用最小二乘法计算拟合曲线系数的MATLAB 程序
（1） 输入数据点m k y x k k ,,2,1),,( =
选择逼近函数类：)}(,),(),({10x x x span D n ϕϕϕ =
（2）求解法方程y A Ac A T T =*
（3）得出拟合函数)()(0*
*x c x n
j j
j ∑==ϕϕ
clear all %% 清除了所有的变量，包括全局变量global
load('F:\XX\XXX\datafile.mat') %%加载数据（mat 数据格式是matlab 的数据存储的标准格式）
[r,c]=size(data); %%data 数据第一列为点序号，第二列为x 坐标，第三列为y 坐标 m=20; %%假设其运行次数
for n=1:m;
for i=1:r/2 %%用数据的前半部分计算系数
x1=data(i,2); %%把数据的第i 行第2列赋值给x1
y1=data(i,3); %%把数据的第i 行第3列赋值给y1
for j=1:n;
B1(i,j)=x1^(j-1); %%B1矩阵计算
end
l(i,1)=y1; %%l 矩阵
end
X=inv(B1'*B1)*B1'*l; %%系数矩阵
V=B1*X-l;
[r1,c1]=size(B1);
m0(n,1)=sqrt((V'*V)/(r1-c1)); %%单位权中误差
if n>2&&m0(n,1)>=m0(n-1,1); %%判断单位权中误差
disp(n)
xsgs=n-1; %%单位权中误差最小时其系数的个数
zgcs=n-2; %%单位权中误差最小时其x 的最高次数
break %%如果找到了最优值时跳出循环
end
end
for i=1:r
x2=data(i,2);
y2=data(i,3);
for k=1:xsgs;
B2(i,k)=x2^(k-1);
end
l2(i,1)=y2;
X1=inv(B2'*B2)*B2'*l2; %%计算出最优的系数矩阵
end
x2=data(:,2); %%把数据的所有行第2列赋值给x2
y2=data(:,3); %%把数据的所有行第2列赋值给y2
plot(x2,y2,'bo'); %%作出测量点的图形
hold on
y3(i,1)=0;
for i=1:r;
for k=1:5;
a=X1(k,1)*data(i,2)^(k-1);
y3(i,1)=y3(i,1)+a;
end %%该循环是将求出的系数代入拟合曲线，验证所有数据end
y4=y3(:,1);
plot(x2,y4,'r'); %%作出拟合曲线的图形
title('最小二乘法拟合'); %%作给做出的图形加上标题
xlabel('数据'); %%x轴标注
ylabel('拟合'); %%y轴标注
legend('观测数据点','拟合曲线',1); %%添加图例的标注msgbox '计算完毕!'；
四川理工学院 《数值计算方法》课程设计 题目：用最小二乘法实现数据拟合 专业：数学与应用数学 班级：2013级2班 姓名：李宁、李鑫、骆丹、冯莉娟
目录： 一、摘要............................ 错误！未定义书签。 二、应用计算方法的基本原理.......... 错误！未定义书签。 1.最小二乘法线性拟合............... 错误！未定义书签。1.1算法描述........................ 错误！未定义书签。 1.2误差估计 (3) 2.最小二乘法非线性拟合 (3) 三、例题的计算结果 (4) 1. 最小二乘法线性拟合 (4) 2.最小二乘法非线性拟合 (5) 四、总结及心得体会 (7) 五、参考文献........................ 错误！未定义书签。 六、附录程序 (8)
一、摘要 本文主要依据最小二乘法对任意一组数据进行线性拟合和非线性拟合。因为在实际生活中，我们在工厂、车间、工作室等地方将遇见很多数据，这些数据可能有关系，及线性关系，正比关系，一些简单和复杂的关系。但是更多的数据是杂乱无章的。对于这些无规律的数据，我们得出对我们有利的结论。然而分析数据有是我们这个时代发展的必不可少的研究，所以只有将数据转化成为我们需要的形式，才能进一步分析。将数据转化为必要的形式的一种重要的方式则是最小二乘法中的数据拟合。但是在拟合的时候，有些非线性的数据需要我们进行变量代换。在本文中就举出了一个非线性拟合的例子，通过此例子来演示如何把非线性拟合转化为线性拟合求解。本文中还有重要的模块是用matlab编写程序，在使用c语言调用子程序时，我们只需要建立大M文件，而我们所工作的区间就是主程序。我们可以初步绘制出散点图，观察散点图的趋势来确定用什么拟合。 用最小二乘法拟合数据大概分为两类：线性拟合和非线性拟合。一般先测量数据在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点同哪类曲线图形接近，然后选用相近的线性或非线性的曲线去拟合数据，非线性的曲线再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，进而用matlab编写程序求出拟合函数表达式。 关键字：线性拟合，非线性拟合，最小二乘法，matlab软件，M文件
最小二乘拟合 在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。 一、最小二乘法原理 在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x ，而把所有的误差只认为是y 的误差。设x 和y 的函数关系由理论公式 y ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-1） 给出，其中c 1，c 2，……c m 是m 个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（x i ，y i ）i ＝1，2，……，N 。都对应于xy 平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确 落在理论曲线上。只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组 y i ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-2） 式中i ＝1，2，……，m.求m 个方程的联立解即得m 个参数的数值。显然N
matlab最小二乘法拟合曲线 Matlab最小二乘法拟合曲线是一种应用于数据拟合的有效的工具，它 的作用是使用最小二乘法来估计未知参数并获得适合拟合的最优拟合 曲线，以下是Matlab最小二乘法拟合曲线的具体用法： 一、Matlab最小二乘法拟合模型： 1、首先，根据需要拟合的数据，定义未知参数的类型、数量和频率； 2、接下来，定义未知参数的初始值，以及用于确定参数最优拟合曲线 的搜索算法； 3、然后，调用最小二乘法函数，使用最小二乘法函数计算拟合参数θ； 4、最后，用优化到的θ值生成最优曲线，即得到拟合曲线。 二、Matlab最小二乘法拟合曲线的特点： 1、精度高：最小二乘法在误差估计上是最佳的，能控制估计偏差，通 过求解思维运算完成最小二乘拟合； 2、可以处理多元数据：最小二乘法可以处理多个变量进行统计拟合， 有多个自变量时，仍然能生成反映变量之间关系的拟合曲线； 3、计算量小：最小二乘法只需计算发生一次，消耗计算量较小，计算 正确率高； 4、反应速度快：最小二乘法反应速度快，可以很好的拟合多项式，某 一特定点的拟合能力强，它具有很高的拟合度。
三、Matlab最小二乘法拟合曲线的应用： 1、最小二乘法拟合曲线可以用于多元统计拟合，研究变量之间的关系，可用于实验数据处理和建模； 2、最小二乘法拟合曲线也可以用于经济学，可以通过估计最小二乘回 归系数进行广义线性模型的预测； 3、最小二乘法拟合曲线可以用于工程曲线拟合，如机械设计的几何拟 合等，以及测量仪器的校正等； 4、最小二乘法拟合曲线也可以用于生物学研究，可以通过进化分类树 及类群的状态估计其特征变化趋势； 5、最小二乘法拟合曲线还可以用于物理和化学实验中，以及天气、气 候等领域。 四、Matlab最小二乘法拟合曲线的优缺点： 优点： 1、计算量小，计算消耗较小； 2、可对多元数据进行拟合，处理变量之间的关系； 3、拟合精度高，控制估计偏差； 4、反应速度快，容错性强。 缺点： 1、处理误差较大的数据时，拟合效果不佳； 2、对曲线的凸性要求，不能处理异常数据； 3、无法处理变量间的非线性关系，拟合结果也会出现偏差。
曲线拟合的最小二乘法 一、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 二、计算公式 由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线 )(...)()()(1100x a x a x a x S n n ???+++= 称为曲线拟合的最小二乘法。 若记 ),()()(),(0 i k i j m i i k j x x x ??ω??∑== k i k i m i i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0 ?ω? 上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j n o j j k -=∑=??这个方程成为法方程，可写成距阵 形式 d Ga = 其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a == ???? ????????=),(),(),()(),(),(),(),(),(10 1110101000n n n n n n G ?????????????????? 。 它的平方误差为：.)]()([)(||||20 22i i m i i x f x S x -= ∑=ωδ 三、结构程序设计
（1）在MATLAB 工作窗口输入程序 >> t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64]; plot(t,y,'r*'), legend ('实验数据(ti,yi)') xlabel('t'), ylabel('y ×0.0001'), title ('课题八的数据点(ti,yi )的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图如下： 10 20 3040 50 60 00.511.522.53 3.54 4.55t y ×0.0001 课题八的数据点(ti,yi)的散点图 实验数据(ti,yi) （2）编写下列MATLAB 程序计算近似解析式23123()t a t a t a t ?=++的拟合系数 >>t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64]; p=polyfit(t,y,3) t1=0:0.1:55; y1=polyval(p,t1);
曲线拟合--最小二乘法 1：已知平面上四个点：（0，1）、（1，2.1）、（2，2.9）和（3，3.2），求出一条直线拟合这四个点，使得偏差平方和变为极小。 解：设直线方程为： 0 1 0 0 1 2.1 1 2.1 2 2.9 4 5.8 3 3.2 9 9.6 Sum=6 Sum=9.2 Sum=14 Sum=17.5 代入正规方程： ， 编程求解上方程组： >> eq1='14*A+6*B=17.5';
>>eq2='6*A+4*B=9.2'; >> [A,B]=solve(eq1,eq2,'A,B'); >> disp(A) 0.74 >> disp(B) 1.19 所以直线方程为： 2：已知数据如下表所示 1 2 4 6 10 5 2 1 试求（1）用抛物线拟合这些数据使得偏差平方和最小；（2）用型如的函数来拟合这些数据使得偏差平方和最小。（3）比较这两种拟合结果。 解：（1）设抛物线方程为： 1 10 1 1 1 10 10 2 5 4 8 16 10 20 4 2 16 64 256 8 32
6 1 36 216 1296 6 36 Sum=13 Sum=18 Sum=5 7 Sum=289 Sum=1569 Sum=34 Sum=98 代入正规方程： 得到系数A，B，C的方程组： 编程求解上方程组： >>eq1='1569*A+289*B+57*C=98'; >>eq2='289*A+57*B+13*C=34'; >>eq3='57*A+13*B+4*C=18'; >> [A,B,C]=solve(eq1,eq2,eq3,'A,B,C'); >> disp(A); disp(B); disp(C) 102/199 -1048/199
曲线拟合的最小二乘法原理及实现 任务名称简介 在数据处理和统计分析中，曲线拟合是一种常见的技术，旨在通过数学函数找到最佳拟合曲线，以尽可能准确地描述给定数据集的变化趋势。在曲线拟合的过程中，最小二乘法是一种常用的数学方法，用于选择最佳拟合曲线。本文将详细介绍最小二乘法的原理和实现方法。 最小二乘法原理 最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。其基本原理是将数据集中的每个数据点与拟合曲线上对应点的差值进行平方，然后将所有差值的平方相加，得到误差平方和。最小二乘法的目标是通过调整拟合曲线的参数，使得误差平方和达到最小值。 假设我们有一个包含n个数据点的数据集，每个数据点的横坐标为x，纵坐标为y。我们希望找到一个拟合曲线，可以通过曲线上的点与数据点的差值来评估拟合效果。拟合曲线的一般形式可以表示为： y = f(x, β) 其中，β为拟合曲线的参数，f为拟合曲线的函数。 最小二乘法的基本思想是选择适当的参数β，使得误差平方和最小化。误差平方 和可以表示为： S(β) = Σ(y - f(x, β))^2 其中，Σ表示求和操作，拟合曲线上的点的横坐标为x，纵坐标为f(x, β)。 为了找到误差平方和的最小值，我们需要对参数β进行求解。最常用的方法是对 参数β求导数，令导数为0，从而得到参数的估计值。求解得到的参数估计值就 是使得误差平方和最小化的参数。 最小二乘法实现步骤 最小二乘法的实现可以分为以下几个步骤： 1.确定拟合曲线的函数形式。根据数据的特点和拟合的需求，选择合适的拟合 曲线函数，例如线性函数、多项式函数等。
2.建立误差函数。根据选择的拟合曲线函数，建立误差函数，即每个数据点与 拟合曲线上对应点的差值的平方。 3.求解参数估计值。对误差函数求导数，并令导数为0，求解得到参数的估计 值。 4.进行拟合曲线的评估。通过计算误差平方和等指标来评估拟合曲线的质量， 可以使用残差平方和、R方值等指标。 5.优化拟合结果（可选）。根据评估的结果，如有必要可以调整拟合曲线的参 数或选择其他拟合曲线函数，以得到更好的拟合效果。 最小二乘法的应用 最小二乘法广泛应用于各种领域，以下列举几个常见的应用场景： 1.经济学中的回归分析。最小二乘法可以用于拟合经济模型，分析各个因素对 于某个经济指标的影响。 2.物理学中的数据处理。最小二乘法可以用于拟合实验数据，找到实验数据的 规律，从而得到物理模型或测量精确度。 3.金融学中的资产定价模型。最小二乘法可以用于拟合资产定价模型，估计资 产的风险和预期收益。 4.机器学习中的参数估计。最小二乘法可以用于拟合模型参数，例如线性回归 中的参数估计。 总结 最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化误差平方和来选择最佳拟合曲线。其核心思想是找到使误差最小化的参数估计值。本文介绍了最小二乘法的原理和实现步骤，并举例了其应用场景。最小二乘法在数据分析、统计建模、机器学习等领域都有广泛的应用，具有重要的理论和实际意义。 参考文献 •Montgomery, D.C., Peck, E.A., & Vining, G.G. (2020). Introduction to Linear Regression Analysis, Sixth Edition. Wiley. •Kutner, M.H., Nachtsheim, C.J., Neter, J., & Li, W. (2004). Applied Linear Statistical Models, Fifth Edition. McGraw-Hill.
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。 原理： 给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ϕ。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： ....... 4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到: 6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB 实现： MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。x 必须是单调的。矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x 进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu 包含标准化处理过程中使用的x 的均值和标准差。 polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x)
Excel是一款功能强大的电子表格软件，广泛应用于数据处理与分析领域。其中最小二乘法是一种常见的曲线拟合方法，在Excel中通过使用函数进行实现。本文将介绍如何利用Excel进行最小二乘法拟合曲线的操作步骤及相关注意事项。希望通过本文的介绍，读者能够掌握利用Excel进行曲线拟合的方法，从而在实际工作中能够更加高效地处理数据和分析结果。 一、最小二乘法简介 最小二乘法是一种数学上常用的曲线拟合方法，其本质是通过调整曲线参数使得实际观测值与拟合值之间的差异最小化。在实际应用中，最小二乘法常用于拟合直线、曲线以及多项式等形式的函数模型，用于描述变量之间的关系。 二、Excel中最小二乘法拟合曲线的操作步骤 1. 准备数据 首先需要在Excel中准备好需要拟合的数据，通常是包含自变量和因变量的数据列。假设我们有一组数据，自变量为x，因变量为y，我们希望通过最小二乘法找到一条曲线来描述它们之间的关系。 2. 插入散点图 在准备好数据之后，需要在Excel中插入散点图来直观地观察数据点的分布情况。选择数据区域后，点击插入菜单中的散点图，选择合适的图表类型进行插入。通过散点图可以直观地观察到数据点的分布情
况，从而初步判断需要拟合的曲线形式。 3. 计算拟合曲线参数 利用Excel中的函数可以很方便地进行最小二乘法拟合曲线的计算。 在Excel中，可以使用“线性拟合”函数进行直线拟合，使用“多项 式拟合”函数进行多项式曲线拟合。通过输入相关参数和数据范围， 即可得到拟合曲线的参数值，并在图表中显示拟合曲线。 4. 绘制拟合曲线 根据计算得到的拟合曲线参数值，可以利用Excel中的图表工具绘制 出拟合曲线。在散点图的基础上，添加拟合曲线，并进行必要的格式 设置，可以清晰地展示出拟合曲线与原始数据之间的关系。 5. 拟合曲线的评估 拟合曲线的好坏可以通过一些评价指标来进行评估，例如拟合优度R 方值、残差分布等。通过观察这些评价指标，可以对拟合曲线的质量 进行初步判断，从而确定是否需要调整模型或者采取其他措施。 6. 实时更新拟合曲线 在实际工作中，数据往往是动态更新的，因此需要保持拟合曲线的实 时更新。利用Excel中的数据表格功能，可以很方便地更新数据范围，从而实现拟合曲线的实时更新。
一、曲线拟合是什么？ 曲线拟合也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。 设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为 求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。这时没必要取φ(xi) = yi, 而要使i=φ(xi)yi 总体上尽可能地小。这种构造近似函数的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。 如下为一个曲线拟合示意图。 清楚什么是曲线拟合之后，我们还需要了解一个概念——残差。 曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到总体上尽可能地小。若令（1-1） 则为残向量（残差）。 “使（1-1）尽可能地小”有不同的准则 （1）残差最大值最小 （2）残差绝对值和最小（绝对值的计算比较麻烦） （3）残差平方和最小（即最小二乘原则。计算比较方便，对异常值非常敏感，并且得到的
估计量具有优良特性。） 二、最小二乘法是什么？ 个人粗俗理解：按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 百度百科：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 三、求解最小二乘法（包含数学推导过程） 我们以最简单的线性模型来解释最小二乘法。什么是线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，n个自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为一/多元线性回归分析。 如何求解最小二乘问题？（使用极小值原理） 首先应确定函数类（原则:根据实际问题与所给数据点的变化规律），在实际问题中如何选择基函数是一个复杂的问题，一般要根据问题本身的性质来决定。通常可取的基函数有多项式、三角函数、指数函数、样条函数等。我们以二元线性方程为例进行数学推导，如下：
matlab多元一次方程最小二乘拟合求取系数 最小二乘法是一种数学方法，可用于数据拟合以及误差分析。在科学与工程中，我们经常需要解决数据拟合的问题，而最小二乘法便是其中最常用的方法之一。本文将介绍如何使用MATLAB进行多元一次方程最小二乘拟合并求取系数。 第一步：准备数据 首先，我们需要准备一组数据以进行最小二乘拟合。这组数据需要是多个变量之间的关系，并且这些变量需要满足线性关系。对于这个问题，我们可以先简化成一个二元一次方程y=ax+b。这个方程可以表示成矩阵形式： ``` Y = [y1;y2;...;ym] X = [1,x1;1,x2;...;1,xm] B = [b;a] ``` 其中，Y是一个m行一列的向量，表示对应的y值；X是一个m 行两列的矩阵，第一列为1表示截距项，第二列为x值；B是一个两行一列的向量，表示最终的系数。 第二步：计算最小二乘法 接下来，我们需要使用MATLAB求解这个最小二乘问题。我们可以使用MATLAB内置的regress函数，它可以帮助我们求解系数B。具体使用方法如下： ``` B = regress(Y,X) ``` 这个函数会返回一个2行1列的向量，也就是系数B的值。 第三步：验证结果 最后，我们需要验证我们拟合出的结果是否可靠。我们可以使用
拟合残差来评估我们的拟合效果，同时也可以用图形的方式来直观地观察。对于残差，可以使用如下代码来计算： ``` e = Y - X * B ``` 这个代码会计算出每一行数据的残差。我们可以使用hist函数来显示残差分布的直方图： ``` hist(e) ``` 对于图形，我们可以使用plot函数来绘制拟合曲线。具体代码如下： ``` plot(X(:,2),Y,'o') hold on plot(X(:,2),X * B,'-') hold off ``` 这个代码会在同一个坐标系内绘制出数据点以及拟合曲线，以直观地观察拟合效果。 以上就是在MATLAB中进行多元一次方程最小二乘拟合的步骤。通过以上步骤，我们可以轻松地得到拟合系数，同时也能评估拟合效果的可靠性。在实际的工程应用中，最小二乘法是一个非常常用的数据拟合方法，也是我们不能忽视的工具之一。
最小二乘法（附MATLAB代码） 今天我主要是从如何使用MATLAB实现最小二乘法，首先给出今天重点使用的两个函数。 比如我想拟合下面这组数据 x=[9,13,15,17,18.6,20,23,29,31.7,35]; y=[-8,-6.45,-5.1,-4,-3,-1.95,-1.5,-0.4,0.2,-0.75]; 我先用matlab将这组离散点画出来， plot(x,y,'o')
嗯，大概这个样子，这时我们想使用一次函数拟合上述曲线，可使用以下代码 clearclcx=[9,13,15,17,18.6,20,23,29,31.7,35];y=[-8,-6.45,-5.1,-4,-3,-1.95,-1.5,-0.4,0.2,-0.75];coeff icient=polyfit(x,y,1); %用一次函数拟合曲线，想用几次函数拟合，就把n设成那个数 y1=polyval(coefficient,x);%plot(x,y,'-',x,y1,'o')，这个地方原来'-'和'o'写反了，现已更正，可以得到正确的图形。plot(x,y,'o',x,y1,'-') 得到的结果是 coefficient=[0.2989,-9.4107] 所以得到的一次函数为 y=0.2989*x-9.4107
同理如果用二次函数拟合该曲线，得到的各项系数为coefficient=[-0.0157 1.0037 -16.2817] 所以得到的二次函数为 y=-0.0157*x^2+1.0037*x-16.2817
其他阶数依此类推。 但是使用polyfit(x,y,n)函数有一个注意事项： 举个例子，比如说我们想用9阶多项式拟合上述曲线时，我们发现拟合的曲线是正常的，得到的各项系数也是正常的
最小二乘法拟合曲线算法 1、概述 给定数据点P(x i ,y i )，其中i=1,2,…,n 。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi 处的偏差δi = φ(x i )-y ，i=1,2,...,n 。 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，这种方法为最小二乘法，偏差平方和公式为： min σ2 = (φ(x i −y i ))2n i =1 n i =1 2、推导过程 1）设拟合多项式为： y = a 0+ a 1x +⋯+a k x k 2）各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方如下: R 2= [y i −(a 0+ a 1x +⋯+a k x k )]2n i =1 3）多项式系数为学习对象，为了求得符合条件的系数值，对上面等式的a i 分别求导，得： −2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k =0n i=1 −2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x =0n i=1 …… −2 y i − a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k =0n i=1 4）将等式移项化简，得： a 0+ a 1x +⋯+a k x k = y i n i =1n i =1 a 0+ a 1x +⋯+a k x k x = y i x n i =1 n i =1 …… a 0+ a 1x +⋯+a k x k x k = y i x k n i =1 n i =1 5）依上式得矩阵为：
x i0 n i=1⋯x i k n i=1 ⋮⋱⋮ x i k n i=1⋯x i2k n i=1 a0 ⋮ a k = y i x i0 n i=1 ⋮ y i x i k n i=1 上边等式左边为1+K阶对称矩阵，解此矩阵方程即可得到曲线系数a k 6）对于AX=B，A为对称矩阵，对称矩阵可以分解为一个下三角矩阵、一个上三角矩阵（下三角矩阵的转置）和一个对角线矩阵相乘。即A=LDL T 所以AX=LDL T X=B， 令DL T X=Y -> LY=B，其中L为下三角矩阵，且已知，可求出Y。 再由DL T X=Y可求出X。 这种解对称矩阵方程组的方法为LDLT方法。 3、验证 输入为11569个点，K取9阶，最后拟合曲线如图所示：
利用最小二乘法求解拟合曲线LT
拟合，这里(),0,1,,i i y f x i m ==⋅⋅⋅，要求一个函数*() y S x =与所给数据{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅拟合，若记误差*()(0,1,,) i i i S x y i m δ=-=⋅⋅⋅,()01,,,T m δδδδ=⋅⋅⋅,设01(),(),,()n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅是[,]C a b 上的线性无关函数族，在01{(),(),,()} n span x x x ϕϕϕϕ=⋅⋅⋅中找一个函数*()S x ，使误差平方和 |22 2 2*2()000|||[()][()]min m m m i i i i i S x i i i S x y S x y ϕδδ∈=====-=-∑∑∑ 这里 0011|()()()()()n n S x a x a x a x n m ϕϕϕ=++⋅⋅⋅+< 这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。 通常在最小二乘法中考虑加权平方和有 0(,)()()() m j k i j k i x x x ϕϕωϕϕ==∑， 0(,)()()(),0,1,,m k i i k k i f x f x x d k n ϕωϕ====⋅⋅⋅∑ 上式可改写为 0(,),0,1,,m k j j k j a d k n ϕϕ===⋅⋅⋅∑。 这个线性方程组称为法方程，可将其写成矩阵形式
,Ga d = 其中0,10,1(,,),(,,)T T n n a a a a d d d d =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 00010100101111(,),(,),,(,)(,),(,),,(,)(,),(,),,(,)n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅= ⎪⋅ ⎪ ⎪⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ 求出0,1,,n a a a ⋅⋅⋅ 则拟合函数* 2012()n n S x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+ a=inv(G)*d 【实验问题】 由实验得到下列数据 j x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0 j y 1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46 试对这组数据进行曲线拟合。 利用最小二乘法求所给数据的2次、3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。 【实验过程与结果】 编写程序后运行，n=2.3.4分别计算，得出结果和图像
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数 （合肥工业大学控释药物研究室尹情胜） 1 目的 用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯） 一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊） 2 最小二乘法原理 用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平 方和（Q）最小。 式（1）3 拟合方程的计算公式与推导 当Q最小时，；得到式（2）、式（3）： 式（2） 式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）： 式（4） 式（5）
式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a： 斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即： 截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）
4 相关系数的意义与计算公式 相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。 相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。 相关系数r xy取值在-1到1之间。r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。 (式（7） 5 临界相关系数的意义 5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系 显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。 在正常的分布条件下，一般要求实际值位于置信区间的概率应该在95%以上，这个置信区间为Y±2S，从而置信区间的上下限分别为：Y1=a+bX+2S，Y2=a+bX-2S。 5.2 临界值表中自由度（f） 自由度(degree of freedom, f)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常f=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。 f=n—p—1 其中：n为样本数(点的个数)，p为因子数（p元回归，一元线性回归，p＝1）。
“数值计算方法与算法”论文 题目：浅谈曲线拟合的最小二乘法 院系：化学与材料工程学院20系 姓名： 学号： 时间：2015年春季学期
浅谈曲线拟合的最小二乘法 【摘要】 数值计算方法，一种研究并解决数学问题的数值近似解的方法，主要解决那些理论上有解但是无法轻易且准确求解的数学问题。在当今计算机技术日渐成熟的背景下，数值计算方法的应用被大大的推广，并且极大的推动了自然科学的规律探索及理论验证。本文主要探讨了一种重要的数值计算方法——曲线拟合的最小二乘法的历史发展、理论核心以及应用价值。 关键词：数值计算方法最小二乘法应用 【正文】 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，现在通常在计算机上使用来求解数学问题。它主要的计算对象是那些在理论上有解而又无法直接手工计算的数学问题【1】。例如，用已知的数据点来构造合适的插值函数或拟合出合适的曲线来近似代替原函数，从而解决了因难以求得原函数表达式而无法计算相关函数值的难题；又如，对于一个一般的非线性方程f(x)=0，可能在计算方程的根时既无一定章程可循，也无理论解法可言，那么这时就可以构造合适的迭代格式如Newton迭代，通过对一个近似的初值进行有限次迭代，就可以得到较精准的根值，从而有效避免了冗长而又复杂的理论求解的过程。 在学习完计算方法与算法这门课程后，我收获了许多实用的计算方法、技巧和思想，而对书中的某些问题的解法的深入思考也让我加深了对这门课程的理解。由于专业的相关需要，我对曲线拟合的最小二乘法这部分知识点进行了重点的学习和深刻的反思，也收获了许多。 1.最小二乘法的发展历史 18世纪中期以后，欧拉（L. Euler, 1707-1783）、梅耶（T. Meiyer, 1723-1762）、拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749—1827)等科学家在研究一些天体运动规律时，都得到了一些含有m个变量n个（m≪n）方程的线性方程组（也就是我们现在所说的线性矛盾方程组），并且各自运用了一些方法解出了方程组的较优解。虽然方法繁琐且奇特，但不失为数学史一次伟大的尝试。 有关于最小二乘法的首次应用于实际计算并成功的记载，是关于第一颗小行星位置的预测，十分之有趣。1801年，意大利天文学家朱塞普·皮亚齐（Giuseppe Piazzi,1746-1826）发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后，全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据，开始了寻找谷神星之旅。但是，根据大多数人的计算结果来寻找谷神星，都以失败告终。时年24岁的伟大的数学家高斯（C.F.Gauss, 1777－1855）也随即参与了这次的计算。最终德国天文学家奥伯斯（Heinrich Olbers）
VB计算程序课程设计--用最小二乘法求拟合曲线
测试与光电工程学院 课程设计任务书 测控技术与仪器系100813班学号10081329 姓名吴辉 课程名称：用最小二乘法求拟合曲线 课题要求： 利用VB语言编程实现对给定离散点的拟合（不小于10个）的拟合 用最小二乘法求数据的拟合曲线。要求有良好的输入、输出界面，输出应包含直线方程并图形显示拟合效果。完成软件的整体设计。 课题进程： 1）熟悉VB编程语言、最小二乘法算法分析3天 2）编写程序实现以上功能3天 3）软件调试、测试2天 4）撰写课程设计报告2天 指导老师：杨琳瑜 目录 摘要 ------------------------------------------------------------------------------------ 2 第一章最小二乘法 ---------------------------------------------------------------- 2 1) 理论依据 ----------------------------------------- 错误!未定义书签。 2) 线性拟合分析 ----------------------------------- 错误!未定义书签。 3) 非线性拟合分析 ------------------------------------------------------- 5
第二章系统设计-------------------------------------------------------------------- 5 1) 采用的软件及开发平台 ---------------------------------------------- 5 2) 项目的总体方案 ------------------------------------------------------- 5 3) 项目的详细设计 ------------------------------------------------------- 6 第三章设计实现------------------------------------------------------------------- 10 1) 主要功能模块的具体实现 ------------------------------------------ 10 2) 主要技术问题或难题的解决方法 --------------------------------- 10 3) 亮点或创新点的实现 ------------------------------------------------ 11 第四章结束语---------------------------------------------------------------------- 11 参考文献 ----------------------------------------------------------------------------- 12 附录 ----------------------------------------------------------------------------------- 14 摘要 最小二乘法最早是由高斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统计方法。高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。 最小二乘法普遍适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作用。它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。比如说，我们引入等效时间的概念,根据Arrhenius函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的变化,最后采用最小二乘法回归分析试验数据,确定绝热温升和等效时间的关系式。
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点