中考数学二次根式知识归纳总结及答案一、选择题 1．计算 3 278 2 -?的结果是（） A．3B．3 -C．23D．53 2．下列运算正确的是（） A．732 -=B．()255 -=- C．1232 ÷=D．0 3812 += 3．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简2 ||(-1) a a +的结果为（） A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 4．下列各式计算正确的是（） A 1 22 2 =B362 =C．2 (3)3 =D2 22 () -=-5．下列式子中，为最简二次根式的是（） A 1 2 B7C4D48 6．化简 1 x -） A x- B x C x- D x 7．设a3535 +-b633633 +- 21 b a -的值为（） A621 +B621 +C621D621 8．下列计算正确的是（） A．531883 +=B．()3223 26 a b a b -=- C．222 () a b a b -=-D． 24 2 2 a a b a a b a -+ ?=- ++ 9．当4 x= 22 2323 43124312 x x x x x x -+ - -+++ 的值为（） A．1 B3C．2 D．3
10．设0a >，0b >，且()()35a a b b a b +=+，则23a b ab a b ab -+++的值是（ ） A ．2 B ．14 C ．12 D ． 3158 11．化简（﹣3）2的结果是（ ） A ．±3 B ．﹣3 C ．3 D ．9 12．使式子 2124x x ++-成立的x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣2 B ．x ＞﹣2 C ．x ＞﹣2，且x ≠2 D ．x≥﹣2，且x ≠2 二、填空题 13．计算（π-3）02-211(223)-4--22 --（）的结果为_____． 14．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______． 15．方程14 (1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x ++???+=+++++的解是______． 16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______. 17．若0xy >，则二次根式2 y x -________． 18．11122323 -=11113-23438??= ???11114-345415??= ???据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 19．计算： 200820092+323?-=_________．
16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 （a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1（a ≥ 0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本 P2的三个思考题： 二、探索新知 像这样一些正数的算术平方根（a ≥0）?的式子叫做二 （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、x>0） 、、、 （x ≥0，y ?≥ 0）． 分析”；第二，被开方数是正数 或0． （x>0、（x ≥0，y ≥0）；不是二、． 1 x 1x y +1x 1x y +
例2．当x 分析： 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习1、2、 3． 四、应用拓展 例3．当x +在实数范围内有意义？ 分析+中的≥0和中的x+1 ≠0． 解：依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1+ 在实数范围内有意义． 例4(1)已知+5，求 的值．(答案:2) (2) =0，求a 2004+b 2004的值．(答案: ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 13 13 11 x +11 x +11 x +23010 x x +≥??+≠?32 32 11x +x y 25
二次根式知识点总结 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ? ??<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两
个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥=b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（）2= （≥0）；（2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 （2）、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。
（4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 （5）、倒数法 例5、比较与的大小。 （6）、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 （7）、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①；② 例7、比较与的大小。 （8）、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①；② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1）（）2=- （）;（2）=- （） （3）（-）2=- （）;（4）（2）2=2×=1 （） 2．下面的计算中，错误 ．．的是（） A．=±0.03 B．±=±0.07 C．=0.15 D．-=-0.13 3．下列各式中一定成立的是（） A．=+=3+4=7 B．=- C．（-）2= D．=1-= 4．（）2-=________； 5．+（-）2=________．6．[-]·-6；
二次根式及性质 b.二次根式的基本性质:知识要点： （1 ）平方根与立方 根 ②(禹)2 =a (a>0) a.平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。用±V a 表 示。 例如：因为（±5）2 =25，所以25的平方根为±（25= ±5。 b.算术平方根的概念：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的算术平方 a (a > 0) J a2 =|a|= f 0 (a= 0) [-a (a c 0) 根为0。用J a表示a的算术平方根。④J ab = 7a V b (a>0, b>0) 例如：3的平方根为土J3，其中为3的算术平方根。 3 — c.立方根的概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根，用a 6 =芈(a A O, bXO) ⑤ V a V a c.二次根式的乘除法 表 示。 例如：因为33 =27，所以27的立方根为V27 =3。 ①扁尿=届（a>0，b> 0） d.平方根的特征： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ②0有一个平方根，就是0本身。 ③负数没有平方根。 e.立方根的特征： ①正数有一个正的立方根。 ②负数有一个负的立方根。 ③0的立方根为0。 J b f b 〒「一(a>0, b>0) ② V a V a d.最简二次根式的标准： ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号） ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 e.同类二次根式的识别： 几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 ④= -V a。例如：恵=2丘与应是同类二次根式, 3妬与-5爲是同类二次根式。 ⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0,—1。 （2 ）二次根式 a.二次根式的概念：形如脳（a>0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式掐>0 ）。 f.二次根式的加减法运算法则： 在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算, 并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不 变）为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最 简） h.使分母不带根号（分母有理化）常用方法： ①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后, 运算时只有同类二次根式才能合 ，合并同类二次根式之后的式子作 其结果不再含根号的因 式。
二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注： 因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：
二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本 身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实 数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．()2 22a b a b -=- B ．()3 22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a ÷? = D ． () 2 44-=- 2．若实数m 、n 满足等式402n m -+=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 3．计算1 2718483 --的结果是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．32-- D ．23- 4．下列计算正确的是（ ） A ．532-= B ．223212?= C ．933÷= D ．423214+= 5．要使2020x -有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020 B ．x≤2020 C ．x> 2020 D ．x< 2020 6．下列式子一定是二次根式的是 ( ) A ．2a B ．－a C ．3a D ．a 7．设,n k 为正整数，()()1314A n n = +-+，()2154A n A =++， ()3274A n A = ++，()4394A n A =++，…()1214k k A n k A -=+++，….，已知 1002005A =，则n =( ). A ．1806 B ．2005 C ．3612 D ．4011 8．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ． 13 C 24 D 0.3 9．1272a -是同类二次根式，那么a 的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2 10．如果实数x ，y 23x y xy y =-(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第一象限或坐标轴上 D ．第二象限或坐标 轴上 二、填空题 11．比较实数的大小:(1)5? -______3 ；（2）51 4 _______12
二次根式综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 回顾二次根式的相关概念，并完成下列各题． （1 ）2=_____ ． （2）二次根式的乘除法则： ①_______________________；②______________________． （3）二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． 2. 根据幂的运算性质11p p p a a a -?? == ??? （a ≠0，p 为正整数）进行计算： （1 ）2 -? ? ； （2 ）3-． 3. 有理数混合运算处理方法： ①观察_______划_______； ②有序操作依_______； ③每步推进一点点． 例： 2112(2)(3)2102543.?? -÷ ?--?-+ ??? ① ②③ 思路分析 观察结构，划为①②③三个部分，对①②部分，每步推进一点点． 过程示范
1840.25(3)1 432 31 32 31 34 3 ?? =??--?-+ ??? ?? =---+ ???=-++=- 原式 请你类比有理数混合运算处理方法，处理下面实数混合运算： ? 知识点睛 1. 理解二次根式的双重非负性 （1 0且0x ≥． （2 20y z +=，则x =_____，y =_____，z =_____． 2. 实数混合运算处理方法： ①_____________________； ②_____________________； ③_____________________． 做运算时往往需要估计工作量．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算． （1）22()()a b a b a b +-=-； （2）222()2a b a ab b ±=±+． 3. 比较大小的几种方法：估值法，作差法，乘方法，分母有理化． 4. 二次根式与数形结合 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理．．．．．．．．．．．．． 解决问题．
二次根式的概念、性质 1.二次根式的概念：（1）一般地，把形如式子a（a≥0）的式子叫做二次根式。“”称为二次根号，二次根号下面的“a”叫做被开方数。 知识拓展：①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意a≥0是a为二次根式的前提条件。 ②二次根式的定义是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，虽然9=3，但是3是9的计算结果，因此9是二次根式。 ③“”的根指数是“2”，一般把根指数“2”省略，不要误把“”的根指数当作“0”。 ④形如b a（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与a的乘积，注意当b为带分数时，要把b写成假分数的形式。 特别提示：判断一个式子是不是二次根式，看其是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数是非负数。二者缺一不可。 （2）二次根式有意义的条件：当a≥0时，a有意义；当a＜0时，a在实数范围内没有意义。 知识拓展：①如果一个式子中有多个二次根式，那么每个二次根式的被开方数都必须为非负数才能保证这个式子有意义。 ②在解决关于代数式有意义的问题时，要注意二次根式、分式有意义的条件，即二次根式中被开方数为非负数，分式中分母不能为零。 （3）二次根式的非负性：在二次根式中，被开方数一定是非负数，并且二次根式a≥0，即非负数。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。 二次根式化简一般步骤： ①把带分数或小数化成假分数； ②把开方数分解成质因数或分解因式； ③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外； ④化去根号内的分母，或化去分母中的根号； ⑤约分。 二次根式化简的基本技巧和方法： 1）根号下是一个正整数：将该数字拆分成一个完全平方数和某个数字的乘积，然后将完全平方数开平方放到根号外面。 2）根号下是一个分数：将该分数拆分成一个分数的平方数和某个数字的乘积，然后将分数开根号到根号外面。 3）根号下有数字和字母：这种情况下，由于不确定字母是正数还是负数，因此开放的时候要带着绝对值开方。 4）两个根式相加减：首先将两个根式通分，然后再运算。 5）两个根式相乘除：注意观察两个式子的特点，决定先化简再乘除，还是先乘除再化简。 6）开根号后分情况运算：如果根式下有数字和字母运算成平方，开方后要分情况讨论。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式,然后判断。 4.二次根式的性质： （1）二次根式具有双重非负性，即a ≥0，（a ≥0）； （2）（a ）2 =a （a ≥0）； (3) = =a a 2 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 中考数学专项训练：二次根式二次根式的概念 1．(中考)使二次根式5x－2有 意义的x的取值范围是__x≥2 5 __． 二次根式的运算 2．(中考)8＋2＝__32__． 3．(中考)计算2－18的结果是__－22__． 4．(中考)计算：27＋3＝__43__． 5．(一中一模)函数y＝ x＋3 x－1 中自变量x的取值范围是( D) A．x≥－3 B．x≥3 C．x≥0且x≠1 D．x≥－3且x≠1 6．(十一中二模)与1＋5最接近的整数是( B) A．4 B．3 C．2 D．1 平方根、算术平方根 1．若x 2＝a,则x 叫a 的__平方根__．当a≥0时,a 是a 的__算术平方根__．正数b 的平方根记作__±b__.a 是一个__非负__数．只有__非负__数才有平方根． 立方根及性质 2．若x 3＝a,则x 叫a 的__立方根__,求一个数的立方根的运算叫__开立方__；任一实数a 的立方根记作__3a__；3a 3＝__a__,(3a)3＝__a__,3－a ＝__－3 a__． 二次根式的概念 3．(1)形如a(__a≥0__)的式子叫二次根式,而a 为二次根式的条件是__a≥0__； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是__整数__,因式是__整式__； ②被开方数中不含有__开得尽方的因数或因式__． 二次根式的性质 4．(1)ab ＝__a ·b __(a≥0,b ≥0)；a b ＝__a b __(a≥0,b ＞0)； (2)(a)2＝__a__(a__≥__0)； (3)a 2 ＝|a|＝??? a （a≥0）， －a （a ＜0）. 二次根式的性质 5．(1)二次根式的加减： 二次根式相加减,先把各个二次根式化成__最简二次根式__,再把__同类二次根式__分别合并． (2)二次根式的乘法： a · b ＝__ab __(a≥0,b ≥0)． (3)二次根式的除法： a b ＝__a b __(a≥0,b>0)． (4)二次根式的估值：二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数__相邻__的两个能开得尽方的整数,对其进行__开方__,即 《实数和二次根式》知识点 1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a 的平方根，也就是若x a 2=，则x叫做a的平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 4.平方根的表示：当a≥0时，a的平方根记为±a。 5.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。 注：（1）非负数才有算术平方根 （2）非负数的算术平方根仍为非负数 6.算术平方根的表示：当a≥0时，a的算术平方根记作a 7.立方根： （1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的立方根，也就是若x a 3=，则x叫做a的立方根。 （2）立方根的表示：a3 （3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。 （4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 8.平方根和立方根的区别 （1）被开方数的取值范围不同 （2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。 9.实数：有理数和无理数统称为实数。 实数与数轴上的点一一对应。 分类： 实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0????????????????????????? 10.实数的相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则的应用类似于有理数中的。 11.二次根式：一般地，式子a a ()≥0叫做二次根式。 注：（1）含有二次根号 “” （2）被开方数a 是代数式且a 必须是非负数 （3）二次根式a a ()≥0是a 的算术平方根，因此a a ≥≥00() 12.二次根式的基本性质： ()()a a a 20=≥ 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a 二次根式 一、选择题 1. （2018年江苏省宿迁）若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【考点】等腰三角形的性质，非负数之和为0 【解析】【解答】解：依题可得：，∴. 又∵m、 n恰好是等腰△ABC的两条边的边长， ①若腰为 2，底为 4，此时不能 构成三角形，舍去. ②若腰为4，底为2， ∴C△ABC=4+4+2=10. 故答案为：B. 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得 m、n 的值，再分情况讨论：①若腰为 2，底为 4，由三角形两 边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可. 2 （2018·天津·3的值在（） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】D 【解析】分析：利用“夹逼法”表示出的大致范围，然后确定答 案．详解：∵64＜＜81， ∴8＜＜9，故 选：D． 点睛：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 3. （2018·四川自贡·4分）下列计算正确的是（） A（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C．D（﹣a3）2=﹣a6 【分析】根据相关的运算法则即可求出答案． 【解答】解（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误； （B）原式=x+2y，故B错误； （D）原式=a6，故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 4. ×（﹣1）之值为何？（） A．B．C．2 D．1 【分析】根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：×（﹣1） =， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 5.（2018?江苏扬州?3有意义的x的取值范围是（） A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 x﹣3≥0， 解得x≥3， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键． 6.（2018·湖北省孝感·3分）下列计算正确的是（） A．a﹣2÷a5=B（a+b）2=a2+b2 C．2+ =2 D（a3）2=a5 【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a﹣2÷a5= ，正确； B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误； C、2+，无法计算，故此选项错误； D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：A． 【点评】此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7（2018·浙江临安·3分）下列各式计算正确的是（） A．a12÷a6=a2 B（x+y）2=x2+y2 C．D． 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。 练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 一、选择题 1．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 2．若2a <3=（ ） A ．5a - B ．5a - C ．1a - D ．1a -- 3．若 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x > B ．3x ≥ C ．3x ≤ D ．x 是非负数 4．若实数m 、n 满足等式02m +=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 5．下列运算正确的是 （ ） A ．3= B = C ．= D =6．下列式子一定是二次根式的是 ( ) A B C D 7．下列各式中,正确的是（ ） A B ．C =D = - 4 8．a 的值是（ ） A ．2 B ．-1 C ．3 D ．-1或3 9．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A B C D 10．的值应在（ ） A ．1和2之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间 二、填空题 11．2==________． 12．实数a 、b 10-b 4-b-2=+，则22a b +的最大值为_________． 13．)30m -≤，若整数a 满足m a +=a =__________． 14．把31a a -根号外的因式移入根号内，得________ 15．222a a ++-1的最小值是______． 16．把1m m -根号外的因式移到根号内，得_____________. 17．已知：x=35+2 ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2=_____． 18．已知1＜x ＜2，171 x x +=-，则111x x ---的值是_____． 19．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a b -=______. 20．若11+x 有意义，则x 的取值范围是____． 三、解答题 21．阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 53，231+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一) 5353333 ?==?； (二) 231)=3131(31)(31)-=-++-（； (三) 22(3)1(31)(31)=3131313131 -+-===-++++. 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)请用不同的方法化简 5+3： ①参照(二)式化简 5+3＝__________. ②参照(三)式化简 5+3＝_____________ (2)+315+37+5 99+97+ 【答案】见解析. 【分析】 （1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 二次根式的性质 周口店中学 一. 教学指导思想与理论依据 教学活动是教与学的双边相互促进的活动。在教学活动中，始终坚持教学论中教为主导，学为 主体的指导思想与理论依据。从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通 过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。因此在教学中，我针对 本节课的特点，首先让学生复习了二次根式的意义和性质，然后通过小组讨论探究、a2的结果。在 教学过程注重营造让学生自主探索与合作交流的学习氛围，给学生留有足够的思考空间。在性质的运用中，注意学生的个体差异，问题设计由易到难，层层递进。 二. 教学背景分析 1、学习内容分析：本课位于北京市义务教育课程改革实验教材八年级第15册第十二章第5节的“二次根式及其性质”。本节课时在学习了二次根式的概念和性质 （石2= a（a工0）的基础上进行的，学生对于U a2的结果有一定的想法。按照新课程标准应以探索性质是什么？怎么来的为重点。因此a2等于什么，让学生去探索，在这个 过程中让学生体会分类讨论的思想。并且在探索过程中，使学生能够体会出（石2 = a（a兰0）与空孑=a的区别与联系。明确二次根式的性质Aa 是一 -个工具，对于二次根式的化简和二次根式的计算起着重要的作用。 2、学生情况分析：学生比较喜欢数学课，学习的自觉性和主动性较强，有一定的 自主学习和探究学习能力。同时，本节课是学生在已掌握了二次根式的概念和一个性质的基础上，进一步研究二次根式的另一个性质，学生对研究方法有了一定的了解，因而教学过程是以学生小组讨论学习或自主探究学习的方式来解决问题。 3、教学方式与教学手段说明、技术准备： 本节课综合运用自主探究学习、小组合作交流学习等方式。由于学生对于二次根式的概念和性质1已经掌握，根据学生的认知特点，运用自主探索与小组合作交流的方式探索a等于什么。由于学生表现欲强，习题讲解通过学生完成。 本节课运用信息技术教学手段辅助教学根据本学科特点可以方便地利用PowerPoint简洁快速的出示教学内容，利用实物投影展示学生的解题过程，从而提高课堂密度，增强课堂实效性。 4、前期教学状况、问题、对策等研究说明 二次根式 1. 二次根式的概念： 形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1） ( a ) 2 （ ≥ ）；（ ） a ；（ ） a 2 ___(a 0) 0(a ≥ 0) ____ ___(a 0) a 02 3 ___(a 0) 3. 二次根式的乘除： 乘法运算： a b ___(a 0,b 0) 计算公式： 除法运算： a ___(a 0,b 0) b 最简二次根式： (1) (2) (3) 4. 概念： 1. 2.同类二次根式： 5. 二次根式的加减： ( 一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤： (1) “一分”：分解因数（因式） 、平方数（式）；(2) “二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； (3) “三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 一元二次方程 1.一元二次方程： 1)一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程． 2)一元二次方程的一般形式： ax 2 bx c 0(a 0) ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零． ax 2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常 数项． 2.一元二次方程的解法： 1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如( x a) 2 b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知， x a 是 b 的平方根，当 b 0 时，x a b ， x a b ，当b<0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式 a 22ab b2(a b) 2，把公式中的a看 做未知数 x，并用 x 代替，则有x22bx b 2( x b)2． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程 ax 2bx c 0(a0) 的求根公式： x bb 24ac (b24ac 0) 2a 4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里 指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．中考数学专项训练：二次根式
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