第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）
九、更新过程
（1） 概念及基本性质
定义：设}1,{≥k X k 是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为)(x F ，
且1)0( k k n X S X S S 1 110,,0，对0≥?t ，记： }:sup{)(t S n t N n ≤= 则称}0),({≥t t N 为更新过程。 更新过程是一计数过程，并有： }{})({t S n t N n ≤=≥ }{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++ 记：)(s F n 为n S 的分布函数，由∑==n k k n X S 1，易知： )()(1x F x F = )2()()()(01≥-=?-n u F d u x F x F x n n 证明：由全概率公式有： ) )(())(()()() (}{)(}{)(}{} {}{)(1101010111x F f x f F u F d u x F u F d u x S P u F d u x S P u d u f u X u x S P x X S P x S P x F n n x n x n n X n n n n n n n ----∞ -∞ ∞---*=*=-=-≤=-≤==-≤=≤+=≤=???? 即)(x F n 是)(x F 的n 重卷积，记作：F F F n n *=-1。 另外，记： )}({)(t N E t m = 称)(t m 为更新函数。关于更新函数，有以下重要的定理。 定理：对于0≥?t ，有： ∑∞ ==1 )()(n n t F t m 证明：根据以上的关系式，计算得： ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =∞ =∞ ==∞ =∞=≤=≥=≥=========1 1 111110} {} )({})({} )({})({} )({})({)(n n n k k k n n n k n n t S P n t N P k t N P n t N P n t N P n t N P n n t N P n t m 即有： ∑∞ ==1 )()(n n t F t m 推论：若对0≥?t ，1)( 1))(1)(()(--≤t F t F t m 下面是重要的更新方程。 定理：0≥?t ，)(t m 满足下列更新方程： ?-+=t u dF u t m t F t m 0)()()()( 证明：由∑∞ ==1)()(n n t F t m ，得： ∑∞ =+=2 )()()(n n t F t F t m 将)2() ()()(01≥-=?-n u F d u t F t F t n n 代入上式，即有所要的结果。 令： )()(~0 t m d e s m t s ?∞-= )()(~ 0t dF e s F t s ?∞-= 则有： )(~1)(~)(~,) (~1)(~)(~s m s m s F s F s F s m +=-= 证明：记：t d t dm t ) ()(=λ（称为更新强度函数），由∑∞ ==1 )()(n n t F t m ，可得： ∑∑∞=∞====1 1)()()()(n n n n t f t d t dF t d t dm t λ 两边取Laplace 变换，有： ∑?? ∞ =∞-∞-==1 00 )()(~)(n n t s t s t dF e s m t d e t λ 由)()(~ 0t dF e s F t s ?∞-=及F F F n n *=-1，根据卷积的Laplace 变换的性质，有： n n t s s F t dF e )](~ [)(0 =? ∞- 因此，我们有： ) (~1)(~ )](~[)()(~11 s F s F s F t dF e s m n n n n t s -===∑∑?∞ =∞ =∞ - （2） 极限性质 令：}{n X E =μ，由1)0(<+ F ，可知0>μ，下面给出几个极限定理。 定理：1lim =? ?? ???=∞→μn S P n n 推论：{} 1lim =∞=∞ →n n S P 推论：0≥?t ，有： ∞<=∑∞ =1 )()(n n t F t m 记：)(lim )(t N N t ∞ →=∞，则有： 定理：{}1)(=∞=∞N P 。 定理：11)(lim =? ?? ? ??=∞ →μt t N P t 证明：由于： ) (1)(1)()()(1)() (1 )()(t N t N t N S t N t t N S S t S t N t N t N t N +? +<≤? <≤++ 由以上的定理，两边取极限，我们可以得到： 11)(lim =??????=∞→μt t N P t 由此定理，我们称 μ 1 为更新过程的速率。 定理：（基本更新定理）若∞<=}{n X E μ，则有：μ 1 )(lim =∞→t t m t 。 （3） 例子 例1：设某更新过程)(t N 的时间间隔 ,,,,21n X X X 是独立同分布，非 负取值的随机变量，且有： 1)1(}{1 ≥-==-i p p i X P i n 试求})({n t N P =。 解：由于 }{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++ 因此 }{}{})({1t S P t S P n t N P n n ≤-≤==+ 根据题意，此更新过程的时间间隔n X 服从几何分布，因此有 ???<≥-==---n k n k p p C k S P n k n n k n , 0,)1(}{11 最后得到 ∑∑+=--+-=----- -==] [1 111 ] [11 )1() 1(})({t n k n k n n k t n k n k n n k p p C p p C n t N P 例2：某更新过程的更新强度为： ?? ?<>≥=0, 00 ,0,)(t t t λλλ 求该更新过程}0),({≥t t N 的时间间隔n X 的概率密度。 十、过滤的Poisson 过程 定义：设有一Poisson 分布的冲激脉冲串经过一线性时不变滤波器，则滤波器输出是一随机过程}0),({≥t t ξ，即 ∑=-= )(1 )()(T N i i S t h t ξ （*） 其中)(t h 是滤波器的冲激响应，i S 是第i 个冲激脉冲出现的时刻，)(T N 是],0[T 内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数，它服从Poisson 分布，即： ,2,1,0,! )(})({===-k e k T k T N P T k λλ λ是单位时间内的平均脉冲数。我们称由（*）代表的随机过程为过滤的Poisson 过程。 设k Y Y Y ,,,21 是独立同分布的随机变量，并且),0(~1T U Y ，由上节课的内 容我们知道，在k T N =)(的条件下，k S S S ,,,21 的分布与k Y Y Y ,,,21 的顺序统计量)()2()1(,,,k Y Y Y 的分布是一样的。 给定关于过滤的Poisson 过程的一些基本假设：（a ）T 比)(t h 的脉冲持续时 间a τ大得多，即a T τ>>；（b ）)(t h 是具有因果性的滤波器响应，即i S t <时，0)(=-i S t h ；（c ）被研究的时刻t 大于)(t h 的脉冲持续时间a τ，即a t τ>。 下面研究过滤的Poisson 过程的一些统计特性。 （1）)(t ξ的均值 {}{}{} {}{}[]{}[]?? ????-==? ?????-==? ? ????-=====∑∑∑∑∑∑∑=∞ =∞==∞ ==∞ =k i i k k k i i k k i i k Y t h E k T N P S t h E k T N P S t h E k T N P k T N t E k T N P t E 1001010)()()()()()()()()()(ξξ 下面求)]([i Y t h E -：利用过滤的Poisson 过程的基本假设，有： ???==-=--T t T t T i dy y h T dy y h T dx x t h T Y t h E 00)(1)(1)(1)]([ 因此，我们有： {}{}[]{}??∑?∑?∑∑=?=??===?? ????-==∞ =-∞ ==∞ =T T k T k T k T k i i k dy y h T dy y h T e k T k dy y h T dy y h T k k T N P Y t h E k T N P t E 00000 010)()(1!)()(1)()()()()(λλλξλ （2）)(t ξ的相关函数),(τξξ+t t R {} ? ?? ???-+-=? ?????-+-=+=+∑∑∑∑====)(1)(1) (1)(1)()()()()()(),(T N i T N j j i T N j j T N i i S t h S t h E S t h S t h E t t E t t R τττξξτξξ 其中T t T t <+<τ,。 利用条件数学期望，我们有： []∑∑∑∑∑∑∞ ===∞ ===??????-+-?==? ? ? ?????????-+-?==+011011)()(})({)()(})({),(k k i k j j i S S k k i k j j i S S S t h S t h E k T N P S t h S t h E k T N P t t R j i j i τττξξ 上面的等式中，当j i =时，一共有k 项，有： []???+=+=-+-= = -+--T t T t T i i S S dy y h y h T dy y h y h T dx x t h x t h T S t h S t h E i i 00 )()(1)()(1)()(1)()(ττττ 当j i ≠时，一共有k k -2 项，利用独立性和假设条件，每项为： [][] 20200)(1 )(1)(1)()(???=-+?-=-+-T T T j i S S dy y h T dx x t h T dx x t h T S t h S t h E j i ττ 因此，我们有： [] [] [] 2 2 02 2 20 20220 )()()()()}()]({[)()()}({)(})({)()(} )({),(????∑?∑?++=-++=-=++ +==+∞ =∞ =T T T T k T k T dy y h dy y h y h dy y h T T N T N E dy y h y h T T N E dy y h T k k k T N P dy y h y h T k k T N P t t R λ τλτττξξ 其中我们利用了： T T N E λ=)}({，222)()()}()]({[T T T T T N T N E λλλλ=-+=- 同时我们得到： )()()(),(0ττλτξξξξC dy y h y h t t C T =+=+? （3）)(t ξ的特征函数 {}{} ∑∑∑∑∑∞ ==∞ ==∞ =?? ? ??????? ??-==?? ? ?????????-======Φ01)(010 ) () ()()(exp })({)(exp })({)(})({)(k k i i k k i i k t jv t jv t Y t h jv E k T N P S t h jv E k T N P k T N e E k T N P e E v ξξξ 而： []{}[][]k t T t k T k i i k i i k i i dy y jvh T dx x t jvh T Y t jvh E Y t h jv E Y t h jv E ?? ????=?? ? ???-=-=?? ??????????-=????????????-??∏∑∑-===)(exp 1)(exp 1)(exp )(exp )(exp 0111)( 代入计算，有： [][][]{}[]{} ?? ?∑?∑----∞ =--∞ =-==? ?? ????=? ? ? ????==Φt T t t T t T k t T t k T k k t T t k t dy y jvh dy y jvh e dy y jvh T e k T dy y jvh T k T N P v 1))(exp(exp )(exp exp )(exp 1!)()(exp 1})({)(0 0)(λλλλλξ 由于)(t h 具有因果性，其持续时间T a <<τ，同时认为a t τ>，因此，在)0,(T t -和),(T t 内，有0)(=t h 。因此我们得到： []{}?-=ΦT t dy y jvh v 0 )(1))(exp(exp )(λξ （**） 注意：在给定的假设条件下，随机过程)(t ξ的特征函数与t 无关，也就是说 )(t ξ的一维概率密度与时间t 无关，这样的随机过程称为一级严平稳过程，同理 可以证明，任取n t t t N n <<<<∈ 210, )(,),(),(21n t t t ξξξ 的联合概率密 度仅与时间差12312,,,----n n t t t t t t 有关，具有这样性质的随机过程称为严平稳过程，过滤的Poisson 过程就是严平稳过程。 另外，利用（**）式，我们有： ?=Φ=T v t dy y h j v d d 00 )()(λξ 由特征函数与随机变量数字特征的关系，我们有： ?=T dy y h t E 0)()}({λξ ?==T dy y h t Var t D 02)]([)}({)}({λξξ 这些结果与（1）、（2）中所获得的结果是一致的。 （4） 当∞→λ时，特征函数的极限形式 我们记： ??==T T dy y h dy y h 022 0)]([,)(βα 则有： 2)}({,)}({λβξλαξ==t Var t E 作随机变量标准化变换，令： β λλα ξη-= )()(t t 则有： 1)}({,0)}({==t Var t E ηη 下面求随机过程}0),({≥t t η的特征函数。 {} ?? ? ?????????????-???? ??????????-=?????????????? ????? ???-=?? ?? ????????-?==Φ?dy y h v j jv t v j E jv t jv E e E v T t jv t 0)()(1)(exp exp exp )(exp exp )(exp )(βλλβαλξβλβαλβλλαξηη 以上用到了特征函数的性质。两边求对数，我们有： ?? ? ??+- -=+- --+- =?? ????+--+?-=??????-???? ??+?-=Φ??????λοβλβ λββ λ β α λβλλββλλβαλβ λλβαλη1)]([62)]([6)]([2)()(6)(2)(1)(exp )(ln 03 33 20 3 330 2 2 2 003 32/33 22 20)(dy y h jv v dy y h jv dy y h v dy y h jv jv dy y h jv y h v y h jv jv dy y h v j jv v T T T T T T t 上式中令∞→λ，我们得到： ? ?? ???-=Φ?-=Φ∞ →∞ →2exp )(lim 2 )(ln lim 2)(2 )(v v v v t t ηληλ 由特征函数与分布函数唯一确定性，我们知道当∞→λ时，)(t η是服从标准正态分布的随机变量。因此可知)(t ξ也是服从正态分布的随机变量。即单位时间内出现的平均脉冲数无限增大时，)(t ξ的极限分布是正态分布，这符合中心极限定理。 随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(； （1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分 布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在) ,[h t t +内，它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{?(t )，-? 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 2014-2015随机过程参考题 一.判断题 1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ） 2．对于独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11 n n k k k k E X E X ==??=????∏∏． （ ） 3．若12(,, )n F x x x 是随机向量1=, ,)n X X X （的联合分布函数，则它对每个变量都是 单调不减的． （ ） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ） 5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ） 6．参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布． （ ） 7．复合P o i s s o n 过 程一定是计数过程． （ ） 8．若随机变量X 服从周期为d 的格点分布，则对自然数n 总有{}0P X nd =>．（ ） 9．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ） 10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ） 12．对独立的随机变量1, ,n X X ，都有[]1 1n n k k k k Var X Var X ==??=????∑∏． （ ） 13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 （ ） 14．若一个随机过程的协方差函数,s t γ（）只与时间差t s -有关，则它一定是宽平稳过 程． （ ） 15．参数为λ的泊松过程中，第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布．（ ） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ） 17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ） 18．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数． （ ） 19．马尔科夫链具有无后效性． （ ） 20．Poisson 过程是更新过程． （ ） 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 （ ） 21．若一个随机过程是宽平稳的，则它一定是严平稳的。 （ ） 中科院研究生院2012～2013第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第六章 高斯过程（维纳过程） 习题 1、 设有随机过程Y ，∞<= ∫t ds s Y t Z t 2、 设是初值为零的标准布朗运动，令0,)(≥t t B 10)],1/([)1()(<≤??=t t t B t t ξ，的常数，试求随机过程0,0),12>≥?a t at η()(=?e B e t at )(t ξ和)(t η的均值函数和相关函数，并说明)(t ξ和)(t η是否是正态过程。 3、 设是标准的布朗运动，试求与的相关系数，其中： 。 }0,)({≥t t B 1≤≤t )(t B ∫1 0)(du u B 04、 已知是初值为0的标准布朗运动， 求在0),(>t t B 0)1(=B 时的条件概率分布密度函数。 )10()(< 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为的泊松分布，则X 的特征函数为 。λ2．设随机过程 其中为正常数，和是相互X(t)=Acos( t+),- 第三章 Poission 过程（Poission 信号流）习题 1、 设{是一强度为}0),(≥t t N λ的齐次泊松过程，而12/)()(?=t N t X ，t 。对， 试求： 0≥0>s （1） 计算及)}()({s t N t N E +})()({s N t s N E +的分布律； （2） 证明过程，是马氏过程并写出转移概率，其中。 )(t X 0≥t ),;,(j t i s p t s ≤2、 设{与{是相互独立，参数分别为}0);(≥t t X }0);(≥t t Y 1λ与2λ的Poission 过程。定 义随机过程，且令：0≥=t ),()(?t Y t X )(t Z }()(n t t p n ){Z P ==。 （1） 试求随机过程{的均值函数和二阶矩； }0);(≥t t Z )}({t Z E )}({2 t Z E （2） 试证明：。 }exp{})(exp{)(12121t u t u t u t p n n n ?+∞?∞=+?+?=∑λλλλ3、 设和是相互独立的Poission 过程,其参数分别为}0;)({1≥t t N }0;)({2≥t t N 1λ和 2λ．若)()(2t N t ?)(0t N 1N =，问: （1） {是否为Poission 过程，请说明理由； }0;)(0≥t t N （2） {是否为平稳过程，请说明理由。 }0;)(0≥t t N 4、 设Y ，其中{为强度为0,)1()()(≥?=t X t t N }0);(≥t t N 0>λ的Poission 过程，随机变 量X 与此Poission 过程独立，且有如下分布： 0,2/1}0{,4/1}{}{>=====?=a X P a X P a X P 试求随机过程Y 的均值函数和相关函数。 0),(≥t t 5、 设{是一强度为}0),(≥t t N λ的泊松过程，00=S ，S 为第n 个事件发生的时刻，求： n （1） (的联合概率密度函数； ),52S S （2） }1)({1≥t N S E ； （3） (在条件下的条件概率密度函数。 ),21S S 1)(=t N 6、 某商场为调查客源情况，考察男女顾客到达商场的人数。假设[时间内男女顾客到 达商场的人数分别独立地服从参数为),0t λ和μ的泊松过程。问： （1） [时间内到达商场的总人数应该服从什么分布？ ),0t （2） 在已知[时间内商场到达位顾客的条件下，其中有位是女顾客的概率为何？平均有多少位女顾客？ ),0t n k 7、 设在时间区间到达某商店的顾客数是强度为],0(t 0),(≥t t N 0>λ的齐次泊松过程， ，且每个顾客购买商品的概率，没有买商品的概率为，分别 0)0(=N 0>p p q ?=1 1、设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度与一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数与协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(就是参数为2 σ的维纳过程,)4,1(~N R 就是正态分布随机变量; 且对任意的∞<<∞-t ,)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(,求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数与协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数就是一个泊松过程,平均每小时有180人,即180=λ;且每个 顾客的消费额就是服从参数为s 的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为: ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P (1)求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{, 1}1{000======X P X P X P 时,经两步转移后处于状态2的概率。 (2)求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ,转移概率矩阵为: ??? ??? ? ? ??=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥就是参数为λ的泊松过程,计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立,且i N 就是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯, 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 (1)计算()j E O (2)j O 的分布就是什么 (3)j O 与k O 的联合分布就是什么 8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一,则在),[h t t +内,它都 以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程,转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t ),-∞ 1、设随机过程 X (t) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0, 1] 区间上的均匀分布。 （1）求 X (t) （2）求 X (t) 的一维概率密度和一维分布函数； 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设 W(t ), t 是参数为 2 的维纳过程， R ~ N (1,4) 是正态分布随机变量； 且对任意的 t ， W (t ) 与 R 均独立。令 X (t ) W (t ) R ，求随机过程 X (t ), t 的均值函数、相关函数和协方差函 数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有 180 人，即 180 ；且每 个 顾客的消费额是服从参数为 s 的指数分布。 求一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： 0.3 0.7 0 P 0 0.2 0.8 0.7 0.3 （1）求两步转移概率矩阵 P (2) 及当初始分布为 P{ X 0 1} 1, P{X 0 2} P{X 0 3} 0 时，经两步转移后处于状态 2 的概 率。 （ 2）求马尔可夫链的平稳分布。 5 设马尔可夫链的状态空 间 I {1,2,3,4,5} ，转移概率矩阵为： 0.3 0.4 0.3 0 0 0.6 0.4 0 0 0 P0 1 0 0 0 0 0 0.3 0.7 0 0 1 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设 N (t ), t 0 是参数为 的泊松过程，计算 E N (t) N (t s) 。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以 N i 记在 i 第层进入电梯的人数。假定 N i 相互独立， 且 N i 是均值为 i 的泊松变量。在第 i 层进入的各个人相互独立地以概率 p ij 在第 j 层离开电 梯， p ij 1 。令 O j ＝在第 j 层离开电梯的人数。 j i 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第五章 平稳过程的谱分析 习题 1、 设有一线性系统，其输入为零均值白高斯噪声)(t n ，其功率谱密度为 2 0N ，系统的冲激响应为： ???<≥=-0 ,00,)(t t e t h t α 此线性系统的输出为)(t ξ。令：)()()(T t t t --=ξξη，其中0>T 为一常数，试求过程)(t η的一维概率密度函数。 2、 设)(t s 为一确定性信号，在),0(T 内具有能量?=T s dt t s E 02)(，)(t n 为一零均值的白高 斯过程，其相关函数为：)(2 )(0τδτN R n =。令：?+=T dt t n t s t s 01)]()()[(η，?=T dt t n t s 02)()(η。试求： （1） 给定一常数γ，求概率}{1γη>P ； （2） 给定一常数γ，求概率}{2γη>P 。 3、 设有一非线性系统，其输入为零均值平稳实高斯过程，其协方差函数为： ταξτ-=Pe C )( 其中0>P 为一常数。系统的输出为： ?= T dt t T 02)(1ξζ 试求： （1） 输出均值：}{ζE ； （2） 输出方差：}{ζD ； （3） 设2 }]{[}{ζζE D y =，T x α=，画出y 对x 的关系简图。 4、 设有一线性系统，输入输出分别为)(t ξ和)(t η，其中输入过程)(t ξ为零均值平稳实高斯过程，它的相关函数为：)0()(2>=-αστταξξe R 。系统的单位冲激响应为： ???<≠>≥=-0000)(t , αβ,β,t ,e t h t β 若)(t ξ在-∞=t 时接入系统，试求： 中国科学技术大学期末考试题 考试科目：随机过程（B ） 得分： 学生所在系： 姓名： 学号： （2018年1月9日，半开卷） 一、( 20分) 判断是非与填空： （1）（每空2分）设{,0}n X X =≥为一不可约、有限（N 个）状态的马氏链，且其转移概率矩阵P 为双随机的（行和与列和均为1），则： .a X 的平稳分布不一定存在 ( ) ； .b X 的平稳分布存在但不必唯一( ) ； X c .的平稳分布为)...111N N N ，，，（（ ）； .d X 的极限分布为：)...111N N N ，，，（（ ） 。 （2）（每空3分）设公路上某观察站红、黄、蓝三种颜色的汽车到达数分别是强度为2、3和5（辆/分钟）的泊松过程。则： .a 第一辆车到达的平均时间为( ) ； .b 红车首先到达的概率为 ( ) ； .c 在第一辆红车到达之前恰好到达k 辆非红车的概率为（ ） 。 （3）（3分）有关某种商品的销售状况共有24个季度的连续数据 ( 1—畅销，0—滞销 )： ，，1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,10,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1 若该商品销售状况满足齐次马氏链，则据以上数据可估计出该马氏链的转移概率矩阵P 为（ ）。 二、（15分）设到达某计数器的脉冲数}0),({≥t t N 是一速率为λ的泊松过程，每个脉冲被记录的概率均为 p ，且各脉冲是否被记录是相互独立的。现以)(1t N 表示被记录的脉冲数，试求)(1t N 的矩母函数)()(1v g t N 以及)(1t EN ,)]([1t N Var 和))(),((11t N s N Cov 。 三、（20分）设马氏链}0,{≥n X n 的转移概率矩阵为： ????? ??=323132313231000321P （1）设30=X ，试求：)3,2,1(},{)2(},{1 21=====i i X P i X P i i ππ）（，并求： )(1X E 和)(2X E ； 第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝 1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互 独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。 2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程， A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。 （1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2 t N t X σμ。令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。 4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机 变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。 5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分 布。 （1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由； （2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。 6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足： {}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2； 令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。 7、 设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。并问此过程是否是平稳过程，是否连续、可导？ 8、 设}),({R t t X ∈是连续平稳过程，均值为m ，协方差函数为ττb X ae C -=)(，其中:R ∈τ，0,>b a 。对固定的0>T ，令?-=T ds s X T Y 01)(，证明：m Y E =}{, )]1()()[(2)(21bT e bT bT a Y Var -----=。 9、 设),,,0,0(~),(2221ρσσN Y X ，令tY X t X +=)(，以及?=t du u X t Y 0)()(， 填空： 1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=1 2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合 3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布 6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法 7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。 1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号 2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声 3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程 4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望 5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定 1. 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 3. 对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。 4. 冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。 5. 偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 6. 窄带随机过程的互相关函数公式为P138。 1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程， 离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。 2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性,则称该随机过程为各态历经过称。 3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。 4.正态随机过程的任意n维分布，只有由一、二阶矩确定。 5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。 6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越 慢,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快, 7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为 ，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为 。 8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。 10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下 第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）习题 1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程，而12/)()(-=t N t X ，0≥t 。 对0>s ，试求： （1） 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律； （2） 证明过程)(t X ，0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ，其中t s ≤。 2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立，参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。定 义随机过程0),()()(≥-=t t Y t X t Z ，且令：})({)(n t Z P t p n ==。 （1） 试求随机过程}0);({≥t t Z 的均值函数)}({t Z E 和二阶矩)}({2 t Z E ； （2） 试证明：}exp{})(exp{)(12121t u t u t u t p n n n -+∞-∞=+?+-=∑λλλλ。 3、 设}0;)({1≥t t N 和}0;)({2≥t t N 是相互独立的Poisson 过程,其参数分别为1λ和2λ．若 )()()(210t N t N t N -=，问: （1） }0;)({0≥t t N 是否为Poisson 过程，请说明理由； （2） }0;)({0≥t t N 是否为平稳过程，请说明理由。 4、 设0,)1()()(≥-=t X t Y t N ，其中}0);({≥t t N 为强度为0>λ的Poisson 过程，随机变 量X 与此Poisson 过程独立，且有如下分布： 0,2/1}0{,4/1}{}{>=====-=a X P a X P a X P 试求随机过程0),(≥t t Y 的均值函数和相关函数。 5、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的泊松过程，00=S ，n S 为第n 个事件发生的时刻，求： （1） ),(52S S 的联合概率密度函数； （2） }1)({1≥t N S E ； （3） ),(21S S 在1)(=t N 条件下的条件概率密度函数。 6、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的泊松过程，设T 为第一个事件出现的时间，)(a T N 为第一个事件后，在a T 时间间隔内出现的事件数，其中a 为正常数。试计算： （1） )}({a T TN E ； （2） {}2)]([a T TN E 。 7、 某商场为调查客源情况，考察男女顾客到达商场的人数。假设),0[t 时间内男女顾客到 达商场的人数分别独立地服从参数为λ和μ的泊松过程。问： 随机过程测试题二答案 1．以1T 表示泊松过程}0),({≥t t N 中事件首次发生的时刻，则对于t s ≤，求条件概率}1)(|{1=≤t N s T P 解： ==≤}1)(|{1t N s T P t s .（细节请查书） （5分） 2．设{N (t ), t ≥0}是强度为λ的泊松过程，N (t )表示到时刻t 为止事件A 发生的次数，则对任意t s <≤0，求),(),(t DN t EN )).(),(cov(s N t N 解：t t DN t EN λ==)()(； （5分） .))(),(cov())(),(-)(cov())(),(cov(s s N s N s N s N t N s N t N λ=+= （5分） 3．设某公交车站从早晨5时至晚上21时有车发出．从5时至8时乘客的平均到达率呈现性增加，5时乘客的平均到达率为200人/小时，8时乘客的平均到达率为1400人/小时；8时至18时乘客的平均到达率不变；18时至21时乘客的平均到达率线性减少，到21时为200人/小时．假定在不相重叠的时间间隔内到达车站的乘客数相互独立． 求（1）12时至14时恰有2000名乘客到车站的概率； （2）这两小时内到车站的乘客平均数． 解：以N (t )表示0时到t 时到达的乘客数，则 211818885),18(4001400,1400),5(400200)(≤≤<<≤≤?? ???---+=t t t t t t λ, （1）).21400(~)12()14(?-P N N ==-}2000)12()14({N N P ! 200028002000 2800?-e ； （5分） （2）2800)]12()14([=-N N E ． （5分） 4．假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星. 试求 （1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率. （2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数. 解：（1）设早晨8时为0时刻，以N (t )表示0时到t 时观测到的流星数，则N (t )是强度为3（颗/小时）的泊松过程．).43(~)0()4(?-P N N ==-}0)0()4({N N P 12-e ； （5分）最新随机过程考试试题及答案详解1
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