函数的概念、表示法与定义域
一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念：
二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法： ④赋值法： （2）函数定义域的求法：
①)
()
(x g x f y =
，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0)]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则{
()0
0()1()1g x f x f x ><<>或；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。
（4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。 三.练习题:
1. 已知集合M ＝｛1,2,3,m ｝，42{4,7,,3}N n n n =+，*,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为(B)
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 2．下列对应关系是集合P 上的函数是有 2 ．
（1）*
,P Z Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2
,,y x x P y Q =∈∈；
（3）{P =三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．”
3.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）
A 、 0个
B 、 1个
C 、 2个
D 、3个
4.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域是（B ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1) 5.下列各组函数中，表示同一函数的是
（ C ）
A ．x
x
y y =
=,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y ==
6.设函数2
211()21x x f x x x x ?-?=?+->??，
，，，
≤则
1(2)f f ??
???
的值为（ A ） A ．
1516
B ．2716
-
C ．
8
9
D ．18
7.（1）函数
lg 3y x =
-的定义域.答：[0,2)(2,3)(3,4) )；
（2）若函数2743kx y kx kx +=
++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4??
????
)； （3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是(答：[,]a a -)；
（4）若函数)(x f y =的定义域为??
????2,2
1，则)(l o g
2
x f 的定义域为__________
（答：{}
42|≤≤x x ）； （5）若函数2
(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．
8．求下列函数的值域：
（1）2
32y x x =
-+；（2）y =；（3）31
2
x y x +=
-；
解：（1）（配方法）2
2
1
2323323()6
1212
y x x x =-+=-+≥ ， ∴232y x x =-+的值域为23
[
,)12
+∞。 改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域。
解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26。 ∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]。 （2）求复合函数的值域：
设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y 。
又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，
∴04μ≤≤[0,2]，
∴y =的值域为[0,2]。 （3）（法一）反函数法： 312
x y x +=
-的反函数为21
3x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，
∴原函数31
2
x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠。 （法二）分离变量法：313(2)77
3222
x x y x x x +-+===+
---， ∵
702x ≠-，∴7
332
x +≠-， ∴函数31
2
x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠。 9.（1）已知2
211()f x x x x +=+，求()f x ；
（2）已知2
(1)lg f x x
+=，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ； （4）已知()f x 满足12()()3f x f x x
+=，求()f x 。
(5)已知函数y=x 2
+x 与y=g （x ）关于点（-2，3）对称，求g （x ）的解析式
解：（1）∵2
2
21
11()()2f x x x x
x x
+=+
=+-， ∴2()2f x x =-（2x ≥或2x ≤-）。
（2）令
21t x +=（1t >），则2
1
x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2
()lg
(1)1
f x x x =>-。 （3）设()(0)f x ax b a =+≠，
则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =， ∴()27f x x =+。
（4）1
2()()3f x f x x
+= ①，
把①中的x 换成
1x ，得13
2()()f f x x x
+= ②， ①2?-②得3
3()6f x x x
=-，
∴1
()2f x x x
=-。
10. （1）
设函数2
(1).(
1)()41)
x x f x x ?+
__________（答：(,2][0,10-∞- ）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-
，则不等式
(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3
(,]2
-∞）
11.（1）设函数).89(,)
100()]5([)100(3
)(f x x f f x x x f 求??
?<+≥-=
（2）设函数f （x ）＝???+∞∈-∞∈-)
,1(,log ]1,(,281x x x ，则满足f （x ）=41
的x 值为 。
解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
)))101((())))104(((()))99((())94(()89(f f f f f f f f f f f f f ==== =)99())102(()97())100(()))103
((())98((f f f f f f f f f f f =====
=.98)101())104((==f f f
（2）当x ∈（－∞，1]，值域应为［
2
1
，＋∞］， 当x ∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞）， ∴y ＝
4
1
，y ∈（0，＋∞）， ∴此时x ∈（1，＋∞），
∴log 81x ＝4
1
，x ＝8141
＝3。
12. 对于抛物线线x y 42=上的每一个点Q ，点()0,a P 都满足a PQ ≥，则a 的取值范围B
A ．()0,∞-
B ．(]2,∞-
C ．[]2,0
D ．()2,0
巩固练习: 13.函数f(x)=
x
x -132 +lg(3x+1)的定义域是 （ C ）
A.（-∞,-3
1） B .（-3
1,3
1） C.（-3
1
，1）
D.（-3
1,+∞）
14.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R ),f(1)=2,则f(-3)等于（C ） A.2 B.3 C.6 D.9 15.已知函数?(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数，且?(3
1)=16,
?(1)=8,则?(x)= 3x+
x
5 16.若函数1
,0()1(),0
3
x x x
f x x ?
本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由0
1|()|301133
x f x x x
≥??-≤
??.
（2）由001|()|01111133333x x
x x f x x ≥?≥???≥???≤≤??????≥≥ ? ?????
????.
∴不等式1
|()|3
f x ≥
的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 17 .对于任意实数a ，b ，定义, ,
min{,}, .a a b a b b a b ≤?=?>?
设函数
2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是__1_______ .
18.若函数422
12
+-=
x x y 的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，则b 的 为 2 。
19.（1）设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a 、b,
有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);
（2）函数f(x) (x ∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 解 （1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),
即f(0)=f(x)-x 2-x,而f(0)=1,∴f(x)=x 2
+x+1. （2）以-x 代x,依题意有
2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ①
2f(x)-f(-x)=lg(1+x) ②
两式联立消去f(-x)得 3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),∴f(x)=3
1
lg(1+x-x 2-x 3
)(-1＜x ＜1).
20.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2
+2x. （1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
解 （1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x 0,y 0)关于原点的对称点为P(x,y),
则???????=+=+,
02
,02
00y y x
x 即???-=-=.,00y y x x
∵点Q （x 0,y 0）在函数y=f(x)的图象上∴-y=x 2-2x,即y=-x 2+2x,故g(x)=-x 2
+2x.
(2)由g(x)≥|1|)(--x x f 可得：2x 2
-|x-1|≤0. 当x ≥1时，2x 2
-x+1≤0,此时不等式无解.
当x ＜1时，2x 2
+x-1≤0,∴-1≤x ≤.2
1因此，原不等式的解集为??
???
?-21,1.
21.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,
下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.
解（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy （如图），
则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程
142
2
22=+r y r x (y ≥0), 解得y=222x r -(0＜x ＜r).S=2
1(2x+2r)·222x r - =2(x+r)·22x r -,其定义域为{x|0＜x ＜r}.
（2）记f(x)=4(x+r)2(r 2-x 2),0＜x ＜r,则)(x f '=8(x+r)2
(r-2x).
令)(x f '=0,得x=21r.因为当0＜x ＜2
r 时，)(x f '＞0; 当2r ＜x ＜r 时, )(x f '＜0，所以f （2
1r ）是f(x)的最大值. 因此，当x=21r 时，S 也取得最大值，最大值为2
2
33)21(r r f =. 即梯形面积S 的最大值为
.2
332
r 22.已知函数f(x)=x 2
-4ax+2a+6 (x ∈R ).
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域. 解 (1）∵函数的值域为［0，+∞),
∴Δ=16a 2
-4(2a+6)=0?2a 2
-a-3=0∴a=-1或a=2
3.
（2）对一切x ∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2
-a-3)≤0?-1≤a ≤2
3,∴a+3＞0, ∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2
-3a+2=-(a+2
3)2
+
417(a ??
????-∈23,1). ∵二次函数f(a)在??
?
??
?-23,1上单调递减，∴f （a ）min =f )23(=-
4
19，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为??
?
???-
4,419. 23.已知二次函数f(x ）的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x 的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 （1）∵f （x ）+2x ＞0的解集为（1，3）， 则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a ＜0,因而有
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2
-(2+4a)x+3a,
①
由方程f(x)+6a=0,得ax 2
-(2+4a)x+9a=0,
②
因为方程②有两个相等的根，
∴Δ=［-（2+4a ）］2
-4a ·9a=0，即5a 2
-4a-1=0,解得a=1或a=-5
1
. 由于a ＜0,舍去a=1.将a=-5
1代入①式，得f(x)的解析式为 f(x)=- 5
1x 2
-56x-5
3.
（2）由f(x)=ax 2
-2(1+2a)x+3a=a a
a a a a x 1
4)21(22++-+-, 及a ＜0，可得f(x)的最大值为-,142
a a a ++由??
???<>++-
,
0,01
42a a a a 解得a ＜-2-3或-2+3＜a ＜0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (-∞,-2-3)∪(-2+3,0).
高考复习 函数知识点总结 一．函数概念的理解以及函数的三要素 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ； 满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值 常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． （5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）
（一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法 通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点 重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.
二、授课内容： 【知识要点】 ⑴定义域———自变量x 的取值范围 函数三要素 ⑵值 域———函数值的集合 ⑶对应法则——自变量x 到对应函数值y 的对应规则 注意：①核心是对应法则；②值域是由定义域与对应法则所确定了的，故确定一个函数只需确定其定义域、对应法则则即可；③如何判断“两个”函数为同一函数；④函数()12-= x x f 的对应法则f ：x （平方再 减1整体再开平方）y 。而在此基础上的函数()1+=x f y ，其自变量为式中的x 而不是1+x ，其对应法则x （加1再取f 运算）y ，即x （加1整体平方再整体减1再整体开方）y ，故此时()1)1(12-+=+x x f 。 【典型例题】 1．函数定义域求法 ⑴已知函数的解析式求定义域时需要注意： ①()x f 是整式，则定义域为R ； ②()x f 是分式，则令分母不为0的值为定义域； ③()x f 是偶次根式，则函数定义域为使被开方式为非负数的自变量集合； ④若()x f 由几个部分式子构成，则定义域是使几个部分式子都有意义的值的集合； ⑤函数[]2 )(x f y =的定义域()x f 0≠； ⑥对数函数()x f y a log =（0>a ，且1≠a ）的定义域要求()x f >0； ⑵求函数()[]x g f 的定义域，()x g 相当于()x f 中的x 。 ⑶当函数由实际问题给出时，还应考虑实际意义。 例1：求下列函数的定义域 ①()0 2 )1(4--= x x x f ； ②()1 21 12 2+-+ ++=x x x x x f ； ③()x x f 11111++ = 042 ≥-x 22≤≤-x 解析：①由 ? ∴函数定义域为[)(]2,11,2?- 01≠-x 1≠x 012 ≥++x x （Ⅰ） ② 12 ++x x 的判别式0
第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
2．3 映 射 课时目标 1.了解映射的概念.2.了解一一映射满足的条件.3.了解函数与映射的区别与联系． 1．映射的概念 如果两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有__________元素y 与它对应，则称f 是集合A 到集合B 的________．A 中的元素称为________，B 中的对应元素y 称为x 的像． 2．一一映射 在实际中，我们经常使用一种特殊的映射，通常叫作一一映射，它满足：(1)A 中每一个元素在B 中都有______的像与之对应；(2)A 中的不同元素的____也不同；(3)B 中的每一个元素都有______；有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作________． 3．映射与函数 由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________． 一、选择题 1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在 B 中必有像 B ．B 中每一个元素在A 中必有原像 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个像 D ．A 中不同元素的像必不同 2．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13 x C ．f ：x →y ＝23 x D ．f ：x →y ＝x 3．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( ) 4．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( ) A ．A ＝ B ＝R ，f (x )＝|x | B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1x C ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3 D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0 5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题： ①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； ②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ； ③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4； ④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应． 上述四个对应中是映射的有____，是函数的有____，是一一映射的有________．( ) A ．3个 2个 1个 B ．3个 3个 2个 C ．4个 2个 2个 D ．2个 2个 1个 6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一：任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22 r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系： 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x
2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图：五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+
函数概念及三要素 1．函数的概念： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）． 记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 2．分段函数：在定义域内不同的区间上有不同的 。注：分段函数是 个函数，而不是多个函数。 3．复合函数：若(),(),(,)y f u u g x x m n ==∈，那么[]()y f g x =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。 方法一：函数定义域的求法 关注：分母、根号、指对数底数对数真数、tan 、零次方的底数 例题：)35lg(lg x x y -+= 的定义域为_______ 方法二：求函数解析式的常用方法 1、配凑法 2、待定系数法 3、换元法 4、解方程组法 例1、已知2(1)23f x x x -=--，则()f x = 。
例2、已知2 (31)965f x x x +=-+，则()f x = 。 例3、已知()f x 是一次函数，且(1)(1)23f x f x x +--=+，则()f x = 。 例4、已知()2()32f x f x x +-=-，则()f x = 。 例5、已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且()()1f x g x x +=+，则()g x = 。 方法三：分段函数 分段函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同，而分别用几个不同的式子来表示，这种函数就称之为分段函数.分段函数虽然有几个部分组成，但它表示的是一个函数.近几年高考考察的频率较高. 1．函数 22, 0,()log , 0.x x f x x x ?=?>?≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____． 2. 已知函数11,02()ln ,2 x f x x x x ?+<≤?=??>?，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取 值范围是（ ） （A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞
函数概念及其表示---典例分析 例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。 变式： 1．函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）. 选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。 变式： 1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）. 2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝ 1 2x B. f ：x →y ＝ 1 3x C. f ：x →y ＝1 4x D. f ：x →y ＝1 6 x A. B. C. D.
函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域： （1）1 21 y x = +-；（2 ）y = . 选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2 ）由30 20 x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。 变式： 1 ．函数y =的定义域为（ ）. A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求： （1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1 (2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -= +，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式： 1．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值. 选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。 解：∵ 0(,1)∈-∞ ， ∴ f 又 ∵ >1， ∴ f )3)-3=2+ 12=52，即f [f (0)]=5 2 . 点评：体现了分类讨论思想。 2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.
函数概念及其相关概念（2课时） 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2 y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①2 2 x y +=2 ②111x y -+ -= ③y=21x x -+- A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B. y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C. y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D. y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） A. y=x B. 2 y x = C. () 2 y x = D.y=t 变式1.下列函数中哪个与函数3 2y x =-相同（ ） A. 2y x x =- B. 2y x x =-- C. 3 2y x x =-- D. 2 2y x x -= 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ） O O O O X X X X y y y y
一、函数与映射的基本概念判断 1. 设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合 2. 设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈， ()x f x +是奇数” ，这样的映射f 有____个 3. 设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____ 4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“值同函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“值同函数”共有______个 5. 以下各组函数表示同一函数是________________ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=? ??<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。 二、函数的定义域 1.求下列函数的定义域 （1）2161x x y -+= ；（2 ）34x y x +=- 2.（1） 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 （2）若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 （3）已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求 2f x y -的定义域。 3. 求函数()f x = 4. 若函数()f x = 3 442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）
函数的概念练习题 一、填空题 1、函数的 、 、 统称函数的三要素 2、下列几组函数相等的是 。 ①11 12+=--=x y x x y 与②1112+?-=-=x x y x y 与 ③x x y x y +?-=-=1112与④x y x y ==与2⑤x y x y ==与2)( 3、若函数,1)(2+-=x x x f 则=)1(f ，=--+)1()1(n f n f 。 4、函数)(x f y =与a x =的交点个数为 。 5、函数2233x x x x y -+-= 的定义域为 ，函数24x y -=的定义域 为 。 6、函数)3,1[,12)(2-∈+-=x x x x f ，则函数=+)2(x f 。 7、函数)(x f 的定义域为)3,2[-，则)()()(x f x f x g -+=的定义域为 。 8、函数1)(22+=x x x f ，则=)2 1()2(f f 。 二、解答题 9、下列对应那些能称为函数？并说明理由。 （1）R x x x ∈→,1，（2）,y x →这里R y R x x y ∈∈±=+,, （3）,y x →这里R y R x x y ∈∈= +,,（4）,.12R x x x ∈+→ 10、求下列函数的定义域 （1）3 21)(-=x x f （2）22)(x x x f -=
（3）2232)(2 ++--=x x x x f 11、求下列函数的值域。 （1）]3,0[,32)(2∈--=x x x x f （2）),0[,113)(+∞∈+-=x x x x f （3）123 2)(22+-+-=x x x x x f （ 4）x x y 21-+= 12、
函数的三要素练习题 （一）定义域 1 、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 2 _ _ _； 定义域为________； [1,1]-； [4,9] 3、若函数(1)f x + (21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。1][,)2 +∞ 4、知函数()f x 的定义域为[]1,1-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。11m -≤≤ 5、求下列函数的定义域 （1）2|1|)43(43 2-+--=x x x y 解：（1）???-≠≠?≠-+≥-≤?≥--3 102|1|410432x x x x x x x 且或 ∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为 （－∞，－3 ）∪（－3，－1）∪[4，+∞] （2）y = {|0}x x ≥ （3）0 1(21)1 11y x x = +-++（二）解析式 1． 设X=｛x|0≤x ≤2｝，Y=｛y|0≤y ≤1｝，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( ) （A ）x y 32= （B ）2)2(-=x y （C ）24 1x y = （D ）1-=x y 2． 设),(y x 在映射f 下的象是)2 ,2(y x y x -+，则)14,6(--在f 下的原象是( ) （A ）)4,10(- （B ）)7,3(-- （C ）)4,6(-- （D ）)2 7,23(-- 3． 下列各组函数中表示同一函数的是 （A ）x x f =)(与2)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与?????-=22)(x x x g )0()0(<>x x （C ）||)(x x f =与33 )(x x g = （D ）1 1)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g 4． 已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）
函数的定义及三要素 考点一、函数概念的理解 [例1] 下列对应是否为A 到B 的函数： (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. [例2】下列各图中，可表示函数)(x f y 的图象的只可能是（ ） 变式1：在下列从集合A 到集合B 的对应关系中不可以确定y 是x 的函数的是( ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应法则f ：x →y ＝x 3； ②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2； ⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应法则f ：(x ，y )→S ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应法则f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤ 变式2、如图中，哪些是以x 为自变量的函数的图象，为什么？
考点二、相等函数的判断 [例2] 下列各对函数中，是相等函数的序号是________． ①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 ②f(x)＝x＋2与g(x)＝|2x＋1| ③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t ＋2 变式：下列各组式子是否表示相等函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2； (2)y＝x2，y＝(x)2； (3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1； (4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2. 考点三、求函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3； (2)f(x)＝ 1 x＋1； (3) y＝x－1＋1－x； (4)y＝ x＋1 x2－1.
第一章函数 第一讲函数的概念 【知识归纳】 (1) 映射 映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B 中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析： ①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的； ⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都 有原象，即A中元素的象集是B的子集. 映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可； (2) 映射观点下的函数概念 如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x). （3）函数概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集. （4）函数的表示方法 1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
函数的概念知识点总结 本节主要知识点 （1）函数的概念. （2）函数的三要素与函数相等. （3）区间的概念及其表示. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义 设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈. 其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. 对函数的近代定义的理解 （1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如x x y --= 11就不是函数. （2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到. 存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y . 唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.