0=x （y 轴）
（0,0） k ax y +=2
0=x （y 轴）
(0, k ) ()2
h x a y -=
h x =
(h ,0) ()k h x a y +-=2
h x =
(h ,k )
c bx ax y ++=2
a
b x 2-
= (a
b a
c a b 4422
--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点:（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2
得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2
).
（3）抛物线与x 轴的交点: 二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次
方程02
=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴
相切； ③没有交点?0
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则
横坐标是k c bx ax =++2
的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解
时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2
x 是方程02
=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
?-=+2121,()()a a ac b a c
a b x x x x x x x x AB ?=-=-??
? ??-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
第二部分 典型习题
１.抛物线y ＝x 2
＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）
A.（2，－2）
B.（1，－2）
C.（1，－3）
D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0
C
A E
F B
D
第２,３题图 第4题图
３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2
的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
４.如图，已知?ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过
A 、
B ），设E 到B
C 的距离为x ，则?DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ）
D
O 4
24O
424
O 4
24
O 4
24
A
y
x
B
C
2482,484
EF x
EF x y x x -=?=-∴=-+ ５.抛物线322
--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．
6.已知二次函数11)(2k 2
－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22
＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；
⑤2
2114k x x k
＋－＝，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．
7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102
.
（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.
解：（1）102
-=x y 或642
--=x x y 将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100
(,)24
b b b +++-，由题意 得21016100
224
b b b b +++-?+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y 8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,
则???
?
???-=++-=+?+?=+-+-4
3005)2()2(22c b a c b a c b a ,即?????-=+=--=1423b a b a c ,解得?????-=-==321
c b a
故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-x ．
y
O x
第9题
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式． 解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时
⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()221024216
12
≤≤++-
=x x x y 10.已知抛物线4)33
4(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．
解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）． 设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0）， 由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，a
x 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a
34
-，0）． ∴ |334
|+-
=a
AB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 22
4|34|+-
a
． ∴ 9891693432916|334|2222
+-=+??-=+-
=a a a a a AB ， 252=AC ，16916
22+=a
BC ． 〈ⅰ〉当2
2
2
BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由2
2
2
BC AC AB +=，
得
)16916(25989162
2++=+-a a a ． 解得 4
1
-=a ． ∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，9
4002
=BC ．
于是2
22BC AC AB +=． ∴ 当4
1-=a 时，△ABC 为直角三角形．
〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由2
22BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=a
a a ．
解得 94=a ． 当94=a 时，39
434
34-=?=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．
〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由2
22AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+a a
a ．
解得 9
4
=a ．不合题意．
综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当4
1
-
=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2
＋mx －m ＋2（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，AB ＝5，试求m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.
解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2
－mx ＋m －2＝0的两根.
∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 12x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;
又AB ＝∣x 1 — x 2∣＝121245x x x x -=2
（+） , ∴m 2－4m ＋3=0 .
解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .
（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,
∴222,2.a ma m b a ma m b ?-+-+=??---+=-?? ①②
①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .
∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴2a m =±- .这时M 、N 到y 轴的距离均为2m -, 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴23
1
2
3（2－m ）32m -=27 .∴解得m=－7 . 12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42
与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； （2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析
式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线
上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），
∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．
（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42
与x 轴的一个交点为A （－1， 0），
∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－
t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342
＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342
＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴
9)(2
1＝OD CD AB ?+．∴ 93)42(21
＝＋a ． ∴ a ±1．
∴ 所求抛物线的解析式为342
＋＋＝x x y 或342
---ax x y ＝．
N
M
C
x
y
O
（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500
＝x y ．∴ 002
5
x y ＝－． ①设点E 在抛物线342
＋＋＝x x y 上， ∴3402
00＋＋＝x x y ．
解方程组?????3
4,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得???-；＝，＝15600y x ???
???
?'-'．＝，＝452
100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-
，4
5
）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小．
∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小．
∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．
设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝， ∴ ?????-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得???
???
?
.23,2
1＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝
x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21
＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，2
1）． ②设点E 在抛物线342
---x x y ＝上，∴ 3402
00---x x y ＝．
解方程组?????
---.
34,250200
00x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 02
0＝＋+．∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2
1
），使△APE 的周长最小． 解法二：
（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42
与x 轴的一个交点为A （－1，0），
∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－
t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342
＋＋＝． 令 y ＝0，即0342
＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－
x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．
（2）由a ax ax y 342
＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342
＋＋＝上， ∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴
9)(2
1
＝＋OD CD AB ?．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342
＋＋＝x x y 或342
－－＝－x x y ．
（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．
∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．
由PF ∥EQ ，可得
EQ PF BQ BF ＝
．∴ 4
5251PF
＝．∴ 21＝PF ． ∴ 点P 坐标为（－2，2
1
）．以下同解法一．
13.已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．
（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，
∴ )2(12-??=-a ．∴ 1=a ．∴ 22
--=x x y ． 其顶点M 的坐标是??
? ??-
4921
，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），
∴ ???
??+=-+=.2
14920b k b k ，
．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ．
∴ 323-=
t h ，其中221<1
432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是22
1
<（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ??? ??4725，，??
? ??-45232，
P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22
--=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：
i ）若∠PAC ＝90°，则2
2
2
AC PA PC +=． ∴ ?????+++=++--=.
5)1()2(222222n m n m m m n ，
解得：251=
m ，12-=m （舍去）． ∴ 点??
?
??47251，P ．
ii ）若∠PCA ＝90°，则2
2
2
AC PC PA +=．∴ ?????+++=++--=.
5)2()1(22
2222n m n m m m n ，
解得：02343==
m m ，（舍去）．∴ 点??? ??452
3
2，－P ．
iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．
（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，
此时未知顶点坐标是点D （－1，－2）， 以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ???
??-5251，，F ??
? ??-5854，．
图a 图b
14.已知二次函数22
－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点
的个数．解：根据题意，得a －2＝－1. ∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22
-x y ＝． 因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．
15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，
线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．
解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为10
9
2
＋
＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25
，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-?a ，得12518＝－a ．
因此所求函数解析式为)25
25(109125182≤≤-x x y ＋＝－．
（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得24
5
±＝x ．
所以点D 的坐标为（245－
，209），点E 的坐标为（245
，
20
9）．所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为
385227501.0110002
2
5≈??＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数
c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．
（1）a 、c 的符号之间有何关系?
（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值． 解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．
（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．
∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =． 据题意，1x 、2x 是方程)0(02
≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a
c
x x =
?21． 由题意，得2
OC OB OA ＝?，即22
c c a
c
＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．
（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a
a b x x ，∴ a ＞0．
解法一：AB ＝OB －OA ＝212
21124)(x x x x x x -＋＝－，∴ a
a ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==
－． ∵ 34=AB ， ∴
3432＝a ．得2
1
=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝
，∴ a
x 321-＝，a x 3
22+＝．
∴ a
a a x x OA OB AB 3
2323212＝－－＝
－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴
3432＝a ，得2
1
＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线33
3
+-
=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标； （2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：
（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．
解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线33
3
+-
=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0）
，B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．
∴ 2
3
2,2321=
===
OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=
-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（2
3
,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-?=-a ．∴ 39
2
=a ．
∴ x x y 8
3
29322-=
为所求． （3）∵ 3
3
tan =
∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ?=??-∠=∠30602
1
21ABO OBD ．
∴ OD ＝OB 2tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．
∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．
【精选】2020年中考考点讲练案第12讲 二次函数(教师版)
第12讲 二次函数 【考点导引】 1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】 1. 二次函数2 y ax bx c =++，配方为2 2424b ac b y a x a a -??=++ ??? ，顶点坐标是(2b a -，244ac b a -)，对称轴是a ＝2b a - ，与y 轴交点坐标是(0，c )，与x 轴交点的横坐标是20ax bx c ++=的根，当a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小． 2. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a 、b 、c 关系，再结合对称轴x ＝a b 2- ，确定a 、b 之间等量关系，判断与x 轴交点情况则利用判别式b 2－4ac ． 3. 抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为： （1）上下平移：抛物线y =a (x －h )2+k 向上平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k +m ；抛物线y =a (x －h )2+k 向下平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k －m ． （2）左右平移：抛物线y=a(x －h)2+k 向左平移n （n>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x －h+n)2+k ；抛物线y=a(x －h)2+k 向右平移n （n>0）个单位，所得的抛物线的解析式为y=a(x －h －n)2+k. 特别地，要注意其中的符号处理． 【解题策略】 1. （1）二次函数y ＝2ax bx c ++（≠0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系： ，， 的代数式 决定图象特征 说明 决定抛物线的开口方向 ＞0 开口向上 ＜0 开口向下 决定抛物线与y 轴交点 的位置，交点坐标为 ＞0 与y 轴交点在轴上方 ＝0 抛物线过原点
二次函数与方程(组)-教师版
二次函数与方程（组） 1．如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．点P 在抛物线上且在x 轴上方，15PBC S =△，求P 点坐标． 【答案】解：作//PD y 轴交BC 延长线于D ，如图， 当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，则(3,0)B ， 当0x =时，2233y x x =--=-，则(0,3)C -， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， 把(3,0)B ，(0,3)C -代入得30 3k b b +=??=-?， 解得1 3k b =??=-? ， ∴直线BC 的解析式为3y x =-； 设2(,23)P x x x --，则(,3)D x x -， 2223(3)3PD x x x x x ∴=----=-， 21 3(3)2 PBC PBD PCD S S S x x ???=-=??-， ∴21 3(3)152 x x ??-=， 解得12x =-，25x =， P ∴点坐标为(2,5)-或(5,12)．
2．已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 在抛物线上，且在第四象限，若3PBC S =△，求P 点坐标． 【答案】易得()30B ， ，()03C -，，直线BC ：3y x =- 设()223P x x x --，，作PH x ⊥轴交BC 于D 则()223233PD x x x x x =----=-+ ∵() 21 3332 PBC S x x =??-+=△ ∴2320x x -+= ∴()14P -， 或()23-， 3．如图，抛物线257 266 y x x =-++与x 轴负半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，点H 在抛物 线上，BH 交x 轴于M 点，若MBA BAM ∠=∠，求H 点的坐标． 【答案】令257 2066 x x -++=，可得257120x x --=，()()51210x x -+= ∴()10A -， ，()02B ， 作MH AB ⊥于H
2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 内容 要求 中 考分值 考察类型 二次函 数与一元二次方程综合题 会根据二次函数的解析式求 其图象与坐标轴的交点坐标， 会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 二次函数与一元二次方程 1. 熟练掌握二次函数的有关知识点 2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值. （2）将二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1的图象向右平移m 个单位， 例题精讲 方法策略 考试要求 y x 1 1O
a ≠ ………… …………1分 即() ()2 2314210 a k --?-=，且2 -10 k ≠ =3 k ……………………3分 （2）∵二次函数与x 轴有两个交点， ∴ 2-40 b a c ＞，且 a ≠． ……………………４ 分 即2 -30k （）＞，且±k ≠1． 当3k ≠且1k ≠±时，即可行． ∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数 ∴1 2 2 2 -1+-3-1+-3-42==== -1-1-1+1 k k k k k x k k k k （3）（）342（）2（）2（） 2222-1--3-1-+3+21==== -1-1-1-1 k k k k k x k k k k （3）（）322（）2（）2（） (5) 分 当=0k 时，可使1 x ，2 x 均为整数， ∴当 =0 k 时， A 、 B 两点坐标为 (-10) ，和 (20) ，……………………6分 【例3】 已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），
3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)
复习引入: （一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点） 描点、连线 分 （1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析： （2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移 （3）这三个二次函数若与坐 总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a >0 向上 (-m,k) 直线 x = _m x > —m 时，y 随x 的增大而增大；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而减小；x = -m 时，y 有最小值 k . a cO 向下 (-m, k) 直线 x = -m x > —m 时，y 随x 的增大而减小；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而增大；x = -m 时，y 有最大值 k . 1 ?平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ，确定其顶点坐标(-m,k); ⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到(-m,k)处，具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 例题分析 1. 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 下 直线X=2 (2,4) 1 2 厂尹3)2_5 上 直线X=-3 (-3,-5) 2,1 y = —3(x —2) + — 3 下 直线X=2 (2,1/3) —3、2 7 y = ——(x —一) 一 — 12 4 12 下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线的表达式为 y=-5(x+1) 2-3 ___________ 3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位，再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移 ￥ y=a(x-h)2 y=ax 2+k ! 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移kl 个单位
二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法
1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2 +bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根 △ =b 2 -4ac>0。 (2)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两 个相等实根， (3)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根 △=b 2 -4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式2 4b ac -= 0，相应二次方程2 3280 x x -+=的根的情况为 ． 2、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图 像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时， 知识梳理 新课讲解
人教版初中数学第二十二章二次函数知识点汇总
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 22.1.2 二次函数2 y ax =的图象和性质 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 例1．若抛物线y=ax 2经过P （1， ﹣2），则它也经过 ( ) A ．（2，1） B ．（﹣1，2） C ．（1，2） D ．（﹣1，﹣2） 【答案】 【解析】 试题解析：∵抛物线y=ax 2经过点P （1，-2）， ∴x=-1时的函数值也是-2， 即它也经过点（-1，-2）． 故选D ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 例2．若点(2，-1)在抛物线2 y ax =上，那么，当x=2时，y=_________
【解析】 试题分析：先把(2，-1)直接代入2 y ax =即可得到解析式，再把x=2代入即可. 由题意得14-=a ，41-=a ，则2 4 1x y -=， 当2=x 时，.144 1-=?-=y 考点：本题考查的是二次函数 点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减. 例1．若抛物线 y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），则它也经过 （ ） A ．P 1（－1，－2 ） B ．P 2（－l ， 2 ） C ．P 3（ l ， 2） D ．P 4（2， 1） 【答案】A 【解析】 试题分析：因为抛物线y=ax 2+c 经过点P （l ，－2），且对称轴是y 轴，所以点P （l ，－2）的对称点是（－1，－2），所以P 1（－1，－2）在抛物线上，故选：A. 考点：抛物线的性质. 例2．已知函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2），则a ﹣b=（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．3 D ．7 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵函数y=ax+b 经过（1，3），（0，﹣2）， ∴a b 3b 2+=??=-?，解得a 5b 2=??=-? ． ∴a ﹣b=5+2=7．
人教版初中数学二次函数知识点
人教版初中数学二次函数知识点 一、选择题 1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：- 2b a =3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校彭足琼 凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。 既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。 1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a ≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于
0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。 2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b2-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b2-4ac=0时有两个相等的实数根③b2-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。 3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题： 典型例题（1）：求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值
7-4-4 二次函数的应用.题库教师版
【例1】 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该 设施的下部ABCD 是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆． （1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说 明理由． E C D 【考点】二次函数的应用 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2009年，日照 【解析】（1）由题意，当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，MN 应位于DC 下方，且此时△EMN 中 MN 边 上的高为0.5米.所以，S △EMN =1 20.52 ??=0.5（平方米）.即△EMN 的面积为0.5平方米. （2）①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动，即0＜x ≤1时， △EMN 的面积S =1 22 x ??=x ； ②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，即1＜x ＜1 如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点， ∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ,且FG 又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ． ∴ MN GH DC GF = ，即MN = 故△EMN 的面积S ＝12x ＝2(1x ++； 综合可得： ( ) (201111x x S x x x ≤?? =??++ ? ??? ，＜．＜＜ （3）①当MN 在矩形区域滑动时，S x =，所以有01S <≤
二次函数第一课时(教师版)
例1、判断：以下函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？假设是二次函数，指出,,a b c 〔1〕34y x = 〔2〕20.51y x =-+ 〔3〕21y x x = + 〔4〕()22 3y x x =+- 〔5〕232s t =- 〔6〕232y x =- 〔7〕y = 〔8〕210s r π= 解：〔2〕，-0.5、0、1； 〔5〕，-2、0、3； 〔8〕10π、0、0. 例2、函数72 )3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值． 解：m=-3 3、〔1〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 解：m ≠0且m ≠1 〔2〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数？ 解：M=1 【二】函数解析式 例1、用20米的篱笆，一面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个矩形花圃，如图，在BC 边上留一个2米的门，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。 解：2 222(010)y x x x =-+<<
2、用20米的篱笆，两面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个直角梯形花圃，如图，AD ∥BC,AB ⊥BC,其中AD CD 、是已有的墙，0135ADC ∠=，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。 答案：23 20(010)2 y x x x =-+<< 3、二次函数y=4x2＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k ． K=2 【三】二次函数2y ax = 的图像 ①函数2y ax =图像?? ???开口方向： 对称轴：顶点坐标： ②增减性： ③最值： 例1、先分别说出以下函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后再画出大致的图像。 〔1〕y=－3x2, 〔2〕 y=23 1x , 〔3〕y=5x2, 〔4〕 y=24 3x -. 2、函数()()2110y k x k =++≠的图像的顶点坐标是 〔0,0〕 ，对称轴是 x=0 。 当k >-1 时，图像的开口向上，这是函数有最 小 值； 当k <-1 时，图像的开口向下，这是函数有最 大 值. 例2、函数的增减性 〔1〕当0x >时，函数27y x =-的值随着自变量x 的增大而 减小 ；当x =0 时，函数值最 大 ，最 大 值是 0 。 〔2〕当0x <时，函数223 y x =的值随着自变量x 的减小而 增大 ；当x =0 时，函数值最 小 ，最 小 值是 0 。 〔3〕A 〔1，y1〕、B 〔-2，y2〕、C 〔-2，y3〕在函数y=24 1 x 的图像上，那么y1、y2、y3的大小关系是 y1 二次函数与一元二次方程知识点及经典例题
二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系 1、 一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交 点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根； 2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0） 与x 轴交点个数情况：①判别式?②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2 ＋bx ＋c =0的根有 （ ）个 ②ax 2 ＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2 ＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个 x 3-≥a 例 2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2 -x ＋4 1与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717 ) 83(2 -=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个； 例4：二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1） 写出方程ax 2 ＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集； （3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值； （4） 若方程ax 2 ＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。 3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（ a c a b x x x x =-=+2121，） ① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x +-= 22 与X 轴的一个交点是 （－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212 421) (-=+ 例6：若抛物线32 -+= ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a ③ 利用韦达定理求面积：
新人教版初三数学二次函数公式及知识点总结
新人教版初三数学二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2. 二次函数 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 向上轴时，
随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 2. 的性质：上加下减。
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 向上轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
3. 的性质：左加右减。 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 向上X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值
． 4. 的性质： 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 向上X=h 时， 随 的增大而增大；时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 ． 向下X=h 时， 随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大；
时， 有最大值 ． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴
二次函数与一元二次方程教案 (2)
人教版数学九年级上册 1 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系． 2. 探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值（或最小值）及函数的增减性的概念．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 3. 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点． 教学重点 二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法． 教学难点 二次函数的性质的应用． 教学过程 一、导入新课 我们学习了一元一次方程kx ＋b ＝0(k ≠0)和一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就转化成了一元一次方程kx ＋b ＝0，且一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx ＋b ＝0的解． 现在我们学习了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ c (a ≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题． 二、新课教学 1．问题讲解． 如下图，以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有函数关系 h ＝20t －5t 2． 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m ？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m ？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．
[初中数学]二次函数说课稿人教版
二次函数说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二次函数是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数 学模型，应用非常广泛，许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究. 在历年来的中考题中二次函数也占有较大比例。在本节课之前，学生已经系统的学习过了反比例函数和一次 函数。学生对两个变量之间的函数关系已经有一个基础的认识。本章内容，既是对之前所学 函数知识的一个补充，又是高中阶段进一步学习函数知识的基础。同时，二次函数和以前学 过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法 提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次 函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整 个教材中具有承上启下的重要作用。 2.教学目标 知识技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并 了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 数学思考：通过用二次函数表述实际问题中的数量关系，体会模型思想，建立符号意识。 问题解决：能应用二次函数的相关知识解决简单的数学问题及实际问题 情感态度：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的 数学思维，增强学好数学的愿望与信心． 3.重难点 根据教学内容和学生的实际情况，将本节课的教学重点确定为：对二次函数概念的理解，初 步学会用函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系．教学难点确定为由实际问题确定函 数解析式和确定自变量的取值范围 . 二、教法学法分析。 教法分析:采用自学式、讨论式以及讲练结合的教学方法。自学可引导学生积极参与，学会学习，培养自主学习的能力，逐步自主学习的习惯，有利于终身学习。本节课以学生自主学习 为前提、给他们一个平台，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在展示交流时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去探索，从真正意义上完成对知识的自我构建。 学法分析:采用分组合作学习的形式，让学生在导学中有目标、有计划地独立学习,互相讨论，互相交流，合作探究，主动地进行学习，在执行任务过程中，通过独立思考、实践、讨论、 交流与合作，培养学生良好的学习习惯和学习方法，充分发挥学生在学习中的积极性和主动 性，提高自身的学习能力，充分体现了以学生发展为本的教学理念。 我设计了“情境导学—自学梳理—合作解疑—点拨校正—巩固应用—归纳小结—达标检测” 七环节进行教学. 三、教学过程 （一）情境导学 根据学习内容的安排和需要，本节课我创设了如下问题情境 1．什么叫函数？我们之前学过了那些函数？它们的形式是怎样的 ? （一次函数，反比例函数y=kx+b ，k ≠0； y=x k , k ≠0） (板书) 【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定 义的理解．以备与二次函数进行比较．
二次函数与一元二次方程教案 一
§6.3 二次函数与一元二次方程（一） 南京市东山外国语学校黄秀旺 【教学目标】 体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；理解一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 教学重点: 二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系． 教学难点: 理解二次函数图象与x轴的位置关系与一元二次方程的根的情况之间的关系．【教学过程】 一、创设情境，揭示课题 一个小球从地面以一定的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系为二次函数h=-5t2+40t，其函数图象如图（图略）所示． 试问：小球经过多少秒后落地?与同伴进行交流. （揭示课题：6.3 二次函数与一元二次方程） 二、活动探索，研究问题 1.师生探究 (1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有几个交点？你能说出交点的坐标吗？ (2)思考：利用交点的坐标你能说出x取何值时，y=0吗？ (3)探究：你能说出一元二次方程x 2-2x -3=0的根吗？ 2.自主探究 类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？ 3.归纳总结 二次函数y=a x2+b x+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程a x2+b x+c=0的根有什么关系? 4.例题示范 三、自主研究，巩固应用 四、延伸拓展，提高能力 在本节一开始的小球上抛问题中, 提出新的问题: （1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？ （2）方程 -5t2+40t=75的根的实际意义是什么？ （3）何时小球离地面的高度是60m? 五、回顾小结，强化认知 通过这节课的学习: 我发现了…… 我学会了…… 六、布置作业，课后练习课本P33–P34 4 ，7。
二次函数实际问题学生(含教师版)
二次函数实际问题 1．矩形窗户的周长是6m ，写出窗户的面积y (m 2)与窗户的宽x (m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x 的取值范围，并画出函数的图象． 2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m ，水位上升3m ， 就达到警戒水位CD ，这时水面宽4m ，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶． 3．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1m 的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4m 高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； (2)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米?(取734=，562=)
4．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)． (1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果 不能，请说明理由． 5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x． (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式； (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少? 6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品． (1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?
人教版九年级数学上册《二次函数》教案
《二次函数》教案 教学目标 1、从实际情境中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系； 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式； 3、会建立简单的二次函数模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围； 教学重点 二次函数的概念和解析式 教学难点 本节涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力. 教学过程 创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题) 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： (1)面积y (cm 2 )与圆的半径x (cm ) (2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12Om ， 室内通道的尺寸如图，设一条边长为 x (cm )， 种植面积为 y (m 2) 1 1 1 3 x
教师组织合作学习活动： 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式. 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨. (1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000 (3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法. 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数， a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadra ticfuncion ). 称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项. 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 做一做 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)21x y -= (3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 . 例题示范，了解规律 例1、已知二次函数 q px x y ++=2 当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式. 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法. 练习：已知二次函数c bx ax y ++=2 ，当x =2时，函数值是3；当x =-2时，函数值是2.求这个二次函数的解析式. 例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm )，四边形EFGH 的面积为y (cm 2)，求： ①y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围. ②当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示.
(人教版初中数学)二次函数测试题
二次函数测试题 一、填空题： 1.用配方法将二次函数1232--=x x y 化成()k h x a y +-=2 的形式是 . 2. 二次函数 x x y 42+-=的图象的顶点坐标是 ,在对称轴的右侧y 随x 的增大而 3.已知抛物线 c bx x y ++=22的顶点坐标是（-2,3）,则bc = . 4.已知二次函数 m x x y +-=62的最小值是1,那么m 的值是 . 5. 已知二次函数 ()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上,顶点在第三象限,且交于y 轴的负半轴,则m 的取值范 围是 . 6. 若抛物线() 4152322---+=x m m x y 的顶点在y 轴上, 则 m 的值是 7．抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示,则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ． 8．抛物线3422++=x x y 由抛物线 1622+-=x x y 向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到. 二、选择题： 9．若直线y=ax+b 不经过一、三象限,则抛物线 c bx ax y ++=2（ ）. (A)开口向上,对称轴是y 轴; (B) 开口向下,对称轴是y 轴; (C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下,对称轴是直线x=-1;
10． 抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8); 11． 若二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口向下,顶点在第一象限,抛物线交于y 轴的正半轴; 则点??? ??b c a P ,在（ ）. (A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 12．已知直线y=x+m 与抛物线2x y =相交于两点,则实数m 的取值范围是( ). (A) m ﹥41- ; (B)m ﹤41-; (C)m ﹥41; (D) m ﹤41. 13．若一条抛物线 c bx ax y ++=2的顶点在第二象限,交于y 轴的正半轴,与x 轴有两个交点,则下列结论正确的是（ ）. (A)a ﹥0,bc ﹥0; (B)a ﹤0,bc ﹤0; (C) a ﹤0, bc ﹥0; (D) a ﹥0, bc ﹤0 14． 抛物线 232+-=x x y 不经过（ ）. (A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限 15．已知a ＜－1,点（a －1,y 1）、（a,y 2）、（a ＋1,y 3）都在函数y=x 2的图象上,则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3 16．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ） 17．如图,坐标系中抛物线是函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象,则
