最小二乘法拟合曲线公式
最小二乘法是一种常用的数学方法，可以用来拟合一条曲线，使得曲线上的点与实际观测值的误差最小化。最小二乘法拟合曲线的公式为：
y = a + bx
其中，y 是因变量，x 是自变量，a 和 b 是拟合曲线的系数。最小二乘法通过最小化误差平方和来确定 a 和 b 的值，即：
b = (n∑xy - ∑x∑y) / (n∑x^2 - (∑x)^2)
a = (∑y - b∑x) / n
其中，n 是数据点的个数，∑表示求和符号，x 和 y 分别表示自变量和因变量的值。拟合曲线的误差可以通过计算残差平方和来评估，即：
SSR = ∑(y - )^2
其中，y 是实际观测值，是拟合曲线的预测值。最小二乘法拟合曲线的优点在于可以用简单的数学公式表示，易于理解和应用。
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最小二乘法拟合sigmod 最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用于拟合各种函数曲线，包括sigmoid函数。Sigmoid函数是一种常见的非线性函数，也称为S形函数，它通常用于描述生长和饱和过程。在这篇文章中，我们将介绍如何使用最小二乘法来拟合sigmoid函数。 首先，我们需要了解sigmoid函数的公式和特性。Sigmoid函数的一般形式为： f(x) = L / (1 + exp(-k(x - x0))) 其中，L是函数的最大值，k是斜率，x0是函数的中心位置。Sigmoid函数的特性是它的值在x趋近于正无穷和负无穷时分别趋近于L和0，因此它通常用于描述生长和饱和过程，如细胞生长、人口增长等。 接下来，我们将使用最小二乘法来拟合sigmoid函数。最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定函数参数的方法。对于sigmoid函数的拟合，我们需要确定L、k和x0三个参数。 具体步骤如下： 1.首先，我们需要将sigmoid函数转换为线性函数的形式。根据sigmoid函数的公式，我们可以将其改写为： y = L / (1 + exp(-k(x - x0))) = a / (1 + exp(-bx)) 其中，a = L，b = k，x0 = -a/b。 2.然后，我们需要准备数据。我们需要收集一组包含独立变量x 和因变量y的数据点，这些数据点应该尽可能地分布在sigmoid函数
的上升和下降部分。 3.接下来，我们需要将数据点转换为线性函数的形式。根据上述转换公式，我们可以将每个数据点变为： y = a / (1 + exp(-bx)) = a(1 + exp(-bx))^-1 然后，我们可以将其改写为： y = a + b*ln((1-y)/y) 其中，ln表示自然对数，1-y为sigmoid函数的下降部分，y为上升部分。 4.然后，我们需要使用最小二乘法来拟合线性函数。我们可以使用线性回归来实现这一步骤。具体地，我们可以按照下列步骤进行：（1）将每个数据点的y值取对数，即ln((1-y)/y)； （2）将每个数据点的a值设为1； （3）使用线性回归模型来拟合数据点的a和ln((1-y)/y)。 5.最后，我们可以将得到的线性拟合结果转换回sigmoid函数的形式。具体地，我们可以将线性拟合结果中的斜率b设为k，截距设为-log(L)。 这样，我们就完成了对sigmoid函数的最小二乘法拟合。通过这种方法，我们可以得到sigmoid函数的最适参数，并将其用于生长和饱和过程的建模。
最小二乘法知识 最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。 最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。 对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。 在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。一种常用的迭代方法是梯度下降法。梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。迭代更新的过程可以通过下式表示： βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)
其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。学习率需 要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。 最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。 除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。在这些应用中，最小二乘法可以帮助我们找到最佳的模型参数，从而更好地描述和预测数据。 然而，最小二乘法也存在一些局限性。首先，最小二乘法要求误差服从正态分布。如果误差分布不是正态分布，那么最小二乘法的结果可能不准确。其次，最小二乘法对异常值非常敏感。如果数据集中存在异常值，那么最小二乘法的结果可能会被异常值的影响而产生较大偏差。因此，在使用最小二乘法之前，需要对数据进行异常值检测和处理。 最小二乘法作为一种常用的优化方法，在实际应用中具有广泛的应用前景。通过合理地选择模型和优化方法，可以利用最小二乘法来解决各种回归问题，并根据实际需求进行模型的改进和优化。通过深入学习最小二乘法的原理和方法，我们可以更好地理解和应用这一优化方法，为实际问题的解决提供更好的工具和技术支持。当我们使用最小二乘法解决回归问题时，有
最小二乘法公式详细步骤 最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以找到一条曲线或者直线，使得这条曲线或者直线与数据点的距离之和最小。在这个过程中，我们需要有一组已知的数据点和一个数学模型，通过最小二乘法，我们可以求得最优的模型参数，从而达到拟合数据点的目的。 下面将详细介绍最小二乘法的步骤： 1. 定义问题和建立数学模型：首先，我们需要明确问题的定义和我们要拟合的数学模型。例如，我们要拟合一个直线模型，我们可以将其表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是我们需要求解的模型参数。 2. 收集数据点：接下来，我们需要收集一组与我们问题相关的数据点。这些数据点应该表示我们要拟合的模型所描述的现象。 3. 计算拟合误差：对于每一个数据点，我们可以计算其与模型预测值之间的误差，即残差。残差可以表示为实际观测值与模型预测值之间的差异。 4. 求解模型参数：通过最小化所有数据点的残差之和，我们可以得到最优的模型参数。在最小二乘法中，我们要对残差进行平方和求解，这样可以避免正负残差相互抵消的情况。通过求解最小化平方和的问题，可以得到模型参数的解析解。
5. 模型评估：在获得最优的模型参数之后，我们需要评估模型的 拟合效果。这可以通过计算拟合误差的统计指标来完成，如均方根误 差（RMSE）或决定系数（R²）等。 最小二乘法是一种可靠且广泛应用的数据拟合方法。不仅可以拟 合简单的直线模型，还可以扩展到更复杂的曲线模型。在实际应用中，我们常常使用计算机程序来实施最小二乘法，这样可以更高效地处理 大量数据点和复杂的数学模型。 总之，最小二乘法通过最小化数据点的残差之和来拟合数学模型，可以帮助我们理解数据和现象之间的关系，以及预测未知数据点的值。它是数据分析和建模中不可或缺的工具，可以广泛应用于科学研究、 工程设计和经济分析等领域。通过了解最小二乘法的步骤和原理，我 们可以更好地理解数据拟合的过程，并根据实际问题的需要进行模型 求解和评估。
最小二乘拟合（Least Squares Fitting）是一种经典的数据拟合方法，可以通过最小化残差平方和来求解线性或非线性函数的系数。在Matlab中，可以使用polyfit函数进行最小二乘拟合。 polyfit函数的用法如下： p = polyfit(x, y, n) 其中，x和y分别是数据的自变量和因变量，n为拟合的多项式阶数，p为拟合后的多项式系数向量。如果x和y是向量，则表示拟合一条曲线，如果x和y是矩阵，则表示拟合多条曲线。 下面以一个简单的例子来说明如何使用polyfit函数进行最小二乘拟合。 假设有一组数据，如下： x = [1 2 3 4 5]; y = [1.2 2.3 3.2 4.1 5.2]; 现在我们想要拟合一条一次函数y = ax + b来描述这些数据。我们可以使用polyfit函数进行拟合，代码如下： p = polyfit(x, y, 1); a = p(1); b = p(2); 这里的参数n设置为1，表示拟合一次函数。拟合后得到的多项式系数向量p为[0.98 0.12]，表示a = 0.98，b = 0.12。可以将拟合后的函数画在图上，代码如下： xx = linspace(0, 6, 100); yy = polyval(p, xx); plot(x, y, 'o', xx, yy); 这里使用linspace函数生成100个等间隔的点，然后使用polyval函数计算每个点的y 值。最后将数据点和拟合曲线一起画在图上。
可以看到，拟合的一次函数可以较好地描述这些数据点的分布。同样地，我们也可以拟合更高次的多项式函数来更精确地描述数据。 需要注意的是，最小二乘拟合并不一定能够得到准确的结果，特别是在数据存在较大噪声的情况下。此时，需要进行数据清洗、噪声滤波等处理，才能得到更可靠的拟合结果。
曲线拟合--最小二乘法 1：已知平面上四个点：（0，1）、（1，2.1）、（2，2.9）和（3，3.2），求出一条直线拟合这四个点，使得偏差平方和变为极小。 解：设直线方程为： 0 1 0 0 1 2.1 1 2.1 2 2.9 4 5.8 3 3.2 9 9.6 Sum=6 Sum=9.2 Sum=14 Sum=17.5 代入正规方程： ， 编程求解上方程组： >> eq1='14*A+6*B=17.5';
>>eq2='6*A+4*B=9.2'; >> [A,B]=solve(eq1,eq2,'A,B'); >> disp(A) 0.74 >> disp(B) 1.19 所以直线方程为： 2：已知数据如下表所示 1 2 4 6 10 5 2 1 试求（1）用抛物线拟合这些数据使得偏差平方和最小；（2）用型如的函数来拟合这些数据使得偏差平方和最小。（3）比较这两种拟合结果。 解：（1）设抛物线方程为： 1 10 1 1 1 10 10 2 5 4 8 16 10 20 4 2 16 64 256 8 32
6 1 36 216 1296 6 36 Sum=13 Sum=18 Sum=5 7 Sum=289 Sum=1569 Sum=34 Sum=98 代入正规方程： 得到系数A，B，C的方程组： 编程求解上方程组： >>eq1='1569*A+289*B+57*C=98'; >>eq2='289*A+57*B+13*C=34'; >>eq3='57*A+13*B+4*C=18'; >> [A,B,C]=solve(eq1,eq2,eq3,'A,B,C'); >> disp(A); disp(B); disp(C) 102/199 -1048/199
最小二乘法公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
最小二乘法公式 ∑(X--X平)(Y--Y平) =∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平) =∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平 =∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平 =∑XY--nX平Y平 ∑(X --X平)^2 =∑(X^2--2XX平+X平^2) =∑X^2--2nX平^2+nX平^2 =∑X^2--nX平^2 最小二乘公式（针对y=ax+b形式） a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2) b=y(平均)-ax（平均） 最小二乘法 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y 计)²〕最小为“优化判据”。 令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5)
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊ 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经 验公式. 假定实验测得变量之间的个数据, , …, , 则在平面上, 可以得到个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为与之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. 考虑函数 , 其中和是待定常数. 如果在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线来描述 , 时, 计算值与实际值产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于可正可负, 因此不能认为总偏差时, 函数就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定中的常数和 , 使为最小. 用这种方法确定系数 , 的方法称为最小二乘法. 由极值原理得 , 即 解此联立方程得 (*) 问题 I 为研究某一化学反应过程中, 温度℃)对产品得率 (％)的影响, 测得数据如下: 温度℃)
最小二乘法曲线拟合原理 最小二乘法曲线拟合原理是指用曲线来拟合已知数据点的一种 优化算法，也叫“误差最小化法”，更多的称之为“最小二乘法”，简称LSM。最小二乘法曲线拟合的应用范围很广，拟合分析复杂数据的应用越来越多。 最小二乘法曲线拟合的原理 最小二乘曲线拟合的基本原理是构造一个最适合拟合给定数据 点的函数，使拟合后函数拟合数据点和真实数据点之间的均方误差（SSE）最小。均方误差是指观测值和拟合函数值之间的差的平方（SSE = SΣ(Yi - Xk)^2）。 均方误差最小，表明拟合函数就是最适合拟合数据的函数，而最小二乘法的基本思想就是求均方误差最小，即求解最优解的函数，这个函数就是最合适拟合给定数据点的曲线函数，即最小二乘法曲线拟合函数。 最小二乘法曲线拟合的应用 最小二乘法曲线拟合最常见的应用是拟合曲线，以解决未知函数形式的问题。拟合曲线可以使用曲线来估计一组数据，曲线拟合可以使得模型更准确地拟合数据，并且可以获得该曲线的未知参数。如果数据不符合一个函数，可以使用自定义函数进行拟合，比如指数函数、sin函数、双曲线等。 最小二乘法也可以用于拟合回归模型，这是一种统计学中常用的方法，它可以用来推断大量随机变量的变化趋势，或者用来分析一个
可能受其他变量影响的变量之间的关系。 最小二乘法也可以用于数值估计，比如最小二乘法用于数值拟合，用于数值拟合可以求出未知函数的参数，用于回归分析中，可以估计因变量受自变量影响的参数。 最小二乘法曲线拟合的缺点 最小二乘法曲线拟合的最大缺点是其依赖性强：由于拟合的曲线函数有固定形式，因此无法拟合数据点的异常值，也无法拟合数据不具有规律性的情况；另外，最小二乘法曲线拟合也可能因过拟合导致拟合出的函数复杂度较高，从而影响精度。 总结 最小二乘法曲线拟合原理指用曲线来拟合已知数据点的一种优 化算法，它的基本原理是构造一个最适合拟合给定数据点的函数，使拟合后函数拟合数据点和真实数据点之间的均方误差最小。最小二乘法曲线拟合的应用范围很广，拟合分析复杂数据的应用越来越多。最小二乘法曲线拟合的最大缺点是其依赖性强，也可能因过拟合导致拟合出的函数复杂度较高，从而影响精度。
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数 （合肥工业大学控释药物研究室尹情胜） 1 目的 用最小二乘法拟合一组变量（，，i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯） 一组数据（，，i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。（开创者：英国统计学家卡尔·皮尔逊） 2 最小二乘法原理 用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平 方和（Q）最小。 式（1）3 拟合方程的计算公式与推导 当Q最小时，；得到式（2）、式（3）： 式（2） 式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）： 式（4） 式（5）
式（4）乘以n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率a： 斜率（k＝xy／xx，n*积和-和积）式（6）截距b的计算公式为公式（5），也即： 截距b＝（y-x）／n，差平均差）式（7）
4 相关系数的意义与计算公式 相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。 相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。 相关系数r xy取值在-1到1之间。r xy = 0时，称x,y不相关；| r xy | = 1时，称x,y完全相关，此时，x,y之间具有线性函数关系；| r xy | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，r xy的绝对值越大，x的变动引起y的变动就越大，|r xy | > 0.8时称为高度相关，当0.5< | r xy|<0.8时称为显著相关，当0.3<| r xy |<0.5时，成为低度相关，当| r xy | < 0.3时，称为无相关。 (式（7） 5 临界相关系数的意义 5.1 临界相关系数中显著性水平（α）与置信度（P）的关系 显著性水平取0.05，表示置信度为95%；取0.01，置信度就是99%。 在正常的分布条件下，一般要求实际值位于置信区间的概率应该在95%以上，这个置信区间为Y±2S，从而置信区间的上下限分别为：Y1=a+bX+2S，Y2=a+bX-2S。 5.2 临界值表中自由度（f） 自由度(degree of freedom, f)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常f=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。 f=n—p—1 其中：n为样本数(点的个数)，p为因子数（p元回归，一元线性回归，p＝1）。
最小二乘法公式推导过程 最小二乘法是一种最常用的数据拟合方法，主要用于回归分析和 曲线拟合等数据处理领域中。其核心思想是通过最小化残差平方和， 找到一条最佳拟合直线（或曲线），使预测结果与实际观测值间的误 差最小化。 最小二乘法的具体应用可以分为两个步骤。第一步是建立模型， 根据实际数据的分布情况建立数学模型。常见的模型有线性回归模型、多项式回归模型、指数回归模型等等。第二步则是通过最小化残差平 方和来求解使模型拟合结果最优的参数。下面我们就来具体了解一下 最小二乘法的公式推导过程。 首先，我们先给出一个简单的线性回归模型：y = ax + b，其中x 为自变量，y为因变量，a和b是待求解的参数。假设我们有n个数据点，其中第i个数据点的实际观测值为yi，预测值为a xi + b，那么 第i个数据点的残差 ei=yi-a xi -b。 我们的目标是通过最小化所有数据点残差平方和来找到最佳拟合 直线（或曲线）的参数。即最小化S=∑(ei)²，其中i=1,2,…,n。 下面是最小二乘法的公式推导过程： （1）将S展开： S=(e1)²+(e2)²+...+(en)² =(y1-a x1-b)²+(y2-a x2-b)²+...+(yn-a xn-b)²
=(y1²-2a x1 y1-2b y1+a² x1²+2a b x1+b²)+(y2²-2a x2 y2-2b y2+a² x2²+2a b x2+b²)+...+(yn²-2a xn yn-2b yn+a² xn²+2a b xn+b²) =(y1²+y2²+...+yn²)+(a² x1²+a² x2²+...+a² xn²)+(n b²)- 2a(x1 y1+x2 y2+...+xn yn)-2b(y1+y2+...+yn)a+2(n a b x1+...+n a b xn) （2）将S对a、b分别求偏导： ∂S/∂a=2(a x1²+a x2²+...+a xn²)-2(x1 y1+x2 y2+...+xn yn)-2(n a b x1+...+n a b xn) ∂S/∂b=2(n b)-2(y1+y2+...+yn)+2(a x1+...+a xn) （3）令∂S/∂a=0，∂S/∂b=0， 我们可以得到两个方程： a=(n∑xy-∑x∑y)/(n∑x²-(∑x)²) b=(∑y-a∑x)/n 其中，∑表示sigma符号，∑xy为x和y的乘积之和，∑x²为x 的平方和，∑y²为y的平方和，∑x和∑y分别为x和y的和，n为数据点的数量。 至此，我们就推导出了最小二乘法的公式，通过求解这两个方程就可以得到最佳拟合直线（或曲线）的参数a和b，从而实现数据拟合
最小二乘法推导过程 最小二乘法是一种常用的回归分析方法，其核心思想是通过最小化残差平方和来拟合数据，并找到最优的拟合曲线或拟合平面。下面详细介绍最小二乘法的推导过程，包括以下五个步骤： 一、建立数学模型 我们考虑一个简单的线性回归模型，即根据自变量 x 预测因变量 y 的值，假设有 n 个样本数据，则模型可以表示为： y_i = β_0 + β_1 * x_i + ε_i 其中，β_0 和β_1 分别表示截距和斜率，ε_i 是误差项，表示模型无法完美拟合所有数据的部分。 二、最小化残差平方和 我们的目标是最小化残差平方和： SSR = ∑ ε_i^2 其中，SSR 表示残差平方和，也可以理解为误差的总和，ε_i 表示实际值与预测值之间的差距。 三、求残差平方和的一阶导数 为了找到最优的拟合曲线或拟合平面，需要求解残差平方和 SSR 的一阶导数，即： ∂ SSR / ∂ β_0 = -2 ∑ ε_i ∂ SSR / ∂ β_1 = -2 ∑ ε_i * x_i
在推导过程中，我们使用了求导公式： d(a * x) / dx = a * d(x) / dx d(x^n) / dx = n * x^(n-1) d(e^x) / dx = e^x 四、求解最优拟合参数β_0 和β_1 通过将上述一阶导数等于 0，得到拟合曲线或拟合平面的最优解： β_1 = ∑(x_i - x_mean) * (y_i - y_mean) / ∑(x_i - x_mean)^2 β_0 = y_mean - β_1 * x_mean 其中，x_mean 和 y_mean 分别表示自变量和因变量的均值。 五、检验拟合效果 最后，我们需要检验拟合效果，可以计算残差平方和 SSR 和总平方和SST： SST = ∑(y_i - y_mean)^2 然后，计算 R^2 值，也称为拟合优度，其计算公式为： R^2 = 1 - SSR / SST R^2 取值范围在 0 到 1 之间，当值越接近 1 时，拟合效果越好。 综上所述，最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来拟合数据的方法，通过一系列推导和计算，可以找到拟合曲线或拟合平面的最优解，并检验拟合效果。
最小二乘法基本原理：成对等精度测得一组数据，试找出一条最佳的 拟合曲线，使得这条曲线上的各点值与测量值的平方和在所有的曲线 中最小。我们用最小二乘法拟合三次多项式。 最小二乘法又称曲线拟合，所谓的“拟合”就是不要求曲线完全通过 所有的数据点，只要求所得的曲线反映数据的基本趋势。 曲线的拟合几何解释：求一条曲线，使所有的数据均在离曲线的上下 不远处。 ，即误差向量 m / \T 送 ri r =（r o ，r i , r m ）的X —范数；二是误差绝对值的和 7 m 2 r i 范数；三是误差平方和 7 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种 方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方, m 无r i 2 因此在曲线拟合中常采用误差平方和 7 来 度量误差r i （i=0 , 1,…，m ）的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 （X i ，%） （i=0,1,…，m ），在取定的函 数类①中，求P （x ）-①，使误差 r i= P （X i ）-y i （j=o,i,…,m ）的平方和最小，即 m Z 『送［pd i ） - y i F = min i =0 =i =0 从几何意义上讲，就是寻求与给定点（X i ，y i ）（i=0,1,…,m ）的距离平方和为最 小的曲线 y = P （X ）（图6-1 ）。函数P （x ）称为拟合 函数或最小二乘解，求拟 合函数P （x ）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中f 函数类①可有不同的选取方法. Z 第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数P （x ）同所给数据点（X i ，y i ）（i=o,l,…,m ）误差 r i= P （xJ-yqirO'i,…,m ）的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 r i =P （X i ）-y i （i=o,i,…,m ）绝对值的最大值 maXr i ，即误差向量r 的1 —