学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 2．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB
的高度约为（ ）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈）
A ．7.6 米
B ．27.5 米
C ．30.5 米
D ．58.5 米 3．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8m ，坡面上的影长为4m ．已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为2m 且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m ，则树的高度为（ ）
A ．10m
B ．12m
C ．()63m +
D ．()423m - 4．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC 如图放置，则sin ∠ABC 的值为（ ）
A ．52
B ．55
C ．33
D ．1
5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A ．2
B ．255
C ．55
D ．12 6．如图，半径为5的O 中， OA BC ⊥，30ADC ∠=︒，则BC 的长为（ ）
A ．52
B ．53
C ．522
D ．532
7．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD 的内角BCD ∠的大小为（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③
9．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若33CD =，则扇形AOB 的面积为（ ）
A ．12π
B ．2π
C ．4π
D ．24π 10．在半径为1的
O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 11．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122D E E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（ ）
A ．201812⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．201933⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．201833⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
12．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．
若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．2.8
D ．2.5
13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为（ ）
A ．513
B ．1213
C ．512
D ．125
14．河堤横断面如图所示，迎水坡10AB =米，迎水坡AB 的坡比为1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平度AC 之比)，则AC 的长是（ ）
A ．53米
B ．102米
C ．15米
D ．10米
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
二、填空题
15．如图，在ABC 中，6AB BC ==，点O 为BC 中点，点P 是射线AO 上的一个动点，且 60AOC ∠=︒．要使得BCP 为直角三角形，CP 的长为 ________ ．
16．如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以B 为圆心，BD 为半径画弧，交BC 延长线于M 点，以D 为圆心，CD 为半径画弧，交AD 于点N ，则图中阴影部分的面积是________．
17．如果在某建筑物的A 处测得目标B 的俯角为37°，那么从目标B 可以测得这个建筑物的A 处的仰角为_____．
18．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交,AD BC 于,E F 两点．若3,120AC AEO =∠=︒，则FC 的长度为_________，AOE
S 等于_____．
19．01sin 4513(32018)6tan 302
--+-+︒︒=________． 20．如图，在Rt ABC 中，,906A AC cm ∠==，8AB cm =，把AB 边翻折，使边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则tan DBE ∠的值为_______ ．
21．如图所示，ABO 中，AB OB ⊥，OA=2，AB=1，把ABO 绕点O 旋转150°后得到11A B O ，则点1A 的坐标为_______
22．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠D=60°，∠A ＝105°，∠B ＝120°，则AD BC
的值为__________．
23．如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1．点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）．设点M 转过的路程为m （01m <<），，随着点M 的转动，当m 从
13
变化到23时，点N 相应移动的路径长为___．
24．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB ,BC 长为6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号）
25．乐乐同学的身高为166cm ，测得他站立在阳光下的影长为83cm ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为103cm ，那么乐乐竖直举起的手臂超出头顶的长度约为
___________cm ．
26．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，10BC =，3sin 5
B ∠=，D 是B
C 边上的一个动点（异于B 、C 两点），过点
D 分别作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为
E 、
F ，则EF 的最小值是________．
三、解答题
27．在平面直角坐标系xOy 中，
O 的半径为1．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为O 上任意一点，如果,P Q 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“圆距”，记作()d M ．如图，已知点()2,0A ．
（1）直接写出d （点A ）的值；
（2）设T 是直线24y x =-+上一点，以为T 圆心，1长为半径作T ．若()d T 满足()612d O ≤≤，求圆心T 的横坐标x 的取值范围；
（3）过点A 画直线2y kx k =-与y 轴交于点B ，当d (线段AB ）取最小值时，直接写出k 的取值范围．
28．如图，ABC 是O 的内接三角形，60BAC ∠=︒，设O 的半径为2． （1）求BC 的长；
（2）求弧BC 与弦BC 围成的图形面积（结果保留)π．
29．如图，在△CFE 中，CF ＝6，CE ＝12，∠FCE ＝45°，以点C 为圆心，以任意长为半径作AD ，再分别以点A 和点D 为圆心，大于12
AD 长为半径作弧，交EF 于点B ，AB //CD ．
（1）求证：四边形ACDB 为菱形；
（2）求四边形ACDB 的面积． 30．计算： 11126tan 60|2433-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭
．
【参考答案】
一、选择题
1．C
2．C
3．C
4．B
5．D
6．B
7．D
8．A
9．A
10．C
11．D
12．C
13．B
14．A
二、填空题
15．或3或【分析】利用分类讨论①当∠BPC=90°时情况一：如图1利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO易得△BOP为等边三角形利用锐角三角函数可得CP的长；情况二：如图2利用直角三角形斜
16．【分析】先根据矩形的性质勾股定理可得再利用正弦三角函数可得然后根据即可得
【详解】四边形ABCD是矩形在中则即图中阴影部分的面积是故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质正弦三角函数扇形的面积公式等知识
17．37°【分析】由俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°【详解】如图∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°故
18．1【分析】先根据矩形的性质推理得到OF=CF再根据Rt△BOF求得OF的长即可得到CF的长再由三角形面积公式可得结论【详解】解：
∵EF⊥BD∠AEO=120°∴∠DEO=60°∠EDO=30°∵四边
19．【分析】先计算特殊角的三角函数值化简绝对值零指数幂再计算实数的混合运算即可得【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值绝对值零指数幂实数的运算熟记各运算法则是解题关键
20．【分析】先由勾股定理求得BC=10然后由翻折的性质可知CE=2设AD=x则DE=xCD=6-x 在Rt△DCE中利用勾股定理可求得DE的长从而可求得tan∠DBE的值【详解】解：在
Rt△ABC中由勾股
21．或(-20)【分析】需要分类讨论：在把绕点顺时针旋转和逆时针旋转后得到时点的坐标【详解】解：中∴如图1当绕点顺时针旋转后得到△过作轴交于点则则可得：即有因为在第三象限则的坐标是；如图2当绕点逆时针旋
22．【分析】沿AB作垂线与C的延长线相交于M点可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形根据三角函数求解即可【详解】解：如图连接AC并过B点作BM⊥CM设BM=k∵AD＝CD∠D=60°∴△ACD是
23．【分析】当m从变化到时点N相应移动的路经是一条线段只需考虑始点和终点位置即可解决问题当m=时连接PM如图1点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的从而可得到旋转角为120°则∠APM=120°根据PA=
24．【分析】过C作CE⊥AB于EDF⊥AB于F分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解【详解】解：过C作CE⊥AB于EDF⊥AB于F可得矩形CEFD和Rt△CEB与
Rt△DFA∵BC=6∴
25．40【分析】如下图利用∠BCA=∠E可得对应的正切值相等转化为线段比可得BD长【详解】如下图AB为乐乐身高BD是乐乐手臂超出头顶部分AC是乐乐站立在阳光下的影长AE是乐乐举起手臂后的影长根据题意AC
26．【分析】先利用求得AC的长再证明四边形AEDF是矩形推出EF＝AD根据垂线段最短
即可解决问题；【详解】解：如图连接AD 在△ABC 中∵∠BAC ＝90°∴∴AC ＝6∴AB ＝＝10∵DF ⊥ACDE ⊥BC ∴
三、解答题
27．
28．
29．
30．
【参考解析】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】 根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02
A -
=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】 解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝
⎭， 1cos 02
A ∴-=，1tan 0
B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，
则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊
角的三角函数值是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形得到结论．
【详解】
解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
则四边形BGFC是矩形
∴GF=BC=5，
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF=3k，CF=4k，
∴CD=5k=35，
∴k=7，
∴DF=21，BG=CF=28，
∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，
∵∠AED=52.5°，
∴AG=EG•tan52.5°=45×1.30=58.5，
∴AB=AG-BG=30.5米，
答：铁塔AB的高度约为30.5米．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【详解】
延长AC交BF延长线于D点，作CE⊥BD于E，
则∠CFE=30°，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2（m），EF=4cos30°=23（m），
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为2m、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m，CE=2（m），则CE：DE=2：4=1：2，AB：BD=1：2，
∴DE=4（m），
∴BD=BF+EF+ED=12+23（m），
在Rt△ABD中，AB=1
2
BD=
1
2
(12+23)= 6+3（m），
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
4．B
解析：B
【分析】
作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC＝22
31
+=10，AB＝22
11
+＝2，由△ABC
的面积求出AD＝10
5
，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】
解：作AD⊥BC于D，如图所示：
由勾股定理得：BC22
31
+10，AB22
11
+2，
∵△ABC 的面积＝12BC×AD ＝12×3×1−12×1×1， ∴12×10×AD ＝12×3×1−12
×1×1， 解得：AD ＝105
， ∴sin ∠ABC ＝AD AB =1052
=55； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
连接AC ，根据网格图不难得出=90CAB ∠︒，求出AC 、BC 的长度即可求出ABC ∠的正切值．
【详解】
连接AC ，
由网格图可得：=90CAB ∠︒，
由勾股定理可得：AC 2AB =2
∴tan ABC ∠=
21222AC AB ==． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查网格图中锐角三角函数值的求解，根据网格图构造直角三角形是解题关键． 6．B
解析：B
【分析】
连接OC ，设BC 与OA 交于点E ，根据圆周角定理即可求出∠AOC ，然后根据垂径定理可得BC=2CE ，利用锐角三角函数求出CE ，即可求出结论．
【详解】
解：连接OC，设BC与OA交于点E ∵30
ADC
∠=︒
∴∠AOC=2∠ADC=60°
∵OA BC
⊥
∴BC=2CE，
在Rt△OCE中，CE=OC·sin∠AOC=5
3 2
∴BC=53
故选B．
【点睛】
此题考查的是圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数，掌握圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数是解题关键．
7．D
解析：D
【分析】
作AE⊥BC于E，根据平行四边形的面积=矩形面积的一半，得出AE=1
2
AB，再由三角函数
即可求出∠ABC的度数，即可得到答案．【详解】
解：作AE⊥BC于E，如图所示：
则∠AEB=90°，
根据题意得：平行四边形的面积=BC•AE=1
2 BC•AB，
∴AE=1
2
AB，
∴sinB=12
AE AB =， ∴∠ABC=30°，
∴∠BCD=150°．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数；熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
证明AC ∥DE ，再由条件CE ∥AD 可证明四边形ACED 是平行四边形；根据线段的垂直平分
线证明AE=EB 可得△BCE 是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=
出AB 长可得四边形ACEB 的周长是10+
【详解】
①∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC ∥DE ，
∵CE ∥AD ，
∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确；
②∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，
∴EC=EB ，
∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
∴AD=4
，CD=cos30AD ⋅︒=
∵四边形ACED 是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB ，
∴EB=4，DB=
∴BC=
∴
==
∴
四边形ACEB 的周长是10+③正确；
综上，①②③均正确，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方
法．等腰三角形的判定方法．
9．A
解析：A
【分析】
如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH ⊥AB 于H ．
∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．
∴CD 是△APB 的中位线，
∴AB ＝2CD ＝63
∵OH ⊥AB ，
∴BH ＝AH ＝33
∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，
∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，
在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO
， ∴AO ＝336sin 3
AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360
ππ=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．C
解析：C
【分析】
根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD=3222
AE =， ．
sin ∠3∴∠AOD=60°； sin ∠2，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C ．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
11．D
解析：D
【分析】
利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
【详解】
解：∵∠B 1C 1O=60°，B 1C 1//B 2C 2//B 3C 3，
∴∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°， ∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12
， 则B 2C 2= 2230B E cos = 1
23= 13(， 同理可得：B 3C 3= 13= 23(， 故正方形A n B n C n D n 的边长是：133n -． 则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：20183)3
． 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.
12．C
解析：C
【分析】
连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝
60°，AE ＝AD ＝DE ＝△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中
点，BF ＝CF EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．
【详解】
如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝
AB ＝CD ＝2
∵BC ＝
AB ＝2
由勾股定理可得：
AC 4
∴sin ∠ACB ＝
24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12
∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°
∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝
∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,
∴△EAC 是直角三角形，
由勾股定理可得：
EC
∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°
∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°
∴∠EAB ＝∠EDC
∵EA ＝ED ，AB ＝DC
∴△EAB ≌△EDC
∴EB ＝EC ＝
即△EBC 是等腰三角形
∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．
设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，
∵F 是BC 中点
∴BF ＝CF ＝3，EF ⊥BC
在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：
EF ＝22EB BF -＝()()22273-＝5
∴OF ＝EF －OE ＝5－R
在Rt △OBF 中，22
2BF OF OB 即()()22
235R R +-= 解得：R ＝2.8
∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．
故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识． 13．B
解析：B
【分析】
先根据勾股定理求出BC=12，再利用余弦函数的定义即可求解.
【详解】
解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得，BC 22AB AC -12，
∴sin A ＝
1213
BC AB =， 故选：B ．
【点睛】
此题考查勾股定理以及锐角三角函数的定义，解题关键在于计算出BC 的长度.
14．A
解析：A
【分析】
根据迎水坡AB 的坡比 设,=BC x AC ，然后根据迎水坡AB=10米，利用勾股定理求出x 的值，即可求解．
【详解】
∵迎水坡AB 的坡比
∴,==BC x AC ，
在Rt △ABC 中：222BC AC AB +=
∴)222x 10+=
∴x=5±
∵0x >
∴=5x ∴
5===AC (米)．
故选：A
【点睛】
本题考查了根据坡度和坡角解直角三角形的知识，解答本题的关键是根据坡比设出各边的长度，然后根据勾股定理求解．
二、填空题
15．或3或【分析】利用分类讨论①当∠BPC=90°时情况一：如图1利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO 易得△BOP 为等边三角形利用锐角三角函数可得CP 的长；情况二：如图2利用直角三角形斜
解析：3或 【分析】
利用分类讨论，①当∠BPC=90°时，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO ，易得△BOP 为等边三角形，利用锐角三角函数可得CP 的长；情况二：如图2，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．②当∠CBP=90°时，如图3，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP 的长，利用勾股定理可得CP 的长．
【详解】
解：①当∠CPB=90°时，
情况一：（如图1），
人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试 一、选择题 1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( ) A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定 2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,3 2 sin =A 则AC 的长为( ) A ．6 B ．52 C ．53 D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤ 2 1 ，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-?? 的结果为( ) A.1+tan40° B. 1－tan40° C. tan40°－1 D. tan 2 40°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．348 6．如图,△ABC 中,,90?=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么 CD AC AB -=( ) （A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定 7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么AB DC 的值为( ) A ．sin ∠APC B ．cos ∠AP C C ．tan ∠APC D ．APC ∠tan 1 8．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15m B ．12m C ．9m D ．7m 9． 已知α是锐角，且sin α+cos α= 3 3 2,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 6 1 D. 1 10．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( ) A ．ααtan sin R B ．α αsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．αα sin tan 2R 二、填空题 11. 计算：1 sin 60cos302 - = . 12.ABC △中，90C =∠，若1 tan 2 A =，则sin ______A = 13. 已知山坡的坡度 i =1，则坡角为________． 14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为 33 50 ，则∠A ＝______ 度． 第6题 第7题
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝ ⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 2．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB 的高度约为（ ）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈） A ．7.6 米 B ．27.5 米 C ．30.5 米 D ．58.5 米 3．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8m ，坡面上的影长为4m ．已知斜坡的坡角为30，同一时刻，一根长为2m 且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为4m ，则树的高度为（ ） A ．10m B ．12m C ．()63m + D ．()423m - 4．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC 如图放置，则sin ∠ABC 的值为（ ）
A ．52 B ．55 C ．33 D ．1 5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ） A ．2 B ．255 C ．55 D ．12 6．如图，半径为5的O 中， OA BC ⊥，30ADC ∠=︒，则BC 的长为（ ） A ．52 B ．53 C ．522 D ．532 7．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD 的内角BCD ∠的大小为（ ） A ．100° B ．120° C ．135° D ．150° 8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）
第28章《锐角三角函数》提优拔高测试题 完成时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内） 1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD的值为（） 第1题图第3题图第4题图 2．在△ABC中，若 |sinA-12|+(cosB- 2 3)2=0，则∠C=（） 3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C， OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝ 1 2 ，则AB的长是（）
4．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么AB 的值为（ ） 5．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则tan ∠CAB 的值为（ ） 6．在△ABC 中，若|sinA －12|＋(cosB －12 )2 ＝0，则∠C 的度数是（ ） 7．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）
第7题图 第8题图 第9题图 8．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE 的值为（ ） 9．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为（ ） 10．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=12．点P 是斜边AB 上一个动点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP=x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 5分，共20分） 11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数——解直角三角形 及其应用》同步练习试题 1、测得某坡面垂直高度为2m,水平宽度为4m,则坡度为 [ ] 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，b=310，则a= ，c= ； 3、已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B= ； 4．如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1∶3，BE 为33米，基面AD 宽2米，求路基的高AE ，基底的宽BEC 及坡角B 的度数.（答案可带根号） 5．水坝横断面为等腰梯形，尺寸如图，（单位：米）坡度I= DE AE =1，求坡面倾斜角（坡角），并计算修建长1000米的水坝约需要多少土方？ 6．如图，上午9时，一条船从A 处出发，以20节的速度向正北航行，11时到达B 处，从A ，B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝36°，∠NBC ＝72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是多少海里？ 7．如图，王聪同学拿一把∠ACB ＝30°的小型直角三角尺ABC 目测河流在市区河段的宽度．他先在岸边的点A 顺着30°角的邻边AC 的方向确定河对岸岸边的一棵树M ．然后，沿30°角的对边AB 的方向前进到点B ′，顺着斜边C B ''的方向看见M ，并测得B A '＝100 m ，那么他目测的宽大约为多少？(结果精确到 1m)
8．海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？ 思考·探索·交流 1．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心、500 m为半径的圆形区域为居民区．取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东 75°．已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含 答案） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为 A． 15 tan37︒ B． 15 sin37︒ C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C 【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=AB BC ，则AB=BC•tan C=15tan37°． 故选C． 【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为 A．200米B．2003米 C．400米D．200（3+1）米 【答案】D 【解析】过A作AB⊥MN于B,
在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=， tan AB M BM ∴∠= ， 2003BM ∴=， 在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=， ∴BN =AB =200， ( ) 2003200200 31MN ∴=+=+米. 故选D. 3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度） A ．402cm B ．40cm C ．403cm D ．30cm 【答案】B 【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ， ∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ， 在Rt △ADE 中， ∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴1 40cm.2 DE AD = =
人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》 单元测试题含答案 一、选择题(每题3分，共30分) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( ) A ．sin B ＝23 B ．cos B ＝23 C ．tan B ＝2 3 D ．t an B ＝3 2 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝3 2，BC ＝23，则AC 等于( ) A ．3 B ．4 C ．4 3 D ．6 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( ) A.35 B.34 C.10 5 D ．1 4．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，c os ∠DCA ＝4 5，BC ＝10，则AB 的长是( )[来源:学_科_网] A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sinE 的值为( ) A.12 B.22 C.32 D.33 (第3题) (第4题) (第5题) 6．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( ) A.34 B.43 C.35 D.45
(第6题) (第7题) (第8题) 7．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分不是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( ) A.34 B.43 C.35 D.45 8．如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一条隧道(B ，C 在同一水平面上)．为了测量B ，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地动身，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观看B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( ) A ．100 3 m B ．50 2 m C ．50 3 m D.100 33 m 9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是12，则等腰三角形顶角的度数为( ) A ．30° B ．50° C ．60°或120° D ．30°或150° 10．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为( ) A ．20海里 B ．103海里 C ．202海里 D ．30海里 二、填空题(每题3分，共30分) 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则tanB ＝________．
九年级数学第二十八章《锐角三角函数》同步练习（含答案） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在6×4的正方形网格中，△ABC 的顶点均为格点，则sin ∠ACB = A ． 1 2 B ．2 C ． 25 5 D ． 134 【答案】C 【解析】如图所示， ∵BD =2，CD =1， ∴BC 22 BD CD +2221+5 则sin ∠BCA =BD BC 5 25 故选：C ． 2．cos45°的值等于 A ． 1 2 B 2 C 3 D ．1 【答案】B 【解析】cos45°= 2 2 ，故选B. 3．△ABC 在网络中的位置如图所示，则cos ∠ACB 的值为
A ． 1 2 B ． 2 2 C ． 3 2 D ． 33 【答案】B 【解析】作AD ⊥BC 交CB 的延长线于点D,如图所示： 在Rt △ADC 中，CD =AD ，则AC =2CD ． cos ∠ACB =12 22 CD AC == ， 故选B ． 4．如图，在ABC △中，90C ∠=，2BC =，3AB =，则cos B 的值为 A ． 2 3 B ． 3 2 C ． 5 3 D ． 25 5 【答案】A
【解析】cos B = 2 3 BC AB = ,故选A ． 5．在Rt ABC △中，90C ∠=，若4 cos 5 B = ，则tan A 的值是 A ．3 5 B ．4 5 C ．3 4 D ．43 【答案】D 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，那么tan A 等于 A ．5 13 B ． 12 13 C ．5 12 D ．125 【答案】C 【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，∴tan A =BC AC =5 12 ． 故选：C ． 7．在Rt △ABC 中，∠C=90°， AB=10， AC=8，则∠A 的正弦值等于 A ．3 5 B ． 4 5 C ．3 4 D ．43 【答案】A 【解析】∵AB=10， AC=8， ∴2 2 108-， ∴sin A =63 105 BC AB ==. 故选A. 【名师点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的
人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》检测卷（含答案） 一、选择题（共10小题，4*10=40） 1. 2sin 60°的值等于( ) A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 2. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35 ，则tanB 的值为( ) A ．43 B ．45 C ．54 D ．34 3. 等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则顶角为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，则sin A ＋cos B 的值为( ) A ．14 B ． 3 C ．1＋32 D ．34 5. 设sin 48°＝a ，cos 62°＝b ，tan 48°＝c ，则下列关系式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b 6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( ) A ．35 B ．34 C ．105 D ．1 7. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sin θ－cos θ)2＝( ) A ．15 B ．55 C ．355 D ．95 8. 如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( )
人教版九年级下册数学第二十八章《锐角三角函数》单元试卷（含答案） 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．将Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A ，∠A ′的余弦值的关系为 ( ) A ．cos A ＝cos A ′ B ．cos A ＝3cos A ′ C ．3cos A ＝cos A ′ D ．不能确定 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝15，则tan A 等于( ) A ．2 6 B.62 C.265 D ．24 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2，1)和点B (3，0)，则sin ∠AOB 的值等于( ) A.55 B.52 C.32 D.12 4．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为( ) A.13 B.12 C.22 D ．3 5．如图，在▱ABCD 中，点 E 是AD 的中点，延长BC 到点 F ，使CF ∶BC ＝1∶2，连接DF ，EC .若AB ＝5，AD ＝8，sin B ＝45 ，则DF 的长等于( ) A.10 B.15 C.17 D ．2 5 6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶3，则顶角为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A ＝b a .则下列关系式中不成立的是( ) A ．tan A ·cot A ＝1 B ．sin A ＝tan A ·cos A C ．cos A ＝cot A ·sin A D ．tan 2A ＋cot 2A ＝1 8．已知α为锐角，且3tan 2α－(1＋3)tan α＋1＝0，则α的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．30°或45° D ．45°或60° 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin B ＝45 ，⊙O 过点B ，C 两点，且⊙O 半径r ＝10，则OA 的长为( ) A ．3或5 B ．5 C ．4或5 D ．4 10．如图，梯形ABCD ，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB ＝4，AD ＝6，则tan B ＝( ) A ．2 3 B ．22 C.114 D.554
人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 培 优训练 一、选择题（本大题共10道小题） 1. 下列式子错误．． 的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30° 2. (2022•天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3. (2022•山东威海)如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点．已知坡角为20°，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB 的长度，下列按键顺序正确的是 A ． B ． C ． D ． 4. (2022•湖南长沙•3 分)如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离 灯塔60nmile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是 A ．303nmile B ．60nmile
C．120nmile D．(30+303)nmile 5. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要() A. 4 sinθ 米2B. 4 cosθ 米2 C. (4＋ 4 tanθ ) 米2D. (4＋4tanθ) 米2 6. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为() A. 1 2B. 2 2C. 3 2D. 3 3 7. （2022•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（） A．a cos x+b sin x B．a cos x+b cos x C．a sin x+b cos x D．a sin x+b sin x 8. (2022·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函 数》单元测试卷 一．选择题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定 2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27° C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26° 3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（） A．B．C．2D．2 4．在直角三角形中不能求解的是（） A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角 C．已知两边D．已知两角 5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（） A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（） A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（） A．B．C．D．2 8．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定 9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′ 10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（） A．50m B．50m C．5m D．53m 二．填空题 11．比较大小：sin87°tan47°． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝． 13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈． 14．计算：tan45°+sin260°＝． 15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝． 16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为． 17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732） 18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．
人教版九年级下册数学第二十八章《锐角三角函数》检测卷（含答案） 一、选择题（共10小题，4*10=40） 1. cos60°的值等于( ) A. 12 B. 22 C. 32 D. 32 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sinB 的值为( ) A. 12 B. 22 C. 32 D ．1 3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sinA 的值为( ) A. 512 B. 125 C. 1213 D. 513 4. 若α的余角是30°，则cosα的值是( ) A. 12 B. 32 C. 22 D. 33 5. 对于锐角∠A ，∠B ，如果sin A ＝cos B ，那么∠A 与∠B 的关系一定满足( ) A ．∠A ＝∠ B B ．∠A ＋∠B ＝45° C ．∠A ＋∠B ＝60° D ．∠A ＋∠B ＝90° 6. 如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( ) A ．tan αtan β B ．sin βsin α C ．sin αsin β D ．cos βcos α 7. 小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1) ( )
第28章锐角三角函数 一．选择题（共10小题） 1．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tan C•tan B ＝（） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知A，B都是锐角、且sin A＜sin B，则下列关系正确的是（）A．∠A＞∠B B．tan A＞tan B C．cos A＞cos B D．以上都不正确 3．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（） A．B．C．D．2 4．如果α是锐角，且cosα＝，那么cos（90°﹣α）的值是（）A．B．C．D． 5．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∠B等于（） A．30°B．45°C．60°D．90° 6．如图，△ABC中，∠A＝30°，，AC＝，则AB的长为（） A．B．C．5 D． 7．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD； ③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（）
A．0组B．一组C．二组D．三组 8．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（） A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm 9．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（） A．50B．51 C．50+1 D．101 10．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD 的长）为（）
2022-2023学年人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》单元综合练习题（附答案）一．选择题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cos A＝，那么AB的长是（）A．B．C．D． 2．在锐角三角形ABC中，若tan A＝3，那么cos A的值为（） A．B．C．D． 3．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（） A．75°B．90°C．105°D．120° 4．用科学计算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（）A．cotαB．tanαC．cosαD．sinα 5．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA ＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B．则sin B•sadA＝（） A．B．1C．D．2 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（） A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH
7．如图，一根电线杆PO垂直于地面，并用两根拉线P A，PB固定，量得∠P AO＝α，∠PBO ＝β，则拉线P A，PB的长度之比＝（） A．B．C．D． 8．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度＝1：，AB＝6m，则BC的长是（） A．m B．3m C．m D．6m 9．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，斜坡与教学楼剖面在同一平面内，已知斜坡CD 的长为6m，坡度i＝1：0.75，教学楼底部到斜坡底部的水平距离AC＝8m，在教学楼顶部B点测得斜坡顶部D点的俯角为46°，则教学楼的高度约为（） （参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04） A．12.1m B．13.3m C．16.9m D．18.1m 10．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（） A．B．C．D．
第 28 章《锐角三角函数》单元培优检测题 一．选择题 1．如图，在边长为 1 的小正方形构成的网格中，△ ABC的三个极点均在格点上，则tan∠ ABC 的值为（） A．B．C．D． 2．在 Rt △ ABC 中，∠ C＝ 90°，那么 sin∠ B 等于（） A．B．C．D． 3．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（） A ．30° B ．45°C． 50°D． 60° 4．如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD 的距离为3m，从 D 点测得指示牌顶端 A 点和底端 C 点的仰角分别是60°和 45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（） A．3B．3C．3﹣3D．3﹣3 5．在直角坐标系中， P 是第一象限内的点， OP 与 x 轴正半轴的夹角α的正切值是，则cosα的值是（） A．B．C．D． 6．如图， Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，AB＝ 5，AC＝ 4，CD⊥ AB 于 D，则 tan∠ BCD 的值为（）
A．B．C．D． 7．如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30°，测得底部 C 的俯角为 60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为 90m，那么该建筑物的高度BC 约为（） A ．100m B ．120m C． 100m D． 120m 8．如图，在Rt△ ABC 中，∠ A＝ 90°，AB ＝ 6，AC＝ 8，点 D 为边 BC 的中点，点 M 为边 AB 上的一动点，点N 为边 AC 上的一动点，且∠MDN ＝ 90°，则 sin∠ DMN 为（） A．B．C．D． 9．如图，从地面 B 处测得热气球 A 的仰角为45°，从地面 C 处测得热气球 A 的仰角为 30°，若 BC 为 240 米则热气球 A 的高度为（） A ．120 米 B ．120（﹣1）米C． 240 米D． 120（+1）米10．已知在Rt△ AB C 中，∠ C＝ 90°， BC＝ 5，那么 AB 的长为（） A ．5sinA B ．5cosA C．D．
九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试 一、选择题 1、3tan60°的值为（） A． B． C． D．3 2、sin45°的值等于（） A． B．1 C． D． 3、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（） A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA= 4、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（） A． B． C．2 D．
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是 （） A． B． C． D． 6、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为 A． B．C．D ． 7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（） A．4 B．6 C．8 D．10 8、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为 （）
A． 3cm B． 6cm C．cm D．cm 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C 处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－ 10)海里 二、填空题 10、计算：= . 11、如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值 是． 12、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测
人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（） A1B．2C．1D1 2、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折起，使顶点C落在C′处，若AB = 4，DE = 8，则 sin∠C′ED为（） A．2 B．1 C D 2 3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A 至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：
①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是 （） A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④ 4、在ABC中，(2 2cos1tan0 A B +-=，则ABC一定是（） A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5、tan30︒的相反数是（） A．B．C．D． 6、已知，在矩形ABCD中，DE AC ⊥于E，设ADEα ∠=，且 3 5 = cosα，4 AB=，则AD的长为（） A．3B．16 3 C． 20 3 D． 16 5 7、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为13 BC=m，则AB的长度为（） A．6m B．C．9m D．
一、选择题 1．在ABC 中，若2 1cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝ ⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒C 解析：C 【分析】 根据偶次方和绝对值的非负性可得1 cos 02 A - =，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：2 1cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 2 1cos 0,|1tan |02A B ⎛ ⎫∴-=-= ⎪⎝⎭， 1cos 02 A ∴- =，1tan 0B -=，则1 cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒， 则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒． 故选：C ． 【点睛】 本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ） A ．53m B ．52m C ．(5352m D ．() 535m D 解析：D 【分析】 由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．
【详解】 解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5， 设AC=x m ，则AB=（x +5）m ， 在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD ， 则 5 35 x +=， 解得：535x =-， 即AC 的长度是() 535m -； 故选：D ． 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ） 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量目标示意图 相关数据 10,45,50CD m αβ==︒=︒ A ．()10tan50x x =-︒ B ．()10cos50x x =-︒ C ．10tan50x x -=︒ D ．()10sin50x x =+︒A 解析：A 【分析】 过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】 过D 作DH ⊥EF 于H ， 则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题 (含答案 )含答案分析一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆走 6m 抵达 B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点 PQ，测得杆顶端点P 的仰角是 Q 的仰角分别是60°和 30°． 45°，向前 （1）求∠ BPQ 的度数； （2）求该电线杆PQ 的高度（结果精准到1m ）．备用数据：， 【答案】（ 1）∠ BPQ=30°； （2）该电线杆 PQ 的高度约为 9m．【分析】 试题分析：（ 1）延伸 PQ 交直线 AB 于点 E，依据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设 PE=x米，在直角△ APE和直角△ BPE中，依据三角函数利用 x 表示出 AE 和 BE，依据AB=AE-BE即可列出方程求得 x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得 QE 的长，则 PQ 的长度即可求解． 试题分析：延伸PQ 交直线 AB 于点 E， （1）∠ BPQ=90°-60 °=30°； （2）设 PE=x米． 在直角△ APE中，∠ A=45°， 则 AE=PE=x米； ∵∠ PBE=60 ° ∴∠ BPE=30 ° 在直角△ BPE中， BE= 3 PE= 3 x米，33 ∵A B=AE-BE=6米， 则 x- 3 x=6， 3 解得： x=9+3 3 ．
则 BE=（ 3 3 +3）米． 在直角△ BEQ中， QE= 3 BE= 3 （ 33 +3）=（3+ 3 ）米．33 ∴PQ=PE-QE=9+3 3 -（ 3+ 3 ）=6+2 3 ≈9（米）． 答：电线杆PQ 的高度约9 米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E 是边 BC 上一点，点 F 在射线 CM 上 ,∠ AEF=90°， AE=EF，过点 F 作射线 BC 的垂线，垂足为 H，连结 AC． (1)试判断 BE与 FH 的数目关系，并说明原因； (2)求证：∠ ACF=90°； (3) 连结 AF，过 A， E， F 三点作圆，如图 2. 若 EC=4，∠ CEF=15°，求的长. 图1图2 【答案】（ 1） BE="FH" ；原因看法析 （2）证明看法析 （3）=2π 【分析】 试题分析：（ 1）由△ABE≌ △EHF（ SAS）即可获得B E=FH （2）由（ 1）可知 AB=EH，而 BC=AB， FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠ FCH 为 45°，而∠ ACB也为 45°，从而可证明 （3)由已知可知∠ EAC=30°， AF 是直径，设圆心为O，连结 EO，过点 E 作 EN⊥ AC于点 N，则可得△ ECN为等腰直角三角形，从而可得 所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题分析：（ 1） BE=FH．原因以下： ∵四边形 ABCD是正方形∴∠ B=90，° ∵FH⊥ BC ∴ ∠ FHE=90 ° EN 的长，从而可得AE 的长，获得半径，获得 又∵∠ AEF=90°∴ ∠ AEB+∠ HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠ HEF=∠BAE ∴ ∠ AEB=∠ EFH 又∵ AE=EF ∴△ ABE≌ △ EHF（ SAS） ∴B E=FH (2)∵ △ ABE≌ △ EHF