考试内容
考试要求层次
A
B
C
二次函数
能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其它知识结合的有关问题
1. a b c 、、的作用：
①a 决定开口方向及开口大小.0a ＞,开口向上；0a ＜，开口向下；a 越小开口越大；a 越
大开口越小；a 相等, 开口大小相同.
②a b 、共同决定对称轴的位置：对称轴在y 轴左侧，则a b 、同号；对称轴在y 轴右侧，则 a b 、异号，简称“左同右异”
本讲结构
知识导航
中考大纲剖析
中考第一轮复习
二次函数
③ c 决定与y 轴交点.
2. 二次函数解析式的三种表示形式：
① 一般式：()2
0y ax bx c a =++≠；
② 顶点式：()2
y a x h k =-+或()2
24024b ac b y a x a a a -?
?=++≠ ??
?；
③ 交点式：()()12y a x x x x =--()0a ≠，其中12x x ，是方程20ax bx c ++=()0a ≠的两实根．
3. ① 当02b a x a ><-
，时，y 随x 的增大而减小；当02b
a x a >>-，时，y 随x 的增大而增大． ② 当02
b a x a <<-，时，y 随x 的增大而增大；当02b
a x a
<>-，时，y 随x 的增大而减小．
4. 二次函数与一元二次方程的联系：
① 当240b ac ->时，抛物线与x 轴有2个交点，并且关于2b
x a
=-对称，两交点之间的距
② 当240b ac -=时，抛物线与x 轴有1个交点，即为抛物线的顶点； ③ 当240b ac -<时，抛物线与x 轴没有交点．
5. 抛物线平移的规律：按照八字原则“左加右减，上加下减”进行．或化成顶点式平移顶点.
6. 抛物线()2
0y ax bx c a =++≠关于x 轴对称的抛物线解析式为2y ax bx c =---；关于y 轴对称
的抛物线解析式为2y ax bx c =-+；关于原点对称的抛物线解析式为2y ax bx c =-+-；关于
顶点对称的抛物线解析式为2
2
2b y ax bx c a
=--+-.
次函数的图像和性质等基础知识（例1）
第二个板块：能力提升主要复习二次函数的基本应用；如图像变换（例2），最值问题（例3），简单的代几综合：将军饮马（例4）；
第三个板块：探索创新用来回顾二次函数同一元二次方程的结合，这是本讲次的重难点所在，这是北京中考23题常考类型，常见题型主要有三种类型：一是同方程、代数式变形结合（例5）；二是根的分布问题（例6）；三是数形结合（例7），
数形结合常见类型如下：
Ⅰ、a＞0；
①、不等式ax2 + bx + c
恒大于0；Ⅱ、b2 - 4ac＜0；
1、二次函数y = ax2 + bx + c
与x轴无交点Ⅰ、a＜0；
②、不等式ax2 + bx + c
恒小于0；Ⅱ、b2 - 4ac＜0
f (m) = am2 + bm + c ＜0；
2、二次函数y = ax2 + bx + c有根
m ＜x1＜n ( a ＞0，错误!未找到引用源。) f (n) = an2 +
bn + c ＞0。
3、二次函数y = ax2 + bx + c与反比例函数错误!未找到引用源。am2+
bm + c ＜错误!未找到引用源。；
满足m ＜x1＜n ( a＞0，错误!未找到引用源。，k＞0) an2 + bn +
c ＞错误!未找到引用源。。
Ⅰ、转化为(a - m)x2 +(b - n)x + (c - p)
≤0恒成立；
4、二次函数y1 = ax2 + bx + c
恒小于y2 = mx2 + nx + p
Ⅱ、a - m＜0，(b - n)2 - 4(a - m) (c - p) ＜0。
二次函数的基础知识点：解析式的确定、顶点坐标公式等在大题中均有渗透，故不在夯实基础中单独复习；二次函数的难点问题：点的存在性问题，因为综合性
太强、春季会重点讲解、近年北京中考考核较少等原因，所以本讲次中不予讲解。
【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如右图所示，则反比例函数
a
y x
=与一次函数
y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是
（ ）.
（安徽芜湖中考）
⑵ 根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函
数的图象与x 轴（ ） A.只有一个交点 B.有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
C.有两个交点，且它们均在y 轴同侧
D.无交点
（陕西省中考）
⑶ 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图,以水平地面为
x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中 划出的曲线是抛物线24y x x =-+（单位：米）的一部分， 则水喷出的最大高度是( ) A ．4米 B ．3米
C ．2米
D ．1米
（株洲中考）
⑷ 已知二次函数2
15
y x x =-+-，点()11y -，，()22y -，在二次函数图象上，则1y 、2
y 满足（ ）
A.12y y >
B.12y y <
C. 12y y =
D. 不确定
【解析】
⑴D ．⑵B ． ⑶A. ⑷A.
x … 1- 0 1 2 …
y … 1- 74- 2- 74- …
夯实基础
O y
x
米)y （米）
x
【例2】 已知：抛物线2
1C y ax bx c ++∶=经过点()10A -，、()30B ，、()03C -，。
⑴求抛物线1C 的解析式；
⑵将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点，并写出2C 的解析式；
⑶把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180?，写出所得抛物线3C 顶点D 的坐标。 【解析】 ⑴∵c bx ax y ++=2经过点()10A -，、()30B ，、()03C -，．
∴ 09303a b c a b c c -+=??
++=??=-?
，解得
123a b c =??
=-??=-?
∴ 所求抛物线1C 的解析式为：322--=x x y ．
⑵抛物线1C 向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线2C 经过坐标原点 所求抛物线2C 的解析式为：x x x x y 4)4(2+=+=． ⑶D 点的坐标为()34-，
【例3】 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正
半轴上，已知()04A ，、()50C ，．作AOC ∠的平分线交AB 于点D ，连接CD ，过点D 作DE CD ⊥交OA 于点E ． ⑴求点D 的坐标；
⑵求证：ADE BCD △≌△； ⑶抛物线2424
455
y x x =
-+经过点A 、C ，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线 上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 的长 度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2012西宁）
【解析】 ⑴ 证明：∵OD 平分AOC ∠，
∴AOD DOC ∠=∠，
∵四边形AOCB 是矩形，
∴AB OC ∥． ∴ADO DOC ∠=∠， ∴AOD ADO ∠=∠．
∴OA AD =（等角对等边）． ∴D 点坐标为()44，． ⑵ 解：∵四边形AOCB 是矩形 ∴90OAB B ∠=∠=?，BC OA =．
能力提升
C B
D E A O x
y
∵OA AD =， ∴AD BC =． ∵ED DC ⊥， ∴90EDC ∠=?．
∴90ADE BDC ∠+∠=?． ∵90BDC BCD ∠+∠=?， ∴ADE BCD ∠=∠． 在ADE △和BCD △中， DAE B AD BC
ADE BCD ∠=∠??
=??∠=∠?
∴ADE BCD △≌△（ASA ） ⑶ 解：存在．
∵二次函数解析式为：2424
455
y x x =
-+，点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点坐标为2424455t t t ??
-+ ???
，
设AC 所在直线函数关系式为y kx b =+，()04A ，、()50C ，， ∴4
540
b k =??+=? ∴454
k b ?
=-
???=?． ∴AC 所在直线函数解析式为：4
45
y x =-+．
∵PM y ∥轴，
∴445M t t ??-+ ???，． 2424444555PM t t t ????
=--++-+ ? ?????
24
45t t =-+
24255554t t ??=--++ ???
2
45552t ??
=--+ ???
∴当5
2
t =
时，5PM =最大值．
∴所求的P 点坐标为532??
- ???
，．
【例4】 如图，抛物线的顶点A 的坐标()02，
，对称轴为y 轴，且经过点()44-，. ⑴ 求抛物线的表达式.
⑵ 若点B 的坐标为()04，，P 为抛物线上一点（如图），过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ， 连接PB .求证：PQ PB =.
⑶ 若点()24C -，
，利用⑵的结论.判断抛物线上是否存在一点K ，使KBC △的周长最 小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】 设抛物线表达式为：22y ax =+
又抛物线经过点()44-，， ∴()2
442a =?-+ ∴18
a =
∴抛物线表达式为：21
28
y x =+
⑵ 证明：过点B 作BD PQ ⊥于点D ，
∵点P 在2128y x =+，故设点P 的坐标为2128m m ??
+ ???
，，()0m <
∴21
28
PQ m =+
∴点D 的坐标为()4m ，
∴||DB m m ==- ∴2211
24288
PD m m =+-=-，
∴在Rt PDB △中，
2128PB m =+
又2
128PQ m =+
∴PQ PB =
（注：此题解法不唯一，如用两点间距离公式等，可参照评分标准给分）
⑶ 解：过点C 作CE x ⊥轴点E ，交抛物线于点K ，连结KB PC CQ ，
， 则KBC △的周长l KC CB KB =++
又∵KB KE =，()24C -，
∴426l CE CB =+=+=，点K 的坐标为522?
?- ??
?，
对于抛物线上不同于点K 的点P ，总有PCB △的周l PC PB CB =++′ 又PB PQ =，
∴61l PC PQ CB CQ BC CE BC =++>+>+==′
，
∴抛物线上存在点522K ?
?- ??
?，使KBC △的周长最小，最小值为6.
【例5】 已知关于x 的一元二次方程2
2(4)0x a x a +++=．
⑴ 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
⑵ 抛物线2
1:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为
2
a ，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移个单位1
4
，再向上平移个单位18，得到抛物线2C ．求抛物线2C 的解
析式；
⑶ 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式
33222m mn n -+的值．
(2013西城一模)
【解析】⑴ 证明：∵22(4)4216a a a ?=+-?=+， 而20a ≥，
∴2160a +>，即0?>.
∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. ⑵ 解：∵当2a
x =
时，0y =， ∴22()(4)022
a a
a a ?++?+=.
∴230a a +=，即(3)0a a +=. ∵0a ≠，
∴3a =-.
∴抛物线1C 的解析式为22125232()48
y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48
--
. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-. ∴抛物线2C 的解析式为2
23y x =-.
⑶ 解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，
∴223n m =-，且223m n =-.
探索创新
∴22
2()n m m n -=-. ∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴12
m n +=-
. ∵223m n =+，223n m =+， ∴33222m mn n -+ 22222m m mn n n =?-+? n m mn m n ?++-?+=)3(2)3( ).(3n m +=
32
=-.
【例6】 已知二次函数2
17
=22
y x kx k ++
-． ⑴ 求证：不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点；
⑵ 若该二次函数的图象与x 轴的两个交点在点A （1,0）的两侧，且关于x 的一元二次 方程()22
2310k x k x +++=有两个不相等的实数根，求k 的整数值；
⑶ 在⑵的条件下，关于x 的另一方程()2
2
22640x a k x a k k +++-+-=有大于0
且小于3的实数根，求a 的整数值．
(2013房山二模)
【解析】⑴ 证明：△1=22
2
1
74421422
b a
c k k k k ==+----（）
22
2113=113k k k =++-+-（）＞0
∴不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点 ⑵ ∵二次函数2
17
=22
y x kx k ++
-的图象与x 轴的两个交点在点（1，0）的两侧， 且二次函数开口向上
∴当x =1时，函数值y ＜0,
即17122k k ++
-＜0，解得k ＜53
∵关于x 的一元二次方程k 2x 2＋(2k ＋3)x ＋1=0有两个不相等的实数根 ∴k ≠0且△2=2
2
2
2
2
4234=41294=129b ac k k k k k k =+++--+-（）＞0
∴k ＞3
4-且k ≠0 ∴34-＜k ＜5
3
且k ≠0
∴k =1
⑶ 由⑵可知，k =1
∴x 2＋2(a ＋1)x ＋2a ＋1=0 解得x 1=-1，x 2=-2a -1
根据题意，0＜-2a -1＜3
∴122
a --＜＜ ∴a 的整数值为1-.
【例7】 已知：抛物线2
(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ． ⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 将抛物线2
(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象 其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．
①求m 的取值范围；
②若点()2,N m k y +也在图象G 上，
且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ． （2013海淀二模）
【解析】⑴ ∵抛物线2
(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ，
∴93(2)24a a +--=． 解得 1a =．
∴抛物线的解析式为2
2y x x =--．
⑵ ①当0y =时，2
20x x --=． ∴1x =-或2.
∴抛物线与x 轴交于点(1,0)A -，(2,0)B . 当2y =-时，222x x --=-． ∴0x =或1．
∴抛物线与直线2y =-交于点(0,2)C -, (1,2)D -. ∴C ,D 关于直线1y =-的对称点'(0,0)C ，'(1,0)D . ∴根据图象可得1-≤m ≤0或1≤m ≤2． ②k 的取值范围为k ≥4或k ≤4-．
【例题精讲】针对例7例题精讲
【探究对象】二次函数中的“数形结合”.
【探究方式】通过抓住直线同三角形、四边形相交→直线同抛物线相交→直线同圆相交等情形的
深入变化，来促使题目难度和层次差异化，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现函数中的数形结合题型的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.
【探究1】若点()P x y ，是四边形ABCD 边上的点，且P 点坐标满足3y x z =-，试
求z 的最小值.
分析：很显然3y x z =-与函数3y x =平行，画出函数3y x =的图象，若直线3y x = 平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最小z 的值等于 33-
【探究2】设二次函数223y x x =-++错误!未找到引用源。的图象与x
轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，
图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值.
分析：设点C 坐标为(0，3)，注意数形结合，观察图象可知符合题意
的直线共有三条：
分别是经过点A 、C 的直线l 1：33y x =+； 经过点B 、C 的直线l 2：3y x =-+；
经过C 点与抛物线相切的直线l 3：23y x =+.
y
x
O
D
C B
A
x
y
O C
B
A l 2
l 3
l 1
【探究3】设抛物线212
133
y x x =--错误!未找到引用源。与y 轴的交点为A ，过点A 作直线l ∥
x 轴，将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到
一个新图象. 请你结合新图象回答：当直线1
3
y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0，y 0)且07y ≤时，求b 的取值范围.
分析：点A 的坐标为(0，1-)；数形结合可知，如图所示B 点
为纵坐标最大时的点，最大值为7； 则B 点坐标为(6，7)；
直线l 1
：13y x b =+经过B 点时，可得5b =； 直线l 2：1
3
y x b =+经过A 点时，可得1b =-；
直线l 3：1
3
y x b =+与抛物线相切时，得74b =-；
结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为
15b -<≤或74
b
【探究4】二次函数23
22
y x x =-++1的图象与x 轴交于点B C ，(点B 在点C 的左侧)，将二次函
数的图象在点B C ，间的部分(含点B 和点C )向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将直线46y x =+错误!未找到引用源。向上平移n 个单位. 请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围.
分析：向左平移后得到的图象G 的解析式为()()312
y x n x n =--+++1
，13n x n ---≤≤；
此时平移后的解析式为46y x n =++；
由图象可知，平移后的直线与图象G 有公共点，则两个临界的交点为B ’()10n --，与C ’()30n -，；
直线l 1：46y x n =++经过B ’点时，可得23
n =
； 直线l 2：46y x n =++经过C ’点时，可得6n =；
结合图象可知，符合题意的n 的取值范围为 2
63
n ≤≤. (本题需注意的是要排除平移后的直线与图象G 相切的情况，可以联立方程组后，利用判别式等于0，解得n =0，与题意矛盾，故舍去)
【探究5】二次函数24
y x x
=-错误!未找到引用源。与x轴有两个交点O、A，连接这两点间的线段，并以线段OA为直径在x轴上方作半圆P，设直线l的解析式为y x b
=+错误!
未找到引用源。，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围.
分析：如图所示：
①当直线l1经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0；
②当直线l2与半圆P相切于B点时有一个交点，
如图由题意可得Rt△BPC与Rt△COD都是等腰直
角三角形，可得CP
=∴OD=OC
=2；
直线l1：y x b
=+错误!未找到引用源。经过O点
时，可得b=0；
直线l2：y x b
=+错误!未找到引用源。与圆相切
时，可得2
b=；
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为
02
b<
≤
【总结】解答二次函数中的数形结合的题目大概步骤：
(1)要对一次函数、二次函数解析式的各项参数所代表的几何意义非常熟悉，根据给出
的含参解析式尽最大可能确定出函数图像的大概位置，例如，知道了一次函数的k，就应该能够确定出直线的倾斜程度；
(2)在平面直角坐标系中尽可能地精确地画出函数图像；
(3)明确导致函数图像不确定的关键因素；分析随着关键因素的变化，函数图象的变化
趋势，例如：给定一条直线解析式为：22
y x x c
=++错误!未找到引用源。，则影响该图像的关键因素就是常数项c，二次函数的图像随着c的变化在上下平移.
(4)根据函数图像的变化趋势，结合图形，分析满足题目要求的临界图形；
(5)根据临界图形的函数解析式求出参数的取值范围。
临界情形中经常出现直线与图形相切的情形，相切时解析式的求法：
①求过一点与圆相切的直线解析式，需连接圆心和切点，利用相似、三角函数等几何
知识求解；
②求过一点与抛物线相切的直线解析式，需将两个函数解析式联立方程中，利用消元
后产生的一元二次方程的判别式等于0来求解；
③过一点(x0，y0)且与抛物线2
=++错误!未找到引用源。相切的直线的斜率
y ax bx c
k=2ax0+b，(涉及到高中求导的知识，不用细讲，可以直接提供公式给学生)
训练1. 如图，已知二次函数()2
20y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负
半轴交于点()10A -，，与y 轴正半轴交于点B ，顶点为P ，
且3OB OA =，一次函数y kx b =+的图象经过A 、B ． ⑴ 求一次函数解析式； ⑵ 求顶点P 的坐标；
⑶ 平移直线AB 使其过点P ，如果M 在平移后的直线上，且
3
tan 2
OAM ∠=，求点M 坐标；
⑷ 设抛物线的对称轴交x 轴于点E ，联结AP 交y 轴于点D ，
若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、 QN ，请直接写出QD QN +的最小值． 【解析】
⑴ ∵()10A -，,∴1OA = ∵3OB OA =，∴()03B ，
. ∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：33y x =+
⑵ ∵二次函数()2
20y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交于点
()10A -，，与y 轴正半轴交于点()03B ，， ∴3,1c a ==-
∴二次函数的解析式为：223y x x =-++ ∴抛物线223y x x =-++的顶点()14P ， ⑶ 设平移后的直线的解析式为：3y x b =+ ∵直线3y x b =+过()14P ， ∴1b =∴平移后的直线为31y x =+ ∵M 在直线31y x =+上，且3tan 2
OAM ∠=
设()31M x x +，
① 当点M 在x 轴上方时，有
31312x x +=+，∴13x =,∴11(,2)3M ② 当点M 在x 轴下方时，有313
12
x x +-
=+， ∴59x =-∴252
(,)93
M --
⑷ 作点D 关于直线1x =的对称点D '，
过点D '作D N PD '⊥于点N ∴所求最小值为45
思维拓展训练（选讲）
P B
A
O
y
x
O
B
A
P
y
x
B
Q N D'
D
O E
A P y x
训练2. 已知抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，、()04C ，两
点，与x 轴交于另一点B ． ⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 若点()1D m m +，在第一象限的抛物线上, 求 点D 关于直线BC 对称的点的坐标；
⑶ 在⑵的条件下，连接BD ，若点P 为抛物线上一点，且
45DBP ∠=?，求点P 的坐标．
【解析】 ⑴ 抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，
,(04)C ，两点， 404 4.a b a a --=??-=?∴，解得13.a b =-??=?
，
∴抛物线的解析式为234y x x =-++．
⑵
点(1)D m m +，在抛物线上， 2341m m m ++∴+=-.
∴2230m m --=. 1m ∴=-或3m =． 点D 在第一象限，1m ∴=-舍去．
∴点D 的坐标为(34)，
． 抛物线234y x x =-++与x 轴的另一交点B 的坐标
为(4)，0，(04)C ，
， ∴.45OC OB CBO BCO =∴∠=∠=°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ． CD AB ∥， 45ECB CBO DCB ∴∠=∠=∠=°．
∴E 点在y 轴上，且3CE CD ==．∴1OE =.
()01E ∴，．即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为()01，． （3）过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于 H ，过点Q 作QG DH ⊥于G ．
∴90QDB QGD DHB ∠=∠=∠=°.．
45PBD ∠=，
°45BQD ∴∠=°．.QD BD ∴= 90QDG BDH ∠+∠=?，90DQG QDG ∠+∠=°， DQG BDH ∴∠=∠．
QDG DBH ∴△≌△. 4QG DH ∴==，1DG BH ==． ()13Q ∴-，．
设直线BP 的解析式为y kx b =+.
由点(13)Q -，
，点(40)B ，， 求得直线BP 的解析式为312
5
5y x =-+
． 解方程组234,312
55y x x y x ?=-++??=-+??得11
2,566;
25x y ?=-????=??
2240.x y =??=?，
（舍） ∴点P 的坐标为266525??
- ???
，．
训练3. 关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=．
⑴ 当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； ⑵ 点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上 的点，求抛物线的解析式；
⑶ 在⑵的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴 对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在， 请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
（门头沟一模）
【解析】 ⑴ 由题意得，[]2
2224(1)0m m ?=---->（）
解得，5
4
m <
210m -≠
解得，1m ≠±
当5
4
m <且1m ≠±时，方程有两个不相等的实数根．
⑵ 由题意得，212(2)11m m -+-+=-
解得，31m m =-=，
（舍） 28101y x x =++
⑶ 抛物线的对称轴是5
8
x =-
由题意得，104B ??
- ???
，
1
4
x =-与抛物线有且只有一个交点B
另设过点B 的直线y kx b =+()0k ≠
把104B ??
- ???
，代入y kx b =+，得14k b -+=-
114b k =-;1
14y kx k =+-
281011
14
y x x y kx k ?=++?
?=+-?? 整理得，2
18(10)204
x k x k +--+=
有且只有一个交点，2
1(10)48(2)04
k k ?=--??-+=
解得6k =，∴1
62
y x =+
综上，与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有1
4x =-，162
y x =+
【演练1】 已知二次函数22(1)(31)2y k x k x =---+．
⑴ 二次函数的顶点在x 轴上，求k 的值；
⑵ 若二次函数与x 轴的两个交点A 、B 均为整数点（坐标为整数的点），当k 为整数时，求A 、B 两点的坐标.
（昌平一模）
【解析】
⑴ ∵二次函数顶点在x 轴上， ∴240b ac -=，且0a ≠
即()()
2
2
314210k k --?-=，且20k -1≠
∴=3k
⑵ ∵二次函数与x 轴有两个交点，
∴240b ac ->，且0a ≠． 即()2
30k ->，且1k ≠±．
当3k ≠且1k ≠±时，即可．
∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数
∴()()()()()1222313313442
1
212121k k k k k x k k k k -+--+--====+---
()()
()
()()2222313313221
1
212121k k k k k x k k k k -----++=
=
==----
∴当
21k +为整数时，3,2,0,1k =--；当1
1k -为整数时，0,2.k = ∴综上，当=0k 时，可使1x ，2x 均为整数，
∴当=0k 时，A 、B 两点坐标为()10-，和(20)，
【演练2】 已知二次函数22y x x m =++的图象1C 与x 轴有且只有一个公共点．
⑴ 求1C 的顶点坐标；
⑵ 将1C 向下平移若干个单位后，得抛物线2C ，如果2C 与x 轴的一个交点为()30A -，，求2C 的函数关系式，并求2C 与x 轴的另一个交点坐标； ⑶ 若()1P n y ，，()22Q y ，是1C 上的两点，且12y y >，求实数n 的取值范围．
【解析】
⑴ 222(1)1y x x m x m =++=++- 对称轴为1x =- ∵与x 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0． ∴1C 的顶点坐标为()10-，
⑵ 设2C 的函数关系式为()2
(1)0,y x k k =+->
把()30A -，代入上式得2(31)0,4,k k -+-==
∴2C 的函数关系式为2(1) 4.y x =+- ∵抛物线的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点为()30A -，，由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为()10，．
实战演练
⑶ 当1x -≥，y 随x 的增大而增大，12,2y y n >∴>
当1x <-时，点Q 关于对称轴对称的点的横坐标为4-， ∴当4x <-时，对应的函数值都要大于2.y ∴4n <-
【演练3】 已知：二次函数22(2)y x n m x m mn =+-+-．
⑴ 求证：此二次函数与x 轴有交点；
⑵ 若10m -=,求证方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；
⑶ 在⑵的条件下，设方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a ,当2x =时，关于
n 的函数1y nx am =+与22
2(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、
B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y nx am =+、222(2)y x n m ax m mn
=+-+-的图象分别交于点C 、D ，若6CD =，求点C 、D 的坐标.
（海淀一模）
【解析】
⑴ 证明：令0y =，则有22
(2)0x n m x m mn +-+-= 222(2)4()n m m mn n ?=---=
∵20n ≥
∴0?≥
∴二次函数22(2)y x n m x m mn =+-+-与x 轴有交点
⑵ 解法一：由10,1m m -=∴=，方程22(2)0x n m x m mn +-+-=可化为
2(2)10x n x n +-+-= 解得：1211x x n ==-，
∴方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1
解法二：由101m m -=∴=，方程22(2)0x n m x m mn +-+-=可化为
2(2)10x n x n +-+-=
当1x =时，方程左边()1210n n =+-+-= 方程右边=0
∴左边=右边
∴方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1 ⑶ 方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的根是：12,x m x m n ==- ∵1m =,∴121,1.x x n ==-∴1a n =-
当2x =时，11y n =+，22251y n n =-++
设点(),1C b b +则点()
2
,251D b b b -++
∵6CD =，
∴2
251(1)6b b b -++-+=
∴1231b b ==-，
∴C 、D 两点的坐标分别为()34C ，，()32D -， 或()10C -，，()16D --，
第12讲 二次函数 【考点导引】 1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】 1. 二次函数2 y ax bx c =++，配方为2 2424b ac b y a x a a -??=++ ??? ，顶点坐标是(2b a -，244ac b a -)，对称轴是a ＝2b a - ，与y 轴交点坐标是(0，c )，与x 轴交点的横坐标是20ax bx c ++=的根，当a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小． 2. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a 、b 、c 关系，再结合对称轴x ＝a b 2- ，确定a 、b 之间等量关系，判断与x 轴交点情况则利用判别式b 2－4ac ． 3. 抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为： （1）上下平移：抛物线y =a (x －h )2+k 向上平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k +m ；抛物线y =a (x －h )2+k 向下平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k －m ． （2）左右平移：抛物线y=a(x －h)2+k 向左平移n （n>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x －h+n)2+k ；抛物线y=a(x －h)2+k 向右平移n （n>0）个单位，所得的抛物线的解析式为y=a(x －h －n)2+k. 特别地，要注意其中的符号处理． 【解题策略】 1. （1）二次函数y ＝2ax bx c ++（≠0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系： ，， 的代数式 决定图象特征 说明 决定抛物线的开口方向 ＞0 开口向上 ＜0 开口向下 决定抛物线与y 轴交点 的位置，交点坐标为 ＞0 与y 轴交点在轴上方 ＝0 抛物线过原点
二次函数与方程（组） 1．如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．点P 在抛物线上且在x 轴上方，15PBC S =△，求P 点坐标． 【答案】解：作//PD y 轴交BC 延长线于D ，如图， 当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，则(3,0)B ， 当0x =时，2233y x x =--=-，则(0,3)C -， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， 把(3,0)B ，(0,3)C -代入得30 3k b b +=??=-?， 解得1 3k b =??=-? ， ∴直线BC 的解析式为3y x =-； 设2(,23)P x x x --，则(,3)D x x -， 2223(3)3PD x x x x x ∴=----=-， 21 3(3)2 PBC PBD PCD S S S x x ???=-=??-， ∴21 3(3)152 x x ??-=， 解得12x =-，25x =， P ∴点坐标为(2,5)-或(5,12)．
2．已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 在抛物线上，且在第四象限，若3PBC S =△，求P 点坐标． 【答案】易得()30B ， ，()03C -，，直线BC ：3y x =- 设()223P x x x --，，作PH x ⊥轴交BC 于D 则()223233PD x x x x x =----=-+ ∵() 21 3332 PBC S x x =??-+=△ ∴2320x x -+= ∴()14P -， 或()23-， 3．如图，抛物线257 266 y x x =-++与x 轴负半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，点H 在抛物 线上，BH 交x 轴于M 点，若MBA BAM ∠=∠，求H 点的坐标． 【答案】令257 2066 x x -++=，可得257120x x --=，()()51210x x -+= ∴()10A -， ，()02B ， 作MH AB ⊥于H
复习引入: （一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点） 描点、连线 分 （1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析： （2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移 （3）这三个二次函数若与坐 总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a >0 向上 (-m,k) 直线 x = _m x > —m 时，y 随x 的增大而增大；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而减小；x = -m 时，y 有最小值 k . a cO 向下 (-m, k) 直线 x = -m x > —m 时，y 随x 的增大而减小；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而增大；x = -m 时，y 有最大值 k . 1 ?平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ，确定其顶点坐标(-m,k); ⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到(-m,k)处，具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 例题分析 1. 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 下 直线X=2 (2,4) 1 2 厂尹3)2_5 上 直线X=-3 (-3,-5) 2,1 y = —3(x —2) + — 3 下 直线X=2 (2,1/3) —3、2 7 y = ——(x —一) 一 — 12 4 12 下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线的表达式为 y=-5(x+1) 2-3 ___________ 3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位，再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移 ￥ y=a(x-h)2 y=ax 2+k ! 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移kl 个单位
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 22.1.2 二次函数2 y ax =的图象和性质 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 例1．若抛物线y=ax 2经过P （1， ﹣2），则它也经过 ( ) A ．（2，1） B ．（﹣1，2） C ．（1，2） D ．（﹣1，﹣2） 【答案】 【解析】 试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点P （1，-2）， ∴x=-1时的函数值也是-2， 即它也经过点（-1，-2）． 故选D ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 例2．若点(2，-1)在抛物线2 y ax =上，那么，当x=2时，y=_________
【解析】 试题分析：先把(2，-1)直接代入2 y ax =即可得到解析式，再把x=2代入即可. 由题意得14-=a ，41-=a ，则2 4 1x y -=， 当2=x 时，.144 1-=?-=y 考点：本题考查的是二次函数 点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减. 例1．若抛物线 y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），则它也经过 （ ） A ．P 1（－1，－2 ） B ．P 2（－l ， 2 ） C ．P 3（ l ， 2） D ．P 4（2， 1） 【答案】A 【解析】 试题分析：因为抛物线y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），且对称轴是y 轴，所以点P （l ，－2）的对称点是（－1，－2），所以P 1（－1，－2）在抛物线上，故选：A. 考点：抛物线的性质. 例2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．3 D ．7 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2）， ∴a b 3b 2+=??=-?，解得a 5b 2=??=-? ． ∴a ﹣b=5+2=7．
人教版初中数学二次函数知识点 一、选择题 1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：- 2b a =3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）
【例1】 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该 设施的下部ABCD 是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆． （1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说 明理由． E C D 【考点】二次函数的应用 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2009年，日照 【解析】（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，MN 应位于DC 下方，且此时△EMN 中 MN 边 上的高为0.5米.所以，S △EMN =1 20.52 ??=0.5（平方米）.即△EMN 的面积为0.5平方米. （2）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动，即0＜x ≤1时， △EMN 的面积S =1 22 x ??=x ； ②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即1＜x ＜1 如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点， ∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ,且FG 又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ． ∴ MN GH DC GF = ，即MN = 故△EMN 的面积S ＝12x ＝2(1x ++； 综合可得： ( ) (201111x x S x x x ≤?? =??++ ? ??? ，＜．＜＜ （3）①当MN 在矩形区域滑动时，S x =，所以有01S <≤
例1、判断：以下函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？假设是二次函数，指出,,a b c 〔1〕34y x = 〔2〕20.51y x =-+ 〔3〕21y x x = + 〔4〕()22 3y x x =+- 〔5〕232s t =- 〔6〕232y x =- 〔7〕y = 〔8〕210s r π= 解：〔2〕，-0.5、0、1； 〔5〕，-2、0、3； 〔8〕10π、0、0. 例2、函数72 )3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值． 解：m=-3 3、〔1〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 解：m ≠0且m ≠1 〔2〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数？ 解：M=1 【二】函数解析式 例1、用20米的篱笆，一面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个矩形花圃，如图，在BC 边上留一个2米的门，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。 解：2 222(010)y x x x =-+<<
2、用20米的篱笆，两面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个直角梯形花圃，如图，AD ∥BC,AB ⊥BC,其中AD CD 、是已有的墙，0135ADC ∠=，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。 答案：23 20(010)2 y x x x =-+<< 3、二次函数y=4x2＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k ． K=2 【三】二次函数2y ax = 的图像 ①函数2y ax =图像?? ???开口方向： 对称轴：顶点坐标： ②增减性： ③最值： 例1、先分别说出以下函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后再画出大致的图像。 〔1〕y=－3x2, 〔2〕 y=23 1x , 〔3〕y=5x2, 〔4〕 y=24 3x -. 2、函数()()2110y k x k =++≠的图像的顶点坐标是 〔0,0〕 ，对称轴是 x=0 。 当k >-1 时，图像的开口向上，这是函数有最 小 值； 当k <-1 时，图像的开口向下，这是函数有最 大 值. 例2、函数的增减性 〔1〕当0x >时，函数27y x =-的值随着自变量x 的增大而 减小 ；当x =0 时，函数值最 大 ，最 大 值是 0 。 〔2〕当0x <时，函数223 y x =的值随着自变量x 的减小而 增大 ；当x =0 时，函数值最 小 ，最 小 值是 0 。 〔3〕A 〔1，y1〕、B 〔-2，y2〕、C 〔-2，y3〕在函数y=24 1 x 的图像上，那么y1、y2、y3的大小关系是 y1 新人教版初三数学二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2. 二次函数 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 向上轴时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 2. 的性质：上加下减。 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 向上轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 3. 的性质：左加右减。 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 向上X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 4. 的性质： 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 向上X=h 时， 随 的增大而增大；时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 ． 向下X=h 时， 随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ 二次函数说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二次函数是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数 学模型，应用非常广泛，许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究. 在历年来的中考题中二次函数也占有较大比例。在本节课之前，学生已经系统的学习过了反比例函数和一次 函数。学生对两个变量之间的函数关系已经有一个基础的认识。本章内容，既是对之前所学 函数知识的一个补充，又是高中阶段进一步学习函数知识的基础。同时，二次函数和以前学 过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法 提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次 函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整 个教材中具有承上启下的重要作用。 2.教学目标 知识技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并 了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 数学思考：通过用二次函数表述实际问题中的数量关系，体会模型思想，建立符号意识。 问题解决：能应用二次函数的相关知识解决简单的数学问题及实际问题 情感态度：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的 数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 3.重难点 根据教学内容和学生的实际情况，将本节课的教学重点确定为：对二次函数概念的理解，初 步学会用函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系．教学难点确定为由实际问题确定函 数解析式和确定自变量的取值范围 . 二、教法学法分析。 教法分析:采用自学式、讨论式以及讲练结合的教学方法。自学可引导学生积极参与，学会学习，培养自主学习的能力，逐步自主学习的习惯，有利于终身学习。本节课以学生自主学习 为前提、给他们一个平台，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在展示交流时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去探索，从真正意义上完成对知识的自我构建。 学法分析:采用分组合作学习的形式，让学生在导学中有目标、有计划地独立学习,互相讨论，互相交流，合作探究，主动地进行学习，在执行任务过程中，通过独立思考、实践、讨论、 交流与合作，培养学生良好的学习习惯和学习方法，充分发挥学生在学习中的积极性和主动 性，提高自身的学习能力，充分体现了以学生发展为本的教学理念。 我设计了“情境导学—自学梳理—合作解疑—点拨校正—巩固应用—归纳小结—达标检测” 七环节进行教学. 三、教学过程 （一）情境导学 根据学习内容的安排和需要，本节课我创设了如下问题情境 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？它们的形式是怎样的 ? （一次函数，反比例函数y=kx+b ，k ≠0； y=x k , k ≠0） (板书) 【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定 义的理解．以备与二次函数进行比较． 二次函数实际问题 1．矩形窗户的周长是6m ，写出窗户的面积y (m 2)与窗户的宽x (m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x 的取值范围，并画出函数的图象． 2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m ，水位上升3m ， 就达到警戒水位CD ，这时水面宽4m ，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶． 3．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1m 的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4m 高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米?(取734=，562=) 4．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)． (1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果 不能，请说明理由． 5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x． (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式； (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少? 6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品． (1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少? 《二次函数》教案 教学目标 1、从实际情境中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系； 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式； 3、会建立简单的二次函数模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围； 教学重点 二次函数的概念和解析式 教学难点 本节涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力. 教学过程 创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题) 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： (1)面积y (cm 2 )与圆的半径x (cm ) (2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12Om ， 室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x (cm )， 种植面积为 y (m 2) 1 1 1 3 x 教师组织合作学习活动： 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式. 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨. (1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000 (3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法. 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数， a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadra ticfuncion ). 称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项. 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 做一做 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)21x y -= (3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 . 例题示范，了解规律 例1、已知二次函数 q px x y ++=2 当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式. 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法. 练习：已知二次函数c bx ax y ++=2 ，当x =2时，函数值是3；当x =-2时，函数值是2.求这个二次函数的解析式. 例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm )，四边形EFGH 的面积为y (cm 2)，求： ①y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围. ②当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示. 二次函数测试题 一、填空题： 1.用配方法将二次函数1232--=x x y 化成()k h x a y +-=2 的形式是 . 2. 二次函数 x x y 42+-=的图象的顶点坐标是 ,在对称轴的右侧y 随x 的增大而 3.已知抛物线 c bx x y ++=22的顶点坐标是（-2,3）,则bc = . 4.已知二次函数 m x x y +-=62的最小值是1,那么m 的值是 . 5. 已知二次函数 ()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上,顶点在第三象限,且交于y 轴的负半轴,则m 的取值范 围是 . 6. 若抛物线() 4152322---+=x m m x y 的顶点在y 轴上, 则 m 的值是 7．抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示,则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ． 8．抛物线3422++=x x y 由抛物线 1622+-=x x y 向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到. 二、选择题： 9．若直线y=ax+b 不经过一、三象限,则抛物线 c bx ax y ++=2（ ）. (A)开口向上,对称轴是y 轴; (B) 开口向下,对称轴是y 轴; (C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下,对称轴是直线x=-1; 10． 抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8); 11． 若二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口向下,顶点在第一象限,抛物线交于y 轴的正半轴; 则点??? ??b c a P ,在（ ）. (A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 12．已知直线y=x+m 与抛物线2x y =相交于两点,则实数m 的取值范围是( ). (A) m ﹥41- ; (B)m ﹤41-; (C)m ﹥41; (D) m ﹤41. 13．若一条抛物线 c bx ax y ++=2的顶点在第二象限,交于y 轴的正半轴,与x 轴有两个交点,则下列结论正确的是（ ）. (A)a ﹥0,bc ﹥0; (B)a ﹤0,bc ﹤0; (C) a ﹤0, bc ﹥0; (D) a ﹥0, bc ﹤0 14． 抛物线 232+-=x x y 不经过（ ）. (A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限 15．已知a ＜－1,点（a －1,y 1）、（a,y 2）、（a ＋1,y 3）都在函数y=x 2的图象上,则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3 16．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ） 17．如图,坐标系中抛物线是函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象,则 二次函数的区间最值及应用 模块一：二次函数的区间最值 1．定轴定区间 对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） （1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值． （2）若2b n a <-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． （3）若2b m a >-，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． （4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =， max y y =． 2．动轴或动区间 对于二次函数2 (0)y ax bx c a =++>，在m x n ≤≤（m ，n 为参数）条件下，函数的最值 需要分别讨论m ，n 与2b a -的大小． 模块二：二次函数的应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 b 分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值： （1）x 取任意实数；（2）当 20 x -≤≤ 时；（3）当13x ≤≤时；（4）当12x -≤≤时． 【解析】（1），∴当时，函数的最大值为，无最小值； （2）∵在右侧， ∴当时，函数取得最大值1；当时，函数取得最小值； （3）∵在左侧， ∴当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值； （4）∵，且， ∴当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． 【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图． 试求(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值． 【解析】令，则有222(54)(56)5(4)(6)51029y x x x x t t t t =+++++=+++=++ ∵当时，的取值范围是， ∴原题转化为当时，求的最大值和最小值． ∵，故当时，．而当解得：， 又∵，∴当时，． 当时，；当时，，而， ∴当时，即时，． 【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值. 2 317248y x ? ?=--+ ?? ?34x =1783 4 x =20x -≤≤0x =2x =-13-3 4 x =13x ≤≤1x =3x =8-3 124-≤≤331244-->-34 x = 17 81x =-4-25t x x =+33x -≤≤t 25 244 t -≤≤25 244t - ≤≤21029y t t =++()254y t =++5t =-min 4y =255x x -=+1,255 x -±=33x -≤≤55 x -+=min 4y =254t =- 9516y =24t =845y =9845516 >24t =3x =max 845y = 二次函数代几综合（一） 1.（粮道街中学12月月考）已知二次函数y＝x2＋bx－3（b为常数）的图象经过点A(－1，0) (1) 若直线y＝3x＋n与该抛物线交于点A和点B，求点B的坐标 (2) P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为Q ①当点Q落在该抛物线上时，求m的值 ②当点Q落在第二象限内，QA的平方取得最小值时，求m的值 二次函数代几综合问题考察的分类大致有：线段问题、角度问题、面积问题、特殊图形存在性问题（较少出现）。 中考的压轴题都是二次函数的代几综合，需要引起重视！ 知识点一（线段问题） 【知识梳理】 1、 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3、二次函数与不等式 解不等式步骤：（1）检验二次项系数是否为正；（2）判断一元二次方程的判别式是否>0,<0,=0；（3）解出一元二次方程的根；（4）写出一元二次不等式的解集 当0>a 时，不等式02>++c bx ax 或02<++c bx ax ，也可以用二次函数图象来求解。 【例题精讲】 1.（元调24题）如图，抛物线y ＝(x ＋m )2＋m ，与直线y ＝－x 相交于E 、C 两点（点E 在点C 的左边），抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）．△ABC 的外接圆⊙H 与直线y ＝－x 相交于点D 。 (1) 若抛物线与y 轴的交点坐标为(0，2)，求m 的值； (2) 求证：⊙H 与直线y ＝1相切； (3) 若DE ＝2EC ，求⊙H 的半径。 二次函数的概念辅导教案 1．直线y=kx+b经过一、三、四象限，则直线y=bx﹣k的图象只能是图中的（） A．B．C．D． 2．若一次函数y=（3﹣k）x﹣k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k＞3B．0＜k≤3C．0≤k＜3D．0＜k＜3 3．一次函数y=kx+b，经过（1，1），（2，﹣4），则k与b的值为（）A．B．C．D． 4．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则k、b的符号是（） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【目标导学】 1．认识二次函数的关系式 2．体会二次函数变量关系 3．理解二次函数y=ax2的图象及性质 【自主学习】 活动一：认真阅读课本P28-P29页的内容，时间要求3分钟 学生思考：（1）如何理解二次函数？ （2）二次函数解析式跟一元二次方程一般形式有什么异同？ 活动二：认真阅读课本P29-P32页的内容，时间要求10分钟 学生思考：（1）如何画出y=ax2的图象？ （2）抛物线指什么？ （3）y=ax2的图象有哪些特征？ （4）系数a如何影响二次函数的图象？ 【例题剖析】 （1）剖析课本P30的例题1，并根据学生的理解提出对应问题 【习题过关】 请学生在10min中内完成课本P29练习1、2以及课本P32的练习 【总结反思】 1．形如的函数，叫做二次函数．其中，x是，函数解析式的二次项系数是，一次项系数是和常数项是 2．从图像上可以看出，二次函数的图像都是； 3．抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是，顶点是． 4．a＞0时，抛物线y=ax2的开口；a＜0时，抛物线y=ax2的开口．5．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越__________；当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_______；因此，｜a｜越大，抛物线的开口越_______，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________． 6．观察c的图象，当x＞0是，y随着x的增大而_____；当当x＜0是，y随着x的增大而_____ 专题课：二次函数的最值（教师版） 【基础知识与方法归纳】 二次函数)0()(2≠++==a c bx ax x f y 在闭区间[,]m n 上必有最大值和最小值. 记{}{})(),(min ,)(),(max n f m f l n f m f L ==，则 (1) 当0>a 时 ① 若],[2n m a b ∈-，则L y a b f y =-=m ax m in ),2(； ② 若],[2n m a b ?- ，则L y l y ==m ax m in ,. (2) 当0 人教版二次函数教案 【篇一：新人教版九年级数学二次函数教案】 二○一四年秋季学期东皇镇中学集体备课 教案 学科：数学班级：九____班授课教师：__________ 1 2 二○一四年秋季学期东皇镇中学集体备课 教案 学科：数学班级：九____班授课教师：__________ 3 4 二○一四年秋季学期东皇镇中学集体备课 教案 学科：数学班级：九____班授课教师：__________ 5 【篇二：人教版初中数学教案二次函数】 第二十六章二次函数 二次函数（第一课时） 教学目标： 知识与技能能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围； 过程与方法通过设置问题、类比、归纳等方法，引导学生思考、合作、交流，从而获得新知； 情感态度价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。教学重难点： 重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 难点：寻找、发现实际生活中二次函数问题。教学过程： 一、创设情境，激发求知 1.设用篱笆围成的矩形花圃的垂直于墙的一边ab的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的 2 另一边bc 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当ab的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y 是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1，可让学生根据表中给出的ab的长，填出相应的bc的长和 面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从 所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什 么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当ab的长为 2 5cm，bc的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m。对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形 成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。对于3，教师可提出问题，(1)当ab=xm时，bc长等于多少m?(2) 面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售 约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： 2 y=－2x＋20x(0＜x＜10)……………………………(1) 将函数关系式 y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： 2 y=－100x＋100x＋20d (0≤x≤2)……………………(2) 三、观察； 概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考 回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) 22 (2)多项式－2x＋20和－100x＋100x＋200分别是几次多项式? (分 别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项 式来表示的) 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数 y取得最大值。新人教版初三数学二次函数公式及知识点总结
[初中数学]二次函数说课稿人教版
二次函数实际问题学生(含教师版)
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九年级二次函数代几综合(一)(教师版)
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