曲线拟合--最小二乘法
1：已知平面上四个点：（0，1）、（1，2.1）、（2，2.9）和（3，3.2），求出一条直线拟合这四个点，使得偏差平方和变为极小。
解：设直线方程为：
0 1 0 0
1 2.1 1 2.1
2 2.9 4 5.8
3 3.2 9 9.6
Sum=6 Sum=9.2 Sum=14 Sum=17.5 代入正规方程：
，
编程求解上方程组：
>> eq1='14*A+6*B=17.5';
>>eq2='6*A+4*B=9.2';
>> [A,B]=solve(eq1,eq2,'A,B');
>> disp(A)
0.74
>> disp(B)
1.19
所以直线方程为：
2：已知数据如下表所示
1 2 4 6
10 5 2 1
试求（1）用抛物线拟合这些数据使得偏差平方和最小；（2）用型如的函数来拟合这些数据使得偏差平方和最小。（3）比较这两种拟合结果。
解：（1）设抛物线方程为：
1 10 1 1 1 10 10
2 5 4 8 16 10 20 4 2 16 64 256 8 32
6 1 36 216 1296 6 36 Sum=13 Sum=18 Sum=5
7 Sum=289 Sum=1569 Sum=34 Sum=98
代入正规方程：
得到系数A，B，C的方程组：
编程求解上方程组：
>>eq1='1569*A+289*B+57*C=98';
>>eq2='289*A+57*B+13*C=34';
>>eq3='57*A+13*B+4*C=18';
>> [A,B,C]=solve(eq1,eq2,eq3,'A,B,C');
>> disp(A); disp(B); disp(C)
102/199
-1048/199
2848/199
>> A=102/199; disp(A) 0.5126
>> B=-1048/199; disp(B) -5.2663
>> C=2848/199; disp(C) 14.3116
所以得到抛物线的方程为：（2）设函数
1 10 1 1 10
2 5 1/2 1/4 5/2
4 2 1/4 1/16 1/2
6 1 1/6 1/36 1/6
Sum=13 Sum=18 Sum=23/12 Sum=193/144 Sum=79/6 得到系数A，B的方程组：
编程求解上方程组：
>> eq1='4*A+23*B/12=18';
>>eq2='23*A/12+193*B/144=79/6';
>> [A,B]=solve(eq1,eq2,'A,B');
>> disp(A); disp(B)
-160/243
872/81
>> A=-160/243; disp(A)
-0.6584
>> B=827/81; disp(B)
10.2099
所以得到的函数为：
（3）比较（1）和（2）两种方法拟合的方程：
编程画出抛物线
的图像为：
>> x=-2:0.1:12;
>> y=0.5126*x.^2-5.2663*x+14.3116;
plot(x,y);grid on
（a）
再编程画出
的图像为：
>> x=-2:0.1:12;
>> y=-0.6584+10.2099*(x.^(-1));
>> plot(x,y);grid on
>> x=-1:0.01:1;
>> y=-0.6584+10.2099*(x.^(-1));
plot(x,y);grid on
(b)
比较两图像可知，图像（b）在点（0，0）处不连续。尽管它是由相同的四个点拟合出来的，但它的拟合较差，图像（a）拟合较好。
3：试求一个形如下式的指数函数：
，（a,b为参数），使它拟合于下列数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.5 87.8 117.6
解：设指数函数
变量变换后将指数形式变为了线性关系式：
1 15.3 1 Ln15.3 1 Ln15.3
2 20.5 2 Ln20.5 4 2Ln20.5
3 27.
4 3 Ln27.4 9 3Ln27.4
4 36.6 4 Ln36.6 16 4Ln36.6
5 49.1 5 Ln49.1 25 5Ln49.1
6 65.6 6 Ln65.6 36 6Ln65.6
7 87.8 7 Ln87.8 49 7Ln87.8
8 117.6 8 Ln117.6 64 8Ln117.6
Sum=36 Sum=419.9 Sum=36 Sum=29.9787 Sum=204 Sum=147.1350 编程计算
和
的值如下：
>>f1=log(15.3)+log(20.5)+log(27.4)+log(36.6)+log(49.1)+log(65.6)+lo g(87.8)+log(117.6);
>>disp(f1)
29.9787
>>f2=log(15.3)+2*log(20.5)+3*log(27.4)+4*log(36.6)+5*log(49.1)+6*lo g(65.6)+7*log(87.8)+8*log(117.6);
>>disp(f2)
147.1350
代入正规方程：
得到系数A，B的方程组：
编程求解上方程组：
>> eq1='204*A+36*B=147.1350'; >>eq2='36*A+8*B=29.9787';
>> [A,B]=solve(eq1,eq2,'A,B'); >> disp(A); disp(B)
0.2912
2.4369
>> B=log(C); disp(C)
2848/199
>> C=2848/199; disp(C)
14.3116
所以
4：用最小二乘法求一个形如
（a,b为参数）的经验公式，使其与下列数据相拟合（计算取4位小数）。
1 2 3 4
2.5
3.4
4.1 4.4
解：设
对
分别求A，B的偏导
1 2.5 0 0 2.5
2 3.4
3 4.1
4 4.4
Sum=10 Sum=14.4 Sum=3.1781 Sum=3.6092 Sum=15.4607 编程计算
,
和
的值如下：
>> f1=log(2)+log(3)+log(4); disp(f1)
3.1781
>> f2=[log(2)].^2+[log(3)].^2+[log(4);].^2; disp(f2)
3.6092
>> f3=2.5+3.4*log(2)+4.1*log(3)+4.4*log(4); disp(f3)
15.4607
各值代入正规方程得到系数A，B的方程组：
编程求解上方程组：
>> eq1='4*A+3.1781*B=14.4';
>>eq2='3.1781*A+3.6092*B=15.4607'; >> [A,B]=solve(eq1,eq2,'A,B'); >> disp(A); disp(B)
0.6542
3.7077
所以得到的函数为：
最小二乘法拟合sigmod 最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用于拟合各种函数曲线，包括sigmoid函数。Sigmoid函数是一种常见的非线性函数，也称为S形函数，它通常用于描述生长和饱和过程。在这篇文章中，我们将介绍如何使用最小二乘法来拟合sigmoid函数。 首先，我们需要了解sigmoid函数的公式和特性。Sigmoid函数的一般形式为： f(x) = L / (1 + exp(-k(x - x0))) 其中，L是函数的最大值，k是斜率，x0是函数的中心位置。Sigmoid函数的特性是它的值在x趋近于正无穷和负无穷时分别趋近于L和0，因此它通常用于描述生长和饱和过程，如细胞生长、人口增长等。 接下来，我们将使用最小二乘法来拟合sigmoid函数。最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定函数参数的方法。对于sigmoid函数的拟合，我们需要确定L、k和x0三个参数。 具体步骤如下： 1.首先，我们需要将sigmoid函数转换为线性函数的形式。根据sigmoid函数的公式，我们可以将其改写为： y = L / (1 + exp(-k(x - x0))) = a / (1 + exp(-bx)) 其中，a = L，b = k，x0 = -a/b。 2.然后，我们需要准备数据。我们需要收集一组包含独立变量x 和因变量y的数据点，这些数据点应该尽可能地分布在sigmoid函数
的上升和下降部分。 3.接下来，我们需要将数据点转换为线性函数的形式。根据上述转换公式，我们可以将每个数据点变为： y = a / (1 + exp(-bx)) = a(1 + exp(-bx))^-1 然后，我们可以将其改写为： y = a + b*ln((1-y)/y) 其中，ln表示自然对数，1-y为sigmoid函数的下降部分，y为上升部分。 4.然后，我们需要使用最小二乘法来拟合线性函数。我们可以使用线性回归来实现这一步骤。具体地，我们可以按照下列步骤进行：（1）将每个数据点的y值取对数，即ln((1-y)/y)； （2）将每个数据点的a值设为1； （3）使用线性回归模型来拟合数据点的a和ln((1-y)/y)。 5.最后，我们可以将得到的线性拟合结果转换回sigmoid函数的形式。具体地，我们可以将线性拟合结果中的斜率b设为k，截距设为-log(L)。 这样，我们就完成了对sigmoid函数的最小二乘法拟合。通过这种方法，我们可以得到sigmoid函数的最适参数，并将其用于生长和饱和过程的建模。
曲线拟合的最小二乘法 一、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 二、计算公式 由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线 )(...)()()(1100x a x a x a x S n n ???+++= 称为曲线拟合的最小二乘法。 若记 ),()()(),(0 i k i j m i i k j x x x ??ω??∑== k i k i m i i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0 ?ω? 上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j n o j j k -=∑=??这个方程成为法方程，可写成距阵 形式 d Ga = 其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a == ???? ????????=),(),(),()(),(),(),(),(),(10 1110101000n n n n n n G ?????????????????? 。 它的平方误差为：.)]()([)(||||20 22i i m i i x f x S x -= ∑=ωδ 三、结构程序设计
（1）在MATLAB 工作窗口输入程序 >> t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64]; plot(t,y,'r*'), legend ('实验数据(ti,yi)') xlabel('t'), ylabel('y ×0.0001'), title ('课题八的数据点(ti,yi )的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图如下： 10 20 3040 50 60 00.511.522.53 3.54 4.55t y ×0.0001 课题八的数据点(ti,yi)的散点图 实验数据(ti,yi) （2）编写下列MATLAB 程序计算近似解析式23123()t a t a t a t ?=++的拟合系数 >>t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64]; p=polyfit(t,y,3) t1=0:0.1:55; y1=polyval(p,t1);
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序最小二乘法是一种常用的数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来找到最佳函数匹配。在曲线拟合中，最小二乘法被广泛使用来找到最佳拟合曲线。下面的Matlab程序演示了如何使用最小二乘法进行曲线拟合。 % 输入数据 x = [1, 2, 3, 4, 5]; y = [2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1]; % 构建矩阵 A = [x(:), ones(size(x))]; % 使用x向量和单位矩阵构建矩阵A % 使用最小二乘法求解 theta = (A' * A) \ (A' * y); % 利用最小二乘法的公式求解 % 显示拟合曲线 plot(x, theta(1) * x + theta(2), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线 hold on; % 保持当前图像 plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'b'); % 在图像上画出原始数据点 xlabel('x'); % 设置x轴标签 ylabel('y'); % 设置y轴标签 legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例
这个程序首先定义了一组输入数据x和y。然后，它构建了一个矩阵A，这个矩阵由输入数据x和单位矩阵构成。然后，程序使用最小二乘法的公式来求解最佳拟合曲线的参数。最后，程序画出拟合曲线和原始数据点。 这个程序使用的是线性最小二乘法，适用于一次曲线拟合。如果你的数据更适合非线性模型，例如二次曲线或指数曲线，那么你需要使用非线性最小二乘法。Matlab提供了lsqcurvefit函数，可以用于非线性曲线拟合。例如：% 非线性模型 y = a * x^2 + b * x + c fun = @(theta, x) theta(1) * x.^2 + theta(2) * x + theta(3); guess = [1, 1, 1]; % 初始猜测值 % 使用lsqcurvefit函数求解 theta = lsqcurvefit(fun, guess, x, y); % 显示拟合曲线 plot(x, fun(theta, x), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线 hold on; % 保持当前图像 plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'b'); % 在图像上画出原始数据点 xlabel('x'); % 设置x轴标签 ylabel('y'); % 设置y轴标签 legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例
曲线拟合的最小二乘法 吕英楷 1014202033 在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。 一、曲线拟合的最小二乘法原理： 由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线 )(...)()()(1100x a x a x a x S n n ???+++= 称为曲线拟合的最小二乘法。 若记 ),()()(),(0 i k i j m i i k j x x x ??ω??∑== k i k i m i i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0 ?ω? 上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j n o j j k -=∑=??这个方程成为法方程，可写成距阵 形式 d Ga = 其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a == ???? ?? ??????=),(),(),()(),(),(),(),(),(10 1110101000n n n n n n G ?????????????????? 。 它的平方误差为：.)]()([)(||||20 22i i m i i x f x S x -= ∑=ωδ
曲线拟合--最小二乘法 1：已知平面上四个点：（0，1）、（1，2.1）、（2，2.9）和（3，3.2），求出一条直线拟合这四个点，使得偏差平方和变为极小。 解：设直线方程为： 0 1 0 0 1 2.1 1 2.1 2 2.9 4 5.8 3 3.2 9 9.6 Sum=6 Sum=9.2 Sum=14 Sum=17.5 代入正规方程： ， 编程求解上方程组： >> eq1='14*A+6*B=17.5';
>>eq2='6*A+4*B=9.2'; >> [A,B]=solve(eq1,eq2,'A,B'); >> disp(A) 0.74 >> disp(B) 1.19 所以直线方程为： 2：已知数据如下表所示 1 2 4 6 10 5 2 1 试求（1）用抛物线拟合这些数据使得偏差平方和最小；（2）用型如的函数来拟合这些数据使得偏差平方和最小。（3）比较这两种拟合结果。 解：（1）设抛物线方程为： 1 10 1 1 1 10 10 2 5 4 8 16 10 20 4 2 16 64 256 8 32
6 1 36 216 1296 6 36 Sum=13 Sum=18 Sum=5 7 Sum=289 Sum=1569 Sum=34 Sum=98 代入正规方程： 得到系数A，B，C的方程组： 编程求解上方程组： >>eq1='1569*A+289*B+57*C=98'; >>eq2='289*A+57*B+13*C=34'; >>eq3='57*A+13*B+4*C=18'; >> [A,B,C]=solve(eq1,eq2,eq3,'A,B,C'); >> disp(A); disp(B); disp(C) 102/199 -1048/199
最小二乘法拟合原理 最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的线性回归分析方法，用于拟合数据点到一个理论模型的直线或曲线的原理。它的目标是通过最小化实际数据点与拟合曲线之间的垂直距离（也称为残差）的平方和来找到最佳的拟合曲线。 假设我们有一个包含n个数据点的数据集，其中每个数据点的坐标可以表示为（xi，yi）。我们希望找到一个模型y=f(x,θ)，其中x是自变量，θ是模型的参数，使得对于每个数据点，模型预测的y值与实际的观测值之间的差异最小化。 yi = yi_true + ei 以线性回归为例，模型可以表示为y=θ0+θ1x，其中θ0和θ1是要估计的参数。我们的目标是找到最佳的θ0和θ1，使得所有数据点的残差平方和最小。残差可以定义为： ei = yi - (θ0 + θ1xi) 为了最小化残差平方和，我们需要对残差平方和进行求导，并令导数等于零。这样一来，我们就能得到使得残差平方和最小的参数估计值。 对于线性回归而言，最小二乘法的公式可以写为： θ1 = (sum(xi - x_mean)(yi - y_mean))/(sum(xi - x_mean)^2)θ0 = y_mea n - θ1x_mean 其中，x_mean和y_mean分别是自变量和因变量的均值。
需要注意的是，最小二乘法只是一种估计参数的方法，它没有办法告 诉我们模型是否真实有效。为了评估拟合效果，我们还需要使用一些指标，如决定系数（coefficient of determination），来评估拟合曲线与数据 之间的拟合程度。 总结起来，最小二乘法是一种通过最小化实际数据点与拟合曲线之间 的垂直距离的平方和来找到最佳的拟合曲线的方法。它的原理建立在数据 具有随机误差，且服从独立同分布的正态分布的假设上。通过最小二乘法，我们可以估计出模型的参数，以及评估拟合程度，从而对数据进行分析、 预测与优化。
最小二乘法曲线拟合原理 最小二乘法曲线拟合原理是指用曲线来拟合已知数据点的一种 优化算法，也叫“误差最小化法”，更多的称之为“最小二乘法”，简称LSM。最小二乘法曲线拟合的应用范围很广，拟合分析复杂数据的应用越来越多。 最小二乘法曲线拟合的原理 最小二乘曲线拟合的基本原理是构造一个最适合拟合给定数据 点的函数，使拟合后函数拟合数据点和真实数据点之间的均方误差（SSE）最小。均方误差是指观测值和拟合函数值之间的差的平方（SSE = SΣ(Yi - Xk)^2）。 均方误差最小，表明拟合函数就是最适合拟合数据的函数，而最小二乘法的基本思想就是求均方误差最小，即求解最优解的函数，这个函数就是最合适拟合给定数据点的曲线函数，即最小二乘法曲线拟合函数。 最小二乘法曲线拟合的应用 最小二乘法曲线拟合最常见的应用是拟合曲线，以解决未知函数形式的问题。拟合曲线可以使用曲线来估计一组数据，曲线拟合可以使得模型更准确地拟合数据，并且可以获得该曲线的未知参数。如果数据不符合一个函数，可以使用自定义函数进行拟合，比如指数函数、sin函数、双曲线等。 最小二乘法也可以用于拟合回归模型，这是一种统计学中常用的方法，它可以用来推断大量随机变量的变化趋势，或者用来分析一个
可能受其他变量影响的变量之间的关系。 最小二乘法也可以用于数值估计，比如最小二乘法用于数值拟合，用于数值拟合可以求出未知函数的参数，用于回归分析中，可以估计因变量受自变量影响的参数。 最小二乘法曲线拟合的缺点 最小二乘法曲线拟合的最大缺点是其依赖性强：由于拟合的曲线函数有固定形式，因此无法拟合数据点的异常值，也无法拟合数据不具有规律性的情况；另外，最小二乘法曲线拟合也可能因过拟合导致拟合出的函数复杂度较高，从而影响精度。 总结 最小二乘法曲线拟合原理指用曲线来拟合已知数据点的一种优 化算法，它的基本原理是构造一个最适合拟合给定数据点的函数，使拟合后函数拟合数据点和真实数据点之间的均方误差最小。最小二乘法曲线拟合的应用范围很广，拟合分析复杂数据的应用越来越多。最小二乘法曲线拟合的最大缺点是其依赖性强，也可能因过拟合导致拟合出的函数复杂度较高，从而影响精度。
曲线拟合的最小二乘法原理及实现 任务名称简介 在数据处理和统计分析中，曲线拟合是一种常见的技术，旨在通过数学函数找到最佳拟合曲线，以尽可能准确地描述给定数据集的变化趋势。在曲线拟合的过程中，最小二乘法是一种常用的数学方法，用于选择最佳拟合曲线。本文将详细介绍最小二乘法的原理和实现方法。 最小二乘法原理 最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。其基本原理是将数据集中的每个数据点与拟合曲线上对应点的差值进行平方，然后将所有差值的平方相加，得到误差平方和。最小二乘法的目标是通过调整拟合曲线的参数，使得误差平方和达到最小值。 假设我们有一个包含n个数据点的数据集，每个数据点的横坐标为x，纵坐标为y。我们希望找到一个拟合曲线，可以通过曲线上的点与数据点的差值来评估拟合效果。拟合曲线的一般形式可以表示为： y = f(x, β) 其中，β为拟合曲线的参数，f为拟合曲线的函数。 最小二乘法的基本思想是选择适当的参数β，使得误差平方和最小化。误差平方 和可以表示为： S(β) = Σ(y - f(x, β))^2 其中，Σ表示求和操作，拟合曲线上的点的横坐标为x，纵坐标为f(x, β)。 为了找到误差平方和的最小值，我们需要对参数β进行求解。最常用的方法是对 参数β求导数，令导数为0，从而得到参数的估计值。求解得到的参数估计值就 是使得误差平方和最小化的参数。 最小二乘法实现步骤 最小二乘法的实现可以分为以下几个步骤： 1.确定拟合曲线的函数形式。根据数据的特点和拟合的需求，选择合适的拟合 曲线函数，例如线性函数、多项式函数等。
2.建立误差函数。根据选择的拟合曲线函数，建立误差函数，即每个数据点与 拟合曲线上对应点的差值的平方。 3.求解参数估计值。对误差函数求导数，并令导数为0，求解得到参数的估计 值。 4.进行拟合曲线的评估。通过计算误差平方和等指标来评估拟合曲线的质量， 可以使用残差平方和、R方值等指标。 5.优化拟合结果（可选）。根据评估的结果，如有必要可以调整拟合曲线的参 数或选择其他拟合曲线函数，以得到更好的拟合效果。 最小二乘法的应用 最小二乘法广泛应用于各种领域，以下列举几个常见的应用场景： 1.经济学中的回归分析。最小二乘法可以用于拟合经济模型，分析各个因素对 于某个经济指标的影响。 2.物理学中的数据处理。最小二乘法可以用于拟合实验数据，找到实验数据的 规律，从而得到物理模型或测量精确度。 3.金融学中的资产定价模型。最小二乘法可以用于拟合资产定价模型，估计资 产的风险和预期收益。 4.机器学习中的参数估计。最小二乘法可以用于拟合模型参数，例如线性回归 中的参数估计。 总结 最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化误差平方和来选择最佳拟合曲线。其核心思想是找到使误差最小化的参数估计值。本文介绍了最小二乘法的原理和实现步骤，并举例了其应用场景。最小二乘法在数据分析、统计建模、机器学习等领域都有广泛的应用，具有重要的理论和实际意义。 参考文献 •Montgomery, D.C., Peck, E.A., & Vining, G.G. (2020). Introduction to Linear Regression Analysis, Sixth Edition. Wiley. •Kutner, M.H., Nachtsheim, C.J., Neter, J., & Li, W. (2004). Applied Linear Statistical Models, Fifth Edition. McGraw-Hill.
Excel是一款功能强大的电子表格软件，广泛应用于数据处理与分析领域。其中最小二乘法是一种常见的曲线拟合方法，在Excel中通过使用函数进行实现。本文将介绍如何利用Excel进行最小二乘法拟合曲线的操作步骤及相关注意事项。希望通过本文的介绍，读者能够掌握利用Excel进行曲线拟合的方法，从而在实际工作中能够更加高效地处理数据和分析结果。 一、最小二乘法简介 最小二乘法是一种数学上常用的曲线拟合方法，其本质是通过调整曲线参数使得实际观测值与拟合值之间的差异最小化。在实际应用中，最小二乘法常用于拟合直线、曲线以及多项式等形式的函数模型，用于描述变量之间的关系。 二、Excel中最小二乘法拟合曲线的操作步骤 1. 准备数据 首先需要在Excel中准备好需要拟合的数据，通常是包含自变量和因变量的数据列。假设我们有一组数据，自变量为x，因变量为y，我们希望通过最小二乘法找到一条曲线来描述它们之间的关系。 2. 插入散点图 在准备好数据之后，需要在Excel中插入散点图来直观地观察数据点的分布情况。选择数据区域后，点击插入菜单中的散点图，选择合适的图表类型进行插入。通过散点图可以直观地观察到数据点的分布情
况，从而初步判断需要拟合的曲线形式。 3. 计算拟合曲线参数 利用Excel中的函数可以很方便地进行最小二乘法拟合曲线的计算。 在Excel中，可以使用“线性拟合”函数进行直线拟合，使用“多项 式拟合”函数进行多项式曲线拟合。通过输入相关参数和数据范围， 即可得到拟合曲线的参数值，并在图表中显示拟合曲线。 4. 绘制拟合曲线 根据计算得到的拟合曲线参数值，可以利用Excel中的图表工具绘制 出拟合曲线。在散点图的基础上，添加拟合曲线，并进行必要的格式 设置，可以清晰地展示出拟合曲线与原始数据之间的关系。 5. 拟合曲线的评估 拟合曲线的好坏可以通过一些评价指标来进行评估，例如拟合优度R 方值、残差分布等。通过观察这些评价指标，可以对拟合曲线的质量 进行初步判断，从而确定是否需要调整模型或者采取其他措施。 6. 实时更新拟合曲线 在实际工作中，数据往往是动态更新的，因此需要保持拟合曲线的实 时更新。利用Excel中的数据表格功能，可以很方便地更新数据范围，从而实现拟合曲线的实时更新。
普通最小二乘法的拟合曲线准则 1. 什么是普通最小二乘法？ 普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）是一种经典的统计学和数学工具，用于拟合数据点与数学模型的关系。通过最小化观测数据点与拟合曲线之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线，从而推断出数据点之间的潜在关系。 2. 拟合曲线的准则 在进行数据拟合时，选择合适的拟合曲线准则对最终结果具有至关重要的影响。常见的拟合曲线准则包括最小化残差平方和、最小化残差绝对值和最小化残差的百分比等。其中，最小二乘法的核心就是最小化残差平方和，使得拟合曲线与观测数据点之间的误差达到最小。 3. 评估拟合曲线的深度和广度 为了全面评估拟合曲线的深度和广度，我们可以从以下几个方面进行考虑： - 数据拟合的准确性：通过分析拟合曲线与实际观测数据点之间的误差大小和分布情况，可以评估拟合曲线对数据的拟合程度。一般来说，
残差应该在一定范围内呈现随机分布，同时残差的平方和应该足够小，这样才能认为拟合曲线较好地拟合了数据点。 - 拟合曲线的泛化能力：除了拟合实际观测数据点外，我们还需要考虑拟合曲线在未知数据的泛化能力。拟合曲线是否能够很好地适应新的 数据点，是否具有较好的预测能力，这些都是评价拟合曲线广度的重 要指标。 - 模型的复杂度：复杂的拟合曲线可能会过度拟合观测数据点，导致在未知数据上的预测能力降低；而过于简单的拟合曲线可能无法很好地 拟合实际观测数据点。我们需要对拟合曲线的复杂度进行合理的权衡，以达到最佳的拟合效果。 4. 个人观点和理解 在我看来，普通最小二乘法是一种较为可靠和普遍适用的拟合方法， 其核心准则即最小化残差平方和可以帮助我们得到相对较好的拟合效果。然而，需要注意的是，在进行数据拟合时，我们应该不断地评估 拟合曲线的准确性和泛化能力，并合理地考虑拟合曲线的复杂度，以 得到更加可靠和实用的结果。 通过对普通最小二乘法的拟合曲线准则进行充分的评估，我们可以更 深入地理解数据拟合的原理和方法，从而在实际应用中取得更加准确
曲线拟合的线性最小二乘法 拟合是已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。 线性最小二乘法 曲线拟合问题的提法是，已知一组（二维）数据，即平面上的n 个点(,), i i x y 1,2,,i n =⋅⋅⋅，i x 互不相同，寻求一个函数（曲线）()y f x =，使()f x 在某种准则 下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的最好。 线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本思路是，令 1122()()()(),m m f x a r x a r x a r x =++⋅⋅⋅+ 其中：()k r x 是事先选定的一组线性无关的函数；k a 是待定系数(1,2,,; k m =⋅⋅⋅)m n <。 拟合准则是使(1,2,,)i y i n =⋅⋅⋅与()i f x 的距离i δ的平方和最小，称为最小二乘 准则。 1.系数k a 的确定 记 []2 2121 1 (,, ,)()n n m i i i i i J a a a f x y δ====-∑∑ 为求12,,,m a a a ⋅⋅⋅使J 达到最小，只需利用极值的必要条件 0j J a ∂=∂(1,2,,)j m =⋅⋅⋅，得到关于12,,,m a a a ⋅⋅⋅的线性方程组 1 1 ()[()]0,1,2, ,n m j i k k i i i k r x a r x y j m ==-==∑∑， 即 1 1 1 [()()](),1,2, ,.m n n k j i k i j i i k i i a r x r x r x y j m =====∑∑∑ （1.1） 记 1111() ()() ()m n m n n m r x r x R r x r x ⨯⎡⎤ ⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ [][]T T 1212,,,,,,,m n A a a a Y y y y =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 方程（1.1）可表为 T T .R RA R Y = （1.2） 当{}12(),(),,()m r x r x r x ⋅⋅⋅线性无关时，R 列满秩，T R R 可逆，于是方程组（1.2） 有唯一解 ()1 T T .A R R R Y -= 2.函数()k r x 的选取 面对一组数据(,),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅，用线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的也是关键的一步是恰当地选取12(),(),,()m r x r x r x ⋅⋅⋅。如果通过机理分析，能够知道 y 与x 之间的函数关系，则12(),(),,()m r x r x r x ⋅⋅⋅容易确定。若无法知道y 与x 之间