y -=在2

1±

=x 处取最小值2

1-

e

故?

?

?

-

---

-<<21

2

1212

121

2

12

112

dx dx e

dx e x

即?

-

--

<<21

2

12

1222

dx e e

x 。

13．已知?∞+-+∞→=??

?

??+-a x x

x dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。 解：左端a x

x e a x a 221lim -+∞

→=??? ??+-= 右端()()?

?

∞

+-∞+--=--=a

x a

x de x x d e x 2222222

??

? ?

?--=?

∞+-∞+-a

x a

x

dx xe e

x 22222

?

∞

+---=a

x a

xde e

a 22222

??

? ?

?--=?

∞+-∞+--a

x a

x

a dx e xe

e a 222222

()a e a a 22122-++= ∴()a a e e a a 222122--=++ 解之0=a 或1-=a 。

14．设()?????≥<+=-0

,

0,

12

x e x x x f x

，求()?-3

1

2dx x f 。

解：令t x =-2，则

()()()

e

dt e dt t dt t f dx x f t 1

37121

1

2

11

3

1

-=

++==-????

--- 15．设()x f 有一个原函数为x 2

sin 1+，求()?'20

2π

dx x f x 。

解：令t x =2，且()()

x x x f 2sin sin 12='

+=

()()()??

?

'='='π

ππ

20

412122dt t f t dt t f t dx x f x ()()()????

??-==

??ππ

π0004141dt t f t tf t tdf ()

0sin 12sin 41020=????

??+-=ππ

t t t

16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()?3

1

dx x f 最

小。

解：当()?31

dx x f 最小，即()?-+3

1

ln dx x b ax 最小，由()0ln ≥-+=x b ax x f 知，

b ax y +=在x y ln =的上方，其间所夹面积最小，则b ax y +=是x y ln =的切线，而x

y 1

=

'，设切点为()00ln ,x x ，则切线()000ln 1x x x x y +-=，故01x a =，

1ln 0-=x b 。

于是()??

-???

??+=-+=31

3

1

231

ln 2ln xdx bx x a dx x b ax I ()?-+-=3

1

ln ln 124xdx a a

令024=-='a I a

得2

1

=a 从而20=x ，12ln -=b

又02

2>=''a

I a

，此时()?31dx x f 最小。 17．已知()2

x e x f -=，求()()?'''1

dx x f x f 。

解：()2

2x xe x f --='

()()()()()[]1

2

10

10

21x f x f d x f dx x f x f '=''='''?

?

21

222212

--=?

?? ?

?-=e xe x

18．设()()()??+-=1

20

22dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。

解：设()A dx x f =?10

，()B dx x f =?2

，则()A Bx x x f 22+-=

∴()()

A B dx A Bx x dx x f A 221

3121

021

0+-=

+-==??

∴()()

A B dx A Bx x dx x f B 2423

8

20220+-=+-==??

解得：3

1

=A ，34=B ，于是

()3

2

342+-=x x x f

19．()()[]?

'-π

2

sin cos cos cos dx x x f x x f 。

解：原式()()??'+=π

π0

cos cos sin cos cos x d x f x xdx x f

()()()??-+=π

π

π0

00

cos cos cos sin cos cos xdx x f x xf xdx x f

0=

20．设0→x 时，()()

()dt t f t x x F x

''-=?022的导数与2x 是等价无穷小，试求

()0f ''。

解：()

()()2

3

22

2lim

3

lim

x

dt t f x x dt t f t x

x x x x ??''=''-→→

()()x

f x x

dt

t f x x x ξ''=''=→→?2lim 2lim

00

()()x ,0∈ξ ()102=''=f 故()2

1

0=''f

(C)

1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知

()()()??

????+???

??+=?

12140611

f f f dx x f ，求()dx x

g b a ?。

解：设()a t a b x +-=，则

()()()()??-+-==1

dt a b a t a b g dx x g I b

a

()()()?+--=1

dt a t a b g a b

令()()()t f a t a b g =+-

于是()()a g f =0，??

?

??+=??? ??221a b g f ，()()b g f =1

由已知得()()??

????+??? ??++-=

b g a b g a g a b I 246 2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，

使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f b a

''-+??? ??+-=?3

24

12。 证：由泰勒公式

()()()()()()20000!

2x x f x x x f x f x f -''+

-'+=ξ 其中()b a x x ,,0∈，ξ位于0x 与x 之间。 两边积分得：

()()()()()()dx x x f dx x x x f dx x f dx x f b

a b

a

b a

b a

2

0000!2-''+-'+=?

???

ξ ()()()()()[]

()()

()[]

3

03

2020006

2

x a x b f x a x b x f x f a b ---''+---'+-=ξ

令2

0b

a x +=，则

()()???

???????? ??+--??? ??

+-??? ??+'+??? ??+-=?

2

2222122b a a b a b b a f b a f a b dx x f b a

()???

?

???????

??+--??? ??+-

''+3

3

226b a a b a b f ξ ()()()ξf a b b a f a b ''-+

??? ??+-=324

1

2，()b a ,∈ξ。 3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。试证

()()()()()()2

a f

b f a b dx x f a f a b b

a +-<<-?。

证明：当()b a x ,∈时，由()0>'x f ，()0>''x f 知()x f 是严格增及严格凹的，从而()()a f x f >及()()()()()a x a

b a f b f a f x f ---+

< 故()()()()a f a b dx a f dx x f b

a

b

a

-=>??

()()()()()??

??

?

???---+

dx a x a b a f b f a f dx x f

()()()()()22

1

a b a b a f b f a f a b ---+

-=

()()()2a f b f a b +-=

4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

(完整版)定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

经济数学(不定积分习题及答案)

第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

§_5_定积分习题与答案

第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数

dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?

? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

高等数学 定积分及其应用复习题

第五、六章 定积分及其应用 （１） 一．判断题 （ ）1．函数)(x f 在区间],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积． （ ）2．若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）3．设)(x f 在),(+∞-∞内连续，则? =x a dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数. （ ）4． ? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(,??=dx x f k dx x kf )()(都对. （ ）5．函数)(x f 在],[b a 上有定义，则存在一点],[b a ∈ξ，使 )()()(a b f dx x f b a -=? ξ． ( ). 二．填空题 1．设?= x x tdt x f 2 ln )(，则=')2 1(f . 2．?=x tdt dx d 1sin , dx d ?b a x 2 s i n dx = . 3．若),1(2) (0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 4．1 1xdx -? ＝ . 5． ? +21 42 )1 (dx x x ＝ , ?-10241dx x ＝ . 三．计算题 1． ? -e e dx x 1 ln 2．dx x x ?-π 53sin sin 3．设???? ?>-≤=1 , 11, )(2 x x x x x f ，求 ? 20 )(dx x f ． 4．dt t dx d x x ?+32411 5．20 0arctan lim x tdt x x ?→ 四．对任意x ，试求使 ? -+=x a x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a ． 五．证明题：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≤x f ，证明

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan

3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。