八(上)第三周数学
（满分100分，考试时间：90分钟）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．8
2.下列各组数据为边长作三角形,其中能组成直角三角形的是( )
A ． 3,5 ,3 B. 4,6,8 C.7,24,25 D.6,12,13
3.下列各式中,为二次根式的是（ ）
B.32
C.a 2(a<0)
D.12+a
4.下列属于最简二次根式的是（ ）
A.9
B.7
C.24
D. 5
1 5.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ） A. 13 B.13或119 C.13或15 D.15
6.如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，已知BC=8,AC=6,则斜边AB 边上的高是（ ） A.10 B.5 C.4.8 D.2.4
（第6题图） （第7题图） (第8题图)
7.如图,一个圆桶儿，底面直径为16cm ，则一只小虫底部点A 爬到上底B 处，则小虫爬的最短路径长是（π取3）（ ）
A.20cm
B.30cm
C.40cm
D.50cm
8.如图,一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，测得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了（ ）
A.0.9米
B.1.3米
C.1.5米
D.2米
9. 当1 A.-1 B.1 C ．2a-3 D.3-2a. 10.如图所示，在Rt △ABD 中，AC 平分∠BAD ，AD=6,BD=8，则 BC 等于（ ） A ．3 B.4 C.5 D.4.8 (第10题图) 二、填空题（满分18分） 11.81的算术平方根是_______；364的平方根_______；-343的立方根_______。 12.-27的立方根与16的平方根的和是 _______. 13.长度为5、9、12、13、15的五根木棍从中任取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是________. 14．某纸质饮料盒是一个长方体，长6cm ，宽4cm ，高12cm 。从纸盒一角的小孔插入吸管，使小孔外至少保留6cm 长的吸管，为了能吸到纸盒内每一个角落，吸管的长度至少为___________cm. 15．比较大小215- 16．如图所示，正方形ODBC 中，OC=1，OA=OB ，则数轴上点A 表示的数是______. 三、解答题（52分） 17.计算（本题满分8分） （1）4512552+ -； (2))23)(23()132(2-++- 18.(本题满分8分) 如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17求： （1）BC 的长 （2）四边形ABCD 的面积 如图折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm。求EC的长。 20.（本题满分6分） 如图，在离水面高度为4m的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为10m，此人以0.5m/s的速度拉绳，则10s后船离岸边的距离是多少？ 21.（本题满分8分） 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该厂的厂门。 (1)已知正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F为A上的一点，且AF=1/4AD,试判断△EFC的形状。 23.(本大题满分8分) 500 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了3 m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点． （1）求A、C两点之间的距离； （2）确定目的地C在营地A的什么方向？ 勾股定理与弦图练习题 选择题（12×3′=36′） 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A、25 B、14 C、7 D、7或25 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（） A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5 3．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（） A、121 B、120 C、132 D、不能确定 5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169 6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（） A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56 B、48 C、40 D、32 9．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 1．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、2cm2 2．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△A BC=________。 2．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 3．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。 第84讲、勾股定理与弦图 -----加深版 一、基础知识； 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。 二、图形的构造定理； 1、勾股定理: 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。 a c 2 2 2c b a= + b 2、勾理的证明：大家注意到，每个长方形可用一条对角线分为两个同样大小的直角三角形，如下图。设这个直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，则4个直角三角形可以拼成一个斜边为c的正方形。中间空一格边长为a-b的小正方形。显然这个图形是大正方形ABCD的一部分。由图中可见。 证明：ab b a c 2 4 ) (? + - = ab b a2 ) (2+ - = ab b ab a2 22 2+ + - = =a2-2ab+b2+2ab =a2+b2 完全平方和公式： 完全平方差公式： 1. 四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方 形周长24厘米。求：每块长方形木板的面积和周长。 2. 如图，在△ABD 中，∠A 是直角，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，DC ＝13，求四边形 ABCD 的面积 3、以直角三角形ABC 各边为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知AC 长3厘米，长4米．则新月形（阴影部分）的面积和是多少平方厘米。 4、同样大小的长方形小纸片摆成了下图所示的图形，已知小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。 1、所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm2． 2、如下图所示，小圆直径与大圆直径在同一条直线上，弦AB=10厘米，弦AB 与直径平行且与小圆相切，求阴影面积。 勾股定理及弦图题库Last revision on 21 December 2020 勾股定理及弦图题库 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。 【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是多少 【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这6个小正方形的总面积是。 【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ的面积是多少cm2 【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，APB的面积是90cm2，CPB的面积是48cm2。请你回答：正方形 ABCD的面积是多少cm2 【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为 【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S1； 【例】（2009安顺）下图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是—— 【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：① x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形．请回答： （ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长； （ 2）求正方形MNPQ的面积． 解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2. 参考答案与解析 1．D 2. 3 55解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC ＝3×3－ 1 2×2×1－ 1 2×2×1－ 1 2×3×3－1＝9－1－1－ 9 2－1＝ 3 2，AB＝1 2＋22＝5，∴ 1 2×5h＝ 3 2，∴h＝ 35 5.故答案为 35 5. 勾股定理及弦图题库 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。 我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。 【例】.20XX年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是 多少？ 【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这6个小正方形的总面积是。 【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ 的面积是多少cm2? 【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，?APB的面积是90cm2， ?CPB的面积是48cm2。请你回答：正方形ABCD的面积是多少 cm2？ 【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶 点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD 的面积为 【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、 D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S ； 表示四边形EFGH的面积S 1 【例】（2009?安顺）下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是—— 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图 图14.1.3G F E D C B A 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直 角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关 系吗请说明 理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗你能得出什么结论吗 2.如图（2）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗请说明理由 3. 如图（3）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边 的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以Rt ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 （2） （3） (41 242334图14.1.4 B 8题图 5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E的面积为81cm2，则正方形A、B、C、D的面积之和为。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的面积为64cm2，则正形7的边长为。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，求（a+b）= 。 8. 有一块土地的形状如图，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，请计算这块土地面积。 专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠ A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方 形的边长为9cm，则正方形A ，B，C，D的面积之和为________cm2. 9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________． 勾股定理与弦图练习（含答案） 判断题 ⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角． ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题． ⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形． ⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形． 答案：对，错，错，对； △ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（） A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形． B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°． C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形． D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形． 答案：D 1、下列四条线段不能组成直角三角形的是（） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= ，b= ，c= D．a：b：c= 2：3：4 答案：D 2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a= ，b= ，c= ；⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b= ，c= ；⑷a=5，b= ，c=1． 答案：⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A． 叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确． ⑴如果a3＞0，那么a2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等． 答案：⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题． ⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题． ⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题． ⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题． 1、填空题． ⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有． ⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是． ⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是． ⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形． 答案：⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角． 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的 Rt △ ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2 课前预习 勾股定理与弦图 点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五． 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实． 汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦。 勾股定理的证明： 面积法与勾股定理 例.如图，在⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD ⊥AB 与D,求： （1），AC 的长；（2）⊿ABC 的面积；（3）CD 的长。 （7分） 解：在Rt △ABC 中，4352222=-=-=BC AB AC 6342 121=??=?=?BC AC S ABC 面积法： 652121=??=?= ?CD CD AB S ABC ∴512=CD 练习1.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，若AC=12，BC=5，则CD= . 解：在Rt △ABC 中，135122222=+=+=BC AC AB CD AB BC AC S ABC ?=?=?2 121 面积法：∴CD 13512=? ∴1360= CD 练习2、如图，长方形长AB=24，宽AD=10。（1）求BD 的长；（2）求点C 到BD 的距离。 解：在Rt △DAB 中，2624102222=+=+= AB AD BD 根据△DCB 中，CE DB CD BC ?=?2121,CE ?=?262410,13 120=CE 练习3.等腰三角形底边长为８cm,腰长为５ cm,则腰上的高为 . 解:求得底边上的高为3，面积法h 52 13821?=??，8.4=h 例2．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm 面积法 10862222=+=+=BC AC AB OD BC OF AB OE AC BC AC ?+?+?=?2 1212121 x x x 810686++=?，2=x 练习2、如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7,BC=24,三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ） （A ）1 (B)3 (C)4 (D)5 C O A B D E F 第18题图 A B P C 勾股定理及弦图题库 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 的证明。 解题思路。 ? 【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下 图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度 分别为2和3），问大正方形的面积是多少？ 【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所 示，则这6个小正方形的总面积是。 【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边 形MNPQ的面积是多少cm2? 【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，?APB 的面积是90cm2，?CPB的面积是48cm2。请你回答：正 方形ABCD的面积是多少cm2？ 【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形 的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩 形ABCD的面积为 【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、 C、D分别是线段EB、FA、G D、HC的三等分点，试 用S表示四边形EFGH的面积S1； 【例】（2009?安顺）下图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是—— 【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：①x2+y2=49， ②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到 勾股定理典型练习题 1、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由 边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ） A 、90 B 、100 C 、110 D 、 121 2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是（ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、94 3、如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E ，F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A 、34 B 、33 C 、32 D 、3 4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） A 、 4 B 、6 C 、16 D 、55 5、如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ） A ．S1=S2 B ．S1＜S2 C ．S1＞S2 D ．无法确定 6.已知：如图，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为_____。 7.如图，以AB 为直径画一个大半圆，BC=2AC ，分别以AC ，CB 为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于 ______。 8.如图，直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，以AB 为直径画半圆，若阴影部分的面积S1-S2= 2 π ，则BC= _____。 9、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°．在AB 的同侧分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2． （1）求证：S1+S2=S△ABC； （2）若Rt△ABC 的周长是 62+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和． 10、（1）如图4，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD ，分别以AB 、CD 、AD 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为 ________。请说明理由。 （2）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB ，分别以DA 、BC 、DC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间数量的关系是（ ） A ．S 1+S 2=S 3 B 、S 1+S 2= 2 1S 3 C 、S 1+S 2= 31S 3 D 、S 1 +S 2 =4 1S 3 11、（a ）如图（1）分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示 S1、S2、S3则它们有 _________ 2题 3题 4题 小学奥数勾股定理与弦 图讲解 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 的面积。 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）。 如图，在四边形ABCD 中，AB＝30 ，AD＝48，BC＝14 ，CD＝40，∠ADB＋∠DBC＝90°。请问：四边形ABCD 的面积是多少 第二部分：介绍弦图及其应用 （基本思想是图形经过割补后，面积不变） ⑴大正方形边长为：a＋b ⑵小正方形边长为：a－b ⑶中正方形边长为：c 【例 6】(★★★) 一个直角三角形的斜边长 8 厘米，两个直角边的长度差为2 厘米，求这个三角形的面积 【例 7】(★★★★★) 从一块正方形玻璃上裁下宽为16 分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336 平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米 自我检测 1.将长为10 米的梯子斜靠在墙上，若梯子上端到墙的底端距离为 6 米，则梯足到墙的底端距离为__________米． 2.若直角三角形一直角边和斜边分别为17 和145 ，则另一直角边 为___________。 3.已知一个直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边长的平方 是。 4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2． 5.如图在△ABC中，AB =15,AC=13,高AD=12，则△ABC的面积为 易错题 （1）某人以匀速行走在一条公路上，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车，该行人发现每隔30分钟就会有一辆公共汽车追上他；而每隔20分钟有一辆公共汽车迎面开来．问车站每隔多少分钟开出一辆车 （2）有4袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过90。这4袋糖块总共最少有多少块 （3）一次考试共30道题。若佳佳，海海，阳阳和娜娜分别答对26，27，28，29道。则四人都答对的题目至少多少道（先最再对：先从最值的方向分析，最后检验是否正确） 小学奥数华杯赛几何之勾股定理与弦图 关于勾股定理，我们已经谈过很多了。中国、希腊、埃及这些文 明古国，处于不同的地区，不过却都很早地，独立地发现了勾股定理。那么，勾股定理到底是谁ZUI先发现的呢?我们能够自豪地说：是我们 中国人ZUI先发现的。证据就是《周髀算经》中的记载。 《周髀算经》一开始，就记载了我国周朝初年的大政治家周公旦 与当时的数学家商高的一段话。在这段话中，周公和商高讨论了关于 直角三角形的一些问题。其中就说到了“勾三股四弦五”的问题。 周公问商高：“我听说您很精通于数，请问数是从哪里来的呢?” 小学生经典数学故事《谁ZUI先发现了勾股定理》：商高回答说：“数的艺术是从研究圆形和方形中开始的，圆形是由方形产生的，而 方形是由折成直角的矩尺产生的。在研究矩形前需要知道九九口诀， 设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)的长度为3，长直角边(股)的长度为4，斜边(弦)长则为5，并用四个上述直角三角形一样 的半矩形把它围起来拼成一个方形盘，从它的总面积49中减去由勾股 弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的两个矩形的面积24，便 得到ZUI初所作正方形的面积25，这种方法称为‘积矩’。” 商高对“勾三股四弦五”的描述，已经具备了勾股定理的所有条件。而我们已经讲过的毕达哥拉斯发现勾股定理的年代是比周朝的商 高要晚的，所以证明，我国的数学家商高是ZUI早发现勾股定理的人。而“勾股定理”一开始也叫“勾股弦定理”，这也形象地点明了这个 定理的具体内容。 【篇二】 1.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值能够有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 17 16 C A B D 勾股定理与面积法 学习目标：熟练应用勾股定理和面积法列方程解决求值问题。培养化归思想和方程思想。 学习过程： 例1学习：如图，Rt △ABC 的两直角边为3，4。求斜边上的高CD 。 3 4 A B D 归纳：我们有Rt △ABC 的两种面积表示方法 BC AC ?2 1 和 。 像这样，用两种面积表示方法表示同一图形的面积，从而建立方程来解决问题的方法叫面积法．．．.． 练习：如图，Rt △ABC 的一直角边为5，斜边长13。求斜边上的高CD 。 5 C A B D 例2学习：如图，等腰三角形的三边为17㎝，17㎝，16㎝。求腰上的高CD 。 分析：由CD 为高想到此三角形的面积可以表示为CD AB ?21 ，如果知道BC 边上的高，就可以用面积法建立方程求出CD 。 解:作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） ∴CE= 练习：如图，等腰三角形的腰长为17㎝，底边上的高AE 为15㎝。求腰上的高CD 。 C B B C A B 例3学习：等腰三角形的腰长为5，面积为12。求它的底边BC 的长。 首先我们想到：根据面积可以求出腰上的高，但是腰上的高是在三角形的内部还是外部呢？看来我们要分两种情况。先求出CD=4.8，然后求出AD= 再求出BD= 或 最后求出BC= 或 接下来我们想一想等腰三角形三线合一的性质，我们可以作底边的高构造直角三角形，就不需要分类了。 我们可以根据面积列一个方程，还可以根据勾股定理列一个方程。由方程组可以解决这个问题。 解：作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） 设BE=x=CE,AE=y. (注意2x 的值才是要 求的答案) 由Rt △AEC 得 =+22y x 由三角形面积得 =xy 练习： 1.设直角三角形的三边为a ，b ，c ，斜边c 上的高为h 。 （1）a=6，b=8，求h （2）a=5，c=13，求h （3）b=24，c=25，求h 2.三角形的三边长如图所示，求BC 边上的高。 3.三角形ABC 中，AB=24，AC=13，∠B=30度。求BC 的长。（先把图形画出来） B C E 4 A C B 勾股定理与弦图 课前预习 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。具体方法如下： 两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a2＋b2＝c2 点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。 把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直 16C B 勾股定理与面积法 学习目标：熟练应用勾股定理和面积法列方程解决求值问题。培养化归思想和方程思想。 学习过程： 例1学习：如图，Rt △ABC 的两直角边为3，4。求斜边上的高CD 。 A B D 归纳：我们有Rt △ABC 的两种面积表示方法BC AC ?21和 。 像这样，用两种面积表示方法表示同一图形的面积，从而建立方程来解决问题的方法叫面积法．．．.． 练习：如图，Rt △ABC 的一直角边为5，斜边长13。求斜边上的高CD 。 C A B D 例2学习：如图，等腰三角形的三边为17㎝，17㎝，16㎝。求腰上的高CD 。 分析：由CD 为高想到此三角形的面积可以表示为CD AB ?21，如果知道BC 边上的高，就可以用面积法建立方程求出CD 。 解:作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） ∴CE= 练习：如图，等腰三角形的腰长为17㎝，底边上的高AE 为15㎝。求腰上的高CD 。 C B B C A B 例3学习：等腰三角形的腰长为5，面积为12。求它的底边BC 的长。 首先我们想到：根据面积可以求出腰上的高，但是腰上的高是在三角形的内部还是外部呢？看 来我们要分两种情况。先求出CD=4.8，然后求出AD= 再求出BD= 或 最后求出BC= 或 接下来我们想一想等腰三角形三线合一的性质，我们可以作底边的高构造直角三角形，就不需要分类了。 我们可以根据面积列一个方程，还可以根据勾股定理列一个方程。由方程组可以解决这个问题。 解：作BC 边上的高AE 。 ∵AE 为等腰三角形底边上的高 ∴AE 为底边BC 的中线 （ ） 设BE=x=CE,AE=y. (注意2x 的值才是要 求的答案) 由Rt △AEC 得 =+22y x 由三角形面积得 =xy 练习： 1.设直角三角形的三边为a ，b ，c ，斜边c 上的高为h 。 （1）a=6，b=8，求h （2）a=5，c=13，求h （3）b=24，c=25，求h 2.三角形的三边长如图所示，求BC 边上的高。 3.三角形ABC 中，AB=24，AC=13，∠B=30度。求BC 的长。（先把图形画出来） B C E 4A C B 华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海那边的的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的Rt △ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2 ÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2 ＋b 2 ＝c 2 点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 课前预习 勾股定理与弦图 勾股定理及弦图题库 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。 我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。【例】.2002年在北京召开了国际数 学家大会，大会会标如下图所示，它 由四个相同的直角三角形拼成的（直 角边的长度分别为2和3），问大正方 形的面积是多少？ 【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、 【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方 形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则 矩形ABCD的面积为 【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、 B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点， ； 试用S表示四边形EFGH的面积S 1 【例】（2009?安顺）下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是 由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是—— 【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.①② B.①②③ C.①②④ D. ①②③④ 【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创 制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______ 【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形． 请回答： （ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长； （ 2）求正方形MNPQ的面积． （ 3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图15，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边 △RPQ，若S△RPQ=3，则AD的长为______勾股定理与弦图练习题
第84讲、勾股定理与弦图---加深版
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