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第 讲 导数中的恒成立问题
时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名：
一、 兴趣导入
二、 学前测试
§1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 ，相应的切线
方程是 .
§2.几种常见函数的导数
①'C = ；②'()n x = ； ③'(sin )x = ； ④'(cos )x = ；
⑤'()x a = ； ⑥'()x e = ； ⑦'(log )a x = ；⑧'(ln )x =
§3.导数的运算法则
（1）'()u v ±= . （2）'()uv = . （3）'
()u
v = .(0)v ≠ §4.复合函数求导法则
复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的
导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
§5.函数的极值
(1)极值定义：
极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值；
极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极 值.
(2)判别方法：
①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极 值；
②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极 值.
三、 方法培养
2
一、单参数放在不等式上型：
【例题1】设函数()x x f x e e -=-．若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
解：令()()g x f x ax =-，则()()x x g x f x a e e a -''=-=+-，
（1）若2a ≤，当0x >时，()20x x g x e e a a -'=+->-≥，故()g x 在(0,)+∞上为增函数，
∴0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（2）若2a >，方程()0g x '=的正根为214ln 2
a a x +-=， 此时，若1(0,)x x ∈，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
∴1(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．
综上，满足条件的a 的取值范围是(,2]-∞．
说明：上述方法是不等式放缩法．
【针对练习1】设函数2()1x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．
解：
【例题2】设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．
解：（1）2()663f x x ax b '=++， ∵函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=??
++=?
，解得3a =-，4b =． （2）由（1）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,3)x ∈时，()0f x '>．
∴当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．
则当[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．
∵对于任意的[0,3]x ∈，有2()f x c <恒成立，∴298c c +<，解得1c <-或9c >，
因此c 的取值范围为(,1)(9,)-∞-+∞． 最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值．
【针对练习2】已知函数44
()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中 a 、b 、c 为常数．
（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间；
（3）若对任意0x >，不等式2()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围．
3
解：
【针对练习3】已知函数323()12f x ax x =-+()x R ∈，其中0a >．若在区间11[,]22
-上， ()0f x >恒成立，求a 的取值范围．
解：
4
【例题3】已知函数2
2
()ln (1)1x f x x x
=+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若不等式1(1)n a e n
++≤对任意的n N *∈都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值． 解：（1）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞， 22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)
x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++． 设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--．
则()2ln(1)2g x x x '=+-，令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x -'=
-=++． 当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在(1,0)-上为增函数，
当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数．∴()h x 在0x =处取得极大值，
而(0)0h =，∴()0 (0)g x x '<≠，函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数．
于是当10x -<<时，()(0)0g x g >=，当0x >时，()(0)0g x g <=．
∴当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数．
当0x >时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上为减函数．
故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞．
（2）不等式1(1)n a e n
++≤等价于不等式1()ln(1)1n a n ++≤，由111n
+>知， 11ln(1)a n n
≤-+．设11()ln(1)G x x x =-+，(0,1]x ∈，则 22
222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++． 由（1）知，2
2
ln (1)01x x x
+-≤+，即22(1)ln (1)0x x x ++-≤． ∴()0G x '<，(0,1]x ∈，于是()G x 在(0,1]上为减函数．
故函数()G x 在(0,1]上的最小值为1(1)1ln 2G =-．∴a 的最大值为11ln 2-． 小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：①分离变量；②构造
函数（非变量一方）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变 量的取值范围．
【针对练习4】已知()(1)ln 1f x x x x =+-+，若2()1xf x x ax '≤++，求a 的取值范围．
解：
5 【针对练习5】若对所有的[,)x e ∈+∞都有ln x x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围．
解：
二、单参数放在区间上型：
【例题4】已知三次函数32()5f x ax x cx d =-++图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，并且)(x f 在
3x =处有极值．
（1）求)(x f 的解析式；（2）当(0,)x m ∈时，()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围．
解：（1）∵2()310f x ax x c '=-+，∴(1)310f a c '=-+，
于是过点(1,8)处的切线为8(310)(1)y a c x -=-+-，
又切线经过点(3,0)，∴360a c -+=，①
∵)(x f 在3x =处有极值，∴(3)27300f a c '=-+=，②
又(1)58f a c d =-++=，③
∴由①②③解得：1a =，3c =，9d =，∴32()539f x x x x =-++．
（2）2()3103(31)(3)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '=得113
x =，23x =． 当1(0,)3
x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()(0)9f x f >=； 当1(,3)3
x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴()(3)0f x f >=． ∴当3m >时，()0f x >在(0,)m 内不恒成立，当且仅当(0,3]m ∈时，()0f x >在(0,)m 内恒 成立，∴m 的取值范围为(0,3]．
【针对练习6】（07陕西文）已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数，在区间(,0)-∞，(1,)+∞ 上是减函数，又13()22
f '=． （1）求)(x f 的解析式；（2）若在区间[0,] (0)m m >上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围．
解：
6
三、双参数中知道其中一个参数的范围型：
【例题5】已知函数() (0)a f x x b x x
=++≠，其中a ，b R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若对于任意的1[,2]2a ∈，不等式()10f x ≤在1[,1]4
上恒成立，求b 的取值范围． 解：（1）2()1a f x x
'=-． 当0a ≤时，显然()0 (0)f x x '>≠．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数．
当0a >时，令()0f x '=，解得x a =±．
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
∴()f x 在(,)a -∞-，(),a +∞内是增函数，在(,0)a -，(0,)+∞内是减函数．
（2）法一：化归为最值．
由（2）知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4
f 与(1)f 的较大者，对于任意的1
[,2]2a ∈，不等式 0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤?????，即39449a b a
b ≤-≤-?????，对1[,2]2a ∈?成立． 从而得74b ≤，∴满足条件的b 的取值范围是(7,]4
-∞． 法二：变量分离．
∵()10f x ≤，∴10()a
b x x ≤-+，即min 10()a b x x
≤-+． 令()10()a g x x x =-+，222()10a x a g x x x
+'=--=-<， ∴()g x 在1[,1]4
上递减，()g x 最小值为139397()4424444g a =-+≥-?+=， 从而得74b ≤，∴满足条件的b 的取值范围是(7,]4
-∞． 或用2(10)a x b x ≤-+-，即2(10)2x b x -+-≥，进一步分离变量得2
10()b x x
≤-+， 利用导数可以得到210()x x
-+在14x =时取得最小值74
， 从而得74b ≤，∴满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞． 法三：变更主元． ()10f x ≤在1[,1]4上恒成立，即10a x b x ++≤，()100a a x b x ?=++-≤， x (,)a -∞- a - (,0)a - (0,)a a (),a +∞ ()f x ' + 0 - － 0 + ()f x ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
7 ∵1
[,1]4x ∈，∴()a ?在1[,2]2递增，即()a ?的最大值为2(2)100x b x
?=++-≤． 以下同上法．
说明：本题是在对于任意的[2,2]a ∈-，()1f x ≤在[1,1]-上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往
先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立．
四、强化练习
（A ）1、已知函数239()()(24
f x x x =++）对任意m x f x f x x ≤--∈|)()(|],0,1[,2121不等式恒成立，
试求m 的取值范围。
五、训练辅导
双参数中的范围均未知型：
【例题7】（10湖南理）已知函数2() (,)f x x bx c b c R =++∈，对任意的x R ∈，恒有()()f x f x '≤．
（1）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；
（2）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22
()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值． 解：（1）易知()2f x x b '=+．由题设，对任意的x R ∈，22x b x bx c +≤++，即 2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，∴2
(2)4()0b c b ---≤，从而2
14b c ≥+． 于是1c ≥，且2
214
b c ≥?=||b ，因此2()0c b c c b -=+->． 故当0≥x 时，有2()()(2)(1)0x c f x c b x c c +-=-+-≥，即当0x ≥时，2()()f x x c ≤+．
（2）由（1）知，c ≥||b ．
当c >||b 时，有2222222()()2f c f b c b bc b c b M c b c b b c
--+-+≥==--+． 令b t c =，则11t -<<，2121c b b c t +=-++．而函数1()2(11)1g t t t =--<<+的值域是3(,)2
-∞． 因此，当c >||b 时，M 的取值集合为3[,)2
+∞． 当c =||b 时，由（1）知，2b =±，2c =．此时()()8f c f b -=-或0，220c b -=．
8 从而223()()()2f c f b c b -≤
-恒成立．综上所述，M 的最小值为32
． 【针对练习8】若32()x f x a =图象上斜率为3的两切线间的距离为2105，设223()()3bx g x f x a =-+． （1）若函数)(x g 在1=x 处有极值，求()g x 的解析式； （2）若函数)(x g 在区间[1,1]-上为增函数，且24()b mb g x -+≥在区间[1,1]-上都成立，求实数
m 的取值范围．
解：
六、家庭作业布置：
家长签字：_________________
（请您先检查确认孩子的作业完成后再签字）
附件：堂堂清落地训练
（坚持堂堂清，学习很爽心） 1. 双参数中的绝对值存在型：
1设3x =是函数23()() ()x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点．
（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（2）设0a >，225()()4
x g x a e =+．若存在1ξ，2[0,4]ξ∈使得12|()()|f g ξξ-1<成立，求a 的 取值范围．
解：（1）23()[(2)]x f x x a x b a e
-'=-+-+-，由(3)0f '=，得233[3(2)3]0a b a e -+-+-=， 即得32b a =--，则233()[(2)33](3)(1)x x f x x a x a e x x a e --'=-+---=--++．
令()0f x '=，得13x =或21x a =--，由于3x =是极值点，∴12x x ≠，即4a ≠-．
9 当4a <-时，213x x >=，则在区间(,3)-∞上，()0f x '<，()f x 为减函数；
在区间(3,1)a --上，()0f x '>，()f x 为增函数；
在区间(1,)a --+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数．
当4a >-时，213x x <=，则在区间(,1)a -∞--上，()0f x '<，()f x 为减函数；
在区间(1,3)a --上，()0f x '>，()f x 为增函数；
在区间(3,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数．
（2）由（1）知，当0a >时，10a --<，()f x 在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4)上单调递
减，那么()f x 在区间[0,4]上的值域是[min{(0),(4)},(3)]f f f ，
而3(0)(23)0f a e =-+<，1(4)(213)0f a e -=+>，(3)6f a =+，
那么()f x 在区间[0,4]上的值域是3[(23),6]a e a -++． 又225()()4
x g x a e =+在区间[0,4]上是增函数，且它在区间[0,4]上的值域是 2242525[,()]44a a e ++，由于2222511()(6)()0442
a a a a a +-+=-+=-≥， ∴只须仅须225()(6)14a a +-+<且0a >，解得302a <<．故a 的取值范围是3(0,)2
． 2已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++．
（1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）设1a <-，如果对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212|()()4||f x f x x x -≥-，求a 的取值范围． 解：
导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
高三专题复习——导数在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线yf(x)在x x处的切线的斜率等于f(x0)，切线方程为 0 y f(x)(xx)f(x) 000 (2)若可导函数yf(x)在xx0处取得极值，则f x。反之，不成立。 ()0 (3)对于可导函数f(x)，不等式f(x)0（0）的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。 (4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：xIf(x)0(0)恒成立 (5)函数f(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程 fx在区间I上有实根且为非二重根。（若f(x)为二次函数且I=R，则有0）。 ()0 (6)f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f(x)0或 fx0在I上恒成立 () (7)若xI，f(x)0恒成立，则f x0;若xI，f(x)0恒成立，则 () min f(x)0 max (8)若x0I，使得f(x)0，则f(x)max0；若x0I，使得 0 f x0，则f(x)min0. () (9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若xDf(x)g(x)恒成立则有f(x)g(x)0 min (10)若对x1I1、x I， 22 f(x)g(x)恒成立，则 12 f xgx. ()() minmax 若对x1I1，x2I2，使得f xgx,则 ()() 12 f xgx. ()() minmin 若对xI，x 2I2，使得 11 f xgx，则f(x)max g(x)max. ()() 12 （11）已知f(x)在区间I上的值域为A,，g(x)在区间 1 I上值域为B，2 若对x I, 11 x I，使得f(x1)= 22 g(x)成立，则AB。 2 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f(x)0有两个不等实根x1、x2，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: x ①lnxx1(x0)②ln（x+1）x(x1)③e1x x ④e1x⑤ln1(1) xx x x12 ⑥l nx11 22 x22x (x0) 考点一：导数几何意义：角度一求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′3 过曲线y＝x 上一点P(a，b)的切线方程为() π ，f′(x)是f(x)的导函数，则4
导数中的恒成立和存在性问题
技巧传播 1．恒成立问题的转化：()a f x >恒成立max ()a f x ?>；()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤； 2．能成立问题的转化：()a f x >能成立min ()a f x ?>；()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤； 3．恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ； 另一转化方法：若x D ∈，()f x A ≥在D 上恰成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =， 若x D ∈，()f x B ≤在D 上恰成立，则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =； 4．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥； 5．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则max max ()()f x g x ≤； 6．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则max min ()()f x g x ≥； 7．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则min max ()()f x g x ≤； 8．若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方； 9．若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方；
1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．
5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立．
《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》 达标检测 [A 组]—应知应会 1．已知函数f (x )＝x ＋4 x ，g (x )＝2x ＋a ，若?x 1∈????12，1，?x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2 【解析】选A.由题意知f (x )min ??? ?x ∈????12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A. 2．(2020·吉林白山联考)设函数f (x )＝e x ????x ＋3x －3－a x ，若不等式f (x )≤0有正实数解，则实数a 的最小值为________． 【解析】原问题等价于存在x ∈(0，＋∞)，使得a ≥e x (x 2－3x ＋3)，令g (x )＝e x (x 2－3x ＋3)，x ∈(0，＋∞)，则a ≥g (x )min ，而g ′(x )＝e x (x 2－x )．由g ′(x )>0可得x ∈(1，＋∞)，由g ′(x )<0可得x ∈(0，1)．据此可知，函数g (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为g (1)＝e.综上可得，实数a 的最小值为e. 3．(2020·西安质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1. (1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1，＋∞)均成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)因为f ′(x )＝1 x ， 所以f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，所以切线的方程为y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即所求切线的方程为y ＝x －1. (2)易知对任意的x ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，g (x )＞0. ①当a ≥1时，f (x )≤g (x )≤ag (x )； ②当a ≤0时，f (x )＞0，ag (x )≤0，所以不满足不等式f (x )≤ag (x )； ③当0＜a ＜1时，设φ(x )＝f (x )－ag (x )＝ln x －a (x －1)，则φ′(x )＝1 x －a ，
高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值
高二第二学期理科数学总结 一、导数 1、导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 x x f x x f x f y x x x ?-?+='=' →?=) ()(lim )(000 00 ； 2、几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时速度； 3、常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④ x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=； ⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 。⑨2 11x x -=' ??? ??；⑩ ()x x 21=' 4、导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2 v v u v u v u v u v u uv v u v u ' -'=''+'=''±'='± 5、复合函数的导数：;x u x u y y ' ?'=' 6、导数的应用： （1）利用导数求切线： ) (0x f k '=；利用点斜式（ ) (00x x k y y -=-）求得切 线方程。 注意ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？ （2）利用导数判断函数单调性：①)(0)(x f x f ?>'是增函数；② )(0)(x f x f ?<'为减函数； ③)(x f 是增函数?0)(≥'x f ；④)(x f 是减 函数?0)(≤'x f （3）利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。 （4）利用导数最大值与最小值：ⅰ）求得极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；
用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。
3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.
4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．
5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．
专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量）
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
应用导数研究函数的恒成立与存在性问题 例已知函数()()()21,ln 12 f x x x g x x a =+=+-. （1）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x =，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x >，求实数a 的取值范围； （3）若对任意[]0,2x ∈，恒有()()f x g x >，求实数a 的取值范围； （4）若对任意[]12,0,2x x ∈，恒有()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （5）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （6）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围； （7）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围； （8）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围；
(1)恒成立问题 ①. ①x①D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ①. ①x①D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma x
学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。
5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．
法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2.
导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f
高二数学《导数》知识点总结 一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f-f,发现的因子E就是我们所说的导数f'。 二、17世纪----广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。 三、19世纪导数----逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim。1823年
柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。 四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。 一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f-f,发现
高二数学导数专题训练 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足' (1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0