中考数学重难点专题讲座 第七讲 坐标系中的几何问题 智康·刘豪
【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。
第一部分 真题精讲
【例1】2010，石景山，一模
已知：如图1，等边ABC ?
的边长为x
轴上且()
10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ． （1）直接写出点B C 、的坐标；
（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；
（3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：
① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．
图2
图1
【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自
己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。
【解析】解：（1
）()
10B ；()13C ，
． （2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ． ∵ABC ?
是等边三角形，()
10A ． ∴60EAO ∠=? ．
在Rt EOA ?中，90EOA ∠=?．
∴(
tan 6013EO AO =??=-
∴(0,3E -．
∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ，
．
∴1R ? ??
． （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C 一样，纵坐标就是E
的纵坐标的一半）
∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分． ∴直线1y kx =-
必过点1R ? ??
．
∴1k -=
，∴k =
（3）正确结论：①GNM CDM ∠=∠．
证明：可求得过A B C 、、的抛物线解析式为222y x x =-++ ∴()02D ，． ∵()20G -，
． ∴OG OD =．
由题意90GON DOM ∠=∠=?．
又∵GNO DNH ∠=∠ ∴NGO MDO ∠=∠ ∴NGO ?≌MDO ?
∴GNO DMO ∠=∠，OM ON = ∴45ONM NMO ∠=∠=? 过点D 作DT CP ⊥于T ∴1DT CT ==
∴45CDT DCT ∠=∠=?
由题意可知DT ∥AB ∴TDM DMO ∠=∠
∴454545TDM DMO GNO ∠+?=∠+?=∠+? ∴TDM CDT GNO ONM ∠+∠=∠+∠
即：GNM CDM ∠=∠． （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）
G
P
N
M H
T
D C B
A O x
y
【例2】2010，怀柔，一模
如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线214
10189
y x x =
--与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC ．现有两动点P 、Q 分别从O 、C 两
点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC,PQ 相交于点D,过点D 作DE ∥OA,交CA 于点E,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C 三点的坐标;
(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t ＜
9
2
时,△PQF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;
(4)当t 时,△PQF 为等腰三角形?
【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X 轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA 为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中，QC 和PA 始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA 时候即可。第三问求△PQF 是否为定值，因为三角形的一条高就是Q 到X 轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF 是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF ，得解。第四问因为已经知道PF 为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P 点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ 就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了. 【解析】解：(1) 21(8180)18
y x x =
--，令0y =得2
81800x x --=，()()18100x x -+=
∴18x =或10x =-∴(18,0)A ；
在214
10189
y x x =--中，令0x =得10y =即(0,10)B -； 由于BC ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由214
1010189
x x -=--得8x =或0x =
即(8,10)C -
于是，(18,0),(0,10),(8,10)A B C --
（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA.故只要QC=PA 即可 ∵184,PA t CQ t =-= ∴184t t -= 得18
5
t =
（3）设点P 运动t 秒，则4,OP t CQ t ==，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，
由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故1
44
QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==
∴18PF PA AF PA OP =+=+= 又点Q 到直线PF 的距离10d =
∴11
18109022
PQF S PF d ?=
=??= ∴△PQF 的面积总为90
（4）由上知，(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--，0 4.5t <<。构造直角三角形后易得
2222(48)10(58)100PQ t t t =-++=-+，
2222(1848)10(510)100FO t t t =+-++=++
① 若FP=PQ ，即2
2
18(58)100t =-+，故2
25(2)224t +=，
∵22 6.5t +≤≤∴2t +=
=25
t =- ② 若QP=QF ，即22
(58)100(510)100t t -+=++，无0 4.5t ≤≤的t 满足条
件；……………12′
③ 若PQ=PF ，即22(58)10018t -+=，得2
(58)224t -=，∴8 4.55
t +=
>或
0t =
<都不满足0 4.5t ≤≤，故无0 4.5t ≤≤的t 满足方程；
综上所述：当25
t =-时，△PQR 是等腰三角形。
【例3】2010,延庆,一模
如图，已知抛物线1C ：()522
-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在
点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求P 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式；
（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180?后得到抛物线4C ．抛物线4C 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．
【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B （1,0）代入，第一问轻松拿分。第二问直接求出M 坐标，然后设顶点式，继续代入点B 即可。第三问则需要设出N ，然后分别将NP ，PF,NF 三个线段的距离表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大，务必细心。 【解析】
解：⑴由抛物线1C ：()2
25y a x =+-得 顶点P 的为(25)--， ∵点(10)，B 在抛物线1C 上 ∴ ()2
0125a =+-
解得，59
a =
⑵连接PM ，作⊥PH x 轴于H ，作⊥MG x 轴于G ∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ，且=PB MB ∴PBH MBG △≌△
∴5==MG PH ,3==BG BH
∴顶点M 的坐标为(45)， （标准答案如此，其实没这么麻烦，点M 到B 的横纵坐标之差都等于B 到P 的，直接可以得出（4,5））
C
C
抛物线2C 由1C 关于x 轴对称得到，抛物线3C 由2C 平移得到 ∴抛物线3C 的表达式为()25
459
y x =-
-+ ⑶∵抛物线4C 由1C 绕点x 轴上的点Q 旋转180?得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由⑵得点N 的纵坐标为5 设点N 坐标为(5)，m
作⊥PH x 轴于H ，作⊥NG x 轴于G 作⊥PK NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上 ∴26===EF AB BH
∴3=FG ，点F 坐标为(30)+，m H 坐标为(20)，
，K 坐标为(5)-，m ， 根据勾股定理得
22224104PN NK PK m m =+=++
22221050PF PH HF m m =+=++ 2225334NF =+=
①当90∠=?PNF 时，222PN NF PF +=，解得443m =，∴Q 点坐标为19(0)3， ②当90∠=?PFN 时，222PF NF PN +=，解得103m =，∴Q 点坐标为2(0)3
， ③∵10>=>PN NK NF ，∴90NPF ∠?≠
综上所得，当Q 点坐标为19(0)3，或2
(0)3，时，以点P 、N 、F 为顶点
的三角形是直角三角形．
【例4】2010，房山，一模
如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1
：y =+交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点
(),M m n 是线段AB 上一动点，点C 是线段OA 的三等分点．
（1）求点C 的坐标；
（2）连接CM ，将ACM △绕点M 旋转180?，得到''A C M △．
①当1
2
BM AM =时，连结'A C 、'AC ，若过原点O 的直线2l 将四边形''A CAC 分成面积相
等的两个四边形，确定此直线的解析式；
②过点'A 作'A H x ⊥轴于H ，当点M 的坐标为何值时，由点'A 、H 、C 、M 构成的四边形为梯形？
【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为麻烦,因为C 点有两种可能,H 在C 点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了. 【解析】
（1）根据题意：()6,0A
，(0,B
∵C 是线段OA 的三等分点 ∴()2,0C 或()4,0C ---------------2分
（2）①如图，过点M 作MN y ⊥轴于点N ， 则BMN BAO △∽△．
∵1
2BM AM =．
∴1
3BM BA =
∴1
3
BN BO =
∴(0,N
∵点M
在直线y =+上
∴(2,M -
∵''A C M △是由ACM △绕点M 旋转180?得到的 ∴''A C AC ∥
∴无论是1C 、2C 点，四边形A CAC ''是平行四边形且M 为对称中心 ∴所求的直线2l
必过点(2,M ． ∴直线2l 的解析式为
:y =
② 当()12,0C 时，
第一种情况：H 在C 点左侧 若四边形1A HC M '是梯形 ∵A M '与1HC 不平行 ∴A H '∥1MC
此时(2,M
第二种情况：H 在C 点右侧 若四边形1'A C HM 是梯形 ∵'A M 与1C H 不平行 ∴1'A C HM ∥ ∵M 是线段'AA 的中点 ∴H 是线段1AC 的中点 ∴()4,0H
由6OA =
，OB = ∴60OAB ∠=? ∴点M 的横坐标为5
∴(M
当()24,0C 时，同理可得
第一种情况：H 在2C
点左侧时，(4,M - 第二种情况：H 在2C
点右侧时，11,2M ? ??
-
综上所述，所求M
点的坐标为：(2,M
，(5,M
，(4,M
或11,2M ? ??
．
【例5】通州，2010，一模
在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，（点A 在点B 左侧）.与y 轴交于点C ，顶点为D ，直线CD 与x 轴交于点E .
（1）请你画出此抛物线，并求A 、B 、C 、D 四点的坐标.
（2）将直线CD 向左平移两个单位，与抛物线交于点F （不与A 、B 两点重合），请你求出F
点坐标.
（3）在点B 、点F 之间的抛物线上有一点P ，使△PBF 的面积最大，求此时P 点坐标及△PBF
的最大面积.
（4）若平行于x 轴的直线与抛物线交于G 、H 两点，以GH 为直径的圆与x 轴相切，求该圆
半径.
【思路分析】本题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，稍微没画好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来慢慢做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松写出四个点。第二问向左平移，C 到对称轴的距离刚好是1，所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上，所以F 直接写出为（-2,-3）第三问看似棘手，但是只要将△PBF 拆解成以Y 轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将P 点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH 在X 轴上方和下方两种情况，分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和前面的问题没有太大关系，所以建议大家画两个图分开来看。
【解析】 ．解：
（1）()()()()30100314A B C D ----，
，，，，，，.
（2）()23F --，
（3）过点P 作y 轴的平行线与BF 交于点M ，与x 轴交于点H 易得()23F --，
，直线BF 解析式为1y x =-． 设()
223P x x x +-，，则()1M x x -，
， ∴22PM x x =--+
PM 的最大值是
9
4
. 当PM 取最大值时PBF ?的面积最大
19273248
PBF PFM PBM
S S S ???=+=??=
PFB ?的面积的最大值为
278
. （4）如图，①当直线GH 在x 轴上方时，设圆的半径为()0R R >，则()1H R R -，
，
代入抛物线的表达式，解得R =
. ②当直线GH 在x 轴下方时，设圆的半径为()0r r >， 则()1H r r --，
，
代入抛物线的表达式，解得r =
.
【总结】 通过以上五道一模真题，我们发现这类问题虽然看起来十分复杂，但
是只要一问一问研究慢慢分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握，尤其是借助抛物线的对称性，有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之，再难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间思考拿不了全分，至少要将前面容易的分数拿到手，这部分分数其实还不少。像例2最后一问那种情况，该放弃时候果断放弃，不要为1分的题失去了大量检查的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】2009，北京
. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，
()
0,43
C，延长AC到点D,使CD=1
2
AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点
的直线y kx b
=+将四边形CDFE分成周长相等的两个四边
形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y kx b
=+与y轴的交点出
发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴
上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G
点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。
（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等，但是这道去年中考原题则是分周长相等。周长是由很多个线段组成的，所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明，但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证明的,有余力的同学可以试试.
【思考2】2009，西城，一模
已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
3
6
4
y x
=-+与x轴、y轴的交点分
别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四
边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出
QA QO
-的取值范围.
【思路分析】第二问有两个思路，第一个是看已知四边形的线段是否平行且相等，角是否符合平行四边形的条件。另一个是看假如有平行四边形，那么构成平行四边形的点P是否在BC上。从这两个思路出发，列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来看三点共线，继而看出最大值和最小值分别是多少。
【思考3】2009，朝阳，一模
抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不
存在，请说明理由.
【思路分析】第一问要算的比较多，设直线以后求解析式，看出抛物线对称轴为x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点N 坐标,然后联立抛物线与直线CN 即可求出点D.第三问考验对图形的理解,如果能巧妙的将△ACM 的面积看成是四边形ACEM 减去△AME,那么就会发现四边形ACEM 刚好也是△AOC 和梯形OCEM 之和,于是可以求出PM 的距离,然后分类讨论PM 的位置即可求解.
【思考4】2009，崇文，一模
如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32
-+=，与y 轴交于点C ，且
OA OC OB 3==．
（I ）求抛物线的解析式；
（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？ 若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； （III ）直线13
1
+-
=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ， βαβ-=∠求,CBE 的值
【思路分析】本题虽然没有明确给出坐标，但是表达式中暗含了X=0时Y=-3，于是C 点得出，然后利用给定的等式关系写出A,B 去求解析式。第二问中，因为AC 是固定的，所以构成的直角三角形根据P 的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问则是少见的计算角度问题，但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例关系，发现∠CBE=
∠DBO ，于是所求角度差就变成了求∠OBC 。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）∵(60)A -，
，(0C ，
∴6OA OC ==， 设DE 与y 轴交于点M ．
由DE AB ∥可得DMC AOC △∽△．
又1
2
CD AC =
， ∴12
MD CM CD OA CO CA ===．
∴CM =，3MD =． 同理可得3EM =．
∴OM =
∴D
点的坐标为(3． （2）由（1）可得点M
的坐标为(0． 由DE AB EM MD =∥，，
可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线． ∴点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上． ∴ED 与CF 互相垂直平分． ∴CD DF FE EC ===．
∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心． 作直线BM ．
设BM 与CD EF 、分别交于点S 、点T ．可证FTM CSM △≌△．
∴FT CS =． ∵FE CD =， ∴TE SD =． ∵EC DF =，
∴TE EC CS ST SD DF FT TS +++=+++．
∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形．
由点(60)B ，
，点(0M 在直线y kx b =+上， 可得直线BM
的解析式为y =+
（3）确定G 点位置的方法：过A 点作AH BM ⊥于点H ．则AH 与y 轴的交点为所求的
G 点．
由6OB OM ==， 可得60OBM ∠=°， ∴30BAH ∠=°．
在Rt OAG △
中，tan OG AO BAH =∠=
∴G
点的坐标为(0．（或G 点的位置为线段OC 的中点）
【思考2解析】
解：（1）点C 的坐标为(3,0).
∵ 点A 、B 的坐标分别为(8,0),(0,6)A B ，
∴ 可设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为(3)(8)y a x x =--.
将0,6x y ==代入抛物线的解析式，得1
4a =
. ∴ 过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2111
64
y x x =-+.
（2）可得抛物线的对称轴为11
2
x =，顶点D 的坐标为
1125
(,)216
-，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G . 直线BC 的解析式为26y x =-+.- 设点P 的坐标为(,26)x x -+.
解法一：如图8，作OP ∥AD 交直线BC 于点P ，
连结AP ，作PM ⊥x 轴于点M . ∵ OP ∥AD ，
∴ ∠POM =∠GAD ，tan ∠POM =tan ∠GAD .
∴ PM DG OM GA =，即25
26
161182
x x -+=-.
解得167x =. 经检验167
x =是原方程的解. 此时点P 的坐标为1610
(,)77.
但此时165
,72
OM GA ==，OM ＜GA .
∵ ,,,cos cos OM GA OP AD POM GAD POM GAD
=
=∠=∠∠∠
∴ OP ＜AD ，即四边形的对边OP 与AD 平行但不相等， ∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P .
解法二：如图9，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于
点N . 则∠PEO =∠DEA ，PE =DE . 可得△PEN ≌△DEG ．
由42OA
OE =
=，可得E 点的坐标为(4,0). NE=EG=32， ON=OE －NE=52，NP=DG=25
16
.
∴ 点P 的坐标为525
(,)216
.
∵ x=
52时，52526261216
x -+=-?+=≠， ∴ 点P 不在直线BC 上.
∴ 直线BC 上不存在符合条件的点P .
（3）QA QO -的取值范围是04QA QO ≤-≤.
说明：如图10，由对称性可知QO=QH ，QA QO QA QH -=-.当点Q 与点
B 重合时，Q 、H 、A 三点共线，QA QO -取得最大值4（即为AH 的
长）；设线段OA 的垂直平分线与直线BC 的交点为K ，当点Q 与点K
重合时，QA QO -取得最小值0.
【思考3解析】
解：（1）设直线AC 的解析式为3-=kx y ，把A （－1，0）代入得3-=k . ∴直线AC 的解析式为33--=x y . 依题意知，点Q 的纵坐标是－6.
把6-=y 代入33--=x y 中，解得1=x ，∴点 Q （1，6-） ∵点Q 在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线1=x . 设抛物线的解析式为n x a y +-=2
)1(，由题意，得??
?-=+=+30
4n a n a ，解得
??
?-==.
4,
1n a ∴抛物线的解析式为4)1(2
--=x y .
（2）如图①，过点C 作AC 的垂线交抛物线于点D ， 交x 轴于点N ，则ANC ACO ∠=∠ ∴ACO ANC ∠=∠tan tan ，∴
OC
OA
ON OC =. ∵1=OA ，3=OC ，∴9=ON . ∴点N 的坐标为（9，0） 可求得直线CN 的解析式为33
1
-=
x y . 图①
由??
???--=-=4)1(3312
x y x y ，解得??
???-==92037y x ，即点D 的坐标为（37，920-）.………5分 （3）设抛物线的对称轴交x 轴于点E ， 依题意，得2=AE ，4=EM ，
=AM ∵1=-+=???AME OCME AOC ACM
S S S S 梯形且PM AE PM S PAM =?=
?2
1
， 又ACM PAM S S ??=3，∴3=PM .
设P （1，m ）， ①当点P 在点M 上方时，PM ＝m ＋4＝3， ∴1-=m ，∴P （1，－1）.
②当点P 在点M 下方时，PM ＝－4－m ＝3， ∴7-=m ，∴P （1，－7）.
综上所述，点P 的坐标为1P （1，－1），2P （1，－7）.
【思考4解析】
解：（I ）()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ，且OA OC OB 3==．())0,3(,0,1B A -∴． 代入32
-+=bx ax y ，得
{
{
120
30
339=-==--=-+∴a b b a b a
322--=∴x x y
（II ）①当190,P AC ∠=?时可证AO P 1?∽ACO ?
3
1
tan tan 11=
∠=∠?∴ACO AO P AO P Rt 中，．
中考数学重难点专题讲座 第七讲 坐标系中的几何问题 【前言】 前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。 第一部分 真题精讲 【例1】2010，石景山，一模 已知：如图1，等边ABC ?的边长为x 轴上且() 10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ． （1）直接写出点B C 、的坐标； （2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值； （3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段 OB 上运动时，现给出两个结论： 。 ① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判 断哪个结论正确，并证明．
图2 图1 【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解：（1 ）() 10B ；()13C ，． （2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ． ∵ABC ? 是等边三角形，() 10A ． ∴60EAO ∠=? ． 在Rt EOA ?中，90EOA ∠=?． ∴( tan 6013EO AO =??=-= ∴(0,3E ． … ∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ， ．
1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F
解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1
中考数学难点分类讲解 第七讲 坐标系中的几何问题 第七讲 坐标系中的几何问题 【前言】 前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。 第一部分 真题精讲 【例1】2010，石景山，一模 已知：如图1，等边ABC ? 的边长为x 轴上且() 10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ． （1）直接写出点B C 、的坐标； （2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值； （3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段 OB 上运动时，现给出两个结论： ① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明． 图2 图1
【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60°来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB 还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出①式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。 【解析】解：（1）() 10B ；()13C ，． （2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ． ∵ABC ?是等边三角形，() 10A ． ∴60EAO ∠=? ． 在Rt EOA ?中，90EOA ∠=?． ∴(tan 6013EO AO =??=-= ∴(0,3E ． ∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ， ． ∴1R ? ?? ． （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C 一样，纵坐标就是E 的纵坐标的一半） ∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分． ∴直线1y kx =-必过点1R ? ?? ． ∴1k -= ，∴k
中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
图1 图2 图3 平面直角坐标系中如何求几何图形的面积 一、 求三角形的面积 1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴 例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（-3,0）、（0,3）、（0，-1），你 能求出三角形ABC 的面积吗 2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴 例2：如图2，平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1）、B （1,3）、C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗 归纳：求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高，如果在坐标系中，某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长，根据这条边的相对的顶点可求出他的高。 二、求四边形的面积 例3：如图3，你能求出四边形ABCD 的面积吗 分析：四边形ABCD 是不规则的四边形，面积不能直接求出，我们可以利用分割或补形来求。
归纳：会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。 怎样确定点的坐标 一、 象限点 解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征，由第一到底四象限点的符号特征分别为（+，+）、 （-，+）、（-，-）、（+，-）。 例1：已知点M （a 3-9,1-a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 二、轴上的点 解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征，x 轴上点的纵坐标为0，可记为（x ，0）；y 轴上点的横坐标为0，可记为（0，y ）；原点可记为（0,0）。 例2：点P （m+3,m+1）在直角坐标系的x 轴上，则P 点的坐标为（ ） A 、（0，-2） B 、（2,0） C 、（4,0） D 、（0，-4） 三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点，就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征，一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可记为（x ，x ）；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，可记为（x ，-x ）。 例3：已知点Q （8,4m 22 2++++m m m ）在第一象限的角平分线上，则m=_________. 四、对称点 对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系，点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标上（a ，-b ）；关于y 轴对称的点的坐标是（-a ，b ）；关于原点对称的点的坐标是（-a ，-b ）；关于一、三象限角平分线对称的点的坐标是（b ，a ）；关于二、四象限角平分线对称的点的坐标是（-b,-a ）. 例4：点（-1,4）关于原点对称的点的坐标是（ ） A 、（-1，-4） B 、（1，-4） C 、（1,4） D 、（4，-1） 五、平行于坐标轴的直线上的点 平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，平行于y 轴的直线上点的横坐标相同。 例5：点A(4,y)和点B （x ，-3），过A 、B 的直线平 行于x 轴，且AB=5，则x=____,y=_____.
2015年七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合 题》 2015-06-15一．解答题（共17小题） 1．（2015春?玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0． （1）求a、b的值； （2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC 的面积表示为S△ABC） ②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标． 2．（2015春?汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C （3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0． （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2015春?鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由． （3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由． 4．（2014春?富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0 （1）求a、b的值； （2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法 摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。 高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。 提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。 函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。 常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法 缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F （x ，y ）=0可化为f （ax ，by ）=0（a ，b 不同时为0）的形式，那么F （x ，y ）=0的曲线可由f （x ，y ）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍，同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。 （1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； （2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵 坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到． ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通
八年级坐标与几何综合 题压轴题 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
2701，直线AB; y=x-b 分别与x 轴y 轴交于A(6,0), B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴 于C ， OB ；OC=3：1。 （1） 求直线BC 的解析式。 （2） 直线EF ：y=kx —k （k ≠0）.交AB 于E ，交BC 于F ，交x 轴于D ，是否存在这 样的直线EF 使得S △EBD=S △FBD 若存在求出k 的值，若不存在，说明理由。 （3） 如图2,P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点 BP 为腰，在第一 象限内作 等腰直角三角形△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K 当P 点运动 时，K 点的位置是否发生变化 如果不变求出它的坐标，如果变化，说明理由。 2702，如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=67 x+7与X 轴，Y 轴分别交与点A,C.点B 为x 轴正半轴上一点，且△ＡＢＣ的面积为70。 （1） 求直线BC 的解析式。 （2） 动点P 从A 出发沿线段AB 向点B 以每秒2个单位的速度运动，同时点Q 从点 C 出发沿射线CO 以每秒1个单位的速度匀速运动，当点P 停止运动时点Q 也停止运动。连接PO,PC,设△ＡＢＣ的面积为S ，点P,Q 的运动时间为t(秒)，求 S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围。 （3） 在（2）的条件下，在直线BC 上是否存在点D ，连接DP,DO.使得△DPQ 是以PQ 为直角边的等腰直角三角形，若存在求出t 值，若不存在，说明理由。 2703.在平面直角坐标系中，直线y=x-4与X 轴，Y 轴分别交于A ，D 两点，AB ⊥AD ，交y 轴于点B 。 （1）求直线AB 的解析式。 （2）点P 为X 轴上一动点，PC ⊥PB ，交直线AD 于点C ，设 △PAC 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。 （3）在（2）的条件下，当S=时，求t 的值。 2704，在平面直角坐标系中，正比例函数y=x 的图像上有一点P （点P 在第一象 限），点A 为Ｙ轴上的一动点，ＰＢ⊥ＰＡ，交Ｘ轴正半轴与点Ｂ，ＰＨ⊥Ｘ轴。垂足为Ｈ。 （１），当点Ａ在Ｙ轴正半轴时，如图１，线段ＯＡ，ＯＢ，ＰＨ，之间的数量关系是______________________。 （２）当点Ａ在Ｙ轴负半轴时，如图２，求证；ＯＢ－ＯＡ＝２ＰＨ． （３）在（２）的条件下，连接ＡＢ，过点Ｐ作ＰＣ⊥ＡＢ于点Ｃ，交Ｘ轴于点Ｄ，当∠ＯＢＰ＝３０°，ＢＤ＝８时，求线段ＯＡ的长。 2805,如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+32与Y 轴，X 轴分别交于点A ，B 两点， （1）求直线AB 的长。 （2）点Ｐ是AB 上的一动点，点C 在X 轴的正半轴上，且PO=PC ，若PA ：PB=1：2，时求直线PC 的解析式。
平面直角坐标系与几何图形相结合 扣庄乡陈官营中学田海凤 教学目标： （一）知识与技能：使学生进一步复习勾股定理、等腰三角形和平面直角坐标系的基础知识，通过知识的相互联系发展学生的基本技能，发展学生思维的灵活性. （二）过程与方法：通过学生的自主学习，合作探究等活动，让学生去感受和体会思考问题的正确的思路和方法，建立知识间的相互联系. （三）情感态度与价值观：体会事物间的相互作用和相互联系. 重点：掌握基础知识发展学生的基本技能 难点：提高学生的解决问题的能力 教学方法：自主探究、合作学习. 教学手段：小篇子 教学过程： 一、复习回顾 1.在R t△ABC中，∠C=90°a=3,b=4,则C=___ 2.如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠B=46°,BC=4,AD⊥BC （1）∠C=______° （2）∠BAD=______° （3）BD=______. 3. 等腰△ABC中∠B=60°,则△ABC是____三角形. BC=4,AD⊥BC，则AD=_____ 4.点A（1，-4），则点A在第______象限 5.点B（-1，-2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标为_______；则点B关于y轴的对称点B〞的坐标为________；点B关于原点的对称点的坐标为_________;点B到x轴的距离是_______；点B到y轴的距离是_________ 二、例题讲解 等边△ABC中AB=AC=BC=6,请建一个适当的平面直角坐标系，求个点坐标。 教师总结：在坐标轴上只要有线段长就能求点的坐标，有坐标就会知道一些线段长，当点不在坐标轴上时，过点做两坐标轴的垂线，利用勾股定理也能求点的坐标。 变形：如图9，等边△ABC两个顶点的坐A(-4,0),B(2,0) (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的面积 变形:如图8，在平面直角坐标系中，Rt△CDO的直角边OD在x轴、的正半轴上，且CD=2，OD=1，将△CDO沿x轴向左平移1个单位再把所得图像绕点O按逆时针旋转90°得到Rt△AOB，，
建立空间直角坐标系，解立体几高考题 立体几重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，n 为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ(l PM ?,α∈M ,n 为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设b a , 为平面α的任意两个向量，)1,,(y x n =为α的法向量， 则由程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量n ．