差分方程在经济学中的应用应用数学

本科毕业论文(设计) 论文题目：差分方程在经济学中的应用

学生姓名：雷晶

学号： 1004970226

专业：数学与应用数学

班级：数学1002班

指导老师：舒蕊艳

完成日期：2014年5月20日

差分方程在经济学中的应用

内容摘要

本文叙述了研究差分方程的意义和背景、差分方程的定义、常见的解法以及差分方程相关模型,重点介绍差分方程经济学中的应用模型—筹措教育经费模型,包括问题的提出、模型举例和分析、提出假设、模型建立、模型求解、结果分析等等步骤对模型进行了更深层次的分析,做了进一步的推广.

本文所介绍的筹措教育经费模型主要研究的是子女的教育费用,假定某家庭从孩子m岁起,每月拿出一部分钱存进银行,用于投资子女的大学教育,并计划n年后支出一些,直到孩子大学毕业,全部用完账户中的资金.

差分方程的理论研究近十年来发展十分迅速,尤其是在经济领域,帮助人们解决了很多实际问题,筹措教育经费模型的建立为广大中国家庭子女教育的费用问题提供了明确的解决方法,是差分方程理论最贴近实际的模型之一.

关键词：差分方程存款模型经济增长模型筹措教育经费模型

, . . , , , , . a .

’s . , ’s ’s m n , .

, . a . a ’s .

目录

一、绪论 (1)

（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的意义 (1)

（二）研究背景 (2)

二、研究的理论基础 (2)

（一）差分 (2)

（二）差分方程 (3)

（三）差分方程的解 (4)

（四）特征根法 (4)

三、差分方程的经济应用模型简介 (5)

（一）贷款模型 (5)

（二）存款模型 (6)

（三）乘数-加速数模型 (7)

（四）哈罗德-多马经济增长模型 (10)

（五）投入产出模型 (11)

（六）筹措教育经费模型 (12)

四、总结 (14)

参考文献 (16)

序言

数学这一学科从建立到现在,发展迅速,在人们的生活中也得到了越来越多的应用,人们把数学理论与生活实际相结合,这样的做法不仅解决了实际问题,也更加丰富了数学理论.差分方程是数学知识应用最广泛的部分之一,它在经济领域中的应用效果最为显著.

本文先描述了差分方程的理论,然后对应用广泛的几个差分方程经济模型做了简单介绍,最后重点介绍了筹措教育经费模型,这是差分方程在经济领域最贴近实际生活的一个模型之一,从问题的描述出发,到模型建立、求解,最后对结果进行了分析和推广.

研究差分方程在经济学中的应用,不仅能帮助解决生活中的经济问题,反过来更能进一步丰富数学理论.所以,研究差分方程的应用,在实际生活当中具有重要的意义.

一、绪论

（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的和意义

数学这一基础性学科在不断发展,在现代经济学中所起的作用也日益突出.数学是一切学科的基础,经济领域也不例外,要发展经济就要研究经济理论,掌握经济规律,预测经济发展的趋势,这些都离不开数学这一工具.经济学中的变量有三种类型,自变量和因变量、存量和流量、内生变量和外生变量,经济模型是研究经济学领域中的经济变量之间的关系的,在其中加入数学元素,使得问题的描述简洁清楚、语言严密精确.在研究过程中通过参考已有的数学模型或数学定理有利于新结果的产生,可得到精准的结论.经济模型[1]是研究分析经济变量关系的一个重要工具,连接了经济理论和经济现实,也让数学理论得到更加广泛的应用.经济数学模型具体来说,是在经济理论的指导下,通过建立数学模型的这个过程,把研究对象简单化,转化为本质同一的对象,使研究对象具有代表性,以一代全,实际操作起来更加方便,从而实现对经济现实的简化.故对于变量数量繁多,而且变量之间的关系复杂多变的经济数量关系进行分析研究,经济数学模型不可或缺.

在经济数学模型中,差分方程的应用非常广泛,人们建立了一系列以差分方程理论为核心的一系经济类数学模型,如市场经济中的蛛网模型、养老保险模型以及筹措教育经费模型等等,相应模型的建立也就解决了相应的经济学中的问题,如市场经济中的蛛网模型的研究就是基于自由竞争的市场经济中的供需变化与价格变化的循环现象,筹措教育经费模型则是站在一个理性角度,定量研究某家庭投资子女教育所需的费用.其实,总结一下,不难发现,以上的模型都是关于离散变量的规律、性质问题,只要判断出要研究的问题具有这类共同点,就可以考虑用差分方程模型来分析求解问题.

差分方程其实与微分方程有些许相似,差分方程是含有未知函数及其差分的函数方程,微分方程是含有未知函数的导数的方程,差分方程是微分方程的离散化.差分方程反映的是离散变量的取值规律.整个模型研究过程是通过建立离散变量取值所满足的平衡关系,从而建立起差分方程.建立

差分方程模型,不仅可以从定性角度为社会问题的解决提供思路,还从定量的角度解决了实际问题.在经济学中,差分方程的应用使得实证研究更加系统化、规范化,精确的数学方法让广大研究者最大程度地汲取有用的信息,得到定量性结论.在得到结论的同时,也方便对未来的经济形势和发展情况作出较为精确预测,这对于个人的理财和国家的经济发展无疑起到了非常重大的作用.举个例子,市场经济中的蛛网模型主要是研究在自由市场上的一种现象：商品的供给大于需求时,销售不畅会导致价格的大幅下跌,而价格的下降又会使得商品的供给量下降,因此价格又会上升,如果没有干预,会如此的往复.人们利用差分方程的知识对此过程进行研究,又发现在图像中,商品产量和价格的图形轨迹类似于蜘蛛网状,于是便有了差分方程的蛛网模型的诞生.对于政府来说,也会更加方便,便于及时地进行经济干预.中国的社会主义市场经济体制强调的是以市场和计划两种手段来调配社会资源,市场为主,计划为辅,蛛网模型的建立,把市场调配资源的整个过程体现了出来,同时也让政府可以更有计划性、更有目的性地来干预经济,经济调控的效果也会更好.所以,研究差分方程,对于数学理论的发展和实际生活都具有十分重大的意义.

（二）研究背景

应用差分方程的知识,建立经济模型,解决经济学的问题是要针对目标问题,确定离散变量,根据实际,建立离散变量所满足的平衡关系式,从而建立差分方程.通过求出方程的解和对解的分析,把握这个离散变量变化的规律,并进一步结合其他的分析,得出原问题的解.

差分方程的研究历史比较短暂,真正开始于上个世纪90年代,发展迅速,且成果显著,在国内外一直都是数学学者们的研究热点.在国内,很多学者也在这一领域辛勤工作着,怀化学院的数学系主任魏耿平就是代表人物之一,他的论文发表在国内外许多著名的期刊杂志上,如美国的源刊、国内的《数学学报》等.在国外,随着差分方程理论的快速发展,国际上出现了一种专业性的差分方程的期刊,它的名称叫做,能在这样一个国际性的期刊上发表学术成果,对个人的研究成果是一种很大的肯定,同时对数学学科的发展是具有非常大的意义的.这一专业期刊杂志的出现更加推动了差分方程理论在竞争中的不断发展,以及差分方程在实际中应用的进程,差分方程众多优秀的研究成果也有了展示的平台.

如今,随着人们对知识产权的重视程度的提高,中国国内的学术氛围更加浓厚,个人对于这方面的保护意识也越来越强.这样越来越好的氛围有利于国内各领域内的学者们的研究工作的进行,也会推进数学理论的进程.在这样一个良好的气氛之下,相信差分方程理论的发展会越快越好,同时它对中国经济的繁荣发展也会起到更加强大的推动作用和理论指导作用.

二、研究的理论基础

（一）差分[2]

设定义在整数集上的函数：

()n f y = ,,2,1,0,1,2,ΛΛ--=n

则函数()n f y n =的一阶差分定义为：

()()n f n f y y y n n n -+=-=?+11.

函数()n f y n =的二阶差分n y 2

?定义为一阶差分的差分,即：

()()n n n n y y y y -?=??=?+12

.

由差分四则运算法则之中的：()n n n n z y z y ?+?=+?,可得：

n n n n n n y y y y y y +-=?-?=?+++1212

2.

以此类推，k 阶差分就可以定义为1-k 阶差分的差分,即：

(),,3,2,10111Λ=-=?-?=?-+=-+-∑k y c y y y i k n i

k k

i i

n k n k n k

其中,

()!

!!

i k i k c i

k -=

.

例1、设n n y n 252

+=,求n y ?和n y 2

?.

解：

()()()

71025121522

+=+-+++=?n n n n n y n ,

()()()1071071102

=+-++=??=?n n y y n n .

（二）差分方程[2]

定义1：含有未知函数n y 及其差分ΛΛ,,2n n y y ??的函数方程成为差分方程. 形式：

()

0,,,,,n 2=???n m n n n y y y y F Λ.

定义2：含有未知函数两个或两个以上的函数值Λ,,1+n n y y 的等式,称为常差分方程. 形式：

()0,,,,1=++k n n n y y y n F Λ.

在差分方程出现的未知函数下标的最大差称为该差分方程的阶.根据定义,k 阶差分方程的一般形式为：

()0,,,,1=++k n n n y y y n F Λ, 其中，n 是自变量,n y 是未知函数.

例如,方程n n n n y y y 23212?=-+++是二阶差分方程.注意,方程2

1232n y y n n =+++是一阶差分方程.

（三）差分方程的解

[5]

如果将函数()n y φ=代入差分方程后,使其称为恒等式,则称此函数该差分方程的解.若差分方程的解中含有任意常数,且所含独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同,则称这样的解为该差分方程的通解,由于通解中含有任意常数,所以在应用时,还需要确定这些常数的条件.这种条件称为定解条件.由定解条件确定了通解中的所有任意常数后所得到的解称为特解.对k 阶差分方程，常见的定解条件是初始条件：

,,,,111100--===k k a y a y a y Λ

其中,110,,,-k a a a Λ都是已知常数.

例2、验证()n

n

n n c y 332-+=是差分方程n

n n n y y 321?=-+的通解.

解：将()n

n

n n c y 332-+=代入差分方程中,得：

左边=()()[]

=?=-+--+++n n n n n n n c n c 33322322

11

右边

等式成立,故()n

n

n n c y 332-+=是所给差分方程的解.又因为其中含有一个任意常数,且给定的差

分方程是一阶方程,所以,此解为通解.

（四）特征根法[5]

一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式如下：

)0(01==++a ay y x x （2-1） 这类方程的解法通常有两种,迭代法和特征根法,在这里介绍的是在差分方程模型中经常用到的特征根法.

原一阶常系数齐次线性差分方程01=++x x ay y ,等价于()01=++?x x y a y ,可以看出x y 的形式一定是某个指数函数.于是,假设()0≠=λλ

x

x y ,代入方程,可得：

01

=++x x a λλ, （2-2）

称方程（2-2）为齐次方程（2-1）的特征方程,解之得：

a -=λ,

是特征方程的根（简称特征根）.于是()x

a y -=是齐次方程（2-1）的一个解,从而有：

()x

x a c y -=（c 为任意常数）.

是齐次方程的通解.

例3、求方程021=-+x x y y 的通解. 解：原方程的特征方程为：

02=-λ,

解之得：

2=λ,

于是,原方程的通解为：

x c y 2?=.

三、差分方程的经济应用模型简介

差分方程模型在解决实际问题是,一般步骤如下：第一步,先要检验变量是否符合差分方程的理论条件,并进一步分析实际问题,设定好实际问题中的未知函数,建立差分方程,提出初始条件;第二步,先求解所建立的方程的通解,再根据之前设定的初始条件求出特解;第三步,用所得出的解给实际问题一个答复,并结合实际进行分析.

在经济学中的差分方程模型很多,下面简单介绍几个差分方程应用较广泛的经济模型.有与个人日常生活中理财相关的,也有与国家的经济增长相关的.

（一）贷款模型

贷款这是老百姓生活中常见的一种现象,现在,不管是买房、买车,甚至是大学教育都已经开始流行贷款.买房、买车是一个人的一生中的重头消费项,在存款不足的情况下,可以帮助实现自己的房子、车子梦.一般是先支付部分款项,再通过银行贷款付清余额.

首先以买房为例介绍贷款模型,假设某房屋总价为a 元,先付首付款后便可入住,剩下的可以通过银行贷款来付清,年利率为r ,需要n 年付清,利用差分方程的知识就可以计算出平均每月需要付多少钱,以及总共需要付的利息.

具体求解的过程如下：

实际在买房时,所需的首付款是房款全额的4060%不等,假设首付款为房款全额的40%,贷款 总额为a 53元.假设每月应付x 元,总共需要支付的利息为I 元,月利率为

12

r

,即得到： 第一个月的应付利息为：

20

53121ra

a r y =

?=

, 第二个月的应付利息为：

121211253112rx y r r y x a y -??

? ??

+=???? ??+-=,

由此类推,可以得到：

121211rx y r y t t -??

? ??

+=+,

上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程,先求其对应的齐次方程：

01211=??

? ??

+-+t t y r y ,

的通解,再求原方程的一个特解,相加后即可求得原方程的通解.最后,就可以计算出每月需要支付的钱,即：

1

12112

121531212-??

? ??

+???? ??

+?=

n

n

r r r a x , （2-3）

总共需要支付的利息为：

a r r r a n I n

n

5

3

1

12112

12153121212--??

? ??

+???? ??

+??

=. （2-4） 如下表,表2-1,是中国人民银行最新调整后的金融机构人民币贷款基准利率表：

一般房贷或车贷都会在五年以上,所以采用6.55%的贷款利率,假设现在某人要买一栋

全款为一百万元,贷款60万,在10年内还清,由（2-3）和（2-4）式,每月应支付的金额为：

69.6912=x ,

总共所需支付的利息为：

47.829523=I .

现实生活中,个人买房的实际情况不同,房子的具体地段、户型、大小面积、楼层等等有差异,所需支付的首付款数额也必然不同,在了解了这个模型后,只需带入相应字母所代表的数据,并相应地代入首付款金额,就可以很方便地计算出贷款的利息等数据,个人在还款的同时,心里也会有个底.

（二）存款模型

存款,同样也是生活中的一件平常的事,但其中也是有很多的数学知识的,掌握了,就可以大致了解存款的利息,更容易把握存钱的时机,也可以更好地树立理财的观念.

存款是中国人比较传统的一种理财方式,因为银行存款利率的变化,如果想要获得更好的收益,就要掌握一定的数学知识,这样才能更准确地判断存款时机,获得更好地收益.

先用字母代替具体数字,假设0s 为最初存入银行的资金总额,t s 为t 时期的存款总额,r 为存款

利率,按年复利计息,就可以得到t s 与r 之间的关系,得到一个一阶常系数齐次线性方程：

()Λ,2,1,0,11=+=+=+t s r rs s s t t t t

求解方程,原方程的特征方程为：

()01=+-r λ,

解之得：

r +=1λ,

所以,原差分方程的通解如下：

()0,1s c r c s t

t =+=,

即：t 时期取款所获取的收益为：

()t

t r s s +=10.

如果要存款来获取收益,可以通过（2-5）式来得出最后的收益情况;如果在生活中需要贷款,那么就可以利用（2-3）,（2-4）两个式子大致计算出每月所需支付的资金,以及所需支付的全部利息,不会发生在银行贷款时理不清楚的现象,也有利于自己管理自己的财产.

根据中国人民银行最新发布的金融机构人民币存款基准利率调整表,表2-2：

活期存款利率为0.35%,若最初存进银行的金额是100000=S 元,3=t ,第3年的收益3S 为：

()37.101050035.01100003

3=+=S .

按照最长的5年的定期存款利率4.75%来计算，假设最初的存款100000=S ，5=t ，第5年的收益5S 为：

()60.126110475.01100005

5=+=S .

存款作为中国老百姓传统的理财方式,虽然已经不多见了,但平时生活中留有存款,也可以应对老人生病等突发的状况.平时留有一定数额的存款还是有不少作用的,对存款利率的了解是很重要的.

（三）乘数-加速数模型[4]

差分方程在经济学中的应用除了与实际生活联系密切的模型之外,也有关于宏观经济方面的模型,比如经济增长模型等.对于一个国家来说,经济的增长十分重要,持续稳定增长的经济会给人民

带来更多的福祉.

所以,第三个模型介绍的是由萨缪尔森提出的乘数-加速数模型,它是属于典型的凯恩斯主义.在介绍乘数-加速数模型之前,首先应明确本模型中所涉及的两个经济原理,乘数原理和加速原理.乘数原理说明了投资变动对国民收入变动的影响,而加速原理说明了国民收入的变动对投资变动的影响.乘数-加速数模型就是二者结合起来对经济周期的影响.

假设K 为资本存量,Y 为产量水平,v 代表资本-产量比率,有：

vY K =,

一般情况下,资本-产量比1>v .()1-t 时期的K 和Y 的关系可表示为：

11--=t t vY K ,

从1-t 时期到t 时期,资本存量的增加量是1--t t K K .资本的增加需要投资的增加,记t I 是t 时期的投资净额,则有：

1--=t t t K K I ,

由11--=t t vK K ,可以推导出：

()11---=-=t t t t t Y Y v Y vY I . （2-6） 上式表明,在资本-产量的比率保持不变的情况下,t 时期的净投资额t I 决定于1-t 到t 时期的产量的变动量,v 被称为加速数.

由于生产过程中难以避免机器的磨损等,就会导致重置投资,将其视为折旧,与净投资额组成了总投资,则（2-6）式就变成了：

t 时期的投资总额()t Y Y v t t +-=-1时期的折旧,

所以，可以得到产量水平与投资支出之间的关系.加速数为大于1，资本存量的增加必须要超过产量的增加.前提是资本存量充分利用.

萨缪尔森的乘数-加速数模型基本方程如下：

t t t t G I C Y ++=, （2-7） 10,1<<=-ββt t Y C （2-8） ()0,1>-=-v C C v I t t t , （2-9） 其中,t Y 是国民收入,t C 是消费额,t G 是政府的购买.假定政府购买t G 是常数,G G t =.

求解方程：将（2-8）（2-9）代入（2-7）式中,可得：

()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,

化简后,有：

()G vY Y v Y t t t =++-++ββ121,

得出特征方程：

()012=++-v v βλβλ,

求解特征方程,是一个一元二次方程，由：

()v v ac b ββ4142

22-+=-=?,

因为?值有可能大于0等于0,或小于0,故对应?的不同取值,解有三种情况. 故,化简之后的方程：

()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,

通解为：

=t Y 0-12211>?+

+，β

λλG

C C t

t , ()0,121=?-+

+β

λG

t C C t

, ()0,1sin cos 21

+β

??G

t C t C r t

, 其中,

()()[]

()()

.

1arctan ,,121,12

1

,412,12

2v v r v v v v v +?-===+=?-+=

-+=?β?βββλβλββ

由此得到国民收入t Y 的计算公式,代入原方程就可以计算出本期消费t C ,本期私人投资t I .

假设边际消费倾向5.0=β,加速数1=v ,政府每期开支相同,亿1=t G ,从上期国民收入中来

此模型模型集合了两种经济原理,对经济周期的分析更注重外部的因素,投资影响收入和消费,消费和收入反过来也会影响投资,从而形成经济扩张或收缩的局面,这是西方学者的对经济波动的一种解释.政府对经济进行干预,就可以改变或缓和经济波动.采取适当政策刺激投资,鼓励提高劳动生产效率,就可以提高加速数,就可缓和经济萧条.

（四）哈罗德-多马经济增长模型[6]

宏观经济中的差分方程模型除了上述的萨缪尔森的乘数-加速数模型,还有另外一种经济增长模型,就是由哈罗德和多马共同提出的哈罗德-多马经济增长模型,同样也是凯恩斯理论的典型.这个模型与乘数-加速数模型的结论不同,它认为,经济的增长是不稳定的.具体的模型描述如下：

假设,t S 为t 时期的储蓄额,t Y 为t 时期的国民收入,t I 则是t 时期的投资额,边际储蓄倾向用s 表示,10<

哈罗德-多马经济增长模型的方程如下：

10,1<<=-s sY S t t ,

()0,1>-=-v Y Y v I t t t ,

t t I S =, 化简方程,得到：

011=----t t t sY vY vY ,

可得到特征方程：

0=--s v v λ,

解之得：

v

s +=1λ,

故原方程的通解：

t

t v s c Y ??

? ??

+=1.

其中,c 是常数,v

s

指的就是要保证所有储蓄转化为投资的经济增长率,经济学中称为保证增长率.保证增长率

v

s

中,v 是加速数,一般是假定不变的,s 是边际储蓄倾向,表示的是国民收入每增加一个单位,储蓄会增加的程度.

依据哈罗德-多马经济增长模型,如果可以保证t 时期的储蓄额和投资保持平衡,储蓄额可以得到充分的利用,那么国民收入就会按照保证增长率

v

s

增长.但在实际中,储蓄与投资之间的完全转化是难以实现的,因此会造成经济的增长不稳定的状况,就会得到相应的结论.

（五）投入产出模型[8]

如果说上述的两个经济增长模型是对经济增长速度的深刻阐述,那么最后要介绍的投入产出模型,则是更进一步的对结果的探究.

投入产出模型,是一种定量分析并衡量经济效益的模型,可以为国家经济政策的制定提供依据.从事某一项经济活动之前会有成本的投入,如人力、财力等,经济活动结束后会有一定的收益,投入产出模型的提出,就是将投入与产出量化,用数学方法来进行宏观经济的核算,并经过合理的分析后,采取一定的措施,调控成本,提高国家经济效益.

此模型诞生在美国,由著名经济学家列昂捷夫提出,是国民经济核算的重要组成之一.我们在这里介绍的是静态投入产出模型,是对一个时期的经济活动的计划投入、计划收入以及对应的实际收入进行计算.具体如下：

假设,t 时期初,国家计划投资额t I ',对应的实际投资t I ,计划消费t C ',对应实际的消费是t C ,计划的收入t Y ',对应实际的收入是t Y ,假定计划消费可以实现,且计划投资与实际投资相等,则有：

t t t t C C I I ='=',,

也有：

t t t t t Y C I C I =+='+', （2-10）

实际的收入t Y 是这样计算的,假定t S 为实际的储蓄额,则有：

t t t C Y S -=, （2-11） 由（2-10）和（2-11）两式可得：

t t t t S C Y I =-=,

即,实际的投资额与实际储蓄额相等,但计划储蓄与实际储蓄是不等的,所以,计划投资额与计划储蓄不等.

一般本期计划消费是根据上一期的收入和消费额指定的,上期的收入与本期的计划消费是有函数关系的,假定计划消费是上期收入的一次线性函数,故有：

k aY C t t +='-1,

其中,a 是边际消费倾向,一般情况下10<

t t t Y I k aY =++-1,

用特征根法解方程,原差分方程的特征方程为：

0=--t I k λ,

解之得：

t I k +=λ,

故,原差分方程的通解为：

()t

t t I k c Y +=.

若已知基本的消费和计划投资（前提假定计划投资与实际投资相等）,就可以计算出实际的收入.

差分方程的应用远远不止上述的这些日常生活中的理财行为,以及宏观经济上的应用,它的应用也远不止经济学这一个领域,它对我们生活的影响可大可小,可以帮助我们更好地规划生活,这也体现了以差分方程为代表的数学理论知识,在实践中的巨大作用.

（六）筹措教育经费模型 1、问题描述

中国整体的国民收入水平在改革开放之后大大提高,但由于传统观念的影响,老百姓的理财意识并不强,一般家庭的消费支出并不高,人们总是习惯于把钱存入银行或信用社,但有一个共同的大的消费支出是不可避免的,就是子女的教育经费支出.在一个小孩上大学之前,从小学到高中是义务教育阶段,国家会承担多数的教育费用,这时候家庭负担较轻,不会造成经济压力.但到了大学阶段,学费数额一下子上升,一般的中国家庭经济压力就会加大.为了解决老百姓的这个问题,国家也有了很多的优惠政策,如生源地助学贷款、学校方面所提供的助学贷款、贫困助学金等.对此,还是有很多父母不愿孩子在进入社会之初就背负经济上的压力,想要让孩子轻装上阵,于是就想有计划地存款,为孩子以后的高等教育做准备.

那么,假如某家庭从孩子出生时就开始准备存款,每个月从工资中拿出一部分资金,存入银行账户,用于投资子女以后的高等教育,并计划在20年后开始从该账户中每月支取固定的数额b 元,直到子女完成学业,并且在5年内要用完全部资金,要实现这个投资目标,20年后共要筹措多少资金?每月要向银行存入多少钱?

2、问题分析

此问题可以分成两个阶段,第一阶段是在前面20年,每月向银行存入一笔数额固定的资金,第二阶段,是在20年后将所有资金用于子女的教育,每月支取b 元,因为大学的学制一般是4年,少数专业如机械类,学制为五年,所以假定要在5年内用完该账户上的资金.

3、建立模型

首先,假设从一开始到20年内总共要筹措x 元资金,第n 个月向银行存款账户存入了n I 元,每月存入资金a 元,同时,设20年后第n 个月银行账户里有n S 元.（假设月利率为r ）

所以,采用逆向思维,从该账户设立20年后开始,每月从该账户支取固定数额b 元,且5年内用完,账户里的钱开始逐年递减,则关于n S 的差分方程为：

b S r S n n -?=+1,

因为是5年内取完前20年存入的x 元,共有120个月的时间,故，0,600==S x S .

在已知月利率r 和每月支取金额b 的前提下,就可以计算出前20年总共存款的数额.现暂时继续用x 表示,以向前推算每月应该存款的金额a .

从开始存钱到20年内,n I 满足的差分方程为：

a I r I n n +?=+1,

因为在银行存钱的时间长度为20年,共240个月的时间,故,x I I ==2400,0.

若在具体的月利率下,已知每月支取具体的存款金额,则可计算出最初每月应该在银行账户中存款的金额.

4、模型求解

若某家庭是在月利率为%5.0的情况下开始存款的,并且假设20年内利率保持不变,20年后每月支取的金额为1000元,可得差分方程：

1000005.11-=+n n S S ,

用特征根法来求解,原方程的特征方程为：

0005.1=-λ,

解之得：

005.1=λ,

故,方程的通解为：

200000005.1+?=c S n n ,

由x S S ==0600，,可列出：

{

,

200000,020*******.160x c c =+=+?

解之得：54.51725=x .

a I I n n +?=+005.11,同样用特征根法可以得出方程的通解：

a c I n n 200005.11-=,

由54.51725,02400==I I ,可以列出：

{

,

54.51725200005

.1,02001240

1=-=-a c a c

解之得：13.78=a .

故,综上所述,在月利率保持在%5.0时,要达到投资子女高等教育的目标,20年内总共要筹措资金51725.54元,每月要存入78.13元.

5、结果分析

在月利率为0.5%,并且长时间保持不变的情况下,一般家庭要投资子女的教育,从孩子出生后就要开始存款,为孩子的高等教育做准备.理论上每月只需存78.13元,即可满足孩子20年后所需的

高等教育费用,但实际上,因为时间的问题,利率是个不确定的变量,而且通货膨胀等因素也会影响货币的升值或贬值,一般家庭所需存储的金额应该比78.13元再多增加一些.

其实,国外的学者们对于筹措教育经费的研究比我国早,西方学者的研究集中在教育理念上等学者提出过一种理念,认为教育经费的投入应遵循公平、充分的原则.另外还有一种理论,是比较适合中国的国情的,叫做成本分担理论,认为教育经费的来源应当多元化,而筹措教育经费模型显然更适合中国国情,利用差分方程的知识,通过精准地数学计算,为多数中国家庭投资子女的教育提供了定量可循的方法.

在国内众多传统的家庭里,子女的教育费用问题依然是家庭的几大重要支出之一,随着家庭经济水平的提高,作为重大支出的子女教育费用更需谨慎决策.参考众多的理论成果对中国的家庭来说很有意义.所以,在以差分方程理论为指导的前提下,也应结合经济学方面的知识,更加理性地计划,要尽量考虑全面,充分准备.

四、总结

差分方程在经济学问题的模型研究和计算上,有很多便捷之处.如文中所列举出的与生活息息相关的存贷款模型、与经济增长相关的乘数-加速数模型、哈罗德-多马经济增长模型、投入产出模型等,无不体现出差分方程在研究经济类问题上的巨大作用.把筹措教育经费模型单独拿出来详细介绍,是因为这个模型在实际生活中可以发挥的作用很大,对广大学生来说也更有意义.研究筹措教育经费模型,整个过程中,利率这一因素难以保证.现在中国的大经济环境,通货膨胀处在一个较高的水平,国家为了提高就业率,必然会牺牲通货膨胀率,因此,通货膨胀必然会持续较长时间,至少在未来五年内这样的情况不会改变.而且,在国际货币市场上,人民币出现了一定水平的升值,这种情形影响到国内,就会造成人民币的贬值.那么,在钱不值钱,通胀率高的现状之下,筹措教育经费模型在经济方面受到的影响就更加复杂了,但是作为数学方面,计算的方法步骤不会改变,只需要在利率这个因素上考虑全面就好.教育是国家的大事,对家庭来说,也是改变个人命运的最基础的途径,让每个人上得起学,除了国家提供大的优惠政策外,个人也要有计划,为自己争取受到更好教育的机会,筹措教育经费模型就是这样一个为个人提供的解决问题的途径,这也是这样一个研究过程的目的.

对于类似于筹措教育经费模型这样的、取值为离散变量,是非常适合用差分方程的理论去研究的,同时,不可否认,差分方程也是研究它们之间变化规律最有效的方法.差分方程的经济模型是一种重要的数学模型，它的应用也遵循一般的数学模型的理论和方法原则,理论很重要,要解决经济类问题,必须与实际相结合.经济的大环境是通胀率高,物价上涨,但在研究具体的某个问题时,就需要多考虑具体情况.过程要遵循数学理论和经济学问题的解决思路,首先要先理解变量之间的关系,判定为离散变量后,进行必要的分析,分析清楚后,建立适合的差分方程,确立初始条件,在初始条件下求解.最重要的是得到结果之后,要与实际结合,用实际来检验结果,还要考虑具体的领域,做到具体问题具体分析,尽量做到定性定量地解决问题.

同时,我们也要认识到,任何事情都具有双面性,差分方程的理论发展相比其他数学分支还是有点短暂,更加需要实践的检验.经济学中的问题可大可小,在个人,就是生活中的理财问题,在国家,就是经济增长的问题.总之与生活是密切相关的,这对差分方程的理论成熟进步是有非常大的帮助的.人类就是在不断纠正错误中前进的,差分方程的理论也一定会在实践中不断得到丰富!

参考文献

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[2] 柴俊，丁大公，陈咸平.高等数学（下册）.北京：科学出版社，2007

[3] 田秋野，侯明华.高等数学:经济管理类.北京：北京大学出版社，2004.9

[4] 高鸿业.西方经济学（宏观部分）.北京：中国人民大学出版社，2010

[5] 刘金舜，羿旭明.高等数学（下册）.武汉.武汉大学出版社，2005.1

[6] 舒元.现代经济增长模型.上海.复旦大学出版社，1999.1

[7] 张红兵.数学教育理论与时间.北京.北京理工大学出版社，2007.4.27

[8] 万世栋.王娅.经济应用数学.北京.科学出版社，2002

经济应用数学二(线性代数)

2065 - 经济应用数学二（线性代数）单项选择题 1．设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（） A.|A|=0 B.|E+B|=0 C.|A|=0 或|E+B|=0 D.|A|=0且 |E+B|=0 答案：C 2． A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案：C 3．若C=AB，则（） A.A与B的阶数相同; B.A与B的行数相同; C.A与B的列数相同; D.C与A的行数相同。 答案：D 4．A*是A的伴随矩阵，且|A|≠0，刚A的逆矩阵A-1=（）。 A.AA* B.|A|A* C.； D.A'A* 答案：C 5．矩阵A的秩为r，则知（） A.A中所有r阶子式不为0； B.A中所有r+1阶子式都为0； C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0； D.r-1阶子式都为0。 答案：B 6．A*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，刚|A*|=（）。 A.|A| ；

B.1； C.|A|n-1 D.|A|n+1 答案：C 7．设A，B，C为同阶矩阵，若AB＝AC，必推出B＝C，则A应满足条件（） A.|A|≠0 B.A＝O C.|A|＝0 D.A≠0 答案：A 8．设A是sxt矩阵，B是同m×n矩阵，如果AC T B有意义，则C应是（）矩阵。 A.s×n B.s×m C.m×t D.t×m 答案：C 9．设 A、B为n阶矩阵，A可逆，k≠0，则运算（）正确. A. B. C. D. 答案：D 10．设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A|-1=（）。 A.2 B.-2 C. D. 答案：C 11．设A是m×k矩阵, B是m×n矩阵, C是s×k矩阵, D是s×n矩阵,且k≠n, 则下列结论错误的是（）. A.B T A是n×k矩阵 B.C T D是n×k矩阵 C.BD T是m×s矩阵

有限差分法及其应用

有限差分法及其应用 1有限差分法简介 有限差分法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方程将解域划分为差分网格，用有限个网络节点代替连续的求解域。有限差分法通过泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值得差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 2有限差分法的数学基础 有限差分法的数学基础是用差分代替微分，用差商代替微商而用差商代替微商的意义是用函数在某区域内的平均变化率来代替函数的真是变化率。而根据泰勒级数展开可以看出，用差商代替微商必然会带来阶段误差，相应的用差分方程代替微分方程也会带来误差，因此，在应用有限差分法进行计算的时候，必须注意差分方程的形式，建立方法及由此产生的误差。 3有限差分解题基本步骤 有限差分法的主要解题步骤如下： 1）建立微分方程 根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式，写出初始条件和边界条件。 2）构建差分格式 首先对求解域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局，差分形式和步长；然后以有限差分代替无线微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。 3）求解差分方程 差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程，其求解方法主要包括两种:精确法和近似法。其中精确法又称直接发，主要包括矩阵法，高斯消元法及主元素消元法等；近似法又称间接法，以迭代法为主，主要包括直接迭代法，间接迭代法以及超松弛迭代法。4）精度分析和检验 对所得到的数值进行精度与收敛性分析和检验。 4商用有限差分软件简介 商用有限差分软件主要包括FLAC、UDEC/3DEC和PFC程序，其中，FLAC是一个基于显式有限差分法的连续介质程序，主要用来进行土质、岩石和其他材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析；UDEC/3DEC是针对岩体不连续问题开发，用于模拟非连续介质在静，动态载荷作用下的反应；PFC是利用显式差分算法和离散元理论开发的微、细观力学程序，它是从介质的基本粒子结构的角度考虑介质的基本力学特性，并认为给定介质在不同应力条件下的基本特征主要取决于粒子之间接粗状态的变化，适用于研究粒状集合体的破裂和破裂发展问题，以及颗粒的流动(大位移）问题。

经济应用数学习题及答案

经济应用数学习题 第一章 极限和连续 填空题 1. sin lim x x x →∞= 0 ； 2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = 2 5. 2lim(1)x x x →∞-=2 -e 选择题 1.02lim 5arcsin x x x →= （ C ） （A ） 0 （B ）不存在 （C ） 2 5 （D ）1 2.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 计算题 1. 求极限 20cos 1 lim 2x x x →- 解：20cos 1lim 2x x x →-＝41 4sin lim 0-=-→x x x 2. x x x 1 0)4 1(lim -→＝41 )41 (4 0)41(lim ---→=-e x x x 3. 2 01 lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x 导数和微分 填空题 1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2 '')]([) ()()()(x v x v x u x v x u -

2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 --+→用A 的 代数式表示为 A 5 ； 32 )(x e x f =，则x f x f x ) 1()21(lim --→= 4e - 。 2 (12)(1) '()2,lim 2'(1)4x x f x f f x xe f e x →--==-=-解 选择题 1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 0 00()()lim x x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000 ()() lim x x f x f x x x →--不存在 （C ） 00()()lim x x f x f x x →+ -存在 （D ） 00()() lim x f x f x x ?→-?不存在 2. 设)(x f 在0x 处可导，且0 001 lim (2)()4 x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 （ D ） （A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ） （A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0() lim x f x x → 等于（ B ） （A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1 (0)2 f ' 5. 函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ） （A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f

数学与应用数学专业的发展

数学与应用数学专业的发展 数学与应用数学专业是国内各大高校的重点专业，培养理论与实践双能型的人才，应该重视这门学科的发展。但是新型学科在发展的道路上，还要不断进行改革创新，不断完善它的体系与理念，培养出数理理论功底深厚、实践能力强的专业型、技术型人才。同时，也应加强学科建设，弥补体系缺陷，将数学与应用数学推向更高峰。 1 数学与应用数学专业的人才培养 1.1 通过理论教育培养人才 在传统教育理念中，学生主要是通过教师传道授业解惑这一过程获取知识，换句话说，人才培养主要是指在学校学习理论知识。在中国，从学生接受教育开始，就会接触到数学这一门学科，它为今后的学习打下了坚固的理论基础。 数学与应用数学专业包含很多分支，面对许多的科目，在学习过程中也需要记忆，例如公式、单位、图形理解等，这样才能拥有扎实的理论功底。当然，教师的讲解也是不可忽视的一部分，学校应注重教师质量，聘请高素质的人才队伍进行教学。当前社会应用数学发展的势头很迅猛，社会发展需要新的人才源源不断的注入新的活力。只有掌握了充足的理论，才能进行实践，因此，数学与应用数学在人才培养上要以理论教育为主，实践为辅，才能取得新发展。 1.2 通过实践教育培养人才 伴随着改革开放，教育教育也迎来了全面的改革，人才强国、科教兴国的战略使我们的教育方式也有所改变，不再是单一的教学模板，而是融入了实践教学模式。通过这一方式，可以更加有效地激发学生的学习兴趣，实践证明学习效果也很显著。理论与实践相结合，灵活运用实践教学，帮助学生巩固理论知识。学校都设有专门的实验室，老师先讲解理论知识点，再将学生带到实验室，进行实践操作，比如，物理上的电流、电路测试实验，化学上化学物质之间的化学反应实验等，在实验的过程中就会加深理解，完全掌握原理。 数学与应用数学专业的学科课程也包括数学实验这一模块，要求学生具备运用专业基础知识解决问题的能力，因此有条件的学校要加大投入，完善学校的硬件设施，给学生提供实验的平台，使学生能够自由的参与实验。另一方面，国家政策也要给予支持，加大科研资金的投入。 实践证明，只有理论与实践相结合的教育方式才是最适合学生的，才能够充分发挥学生的创造力，培养出专业人才，而数学与应用数学这一专业尤其如此，这样才能促进学科更好的发展。 2 数学与应用数学专业的学科建设 数学与应用数学的发展不是一帆风顺的，它面临着很多挑战和机遇。信息时代来临，信息技术发展迅速，并渗透到社会的各个方面，以计算机为媒介的信息传播快，范围广，并深刻影响着经济、政治、科技、教育等各个方面。在这种情况下，教育也受到影响，数学与应用数学与信息关系密切，这对数学与应用数学专业是一个机遇。 同时，信息社会也是一把双刃剑，意味着专业体系要有所变革，学科内容应适当增加和修改。信息化社会应与国际接轨，向更宽阔的平台学习，借鉴外国的学科设计，尝试建立起一套更先进完善的学科体系。学生学习以学科为基准，学科体系更完备，知识体系也就能够完备。专业课程有专业课也有公共课，在公共课这一方面就根据学生的个人兴趣选择，开设的学科趋向人性化和国际化。 3 数学与应用数学的课程理论改革 每个专业都有自己的一套完备的体系作支撑，并以体系来指导教学数学与应用数学专业课程，按什么（下转第85页）（上接第63页）顺序进行教学，专业课程有哪些，都是课程体系的内容。

经济应用数学二(线性代数)

一、 单项选择题 共 32 题 1、 若A 为4阶方阵, 且|A|=5，则|3A|=( )。 A . 15 B . 60 C . 405 D . 45 2、 下列命题中正确的是（ ）。 A . 任意n 个n +1维向量线性相关； B . 任意n 个n +1维向量线性无关； C . 任意n + 1个n 维向量线性相关； D . 任意n + 1个n 维向量线性无关. 3、 方阵A 满足A 3=0，则(E+A+A 2)(E-A) =（ ）。 A . E B . E-A C . E+A D . A 4 、 A . 解向量 B . 基础解系 C . 通解 D . A 的行向量 5、 n 维向量组α1,α2,…αs （3≤ s≤ n ） 线性 无关的充要条件是α1,α2,…αs 中（ ）。 A . 任意两个向量都线性无关 B . 存在一个向量不能用其余向量线性表示 C . 任一个向量都不能用其余向量线 性表示 D . 不含零向量 6、 对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是 （ ）。 A . 两矩阵的特征值相同； B . 两矩阵的秩相等； C . 两矩阵的特征向量相同； D . 两矩阵都是方阵。 7、 设λ=-3是方阵A 的一个特征值，则A 可逆时，A -1的一个特征值是 （ ）。 A . -3 B . 3 C .

D . 8、一个四元正定二次型的规范形为（）。 A . B . C . D . 9、设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0， 则有（）。 A . |A|=0 B . |E+B|=0 C . |A|=0 或|E+B|=0 D . |A|=0且|E+B|=0 10、矩阵A的秩为r，则知（）。 A . A中所有r阶子式不为0； B . A中所有r+1阶子式都为0； C . r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不 为0； D . r-1阶子式都为0。 11、设A是m×k矩阵, B是m×n矩阵, C 是s×k矩阵, D是s×n矩阵,且k≠n, 则下列 结论错误的是（）。 A . B T A是n×k矩阵 B . C T D是n×k矩阵 C . B D T是m×s矩阵 D . D T C是n×k矩阵 12、设A , B均为n 阶方阵, 下面结论正 确的是（）。 A . 若A ,B均可逆, 则A + B 可逆 B . 若A ,B均可逆, 则AB 可逆 C . 若A + B可逆, 则A- B 可逆 D . 若A + B可逆, 则A, B均可逆 13、设A为三阶方阵，且A2=0，以下成 立的是（）。 A . A=0 B . A3=0 C . R(A)=0 D . R(A)=3 14、t满足（）时， 线性无关。 A . t≠1； B . t=1 ；

经济应用数学习题及答案

经济应用数学习题 第一章 极限和连续 填空题 1. sin lim x x x →∞=0 ； 2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = 2 5. 2lim(1)x x x →∞-=2-e 选择题 1.02lim 5arcsin x x x →= （ C ） （A ） 0 （B ）不存在 （C ）25 （D ）1 2.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 计算题 1. 求极限 2 0cos 1lim 2x x x →- 解：20cos 1lim 2x x x →-＝414sin lim 0-=-→x x x 2. x x x 10)41(lim -→＝41)41(40)4 1(lim ---→=-e x x x 3. 201lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x 导数和微分 填空题 1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2'')] ([)()()()(x v x v x u x v x u - 2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h h x f h x f h )3()2(lim 000--+→用A 的

代数式表示为 A 5 ； 32)(x e x f =，则x f x f x )1()21(lim 0--→= 4e - 。 20(12)(1)'()2,lim 2'(1)4x x f x f f x xe f e x →--==-=-解 选择题 1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000()()lim x x f x f x x x →--不存在 （C ） 00()()lim x x f x f x x →+-存在 （D ） 00()()lim x f x f x x ?→-?不存在 2. 设)(x f 在0x 处可导，且0001lim (2)()4 x x f x x f x →=--，则0()f x '等于（ D ） （A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ） （A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f x x → 等于（ B ） （A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1(0)2f ' 5. 函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ） （A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f （C ） 2)()]('[x f e x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 6函数 x x x f )1()(-=的导数为（ D ） （A ）x x x )1(- （B ） 1)1(--x x （C ）x x x ln （D ） )]1ln(1[ )1(-+--x x x x x

数学与应用数学专业的发展

数学与应用数学专业的发展 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 数学与应用数学专业的发展 数学与应用数学专业是国内各大高校的重点专业，培养理论与实践双能型的人才，应该重视这门学科的发展。但是新型学科在发展的道路上，还要不断进行改革创新，不断完善它的体系与理念，培养出数理理论功底深厚、实践能力强的专业型、技术型人才。同时，也应加强学科建设，弥补体系缺陷，将数学与应用数学推向更高峰。 1 数学与应用数学专业的人才培养 通过理论教育培养人才 在传统教育理念中，学生主要是通过教师传道授业解惑这一过程获取知识，换句话说，人才培养主要是指在学校学习理论知识。在中国，从学生接受教育开始，就会接触到数学这一门学科，它为今后的学习打下了坚固的理论基础。 数学与应用数学专业包含很多分支，面对许多的科目，在学习过程中也需要记忆，例如公式、单位、图形理解等，这样才能拥有扎实的理论功底。当然，

教师的讲解也是不可忽视的一部分，学校应注重教师质量，聘请高素质的人才队伍进行教学。当前社会应用数学发展的势头很迅猛本文由论文联盟http://收集整理，社会发展需要新的人才源源不断的注入新的活力。只有掌握了充足的理论，才能进行实践，因此，数学与应用数学在人才培养上要以理论教育为主，实践为辅，才能取得新发展。 通过实践教育培养人才 伴随着改革开放，教育教育也迎来了全面的改革，人才强国、科教兴国的战略使我们的教育方式也有所改变，不再是单一的教学模板，而是融入了实践教学模式。通过这一方式，可以更加有效地激发学生的学习兴趣，实践证明学习效果也很显著。理论与实践相结合，灵活运用实践教学，帮助学生巩固理论知识。学校都设有专门的实验室，老师先讲解理论知识点，再将学生带到实验室，进行实践操作，比如，物理上的电流、电路测试实验，化学上化学物质之间的化学反应实验等，在实验的过程中就会加深理解，完全掌握原理。 数学与应用数学专业的学科课程也包括数学实验这一模块，要求学生具备运用专业基础知识解决问题的能力，因此有条件的学校要加大投入，完善学校

经济应用数学(习题参考答案)

习题参考答案 第1章 函数、极限与连续 习题1.1 1．（1）不同，因为它们的定义域不同； （2）不同，因为它们的定义域和对应法则都不同． 2．（1）[2,1)(1,2]-U ；（2）(3,3)-． 3．2,4 1, 1． 4．（1）12,,ln 2+===x v v u u y ； （2）13,sin ,2+===x v v u u y ； （3）x u u y ln 1,5+==； （4）52,sin ,,2+==-==x t t v v u e y u ． 5．(100)2000C =，(100)20C =． 6．22 14)(x x x R -=． 7.（1）25000；（2）13000；（3）1000． 8．()1052p Q p =+?． 9．130,(0700)9100117,(7001000) x x y x x ≤≤?=?+<≤?． 习题1.2 1．（1）0； （2）0； （3）1； （4）0； （5）24； （6）41； （7）1； （8）4 1； （9）0； （10）∞． 2．（1）无穷大； （2）无穷大； （3）无穷小； （4）无穷小；

（5）无穷小； （6）无穷大； （7）无穷大； （8）无穷大． 3．（1）2；（2）1；（3）53；（4）4e ；（5）e 1；（6）21 e ；（7）4；（8）0． 4．000lim ()lim ()lim ()1x x x f x f x f x +-→→→===-． 习题1.3 1．（1）32；（2）2sin 2；（3）0；（4）2；（5）2 1；（6）∞． 2．不连续；图形略． 3．2=k ．因为函数()f x 在其定义域内连续，即在0=x 也联系，则()0lim (0)x f x f →=， 即()()00lim lim x x f x f x k ++→→==，0 lim ()2x f x -→=，所以2=k ． 4．略． 习题1.4 1．本利和1186.3元，利息186.3元；本利和1164.92元，利息164.92元． 2．1173.51元；x e y ?-=1.06000，4912.39元，4444.91元，3639.19元，2979.51元． 第1章 复习题 1．（-2，2），图形略． 2．（1）13,-== x u u y ； （2）x u u y 21,3+==； （3）x u u y ln 2,10+==； （4）2,,x v e u e y v u ===-； （5）x v v u u y = ==,ln ,； （6）x t t w w v v u u y 2,cos ,,lg ,22=====． 3．（1）()1200010C q q =+；（2）()30R q q =；（3）()2012000L q q =-． 4．280,(0900)22450400,(9002000) q q R q q ?=?+

经济应用数学试题B卷及参考答案

经济应用数学试题(B) 一、选择题：（每小题2分，共20分） 1. 函数1 1 2+-= x x y 的定义域是（ B ）。 A. ]1 , 1[- B. ) , 1 [)1 , (∞+--∞ C. ) , (∞+-∞ D. ) , 1()1 , (∞+---∞ 2. =→x x x sin lim 0（ C ）。 A. -1 B. 0 C. 1 D.∞ 3. 2ln )(x x f =,则=dy （ D ）。 A. dx x 2 1 B. dx x x ln 2 C.xdx ln 2 D. dx x 2 4. ='?dx x f )(（ A ）。 A. C x f +)( B. C x f +')( C. )(x f D. )(x f ' 5. 下列函数在) , 0(∞+内单调增加的是( B )。 A.x y sin = B. x y ln = C. x y cos = D.21x y -= 6. )(x f 在点0x x =处连续，是极限)(lim 0 x f x x →存在的（ A ）。 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 7. 4 31 )(2-+-=x x x x f 的间断点有（ A ）。 A.2个 B. 1个 C. 3个 D. 0个 8. 1.2x 的一个原函数是（ D ）。 A. 11.2+x B. 21.3+x C. 21.31.3+x D. 51 .311 .3+x 9. ),(y x f 在点) , (00y x 处连续是),(y x f z =在点) , (00y x 处存在一阶偏导数的（ D ）。 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分，又非必要条件 10. 设D 是圆环域4222≤+≤y x ，则??=D dxdy （ C ）。 A. π12 B. π8 C. π2 D. π 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. ='-'])1([f 0 2. 1)(2-=x x f ，关于y 轴对称 3. =+-+-+∞→4 31 32lim 323x x x x x x 2

经济应用数学B

四川文化产业职业学院2014-2015学年第一学期 《经济应用数学》试卷Ｂ卷 答卷说明：1、本试卷共5页，四个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、本次考试为闭卷考试。 2分，共20分，请把答案填到直线上） 1． x x x x sin lim + → = ． 2．曲线x x y- =3在点（1，0）处的切线方程是． 3．函数1 1 y x = - 的定义域是． 4．若c x x x f x+ + = ?22 2 d) (，则= ) (x f． 5．当a时，矩阵? ? ? ? ? ? - = a A 1 3 1 可逆. 6．设B A,为两个已知矩阵，且B I-可逆，则方程X BX A= +的解= X．7．齐次线性方程组0 = AX的系数矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 1 3 2 1 1 A则此方程组的一般解为 . 8．线性方程组A X b =的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + - → 1 1 1 2 4 1 2 1 d A 则当d时，方程组A X b =有无穷多解. 9．A为43 ?矩阵，B为24 ?矩阵，C为42 ?矩阵，则''' A B C为矩阵。10．线性方程组AX=B中，A为35 ?的矩阵且秩r(A)＝2，相应的齐次方程组基

础解系中解向量个数为 。 1分，共5分及注意事项) 1．若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim 0 ，但)(0x f A ≠ C ．函数f (x )在点x 0处连续 D ．函数f (x )在点x 0处可微 2.设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立. A ．A B = A C ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BA D ．AB = 0，则有A = 0，或B = 0 3.某厂生产的零件合格率约为99%，零件出厂时每200个装一盒，设每盒中的不合格数为Ｘ，则Ｘ通常服从（ ） A ．正态分布 B ．均匀分布 C ．泊松分布 D ．二项分布 4. 设甲乙两人进行象棋比赛，考虑事件A 表示“甲胜乙负”，则A 为( ) A ．“甲负乙胜” B ．“甲乙平局” C ．“甲负” D ．“甲负或平局” 5.设()0P AB =，则( ) Ａ．A 和B 不相容 B ．A 和B 独立 C ．()()0 B 0P A P ==或 D ．()()P A B P A -= 分及注意事项) 1． x x x x )e ln(lim 0+→（7分） 2．x y x cos e sin +=,求dy （7分）

数学与应用数学(师范)专业

数学与应用数学（师范）专业 四年制本科培养方案 一、培养目标与人才规格 本专业培养德智体全面发展，具有较扎实的专业基础理论、基本知识和基本技能，能适应21世纪发达地区较高的教育要求，胜任基础教育由应试教育向素质教育转轨任务的高素质的中等学校数学教师和教育类人才。同时为更高层次的学历教育输送合格的生源。 本专业的人才规格： 1. 具有健康的身心素质，具有良好的政治品质、思想文化修养和职业道德，热爱教育事业； 2. 掌握本专业所必需的基本理论、基本知识和基本技能，在数学、计算机应用等方面有较扎实的基础、较宽的知识面和修养；受到严格的科学思维训练，初步掌握数学科学的思想方法；具有一定的更新知识、继续学习的能力和应用数学解决实际问题的能力； 3. 能较熟练使用计算机，掌握一些常用计算机语言和数学软件； 4. 具有一定的教学能力和参与社会活动的能力，具备本专业领域初步的科研能力； 5．具有较好的外语水平，在听、说、读、写四个方面全面发展；掌握文献检索、资料查询的基本方法，能运用一种外语阅读专业文献。 6. 具有一定的体育和军事基本知识，掌握科学锻炼身体的基本技能，养成良好的体育锻炼和卫生习惯，受到必要的军事训练，达到国家规定的大学生体育和军事训练合格标准，具备健全的心理和健康的体魄，能够履行建设祖国和保卫祖国的神圣义务。 二、学制 本专业的标准学制为4年，有效学习年限为6学年。 三、学分要求 本专业总学时数为2844，总学分数为167，其中专业必修课中的学位课程为45学分。 四、本专业课程结构特点说明 1．数学基础课程 本部分课程是本专业学生所必须具备的知识，主干课程为：数学分析、高等代数、解析几何、概率论, 数学建模等。 2．专业基础课程 本部分课程是本专业学生为胜任中等学校数学教学工作必须具备的知识，主干课程为：初等数学研究（代数、几何）、数学教育学等。 3. 计算机软件类课程 这部分课程使学生开拓知识面。培养学生具有一定的教学研究能力。主要课程为：C++程序设计，数学试验与数学软件选讲、计算机辅助教育等。 五、毕业与获得学位的条件 参见上海师范大学《学生学习指南》（2013年版）中“实施学分制学生学籍管理办法”及“上海师范大学关于学士学位授予的规定”。

经济应用数学习题及答案

经济应用数学习题及答 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

经济应用数学习题 第一章 极限和连续 填空题 1. sin lim x x x →∞=0 ； 2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = 2 5. 2lim(1)x x x →∞-= 2 -e 选择题 1. 02lim 5arcsin x x x →= （ C ） （A ） 0 （B ）不存在 （C ） 2 5 （D ）1 2.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 计算题 1. 求极限 20cos 1 lim 2x x x →- 解：20cos 1lim 2x x x →-＝41 4sin lim 0-=-→x x x 2. x x x 1 0)41(lim -→＝41 ) 41 (4 0) 4 1(lim ---→=-e x x x 3. 2 01 lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x 导数和微分 填空题 1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2 '')] ([) ()()()(x v x v x u x v x u -

2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 --+→用A 的 代数式表示为 A 5 ； 32 )(x e x f =，则x f x f x ) 1()21(lim --→= 4e - 。 2 (12)(1) '()2,lim 2'(1)4x x f x f f x xe f e x →--==-=-解 选择题 1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 0 00()()lim x x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000 ()() lim x x f x f x x x →--不存在 （C ） 00()()lim x x f x f x x →+ -存在 （D ） 00()() lim x f x f x x ?→-?不存在 2. 设)(x f 在0x 处可导，且0 001 lim (2)()4 x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 （ D ） （A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ） （A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0() lim x f x x → 等于（ B ） （A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1 (0)2f ' 5. 函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ） （A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f （C ） 2)()]('[x f e x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f +

数学与应用数学专业排名

数学与应用数学专业排名 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 数学与应用数学专业排名 这个是排名~能考上北大那是最好的~ 北京大学 复旦大学 南开大学 浙江大学 中国科学技术大学 北京师范大学 清华大学 吉林大学 山东大学 西安交通大学 四川大学 大连理工大学 南京大学 武汉大学

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2011年热门大学,专业排行,志愿填报延伸阅读-------------- 一.填志愿，学校为先还是专业为先？ 一本院校里有名校、一般重点大学，学校之间的层次和教育资源配置，还是有较大差异的。在一本院校中，选学校可能更重要一些。学校的品牌对学生未来就业会产生一定影响。如果你进了名校，但没能进入自己最喜爱的专业，你还可以通过辅修专业等方式，来完善学科知识结构。而且，如今大学生就业专业对口的比例越来越小了，进入一所积淀深厚、资源丰富的学校，有助于全面提升自己的素质与能力。 二本院校中，大部分学校都有鲜明的单科特色。建议考生结合自己的特长、兴趣爱好，以专业为导向来选择学校。 二.如何看待专业“冷门”“热门”？ 专业的热门与冷门，随着经济和社会形势的变化而变化。有些专业，看起来热门，许多学校都开设，招收了许多

学生，导致若干年后人才过剩。有的专业，在招生时显得冷门，但毕业生就业时因为社会需求旺盛，学生成了“抢手货”，而且个人收益也不错。家长可以帮助学生，收集多方信息，对一些行业的发展前景进行预测，带着前瞻性的眼光去填当下的高考志愿。同时，学生也要从自己的特长与兴趣出发来选择专业，有兴趣才能学得更好，日后在就业竞争中脱颖而出。 高校新专业的产生有不同的“源头”。有的是在老专业基础上诞生的，专业内容变得更宽泛一些，此类新专业的分数线通常与往年差不多。有的是某一老专业与其他学科交叉而产生的，这类新专业在培养实力方面可能比老专业弱一些。有的是根据社会需求而设置的全新专业，录取分数线可能会在校内处于较低分数段。 三.高考咨询问些什么？ 4月下旬起，各高校招生咨询会此起彼伏，密度很大。为了提高现场咨询的

经济应用数学教案3.2.3

3.2.3 运输问题数学模型 教学目的：熟练掌握运输问题的表上作业法，掌握图上作业法。 内 容：1. 表上作业法 2. 图上作业法 教学重点：表上作业法、图上作业法 教学难点：表上作业法 教 具：多媒体课件 教学方法：启发式教学，精讲多练 教学过程： 1.引入新课： 由研究配送、运输管理及物资调运等问题引出运输问题数学模型，并给出解决运输问题数学模型的方法：表上作业法与图上作业法。 2.教学内容： 一、表上作业法 【例1】设某种物资有A 1、A 2、A 3三个产地和B 1、B 2、B 3、 B 4四个销地，各产地的产量分别为25吨、25吨和80吨，各销地的销量分别为45吨、20吨、30吨和35吨。由各产地到各销地的单位运价见表1。问如何安排供应才能使得总运费最省（最优调运方案）？ 解 设ij x 表示由产地i A 运往销地j B 物质数量（1,2,3;1,2,3,4i j ==），即供应数量，S 为总运费。 由题意可得运输问题的数学模型为： 1112341112131421222324 31323334112131122232132333142434min 85925258045 ..203035 0(1,2,3;1,2,3,4)ij S x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x i j =++++++=??+++=??+++=? ++=?? ++=??++=? ++=??≥==? 约束条件实际上只有6个独立的方程。此问题有3416+-=个基变量，其它是非基变量。 一般地，如果一个运输问题有 m 个产地，n 个销地，则该运输问题的数学模型可表示为： 11 11 min (1,2,,)..(1,2,,)0(1,2,,;1,2,,)m n ij ij i j n ij i j m ij j i ij S c x x a i m s t x b j n x i m j n =====?==???==???≥==?? ∑∑∑∑

微分方程与差分方程详细讲解与例题

第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。

数学与应用数学专业课程描述

数学与应用数学专业课程描述 Course Description for the Mathematics and Applied Mathematics 1.基本信息 姓名： 学号： 学院：数学与计算科学学院 专业：数学与应用数学 1．Basic information Name: Students No.: College: Mathematics and Computational Science Specialty:Mathematics and Applied Mathematics 2.教学安排 修业年限：4年（2008.9——2012.7） 拟授学位：理学学士 教学计划：公共必修课53学分，专业必修课40 学分，专业选修课2学分，校公选课8学分， 共 103学分; 2. Teaching arrangements Duration of studying: Four years (From September 2008 to July 2012) Academic degree to be conferred: Bachelor’s degree of Science Teaching plan: The required credits have totaled 103 credits, in

which 53 credits are for public compulsory courses; 40 credits for professional compulsory courses; 2 credits for professional courses; 8 credits for public school courses. 3.2008.9-2011.1已修课程描述 3 . Description of the courses which have been completed from September 2008 to January 2010 1.大学英语College English（9学分） 本课程是面向除英语专业外的学生的基础必修课。它的总体目标是为学生打好语言基础、优化学习方法、增加文化积累、拓展逻辑思维能力，为其毕业后事业的发展提供有力的支持。本课程传授基础知识（常用词汇、实用方法、篇章结构、语言功能等），进行全面的基本技能训练. 1． College English (9 Credits ) The course is an basic obligatory course orientated to all the students but the students who only study English . Its overall target is to supply strong support f or the students’ career development after graduation by laying a good language foundation, optimizing the studying methods, increasing cultural accumulation and developing the ability of logic thinking. Through the course, the students have been taught fundamental knowledge (Common vocabulary, practical methods, text structure, language function and so on) in a systematic way and accepted the overall trainings of basic skills.