指数函数及其性质
要点一、指数函数的概念：
函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如
y=a x (a>0
且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x
y =?，
1
2x
y =，31x
y =+等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果0a =，则000x x ?>??≤??x
x
时，a 恒等于，
时,a 无意义.
②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x
y =-，当11
,,24
x x =
=???时，在实数范围内函数值不存在．
<
③如果1a =，则11x
y ==是个常量，就没研究的必要了． y=a x
0 a>1时图象 图象 性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞） ②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0 ⑤x<0时，00时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 % （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①x y a =②x y b =③x y c =④x y d = 则：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<<（底大幂大） · x∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3,(),() 23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 } (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0 A B A B ->?>；0 A B A B - A B A B -=?=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1 A B >，或1 A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 — 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得 2331, 0,1, a a a a ?-+= ? >≠ ?且 解得 12, 01, a a a a == ? ? >≠ ? 或 且 ，所以2 a=． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变 量x ． 举一反三： — 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数 （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=． 【答案】（1）（5）（6） 【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x ?? ??? ，符合指数函数的定义，而（2）中 底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数． 类型二、函数的定义域、值域 （ 例2．求下列函数的定义域、值域. (1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =为大于1的常数) 【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [ +∞,43)； （3）1,2?? -+∞???? [)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1). ∵ (13)11 11313 x x x y +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x < <+， ∴ 1 1013x -<-<+， ? ∴ 1 01113x <- <+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)2 12(12)2(2 2 + -=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 2 12=x 即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,4 3 ). (3)要使函数有意义可得到不等式21 1 3 09 x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以 212x -≥-，即12x ≥-，即1,2?? -+∞???? ，值域是[)0,+∞. (4)∵ 01 1112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵ 11 1 011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a y a y x x x x ≠=≥=-+-+11 211 21且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞). 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中 11 2 111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三： · 【变式1】求下列函数的定义域： (1)2 -1 2x y = (2)y = (3)y = (4)0,1)y a a =>≠ 【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0 (2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，． (3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ … (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0 类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x x f x -??= ??? 的单调性，并求其值域． 【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x -??> ? ?? 恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数 是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果． 【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】 ， 解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2， ∴22 2 221()3x x f x -?? = ? ?? ，21 1 211()3x x f x -?? = ? ?? ， 222 22 212121212 11 22()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--?? ???????=== ? ????? ?? ??? ． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2) 113x x x x -+-?? > ? ?? ． 又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增． \ （2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知 2121()(2) 1013x x x x -+-??<< ??? ．∴21()()f x f x <． ∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减． 综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数． ∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221 110333x x --?? ?? <≤= ? ??? ?? ． ∴函数()f x 的值域为（0，3]． | 解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3u f u ?? = ??? ． ∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3u f u ?? = ??? 在其定义域内是减函数，∴函数() f x 在（－∞，1]内为增函数． 又1()3u f u ?? = ??? 在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数() f x 在[1，+∞）上是减函数． 值域的求法同解法一． 【总结升华】由本例可知，研究() f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一 般地有：即当a ＞1时，() f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，() f x y a =的单调与 ()y f x =的单调性相反． 举一反三： 【变式1】求函数2 32 3x x y -+-=的单调区间及值域. ￥ 【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3 [,)2 x ∈+∞上单减. 1 4(0,3] 【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ； [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ， 其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2 x ∈-∞上单增， u=-x 2+3x-2在3[,)2 x ∈+∞上单减， 则2 32 3x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2 x ∈+∞上单减. 又u=-x 2+3x-22311 ()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为1 4(0,3]. ~ 【变式2】求函数2 -2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间. 【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2 -2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞， 上为增函数； 当0 上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2 -2()x x f x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数. 例4．证明函数1 ()(1)1 x x a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。 【解析】定义域为x ∈R ，任取x 1 1212121212 1211(1)(1)(1)(1) ()()11(1)(1)x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x a a a a ---+-+--=-=++++ ~ 121 22() (1)(1) x x x x a a a a -=++. ∵12 10,10x x a a +>+>， ∴12(1)(1)0x x a a ++>， 又a>1， x 1 x a a <， ∴ 12 0x x a a -<， ∴ f(x 1) 则 1 ()(1)1x x a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 另：12121(1)x x x x x a a a a --=-， ∵10x a >， a>1且x 2-x 1>0， ∴211x x a ->， ∴ 2110x x a --<. 【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程. | 例5．判断下列各数的大小关系： (1)1.8a 与1.8a+1； (2)2 4 -231(),3,()33 1 (3)，0， 2.5 1()2 (4)23(0,1)a a a a >≠与 【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。 【答案】（1）1.8a <1.8a+1 （2）2-24311()<()<333 （3） 2.50 2.5 1()<(2.5)<22 （4）当a>1时，23a a <，当0 a a > ！ 【解析】 (1)因为底数>1，所以函数y=为单调增函数， 又因为a (2)因为4 4133-??= ???，又13x y ??= ???是减函数，所以-4 2-2 3111()<()<333?? ??? ，即2-24311()<()<333． (3)因为 2.5 21>， 2.5 112??< ??? ，所以 2.50 2.51()<(2.5)<22 (4)当a>1时，23a a <，当0 a a >． 【总结升华】 [ (1)注意利用单调性解题的规范书写； (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)； (3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”). 举一反三： 【变式1】比较大小： (1)与 (2)与 (3)与 (4)与 (5)11 0.2 33241.5 ,(),()33 -. / 【解析】 (1)＜ (2)＞.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x 3，它为增函数. (3)由，0<<1， <0， >1， <00<， 则； (4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.2 0.221.5 ()3-=，又函数2 ()3 x y =为减函数， 001x y >?<<， ∴ 1 0.2322 1()()033 >>>， \ ∵4()3x y =为增函数，1 03 x =>时，y>1，1 1 0.233422()()()333>>. 另解：幂函数13y x =为增函数，则有11 3342 ()1()33 >>，(下略). 【高清课堂：指数函数 369066 例1】 【变式2】利用函数的性质比较1 22，133，16 6 【答案】133>122>16 6 【解析】122=3113666 2(2)8== 121123666 33(3)9=== 】 作出8,9,6x x x y y y ===的图象知 986x x x y y y =>=>= 所以133>122>16 6 【变式3】 比较， 1.30.7， 1 32 ()3的大小. 【答案】7.02 .031 3.15 .1)3 2(<<- 【解析】先比较31 512.02 .0)32()32()23(5 .1与==--的大小.由于底数32∈(0，1)， ∴ x y )3 2 (=在R 上是减函数，∵ 051 31>>， ∴ 1)32()32()32(0051 31 =<<<，再考虑指数函数y=， 由于>1， 所以y=在R 上为增函数1.30.7>=1， ∴ 7.02 .031 3.15 .1)3 2(<<-. 【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断. ( 例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：4233 -2a a a + 【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值。 21 2133 33 12 33 -,1 - -,01 a a a a a a a a ? > ? ===? ?<< ? 举一反三： 【变式1】如果215 x x a a +- ≤（0 a>，且1 a≠），求x的取值范围． 【答案】当01 a <<时，6 x≥-；当1 a>时，6 x≤- 【解析】（1）当01 a <<时，由于215 x x a a +- ≤， 215 x x ∴+≥-，解得6 x≥-． 【 （2）当1 a>时，由于215 x x a a +- ≤， 215 x x ∴+≤-，解得6 x≤-． 综上所述，x的取值范围是：当01 a <<时，6 x≥-；当1 a>时，6 x≤-． 类型四、判断函数的奇偶性 例7．判断下列函数的奇偶性：) ( ) 2 1 1 2 1 ( ) (x x f x ? + - =(()x ?为奇函数) 【答案】偶函数 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ?定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是()x ?定义域除掉0 这个元素)，令 2 1 1 2 1 ) (+ - = x x g，则 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ) (+ - - = + - = + - = - -x x x x x x g < ) ( ) 2 1 1 2 1 ( 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 )1 2( x g x x x x - = + - - = + - - - = + - - - - = ∴g(x)为奇函数，又∵()x ?为奇函数，∴f(x)为偶函数. 【总结升华】求()()() f x g x x ? =?的奇偶性，可以先判断() g x与()x ?的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出() f x的奇偶性． 举一反三： 【变式1】判断函数的奇偶性：() 2 21 x x x f x=+ - . 【答案】偶函数 【解析】定义域{x|x∈R且x≠0}， 又 112121 ()()()() 222 211221 x x x x x f x x x x - -=-+=-+=- --- 21111111 ()(1)()()222 212121x x x x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题 例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x y a =的图象，而12,,3,22a π???? ∈?????? ， 则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【答案】 2 1 2 π 3 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数＜C 1的底数＜C 4 的底数＜C 3的底数． 【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y 轴的右边“底大图高”，在y 轴的左边“底大图低”． 举一反三： 【变式1】 设()|31|x f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ） A ．33c b < B ．33c b > C ．332c a +> D ．332c a +< 【答案】D 【变式2】为了得到函数935x y =?+的图象，可以把函数3x y =的图象( ) A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【答案】C 【解析】注意先将函数935x y =?+转化为2 35x y +=+，再利用图象的平移规律进行判断． ∵2 9353 5x x y +=?+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度， 可得到函数935x y =?+的图象，故选C ． 【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟 悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 高中数学函数相关知识点整理 函数在高中数学中的地位不可动摇，考生必须掌握函数相关知识点，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 高中数学反比例函数知识点 形如 y=k/x(k为常数且k0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为|k|。 知识点： 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。 2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(xm)m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 高中数学对数函数知识点 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。 对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形， 因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1，0)这点。 (4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 高中数学指数函数知识点 指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 可以得到： (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析 练习题 一,选择题 1.下列函数是指数函数的是（） A.y = -2x B. y = 2x+, C. y = 2_x D. y=l x 2.函数y =@—2尸在R上为增函数，则a的取值范围是（） A. a>0 且a7^1 B. a>3 C. a<3 D. 2 8. 设a,b,c,d 都是不等于1的正数，y = a\y = h\y = c\y = d x 在同一?处标系中的图像如图所示，则a,b,c,d 的 10. y= 0.3戶的值域是( ) 4. (-oo,0) B.[l,+x) C.(0,l] 0.(- oo,l] 11. 当xe[-l,l]时函数/(x) = 3v -2的值域是() A. --,1 B\-1,1] C. 1,- D.[0,l 3 3 2 2 1 1 | ￡ 5 12. 化简(/沪)(—3决质)十(丄，沪 )的结果 ( ) A . 6a B ? -a C . -9a D . 9a 2 设指数函数/(x) = a x (a > 0卫主1),则下列等式中不正确的是 (0,1] B ? (04) C ? (0,+o>) 13. 14. f(nx) = [f(x)]n (n e Q) f(xyy=[f(x)]n {f(y)Y (n G N") 函数 y = (x-5)°4-(x-2p {x \ x 5,x 工 2} B . {x\x > 2} {x\x>5} D . {x\2< x < 5^x > 5} 15. 函数/(x) = 2-,A 1的值域是 16. 若指数函数y = (a + \)x 在(—oo, + 00)上是减函数，那么( A 、 0 < a < I B 、 -l 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 2.1.2 指数函数及其性质（一） 一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数 的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质， 本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。 二、问题引领： 1、指数函数的概念、图象和性质 2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数 ,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与 0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析： 例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。 分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π， ()2f π∴= 即2 a π=，解得1 2 a π= ()2x f x π∴=，即：()( )()10 12 1 01,12f f f ππππ -====-== 。 点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。 例题2：1、设1111333b a ???? <<< ? ????? ，求,,a b a a a b 的大小关系。 2、 比较235 4 0.5,1.2,1的大小。 分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。 解：1、因为函数13x y ?? = ??? 在R 上为减函数，又由1111333b a ????<<< ? ?????， 所以得：01a b <<<， 因为当01a <<时，函数x y a =为减函数，又a b <， 所以a b a a >，因为函数x y a =与x y b =在R 上同为减函数且当0x >时， 随着x 的增大，函数x y a =比函数x y b =减小的快，所以a a a b <， 即b a a a a b <<。 指数函数·基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝a |x|(0＜a ＜1)的图像是 [ ] 2a 0a 1f(x)g(x)f(x)[ 1a +1 2 ]x ．若＞，且≠，是奇函数，则＝-1 [ ] A ．是奇函数 B ．不是奇函数也不是偶函数 C ．是偶函数 D ．不确定 3y ．函数＝的单调减区间是()12 2 32x x -+ [ ] A ．(－∞，1] B ．[1， 2] C [3 2 D 3 2 ]．，＋∞．－∞，) ( 4．c ＜0，下列不等式中正确的是 [ ] A c 2 B c C 2 D 2c c c c c c ．≥．＞．＜．＞()()()1 2 1 2 1 2 5．x ∈(1，＋∞)时，x α＞x β，则α、β间的大小关系是 [ ] A ．|α|＞|β| B ．α＞β C ．α≥0≥β D ．β ＞0＞α 6．下列各式中正确的是 [ ] A B C D ．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜()()()()()()()()()()()()121512 121215 151212 151212 23231 3 13232 3 23132 3 23231 3 7．函数y ＝2-x 的图像可以看成是由函数y ＝2-x+1＋3的图像平移后得到的，平移过程是 [ ] A ．向左平移1个单位，向上平移3个单位 B ．向左平移1个单位，向下平移3个单位 C ．向右平移1个单位，向上平移3个单位 D ．向右平移1个单位，向下平移3个单位 8y ．已知函数＝，下列结论正确的是31 31 x x -+ [ ] A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 9y =a y =a y y a 12x 2x 2+1 21．函数，，若恒有≤，那么底数的取值范 围是 [ ] A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．0＜a ＜1或a ＞1； D ．无法确 定 《指数函数及其性质》测试题大全 一、选择题 1.(2012广东文改编)函数的定义域为( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数的定义域和指数函数的性质. 答案：B. 解析：要使函数有意义，必须且，解得函数的定义域为． 2.函数的值域是( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数的值域和指数函数的性质. 答案：D. 解析：要使函数有意义，必须，即.又∵，∴，∴的值域为. 3.(2012北京文改编)函数与函数图像的交点个数为( ). A.0 B.1 C. 2 D.3 考查目的：考查指数函数、一次函数的图像和性质. 答案：B. 解析：在同一个直角坐标系中，分别画出函数与函数的图像，观察这两个函数的图像可得，它们的交点个数只有1个. 二、填空题 4.当且时，函数的图象一定经过点 . 考查目的：指数函数的图像及平移后过定点的性质. 答案：(1，4). 解析：∵指数函数经过点(0，1)，函数的图像由的图像向右平移1个单位所得，∴函数的图像经过点(1，1)，再把函数的图像向上平移3个单位得到函数的图像，∴函数的图像一定经过点(1，4). 5.已知集合，，则 . 考查目的：指数函数的单调性及集合的基本运算. 答案：. 解析：∵，∴，∴，∴. 6.设在R上为减函数，则实数的取值范围是 . 考查目的：考查指数函数、分段函数的单调性和数形结合思想. 答案： 解析：在时为减函数，则，在时为减函数，则，此时显然恒成立.综上所述，实数的取值范围为. 三、解答题 7.已知指数函数(且)的图象经过点(3，)，求，，的值. 考查目的：考查指数函数的定义与性质. 答案：. 解析：由函数(且)的图象经过点(3，)得，即，∴.再把0，1，3分别代入得，. 指数函数及其性质 【教学目标】 1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学 生观察问题，分析问题的能力。 3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。 【教学重难点】 重点：指数函数的概念和性质及其应用。 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 【学法与教具】 1．学法：观察法、讲授法及讨论法。 2．教具：多媒体。 【教学过程】 【第一课时】 一、情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征。 ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数， 即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。 二、讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R 。 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤?? x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如 1(2),,8 x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。 若a =1，11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合 ( 1)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数。 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象。 指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1．下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，则函数的图象一定在（） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．已知，当其值域为时，的取值范围是（）A． B． C． D． 4．若，，下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 5．已知且，，则是（） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 6．函数（）的图象是（） 7．函数与的图象大致是( ). 8．当时，函数与的图象只可能是（） 9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 10．计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元 二、填空题 1．比较大小： （1）；（2） ______ 1；（3） ______ 2．若，则的取值范围为_________． 3．求函数的单调减区间为__________． 4．的反函数的定义域是__________． 5．函数的值域是__________ ． 6．已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7．当时, ,则的取值范围是__________. 8．时，的图象过定点________ ． 9．若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10．已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11．函数的最小值为____________. 12．函数的单调递增区间是____________. 13．已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14．若函数（且）在区间上的最大值是14，那么等于 _________． 三、解答题 1．按从小到大排列下列各数： ，，，，，，， 2．设有两个函数与，要使（1）；（2），求、的取值范围． 3．已知 ,试比较的大小. 4．若函数是奇函数，求的值． 5．已知，求函数的值域． 6．解方程： 2.2.1指数函数及其性质（一） 一、选择题 1．函数f （x ）＝)1(log 2 1－x 的定义域是（ ） A ．（1，＋∞） B ．（2，＋∞） C ．（－∞，2） D ．]21(， 解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0， 所以??? ??≥0)1(log 0 12 1 －＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D 2．函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ） A ．（－∞，1） B ．（2，＋∞） C ．（－∞， 23 ） D ．（ 2 3 ，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减． 答案：B 3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则x y 的值为（ ） A ．4 B ．1或41 C ．1或4 D ．4 1 错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有 x y ＝ 4 1 或y x ＝1． 答案：选B 正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D 4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，2 1 ） B ．（0， 2 1 ） C ．（ 2 1 ，＋∞） D ．（0，＋∞） 解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜2 1 （根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x －12 －1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称 解析：y ＝lg （ x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝x x －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题 已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1?μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0?a ＜3 2 （0＜x ＜1）?a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2） 7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（3 1）x 的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______． 解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝3 1log x 则f （2x －x 2）＝3 1log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2． μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ） ］在（0，1）上单调递减； μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ） ］在［1，2）上单调递增． 指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>??≤??x x 时，a 恒等于， 时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1 x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1, a a a a ?-+=?>≠?且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如21,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数练习 1. 函数(1)x y 4=; (2) 4x y =; (3) x y 4-=; (4) x y )4(-=; (5) x y π=; (6) 24x y =; (7) x x y =; (8) 1()1(>-=a a y x , 且a 1≠）中，是指数函数的是 2. 函数33(0,1)x y a a a -=+>≠恒过的定点是 3. 若1()21x f x a = +-是奇函数，则a = 【答案】【解析】12(),()()2112x x x f x a a f x f x --=+=+-=--- 4. 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（ B ） A 1b a << B 1b << C 1b a << D 1a b << 8. 如图，指出函数①y=a x ;②y=b x ;③y=c x ;④y=d x 的图象，则a,b,c,d 的大小关系是B A a 2.1.2 指数函数及其性质 练习一 一、选择题 1、 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 1 1 1 1 5、函数f x x ()=-2 1，使f x ()≤0成立的的值的集合是（ ） A 、 {}x x <0 B 、 {}x x <1 C 、 {}x x =0 D 、 {}x x =1 6、函数f x g x x x ()()==+22，，使f x g x ()()=成立的的值的集合（ ） A 、 是φ B 、 有且只有一个元素 C 、 有两个元素 D 、 有无数个元素 7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ） A 、1a >且1b < B 、01a <<且1b ≤ C 、01a <<且0b > D 、1a >且0b ≤ 8、F(x)=(1+ )0)(()1 22≠?-x x f x 是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( ) A 、是奇函数 B 、可能是奇函数，也可能是偶函数 C 、是偶函数 D 、不是奇函数，也不是偶函数 二、填空题 9、 函数y x =-322的定义域是_________。 10、 指数函数f x a x ()=的图象经过点()2116 ， ，则底数的值是_________。 指数函数基础知识 指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数的定义。 一、指数函数的定义： 函数 )10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。 注意点1：为什么要规定01a a >≠且呢？ ①若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x <时，x a 无意义. ②若0a <，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义. 如x )2(-，这时对于 14x = ，1 2x =，…等等，在 实数范围内函数值不存在. ③若1a =，则对于任何x R ∈，1x a =，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定01a a >≠且。在规定以后，对于任何x R ∈，x a 都有意义，且0x a >. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,)+∞ 。 注意点2： 上述指数函数的定义是形式上的定义，它实质上是一种指数的对应关系，以a 为底数 作为指数对应过去。从对应的角度看指数函数的话，就能很容易理解为什么函数1 3+=x y 不 是指数函数，也能理解指数函数的解析式x y a =中，x a 的系数为什么是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 x y a k =+ (01a a >≠且，k Z ∈)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如x y a -= (01a a >≠且)，因为它可以化为 1x y a ?? = ???，其中10a >，且1 1 a ≠。 二、函数的图象 （1）①特征点：指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过两点(0，1)和(1,a)，我们称这两点为指数函数的两个特征点. ②指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象中，y ＝1反映了它的分布特征；而直线x ＝1与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐标则直观反映了指数函数的底数特征，我们称直线x ＝1和y ＝1为指数函数的两条特征线(如右图所示). （2）、函数的图象单调性 当a ＞1时，函数在定义域范围内呈单调递增； 当0＜a ＜1时，函数在定义域范围内呈单调递减； 数学·必修1(人教A 版) 2.1.3 指数函数及其性质(一) ?基础达标 1．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，＋∞) 解析：由1－2x ≥0，得2x ≤1，由指数函数y ＝2x 的性质可知x ≤0. 答案：C 2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( ) A ．5天 B ．6天 C ．8天 D ．9天 答案：D 3．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A 4．函数＝y ? ????123x －1－18的定义域是________． 6．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．答案：y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m) ?巩固提高 7．已知a，b＞1，f(x)＝a x，g(x)＝b x，当f(x1)＝g(x2)＝2时，有x1＞x2，则a，b的大小关系是() A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．不能确定 解析：∵a＞1，b＞1， 由图示知b＞a. 答案：C . 9．若函数f(x)＝a x－1＋3恒过定点P，试求点P的坐标． 分析：研究f(x)＝a x的图象和f(x)＝a x－1＋3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推导． 解析：将指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平移3个单位，即可得到y＝a x－1＋3的图象，因为y＝a x的图象恒过(0,1)，故相应的y＝a x－1＋3恒过定点(1,4)． §2.1.2指数函数及其性质（2个课时） 班级 姓名 教学目标 :1、理解指数函数的概念、图象和性质。 2、利用图象来探索、掌握函数的性质，增强分析问题，解 决问题的能力。 教学重点: 指数函数的概念、图象和性质 教学难点:利用指数函数的图象概括出指数函数的性质。 学习过程 一、复习 1. 根式的概念；n = ； 当n = ； 当n = ={ 。 分数指数幂的意义：m n a = ，m n a - = 。 2.0的正分数指数幂 ，0的负分数指数幂 。 3.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂 。 二、新课导学 1：归纳：指数函数的定义 阅读教材48P 问题1，问题2，观察这两个函数解析式有何共同特征？ 一般地，函数y = x a (a 0，且a 1)叫做指数函数， 其中x 是 .函数的定义域是 。 讨论: 下列函数中,哪些是指数函数？ (1) (2) (3) （4） （5） （6） （7） （8） 2、探索：指数函数的图象 请同学们完成函数y=x 2 、y=x ? ? ? ??21的表格中空白处并用描点法画出图象： x y 4=4x y =x y 4-=x y )4(-=x y π =2 4x y =x x y =x a y )12(-= )12 1 (≠>a a 且 观察、思考：（1）这两个函数的图象有什么关系？能否由函数2x y=的图 象得到函数1 2x y ?? = ? ?? 的图象？ （2）观察函数y=x2、y= x ? ? ? ? ? 2 1的图象，它们有哪些共同特征？ 尝试:①图象都分布在象限，与轴相交，位于x轴 的； ②（底数2大于1）当1 a>时，第一象限的点的纵坐标都大于；第二象限的点的纵坐标都大于且小于；从左向右图象逐渐。 ③（底数1 2大于0又小于1）当01 a <<时，第一象限的点的纵坐标都大 于且小于； 第二象限的点的纵坐标都大于；从左向右图象逐渐。3、概括：指数函数y = x a(01) a a >≠ 且的性质 考察:指数函数y = x a(01) a a >≠ 且的奇偶性 4、学习课本 56 P例6 、57P例7 例8 三、练习：教材 58 P2、3 2.1.2 指数函数及其性质 整体设计 教学分析 有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质. 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想. 2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点 教学重点：指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排 3课时 教学过程 第1课时指数函数及其性质(1) 导入新课 思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题. 思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, ,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题. 思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()］t,如果我们用x 表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［()］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题. 推进新课 新知探究高中数学函数相关知识点整理.doc
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