函数的概念及表示方法
知识点
1.概念:在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值,在y 中都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的函数,也就是说x是自变量,y是因变量。
2.确定函数自变量取值范围的方法(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
例题精讲
考点1.函数的概念
例1.下列图象中,表示y是x的函数的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
考点2.函数的表示法
例2.如图是广州市某一天内的气温变化图,根据图象,下列说法中错误的是()A.这一天中最高气温是24℃B.这一天中最高气温与最低气温的差为16℃
C.这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D.这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
考点3.求自变量的取值范围
例3.(2014?上海)函数y=的自变量的取值x范围是.
例4.(2014四川省内江市)在函数y=中,自变量x的取值范围是.
例5.等腰△ABC周长为10cm,底边BC长为y cm,腰AB长为x cm.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)求x的取值范围;
(3)求y的取值范围.
4.下列函数中,自变量x的取值范围是x ≥ 2的是()
C.D.
A.B.
一次函数的性质和图像
知识点
1. 理解一次函数和正比例函数的定义:
一般地,如果y =kx +b (k ,b 是常数,k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。 特别地,当一次函数y =kx +b 中b 为0时,y =kx (k 为常数,k ≠0),这时,y 叫做x 的正比例函数。
强调指出: ①一次函数的解析式为y =kx +b (b 为常数,k ≠0)。 ②正比例函数的解析式为y =kx (k 为常数,k ≠0)。 ③正比例函数与一次函数的关系是:正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数。
2. 一次函数的图像与画法:
①图像:一次函数y =kx +b (k ≠0)的图像是一条直线,其图像也称为直线y =kx +b 。 正比例函数y =kx 的图像是经过原点(0,0)的一条直线。 强调指出:点A (0,b )是直线y =kx +b 与y 轴的交点。
当b >0,此交点在y 轴的正半轴上; 当b <0时,此交点在y 轴的负半轴上;
当b =0时,此交点在原点,此时的一次函数就是正比例函数。 ②画法:画正比例函数y =kx 的图像,通常选取O (0,0),A (1,k )两点,
然后再连成直线。画一次函数=+的图像,通常选取,,,y kx b A b B b
k
()()00-
两点,然后再连成直线。
强调指出:作一次函数的图像的一般步骤是:列表、描点、连线。
3. 一次函数的性质:
(1)正比例函数y =kx 的性质:
当k >0时,y 随x 的增大而增大; 当k <0时,y 随x 的增大而减小。 (2)一次函数的性质:
当k >0时,y 随x 的增大而增大; 当k <0时,y 随x 的增大而减小。 (3)一次函数y =kx +b 与y 轴的交点坐标为(0,b )。
例题精讲
考点1、概念题
例1. 下列函数哪些是y 关于x 的一次函数?哪些是y 关于x 的正比例函数? ()()()1522
323y x
y x
y x ==
=+
()()()()471526212222y x y x y x x x =+==+-
分析:①判断一个函数关系式是否是一次函数或正比例函数,应紧扣定义。 ②无论是正比例函数还是一次函数的自变量和因变量的指数只能为1。 解:
例2. 已知函数,是一次函数,求的值;是正比y m x
m m m =-++-()()()5112224
例函数,求m 的值。
分析:①要使函数是一次函数,根据一次函数的定义,x 的指数m 2-24=1,且系数m -5≠0。
②要使函数是正比例函数,除了满足上述条件外,还需加上m +1=0这个条件。 解:
考点2、过定点问题
例3.(1)若一次函数(44)y mx m =--的图象过原点,则m 的值为 .
(2)如果函数y x b =-的图象经过点(01)P ,,则它经过x 轴上的点的坐标为 .
(3)若正比例函数的图象经过点(-1,2),则这个图象必经过点( )
A .(1,2)
B .(-1,-2)
C .(2,-1)
D .(1,-2) (4)直线y =-x +2与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是
直线y =-x -1与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是 直线y =4x -2与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是
例4. 已知:一次函数y m x n =++-()()634 求:(1)m 、n 分别为何值时,y 随x 的增大而减小;(2)m 、n 分别为何值时,图像与y 轴的交点在x 轴下方;(3)m 、n 分别为何值时,函数图像经过原点;(4)m =1,n =-2时,求这个一次函数的图像与两个坐标轴的交点。
解:
考点3、一次函数的图象
例5.(1)已知直线y=kx+b ,若k+b=﹣5,kb=6,那么该直线不经过( )
A .第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
(2)直线y kx b =+经过一、二、三象限,则k 0,b 0,经过二、三、四象限,则有k 0,b 0,经过一、二、四象限,则有k 0,b 0.
(3)若直线23y mx m =--经过第二、三、四象限,则m 的取值范围是( ) A.3
2
m <
B.3
02
m -
<< C.32
m >
D.0m >
(4)一次函数(2)4y k x k =-+-的图象经过一、三、四象限,则k 的取值范围是 .
(5)如果点P(a,b)关于x 轴的对称点p,在第三象限,那么直线y=ax+b 的图像不经过 ( ) A.第一象 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(6)已知一次函数y=(m-1)x+n+1的图像不经过第三象限,求m,n 的取值范围。
解:
例6
mx
(2)两个一次函数1y ax b =+与2
y bx a =+,它们在同一直角坐标系中的图象可能是(
(3) 已知一次函数y kx k =
+,其在直角坐标系中的图象大体是( )
(4)在同一坐标系内,如图所示,直线L1∶y=(k-2)x+k 和L2∶y=kx 的位置不可能为 ( )
考点4、一次函数的性质
例7.(1)已知一次函数y=(1﹣m )x+m ﹣2,当m 时,y 随x 的增大而增大.
(2)已知点A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数y=2
1
x+k(k 为常数)的图像上,则a 与b 的大小关系是a____b(填”<””=”或”>”)
D.
C. B . A . 12x 1x
2
D. C. B . A .
(3)已知一次函数y =(1-2m)x +m-1,若函数y 随x 的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围.
解:
例8. .如图,是函数y x =-
+1
2
5的一部分图像,根据图像回答。
(1)自变量x 的取值范围是什么? (2)当x 取什么值时,y 有最小值?最小值是多少? (3)在(1)中x 的变化范围内,y 随x 的增大而怎样变化?
例9.已知一次函数y=(3-k)x-2k+18, (1) k 为何值时,它的图像经过原点; (2) k 为何值时,它的图像经过点(0,-2);
(3) k 为何值时,它的图像与y 轴的交点在x 轴的上方; (4) k 为何值时,它的图像平行于直线y=-x; (5) k 为何值时,y 随x 的增大而减小.
考点5、图像平移
例10.(1)直线52
1,321--=+-=x y x y 和x y 21
-=的位置关系是 ,直线
521
,321--=+-=x y x y 可以分别看作是直线x y 2
1-=向 平移 个单位得到的;
向 平移 个单位得到的。
(2)将直线y =-2x +3向下平移5个单位,得到直线 。
(3)函数y =kx-4的图象平行于直线y =-2x ,求函数若直线4y kx =-的解析式为 ; (4)直线y=2x-3可以由直线y=2x 经过 单位而得到;直线y=-3x+2可以由直线y=-3x 经过 而得到;直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到。 【方法总结】
求一次函数解析式的专项练习
待定系数法是求解一次函数表达式的基本方法,但在一些问题中,往往给出多样的条件让你求解,体现了函数表达式与其性质、图象以及其它相关知识的联系.下面举例说明之,供参考.
考点1、已知两点
例3.(1)已知一次函数图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.
①求这个一次函数解析式.
②试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上?
解:
(2)已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2,0)、(0,4),则这个函数的解析式为_____________。
解:
考点2、已知一点
例4.(1)已知一次函数的图像过点(2,-1),求这个函数的解析式。
解:
(2)已知直线与直线平行,
且经过(1,2)函数解析式为__ 。
(3)直线在y轴上的截距为2,且经过点(1,-2),其解析式为
考点3、已知图像
例5.⑴一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。
⑵已知函数图像如图,求其解析式。
考点4、已知变量取值
例6.(1)一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数值的范围是-11≤y≤9,求此函数的解析式。
解:
(2)如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x<6,相应函数值范围是-11<y≤9,函数解析式为___________.
解:
考点5、已知两直线交点
例7.(1)一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2,m),求k、m的值
(2)函数y=kx+b的图象与另一个一次函数y=-2x-1的图象相交于y轴上的点A,且x轴下方的一点B(3,n)在一次函数y=kx+b的图象上,n满足关系n2=9.求这个函数的解析式.
考点6、交点及直线围成的面积问题
例8. (1)已知直线y=2x+b与x轴、y轴分别交于点A、B,且△AOB的面积是9,求b的值.
(2)已知直线y=kx-6与x轴、y轴分别交于点A、B,且△AOB的面积是9,求k的值.
(3)一次函数y=kx+b的图象过点A(3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9,求该一次函数的解析式.
(4)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= 1
2x的图象相交于点
(2,a),求(1)a的值(2)k,b的值(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.
例9.(1).已知直线y=2x-6和直线y=-2x+2,①求两条直线与x 轴围成的三角形的面积;②求两条直线与y 轴围成的三角形的面积。
(2)已知直线l1: y=2x-6和直线l2: y=kx+b 交于点(2,m ),两直线与x 轴围成的三角形的面积2,求直线l2的解析式.
(3)已知直线l1: y=2x-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,直线 l2: y=kx+b 过(2,-2)将△ABO 的面积分为2:7,求:直线l2的解析式.
例10. (1)如图,已知直线1l
经过点(1
0)A ,和点(23)B ,,另一条直线2l
经过点B ,且与x 轴相交于点(0)P m ,
.若APB △的面积为3,求m 的值.
(2)一个一次函数的图象经过点A (-3,0),且和y 轴相交于点B ,当函数图象与坐标轴围成的三角形面积为6时,求点B的坐标.
(3)如图,在平面直角坐标系中,一次函数1
21
+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、
B 两点. ①求点A 、B 的坐标; ②点
C 在y 轴上,当2ABC AOB
S S ??=时,求点C 的坐标.
(4)已知直线3y kx =-经过点M (2,1),且与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B . ①求k 的值; ②求A 、B 两点的坐标;
③过点M 作直线MP 与y 轴交于点P ,且△MPB 的面积为2,求点P 的坐标.
(5)已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数24y x =-+的图象分别与x y 、轴交于点A 、 B ,点P 在x 轴上,若6
ABP S ?=,
求直线PB 的函数解析式.
7、知识拓展
例1.(2004年济南市)如图4,直线y=x +3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点.直线l
经过原点,与线段
AB 交于点C ,把△AOB 的面积分为2:3两部分.求直线l 的解析式.
例2. 如图,A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点,点P (2,p )在第一象限,直线PA 交y 轴于点C (0,2),直线PB 交y 轴于点D ,△AOP 的面积为6;
(1) 求△COP 的面积;
(2) 求点A 的坐标及p 的值;
(3) 若△BOP 与△DOP 的面积相等,求直线BD 的函数解析式。
例3. 已知:
经过点(-3,-2),它与x 轴,y 轴分别交于点B 、A
,直线
经过点(2,-2),且与y 轴交于点C (0,-3),它与x 轴交于点D
(1)求直线的解析式; (2)若直线与交于点P ,求
的值。
例4. 如图,已知点A (2,4),B (-2,2),C (4,0),求△ABC 的面积。
一次函数与方程、不等式综合
知识点
1、一次函数与一元一次方程的关系
直线y b k 0kx =+≠()与x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时,可令0y =,得到方程b 0kx +=,解方程得x b
k
=-
,直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k
-,b
k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。
2、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数,0a ≠)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围。
3、一次函数与二元一次方程(组)的关系
一次函数的解析式y b k 0kx =+≠()本身就是一个二元一次方程,直线
y b k 0kx =+≠()
上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠(),因此二元一次方程的解也就有无数个。
考点1、一次函数与一元一次方程综合
【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点,m 的值为( )
A .2-
B .2
C .1-
D .0
【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ,
,则a b +=______.
【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20,,()13,,则不求k b ,的值,可直接
得到方程3kx b +=的解是x =______.
考点2、一次函数与一元一次不等式综合
【例4】 已知一次函数25y x =-+.
(1)画出它的图象;
(2)求出当3
2
x =时,y 的值; (3)求出当3y =-时,x 的值;
(4)观察图象,求出当x 为何值时,0y >,0y =,0y <
【例5】 当自变量x 满足什么条件时,函数41y x =-+的图象在:
(1)x 轴上方; (2)y 轴左侧; (3)第一象限.
【例6】 已知15y x =-,221y x =+.当12y y >时,x 的取值范围是( )
A .5x >
B .1
2
x < C .6x <- D .6x >-
【例7】 已知一次函数23y x =-+
(1)当x 取何值时,函数y 的值在1-与2之间变化?
(2)当x 从2-到3变化时,函数y 的最小值和最大值各是多少?
【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象
如图所示,则关于x 的不等式>21k x k x b >+的解集为______.
例题精讲
【例9】 若解方程232x x +=-得2x =,则当x _________时直线2y x =+上的点在直线
32y x =-上相应点的上方.
【例10】 如图,直线y kx b =+经过()21A ,
,()12B --,两点,则不等式1
22
x kx b >+>-的解集为______.
【例11】 已知一次函数经过点(1,-2)和点(-1,3),求这个一次函数的解析式,
并求:
(1)当2x =时,y 的值; (2)x 为何值时,0y <?
(3)当21x -≤≤时,y 的值范围; (4)当21y -<<时,x 的值范围.
考点三、一次函数与二元一次方程(组)综合
【例12】 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为(-5,-8),则方程组30
220x y x y --=??-+=?
的解是
________.
【例13】 已知方程组y ax c y kx b -=??-=?(a b c k ,,,为常数,0ak ≠)的解为2
3x y =-??
=?
,则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________.
【例14】 已知24x y =??=?,是方程组732
28x y x y -=??+=?
的解,那么一次函数y =________和
y =________的交点是________.
【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图,则下列结论①
0k <;
②0a >;③当3x <时,12y y <中,正确的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的
交点坐标为A (2,0),求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积.
【例17】 如图,直线y kx b =+与x 轴交于点()40-,
,则0y >时,x 的取值范围是( )
A.4x >-
B .0x > C.4x <- D .0x <
【例18】 一次函数y kx b =+的图象如图所示,当0y <时,x 的取值范围是
( ) A .0x > B .0x < C .2x > D .2x <
【例19】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示,当1x <时,y 的取值范围是
( )
A .20y -<<
B .40y -<<
C .2y <-
D .4y <-
【例20】 如图所示的是函数y k x b
=+与y mx n =+的图象,求方程组k x b y
m x n y
+=??
+=? 的解关于x 轴对称的点的坐标是________.
【例21】 一次函数y kx b =+(k b ,是常数,0k ≠
不等式0kx b +>
的解集是( ) A .2x >- B .0x > C .2x <-
【例22】 如图,一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点,
则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________.
【例23】 b 取什么整数值时,直线32y x b =++与直线
2y x b =-+的交点在第二象限?
【方法总结】
一次函数的实际应用
考点1、从图像获取信息
例1.(鄂州)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地,如图,线段OA 表示货车离甲地距离y (千米)与时间x (小时)之间的函数关系;折线BCD 表示轿车离甲地距离y (千米)与x (小时)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题:
(1)轿车到达乙地后,货车距乙地多少千米? (2)求线段CD 对应的函数解析式.
(3)轿车到达乙地后,马上沿原路以CD 段速度返回,求轿车从乙地出发后多长时间再与货车相遇。
例2.(黄石)一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,设客
车离甲地的距离为1y 千米,出租车离甲地的距离为2y 千米,两车行驶的时间为x 小时,1y 、2y 关于x 的函数图像如右图所示:
(1)根据图像,直接写出1y 、2y 关于x 的函数关系式;
(2)若两车之间的距离为S 千米,请写出S 关于x 的函数关系式;
(3)甲、乙两地间有A 、B 两个加油站,相距200千米,若客车进入A 加油站时,出
租车恰好进入B 加油站,求A 加油站离甲地的距离.
例3.(长春)甲、乙两工程队维修同一段路面,甲队先清理路面,乙队在甲队清理后铺设路
面.乙队在中途停工了一段时间,然后按停工前的工作效率继续工作.在整个工作过程中,甲队清理完的路面长y (米)与时间x (时)的函数图象为线段OA ,乙队铺设完的路面长y (米)与时间x (时)的函数图象为折线BC -CD -DE ,如图所示,从甲队开始工作时计时.
(1)分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式. (2)当甲队清理完路面时,求乙队铺设完的路面长.
例4.(淮安)甲、乙两地之间有一条笔直的公路L ,小明从甲地出发沿公路ι步行前往乙地,同时小亮从乙地出发沿公路L 骑自行车前往甲地,小亮到达甲地停留一段时间,原路原速返回,追上小明后两人一起步行到乙地.设小明与甲地的距离为y 1米,小亮与甲地的距离为y 2米,小明与小亮之间的距离为s 米,小明行走的时间为x 分钟.y 1、y 2与x 之间的函数图象如图1,s 与x 之间的函数图象(部分)如图2.
小
(1)求小亮从乙地到甲地过程中y1(米)与x(分钟)之间的函数关系式;
(2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s(米)与x(分钟)之间的函数关系式;(3)在图2中,补全整个过程中s(米)与x(分钟)之间的函数图象,并确定a的值.
例5.(?南宁)在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑自行车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)写出A、B两地直接的距离;
(2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对讲机保持
联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值
范围.
例6.(绥化)2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震.某市接到上级通知,立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区.乙组由于要携带一些救灾物资,比甲组迟出发1.25小时(从甲组出发时开始计时).图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲(千米)、y乙(千米)与时间x(小时)之间的函数关系对应的图象.请根据图象所提供的信息,解决下列问题:
(1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了小时;
(2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区.请问甲组的汽
车在排除故障时,距出发点的路程是多少千米?
(3)为了保证及时联络,甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两
车之间的路程不超过25千米,请通过计算说明,按图象所表示的
走法是否符合约定?
例7.如图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发
地的距离s (千米)和行驶时间t (小时)之间的函数关系,根据图中提供的信息,给出下列说法:①汽车共行驶了120千米;②汽车在行驶途中停留了0.5小时;③汽车在整个行驶过程中的平均速度
为380
千米/时;④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度
在逐渐减少.其中正确的说法共有( )A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
考点2、方案选择
例1.A 市和B 市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C 村10台,D 村8台,已知从A 市调运一台机器到C 村和D 村的运费分别是400元和800元,从B 市调运一台机器到C 村和D 村的运费分别是300元和500元。
(1)设B 市运往C 村机器x 台,求总运费W (元)关于x 的函数关系式。 (2)若要求总运费不超过9000元,共有几种调运方案。 (3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?
例2.某影碟出租店开设两种租碟方式:一种是零星租碟,每张收费1元;另一种是会员卡租碟,办卡费每月12元,租碟费每张0.4元 . 小彬经常来该店租碟,若每月租碟数量为x 张.
(1)写出零星租碟方式应付金额y1(元)与租碟数量x (张)之间的函数关系式: (2)写出会员卡租碟方式应付金额y2(元 )与租碟数量x(张)之间的函数关系式: (3)小彬选取哪种租碟方式更合算?
例3.某地电话拨号入网有两种收费方式,用户可以任选其一:
(A )计时制:0.05元/分; (B) 包月制:50元/月(限一部个人住宅电话上网). 此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分.
(1)请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y (元)与上网时间x (小时)之间的函数关系式: 计时制: 包月制:
(2) 若某用户估计一个月内上网的时间为20小时,你认为采用哪种方式较为合算?
例4.某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者,果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案,甲方案:每千克9元,由基地送货上门。乙方案:每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000
y(元)与所购买的水果质量x(千克)之元。(1)分别写出该公司两种购买方案的付款
间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
(2)依据购买量判断,选择哪种购买方案付款最少?并说明理由。
例5.某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准,如下表:
设某用户一个月内手机通话时间为x分钟,请根据上表解答下列问题:
(1)按A类收费标准,该用户应缴纳y1= 元;按B类收费标准,该用户应缴纳y1= 元;(用含x的代数式表示)
(2)如果该用户每月通话时间为300分钟,应选择哪种收费方式?(3)如果该用户每月手机费用不超过90元,应选择哪种收费方式?
例6.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.?该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择.
甲:买一支毛笔赠送一本书法练习本.
乙:按购买金额打九折付款.
某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≤10)本.如何选择方案购买呢?
【方法总结】
初二一次函数与几何题 1、 平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点P 在直线y=-x-m 上,且AP=OP=4,则m 的值是多少 2、如图,已知点A 的坐标为(1,0),点B 在直线y=-x 上运动,当线段AB 最短时,试求点B 的坐标。 3、如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 好将矩形OABC 分为面积相等的两部分,试求b 的值。 4、如图,在平面直角坐标系中,直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,点C 在x 轴上,若△ABC 是等腰三角形,试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中,已知A (1,4)、B (3,1),P 是坐标轴上一点,(1)当P 的坐标为多少时,AP+BP 取最小值,最小值为多少 当P 的坐标为多少时,AP-BP 取最大值,最大值为多少 ~ 6、如图,已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点,交x 轴于点B (-6,0),△AOB 的面积为15,且AB=AO ,求正比例函数和一次函数的解析式。 A B C ( x y x [ A B O
7、已知一次函数的图象经过点(2,20),它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的表达式。 8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值 ( 如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标 9、正方形ABCD的边长是4,将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴负半轴上,A点的坐标是(-1,0), (1)经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E,求四边形AECD的面积; (2)若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线L的解析式。 10、在平面直角坐标系中,一次函数y=Kx+b(b小于0)的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C,直线x=4与x轴交于点D,四边形OBCD的面积为10,若A的横坐标为-1/2,求此一次函数的关系式 11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A,且OA=OB:求这个一次函数解析式 12、如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,m)在第一象限,直线PA 交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,S AOP=6. ; 求:(1)△COP的面积 (2)求点A的坐标及m的值; (3)若S BOP =S DOP ,求直线BD的解析式
第十讲一次函数(1) 一【一次函数解析式】 1.画图,并求出与x轴、y轴交点 (1)y=x+2 (2)y=-3x+4 2.求一次函数解析式: (1)直线l过(-1,2)和(3,4);(2)直线l与直线y=2x-1平行且过(0,4)(3)直线l与直线y=3x-6交于x轴上同一点,且过(-1,4) (4)y与x成正比,且当x=9时,y=16. 3.如图,一次函数y=kx+b的图像经过A、B两点,与x轴交于点C,求: (1)一次函数的解析式;(2)△AOC的面积. 二【一次函数图象及性质】 4.作函数y=2x-4的图象,根据图象填空:(1)当-2≤x≤4,则y的取值范围是_____________,(2)当x_________时,y<0;当x_________时,y>0;当x_________时,y=0. 5.已知直线y=(4m+1)x-(m+1),m________时,y随x的增大而减小;m________时,直线与y轴的交点在x轴下方;m________时,此一次函数也是正比例函数;若m=2时,图象与x 轴的交点坐标是_______,与y轴的交点坐标是________. 6.不画函数 1 4 3 y x =-+的图象,回答下列问题: (1)点 7 (3,3),(5,) 3 P Q-是否在这个图象上?(2)若点A(a,1),B(0,b)在这个函数 图象上,求a、b的值;(3)若函数y=x+m的图象与已知图象交于点(n,2)求m、n的值.
7.已知一次函数y=(2k+4)x+(3-b): (1)k、b是什么数时,y随x的增大而增大; (2)k、b是什么数时,函数图象与y轴的交点在x轴下方; (3)k、b是什么数时,函数图象过原点; (4)若k=-1,b=2时,求一次函数图象与两个坐标轴交点坐标,并画出图象; (5)若图象经过一、二、三象限,则k__________,b___________. 三【利用函数图象解决实际问题】 8.为了缓解用电紧张的矛盾,电力公司制订了新的用电收费标准,每月用电量x(千瓦时)与应付电费y(元)的关系如图 (1)根据图象求出y与x的函数关系式; (2)请回答该电力公司的收费标准是什么? 9.客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需购买行李票,行李费用y(元)是行李重量x(千克)的一次函数,其图象如图所示,则按规定旅客免费携带的行李为多少千克? 四【一次函数与几何结合】 10.如图,直线 1 1 3 y x =+与坐标轴交于A、B两点,直线24 y x =+与坐标轴交于C、 (1)求A、B、C、D的坐标;(2)求两直线交点M的坐标;(3)求S四OCMB的大小.
一次函数复习专题一 待定系数法求解析式 方法:依据两个独立的条件确定k,b 的值,即可求解出一次函数y=kx+b (k ≠0)的解析式。 ☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b (k ≠0); ☆ 若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b 经过点(2,-6),求函数的解析式。 2、直线y=kx+b 的图像经过A (3,4)和点B (2,7), 3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y (升)与行驶时间x (小时)之间的关系.求油箱里所剩油y (升)与行驶时间x (小时)之间的函数关系式,并且确定自变量x 的取值范围。 4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点(-2,0)求解析式。 5、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6,相应的函数值的范围是-11≤y ≤9,求此函数的解析式。 6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于y 轴对称,求k 、b 的值。 7、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于x 轴对称,求k 、b 的值。 8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于原点对称,求k 、b 的值。 一次函数复习专题二 一次函数的平移 方法:直线y=kx+b 与y 轴交点为(0,b ),直线平移则直线上的点(0,b )也会同样的平移,平移不改变斜率k ,则将平移后的点代入解析式求出b 即可。 直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;(“左加右减,上加下减”)。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3. 直线y= 21 x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22 3 +-x 向左平移2个单位得到直线 5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 7. 直线x y 31 = 向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线 。 8. 直线14 3 +-=x y 向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线________。 9. 过点(2,-3)且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。 10. 过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是___________. 11.把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是____________; 12.直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n 上,则a=____________; 一次函数复习专题三 一次函数与方程不等式 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠()与x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线 y b kx =+与x 轴交点时,可令0y =,得到方程b 0kx +=,解方程得x b k =- ,直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -,b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数,0a ≠)的形式,所以解一元 一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程(组)的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠()本身就是一个二元一次方程,直线y b k 0kx =+≠()上有无数个点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠(),因此二元一次方程的解也就有无数个。
一次函数经典试题 1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函 数,其图像可能是( ) 2.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料, 学校与天一阁的路程是4千米,小聪骑自行车,小明步行,当 小聪从原路回到学校时,小明刚好到达天一阁, 图中折线O -A -B -C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程 s (千米)与所经过的时间t (分钟)之间的函数关系,请根据 图象回答下列问题: (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟,小聪返回 学校的速度为_______千米/分钟。 (2)请你求出小明离开学校的路程s (千米)与所经过的时间t (分钟)之间的函数关系 (3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米? 3.(2010年安徽省芜湖市)要使式子 a +2 a 有意义,a 的取值范围是( ) A .a ≠0 B.a >-2且a ≠0 C.a >-2或a ≠0 D.a ≥-2且a ≠0 4.(2010年浙江台州市)函数x y 1 - =的自变量x 的取值范围是 . 5.(2010年益阳市)如图2,火车匀速通过隧道(隧道长大于火车长)时,火车进入隧道的时间x 与火车 在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是: A. B . C . D . (A) (B) (C) (D) 火车隧道 o y x o y x o y x o y x 2 图s (千米) t (分钟) A B D C 30 45 15 O 2 4 小聪 小明 第1题
6. A ,B 两城相距600千米,甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城,甲车到达B 城后立即返回.如图是它们离A 城的距离y (千米)与行驶时间 x (小时)之间的函数图象. (1)求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围; (2)当它们行驶7了小时时,两车相遇,求乙车速度. 7.我们知道,海拔高度每上升1千米,温度下降6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面x 千米处的温度为y ℃. (1)写出y 与x 之间的函数关系式; (2)已知益阳碧云峰高出地面约500米,求这时山顶的温度大约是多少℃? (3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度为多少千米? 8.已知直线经过点(1,2)和点(3,0),求这条直线的解析式. 9.某游泳池的横截面如图所示,用一水管向池内持续注水,若单位时间内注入的水量保持不变,则在注水过程中,下列图象能反映深水区水深h 与注水时间t 关系的是 (A) (B) (C) (D) t h O t h O t h O h t O 第5题图 深 水 浅水区
巩固练习 一、选择题: 1.已知y与x+3成正比例,并且x=1时,y=8,那么y与x之间的函数关系式为()(A)y=8x (B)y=2x+6 (C)y=8x+6 (D)y=5x+3 2.若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过() (A)一象限(B)二象限(C)三象限(D)四象限 3.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是() (A)4 (B)6 (C)8 (D)16 4.若甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2, 如图,所挂物体质量均为2kg时,甲弹簧长为y1,乙 弹簧长为y2,则y1与y2的大小关系为() (A)y1>y2(B)y1=y2 \ (C)y1