内容串讲
第一章 随机事件及其概率
1． 事件的关系与运算
必然事件：Ω—随机试验全部结果构成的集合。
不可能事件：φ 一般事件A ：A φ??Ω
若A 、B 为两事件 若B A ?，则其蕴含：“A 发生导致B 发生”。
若φ=?=B A AB ，这表示A 发生时，B 必不发生，反之亦然。 若 A-B=A ，则AB=φ； 若 AB=A ，则B A ?； 若A ∪B ＝A ，则B ?A 。
若n A A A Λ,,21为n 个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如
1
1
11
,,n n n i
i
i
i i i i i A A A A ∞
=====U U U I
等等。
例1 事件Y n
i i
A 1
=发生等于“n A A A Λ
,,2
1
至少有1个发生”。
2．常用概率公式
（1）1)(≤≤A P O ，1)(=ΩP ，0)(=φP （2）若B A ?，则)()(B P A P ≤
（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?；当φ=AB ，则)()()(B P A P B A P +=?
)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=??
（4）)(1)(A P A P -=
（5）)()()(AB P A P B A P -=-
（6）若n A A A Λ,,21两两互不相容，则∑===n
i i
n i i
A P A P 1
1
)()(Y
（7）若n A A A Λ,,21相互独立，则
)()()()(211n n
i i A P A P A P A P ΛY ==
)()()()(211
n n
i i A P A P A P A P ΛY ==
例2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(===AB P B P A P
则5.0)()()(1)(1)(=+--=?-=?AB P B P A P B A P B A P
1.0)()()()(=-=-=AB P A P B A P B A P
3．古典概型
古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A 的概率为
的样本点个数
的样本点个数Ω==
A n r A P )(
例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A ：取到两个白球；B ：一白一红球，求)(),(B P A P （1）无放回抽样：
101)(2
5
22=
=
C C A P 5
3)(2
5
1
31
2==
C C C B P （2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次
2)5
2
()(=A P
1223
()()()55
P B C =
［注］：若设X 为两次有放回取球中取到白球数，则X ～)5
2
,2(B ，从而1
21
2
2)5
21()5
2()2()(--===C X P A P
4．条件概率
（1）若0)(>B P ，则)
()
()(B P AB P B A P =
，其中A 为任一事件。
（2）乘法公式：)()()(A B P A P AB P = )()(B A P B P =
)()()()(AB C P A B P A P ABC P = （其中0)(>AB P ）
例4 箱中有两白球、三红球，i A 表第i 次取到白球，则
P （“前两次取到白球”）10
1
4152)()()(12121=?=
==A A P A P A A P P （“第一次取到白球，第二次取到红球”）10
34352)()()(12121=?===A A P A P A A P
（3）全概率公式：设n B B B Λ,,21是一完备事件组（或Ω的一个划分），即：φ=j i B B ，n j i j i ,,2,1,,Λ=≠（即诸i B 互不相容）且
Y n
i i
B
1
=Ω=，则对任一事件A 有)()()(1
i n
i i B P B A P A P ∑==
（4）Bayes 公式 ∑==
n
i i
i
K K K B A P B P B A P B P A B P 1
)
()()
()()(
例5 某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有)4,3,2,1(=i i 个次品的概率如下
（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有i 个次品的概率。)4,3,2,1(=i
解：（1）设事件i B 是恰有i 个次品的一批产品)4,3,2,1(=i ，则由题设
1.0)(,
2.0)(,4.0)(,2.0)(,1.0)(43210=====B P B P B P B P B P
设事件A 是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有1)(0=B A P
900.0)(10100
1099
1==C C B A P
809.0/)(10
10010982≈=C C B A P 727.0/)(1010010973≈=C C B A P 652.0/)(1010010964≈=C C B A P
由全概率公式，即得8142.0)()()(4
≈=
∑=i i
i
B A P B P A P
（2）由Bayes 公式，所求概率分别为
123.08142.01
1.0)(0≈?=
A B P
221.08142.09
.02.0)(1≈?=A B P
397.08142.0809
.04.0)(2≈?=A B P
179.08142.0727
.02.0)(3≈?=A B P
080.08142.0652
.01.0)(4≈?=A B P
5．事件的独立性
（1）定义：A 、B 相互独立等价于)()()(B P A P B A P ?=
（2）若n A A A ,,,21Λ相互独立，则有)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ΛΛ=
（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。
例6 袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取3次，求先后抽到（白、红、白）的概率 解：设i A 表第i 次抽到的白球，则所求为125
27
535253)()()()(321321=
??==A P A P A P A A A P
（4）在n 重贝努利（Bernoulli ）试验中，若每次试验事件A 发生的概率为φ，即)10()(<<=p p A P ，则事件A 发生K 次的概率为n k p p C k P k n k k
n n ,,2,1,0,)1()(Λ=-=-
例7 一射手对同一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.8，求：（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。
解：由于每次射击相互独立，故本题可视为4=n 的贝努利试验，其中8.0=p
（1）设2A ：“4次射击恰命中两次”，则1536.0)2.0()8.0()2()(2
22
442===C P A P
（2）设B ：“4次射击中至少命中一次”，0A 表“4次皆未命中”，则
9984.0)2.0()8.0(1)0(1)(1)()(400
4400=-=-=-==C P A P A P B P
第二章 随机变量及其概率分布
1． 离散型随机变量
()01
k K K K
P X x p p ==≥??
?=??∑ 例1 设 ，则3.02.05.01=--=c
2．常见离散型随机变量
（1）0—1分布：设X ～),1(p B ，则
应用背景：一次抽样中，某事件A 发生的次数X ～),1(p B ，其中EX X P A P p ====)1()(
例2 设某射手的命中率为p ，X 为其一次射击中击中目标的次数，则X ～),1(p B
（2）二项分布：设X ～),(p n B ，则()(1),0,1,2,,k k n k
n P X k C p p k n -==-=L
应用背景：n 次独立重复抽样中某事件A 发生的次数X ～),(p n B ，其中()p P A =为事件A 在一次抽样中发生的概率。
例３ 某射手的命中率为0.8，X 为其5次射击中命中目标的次数，则X 取的可能值为5,,1,0Λ，
52()0.80.2k k k P X k C -==，即X ～)8.0,5(B
记住：若X ～),(p n B ，则np EX =,)1(p np DX -=
（3）泊松（Poisson ）分布 若(),0,1,2,!
K
P X k e k k λλ-==
=L 则称X 服从参数λ的泊松分布，且DX EX ==λ，记X ～)(λB ，0>λ
应用背景：偶然性事件发生的次数X 一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。 另外，当Y ～),(p n B ，且n 很大，P 很小时，令np =λ，则()!
k
P Y k e k λλ-=≈
例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算
解：设X 表任取的1000件产品中的次品数，则X ～)005.0,100(B ，由于n 很大，p 很小，令5==np λ
则（1）5555
1506151!15!051)1()0(1)2(------=--=--≈=-=-=≥e e e e e X P X P X P （2）5
5
05(5)!
k k P X e k -=≤≈∑
3．随机变量的分布函数：X 的分布函数为
)()(x X P X F ≤=，+∞<<∞-x )(x F 的性质：①1)(0≤≤x F
②若21x x <，则0)()(12≥-x F x F ③1)(,0)(=+∞=-∞F F
④)()(b F b X P =≤，)(1)(),()()(b F b X P a f b F b X a P -=>-=≤<
例5 设X 的分布函数???≤>+=-0,
00
,)(x x be a x F x λ，其中0>λ，则______=a b=______.
解：由1)(=+∞F 知1=a （因为a be
a F x
x =+=+∞-+∞
→)(lim )(λ）
由0)(=-∞F ，及题设0≤x 时0)(=x F ，故0)1()()(lim 0
=+=+=-→+b be
a x F x
x λ
综上有???≤>-=-0,
00
,1)(x x e x F x λ，即1,1-==b a
例6 设X 的分布函数??
?
??≥<≤<=e x e x x x x F ,11,ln 1,
0)(
求 )5.22(),30(),2(≤<≤<≤X P X P X P 解：2ln )2()2(==≤F X P
101)0()3()30(=-=-=≤ 25.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤ 4． 连续型随机变量 若((,))()b a P X a b f x dx ∈=? ，其中b a <任意，则称X 为连续型随机变量。 此时，? ∞ -= x du u f x F )()(；)()(x F x f '= 其中 )(x f 为X 的概率密度，满足??? ??=≥?∞+∞-1)(0)(dx x f x f （注意与分布律的性质：?????=≥∑K K K P P 10相对照） 例7 设X 的概率密度为?????≥<=1 ,01 ,)(x x c x f ，则c=________ 解：由?+∞∞-=1)(dx x f 知?-==1112c cdx ，故2 1 =c 5．常见连续型随机变量 （1）均匀分布：设X ～),(b a U ，则??? ??≤≤-=其他,0,1)(b x a a b x f ，???????≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,, 0)( 2 b a EX +=，12)(2a b DX -= 例8 设X ～),(a a U -，且3 1 )1(= >X P ，则a=______ 解：易知1>a 且? =a dx x f 1 31)(，即?=a dx a 13 1 21 解得3=a （2）指数分布)(λE 设X ～)(λE ，则???≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ，???≤>-=-0,00 ,1)(x x e x F x λ λ 1 = EX ，2 1 λ= DX 应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。 例9设X 为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t 时，仍能正常工作的概率（设X ～)(λE ） 解：由题意所求为? +∞ --==>t t x e dx e t X P λλλ)( （3）正态分布),(2 σμN ，设X ～),(2 σμN ，则 22()/2()2x f x e μσπσ --=，+∞<<∞-x ? ∞ -=x du u f x F )()(，2,σμ==DX EX 特别，当* X ～)1,0(N 时，称* X 服从标准正态分布，其密度函数记为2 /2 21)(x e x -= π ?分布函数记为 ?∞ ==Φx du u x )()(? 常用公式：①若* X ～)1,0(N ，则)(1)(x x Φ-=-Φ，)()(x x ??=- 2 1)0()0()0(**= Φ=≤=>X P X P ))(1(2)(*a a X P Φ-=> 1)(2)(*-Φ=≤a a X P 975.0)96.1(*=>X P ，*()P X u >=αα * ②若X ～),(2 σμN ，则)( )( )(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P )( )(σ μ -Φ=x x F 6.简单随机变量函娄的概率分布 例10 设 ，求2X Y =的概率分布。 解：由题设，X 的可能值为1,0,1-，故2X 的可能值为1,0 而3 1 )0()0()0(2 = =====X P X P Y P 3 2)1()1())1()1(()1()1(2= =+-=-=?-=====X P X P X X P X P Y P 故 例11 设X ～)1,0(N ，求2X Y =的分布密度函数 解：先求Y 的分布函数：0)(=y F Y ，当0≤y ；当0>y 时 )()()()()(2y y y X y P y X P y F Y -Φ-Φ=≤≤-=≤= 再求Y 的分布密度函数 ))()(()()('-Φ-Φ=' =y y y F Y f Y Y y y y y 21)(21)(?-+? =?? )0(21)(12 />== -y e y y y y π? 故?? ? ??>≤=-0 ,210,0)(2/y e y y y f y Y π 第三章 多维随机变量及其概率分布 1． 二维随机变量),(Y X ),(Y X 的分布函数),(),(y Y x X P y x F ≤≤= X 的分布函数),(),(lim )(1+∞==∞ →x F y x F x F y Y 的分布函数),(),(lim )(2y F y x F y F x +∞==∞ → ),(lim 0),(lim y x F y x F y x -∞ →-∞ →== 2． 离散型),(Y X 的分布律ij P ?????=≥===∑∑i j ij i i ij P y Y x X P P 10),( （与??? ??=≥∑K K K P P 10比较） ∑===j ij i i P x X P P )( ∑===i ij i j P y Y P P )( 例１ 设),(Y X 的分布律为 求（1）?=a （2）)0(=X P （3）)2(≤Y P （4）)2,1(≤ 解：（1）由 1=∑∑i j ij P 知∑∑==+++++=103 1 131211030201)(i j ij P P P P P P P 125.025.03.01.01.0=+++++=a 解得0=a （2）3 00102031 (0)0.10.10.30.5j j P X P P P P === =++=++=∑ （3）∑∑==+= +==+==≤1 2 1 121)2()1()2(i i i i P P P P Y P Y P Y P 45.0)01.0()25.01.0(=+++= （4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201=+=+===+===≤==≤ 3． 连续型),(Y X 的分布密度 设D 为平面上的区域，),(y x f 为),(Y X 的分布密度，则其满足：??? ??=≥??∞+∞-∞+∞ -1),(0),(dxdy y x f y x f dxdy y x f D Y X P D ??=∈),()),(( 特别，?? ∞-∞ -= ≤≤=x y dudv v u f y Y x X P y x F ),(),(),( ),() ,(2y x f y x y x F =??? 若X ，Y 相互独立，则有)()(),(21y F x F y x F ?=，)()(),(21y f x f y x f ?=，其中)(),(11x f x F 分别为X 的边缘分布函数和分布密度，)(),(22y f y F 分别为Y 的边缘分布函数和分布密度。 4．常见二维连续型分布 （1）平面区域D 上的均匀分布：设D 的面积为D S ，),(Y X 服从D 的均匀分布，则),(Y X 的分布密度为 ?? ???∈=其他,0),(,1 ),(D y x S y x f D 例2 设{ } 1:),(2 2≤+=y x y x D ，即D 为xy 平面上的单位园域，则π=D S ，设),(Y X 服从D 上的均匀分布， 则其22 1,1 (,)0,x y f x y ?+≤?=???π其他 * 解：设),(Y X 具有D 上的均匀分布，A 为平面上的某一区域，则D D A S S A Y X P ?=∈)),((，其中D A S ?表示A 与D 公共部分的面积。 例3 （续例2）求)0,0(>>Y X P 解：4 1 4)0,0(==>>ππ Y X P （2）二维正态分布22 1212(,,,,)N μμσσρ *，设),(Y X 具有该分布，则其概率密度为 2211222222112212 ()()()()1(,)exp 22(1)21x x y y f x y μμμμσσσσπσσ????----??= --+????-??-??? ?ρρρ * 2,1,,1,0,0,,21=+∞<<∞-<>>+∞<<∞-+∞<<∞-i P y x i μσσ 此时X 的边缘密度2 12 12/) (1 121)(σμσπ--= x e x f ，即X ～),(211σμN 故2 11,σμ==DX EX Y 的边缘密度2 22 22/) (2 221)(σμσπ--= y e y f ，即Y ～),(222σμN ，故2M EY =，2 2σ=DY P 为X ，Y 的相关系数，可知当0=P 时，)()(),(21y f x f y x f =，即X ，Y 相互独立，这是一个重要结论： 在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。 另外，可知12(,)Cov X Y DX DY σσ=?=ρρ * 例4 设X ～)4,0(N ，Y ～)1,1(-N ，两者相互独立，求),(Y X 的分布密度),(y x f 解：由Y X ,相互独立知),(Y X ～)()(),(21y f x f y x f = 2 /) 1() 42/(2 2 211 21+-?-? = y x e e π π ???? ?????? ??++-= 22)1(421exp 41y x π 第四章 随机变量的数字特征 1． 单个随机变量的期望 ?????==?∑∞+∞ -为连续型为离散型X dx x xf X x X P x EX i i i ,)(),( 例1 设 ，则4 1413410211=?+?+?-=EX 例2 设X 的分布密度为? ??≤≤=其他,010,2)(x x x f ，则???∞+∞-= ? ==?==10101 32 3 2 322)2()(x dx x dx x x dx x xf EX 2． 单个随机变量函数的期望 设X 为随机变量，)(x g y =是普通函数，则()Y g X =是随机变量，且 ()(),()()(),()i i i g x p X x X Eg X g x f x dx X X f x +∞-∞ ?=? =???∑?当为离散型当为连续型，且具有密度 * 例3 设X 的分布如例1，求3 )(X X g =的期望 解：4 25 41341021)1(333 3 = ?+?+?-=EX 例4 设X 的分布密度)(x f 如例2，求X X g = )(的期望 解：? ?? =?== +∞ ∞ -1 102/322)()(dx x xdx x dx x f x X E 54 23121 02/5=? ? ???? ? ?+?=x 当2 )()(μ-=x x g （其中μ=EX ）时，DX X E X Eg =-=2 )()(μ，即为X 的方差 ??? ??-=-=-=-=?∑∞+∞ -dx x f x x X P x EX X E DX i i i )()() ()()(22222μμμμ 例4 设 则 021121)1(=?+? -=EX ，02 1 102110=?+?-=EY 12 1 121)1()(22222=?+?-==-=EX EX EX DX 1002 1 )10(21)10(22=?+?-=DY （方差大者，取值分散） ［注］：22 )(EX EX DX -=是重要常用公式 例5 设随机变量X 具有概率密度?? ? ??≤≤-<≤-+=其他,010,101,1)(x x x x x f ，求DX 解：因)(x f 是分段函数，故求2 ,EX EX 时也要随之分段积分 ???+∞∞ --=-++==01 1 0)1()1()(dx x x dx x x dx x xf EX ???+∞∞ --= -++==01 1 22226 1)1()1()(dx x x dx x x dx x f x EX 于是6 1)()(2 2=-=EX X E DX 3．),(Y X 函数的期望 设),(y x g Z =是普通函数，则),(Y X g Z =是随机变量，其数学期望EZ 等于 ?????=====??∑∑∑∑∞+∞-∞+∞ -),(),(,),(),(),(,),(),(),(),(y x f Y X dxdy y x f y x g Y X P y x g y Y x X P y x g y x Eg EZ i j ij j i i j i j i i 密度为连续型，且具有分布当为离散型当 例6 设),(Y X 分布律为 ，XY Y X g Z ==),( 则6 1 611)11()11()01()10()00()(1111100100=? =?=?+?+?+?=P P P P P XY E 例７ 设),(Y X 的分布密度?? ?<≤≤≤=其他 ,00,10,2),(x y x y x f ，则 ? ? +∞∞-+∞ ∞ -==dxdy y x xyf XY E Y X Eg ),()(),( ? ? ??? ==?=1 00 1 1 00 2 )2(2)(22x x x dx y x dx ydy x dxdy xy ?= = =1 01 43 4 1 4 x dx x 当))((),(21μμ--=y x y x g 时，其中EY EX ==21,μμ，则 []))(()),((21μμ--=Y X E Y X g E 是X ，Y 的协方差，即 ))((),(21μμ--=Y X E Y X Cov EY EX XY E ?-=)( （重点） 当2 121) )((),(σσμμ--= y x y x g 时，其中2 22121,,,σσμμ====DY DX EY EX 1212121212()()()()(,) (,)X Y E X Y Cov X Y Eg X Y E μμμμσσσσσσ??----== == ??? ρ *为X ，Y 的相关系数 期望)(?E 的重要性质 （1）c EC = （常数） （2）CEX CX E =)( （3）)()()(Y E X E Y X E +=+ 推广：c bEY aEX c bY aX E ++=++)( （4）若X ，Y 相互独立，则()E XY EX EY =? 方差)(?D 的重要性质 （1）0)(=c D DX c X D =±)(，其中c 为常数 （2）DX c cX D 2 )(= 特别)()(X D X D -= （3）若X ，Y 相互独立，则DY DX Y X D +=+)( DY DX Y X D +=±)( DY b DX a bY aX D 2 2 )(+=+ （4）),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+ 例８ 设X ，Y 相互独立，且4,3==DY DX ，则 7)(=+=-DY DX Y X D 91)4(3)43(22=-+=-DY DX Y X D 协方差),(??Cov 的运算性质： （1）),(),(X Y Cov Y X Cov = （2）Y)abCov(X,bY)Cov(aX,=，其中a ，b 为常数 （3）Y ),Cov(X Y ),Cov(X Y ),X Cov(X 2121+=+ （4）若X ，Y 相互独立，则0Y)Cov(X,=，从而0=P ，即X 与Y 不相关 ［注］：一般地，若X ，Y 独立，则X ，Y 必不相关（即0Y)Cov(X,=）；反之不真，即X ，Y 不相关推不出X ，Y 独立。 重要特例是：若),(Y X 为正态分布，则X ，Y 独立等价于X ，Y 不相关（即0=P ） 例９ 设),(Y X 的分布律为 ，求xy P Y X Cov DY DX EY EX ),,(,,,, 解：易知 故2 1 41143)1(,2143141)1(-=?+?-==?+? -=EY EX ，1112=?=EX , 1112=?=EY 43)21(1)(222=-=-=EX EX DX ，4 3 )21(12=--=DY 41)21)(21(21121)1()(),(+=--????? ? ?+?-=-=EXEY XY E Y X Cov 1 3 0.750.75XY DX DY = ==ρ * 例１０ 设),(Y X ～)21,9,4,1,1(N ，则121 (,)2332 Cov X Y σσ==??=ρ * 例１１ 设),(Y X 为连续型，则X 与Y 不相关的充分必要条件是_______（选择题） （A ）X ，Y 独立 （B ）EY EX Y X E +=+)( （C ）EY EX XY E ?=)( （D ）),(Y X ～)0,,,,(2 22 121σσμμN 解法1（排除法）：排除（A ），因X ，Y 独立Y X ,?不相关（故非充要条件）；排除（B ），这一等式成立不需任何条件；排除（D ），由),(Y X 服从正态分布及0=P 知X ，Y 独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论?故选（C ） 解法2（直接证明）：当EXEY XY E =)(时，0EXEY -E(XY)Y)Cov(X,==，故X ，Y 不相关；反之亦然。 第五章 大数定律与中心极限定理 1． 贝努利大数定律 贝努利大数定律：设P A P =)(，n n A 为A 在n 次观测中发生的频率，则对任给的正数ε有1)(lim =<-∞→εP n n P A n 2． 中心极限定理 设Λ,,21X X 相互独立，同分布，从而它们有相同的期望μ和相同的方差2 σ )(lim 1x x n n X P n i i n Φ=????? ? ??≤-∑=∞→σ μ，其中)(x Φ为标准正态分布函数 ［注］：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当n 很大时 ∑=n i i X 1 近似某正态分布),(2 σμN ， 为了便于查表近似计算，将 ∑=n i i X 1 标准化（从而标准化后其近似分布)1,0(N ） σ μ n n X X D X E X n i i n i i n i n i i i -= ?? ? ????? ??-∑∑∑∑====1 111 故上述随机变量的分布函数)()(x x F n Φ≈，即)(1x x n n X P n i i Φ≈???? ? ? ??≤-∑=σμ 在应用中心极限定理，大多用上式的形式 更进一步的特别场合为：若Λ,,21X X 相互独立同),1(P B 分布时，上式化为 )1()(1p q x x npq np X P n i i -=Φ≈????? ? ??≤-∑= 这一式子在应用也较为常用 例1 计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量Λ,,21X X ，且都服从)5.0,5.0(-?，求300个数相加的误差总和的绝对值小于10的概率。 解：易知第 i 个加数的误差i X 满足：i X ～)5.0,5.0(-?，12 1 ,0= =i i DX EX ，故0=μn ∑∑===?==??? ??300 1 300125121300i i i i DX X D 故所9544.01)2(2212130001030013001=-Φ≈? ????? ? ?? i i X P X P 第六章 统计量及其抽样分布 1．设总体X ～)(),(x f x F 则其样本n x x x ,,,21Λ相互独立，同分布)(x F ，n 为样本容量 从而),,,(21n x x x Λ～X ΛΛn i n i n x F x F x F x x x F 11 21)()()(),,,(=== ～X ΛΛn i n i n x f x f x f x x x f 1 121)()()(),,,(=== 例1 设总体X ～),(2 σμN ，则2 22/)(21)(σμσ π--= x e x f 从而其样本的联合密度函数为 ),,(1n x x Λ～?? ? ???? ???--???? ??=∑=2 12 1)(21ex p 21 ),,(n i i n n x x x f μσσ πΛ 2．常见统计量 常见统计量：设总体为X ，n x x x ,,,21Λ为其样本，2 ,σμ==DX EX 不含任何未知参数的样本),,(1n x x Λ的函数称为统计量 （1）样本均值∑==n i i x n x 11，μ=x E ，n X D 2 σ=，这结论对任何总体都成立。 进一步的，若总体X ～),(2 σμN ，则X ～), (2 n N σμ，从而n x U /σμ -= ～)1,0(N （2）样本方差∑=--=n i i x x n S 12 2 )(11，2 1 2)(1∑=-=n i i n x x n S 22σ=ES ，2 1σn n ES n -= 2 （3）若总体X ～),(2 σμN ，则有x 与2 s 相互独立，且 2 1 2 2 2 2 )(1 )1(∑=-= -= n i i x x s n x σσ～)1(2-n x n s x t /μ-= ～)1(-n t * （4）若总体X 与总体Y 相互独立，n x x ,,1Λ与m Y Y ,,1Λ分别为其样本，X ～),(2 11σμN ，Y ～),(2 22σμN ∑∑==--=--=n i m i i i y y m S x x n S 12 1 222 2 1 )(11,)(11，其中∑==n i i x n x 11，∑==m i i y m y 11，则 (~(0,1)x y U N = 2 2 2 221 21//σσS S F = ～)1,1(--m n F 进一步的，若2 22 1σσ=，则有 m n S y x t w 11)()(21+---= μμ～)2(-+n m t 其中2 )1()1(2 2212 -+-+-=m n S m S n S w 3.关于F t x ,,2 分布的密度曲线及分位数 （1）2 x 分布 若2 x ～)(2n x ，则n Dx n Ex 2,2 2 ==，αα=>))((2 2n x x P 从而αα-=<1))((2 2n x x P 而F 分布的密度曲线与上图相似。 （2）t 分布 若t ～)(n t ，则0=Et αα=>))((n t t P t 分布的密度曲线)(x f 关于y 轴对称，故有)()(1n t n t αα-=- 例２ 设总体X ～)1,1(-U ，x 是容量n 的样本均值，求)(),(x D x E 解：由总体X ～)1,1(-U ，知0=EX ，311222== DX ，3 1,02==σμ ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 试卷 学期： 2011至 2012 学年度第一学期 课程：应用概率论与数理统计专业： 班级：姓名：学号： 解答下列各题（每小题3分，共计51分） 1．设随机事件A与B互不相容，P（A）=0.2，P(B)=0.4，求P（B|A）2．设事件A、B满足P（A B）=0.2，P（A）=0.6，求P（AB）。 3．某人射击三次，其命中率为0.8，求三次中至多命中一次的概率为。 4．已知随机变量X 的分布函数为 F(x)= ????? ????? ?≥<≤<≤<3131321021 00x x x x ， 求P }{1X =。 5．已知离散型随机变量Ｘ的分布函数为Ｆ（ｘ）＝???? ???≥<≤<≤<4 ,143,6.031,1.010x x x x ，， 求1}X |4P{X ≠<。 6.设随机变量X 的概率密度为 ??? ??<<-=,, ;x ,x )x (f 其他0224求P {-1 7.设随机变量X～N(1，4)，F(x)为X的分布函数，Φ(x)为标准正态分布函数，求F(3)。 8．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，求这两只恰为一红一黑的概率． 9．某仪器上装有4只独立工作的同类元件，已知每只元件的寿命（以小时计）σ），当工作的元件不少于2只时，该仪器能正常工作。 X~N（5000，2 求该仪器能正常工作5000小时以上的概率。 10．设事件A与B互不相容，P（A）=0.2，P（B）=0.3，求P（B A?）. 11．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，求第二次取到的是正品的概率. 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 概率论与数理统计练习题4答案 试卷答案 第 1 页 （共 9 页） 概率论与数理统计 练习题4答案 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、若P(A)=0.3，()0.1P AB =，则P(AB)=__________. 答案：0.2 2、每次试验的成功率为(01)p p <<，进行重复独立试验，直到第10次试验才取得4次试验成功的概率为( )。 A 、4 4610 (1)C p p - C 、3469(1)C p p - C 、4469(1)C p p - D 、336 9(1)C p p - 答案：B 3、若标准正态分布的函数0,1 () F x ，当x a =和x a =-时 相等,且0,1 (0.5)0.6915F =，则0,1() F a 的值是( )。 A 、0.6915 B 、0.5 C 、0 D 、0.3930 答案：B 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， 试卷答案第 1 页（共 9 页） 试卷答案 第 1 页 （共 9 页） A 、 12 12223 4 ~(2) () X X t X X -+ B 1 22 1 ~(1) n i i n t n X =--∑ C 、 3 21 24 (1)3~(3, 3) i i n i i n X F n X ==--∑∑ D 122 21 2 ~(2) t X X + 答案：D 9、设1 2 ,,,n X X X ???是来自正态总体2 (,)N μσ的简单随机 样本，2 σ未知,X 是样本均值。 ()22 111n i i s X X n ==--∑若用 X k X k n n ?-+ ? 作为μ的1α-置信区间，则k 应取正 态分布的分位数( )。 A 、12 1.96, u α- =或t 分布的分位数 B 、()11t n α -- C 、 1 t α - D 、1 2 (1) t n α-- 答案：D 10、当正态总体X 的方差2 ()D X σ=未知,检验期望 EX μ=用的统计量是( )。 A () ()02 21(1) n k k x n n x x μ=--?? - ??? ∑ B 、 ()()01 2 21n k k x n x x μ=-?? - ??? ∑ 页眉内容 2012年4月全国自考概率论与数理统计（二）参考答案 ()()()()() ()()()()()() (){}{}{}{}{} ()()()()() {}{}()()()() ()()()()()[]()()()()()()()()()()()() n x D n x C x B x A x X x x x N X D C B A X Y X D X D X D C B A p n X D X E p n B X y f x f D y f x f C y f x f B y f x f A Y X y f x f Y X D C B A Y X Y X D C B A X P X P N X x x e X F D x x e X F C x x e X F B x x e X F A X X X P D X P C X P B X P A X P x x f X AB P B P A P D AB P B P A P C AB P A P B B P A P A B A P B A A D A C B B B A A AB B A B A n XY Y X Y X Y X Y X Y X x x x x 92 .32.92.32 ....32~.102.1.0.1-.0.98.03.3.08.4.06.6.04. 44.14.2~.8.2 1..21. .75,1.5,0.1,1.10.~ 12.684.0.68.0.32.0.16.0.084.042~.5.0001..0001..0001..000..472.53.54.21.43. 06331.3....2.....12122-----=>==+++-≤=≤???≤>+=???≤>-=???≤>-=???≤>=≤<≤<≤<≤<≤ 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k 概率论与数理统计在大数据分析中的应用3篇概率论与 数理统计 精品文档，仅供参考 概率论与数理统计在大数据分析中的应用3篇概率 论与数理统计 在大数据时代，利用概率论与数理统计方法来对繁杂数据进行分析与挖掘不失为是一种简单高效的方法。下面是本站为大家带来的，希望能帮助到大家! 概率论与数理统计在大数据分析中的应用1 概率论与数理统计知识是数学知识体系中的重要分支，对日常生活有着广泛的理论指导。基于此，本文首先介绍了概率论与数理统计的主要学科知识，其次对于概率论与数理统计知识在日常生活中的应用，从等概率问题、序列概率问题、几何概率模型问题、统计模型、常识性统计几个方面，进行具体的研究与分析，最后对概率与数理统计的应用做出展望。 概率论和数理统计是高等数学中的重要组成部分。在自然界和人们的日常生活中，随机现象与随机事件非常普遍，概率论和数理统计是对某一事件可能结果的客观分析和理性判断。只要我们细心研究就会发现，概率论和数理统计在日常生活中有着多方面的应用。 一、概率论与数理统计知识 概率论(Probability Theory)是研究随机现象数量规律的数学分支，数理统计(Mathematics Statistics)是以概率论为基础，研究人类社会和自然界中的随机现象变化规律的 一种数学模型[1]。概率论与数理统计知识主要包含事件间关系的确定、概率的计算、概率计算模型、概率计算公式、相关性分析、参数估计、假设检验与回归分析、随机变量知识、中心极限定理等等[2]。概率论与数理统计来源与生活，是对生活中的多种随机现象的逻辑分析与抽象总结。在日常生活中，也能找到多种应用概率论与数理统计知识的具体体现。 二、概率论与数理统计在日常生活中的具体应用体现 (一)概率论与数理统计在等概率事件中的应用 等概率事件是指每一个随机事件发生的概率都是相同的，等概率问题是生活中常见的问题，小到我们玩狼人杀时的身份抽取、值日生分组中的抓阄分组，大到工厂的货物质检、食品安全部门的卫生抽检，都能应用到概率论与数理统计的相关知识。 例1：一个罐头生产厂将密封不严、颜色不达标、微生物超標的罐头列为次品。该工厂每月生产十五批货。一批货的次品率是1/20，数量很大，有几万个，现在随机取9个。问9个里面次品数量大于2个(包括2个)的概率有多少? 解：P(B1)代表9个产品中次品数量大于2的概率 P(B2)代表9个里面次品数量小于1个(包括1个)的概率，也相当于只有一个次品的概率+没有次品的概率 P(B2)=9*(1/20)*(19/20)8 +(19/20)9 概 率 论 第一章 随机事件与概率 例1 设B A ,为随机事件，已知() 4.0,6.0)(, 5.0)(===A B P B p A P ，求 1) )(B A P + 2) )(B A P 3) ()B A P 4) )(B A P - 5) )(B A P + 例2 6个不同的球，投入编号为1到7的7个空盒中，求下列事件的概率：1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球 例3 袋中有两个5分的，三个贰分的，五个1分的钱币。任取其中5个，求钱额总数超过壹角的概率。 例4 验收一批共有60件的可靠配件，按验收规则，随机抽验3件，只要3件中有一件不合格就拒收整批产品，假设，检验时，不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ，而合格品被判为不合格品的概率为0.01，如果在60件产品中有3件不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？ 例5 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有2件残品，且含0，1和2件残品的箱各占80%，15%和5%。现随意抽取一箱，从中随意检验4只，若未发现残品则通过验收，否则逐一检验并更换。试求：1）一次通过验收的概率 2）通过验收的箱中确无残品的概率。 例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10人中至少有4人治好，则认为这种药有效，反之，则无效，求：1）虽然新药有效，且把痊愈的概率提高到35%，但经过验收被否定的概率；2）新药完全无效，但经过试验被认为有效的概率。 例7 设B A ,是两个事件，0)(,0)(21>=>=P B P P A P ，且121>+P P ，证明：1 211)(P P A B P --≥ 例8 已知161)()(,0)(,41)()()(==== ==BC P AB P AB P C P B P A P ，求C B A ,,全不发生的概率。 例9 在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们能构成三角形的概率。 例10 设有三门炮同时对某目标射击，命中的概率分别为0.2，0.3，0.5，目标命中一发被击毁的概率是0.2，命中两发被击毁的概率为0.6，命中三发被击毁的概率为0.9，求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。 例11 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。现该厂生产了) 2n(n ≥ 第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{Λ=S ；（3）},,,,{ΛTTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求 )])([(),(),(),(___ ___ AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5 .0)(625.0)])([()()])([()])([(___ =-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648 = 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为 48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48 = （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48 = 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338 4 12 1 31425=C C C C ； 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 概 率 统 计 在 电 子 专 业 的 应 用 姓名：储东明 学号：1305062023 专业班级：电子信息工程 成绩： 教师评语： 论概率统计在电子专业中的应用 概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.的概率论与数理统计学实际应用背景很广范。正如世界知名概率学家、华裔数学家钟开莱于1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。”概率论与数理统计学应用于自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识。近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中。尤其在电子信息通信方面尤为重要，甚至是通信原理的基础课程。可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一。在此文中，进一步讨论概率统计在电子信息方面的应用。 概率论与数理统计在电子电路的随机信号处理及实验中有着广泛的应用，通信工程中信号的接收和发射，都需要概率论与数理统计学的理论作为基础。因为，信号是信息的载体。信号源的输出都是随机的，怎样在随机信号中找出我们所需要的信息，就需要使用统计方法来描述。同时，对于接收者来说怎样从一个不缺定或不可预测的信号中获取我们所需要的信息，仍然需要再次利用统计学中的知识。 根据概率论与数理统计中的知识所描述，事件的概率就是对于一次随机试验E，S是它的样本空间，那么对于随机试验E中的每一个 习 题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大 号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33 (0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时 间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 第四章 随机变量的数字特征 且E （X ）=1，则常 数 x = 21.已知随机变量X 的分布律为 则 20．设随机变量X 的概率密度为?? ? ??≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E （|X |）=______. 7．设随机变量X 服从参数为2 1 的指数分布，则E （X ）=（ ） A. 4 1 B. 2 1 C. 2 D.4 29.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大? 29.设某型号电视机的使用寿命X 服从参数为1的指数分布（单位:万小时）. 求:（1）该型号电视机的使用寿命超过t （t >0）的概率; （2）该型号电视机的平均使用寿命. 求： (1)常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x )； (3)E (X ). 二、方差 127.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4 D.E （X ）=2，D （X ）=2 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（ ） A.1 B.4 C.5 D.6 28．设随机变量X 的概率密度为 ? ? ?≤≤-=.,x ,cx x f 其他； ）（0222 试求：（1）常数c ；（2）E （X ），D （X ）；（3）P {|X -E （X ）| < D （X ）}. 7．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8 B ．16 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道， 则有 即 200 200200 1 C (0.02)(0.98)0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 13 p = 所以 4 451210 (4)C () 33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分 布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 概率论与数理统计B 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12 () ,()23 P A P B == 则()P AB 可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A) 12; (B) 225; (C) 4 25 ; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e += +，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==，则n =______. 3．随机变量ξ的期望为() 5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2 ()22 a f x x x = ++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξ η?的分布及()E ξη?； 六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？ 七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明A B 与 C 相互独立. 某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________. 十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
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