2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．设全集U =R ，集合{}
21A x x =-≤，{}
240x
B x =-≥，则集合(
)U
A
B =（ ）
A ．()1,2
B ．(]1,2
C ．[)1,2
D ．[]1,2
【答案】C
【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】解不等式21-≤x 得：13x ≤≤，则[1,3]A =， 解不等式240x -≥得：2x ≥，则[2,)B =+∞，(,2)U
B =-∞，
所以(
)[1,2)U
A
B =.
故选：C
2．若复数z 满足()2023
2i i z -=，则z =（ ）
A ．12i 55
-
B ．12i 55
--
C ．12i 55
-+
D ．12i 55
+
【答案】D
【分析】首先计算2023i i =-，再利用复数的除法运算求z ，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】2023505433i i i i ⨯+===-， 所以()()()i 2i i 12i 12i 22i 2i 555
z i -+--=
===---+， 则12
i 55
z =+.
故选：D
3．已知函数()sin ,sin ,,sin ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则
π6f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
6
π B ．1
2
C D ．
3
π 【答案】B 【分析】根据
ππ
sin 66
≥再利用分段函数定义即可求得6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 【详解】由题意可知，
ππ1
sin 662
≥=，满足sin ,x x ≥
所以ππ1sin 662f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
.
故选：B
4．若一组样本数据1x 、2x 、
、n x 的平均数为10，另一组样本数据124x +、224x +、
、24
n x +的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A ．17，54 B ．17，48 C ．15，54 D ．15，48
【答案】A
【分析】计算出1n
i i x =∑、2
1
n
i i x =∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.
【详解】由题意可知，数据1x 、2x 、、n x 的平均数为10，则1110n
i i x n ==∑，则1
10n
i i x n ==∑
所以，数据124x +、224x +、
、24n x +的平均数为
()11
12244210424n n
i i i i x x x n n =='=+=+=⨯+=∑∑，
方差为()()
()222
2221111
14444242410104008n n n n i i i i i i i i s x x x x n x n n n n n ====⎡⎤'=+-+=-=-⨯⨯=-=⎣⎦∑∑∑∑，
所以，2
1
102n
i i x n ==∑，
将两组数据合并后，新数据1x 、2x 、、n x 、124x +、224x +、、24n x +的平均数为
()()()1111111131243443104172222n n
n n i i i
i i i i i x x x x x n n n ====⎡⎤⎛⎫''=++=⨯+=+=⨯+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
∑∑∑∑， 方差为()()222
211111117241758645822n n n n
i i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤
⎛⎫''=-++-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
∑∑∑∑ ()1
5102860458542n n n n
=
⨯-+=. 故选：A.
5．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则5n =时，圆球总个数为（ ）
A ．30
B ．35
C ．40
D ．45
【答案】B
【分析】求出底层个数，加上前4层总数20即可.
【详解】当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，
所以当n =4时，每层圆球的个数分别为1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4， 可得，5n =时，底层有()155********
+⨯++++==，
故一共有201535+=个球. 故选：B
6．已知正三棱锥-P ABC 的侧棱长为3，点E ，F 分别在线段PC ，BC （不包括端点）上，且EF PB ∥，90AEF ∠=︒，若点M 为三棱锥-P ABC 的外接球的球面上任意一点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为（ ）
A ．4
3
B ．
52
4
C ．2
D ．32
【答案】C
【分析】画出图形，结合图形辅助线，利用已知条件说明线面垂直，找出球心，建立直角三角形中相应的关系，建立等量关系，解出三棱锥外接球的半径，根据图形分析最大值即可. 【详解】取AC 的中点D ，连接,BD PD ，如图所示：
在正三棱锥-P ABC 中，3PA PB PC === 所以PD AC ⊥， 下底面为等边ABC ， 所以BD AC ⊥， 由PD BD D ⋂=， 所以AC ⊥平面PBD ， 又PB ⊂平面PBD ， 所以PB AC ⊥，
因为EF PB ∥，90AEF ∠=︒， 所以AE EF ⊥， 所以AE PB ⊥， 由AE
AC A =，
所以PB ⊥平面PAC ， 又AP ⊂平面PAC ，
所以PB PA ⊥，所以90APB ∠=，
所以
AB BC AC ===
设三棱锥的外接球球心为O ，ABC 外接圆的圆心为1O ， 连接11,,PO AO AO ，则在正三棱锥中，底面为正三角形， 所以1O 一定在BD 上，且O 一定在1PO 上， 同时1PO ⊥平面ABC ， 在ABC 中由正弦定理得：
116
2sin 60
3
AB
AO AO =
== 在1Rt PAO
中，11PO
==，
在1Rt OAO 中，()2
2
222111AO AO OO PO PO =+=+-，
设球体的半径为R ，
所以()2
222
3212122
R R R R R R =+-⇒=+-+⇒=
， 所以1131122
OO PO PO =-=-
=， 所以三棱锥-P ABC 的外接球的球面上任意一点M 到平面ABC 距离的最大值为： 131
222
OO R +=
+=， 故选：C.
7．已知O 为坐标原点， ,A B 是抛物线24y x =上的动点，且OA OB ⊥，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，下列各点中到点H 的距离为定值的是（ ） A ．()1,0 B ．()2,0
C ．()1,2
D ．()2,1
【答案】B
【分析】根据题意可设直线AB 的方程x my n =+，联立抛物线方程再利用OA OB ⊥，可得4n =，法
一：可知H 在圆上运动进行判断，法二再由OH AB ⊥得出OH 的方程为y mx =-，解得224
4,11m H m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，代入选项逐一验证是否为定值即可得出答案. 【详解】法一：设直线AB 方程为x my n =+，2212
12(,),(
,)44
y y A y B y 联立直线和抛物线方程整理得2440y my n --=， 所以12124,4y y m y y n +==-
又OA OB ⊥，即0OA OB =，所以22
1212044
y y y y ⨯+=可得1216y y =-，即4n =； 则直线AB 4x my =+过定点D （4,0）因为OH AB ⊥，则点H 在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD 中点（2,0）），故（2,0）到H 的距离为定值 故选：B
法二：设直线AB 方程为x my n =+，22
12
12(,),(
,)44
y y A y B y 联立直线和抛物线方程整理得2440y my n --=， 所以12124,4y y m y y n +==-
又OA OB ⊥，即0OA OB =，所以221212044
y y y y ⨯+=可得1216y y =-，即4n =； 又因为OH AB ⊥，所以OH 的方程为y mx =-，解得224
4,11m H m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
对于A ，()1,0到点H
对于B ，()2,0到点H 2=为定值；
对于C ，()1,2到点H =不是定值；
对于D ，()2,1到点H =不是定值. 故选：B
【点睛】方法点睛：定值问题通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.
8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，对x ∀，y ∈R ，有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，
则()()
2023
1
1
1i f i f i ==+∑
（ ）
A ．
2023
4050
B ．
2024
2025
C ．
2023
4048
D ．
2023
2024
【答案】A
【分析】由已知可推得()12f =，令1y =，得出()()12f x f x x +=-.设()*
,n a f n n =∈N ，则
()()1221n n a n a n +-+=-+⎡⎤⎣⎦，由12a =，可得1n a n =+.又
()()111
112
f i f i i i =-+++，代入求和即可
得出结果.
【详解】令0x y ==，由已知可得()()()2
10022f f f =-+=.
令1y =，由已知可得()()()()()11122f x f x f f x f x x +=--+=-， 设()*
,n a f n n =∈N ，则12n n a a n +=-，整理可得()()1221n n a n a n +-+=-+⎡⎤⎣⎦.
又12a =，所以()()12210n n a n a n +-+=-+=⎡⎤⎣⎦，所以1n a n =+. 则
()()()()111111
11212
i i f i f i a a i i i i +===-+++++，
所以()()20231
1111111
1120231233445
202420254050
i f i f i ==-+-+-+
+
-=+∑
. 故选：A.
【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可得函数关系式.
二、多选题
9．关于下列命题中，说法正确的是（ ） A ．已知()B ,X
n p ，若()30E X =，()20D X =，则23
p =
B ．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78
C ．已知()N 0,1ξ
，若()1P p ξ>=，则()1
102
P p ξ-≤≤=
- D ．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人. 【答案】BCD
【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得1
3
p =
，知A 错误；将数据按照从小到大顺
序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B 正确；由正态分布曲线的对称性可求得C 正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D 正确. 【详解】对于A ，
()B ,X
n p ，()()()30
120
E X np D X np p ⎧==⎪∴⎨=-=⎪⎩，213p ∴-=，解得：13p =，A 错误；
对于B ，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，
1045% 4.5⨯=，45%∴分位数为第5个数，即78，B 正确； 对于C ，()N 0,1ξ，()()()()11110111121222
P P P P p ξξξξ∴-≤≤=
->-<-=->=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，C 正确；
对于D ，抽样比为201
40020
=，∴高二应抽取13601820⨯=人，则高三应抽取57201819--=人，D 正确. 故选：BCD.
10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AD （包括端点）上一动点，则（ ） A ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为60 B ．三棱锥11B PBC -的体积为定值 C ．不存在点P ，使得1AD ⊥平面PCD
D ．PB PC +的最小值为3 【答案】AB
【分析】证明得到11//AC AC ，求出160D AC ∠=，即可得出A 项；证明1//AD 平面11BCC B ，然后求出1111
1111
11
3
66
P BC B BC B V AB S
AB B B B C -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，根据等积法即可求出B 项；取1AD 中点为P ，可证明1AD ⊥平面PCD ，即可说明C 项错误；将1BAD 和1CAD 展开到同一平面，当点P 为1,AD BC 交
点时，PB PC +有最小值.在ABC 中，由余弦定理求出23BC =D 项错误.
【详解】
对于A 项，如图1，连接1,CD AC .因为11,,AD AC CD 都是正方体面对角线，所以11AD AC CD ==， 所以1ACD △是等腰三角形，所以160D AC ∠=.又11//AA CC 且11=AA CC ，所以四边形11A C CA 是平行四边形，
所以11//AC AC .所以异面直线1AD 与11A C 所成的角即等于1AD 与AC 所成的角160D AC ∠=，故A 项正确；
对于B 项，因为11//AB C D 且11=AB C D ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC . 因为1BC ⊂平面11BCC B ，1AD ⊄平面11BCC B ，所以1//AD 平面11BCC B . 所以点P 到平面11BC B 的距离d 即等于点A 到平面11BCC B 的距离1AB =.11
1111122
BC B S B B B C =⨯⨯=， 所以1111
1111
113
66P BC B BC B V AB S
AB B B B C -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，又11111
6
P C B PBC B B V V --==是个定值，故B 项正确；
对于C 项，如图2，取1AD 中点为P .因为1DA DD =，P 是1AD 中点，所以1DP AD ⊥. 又由已知可得，CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1CD AD ⊥.又CD DP D =， 且CD ⊂平面PCD ，DP ⊂平面PCD ，所以1AD ⊥平面PCD ，即存在点P ，使得1AD ⊥平面PCD ，故C 项错误；
对于D 项，如图3，将1BAD 和1CAD 展开到同一平面，当点P 为1,AD BC 交点时，PB PC +有最小值.
因为112AD AC CD ==160D AC ∠=，又190BAD ∠=，所以150BAC ∠=.在ABC 中， 由余弦定理可得，2
2
2
2cos150BC AB AC AB AC =+-⋅31221236⎛=+-⨯= ⎝⎭
所以PB PC +36+D 项错误. 故选：AB.
11．已知函数()()()2626a x x f x x x
-+-=
++-a 为实数，则（ ）
A ．()f x 的图象关于2x =对称
B ．若()f x 在区间[]22-,
上单调递增，则0a < C ．若1a =，则()f x 的极大值为1 D ．若0a <，则()f x 的最小值为a 【答案】ACD
【分析】根据题意可得函数定义域为[]2,6-，由()4()f x f x -=可得A 正确；将函数整理变形，构造函数()26226x x g x x x
+-=
++-求导可得其单调性，再利用函数单调性即可判断B 错
误；当1a =，由()f x 的单调性可知()f x 在2x =处取得极大值为1，即C 正确；若0a <，同理可得
()f x 的最小值为a ，所以D 正确；即可得出正确选项.
【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为[]2,6-， 则[]42,6x -∈-，所以()()()()()6226462
26a x x a x x f x x x x x
-----+--=
=
-++++-
可得对于[]()2,6,4()x f x f x ∀∈--=，所以()f x 的图象关于2x =对称，即A 正确；
由()
f x =
(
)f x a ⎫=
=
⎝ 令(
)g x
，[]2,6
x ∈-，
(
)
(
)
21212
4g x '=⎛
⎫ ⎪=+
⎪
⎪
⎝
⎭
令()0g x '=，得2x =，当[]2,2x ∈-时，()0g x '>，函数()g x 为单调递增； 当[]2,6x ∈时，()0g x '<，函数()g x 为单调递减；
根据函数单调性可知，若()f x 在区间[]22-,
上单调递增，则0a >，故B 错误；
当1a =，则()(
)f g x x =
=
所以()f x 在2x =处取得极大值()2211f =-=， 即()f x 的极大值为1，故C 正确；
若0a <，根据函数单调性可知()f x 在区间[]22-,
上单调递减，[]2,6上单调递增； 所以()f x
在2x =处取得极小值，也是最小值，
由(
)f x a ⎫=⎝得，()22(1)f a a =-=， 所以0a <，则()f x 的最小值为a ，即D 正确； 故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过观察函数特征，将函数()f x 改写成
(
)f x a ⎫=
⎝，再通过构造函数(
)g x ，结合参数a 的正负利用导数研究函数()f x 的单调性和极值
即可.
12．若数列{}n a 满足2132111
1
22
2
n n a a a a a a --<-<
<-<
，则称数列{}n a 为“差半递增”数列，则
（ ）
A ．正项递增数列均为“差半递增”数列
B ．若数列{}n a 的通项公式为()1n
n a q q =>，则数列{}n a 为“差半递增”数列
C ．若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，则数列{}n a 为“差半递增”数列
D ．若数列{}n a 为“差半递增”数列，其前n 项和为n S ，且满足122n n n S a t +=--，则实数t 的取值范围为32,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】BCD
【分析】利用数列1,4,5作为反例可判断A 选项，利用作差法结合等比数列的通项公式比较得1111
22n n n n a a a a -+-<-可说明B 选项，利用作差法结合等差数列的通项公式比较得
111122n n n
n a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
可说明C 选项，根据,n n a S 的关系求出数列{}n a 通项公式，再根据“差半递增”数列的定义列出不等式可求t 的取值范围,从而判断D 选项. 【详解】对于A ，假设一个正项递增数列为：1,4,5， 则174,52322-
=-=，则7
32
>，不满足“差半递增”数列，A 错误； 对于B ，因为()1n
n a q q =>，
所以11
111111,,2222n n n n n n n n a a q q a a q q -+-+-=--=-
1
1121
111111(231)22222n n n n n n n n n a a a a q q q q q q q +--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为1q >，所以函数2231y q q =-+单调递增，所以当2310y >-+=，
即111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫
->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
恒成立，所以数列{}n a 为“差半递增”数列，B 正确；
对于C ，设公差0d >，1(1)n a a n d =+-，11(2)n a n d a -=+-，11n a a nd +=+，
所以111111111
,2222222n n n n a d a a a nd a a nd -+-=+-=++，
所以111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫
->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n a 为“差半递增”数列，C 正确；
对于D ，因为1
22n n n S a t +=--，所以11124S t a a ==--，所以14a t =+，
当2n ≥时，11222n n n n n n a S S a a --=-=--，
所以122n
n n a a --=，所以
1
1
122n n n n a a ---=， 所以数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，公差为1，所以11(1)1222n n
a a n n t =+-=++， 所以12(1)2
n
n a n t =++，
所以对任意,2n n *∈≥N ，111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫
->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即
11111111
2(2)2(1)2(1)2()222222n n n n n t n t n t n t +-++-⋅++>++-⋅+，
所以1111
8(2)2(1)4(1)()2222n t n t n t n t ++-++>++-+，
所以620
3
n t -->
，因为,2n n *∈≥N , 所以当2n =时6203n --有最大值为32
3
-， 所以32
3
t >-
，D 正确； 故选:BCD.
三、填空题
13．如图所示，A ，B ，C ，D 是正弦函数sin y x =图象上四个点，且在A ，C 两点函数值最大，在B ，D 两点函数值最小，则()()
OA OB OC OD +⋅+=______.
【答案】212π
【分析】由图象得出各点的坐标，进而表示出向量，根据向量以及数量积的坐标运算即可得出答案. 【详解】由图象结合正弦函数可得，π,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，3π,12B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，5π,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
所以π,12OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π,12OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，5π,12OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π,12OD ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，
所以()2π,0OA OB +=，()6π,0OC OD +=，
所以()()
2
2π6π12πOA OB OC OD +⋅+=⨯=.
故答案为：212π.
14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，且()()f x f θ≤对任意x ∈R 恒成立，若角θ的终边经过点
()4,P m ，则m =______.
【答案】3
【分析】由辅助角公式得θ表达式，后可得答案. 【详解】()()3sin 4cos 5sin f x x x x ϕ=+=+，其中4tan 3ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 则()()ππ
52πZ 2πZ 22
，，f x f k k k k ≤=⇒+=
+∈⇒=-+∈θθϕθϕ， 则1324π
tan tan tan θφφ⎛⎫=-
== ⎪⎝⎭
，则3344m m =⇒=.
故答案为：3
15．写出一个同时满足下列三个性质的函数()f x =______.
①()f x 是奇函数；②()f x 在()2,+∞单调递增；③()f x 有且仅有3个零点. 【答案】()()11x x x +-（答案不唯一）
【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证
()2,+∞单调递增即可写出解析式.
【详解】由()f x 是奇函数，不妨取()00f =，且函数图象关于原点对称； 又()f x 有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称， 若保证()f x 在()2,+∞单调递增，显然()()()11f x x x x =+-满足. 故答案为：()()11x x x +-（答案不唯一）
16．设双曲线()22
22:10x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，过点A 且斜率为2的直线与C 的两条渐近线分
别交于点P ，Q .若线段PQ 的中点为M ，AM =，则C 的离心率e =______.
【分析】根据题意可得出直线方程，与渐近线方程联立解得交点P ，Q 的坐标，再根据中点坐标公
式求出32222242,44a ab M a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
，由直线斜率为2以及AM =利用余弦定理解得22
85a OM =
，再利用两点间距离公式可得关于,a b 的方程，解得2
2
3b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求得离心率.
【详解】由题意可知(,0)A a ，双曲线的两条渐近线方程为b y x a
=±
过点A 且斜率为2的直线方程为2()y x a =-， 不妨设直线2()y x a =-与渐近线b
y x a
=
交于点P ，与渐近线b y x a =-交于点Q ，如下图所示：
联立2()
y x a b y x a =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
可得222,22a ab P a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理得222,22a ab Q a b a b ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭，所以PQ 的中点M 为3222
2242,44a ab a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
设过点A 且斜率为2的直线的倾斜角为α，即tan 2α=，可得5
cos α= 所以5cos cos OAM α∠=-= 由余弦定理可得2
2
2
2
82cos 5
a OM OA AM OA AM OAM =+-⨯⨯⨯∠= 即22
3222222428445a ab a a b a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，
整理可得42
316120b b a a ⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即223260b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭或26b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍） 所以双曲线离心率为222515
1133c b e a a ==++15
【点睛】关键点点睛：求解本题离心率问题时，关键是联立直线与渐近线方程解得交点P ，Q 的坐标得出中点M 的坐标，再利用斜率以及AM 由余弦定理找出等量关系，建立关于,a b 的方程，即可求得离心率.
四、解答题
17．已知正项数列{}n a 满足11a =，()()2
12252*n n n n a a a a n ++=++∈N .
(1)证明：数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()41log 1n
n n b a =-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .
【答案】(1)证明见解析，*21,n
n a n -∈=N
(2)1
,4
4
n n n T n n --⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数
【分析】（1）根据递推公式将其分解整理可得121n n a a +=+，两边同时加1即可证明数列{}1n a +是等比数列，根据等比数列通项公式即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可写出()12
n
n n
b =-⋅
，分别对n 是奇数和偶数两种情况进行分类讨论即可求得结果. 【详解】（1）将等式右边分解得()()()12212n n n n a a a a ++=++， 因为已知0n a >，所以121n n a a +=+， 所以()1121n n a a ++=+，
所以数列{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列， 所以1
11(1)2
2n n n a a -+=+⋅=，
即21n
n a =-.
所以数列{}n a 的通项公式为*21,n
n a n -∈=N
（2）结合（1）知()()41log 212
n n n
n n b =-=-⋅，
所以当n 为偶数时，1234111
1222222224n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭. 当n 为奇数时，12342111122222222224n n n n n n
n T ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+-=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭. 所以数列{}n b 的前项和1
,4
4
n n n T n n --⎧⎪⎪
=⎨
⎪⎪⎩为奇数，为偶数 18．在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos sin cos sin C A B B C A -=-.
(1)求tan A 的最小值；
(2)若tan 2A =，a =c .
【答案】
(2)c =或
【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开整理可得2cos cos cos C B A =，再利用三角形内角关系化简得tan tan 3B C =，由锐角三角形ABC 可知，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得tan A 的最
小值；（2）根据tan 2A =可求得tan 1C =或tan 3C =，即可求出角C 的正弦值，再由a =弦定理即可求得c .
【详解】（1）由已知得()()cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-， 整理得2cos sin cos cos sin C A B A A =， 因为sin 0A >，所以2cos cos cos C B A =，
又因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+， 所以sin sin 3cos cos B C C B =， 可得tan tan 3B C =，
()tan tan tan tan
tan tan tan tan 12
B C B C
A B C B C ++=-+=
=-
当且仅当tan tan B C == 故tan A
（2）由（1）知tan 2A =，所以tan tan 4B C +=， 又因为tan tan 3B C =，所以tan 1C =或tan 3C =，8分
当tan 1C =时，sin C =，由正弦定理得sin sin a c C A ==
当tan 3C =时，sin C =sin sin a c C A =
=
综上，c =或19．一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为23
，三个红球一个白球的概率为1
3
.
(1)从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；
(2)现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为3
4
，抽到三个小球的概
率为1
4
，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记1-分，用X 表示抽到的小球分数之和，求
X 的分布列及数学期望.
【答案】(1)
712
(2)分布列见解析，()2716
E X =
【分析】（1）根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可；（2）由题意先找出随机变量X 的值，分别求出各自的概率，列出分布列，求出数学期望.
【详解】（1）记事件A 表示“抽取一个小球且为红球”，1B 表示“箱子中小球为两红两白”，2B 表示“箱子中小球为三红一白”，
则112221137()()(|)()(|)323412
P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=.
（2）由题意得X 的取值可以为2-，0，1，3，4，6，
()2311
234612P X =-=⨯⨯=，
()2111
034212
P X ==⨯⨯=，
()23213111
134334224P X ==⨯⨯+⨯⨯=，
()2111137
334234448P X ==⨯⨯+⨯⨯=，
()2311315
434634224P X ==⨯⨯+⨯⨯=，
()1111
634448P X ==⨯⨯=.
随机变量X 的分布列为：
所以X 的分布列及数学期望为：
()()11117512720134612122448244816
E X =-⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知三棱台111A B C ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，2AB AC ==，1111AA A B ==，111AB AC ⊥，E ，
F 分别是BC ，1BB 的中点，D 是棱11A C 上的点.
(1)求证：1AB DE ⊥；
(2)若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求二面角M AC B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)213
13
【分析】（1）利用1AA ⊥底面ABC ，111AB AC ⊥以及棱台的几何特征即可证明AC ⊥平面11AA B B ，再利用线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A DEG 即可得出结论；（2）首先由几何关系确定M 的位置，即12
3
A M =，再建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得面角M AC
B --的余弦值. 【详解】（1）如图所示：
取线段AB 的中点G ，连接1A G ，EG ，易得1DA EG ∥，所以E ，G ，1A ，D 四点共面. 因为111AB AC ⊥，11AC AC ∥，所以1AB AC ⊥，又因为1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以1AA AC ⊥，因为1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ， 所以AC ⊥平面11AA B B ，
因为E ，G 分别是BC ，BA 的中点，所以EG AC ∥，所以EG ⊥平面11AA B B ，
因为1AB ⊂平面11AA B B ，所以1AB EG ⊥ 因为1111AA A B AG ===，11A B AG ∥，
又因为1AA AG ⊥，所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥， 又因为1EG
AG G =，EG ⊂平面1A DEG ，1
AG ⊂平面1A DEG ； 所以1AB ⊥平面1A DEG ，因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥. （2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则DQ 与11A B 的交点即为M . 由F ，E 分别为1BB 和BC 的中点知M 为线段11A B 的三等分点，且12
3
A M =， 由（1）知AC A
B ⊥，所以A
C 、AB 、1AA 两两垂直，
以点A 为原点，AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.
()2,0,0C ，20,,13M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()2,0,0AC =，20,,13AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
设平面MAC 的法向量()1,,n a b c =，则20203
a b c =⎧⎪
⎨+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-
易得平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =， 设二面角M AC B --为θ，由图易知θ为锐角，
所以1212
2cos 13
n n n n θ⋅
=
=
=⋅， 所以二面角M AC B --21．已知椭圆()22
22:10x
y C a b a b
+
=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为12Q ⎫-⎪⎭在C
上.
(1)P 是C 上一动点，求12PF PF ⋅的范围；
(2)过C 的右焦点2F ，且斜率不为零的直线l 交C 于M ，N 两点，求1F MN △的内切圆面积的最大值. 【答案】(1)[]2,1-
(2)π
4
【分析】(1)结合焦距及点Q 坐标，求得椭圆C 的方程：2
214
x y +=，设点(),P x y ，得212324PF PF x ⋅=-，
结合椭圆有界性解得范围即可；
(2)设直线l
的方程为x my =+联立椭圆方程结合韦达定理得12y y +，12y y ，利用等面积法求解内切圆半径，进而求得内切圆面积.
【详解】（1
）由题意知c =223a b =+.
将点12Q ⎫-⎪⎭代入222
213x y b b +=+，解得1b =，所以椭圆C 的方程为：2
214
x y +=. 设点(),P x y
，则(
))
222
123,,324
PF PF x y x y x y x ⋅=--⋅
-=-+=
-.
又因为[]2,2x ∈-，所以12PF PF ⋅的范围是[]2,1-.
（2）依题意可设直线l
的方程为x my =()11,M x y ，()22,N x y .
联立22
1,4x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪
⎩得2
2
111044m y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 所以12
y y +=12
214y
y m =-+，
所以1121
2
F MN
S y y =⨯-==△
又因为()()()()222
2
22
22
21
1
1
19
1241619
1
61
m m m m
m m
m ++=
=
≤
+++++
++
++，
当且仅当m =.所以12F MN S ≤△. 又因为三角形内切圆半径r 满足1112241482
F MN
F MN
F MN
S
S
r L a
=
=
≤
=. 所以1F MN △的内切圆面积的最大值为π
4
.
22．已知函数()()2
e cos ln 1x
f x ax x x =---+.
(1)若1a =，求证；函数()f x 的图象与x 轴相切于原点；
(2)若函数()f x 在区间()1,0-，()0,∞+各恰有一个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A ．14种 B ．15种 C ．16种 D ．18种 2．函数y =2x sin2x 的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 3．已知点P 是双曲线22 2222:1(0,0,)x y C a b c a b a b -=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积 为 2 14 c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3 D ．2 4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68 (2)a a +-=（ ） A ．256 B ．-256 C ．32 D ．-32 5．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种
6．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()' 10x f x x f x -⋅+⋅>，若3 (2)y f x e =+-是奇函数，则不等式 1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞ C ．()2,+∞ D ．()1,+∞ 7．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43x f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则()()33log 6log 54f f -+=（ ） A ． 32 B ． 33 log 22 - C ．12 - D ． 32 log 23 + 8．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为1 2 得等比数列，则3a 等于（ ） A ．64 B ．32 C ．2 D ．4 9．已知()()() [)3log 1,1,84,8,6 x x f x x x ⎧+∈-⎪ =⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[)1,2 C ．[)1,+∞ D ．()0,1 10．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ． 163 i B ．6i C ． 203 i D ．20 11．已知函数()2 ln e x f x x =，若关于x 的方程2 1[()]()08 f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3 (0,)4 B ． C ．3)4 D ． 12．若关于x 的不等式1127 k x x ⎛⎫≤ ⎪ ⎝⎭ 有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥；
山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知全集U =R ，集合{} 2 280A x x x =--≤，则 U A =（ ） A ．[]2,4- B ．[]4,2- C ．() (),42,-∞-+∞ D ．()(),24,-∞-+∞ 2．如图，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x 轴正半轴，点P 是角α终边上的一点，则cos2=α（ ） A ． B ．45 - C ． 35 D ．25 - 3．2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为 5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占1 3，若主持人向这两个分课堂中的一 名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ） A ．1 8 B ．38 C ．12 D ．58 4．“04 x π << ”是“0sin 4x π<<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为（ ）
A ．90 B ．324 C ．360 D ．400 6．已知12 2log a a =，123log b b =，()2 1 log 3c c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a << 7．已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是（ ） A ．[0，1] B ．⎡⎣ C ．[1，2] D ．[]1,1- 8．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着 广泛的应用．斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：()* 123,n n n a a a n n N --=+≥∈， 12 1a a ==，则()202221 2022 1,2,,2022i i a i a ==⋅⋅⋅∑ 是数列 {}n a 的第几项？（ ） A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023 二、多选题 9．已双曲线C ：()2 202x y λλ-=<，则（ ） A ．双曲线C 的实轴长为定值 B ．双曲线 C 的焦点在y 轴上 C ．双曲线C 的离心率为定值 D ．双曲线C 的渐进线方程为y = 10．已知函数x x x x e e f x e e ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为R B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在定义域上是减函数
2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．若集合{} 2 |4,{|1}M x x N x x =>=>，则()R M N =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{}|2x x ≥- C ．{|1}x x > D ．{}2|x x ≤ 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求M ，应用集合的并、补运算求集合. 【详解】由题设{|2M x x =<-或2}x >，则R {|22}M x x =-≤≤， 而{|1}N x x =>，故()R {|2}M N x x ⋃=≥-. 故选：B 2．若2i 12i z +=-，则z =（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】D 【分析】应用复数的除法化简复数，由共轭复数的概念写出z 即可. 【详解】2i (2i)(12i)5i i 12i (12i)(12i)5 z +++====--+，故i z =-. 故选：D 3．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 2,0 3,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，则()2023f =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【分析】利用给定函数可得()()20231f f =，结合解析式及对数运算求函数值即可. 【详解】由题设，当0x >时，()(3)f x f x =-，即当0x >时，函数()f x 的值每隔3个单位重复出现， 则()()()()()2220233674112log 22log 42f f f f ⎡⎤=⨯+==-=--==⎣⎦. 故选：C 4．已知函数()2 2x f x x =-在点()()22f ,处的切线与直线10x ay ++=垂直，则=a （ ） A ．()6ln21- B ．()4ln21- C ．()2ln21- D ．0
2023届山东省青岛市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．复数i 2 1i -+的虚部为（ ） A ．3i 2 B ．32 C ．3 2- D ．12 - 【答案】B 【分析】根据复数的运算求得i 2 1i -+的结果，即可得答案. 【详解】由题意复数 i 2(i 2)(1i)13i 13i =1i (1i)(1i)222 ----+==-+++-， 故复数 i 21i -+的虚部为3 2， 故选：B 2．若()()34 a x a x ++-的展开式中含有2x 项的系数为18，则=a （ ） A ．2 B ．32 C ．3 2或2- D ．3 2 -或2- 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列出方程，即可求得a ，即得答案. 【详解】由题意()()34 a x a x ++-的展开式中含有2x 项的系数为18， 即2222 34C C (1)18a a +-= ，即226a a +=， 解得2a =-或32 a =， 故选：C 3．已知集合(){}22,20A x y x y x =+-=∣ ，()(){},1B x y y k x ==+∣.若A B ⋂≠∅，则（ ） A ．k ≤≤ B ．k ≤≤ C ．k ≥ k ≤D ．k ≥k ≤【答案】A 【分析】根据集合表示点的含义，可得直线与圆相交或相切，1，整理解出不等式 即可得出答案. 【详解】由已知可得，集合A 表示的点(),x y 在圆2220x y x +-=上，圆心为()1,0，半径1r =，集合
B 表示的点为直线()1y k x =+，即0kx y k -+=上的点. 由A B ⋂≠∅可知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切， 所以圆心()1,0到直线0kx y k -+=的距离d r ≤，即 2 211 k k ≤+， 整理可得2310k -≤，解得33 33 k -≤≤ . 故选：A. 4．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（ ） A 2 B ．1 C 2 D ．22【答案】D 【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求出平面EFG 和平面GHK 的法向量，即可求平面EFG 和平面GHK 夹角的余弦值，进而可求解. 【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图， 平面EFG 和平面GHK 为有公共顶点的两个正三角形所在平面，
2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．设全集U =R ，集合{} 21A x x =-≤，{} 240x B x =-≥，则集合( )U A B =（ ） A ．()1,2 B ．(]1,2 C ．[)1,2 D ．[]1,2 【答案】C 【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】解不等式21-≤x 得：13x ≤≤，则[1,3]A =， 解不等式240x -≥得：2x ≥，则[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞， 所以( )[1,2)U A B =. 故选：C 2．若复数z 满足()2023 2i i z -=，则z =（ ） A ．12i 55 - B ．12i 55 -- C ．12i 55 -+ D ．12i 55 + 【答案】D 【分析】首先计算2023i i =-，再利用复数的除法运算求z ，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】2023505433i i i i ⨯+===-， 所以()()()i 2i i 12i 12i 22i 2i 555 z i -+--= ===---+， 则12 i 55 z =+. 故选：D 3．已知函数()sin ,sin ,,sin ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则 π6f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （ ） A ． 6 π B ．1 2 C D ． 3 π 【答案】B 【分析】根据 ππ sin 66 ≥再利用分段函数定义即可求得6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的值. 【详解】由题意可知， ππ1 sin 662 ≥=，满足sin ,x x ≥
所以ππ1sin 662f ⎛⎫ == ⎪⎝⎭ . 故选：B 4．若一组样本数据1x 、2x 、 、n x 的平均数为10，另一组样本数据124x +、224x +、 、24 n x +的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A ．17，54 B ．17，48 C ．15，54 D ．15，48 【答案】A 【分析】计算出1n i i x =∑、2 1 n i i x =∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据1x 、2x 、、n x 的平均数为10，则1110n i i x n ==∑，则1 10n i i x n ==∑ 所以，数据124x +、224x +、 、24n x +的平均数为 ()11 12244210424n n i i i i x x x n n =='=+=+=⨯+=∑∑， 方差为()() ()222 2221111 14444242410104008n n n n i i i i i i i i s x x x x n x n n n n n ====⎡⎤'=+-+=-=-⨯⨯=-=⎣⎦∑∑∑∑， 所以，2 1 102n i i x n ==∑， 将两组数据合并后，新数据1x 、2x 、、n x 、124x +、224x +、、24n x +的平均数为 ()()()1111111131243443104172222n n n n i i i i i i i i x x x x x n n n ====⎡⎤⎛⎫''=++=⨯+=+=⨯+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ∑∑∑∑， 方差为()()222 211111117241758645822n n n n i i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤ ⎛⎫''=-++-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ∑∑∑∑ ()1 5102860458542n n n n = ⨯-+=. 故选：A. 5．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则5n =时，圆球总个数为（ ）
2022-2023学年山东省潍坊市高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题 1．已知两点(),2A a ，()3,1B ，且直线AB 的倾斜角为90︒，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点为1F ，2F ，椭圆上的点P ，Q 满足P ，Q ，1F 三 点共线，则2F PQ △的周长为（ ） A ．2a B ．2b C ．4a D ．4b 3．圆2240x y x +-=与圆()()2 2 139x y -++=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相离 C ．外切 D ．内切 4．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则1D M ＝（ ） A ．12 - a +1 2b +c B ．1 2a 1 2 -b +c C ．1 2a +1 2b +c D ．12- a 1 2 -b +c 5．在空间直角坐标系O xyz -中，若点()2 2,1,21M a a b c -+-关于z 轴的对称点M '的坐标为 ()1,2,9-，则a b c ++的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 6．在直三棱柱111ABC A B C 中，12CA CB AA ===，90ACB ∠=︒，M 是11A B 的中点，则直线CM 与1A B 夹角的余弦值为（ ） A B C D 7．某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A ，B ，C 三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B 企业，乙不去C 企业，则不同的派遣方案共有（ ） A ．42种 B ．30种 C ．24种 D ．18种 8．如图,点()15,0F -,()25,0F 分别是双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >)的左、右焦点,M 是C
2023届山东省潍坊市高三上学期10月优生抽测数学试题 一、单选题 1．已知集合{} 2 =4<0A x x x -，{}2,B m =，且A B ⋂有4个子集，则实数m 的取值范围 是（ ） A ．()0,4 B ．()()0,22,4 C ．()0,2 D ．() (),24,-∞+∞ 【答案】B 【分析】求出集合A ，由题意可得2m ≠，且m A ∈，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】{} {}2 =4<0=0<<4A x x x x x -， 因为A B ⋂有4个子集，所以集合A B ⋂中有2个元素， 因为{}2,B m =， 所以2m ≠，且m A ∈， 所以2m ≠且04m <<， 即实数m 的取值范围是()()0,22,4， 故选：B. 2．若a ∈R ，则关于x 的不等式224410x ax a -+-<的解集为（ ） A ．1|<2a x x -⎧ ⎨⎩ 或+1>2a x ⎫⎬⎭ B ．+1|<2a x x ⎧ ⎨⎩ 或1>2a x -⎫⎬⎭ C ．1+1|<<22a a x x -⎧⎫⎨⎬⎩ ⎭ D ．+11|<<22a a x x ---⎧ ⎫⎨⎬⎩ ⎭ 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法即可. 【详解】由题可知，原不等式可转化为[][]2(1)2(1)0x a x a -+--<， 因为 11 22 a a +->， 所以不等式的解为11 22 a a x -+<<， 故选:C. 3．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10
2022-2023学年山东省潍坊市安丘市高一上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{}3,2,1,0,1A =---，集合{N 23}B x x =∈-≤<∣，则A B =（ ） A ．{3,2,1,0,1}--- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}0,1 D ．{}2,1,0-- 【答案】C 【分析】由交集运算求解即可. 【详解】因为{}{N 23}0,1,2B x x =∈-≤<=∣，所以A B ={}0,1. 故选：C 2．若,a b c R <∈，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc > C ．11a b < D ．33a b < 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项进项检验即可求解. 【详解】对于A ，当01a b =<=，则22a b <，故选项A 错误； 对于B ，因为a b <，当0c >时，可得：ac bc <，故选项B 错误； 对于C ，作差：11b a a b ab --=，因为a b <，所以0b a ->，但ab 的符号无法判断，所以选项C 错误； 对于D ，因为a b <，由不等式的性质可得：33a b <，故选项D 正确， 故选：D . 3．函数()2 3x f x a -=+过定点A ，且点A 在幂函数()g x 的图像上，则()g x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不对 【答案】B 【分析】由()f x 过点求出点A ，然后求出幂函数()g x ，然后分析即可. 【详解】当2x =时，()22 234y f a -==+=， 所以()2,4A ， 设()g x x α =（α为常数），过点A ，
2023届山东省菏泽市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．设集合{}2,1,0,1,2A =--，5 2B x x ⎧=<⎨⎩且}N x ∈，则A B =（ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,2 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1,2-- 【答案】C 【分析】写出由集合A 中满足小于5 2 的自然数元素组成的集合即可. 【详解】集合A 中满足小于5 2 的自然数元素有0，1，2， 所以{}0,1,2A B =. 故选：C. 2．若复数i 1i a z +=+的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．2 【答案】A 【分析】利用复数的除法，然后利用复数的实部与虚部相等即得. 【详解】 ()()()()()()1i 11i 11i 1i 22i 2 i 1i 1i a a a z a a a -++++= +-+-===-++， 由于复数z 的实部与虚部相等， 则 1122 a a +-=， 解得0a =. 故选：A. 3．若2: 01 x p x -≤+，则p 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．12x -≤≤ B ．1x > C ．2x D ．25x <≤ 【答案】B 【分析】解不等式 201 x x -+≤得1x <-或2x ≥，选出其必要不充分条件即可.
【详解】p ： 201 x x -+≤，即(2)(1)0x x -+≤且1x ≠-，解得1x <-或2x ≥， 所以p ：1x <-或2x ≥， 对于A ，12x -≤≤是p 的既不充分也不必要条件； 对于B ，1x >即1x <-或1x >，是p 的必要不充分条件； 对于C ，2x 即<2x -或2x >，是p 的充分不必要条件； 对于D ，25x <≤是p 的充分不必要条件； 故选：B. 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则40S =（ ） A ．60 B ．70 C ．80 D ．150 【答案】D 【分析】根据等比数列前n 项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可. 【详解】因为{}n a 是等比数列， 所以10201030204030,,,S S S S S S S ---成等比数列， 又因为1010S =，2030S =，201020S S -=， 则302040S S -=，403080S S -=， 所以3070S =，40150S =. 故选：D. 5．已知函数() 2 lg 1y x ax =-+在()2,+∞上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．[)4,+∞ C ．(],4∞- D ．5,2⎛ ⎤-∞ ⎥⎝ ⎦ 【答案】D 【分析】由复合函数单调性及定义域可求解. 【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知： 函数2()1f x x ax =-+在()2,+∞上单调递增且()0f x >在()2,+∞上恒成立， 则有222(2)2210a f a ⎧≤⎪⎨⎪=-+≥⎩ ，解得52a ≤，则a 的取值范围为5,2⎛ ⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D
2022-2023第一学期期末测试 高三数学 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{} 2 650x x x -+≤，B ＝{x y =，则A∩B 等于( ) A ．[1,3] B ．[1,5] C ．[3,5] D ．[1，＋∞) 2．若复数z 满足：1i z =+，则22z z -的共轭复数的虚部为（ ） A ．-2 B ．i C ．0 D ．2 3．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（ ） A ．184斤 B ．176斤 C ．65斤 D ．60斤 4．已知随机变量X 服从正态分布()2 2,N σ，且()()1235P X P X -<≤=>，则 ()150.75P X -<≤==（ ） A ．0.5 B ．0.625 C ．0.75 D ．0.875 5．已知3cos 234πα⎛⎫-=- ⎪⎝ ⎭，则25sin 6πα⎛ ⎫ - = ⎪⎝⎭ （ ） A B C ． D ． 6．设1F ，2F 是椭圆22143 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且点P 到两个焦点的距 离之差为1，则12PF F △的面积为（ ） A ．2 B ．3 C ．32 D ．5 2 7．已知函数()4cos cos 1(0)2226x x f x πωωπω⎛⎫⎛⎫=-⋅--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在区间3,34ππ⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间[]0,π上只取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．30,4⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ B ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．38,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8．定义在R 上的函数()f x 满足1 (1)()3 f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2 ()f x ≤ ，则m 的取值范围是（ ）
2023届山东省滨州市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{}1,4,A x =，{}2 1,B x =，且A B B =，则x 的所有取值组成的集合为（ ） A ．{}2,0- B ．{}0,2 C ．{}2,2- D ． 2,0,2 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】因为A B B =，所以B A ⊆，所以2x A ∈， 若24x =，则2x =或2x =-，经检验均满足题意， 若2x x =，则0x =或1x =， 经检验0x =满足题意，1x =与互异性矛盾， 综上x 的所有取值为：2-，0,2， 故选:D. 2．已知()1i 3i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．5 B C ．2 D 【答案】B 【分析】由复数的除法运算，化简求复数z 的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解． 【详解】由复数z 满足()1i 3i z +=-，则3i (3i)(1i)24i 12i 1i (1i)(1i)2 z ----====-++-， 则z == 故选：B ． 3．若“12x <<”是“不等式2()1x a -<成立”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,2 B ．(]1,2 C ．[]1,2 D ．()1,2 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】解：由2 ()1x a -<得11a x a -<<+， 12x <<是不等式2()1x a -<成立的充分不必要条件，
∴满足11 12a a -≤⎧⎨+≥⎩ ，且等号不能同时取得， 即2 1 a a ≤⎧⎨≥⎩， 解得12a ≤≤， 故选：C ． 4．在四边形ABCD 中,AB CD ∥,4AB CD =,点E 在线段CB 上,且3CE EB =,设AB a =,AD b =,则AE =（ ） A ．5182a b + B ．51 42 a b + C ． 131 164 a b + D ． 131 84 a b + 【答案】C 【分析】画出图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果. 【详解】解:由题知,AB CD ∥,4AB CD =，画出示意图如下: 因为3CE EB =,AB a =,AD b =, 所以AE AB BE =+ 1 4 AB BC =+ () 1 4 AB BA AD DC =+++ 311 444AB AD DC =++ 311 4416AB AD AB =++ 131 164AB AD =+ 131164 a b = +. 故选:C 5．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a b ab +的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．10 【答案】A 【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．
2023届山东省济南市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{|2},{|(2)(3)0}A x x B x x x =≥=+-≥，则A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x ≥ B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|2x x ≤-或3}x ≥ D ．{|2x x ≤-或2}x ≥ 【答案】D 【分析】解一元二次不等式确定集合B ，再根据并集的定义求解. 【详解】由(2)(3)0x x +-≥解得{|2x x ≤-或3}x ≥， 所以A B ⋃={|2x x ≤-或2}x ≥， 故选:D. 2．若复数z 满足()1i 2i z -=-，则z =（ ） A ．1 B C D ．2 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可得出z 的值. 【详解】由已知可得()()() 2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -+-===---+，因此，z =故选：B. 3．将函数()sin 26πf x x ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析 式为（ ） A ．()sin 2g x x = B ．π()sin 23 g x x ⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭ C ．π()sin 26g x x ⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭ D ．()cos 2g x x =- 【答案】C 【分析】根据图象的平移变换方法求解即可. 【详解】函数()sin 26πf x x ⎛ ⎫=- ⎪⎝ ⎭的图象向左平移π6个单位长度后 得到函数πππ()sin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛ ⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选:C.
2023届山东省德州市高三上学期期末数学试题 一、单选题 1．已知集合{}31M x x =-<，{}2 340N x x x =-+<，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简集合,M N ，再根据集合的包含关系及充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由31x -<可得131x -<-<，即24x <<，所以{|24}M x x =<<， 由2340x x --<可得()()410x x -+<，解得14x -<<，所以{|14}N x x =-<<， 因为集合M 是集合N 的真子集，所以“a M ∈”是“a N ∈”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知复数z 满足3z －1＝（z ＋2）i ，则z ＝（ ） A ． 17i 1010 - B ．11i 22 + C ．11i 22 - D ． 17i 1010 + 【答案】D 【分析】复数z a bi =+，代入已知等式，利用复数相等求解未知数. 【详解】设复数z a bi =+，代入()312i z z -=+，有()()313i 2i a b b a -+=-++， 则3132a b b a -=-⎧⎨=+⎩，解得110 7 10a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，∴17i 1010z =+. 故选：D 3．函数()2 223 ()1(03,)m m f x m m x m m --=-+≤≤∈Z 同时满足①对于定义域内的任意实数x ，都有 ()()f x f x -=；②在(0,)+∞ 上是减函数，则2f ⎛ ⎝⎭ 的值为（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】B 【分析】由m 的值依次求出223m m --的值，然后根据函数的性质确定m ，得函数解析式，计算函数值．
2023届山东省实验中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题 1．已知集合{}{}|02,|1A x x B x a x a =<<=-<<，若{}|12A B x x ⋂=<<，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．—1 D ．—2 【答案】B 【分析】由交集的概念列式求解， 【详解】由题意知11 2a a -=⎧⎨≥⎩ 解得2a =． 故选：B 2．若复数z 满足(1)i 1i z -⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】B 【分析】由复数除法运算可求得z ，由虚部定义得到结果. 【详解】由(1)i 1i z -⋅=-得：1i 11i i z --= =--， i z ∴=- z ∴的虚部为1-. 故选：B. 3．设D 为ABC 所在平面内一点,3DC BC =,则（ ） A ．31 22 AC AB AD = - B ．41 33 AC AB AD = - C ．32AC AB AD =- D ．43AC AB AD =- 【答案】A 【分析】根据向量加法的首尾相连,根据1 3BC DC =将AC 往,AB AD 上拼凑即可得出结果. 【详解】解:由题知1 3,3DC DC BC BC =∴=, AC AB BC =+ 1 3AB DC =+ () 1 3 DA B AC A =+ + 11 33 AD AC AB =-+,
即21 33 A AC A B D =- 31 22 AB AC AD ∴= -. 故选:A 4．已知命题“x ∃∈R ，使()2 4110x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞- B ．()5,3- C ．(5,)+∞ D ．(3,5)- 【答案】D 【分析】由题可得()2 4110x a x +-+>恒成立，由Δ0<即可求出. 【详解】因为命题“R x ∃∈，使()2 4110x a x +-+≤”是假命题， 所以，命题“R x ∀∈，()2 4110x a x +-+>”是真命题， 所以，2Δ(1)160a =--<，解得35a -<<， 故实数a 的取值范围是(3,5)-． 故选：D. 5．已知 cos 2sin cos 3 ααα= +，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A B ．13 C ． D ．1 3 - 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦公式和辅助角公式化简可得π4α⎛ ⎫- ⎪⎝⎭，根据 ππsin sin 44αα⎛⎫⎛ ⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭可求得结果. 【详解】22cos 2cos sin πcos sin sin cos sin cos 4αααααααααα-⎛⎫==-=-= ⎪++⎝⎭， ππ1sin sin 443αα⎛⎫⎛ ⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭. 故选：B. 6．已知1F ，2F 分别为椭圆22 163 x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，以2F 为圆心的圆与直线1 PF 恰好相切于点P ，则1|PF |=（ ） A B ．2 C D 【答案】A
2023届山东省百校大联考高三上学期12月数学试题 一、单选题 1．已知集合{} 2 560A x x x =-+≤，集合{B x y =，则A B ⋃=（ ） A ．(]1,3 B ．()1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．[]2,3 【答案】C 【分析】先化简集合A 、B ，再去求A B ⋃即可解决. 【详解】{} {}2 560=23A x x x x x =-+≤≤≤ {{}2B x y x x ===≥ 则{}{}{}2322A B x x x x x x ⋃=≤≤⋃≥=≥ 故选：C 2．已知复数z 满足()1i 2i z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．32 - B ．3i 2- C ．32 D ．3i 2 【答案】C 【分析】先利用复数的除法运算求得复数z ，从而得其共轨复数z ，由此得解. 【详解】因为()1i 2i z +=-， 所以()()()()22i 1i 2i 2i 2i i 13 i 1i 1i 1i 222z -----+= ===-++-， 则13 i 22z = +，所以z 的虚部为32 . 故选：C. 3．“4a ≤”是“函数()()e 33x f x a x =---是R 上的单调增函数”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据单调性得到e 3x a +≥恒成立，计算得到3a ≤，根据范围的大小关系得到答案. 【详解】函数()()e 33x f x a x =---是R 上的单调增函数，故()()e 30x f x a '=--≥恒成立. 即e 3x a +≥恒成立，e 33x +>，故3a ≤. 故“4a ≤”是“函数()()e 33x f x a x =---是R 上的单调增函数”的必要不充分条件.