第二章勾股定理与平方根周末家作
姓名
一、选择题
1下列式子中无意义的是（ ） A : ￡-3
B ： 「："=3
C :
（J3）2
D
2、如果一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是（
A: 1 B : - 1 C 3、 81的算术平方根是（
）
A: 9 B : ± 9 C
4、 一 8的立方根与4的平方根之和是
A: 0 B : 4 C
5、若一个正数的算术平方根是 a ，则比这个数大3的正数的平方根是（ A.
a 2 3
B. - .
a 2 3 C.二'.a 2 3
D.二' a 3
6、已知：a =5, Jb 2 =7,,且 a 州=a +b ，则 a —b 的值为(
)
A: 2 或 12 B : 2 或—12 C : — 2 或 12 D : — 2 或—12 7、下列命题中：①有理数是有限小数；②有限小数是有理数；③无理数都是无限小数；④ 无限小数都是无理数。正确的是（
）
A :①②
B :①③
C :②③
D :③④
8、有如下命题:①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数 或负数的立方根与这个数同号； ④如果一个数的立方根是这个数本身， 那么这个数是1或0。
其中错误的是（
） A :①②③
B :①②④
C
:②③④
D :①③④
二.填空：
1、 在 Rt △ ABC 中,/ C=900.
①若 a=12,c=15 ,则 b=
;
②若 a:b=3:4,c=10, 贝U a= ,b= 2、直角三角形两条直角边的长分别为 5、 12,则斜边长为 ,斜边上的高为 3、直角三角形两条边的长分别为 512, 则第三边长是
4、 4 个三角形的边长分别为：① a=5,b=12,c=13;②a=2,b=3,c=4;③a=2.5,b=6,c=6.5;
④
a=21,b=20,c=29. 其中，直角三角形的个数是 _________________________ （填序号） 5、 9的平方根是 ________ , （ -3）2的平方根是 _______ 。 6、 若 y 二.^x ，贝U x 2008 - 2008y = _________________ ；
7、 如果一个数的平方根是
a 3与2a -15，那么这个数是 ___________
8、 已知2a -1的平方根是一3, 3a b -1的平方根为一4，则a - 2b 的平方根是 _________ ；
9、 若a-1没有算术平方根，则a 的取值范围是
;
若a-3总有平方根，则a 的取值范围是 ;
若式子a-1的平方根只有一个，则 a 的值是 .
10、 当 m ________ 时，「4二m 有意义，当 m _____________ 时，3 3二m 有意义，
11、 ____________________________ 若、.a =1.5,则 a = ____________ ；若 m 2 = 5，贝V m 二
12
、 V 8的平方根是 ______________ ； —V 64 的立方根是 ____________ , v 64+^-64= _______________
13、 已知x =64,则3 x = ___________________________ . 大于 3小于?. 7
的整数是
；
14
、 若3 x +3 y = 0，则x 与y 的关系是 ________________
15、 按要求取近似数：
（1） 68.5 （精确到10） ______ ；
（2） 0.43万（精确到千位） _______ ；
（3） 0.05047 （保留2个有效数字） _____ ； （4） 3.670 X 1010（保留5个有效数字） ____ 。
± 3 D : 3
)
:0 或 4 D : 0 或—4
16、阅读下列材料：设X=0.3=0.333…①，则10x^3.333…②，则由②一①得：9x=3 ,
即X =1。所以0由=0 333…=丄。根据上述提供的方法把下列两个数化成分数。 3 3 0.7= __________ ，1.3= ____________ ； 三、解答题
17、将下列各数填入相应的集合内。
-7, 0.32,
1
, 0,、、8 , 3
① 有理数集合｛ ② 无理数集合｛ ③ 负实数集合｛ 18、计算。 (1 ^0^3^+.—
125
21、已知 a 、b 满足..2a —8 b - 3 =0 ,解关于 x 的方程 a ? 2 x ? b 2 = a - 1。
22、如图，在" ABC 中，/ ACB=90, AB=13cm,BC=5cm,Ct ! AB 与 D, 你能求出哪些线段的长度？
23、如图正方形网格中的△ ABC 若小方格边长为1,请你根据所学的知识 (1)求厶ABC 的面积
⑵判断△ ABC 是什么形状？并说明理由.
24、如图，在△ ABC 中，AB=41cm,BC=18cm,BC 边上的中线 AD=40cm
￡ ,匹5，兀, 0.1010010001 …
19、求下列各式中 X 的值:
(1) 3 x -2 2
-39 =0
3
(2) 27(x 1)
64 =0
20.A ABC 中，/ C=90°,
a=5, c — b=l ，试求 b , c 的长.
A
△ ABC 是等腰三角形吗？为什么?
25.
已知直角三角形的斜边长为 2,周长为2+、、6，求此三角形的面积.
26、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm BC=8cm 现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？
27、如图，△ ABC 中，AB=10,BC=9,AC=17,求厶 ABC 的面积。
28、在厶 ABC 中，AB=10,AC=17,BC 边上的高 AD=8,求 BC 长。
(1)观察上面的解答过程，请写出
(2 )利用上面的解法，请化简：
30、先填写下表，通过观察后再回答问题.
a
0.000001
0.0001
0.01
1
29、阅读下列解题过程:
1 Q5-.4) (? 5 * 4)( . 5 - 4)
—：'：4
(.5)2 -C 4)2
=5 —、,；4
1 ? 6 -5
1 . ■ . ■.
12 2 、3 3 4 1 ? 98 ? 99
1 99 *100 1 G 6 - 5) (? 6
? 5)( 6 - ? 5)
请回答下列回题:
a100100001000000
问：（1 ）被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律?
若有规律，请写出它的移动规律.
（2）已知：一a =1800, -. 324 = - -1.8，你能求出a的值吗？
（3）试比较a 与a的大小.
31
曙想
玄氐5
乐坨、135^12+13
7^24+25
????■?
35* Is c35^=b+c
I
32.拼图填空：
材料：硬纸板、剪刀、三角板方法：剪裁、拼图、探索
操作：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c,如图①。
⑴拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和______________________ （填“大于” “小于” “等于”）图③中小正方形的面积，用关系式可表示为___________________________________ 。
⑵拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有
个正方形，它们的面积之间的关系是__________________________________ ,用关系式可表示
为_________________ 。
⑶拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积之间的关系
是_____________ ，用关系式可表示为 ___________________ 。
山东省枣庄市第四十二中学八年级数学第二章《平方根》教案北师大 版 教学目标： 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． 教法与学法指导： 学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性． 课前准备： 制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作. 教学过程 一．创设情境 1.我们已在上学期学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。在这五种运算中那些是逆运算呢? a加法与减法互为逆运算； b乘法与除法互为逆运算 c那么乘方与谁互为逆运算呢？ 要剪出一张边长是5厘米的正方形纸片，它的面积是多少？ 这个问题实际上就是求: 我们把问题反过来，要做一张面积是25平方厘米的方桌面，它的边长是多少厘米？ 实际上就是要求出一个数，使它的平方等于25，即： 显然，括号里应是±5，但－5不符题意。 ∴方桌面的边长应是5厘米
如果这块正方形的面积为单位1，那么它的边长是多少？如果面积分别为9、16、36、呢？那么3呢？怎么求呢？怎么表示？ 二．自主探究合作交流 上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题。实际上是已知一个正数，求这个正数平方根的问题。 对于面积为3的直接求不出来，那么怎样准确的把它表示出来呢？ 阅读课本38页并回答以上问题。（找同学回答并说明理由） 问题1：你能叙术算术平方根的概念吗？ 一般地：如果一个正数的平方等于a，即=a，那么这个正数叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。 强调：书写时根号一定要把被开方数盖住。 问题2：表示什么意思？它的值是怎样的数？ 这里的被开方数a应该是怎样的数？ 问题3：0的算术平方根是多少？怎么表示？ 归纳：表示a的算术平方根。 算术平方根为非负数，即：0，被开方数为非负数，即a0,负数没有算术平方根，即：当a<0时，无意义。 三．巩固练习加深理解 （一）例题精讲 .例1：求下列各数的算术平方根。 900； 1； 49/64 ；14； 92 －9；0 学生活动：模仿教材例1的模式，注意语言的准确性和书写的规范性。 学生板演，全班同学做完后修改板演同学的错误，用彩笔改出来。 对于 92 －9；0 三个问题的设置加深对算术平方根的非负性的理解，进一步提高语言表达的准确性和书写的规范性。 例2：下列各式表示什么意思？你能求出它们的值吗？
北师大八年级数学(上) 《实数》专练 二、基础训练： 1. 判断题 ⑴-0.01是0.1的平方根.() (2) - 52的平方根为一5.( ) (3) 0和负数没有平方根.( ) ⑷因为丄的平方根是土1,所以1 =±丄.( ) 16 4 >16 4 (5)正数的平方根有两个，它们是互为相反数.( ) 2. 选择题 (1)下列各数中没有平方根的数是( ) A. - ( - 2)3 B.3 -3 C.a0 D. -( a2+1) ⑵a2等于( ) A.a B. - a C. ± a D.以上答案都不对 (3)如果a(a > 0)的平方根是土m,那么( ) A.a2=± m B.a= ± m D. ± a =± m (4)若正方形的边长是 A.S的平方根是a a,面积为S,那么( ) B.a是S的算术平方根 C.a= ± --7S D.S= a (5) (_2)2的化简结果是( A.2 B. - 2 C.2 或一2 D.4 (6)9的算术平方根是( A. ± 3 B.3 C. D. (7)( - 11)2的平方根是( A.121 B.11 C. ) ± 11 D. 没有平方根 3.填空题 (1)若9x2- 49=0,则x= ________ , ⑵若2x计；1有意义，则x 范围是. 已知丨x-4 | 2x y =0,那么x= ⑷如果a< 0,那么屮歹=,(二)2= (5) 4的平方根是 121 (6)(-丄)2的算术平方根是____________ ; 4 ⑺一个正数的平方根是2a- 1与—a+2，则a= ________ ，这个正数 (8)下列式子中，正确的是 A. -5 - - 5 B. -3.6 =-0.6 C. (-13)2=13 D. 36 =± 6 (9)7 - 2的算术平方根是(10) _.-4的值等于， 一 4的平方根为： (11)( - 4)2的平方根是 5 算术平方根是. 三、能力提升： 一、选择题 1.下列各式中，正确的是() A. ―_49 = _(—7)=7 B. 21=1丄 '4 2 C. ----- 9 =2+ 3 =2 3 4 16 4 4 D. 0.25 = ± 0.5 2.下列说法正确的是( ) A.5是25的算术平方根 B. ± 4是16的算术平方根 C. - 6是(—6) 2的算术平方根 D.0.01是0.1的算术平方 根 3. 36的算术平方根是() A. ± 6 B.6 C. ±飞 D.庇 4. 一个正偶数的算术平方根是m, 则和这个正偶数相邻的下一个 正偶数的算术平方根是() A.m+2 B.m+ 2 C. m22 D. .m2 是_________ ； (8) ^25的算术平方根是 ___________ ; (9) _________________________ 9 - 2的算术平方根是; 5.当"l 解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2. 参考答案与解析 1．D 2. 3 55解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC ＝3×3－ 1 2×2×1－ 1 2×2×1－ 1 2×3×3－1＝9－1－1－ 9 2－1＝ 3 2，AB＝1 2＋22＝5，∴ 1 2×5h＝ 3 2，∴h＝ 35 5.故答案为 35 5. 6.1 平方根 第1课时算术平方根 要点感知1一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的__________,记作“__________”,读作“__________”,a叫做__________. 预习练习1-1(2014·枣庄)2的算术平方根是( ) A.±2 B.2 C.±4 D.4 要点感知2 规定：0的算术平方根为__________. 预习练习2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( ) A.1 B.-1 C.0 D.0或1 要点感知3被开方数越大,对应的算术平方根也__________. 预习练习3-1比较大小：6__________7，4__________15. 知识点1 算术平方根 1.若x是64的算术平方根，则x=( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64 2.(2013·南充)0.49的算术平方根的相反数是( ) A.0.7 B.-0.7 C.±0.7 D.0 3.(-2)2的算术平方根是( ) A.2 B.±2 C.-2 D.2 4.下列各数没有算术平方根的是( ) A.0 B.-1 C.10 D.102 5.求下列各数的算术平方根： (1)144；(2)1；(3)16 25 ；(4)0.008 1；(5)0. 6.求下列各数的算术平方根. (1)0.062 5；(2)(-3)2；(3)225 121 ；(4)108. 知识点2 估算算术平方根 7.(2014·安徽)设n为正整数，且n65n+1，则n的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8.(2013·枣庄)估计6+1的值在( ) A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 9.某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位). 知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根 10.用计算器比较23+1与3.4的大小正确的是( ) A.23+1=3.4 B.23+1>3.4 C.23+1<3.4 D.不能确定 11.我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法的顺序进行按键输入：.小明按键输入 显示的结果为4，则他按键输入后显示的结果为__________. 12.用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： (1)800；(2)0.58；(3)2401. 13.(2014·百色)100( ) A.100 B.10 C.10 D.±10 14.(2014·台州)30( ) A.4 B.5 C.6 D.7 15.(2013·东营16( ) A.±4 B.4 C.±2 D.2 16.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,100；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.已知a、b为两个连续的整数，且28 初二数学勾股定理及平方根专题 【知识点扫描】 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股 数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角 形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 二、平方根：（11——19的平方） 1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也 称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方 根。 2、平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 一个正数a的正的平方根，记作“ a”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“— a”，这两个平方根合起来记作“±a”。（ a叫被开方 数，“”是二次根号，这里“”，亦可写成“2 ”） ②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。 第二章实数 ２．平方根（二） 西南交大附中田晓红 一．学生起点分析 学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”,并能熟练计算任何一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第二章《实数》的学习 中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根.那么这一课时进一步学习平方 根.本节也为后面学习“立方根”做基础. 二．教学任务分析 《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.在 具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力.本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及 其运用.并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导--- 探索---类比----发现”中发展学习数学的能力. 三．学习目标 知识目标 1.了解平方根、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别和联系. 3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系. 能力目标 1.经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识的应用能力. 2.培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力. 情感目标 1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神. 2.在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度. 四.教学重点: 1.了解平方根开、平方根的概念. 2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 教学难点: 1.平方根与算术平方根的区别和联系. 2.负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算. 3. 五．教学方法 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图 《平方根(第1课时)》教学设计 通州区先锋初级中学黄孝培 一、内容和内容解析 本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已学的数的平方运算基础上，通过逆向思维得出算术平方根的定义、意义和求法。 算术平方根是后面学习平方根、二次根式、一元一次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。学生在七年级上册中已经学习了有理数，而算术平方根的学习，第一次在学生面前展示了无理数的形式，将数的范围由有理数扩充到了实数。因此，本节课内容在整个数学学科的学习中起到承上启下的重要作用，使得学生对于数的认识进行了一次质的飞跃！ 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1、经历从实际问题情境中抽象出代数模型，让学生体会其中模型化思想，进一步了解建模思想。 2、通过实际问题抽象为数学问题中让学生体会互逆运算，培养学生的逆向思维。 3、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根并理解根号的意义。 4、会利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根。 （二）目标解析 1.学生目前的学习对象已经由具体的数发展为抽象的数学符号，而学生对于思想方法的理解和掌握又是循序渐进的，通过本节的教学，利用“问题情境——建立模型——求解与解释——应用与拓展——回顾与反思”的方式，让学生在分析问题中获得相应概念和解决问题的方法，为本章平方根、立方根的学习奠定基础。 2.逆向思维的运用在数学中处处可见，通过该目标消除学生对算术平方根的模糊认识，真正理解该定义，使学生能透过现象看本质，激活思维，学会思考。 3.数学思想的教学一般要经过渗透、领悟、应用、巩固四个阶段，而不是复制和一味的灌输，教学中，让学生理解算术平方根的定义，并运用定义分析算术平方根的意义、根号的意义，从而熟练的归纳、概括出求某些数算术平方根的方法。 三、教学问题诊断分析 本课内容由实际问题引入，利用逆向思维，得出算术平方根的定义，学生对于这种抽象思想的理解和体会并不深刻，如果仅停留在模仿和生搬硬套的水平上，方法本身并不难，绝大部分学生能掌握，但是直接以根号的形式出现时，学生会感到茫然、不知所措，这样对于学生思维的发展和能力的提高毫无益处。 因此教学的难点在于理解算术平方根的概念，特别是符号语言与文字叙述之间的转换和联系，能形成抽象的概念。突破这一难点的关键是：给学生充足的思考、探索、交流的时间，让他们在探索和交流中体会概念，体验根号的意义，悟出求算术平方根的方法。 教学难点：算术平方根概念的理解，并能熟练运用。 四、教学支持条件分析 根据本节课教学特点，为更好实现教学目标，可借助计算机辅助教学，借助多媒体高效、便捷的优势，借助幻灯片把一些文字性的内容快速、清晰地呈现，易于在学生脑海中留下深刻印象。 五、教学过程设计 （一）创设情境，引入新知 问题1：同学们，好消息！ 学校要给我们教室装一个正方形屏幕的液晶电视，不过呢校长要考考我们，什么时候过关什么时候就来安装啦！大家有信心吗？ 【设计意图】通过从实际生活的切入，引起学生的共鸣，调动课堂活跃气氛，同时又为后面的问题提出做好铺垫。 （二）观察探究、形成新知 -3 4 3 2 1 0 -1 -2 D C B O A 第二章《勾股定理与平方根》单元测试题 （考试时间100分钟，总分120分） 班级 姓名 得分 一、精心选一选（每题2分，共20分） 1.16的平方根是（ ） A.4 B ．±4 C.256 D ．±256 2.64的立方根是（ ） A.4 B ．±4 C.2 D ．±2 3.下列实数 722，3，38，4，3 π ，0.1， 010010001.0-，其中无理数有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ⒋ 对0.000009进行开平方运算，对所得结果的绝对值再进行开平方运算……随着开方次数的增加，其运算结果（ ） A.越来越接近1 B.越来越接近0 C.越来越接近0.1 D.越来越接近0.3 ⒌地球七大洲的总面积约是1494800002 km ，如对这个数据保留3个有效数字可表示为（ ） A ．1492km B ．1.5×108 2km C ．1.49×108 2km D ．1.50×108 2 km ⒍如图,若数轴上的点A ，B ，C ，D 表示数-2，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段（ ） A ．线段AB 上 B ．线段BC 上 C ．线段CD 上 D ．线段OB 上 ⒎对于10.08与0.1008这两个近似数,它们的（ ） A ．有效数字与精确位数都不相同 B ．有效数字与精确位数相同 C ．精确位数不同,有效数字相同 D ．有效数字不同,精确位数相同 ⒏ 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 ⒐ 三角形三边长分别为a 2 ＋b 2 ，a 2 －b 2 ，2ab （a>b ，a 、b 都为整数），则这个三角形是（ ） 课题：6.1 平方根、立方根（2） 第二课时 算术平方根 学习目标： 1．了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根； 2. 会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题． 学习重点： 会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单 的实际问题． 学习难点： 区别平方根与算术平方根 一、学前准备 【旧知回顾】 1．下列说法正确的是………………………………………（ ） A ．81-的平方根是9± B ．任何数的平方根也是非负数 C ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D ．2是4的平方根 2.一个数的平方根是它本身，则这个数是………………………（ ） A ．1 B ．0 C ．±1 D．1或0 3．若a 的一个平方根是b ，则它的另一个平方根是 ． 4．已知3612=x ，则=x ；已知22)4 1(-=x ，则=x ． 【新知预习】 1、算术平方根的定义： 。记作： 2、平方根和算术平方根之间的关系 3、想一想，填一填： 1．填空： （1）0的平方根是_______，算术平方根是______. （2）25的平方根是_______，算术平方根是______. （3）641 的平方根是_______，算术平方根是______. 二、探究活动 【初步感悟】 1、判断下列说法是否正确： （1）6是36的平方根；（ ） （2）36的平方根是6；（ ） （3）36的算术平方根是6；（ ） （4）()23-的算术平方根是3；（ ） （5）3-的算术平方根是3；（ ） 提醒：注意平方根与算术平方根之间的区别和联系。 【讨论提高】 （1）25的算术平方根是_______，平方根是_______； (－4)2的平方根是_________，算术平方根是 . （2）若0|5|)12(2=-+-y x ，则y x 51 6-的算术平方根___________ 【例题研讨】 例1． 求下列各数的平方根和算术平方根： ⑴225 ⑵1.69 ⑶41 2 ⑷16 ⑸30 勾股定理、平方根专题知识点整理 第一节勾股定理 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角 三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。 5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 二、平方根：（11——19的平方） 1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。（也称为二次方 根），也就是说如果x 2 =a ，那么x 就叫做a 的平方根。 2、平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这里“”， 亦可写成“2 ”） ②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。 3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 4、（1） 平方根是它本身的数是零。 （2）算术平方根是它本身的数是0和1。 （3） () ()()().0,0,0222 <-=≥=≥=a a a a a a a a a （4）一个数的两个平方根之和为0 三、立方根：（1——9的立方） 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。（也称为二次 方根），也就是说如果x 3 =a ，那么x 就叫做a 的立方根。记作“3a ”。 2、立方根的性质： ①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a - ③a a a ==3333)( 平方根练习题 一.填空题 (1) 121 4的平方根是_________； (2)(－41)2的算术平方根是_________； (3)一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________； (4)25的算术平方根是_________； (5)9－2的算术平方根是_________； (6)4的值等于_____，4的平方根为_____； (7)(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____. (8)若9x 2－49=0,则x=________. (9)若12+x 有意义，则x 范围是________. (10)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x=________,y=________. (11)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________. 二.选择题 (1)2 )2(-的化简结果是（ ） A.2 B.－2 C.2或－2 D.4 (2)9的算术平方根是（ ） A.±3 B.3 C.±3 D. 3 (3)(－11)2的平方根是 A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根 (4)下列式子中，正确的是（ ） A.55-=- B.－6.3=－0.6 C.2)13(-=13 D.36=±6 (5)7－2的算术平方根是（ ） A.71 B.7 C.4 1 D.4 (6)16的平方根是（ ） A.±4 B.24 C.±2 D.±2 (7)一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ） A.a +2 B.a －2 C.a +2 D.a 2+2 (8)下列说法正确的是（ ） A.－2是－4的平方根 B.2是(－2)2的算术平方根 C.(－2)2的平方根是2 D.8的平方根是4 (9)16的平方根是（ ） A.4 B.－4 C.±4 D.±2 (10)169+的值是（ ） A.7 B.－1 C.1 D.－7 （11）下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3 B.3－3 C.a 0 D.－（a 2+1） (12)2a 等于（ ） A.a B.－a C.±a D.以上答案都不对 （13）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m B.a =±m 2 C.a =±m D.±a =±m (14)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是a B.a 是S 的算术平方根 C.a =±S D.S =a 三、要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？ 四.已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2,点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形. (1)求这个正方形的边长. (2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米？（精确到0.1cm ） 五.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数. 六.甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案： 甲：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？ 立方根练习题 一.判断题 (1)如果b 是a 的三次幂，那么b 的立方根是a .（ ） (2)任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.（ ） (3)负数没有立方根.（ ） (4)如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0.（ ） 二.填空题 1.如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________. 2.327 1-=________， (38)3=________ 图14.1.3G F E D C B A 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直 角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关 系吗请说明 理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗你能得出什么结论吗 2.如图（2）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗请说明理由 3. 如图（3）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边 的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以Rt ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 （2） （3） (41 242334图14.1.4 B 8题图 5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E的面积为81cm2，则正方形A、B、C、D的面积之和为。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的面积为64cm2，则正形7的边长为。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，求（a+b）= 。 8. 有一块土地的形状如图，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，请计算这块土地面积。 用平方法求算术平方根的近似值 四川 倪先德 我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法． 例1 求19的近似值． 析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ． 用“平方法”得：2 2816)4(19a a a ++=+= 因为a 是一个纯小数，2a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不 计．即a 81619+≈ 此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4． 如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=． 同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ． 所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36． 如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高． 掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值． 解：设31=5+a ，则：a a 1025)5(312+≈+= 求得6.0≈a 所以31精确到小数点后面第一位的近似值是5+0.6=5.6． 再设31=5.6+b ，则：b b 2.1136.31)6.5(312+≈+=． 求得：03.0-≈b ． 所以31精确到小数点后面第二位的近似值是5.6+（－0.03）=5.57． …… 你会做了吗？那就请你试试求110的近似值．并用计算器验证一下是否正确． 学科教师辅导讲义 知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（ ） A.10< 2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0 1．下列说法正确的有（） ①轴对称图形的对应线段相等，对应角相等； ②成轴对称的两条线段必在对称轴的同侧； ③轴对称的对应点的连结被对称轴垂直平分； ④成轴对称的对应线段若相交，则交点必在对称轴上。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．等腰三角形一边长是4，另一边长是9，则它的周长是（） A．17 B．22 C．17或22 D．24 3．等腰三角形的周长是24，其中一边长是10，则腰长是（） A．10 B．7 C．10或7 D．17 4．平面上有A、B两个点，以AB为一边作等腰直角三角形能作（） A．3个B．4个C．5个D．6个 5．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P 和Q。若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（）A．点O 1B．点O2 C．点O3D．点O4 6．线段是轴对称图形，它的对称轴是。 7．角是轴对称图形，它的对称轴是。 8．角平分线上的任意一点到这个角的两边的 相等，线段的垂直平分线上的点到的距离相等。 9．举一个有无数条对称轴的轴对称图形是。 10．计算器屏幕上显示0到9这十个数字中，其中成轴对称图形的数字有个。 11．在△ABC中，∠BAC=135°，EF、GH分别是AB、AC 两边的垂直平分线，与BC边交于点E、G，求∠EAG的度数。 12．如图，点D是△ABC的中点，将一把直角三角尺的直角顶点放于D处，其两条直角边分别交AB、AC于点E、F。试比较BE+CF与EF的大小，并说明 理由。 13．正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性。请你用三种不同的分割的方法，将以下三个正三角形分别分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数） 算术平方根课后练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =；③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根： (1) 3.24 (2) 12149 (3) 100001 2. 求下列各式的值： (1) 144 169- (2) 0625.0 (3) 1692254-+ 3. 回答下列问题： (1) ()2 5-有没有算数平方根？如果没有，说明理由；如果有，写出它的算术平方根。 (2) 3-是()2 3-的算术平方根吗？如果不是，请写出它的算术平方根。 4. 用长3cm 、宽2.5cm 的邮票30枚，拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？ 第二章勾股定理、平方根专题 第一节勾股定理 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角 三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。 5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 二、平方根：（11——19的平方） 1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。（也称为二次方 根），也就是说如果x 2 =a ，那么x 就叫做a 的平方根。 2、平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这里“”， 亦可写成“2 ”） ②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。 3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 4、（1） 平方根是它本身的数是零。 （2）算术平方根是它本身的数是0和1。 （3） () ()()().0,0,0222 <-=≥=≥=a a a a a a a a a （4）一个数的两个平方根之和为0 三、立方根：（1——9的立方） 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。（也称为二次 方根），也就是说如果x 3 =a ，那么x 就叫做a 的立方根。记作“3a ”。 2、立方根的性质： ①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a - ③a a a ==3333)(勾股定理与面积问题
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