几何三大变换——翻折
几何三大变换：
平移翻折旋转
翻折
先想想轴对称
例1.
，
例2.
例3.
例4.
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例5.
例6.
例7.
|
例8.…
例9.
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例10.
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例11.
2016中考数学预测押题--专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。 中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。 原创模拟预测题1.如图，直线l：y=+y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75o后，所得直线的解析式为【】
A ．y = B ．y x =+ C ．y x =-+ D ．y x =- 【答案】B 。 【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 故选B 。 原创模拟预测题2. 根据要求，解答下列问题： （1）已知直线l 1的函数表达式为y x 1=+，直接写出：①过原点且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式；②过点（1，0）且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式； （2）如图，过点（1，0）的直线l 4向上的方向与x 轴的正方向所成的角为600，①求直线l 4的函数表达式；②把直线l 4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l 5，求直线l 5的函数表达式； （3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x 55 =-垂直的直线l 6的函数表达式。
1.（2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）． 2.如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：CE=CF． （2）将图（1）中的△AD E沿AB向右平移到△A’D’E’ 的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2） 所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的 结论． 3．在折纸这种传统手工艺术中，蕴含很多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形。 把一张正方形纸片按照下面步骤折叠后展开。 （1）猜想四边形ABCD是什么四边形？ （2）请证明你的猜想.
图1 A O B C D E 图2 B 4.（本小题满分10分）如图1，在△OAB 中，∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB =8．以OB 为 边，在△OAB 外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ． （1）求证：四边形ABCE 是平行四边形； （2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长． 5．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0° ＜θ＜180°)，得到△A 1B 1C ． (1)如图1，当AB ∥CB 1时，设A 1B 1与BC 相交于点D ．证明：△A 1CD 是等边三角形； (2)如图2，连接AA 1、BB 1，设△ACA 1和△BCB 1的面积分别为S 1、S 2．求证：S 1∶S 2 ＝1∶3； (3)如图3，设AC 的中点为E ，A 1B 1的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ．当θ＝ °时，EP 的长度最大，最大值为 ． 6.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至' ''D F CE ,旋转角为α. （1）当点' D 恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值； （2）如图2，G 为BC ，且0°＜α＜90°，求证：D E GD ' ' =； （3）小长方形CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，' DCD ? 与' CBD ?能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由. A A C C C A 1 A 1 B B 11 E P 图1 图2 图3 θ
2012年中考数学压轴题分类解析 专题7：几何三大变换相关问题 授课老师：黄立宗 典型例题选讲： 例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对 应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的 条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形． 例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）． 例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)． 例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式； （3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0). （1）结合坐标系用坐标填空． 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称
第1题图 第2题图 G 第3 题图第4题图 第5题图第6 题图 折叠问题文稿（不含压轴题） 1.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=___． 2.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 的长． 3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于_ ____． 4.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，折痕交CD 于点E ，已知AB=8cm, BC=10cm ， 求EC 的长． 5.如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，将BC 边折叠，使点B 与点D 重合，折痕经过点C ，若AD=2，AB=4，求∠BCE 的正切值． 6.如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将点A 沿过DE 的直线拆叠． （1）说明点A 的对应点A ＇一定落在BC 上； （2）当A ＇在BC 中点处时，求证：AB=AC ．
第7题图 7. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是多少？ 8. 如图是面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，将点C 折至MN 上，落在点P 位置，折痕为BQ ，连结PQ ． （1）求MP 的长； （2）求证：以PQ 为边长的正方形面积等于 1 3 ． 9. 把矩形ABCD 对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕上，得到Rt △ABE ，延长EB 交AD 于点F ，若矩形的宽CD=4． （1 ）求证：△AEF 是等边三角形； （2）求△ AEF 的面积． 第8题图 第9题图
2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题13：几何三大变换问题之对称 一、选择题 1.（2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】 A．108°B．144°C．126°D．129° 【答案】C。 【考点】矩形的性质，折叠对称的性质。 【分析】展开如图：五角星的每个角的度数是： 0 180 36 5 。 ∵∠COD=3600÷10=360，∠ODC=360÷2=180， ∴∠OCD=1800－360－180=1260。故选C。 2.（2004年浙江湖州3分）小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是【】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】剪纸问题，折叠对称的性质，正方形的性质。 【分析】按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个等腰直角三角形，展开得：剪去的为一正方形，且顶点在原正方形的对角线上。故选D。 3.（2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】
A．向右平移7格 B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称 C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称 D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 【答案】D。 【考点】轴对称和平移变换。 【分析】观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格。故选D。 4.（2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移， 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 ．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结 合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换 ．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【】 A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分 C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行 【答案】B。 【考点】新定义，轴对称变换和平移变换的性质。 【分析】观察图形，因为进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的； 对应点连线是不可能平行的，D是错误的； 由对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分。故选B。 5.（2011年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，
初中几何变换思想之翻 折 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
中考汇编几何变换之翻折 1．（2016山东省枣庄市）如图，△ABC 的面积为6，AC =3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C ′处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是（ ） A ．3 B ．4 C ． D ．10 2．（2015常州）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ） A ．338cm 2 B ．8cm 2 C ．33 16cm 2 D ．16cm 2 3．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ． 4．（2014年湖北天门学业3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为 ▲ ． 5．（2014年四川凉山5分）如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为 ▲ ． 6．（2014年江苏盐城12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC 中，AB =AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．求证：PD +PE =CF ． 小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD +PE =CF ． 小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD =GF ，PE =CG ，则PD +PE =CF ． 【变式探究】如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE =CF ； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
几何三大变换（习题） ?例题示范 例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为． 【思路分析】 要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x． 思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x， A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是 直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程． 思路一思路二 思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程． 例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为． 【思路分析】 已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四 边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的 结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
1
?巩固练习 1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单 位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为． 第1 题图第2 题图 2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到 △A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为． 3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点 三角形乙，则其旋转中心是（） A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q 第3 题图第4 题图 4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的 对应点N 恰好落在OA 上，则OC 的值为．CD 5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针 旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1， BE=2，CE=3，则∠BE′C= ． 6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该 平行四边形折叠，使点C，D 分别落 在点E，F 处，折痕为MN．若点E， F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
专题：几何翻折变换（折叠问题） 1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】 1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OB BP PC CQ =。 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m． ∴ 6t 11t6m = -- 。∴2 111 m t t6 66 =-+（0＜t＜11）。 （Ⅲ）点P 1113 - ，6 11+13 ，6）。 2、（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成， ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，∴△ABG≌△C′DG（ASA）。（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。 设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=7 4 。 ∴ 7 AG7 4 tan ABG AB624∠===。 （3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=1 2 AD=4。 ∵tan∠ABG=tan∠ADE=7 24 。∴EH=HD× 7 24 =4× 77 = 246 。
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解） 几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形 之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形， 大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关 系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图 形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究. 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力. 1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方 形的性质。 专题：压轴题。 分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG． （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG． 解答：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵Ｇ为DF的中点， ∴CG=FD， 同理，在Rt△DEF中， EG=FD， ∴CG=EG． （2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG． 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中， ∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴△DAG≌△DCG， ∴AG=CG； 在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴△DMG≌△FNG，
专题20 几何三大变换问题之轴对称（折叠）问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中考压轴题中轴对称 (折叠)问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。 一. 有关三角形的轴对称性问题 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，连接EF ，交AD 于点G ，求证：AD ⊥EF ． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=900 ，∠B=300 ， BC=，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为等腰三角形时，BD 的长为 。 F D C E A B
【考点】翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。 二. 有关四边形的轴对称性问题 3.如图①是3×3菱形格，将其中两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕菱形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】 A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B。 【考点】利用旋转的轴对称设计图案。 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案： 得到的不同图案有：
初中数学几何变换之 轴对称 一、知识梳理 1、轴对称基本要素：对称轴。 2、基本性质： （1）对应线段、对应角相等 （2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等 3、应用 翻折问题、最值问题等 二、常考题型 类型一：轴对称性质 1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________. 第1题 第2题 第3题
2、如图，矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE 与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________. 3、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为。 4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F CD时，CF 的值为。 FD 5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是。 第4题第5题第6题 6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是。 7、如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG ＝ .
几何三大变换（讲义） 一、知识点睛 1.________、________、____________统称为几何三大变换．几 何三大变换都是_______________，只改变图形的________，不改变图形的_________________． 2.三大变换思考层次 三 大 变 换 基本要素基本性质延伸性质应用 平移平移方向 平移距离 1．对应点所连的线 段平行且相等 2．对应线段平行且 相等 3．对应角相等 平移出现 __________ 天桥问题、 平行四边形 存在性等 旋转旋转中心 旋转方向 旋转角度 1．对应点到旋转中 心的距离相等 2．对应点与旋转中 心的连线所成的角 等于旋转角 3．对应线段、角相 等，对应线段的夹 角等于旋转角 4．对应点所连线段 的垂直平分线都经 过旋转中心 旋转出现 __________ 旋转结构 （等腰）等 轴 对称对称轴 1．对应线段、对应 角相等 2．对应点所连线段 被对称轴垂直平分 3．对称轴上的点到 对应点的距离相等 4．对称轴两侧的几 何图形全等 折叠出现 __________ 折叠问题、 最值问题等
二、精讲精练 1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到 △DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 F C E D B A B 1 A 1 y x B A O 第1题图 第2题图 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别 为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A 1B 1，若点A 1，B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a b +=___________． 3. 如图，在44?的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角 度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D D C B A N 1 M 1 P 1N M P 4. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90°， ∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为________________．（结果保留π） C B A l …
专题八 折叠问题 学习要点与方法点拨： 出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题 折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等； 考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 基本图形： 在矩形ABCD 中，将△ABF 沿BE 折叠至△FBE,可得何结论 （1）基本图形练习： 如图，将三角形纸片ABC 沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 上，折痕为AD ，展开纸片；再次折叠，使得A 和D 点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF 是等腰三角形，对吗 （2）折叠中角的考法与做法： 将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使得A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （图1）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 边上的点D ’，折痕为EG （图2）,再展开纸片，求图（3）中角a 的大小。 （3）折叠中边的考法与做法： 如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处， 折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是多少 模块精讲 例1.（2014扬州）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处． （1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP ∽△PDA ； ②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长； （2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数； （3）如图2，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度． 例2.（2013苏州）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若=，则= 用含k 的代数式表示）． 例3、（2013苏州）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm ，BC=12cm ，点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点F 的运动速度为3cm/s ，点G 的运动速度为s ，当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB′F ．设点E 、F 、G 运动的时间为t （单位：s ）． （1）当t= s 时，四边形EBFB′为正方形； （2）若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值； （3）是否存在实数t ，使得点B′与点O 重合若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 例4、如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G ，F ，AE 与FG 交于点O ． 结论：（1）全等；（2）垂直。 ★解题步骤： 第一步：将已知条件标在图上； 第二步：设未知数，将未知数标在图上； 第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不 与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值． 类比归纳：在图（1）中，若 13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14 CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN 的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于__．（用含m n ，的式子表示）
2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上， 落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开 铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. 图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF” 是一个_________三角形； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶 点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最 大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存 在，为什么？
3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的 有关问题． 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示． （1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________； （2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α （ n 180 0< < ）． （3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
在矩形ABCD 中，点E 为BC 边上的一动点，沿AE 翻折，△ABE 与△AFE 重合，射线AF 与直线CD 交于点G 。 1、当BE ：EC=3：1时，连结EG ，若AB=6，BC=12，求锐角AEG 的正弦值。 2、以B 为原点，直线BC 和直线AB 分别为X 轴、Y 轴建立平面直角坐标系，AB=5,BC=8，当点E 从原点出发沿X 正半轴运动时，是否存在某一时刻使△AEG 成等腰三角形，若存在，求 出点E 的坐标。 $ 1、 2 a b m b a-+b+3=0=14.ABC A S 如图，已知（0，），B （0，），C （，）且（4）， o y =DC FD ADO ⊥∠∠∠（1）求C 点坐标 （2）作DE ，交轴于E 点，EF 为AED 的平分线，且DFE 90。求证：平分； ( （3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，
且PM ⊥EM,PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中， MPQ ECA ∠∠的大小是否发生变化，若不变，求出其值。 2、如图1， AB A B C C B C B C
(1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交 于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系说明你的理由。 （2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系说明你的理由。 （3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系说明你的理由。 ~ 6．（1）如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,求∠BDC 的度数。 （2）如图，点E 在CD 的延长线上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数量关系为什么 F A A E B B
几何综合——三大变换 【例1】已知△ABC ，AD ∥BE ，若∠CBE ＝4∠DAC ＝80°，求∠C 的度数。 C D E B A 【例2】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，且BD ＝BC ，AC ⊥BD 。求证：AD ＋BC ＝2CM 。 M D C B A
【例3】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H 。 ⑴求证：FG ＝DE 。 ⑵求证：FD EG 。 H G F E D C B A 【例4】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD ＝CE 。求证：2DE ≥BC 。 E D C B A 【例5】(2007北京)如图，已知△ABC 。 ⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此 图中只存在．．． 两对．． 面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。 板块二 轴对称变换 【例6】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上， B 'C '交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求△DB'N 的周长。 N C' F E B' D C B A 【例7】（2009山西太原）问题解决： 如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 。当 12CE CD 时，求 AM BN 的值。 图1 N M F E D C B A 【例8】⑴(2009浙江温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心在正方形的中
专题21几何三大变换问题之平移问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。平移有如下性质： 1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等； 2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等； 3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。 中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。 一.直线（线段）的平移问题 1.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点. （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____, 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______ （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式. （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M. ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长; ②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；5（2） () () 2 m8m122m4 d 24m6 < ?-+-≤ ? =? ≤≤ ?? （3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m= 14 3 【解析】解：（1）2；5。 （2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。 当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，则根据定义，d=EB。
九年级数学几何三大变换(旋转)拔高练习 试卷简介:全卷共20道题，全部为选择题，共100分，整套试卷略有难度，考查学生对知识的灵活综合运用能力，题目短小却又不失难度和知识点的考查，包含了不少中考经常考查的知识点和解题策略。学生在做题过程中可以回顾所学知识，认清自己对知识的掌握及灵活运用程度 学习建议:熟练掌握全等三角形的判定和性质、特殊四边形的性质、一元二次方程等知识点，并学会灵活运用。只有多加练习，才能对较难的题目轻松掌握，快速做题 一、单选题(共2道，每道50分) 1.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，且BD＝BC，AC⊥BD，下列结论正确的是（） A.BC-AD＝CM B.AD＋BC＝2CD C.BC-AD＝2AM D.AD＋BC＝2CM 答案：D 解题思路：由等腰梯形性质可知，AC=BD，AM=DM，BM=CM，△ADM和△BCM都是等腰直角三角形. 设BM=CM=x，则BC=x， DM=BD-BM=BC-BM=（-1）x， AD=DM=（2-）x， 于是AD+BC=（2-）x+x=2x=2CM，故答案选D 易错点：不能灵活运用等腰梯形的性质，并结合题目条件得到梯形中各条线段的数量关系试题难度：四颗星知识点：等腰梯形的性质 2.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC＝90°,AD=CD，DP⊥AB与P，若四边形ABCD的面积是18，则DP的长为（） A.
B. C. D. 答案：C 解题思路：作CE⊥DP于点E，则CE=PB， 在Rt△ADP和Rt△DCE中， AD=DC， ∠APD=∠DEC=90°， 因为∠ADP+∠CDE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，所以∠ADP=∠DCE 所以△ADP≌△DCE，AP=DE，DP=CE=BP， 设AP=x，CE=DP=y，则DE=x，PE=y-x，则 18=2S△ADP+S矩形BCEP=2·xy+y（y-x）=y2 所以y=故答案选C 易错点：想不到辅助线的做法，不能把图形中的线段和四边形面积建立起联系试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定与性质