初升高数学衔接知识专题讲座和练习1
重点、难点：初中数学与高中数学的区别
【典型例题】
[例1] 判断对错：
1. 坐标平面上的点与全体实数一一对应（ ）
2. 横坐标为0的点在x 轴上（ ）
3. 纵坐标小于0的点一定在x 轴下方（ ）
4. 到x 轴、y 轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（ ）
5. 若直线l x l × 2. × 3. √ 4. × 5. × [例2] 已知函数x
y 6=
与函数3+=kx y 的图象交于点),(11y x A ，),(22y x B 且52
221=+x x ，求k 值及A 、B 的坐标。
解：由?????+==3
6kx y x
y 消去y 得0632
=-+x kx ∴ ???
???
?
-=?-=+k x x k
x x 632121 由52
22
1=+x x 解52)(212
21=?-+x x x x 即
51292
=+k k
∴ 31=k 5
3
2-
=k （0
??+==3
36x y x
y 解得???==61
1
1y x
??
?-=-=32
2
2y x ∴ )6,1(A )3,2(--B [例3] 在函数)0(>=
k x
k
y 的图象上有三点：),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，已知3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）
A. 321y y y <<
B. 130y y <<
C. 312y y y <<
D. 213y y y << 解：根据反比例函数的增减性。 选C
[例4] 比较大小：2
x 2
1-
x 解：2
x —（21-
x ）=04
1
)21(2>+-x ， 所以 2
x >2
1
-
x [例5] 以矩形ABCD 的顶点A 为圆心作⊙A ，要使B 、C 、D 三点中至少有一点在⊙A 内，且至少有一个点在⊙A 外，如果12=BC ，5=CD ，则⊙A 的半径r 的取值范围为 。
解：135< [例6] 函数x x y 3 2+= （x 为整数）的最小值为 。 解：当1-=x 时，1-=最小y 【模拟试题】 一. 选择题 1. 在函数x y 2=，2 x y =和5+=x y 的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知点)8,3(-在反比例函数)0(≠=k x k y 的图象上，那么下列各点中在此函数图象上的是（ ） A. )8,3( B. )6,4( C. )6,4(- D. )8,3(-- 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 直径相等的两个圆是等圆 B. 同圆或等圆的半径相等 C. 圆中的最大的弦是直径 D. 一个圆只有一条直径 4. 用a 、d 分别表示圆的弦和直径的长，则它们的关系是（ ） A. 0>>a d B. 0≠=a d C. a d <<0 D. 0>≥a d 5. 线段AB=5cm ，在以AB 为直径的圆上，到AB 的距离为2.5cm 的点有（ ）个。 A. 无数个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 6. 已知⊙O 的圆心在坐标原点，半径为33，又A 点坐标为)3,4(，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A. A 点在⊙O 上 B. 点A 在⊙O 内 C. A 点在⊙O 外 D. 点A 在x 轴上 二. 填空题： 7. 若点M （2-a ，1+b ）与点N （52+a ，b 23+）关于y 轴对称，则=a ，=b 。 8. 已知点P （52-m ，43+m ）在第一、三象限的角平分线上，则=m 。 9. 若ABC ?的各顶点坐标为A （3-，2），B （2，2），C （1，1-），则ABC ?的面积为 。 10. 已知矩形ABCD 的顶点A （0，0），B （0，2-），D （3-，0），则点C 的坐标为 。 【试题答案】 一.1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B 二. 7. 1-；2- 8. 9- 9. 2 15 10. )2,3(--初升高数学衔接知识专题讲座和练习4 重、难点： 1. 钝角、直角的三角函数值 2. 三角形面积公式C ab S sin 2 1 = 3. 正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin === 4. 余弦定理A bc c b a cos 22 2 2 -+= 【典型例题】 [例1] 计算： ? -?+?? -?+?-150cot 120cos 135sin 150cos 135tan 120sin 2 解：原式?+?-??+?-?-= 30cot 60cos 45sin 30cos 45tan 60sin 232 1)22(231232+-+ -- = 333 1-=-= 小。 解：由ab c b a -=-+2 2 2 可知2 122cos 2 22- =-= -+=ab ab ab c b a C ∴ ?=120C [例5] ABC ?三边a 、b 、c 与面积S 满足2 2)(b a c S --=，求C ∠的余弦值。 解：依题意， C ab ab ab b a c C ab cos 222sin 2 1 222-=+--= ∴ )cos 1(4sin C C -= 代入1cos sin 2 2=+C C ，得：1cos )cos 1(162 2 =+-C C ∴ 015cos 32cos 172 =+-C C ∴ 1cos =C 或 1715 又 ∵ ?<<1800C ∴ 1cos ≠C ∴ 17 15cos =C 【模拟试题】 1. 口算 =?135cos ；=?150sin ；=?120tan ；=?90cos ；=?+?150cos 120sin ；=?+?150cot 135tan 2. 已知θ为ABC ?的一个内角 ① 若2 1 cos - =θ，=θ ； ② 若3 3 tan -= θ，=θ ； ③ 若2 2 sin =θ，=θ ； ④ 若5 3 sin = θ，则=θcos ； ⑤ 若2tan -=θ，则=θsin 。 3. 已知R 为ABC ?外接圆半径，求证：面积R abc S 4= 4. ABC ?中面积)(4 1222 c b a S -+= ，求C ∠大小。 5. ABC ?中C B A 2 2 2 sin 5sin sin =+，求C cos 的最小值。 【试题答案】 1. 22- ；2 1 ；3-；0；0；31-- 2. ① ?120 ② ?150 ③ ?45或?135 ④ 54± ⑤ 55 2 3. 提示：利用公式C ab S sin 21=和R C c 2sin = 4. 提示：利用公式C ab S sin 2 1 = ，222cos 2C C ab b a =-+，解得?=∠45C 5. 解：由正弦定理22 2 2224544R c R b R a =+ ∴ 2225c b a =+ ab c b a C 2cos 2 22-+=ab b a 2)(5 422 += ∵ 0)(2≥-b a ∴ ab b a 22 2≥+ ∴ 54 2254 cos =?≥ab ab C ∴ C cos 最小值为54 初升高数学衔接知识专题讲座和练习2 重、难点： 1. 求二次函数最值。 2. 一元二次方程根的分布。 【典型例题】 [例1] 已知16)(2 +-=x x x f （1）当22≤≤-x 时，求)(x f 的最值； （2）当64≤≤x 时，求)(x f 的最值； （3）当52≤≤x 时，求)(x f 的最值。 解：配方得8)3()(2 --=x x f （1）最小值为7)2(-=f ，最大值为17)2(=-f （2）最小值为7)4(-=f ，最大值为1)6(=f （3）最小值为8)3(-=f ，最大值为4)5(-=f [例2] 已知x x x f +- =2 2 1)(，当n x m ≤≤时，)(x f 取值范围为n y m 22≤≤，求m 、n 值。 解：∵ 2121)1(21)(2≤+-- =x x f ∴ 14 1<≤≤n m ∴ m m f 2)(=，n n f 2)(= 解得：2-=m ，0=n [例3] 已知122)4()(2 --++=m x m x x f 与x 轴交于两点，都在点（1，0）的右侧，求实数m 取值范围。 解：令0)(=x f ，可得21=x ，1)6(2>+-=m x ，即7- [例4] 一元二次方程042=+-a x x 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围。 解一：由?? ? >?(0 1x 解二：设)(x f [例5] 解不等式：x 解：设)(=x f 察可知2 [例6] 值范围。 解：如图，设(f 则只须???<<)2()0(f f 【模拟试题】 1. 已知x x x f 2)(2 +-=，试根据以下条件求)(x f 的最大、小值。 （1）x 取任意实数 （2）01≤≤-x （3）32≤≤x （4）40≤≤x 2. 解不等式 （1）0122 <--x x （2）0822 >--x x （3）022 >++-x x （4）0202 <+--x x （5）2 2 )3()12(->-x x （6）012 ≤-x （7）042 ≥+-x （8）0122 ≤++x x 3. 求证：方程2 )2)(1(k x x =--（0≠k ）有两个实根，一个比1大，一个比1小。 4. 一元二次方程02)13(72 2 =--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<< 【试题答案】 1. （1）最大值为1，无最小值 （2）最大值为0，最小值为3- （3）最大值为0，最小值为3- （4）最大值为1，最小值为8- 2. （1）43<<-x （2）2- 4>x （6）11≤≤-x （7）22≤≤-x （8）1-=x 3. 提示： （1）0>?（2 41k +=?） （2）0)1( )1(k f -=） 4. 提示： 由?? ? ??><>0)2(0)1(0)0(f f f 可得12-<<-m 或43< 初升高数学衔接知识专题讲座和练习3 重、难点：不等式的性质 【典型例题】 [例1] 2 9.0=a ，?=46tan b ，?-?=44cos 44sin c ，试比较a 、b 、c 大小。 解：b a c <<<<10 ∴ c a b >> [例2] 比较2、33、55的大小。 解：∵ 8)2(6= 9)3(6 3= ∴ 332< ∵ 32)2(10= 25)5(10 5= ∴ 552> ∴ 35 325<< [例3] 设50≤c ，且c b a a 222 +=-和322-=+c b a 同时成立，试比较a 、b 、 c 大小。 解：易知03242>--=a a b ，故1-a ∴ 53≤ +=a c ∴ 0)3)(1(44>--=-a a a c ，a c > 012)3(442 <--=-a a b ∴ b a c >> [例4] 已知1)1(22 +<+m a 对任意实数m 都成立，求a 的取值范围。 解：∵ 12 +m 的最小值为1 ∴ 1)1(2<+a ，2 1- [例5] 给出四个条件：① a b >>0 ② b a >>0 ③ b a >>0 ④ 0>>b a 问其中哪些条件可以推出结论 b a 11<？ 解：①、②、④ [例6] 解不等式：m x ≥+1（m 为字母系数） 解：（1）0≤m 时，只须01≥+x ，1-≥x （2）0>m 时，有???≥+≥+2 101m x x ∴ 12 -≥m x 【模拟试题】 1. 比较大小：?=89sin a ，?=45tan b ，? = 1cos 1 c 2. 已知a x ≤对任意43≤≤-x 都成立，求a 的取值范围。 3. 解关于x 的不等式：a x ≥-12 （a 为系数） 4. 解不等式① 011<+-x x ② 03 >+x x 5. 已知：1>ab ，1>bc ，1>ca ，求abc 的取值范围。 【试题答案】 1. c b a << 2. 4≥a 3. 解：即a x +≥12 （1）1-≤a 时解集为全体实数 （2）1->a 时解集为a x +≥1或a x +-≤1 4. （1）11<<-x （2）3- 5. 提示：三式相乘得1)(2 >abc ，故1>abc 或1- 初升高数学衔接班测试题 （满分： 100 分，时间： 120 分钟） 姓名成绩 一．选择题（每小题 3 分） 1．若2 x25x 2 0 ，则4x 24x 1 2 x 2 等于（） A. 4x 5 B. 3 C. 3 D. 5 4x 2. 已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0 的解集为x | x1或 x 3}，则关于 x 的不等式bx2cx40 的解集为（） A. x | x2或 x1} B. x | x 1 或 x 2} 22 C. { x |1x 2} D. x | 2 x1} 22 3. 化简12的结果为（） 2131 A 、32B、32C、2 2 3D、322 4. 若0＜a＜1,则不等式（x－a）( x－1 )＜0的解为（） a A.x | a x1； B.x |1x a； a a C.x | x a或 x 1 ； D. a 5. 方程 x2－4│x│+3=0 的解是( )x | x 1 或 x a a =±1或 x=±3 =1和x=3=－1或x=－3 D.无实数根 6．已知(a b)27 , ( a b) 23,则 a 2b2与ab的值分别是（） A. 4,1 B.2, 3 C.5,1 D.10, 2 3 2 7.已知y 2x2的图像时抛物线，若抛物线不动，把X轴，Y轴分别向上， 向右平移 2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 （） A. y2(x 2) 22 B.y 2( x 2) 22 C. y2(x 2) 22 D.y 2( x 2) 22 8. 已知2 x23x 0 ，则函数 f ( x ) x 2x 1 （） A. 有最小值3 ，但无最大值； B.有最小值3，有最44 大值 1； C. 有最小值1，有最大值19 ； D.无最小值，也无最4 大值 . 初升高，是学生一个升学阶段，告别初中生活，正式成为高中的一员。 那么初中和高中数学有哪些方面的不同呢？我们要如何为高中的学习打好一个基础？ 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 思维方法向理性层次跃迁。高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套 路。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需逐步形成辩证型思维。 知识内容的整体数量剧增。高中数学与初中数学又一个明显的不是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。这就要求： 第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识； 第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中； 第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好。因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体 第一讲数与式 1、绝对值 （1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 a,a0, | a | 0,a0, a, a0. （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数 a 和数b之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式 ① f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。 ② f (x) a(a 0) ,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或 f ( x) a 。 ③ f (x) g ( x) f 2 ( x)g 2 (x) 。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式： ①找到使多个绝对值等于零的点． ②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例 1.求不等式3x 5 4 的解集 例 2. 求不等式2x 1 5的解集 例 3. 求不等式x 3 x 2 的解集 例 4. 求不等式 | x＋ 2| ＋ | x－ 1| ＞ 3 的解集． 例 5. 解不等式 | x－ 1| ＋ |2 －x| ＞ 3－x． 例 6. 已知关于x 的不等式| x－5|＋| x－3|＜ a 有解，求 a 的取值范围． 练习 解下列含有绝对值的不等式： （1）x 1 x 3 ＞4+x （2） | x+1|<| x－2| （3） | x－ 1|+|2 x+1|<4 （4）3x 2 7 (5)5x 7 8 3、因式分解 乘法公式 （ 1）平方差公式( a b)( a b)a2b2 （ 2）完全平方公式( a b) 2a22ab b2 （ 3）立方和公式( a b)(a2ab b2 )a3b3 （ 4）立方差公式( a b)(a2ab b2 )a3b3 （ 5）三数和平方公式( a b c)2a2b2c22(ab bc ac) 33223 1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 1．填空： （1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________. （2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题： 下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）． 2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 练 习 1．填空： （1）221111()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若212 x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116 m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 3.分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 初升高数学衔接班第3讲 高中数学入门（三） 重、难点 不等式的性质 【典型例题】 [例1] 29.0=a ，?=46tan b ，?-?=44cos 44sin c ，试比较a 、b 、c 大小。 解：b a c <<<<10 ∴ c a b >> [例2] 比较2、33、55的大小。 解：∵ 8)2(6= 9)3(63= ∴ 332< ∵ 32)2(10= 25)5(105= ∴ 552> ∴ 35325<< [例3] 设50≤c ，且c b a a 222+=-和322-=+c b a 同时成立，试比较 a 、 b 、 c 大小。 解：易知03242>--=a a b ，故1-a ∴ 53≤--=-a a a c ，a c > 012)3(442<--=-a a b ∴ b a c >> [例4] 已知1)1(22+<+m a 对任意实数m 都成立，求a 的取值范围。 解：∵ 12+m 的最小值为1 ∴ 1)1(2<+a ，2 1->0 ② b a >>0 ③ b a >>0 ④ 0>>b a 问其中哪些条件可以推出结论 b a 11<？ 解：①、②、④ [例6] 解不等式：m x ≥+1（m 为字母系数） 解： （1）0≤m 时，只须01≥+x ，1-≥x （2）0>m 时，有???≥+≥+2101m x x ∴ 12-≥m x 【模拟试题】 1. 比较大小：?=89sin a ，?=45tan b ，? =1cos 1c 2. 已知a x ≤对任意43≤≤-x 都成立，求a 的取值范围。 3. 解关于x 的不等式：a x ≥-12（a 为系数） 4. 解不等式① 011<+-x x ② 03>+x x 初升高数学衔接知识专题讲义1 【典型例题】 [例1] 判断对错： 1. 坐标平面上的点与全体实数一一对应（ ） 2. 横坐标为0的点在x 轴上（ ） 3. 纵坐标小于0的点一定在x 轴下方（ ） 4. 到x 轴、y 轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（ ） 5. 若直线l //x 轴，则l 上的点横坐标一定相同（ ） [例2] 已知函数x y 6=与函数3+=kx y 的图象交于点),(11y x A ，),(22y x B 且52 221=+x x ，求k 值及A 、B 的坐标。 [例3] 在函数)0(>= k x k y 的图象上有三点：),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，已知3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ） A. 321y y y << B. 130y y << C. 312y y y << D. 213y y y << [例4] 比较大小：2 x 2 1- x [例5] 以矩形ABCD 的顶点A 为圆心作⊙A ，要使B 、C 、D 三点中至少有一点在⊙A 内，且至少有一个点在⊙A 外，如果12=BC ，5=CD ，则⊙A 的半径r 的取值范围为 。 [例6] 函数x x y 3 2+= （x 为整数）的最小值为 。 【模拟试题】 一. 选择题 A B C D 1. 在函数x y 2= ，2 x y =和5+=x y 的图象中，是中心对称图形且对称中心是原点的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知点)8,3(-在反比例函数)0(≠= k x k y 的图象上，那么下列各点中在此函数图象上的是（ ） A. )8,3( B. )6,4( C. )6,4(- D. )8,3(-- 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 直径相等的两个圆是等圆 B. 同圆或等圆的半径相等 C. 圆中的最大的弦是直径 D. 一个圆只有一条直径 4. 用a 、d 分别表示圆的弦和直径的长，则它们的关系是（ ） A. 0>>a d B. 0≠=a d C. a d <<0 D. 0>≥a d 5. 线段AB=5cm ，在以AB 为直径的圆上，到AB 的距离为2.5cm 的点有（ ）个。 A. 无数个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 6. 已知⊙O 的圆心在坐标原点，半径为33，又A 点坐标为)3,4(，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A. A 点在⊙O 上 B. 点A 在⊙O 内 C. A 点在⊙O 外 D. 点A 在x 轴上 二. 填空题： 7. 若点M （2-a ，1+b ）与点N （52+a ，b 23+）关于y 轴对称，则=a ，=b 。 8. 已知点P （52-m ，43+m ）在第一、三象限的角平分线上，则=m 。 9. 若ABC ?的各顶点坐标为A （3-，2），B （2，2），C （1，1-），则ABC ?的面积为 。 10. 已知矩形ABCD 的顶点A （0，0），B （0，2-），D （3-，0），则点C 的坐标为 。 初升高数学衔接知识专题讲义2 【典型例题】 一、因式分解： 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． D 初升高暑假数学衔接教材(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 初升高暑假数学衔接教材 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、 初升高数学衔接知识点 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）． 2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 练 习 1．填空： （1）221111()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若212 x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116 m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 教学资料—高一 一．高中常见的代数式恒等变形 知识点睛 1.我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 1）平方差公式 22))((b a b a b a -=-+； 平方和公式 6 ) 2)(1(3212222++= ++++n n n n 2）完全平方公式 2222)(b ab a b a +±=±。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 1）立方和公式 3322))((b a b ab a b a +=+-+； 2）立方差公式 3322))((b a b ab a b a -=++-； 3）三数和平方公式 )(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++； 4）两数和立方公式 3223333)(b ab b a a b a +++=+； 5）两数差立方公式 3223333)(b ab b a a b a -+-=-； 6）常用公式 [] 222222)()()(2 1 c a c b b a ac bc ab c b a ±+±+±= ±±±++ 2．因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法，提取公因式法，公式法，分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法，用求根法分解关于x 的二次三项式)0(02≠=++a c bx ax 。 若关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，则))((212x x x x a c bx ax --=++。 经典精讲 【例1】 1．已知1=+y x ,则xy y x 33 3++的值为________. 2．实数b a ,满足133 3 =++ab b a .则b a +=_________. 【例2】 因式分解 1. 673+-x x ; 2. 23323+++a a a 3. 12345-+-+-x x x x x 初升高数学衔接知识专题讲座和练习1 重点、难点：初中数学与高中数学的区别 【典型例题】 [例1] 判断对错： 1. 坐标平面上的点与全体实数一一对应（ ） 2. 横坐标为0的点在x 轴上（ ） 3. 纵坐标小于0的点一定在x 轴下方（ ） 4. 到x 轴、y 轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（ ） 5. 若直线l //x 轴，则l 上的点横坐标一定相同（ ） 解：1. × 2. × 3. √ 4. × 5. × [例2] 已知函数x y 6=与函数3+=kx y 的图象交于点),(11y x A ，),(22y x B 且52221=+x x ，求k 值及A 、B 的坐标。 解：由?????+==3 6kx y x y 消去y 得0632=-+x kx ∴ ???????-=?-=+k x x k x x 632121 由52221=+x x 解52)(21221=?-+x x x x 即51292=+k k ∴ 31=k 5 32-=k （0=k x k y 的图象上有三点：),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，已知3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ） A. 321y y y << B. 130y y << C. 312y y y << D. 213y y y << 解：根据反比例函数的增减性。 选C [例4] 比较大小：2x 21- x 解：2x —（21-x ）=04 1)21(2>+-x ， 所以 2x >2 1-x [例5] 以矩形ABCD 的顶点A 为圆心作⊙A ，要使B 、C 、D 三点中至少有一点在⊙A 内，且至少有一个点在⊙A 外，如果12=BC ，5=CD ，则⊙A 的半径r 的取值范围为 。 解：135< 数学衔接知识专题讲座和练习2 重、难点： 1. 求二次函数最值。 2. 一元二次方程根的分布。 【典型例题】 [例1] 已知16)(2+-=x x x f （1）当22≤≤-x 时，求)(x f 的最值； （2）当64≤≤x 时，求)(x f 的最值； （3）当52≤≤x 时，求)(x f 的最值。 解：配方得8)3()(2--=x x f （1）最小值为7)2(-=f ，最大值为17)2(=-f （2）最小值为7)4(-=f ，最大值为1)6(=f （3）最小值为8)3(-=f ，最大值为4)5(-=f [例2] 已知x x x f +- =2 2 1)(，当n x m ≤≤时，)(x f 取值范围为n y m 22≤≤，求m 、n 值。 解：∵ 2 12 1)1(2 1)(2 ≤+ --=x x f ∴ 14 1<≤≤n m ∴ m m f 2)(=，n n f 2)(= 解得：2-=m ，0=n [例3] 已知122)4()(2 --++=m x m x x f 与x 轴交于两点，都在点（1，0）的右侧，求实数m 取值范围。 解：令0)(=x f ，可得21=x ，1)6(2>+-=m x ，即7- 【模拟试题】 1. 已知x x x f 2)(2+-=，试根据以下条件求)(x f 的最大、小值。 （1）x 取任意实数 （2）01≤≤-x （3）32≤≤x （4）40≤≤x 2. 解不等式 （1）0122<--x x （2）0822>--x x （3）022>++-x x （4）0202<+--x x （5）22)3()12(->-x x （6）012≤-x （7）042≥+-x （8）0122≤++x x 3. 求证：方程2)2)(1(k x x =--（0≠k ）有两个实根，一个比1大，一个比1小。 4. 一元二次方程02)13(72 2 =--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<< 一、数与式的运算 必会的乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++= ∴等式成立 【例1】计算：2 2 )3 12(+-x x 解：原式=2 2 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 ))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3 【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 1．计算 （1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）= （3）)916141(312 1 2++??? ??-m m m = （4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）= 2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3= （2）27m 3-81 n 3= （3）x 3 -125= （4） m 6-n 6= 【公式4】3 3 3 2 2 ()33a b a b a b ab +=+++ 1 ． 绝 对 值 绝对值的代数意义 ：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 绝对值的几何意义 ：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义 ： a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离． 1．填空： （1）若 x 5，则 x=_________；若 x 4 ，则 x=_________. （2）如果 a b 5 ，且 a 1，则 b ＝ ________；若 1 c 2 ，则 c ＝________. 2．选择题： 下列叙述正确的是（） （A ）若 a b ，则 a b （B ）若 a b ，则 a b （C ）若 a b ，则 a b （D ）若 a b ，则 a b 3．化简： |x －5|－|2x － 13|（x ＞5）． 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ； （2）完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2 ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 ； （2）立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 ； （3）两数和立方公式 ( a b)3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 ； （4）两数差立方公式 ( a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 ． 练习 1．填空： （1） 1 a 2 1 b 2 ( 1 b 1 a) （）； 9 4 2 3 （2） (4m ) 2 16m 2 4m ( ) ； (3) ( a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ) ． 2．选择题： （1）若 x 2 1 mx k 是一个完全平方式，则 k 等于（） 2 （ A ） m 2 （B ） 1 m 2 （C ） 1 m 2 （ D ） 1 m 2 4 3 16 （2）不论 a ， b 为何实数， a 2 b 2 2a 4b 8 的值（） （A ）总是正数（ B ）总是负数 （ C ）可以是零（ D ）可以是正数也可以是负数 3.分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 专题00中考数学与初高中衔接的关系 中考起着为高中选拔人才的作用，莘莘学子通过中考这一座桥梁走向高中.初中数学教材难度下降，初中教学跟着中考指挥棒，弱化了很多初高中数学学习中需要一直贯彻的数学思想方法，高中数学内容起点高、难度大、容量多，学生到了高中易衔接不上中考试题除了考察学生对初中知识的掌握程度以外，还为学生适应高中学习做适当的衔接，将会很好地体现“以学生的发展为根本”这一教学理念. 一、延伸高中数学思想方法 在初高中数学学习中需要一直贯彻的数学思想方法有函数的思想、数形结合思想、对图形的认识与空间想象能力等 例如函数思想，生长点在初中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容初中教材中函数知识的考察重点在于函数的基本性质和如何求函数表达式，而高中数学重视各种函数间的关系、动态问题中融合函数知识等内容.中考试题中对这类问题加以重视，把高中数学思想方法渗入初中的学习，以达到初高中接轨. 例1如图1，在平面直角坐标系x0y 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A 、C 、D 均在坐标轴上，且AB=5，4 sin 5 B =. （1）求过A 、 C 、 D 三点的抛物线的解析式； （2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n ，（1）中抛物线的解析式为2 2y ax bx c =++，求当12y y <时，自变量x 的取值范围； （3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上，A ，E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值. 如图2， （1）由菱形ABCD 的边长和一角的正弦值，可求出OC ，OD ，OA 的长，进而确定A ，C ，D 三点坐标，通过待定系数法求出抛物线的解析式222 433 y x x =- ++. （2）首先由A ，B 的坐标确定直线AB 的解析式143y x =--8 3 ， 然后求出直线A 与抛物线的两个交点（-2，0）和285,3?? - ??? ，然后通过观察图象找出直线y 1在抛物线y 2图象下方的部分，由图可知：当y 1 初升高数学衔接知识专题讲座和练习2 重、难点： 1. 求二次函数最值。 2. 一元二次方程根的分布。 【典型例题】 [例1] 已知16)(2+-=x x x f （1）当22≤≤-x 时，求)(x f 的最值； （2）当64≤≤x 时，求)(x f 的最值； （3）当52≤≤x 时，求)(x f 的最值。 解：配方得8)3()(2--=x x f （1）最小值为7)2(-=f ，最大值为17)2(=-f （2）最小值为7)4(-=f ，最大值为1)6(=f （3）最小值为8)3(-=f ，最大值为4)5(-=f [例2] 已知x x x f +-=22 1)(，当n x m ≤≤时，)(x f 取值范围为n y m 22≤≤，求m 、n 值。 解：∵ 2121)1(21)(2≤+-- =x x f ∴ 141<≤≤n m ∴ m m f 2)(=，n n f 2)(= 解得：2-=m ，0=n [例3] 已知122)4()(2--++=m x m x x f 与x 轴交于两点，都在点（1，0）的右侧，求实数m 取值范围。 解：令0)(=x f ，可得21=x ，1)6(2>+-=m x ，即7- 1. 已知x x x f 2)(2+-=，试根据以下条件求)(x f 的最大、小值。 （1）x 取任意实数 （2）01≤≤-x （3）32≤≤x （4）40≤≤x 2. 解不等式 （1）0122 <--x x （2）0822>--x x （3）022>++-x x （4）0202<+--x x （5）22)3()12(->-x x （6）012≤-x （7）042≥+-x （8）0122≤++x x 3. 求证：方程2)2)(1(k x x =--（0≠k ）有两个实根，一个比1大，一个比1小。 4. 一元二次方程02)13(722=--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<< 第一章——前言 首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨”、“考查方式更灵活”、“数学思想更重要”。 高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、关联性更强，这就要求我们需要有“举一反三”、“化繁为简”、“知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中，我们将通过具体的例子去体会上述所讲的各类名词的具体含义。 下面简要列出高中阶段最重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。 “数形结合思想”、“分类与整合思想”、“特殊与一般思想”、“函数与方程思想” 接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。 引例1：b kx y +=是什么？x k y =是什么？c bx ax y ++=2 又是什么？ 答案：对于b kx y += ? ? ? ??? ?????+=?≠?=?=?????+=?≠?=?=?可能 是一条直线，但有多种轴的直线是一条平行于从几何的角度看是一次函数的解析式是常数函数的解析式从代数的角度看b kx y k x b y k b kx y k b y k 0000 对于x k y = ???? ? ????????? ???=?≠?=?=?????? ? ??=?=?≠?=?=?能是双曲线，但有两种可轴的直线是一条重合于从几何的角度看此分式无意义是反比例函数的解析式是常数函数的解析式从代数的角度看x k y k x y k x x k y k y k 0000000 c bx ax y ++=2同理，限于篇幅不在此继续分析。 引例1体现了数形结合、分类与整合、特殊与一般的数学思想，体现了举一反三的学习技巧。 初升高数学衔接课程——二次函数 一．基础知识巩固 1.二次函数的三种表达式. ⑴______________________________________________________________________; ⑵______________________________________________________________________; ⑶______________________________________________________________________. 2.二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是_______,顶点坐标_____________,对称轴______. ⑴a>0时,图象开口_______,函数有最______值____________; ⑵a<0时,图象开口_______,函数有最______值____________. 二．检测提高 例1 已知二次函数图象过点(－3,0),(1,0),且函数的最小值为－20,求此函数解析式. 例2 要得到函数y=2x2－4x－1的图象,可将函数y=2x2的图象向______平移______个单位,再向______平移______个单位. 例3 画出函数y=x2－4x+1的图象,并求在下列范围内函数的最大值,最小值. ⑴0≤x≤3; ⑵3≤x≤5; ⑶－1≤x≤1. 3.7二次函数⑴答案 一．基础知识巩固 1.二次函数的三种表达式. ⑴二次函数的一般式:y=ax 2+bx+c(a ≠0); ⑵二次函数的顶点式:y=a(x －h)2+k(a ≠0),顶点坐标(h,k); ⑶二次函数的两根式:y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0),与x 轴两个交点坐标(x 1,0),(x 2,0). 2.二次函数的图象和性质 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是抛物线,顶点坐标(－b 2a ,4ac －b 24a ),对称轴x=－b 2a . ⑴a>0时,图象开口向上,函数有最小值y min =4ac －b 24a ; ⑵a<0时,图象开口向下,函数有最大值y max =4ac －b 24a . 二．检测提高 例1 已知二次函数图象过点(－3,0),(1,0),且函数的最小值为－20,求此函数解析式. 解1:∵二次函数图象过点(－3,0),(1,0), ∴设y=a(x+3)(x －1)=a(x 2+2x －3)=a(x+1)2－4a,顶点坐标(－1,－4a) ∵函数的最小值为－20, ∴??? a>0－4a=－20∴a=5 ∴y=5x 2+10x －15 解2:∵二次函数图象过点(－3,0),(1,0),. ∴函数图象关于直线x=－3+12 =－1对称, ∵函数的最小值为－20, ∴图象顶点坐标(－1,－20) ∴设y=a(x+1)2－20,a>0,将点(1,0)代入,解得a=5 ∴y=5x 2+10x －15 例2 要得到函数y=2x 2－4x －1的图象,可将函数y=2x 2的图象向______平移______个单位,再向______平移______个单位. 解:右 1 下 3 例3 画出函数y=x 2－4x+1的图象,并求在下列范围内函数的最大值,最小值. 2020初高中数学衔接教程 中考数学与初高中衔接的关系 中考起着为高中选拔人才的作用，莘莘学子通过中考这一座桥梁走向高中.初中数学教材难度下降，初中教学跟着中考指挥棒，弱化了很多初高中数学学习中需要一直贯彻的数学思想方法，高中数学内容起点高、难度大、容量多，学生到了高中易衔接不上中考试题除了考察学生对初中知识的掌握程度以外，还为学生适应高中学习做适当的衔接，将会很好地体现“以学生的发展为根本”这一教学理念. 一、延伸高中数学思想方法 在初高中数学学习中需要一直贯彻的数学思想方法有函数的思想、数形结合思想、对图形的认识与空间想象能力等 例如函数思想，生长点在初中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容初中教材中函数知识的考察重点在于函数的基本性质和如何求函数表达式，而高中数学重视各种函数间的关系、动态问题中融合函数知识等内容.中考试题中对这类问题加以重视，把高中数学思想方法渗入初中的学习，以达到初高中接轨. 例1如图1，在平面直角坐标系x0y 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A 、C 、D 均在坐标轴上，且AB=5，4 sin 5 B =. （1）求过A 、 C 、 D 三点的抛物线的解析式； （2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n ，（1）中抛物线的解析式为2 2y ax bx c =++，求当12y y <时，自变量x 的取值范围； （3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上，A ，E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值. 类似的题型还有结合高中几何不等式考察数形结合思想；利用三视图延伸到高中立体几何，考察空间理解能力；渗透排列组合知识强化概率知识的理解能力等等.学生通过解这一类题目，可以把解题思想延伸到高中，利用高中思维方法解初中函数题，以达到初高中思维方法上的衔接. 二、滲透高中数学概念 概念是基础知识的核心.初中概念简单，容易理解，从升学考看，学生只要记准概念公式及教师所讲例题类优选初升高数学衔接测试卷试题学生版本.docx
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