非平稳时间序列模型
非平稳时间序列模型是用来描述时间序列数据中存在趋势、季节性或其他波动的模型。这些模型通常用于预测未来的数值或分析数据中的特征。
其中一个常见的非平稳时间序列模型是趋势模型。趋势模型用来描述数据中存在的长期趋势。例如，如果一个公司的销售额在过去几年里呈现稳定的增长趋势，那么趋势模型可以帮助预测未来几年的销售额。
另一个常见的非平稳时间序列模型是季节性模型。季节性模型用来描述数据中存在的周期性变动。例如，如果一个餐厅的每周客流量在周末较高，在工作日较低，那么季节性模型可以用来预测未来每周的客流量。
此外，还有其他非平稳时间序列模型，如自回归移动平均模型（ARMA）、自回归综合滑动平均模型（ARIMA）等。这些模型结合了自身过去时刻的观测值和过去时刻的误差，用来预测未来的数值。
非平稳时间序列模型的建立和拟合通常包括多个步骤。首先，需要对原始数据进行处理，例如去除趋势和季节性。然后，选择适当的模型来拟合剩余数据。最后，根据模型来预测未来的数值，并进行评估模型的准确性和可靠性。
总之，非平稳时间序列模型是一种描述和分析时间序列数据中存在趋势、季节性或其他波动的模型。这些模型可以帮助我们
理解数据的特征，并预测未来的趋势和变化。非平稳时间序列模型是用来描述和分析时间序列数据中存在趋势、季节性或其他波动的模型。这些模型通常用于预测未来的数值或分析数据中的特征。非平稳时间序列模型在许多领域中都有广泛的应用，包括经济学、金融学、气象学等。
在经济学中，非平稳时间序列模型被广泛应用于经济预测和决策制定。例如，GDP增长率是一个典型的非平稳时间序列数据，它受到许多因素的影响，如技术进步、政府政策等。通过建立一个趋势模型，可以预测未来的经济增长趋势，从而提供政府和企业的决策参考。
在金融学中，非平稳时间序列模型被广泛应用于股票价格预测和风险管理。股票价格是一个非平稳时间序列，它受到市场供需关系、公司盈利情况等多个因素的影响。通过建立一个适当的模型，可以预测未来的股票价格，并根据预测结果进行投资决策。
在气象学中，非平稳时间序列模型被广泛应用于天气预测和气候变化研究。天气和气候都是动态变化的，受到大气环流、海洋温度等多个因素的影响。通过建立一个季节性模型，可以预测未来的天气变化和气候趋势，并提供支持农业、交通等行业的决策。
非平稳时间序列模型的建立和拟合通常包括多个步骤。首先，需要对原始数据进行处理，例如去除趋势、季节性和异常值等。常用的处理方法包括差分法、对数转换和平滑技术。然后，选
择适当的模型来拟合处理后的数据。常用的模型包括自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和自回归移动平均模型（ARMA）。最后，根据模型来预测未来的数值，并进行评估模型的准确性和可靠性。
使用非平稳时间序列模型进行预测时，还有一些常用的技术和方法。其中之一是模型识别，即通过统计方法和图形分析来确定最佳模型。另一个重要的技术是参数估计和模型拟合，通过最大似然方法或最小二乘法来估计模型的参数，并使模型与观测数据最拟合。最后，还需要进行模型诊断和验证，以检查模型的残差是否符合统计假设，并对模型的预测能力进行评估。
总之，非平稳时间序列模型是一种描述和分析时间序列数据中存在趋势、季节性或其他波动的模型。它在经济学、金融学、气象学等领域中有着广泛的应用。通过适当的数据处理和模型拟合，非平稳时间序列模型可以帮助我们预测未来的趋势和变化，并为决策制定提供支持。
非平稳时间序列模型 非平稳时间序列模型是用来描述时间序列数据中存在趋势、季节性或其他波动的模型。这些模型通常用于预测未来的数值或分析数据中的特征。 其中一个常见的非平稳时间序列模型是趋势模型。趋势模型用来描述数据中存在的长期趋势。例如，如果一个公司的销售额在过去几年里呈现稳定的增长趋势，那么趋势模型可以帮助预测未来几年的销售额。 另一个常见的非平稳时间序列模型是季节性模型。季节性模型用来描述数据中存在的周期性变动。例如，如果一个餐厅的每周客流量在周末较高，在工作日较低，那么季节性模型可以用来预测未来每周的客流量。 此外，还有其他非平稳时间序列模型，如自回归移动平均模型（ARMA）、自回归综合滑动平均模型（ARIMA）等。这些模型结合了自身过去时刻的观测值和过去时刻的误差，用来预测未来的数值。 非平稳时间序列模型的建立和拟合通常包括多个步骤。首先，需要对原始数据进行处理，例如去除趋势和季节性。然后，选择适当的模型来拟合剩余数据。最后，根据模型来预测未来的数值，并进行评估模型的准确性和可靠性。 总之，非平稳时间序列模型是一种描述和分析时间序列数据中存在趋势、季节性或其他波动的模型。这些模型可以帮助我们
理解数据的特征，并预测未来的趋势和变化。非平稳时间序列模型是用来描述和分析时间序列数据中存在趋势、季节性或其他波动的模型。这些模型通常用于预测未来的数值或分析数据中的特征。非平稳时间序列模型在许多领域中都有广泛的应用，包括经济学、金融学、气象学等。 在经济学中，非平稳时间序列模型被广泛应用于经济预测和决策制定。例如，GDP增长率是一个典型的非平稳时间序列数据，它受到许多因素的影响，如技术进步、政府政策等。通过建立一个趋势模型，可以预测未来的经济增长趋势，从而提供政府和企业的决策参考。 在金融学中，非平稳时间序列模型被广泛应用于股票价格预测和风险管理。股票价格是一个非平稳时间序列，它受到市场供需关系、公司盈利情况等多个因素的影响。通过建立一个适当的模型，可以预测未来的股票价格，并根据预测结果进行投资决策。 在气象学中，非平稳时间序列模型被广泛应用于天气预测和气候变化研究。天气和气候都是动态变化的，受到大气环流、海洋温度等多个因素的影响。通过建立一个季节性模型，可以预测未来的天气变化和气候趋势，并提供支持农业、交通等行业的决策。 非平稳时间序列模型的建立和拟合通常包括多个步骤。首先，需要对原始数据进行处理，例如去除趋势、季节性和异常值等。常用的处理方法包括差分法、对数转换和平滑技术。然后，选
计量经济学专题（3） 非平稳时间序列回归与协整检验 1、协整的引入 由于用非平稳的时间序列建立回归模型会带来虚假回归问题，导致用非平稳的时间序列建立的回归模型的估计结果毫无意义，因此在用非平稳的时间序列回归前必须对回归的序列做进一步的检验。 2、协整检验的思想 在实际中，大多数时间序列时非平稳的，然而某些非平稳的时间序列的线性组合却有可能是平稳的。 经济理论认为，某些经济时间序列存在长期的均衡关系。如：收入与支出、工资与价格、进口与出口、货币发行量与物价水平等。由于这些序列都是非平稳的时间序列，其方差与均值随时间的变化而变化，看起来这些非平稳的序列不会存在任何均衡的关系，但事实上若干个非平稳的时间序列的线性组合却有可能是平稳的序列，则称具有这种性质的序列具有协整性，如果某些时间序列存在协整关系，这认为这些经济变量之间存在长期的均衡关系。 协整关系的另一种理解：如果两个或两个以上的非平稳变量存在长期均衡的关系，则长期均衡关系得到的误差序列是平稳的。 3、协整的定义 用t X 表示N ×1阶的时间序列向量()'Nt t t x x x 21，如果： （1）t X 所含有的所有变量都是)(d I 阶的；（2）如果存在一个N ×1阶向量)0(,≠ββ，使得t X β'～)(b d I -，则称t X 的各分量存在b 阶协整关系。β称协整向量，β的各元素称协整参数。 例如：假定t t y x ,均为一阶非平稳的时间序列，即：t t y x ,～I （1），如果t t y x ,具有如下关系： t t t u x y +=β，t u ～I （0） ， 则t t x y β=表示长期均衡关系，t t t x y u β-=表示非均衡误差，两个非平稳的时间序列t t y x ,的线性组合为一平稳的时间序列，所以t t y x ,具有协整关系。 4、协整的若干性质
非平稳时间序列概述 非平稳时间序列是指其统计特性在不同时间上发生了变化的时间序列数据。与平稳时间序列不同，非平稳时间序列在时间上存在趋势、季节性、周期性等变化。这些变化使得序列的平均值、方差和协方差随着时间的推移而变化，从而使得非平稳时间序列的分析和预测更加复杂。 非平稳时间序列的主要特点包括以下几个方面： 1. 趋势性：非平稳时间序列在长期内呈现出明显的趋势变化。例如，股票价格在长期内可能会呈现上升或下降的趋势。 2. 季节性：非平稳时间序列在特定的时间段内存在周期性波动。例如，零售销售额可能会在节假日季节出现明显的周期性增长。 3. 周期性：非平稳时间序列可能呈现出长期的周期性波动。例如，经济增长率可能会在数年或数十年内出现周期性的波动。 4. 自相关性：非平稳时间序列的自相关性通常不会随着时间的推移而衰减。这使得使用传统的时间序列分析方法变得困难。 非平稳时间序列的分析和预测需要使用特殊的技术和方法。常用的方法包括差分法、季节性调整、趋势拟合、转换等。差分法可以通过对序列的差分来消除趋势性和季节性，使得序列变得平稳。季节性调整可以通过季节性分解或回归模型来消除季节性效应。趋势拟合可以使用线性回归、移动平均或指数平滑等方法来拟合趋势。转换可以将非平稳时间序列转化为平稳时
间序列，例如取对数、平方根等。 非平稳时间序列的分析和预测对于许多领域的决策非常重要，如经济学、金融学、工程学等。准确理解和预测非平稳时间序列的变化趋势可以帮助我们做出合理的决策，优化资源配置，提高效率和盈利能力。非平稳时间序列的分析和预测在许多领域中具有重要的应用价值。以下是一些常见的应用领域： 1. 经济学：非平稳时间序列分析在宏观经济学中具有重要意义。经济指标如GDP、通货膨胀率、失业率等往往呈现出明显的 趋势和周期性变化。对这些经济指标进行分析和预测有助于了解经济发展的趋势和周期，以及制定相应的经济政策。 2. 金融学：金融市场中的价格、交易量、股票收益等数据通常呈现出较强的非平稳性。通过对金融时间序列的分析和预测，可以帮助投资者制定合理的投资策略，降低投资风险。此外，对金融时间序列进行建模和预测还对风险管理、期权估值、资产定价等金融领域的决策具有重要的意义。 3. 工程学：非平稳时间序列分析在工程领域中有广泛的应用。例如，对电力负荷进行预测可以帮助电力公司合理安排发电计划，优化电力供需平衡。对温度、湿度等气象时间序列数据的分析和预测有助于天气预报和气候变化研究。另外，对工业生产过程中的传感器数据进行分析和预测，可以帮助提高生产效率和质量。 4. 医学：医学领域中的时间序列数据包括患者心率、血压、呼
第八章、非平稳时间序列分析 很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。 8.1 随机游动和单位根 8.1.1随机游动和单位根 如果时间序列t y 满足模型 t t t y y ε+=-1 （8.1） 其中t ε为独立同分布的白噪声序列， ,2,1,)(2==t Var t σε，则称t y 为标准随机游动 （standard random walk ）。随机游动表明，时间序列在t 处的值等于1-t 时的值加上一个新息。如果将t y 看作一个质点在直线上的位置，当前位置为1-t y ，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（t ε）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（t ε与1-t y 不相关），也与以前的运动历史无关（t ε与 ,,32--t t y y 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。这便是 “随机游动”的由来。 随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。将（8.1）进行递归，可以得出 010 211y y y y t s s t t t t t t t +==++=+=∑-=----εεεε （8.2） 。如果初始值0y 已知，则可以计算出t y 的方差为2)(σt y Var t =。由此看出随机游动在不同 时点的方差与时间t 成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。下图给出了随12机游动时间序列图： 图8.1 随机游动时间序列图 将随机游动（8.1）用滞后算子表示为 t t y L ε=-)1( （8.3） ，滞后多项式为L L -=Φ1)(。显然1=L 是滞后多项式的根，因此随机游动是一个单位根过程（unit root process ）。随机游动是最简单的单位根过程。 随机游动的概念可以进行推广。如果时间序列t y 满足 t t t y c y ε++=-1 （8.4）
时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。 1. 什么是平稳性？ 平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。 2. 平稳性的判断方法 为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。 3. 非平稳性的表现形式 非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。
4. 非平稳性的处理方法 如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。常见的处理方法有差分法、对数变换等。差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。 5. 平稳性的重要性 平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。 - 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。 - 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。 6. 平稳性与非平稳性的应用举例 在金融领域，平稳性与非平稳性的概念被广泛应用于股票价格、汇率波动等时间序列数据的分析和预测。通过判断时间序列数据是否平稳，可以选择适当的模型和方法进行预测，从而帮助投资者做出更明智的决策。 总结：
时间序列模型 时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。 1．ARMA与ARCH模型 2．协整与误差修正模型 3．向量自回归模型第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving average
models)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models) 的识别、估计、检验、应用。 一、时间序列的平稳性 （一）平稳时间序列 所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。 严格地讲，如果一个随机时间序列t y ，对于任何时间t ，都满足下列条件： Ⅰ）均值()t E y μ=∞；
Ⅱ）方差22()()t t Var y E y μσ=-=，是与时间t 无关的常数； Ⅲ）自协方差{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）,是只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数。 则称该随机时间序列是平稳的。生成该序列的随机过程是平稳过程。 例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列： t y =t εt ε~2(0,)iid σ该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。 由于t y 具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。例 5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）： 1t t t y y ε-=+t ε~2(0,)iid σ，是一个白噪声。
线性非平稳模型 一、非平稳时间序列与单位根过程 定义：如果一个时间序列的均值或方差随时间而变化，那么，这个时间序列数据就是非平稳的时间序列数据；如果一个序列是非平稳的序列，常常称这一序列具有非平稳性。 如果时间序列t X 不满足如下平稳性定义中的一条或几条，则t X 是非平稳的序列。 平稳性定义有如下几条： （1）t X 的均值不随时间变化， ()t E X =μ； （2）t X 的方差不随时间变化， 22()()t t var X E X =-=μσ； （3）任何两期的t X 与t k X -之间的协方差仅依赖于这两期间隔的距离或滞后长度（k ），而不依赖于其他变量（对所有的k ），即t X 与t k X -的协方差表述为 [()()]k t t k E X X +=--γμμ。 所谓时间序列的随机游走（random walk ）即指下一期的值等于当期的值加上随机误差项。我们把随机游走划分为带漂移的随机游走和不带漂移的随机游走。 非平稳性和随机游走的关系： 假设t Y 由一阶自回归过程所生成：1t t t Y Y -=+γε，将1=γ代入上述方程：1t t t Y Y -=+ε， 这样定义的Y 被称为随机游走，假定时间序列从第0期开始，我们就有： 01t i t i Y Y ==+∑ε 001()()t t i i E Y E Y Y ==+=∑ε 2()t var Y t =σ 若在方程中分别加入漂移项和时间趋势项，可得到另外两种随机游走方程： 1t t t Y Y -=++δε（带漂移的单位根过程），1t t t Y t Y -=+++δβε（带漂移和时间趋势的单 位根过程）。 二、单位根检验 数据的非平稳性可能归因于一个确定性时间趋势，也可能是源自于数据生成过程中的随
时间序列常用模型 时间序列是指在时间轴上按照一定时间间隔采取的数据集合。它广泛应用于金融、经济、气象、环境等领域。在时间序列中，我们可以使用各种模型来描述和预测数据的未来走势，其中常用的模型有以下几种： 1. 移动平均模型（MA） 移动平均模型是一种简单的时间序列预测模型，它基于过去一段时间内的平均值来预测未来的走势。移动平均模型可以分为简单移动平均模型（SMA）和加权移动平均模型（WMA）。SMA是指在过去n个时间点的数据取平均值，而WMA则是在过去n个时间点的数据按照不同的权重取平均值。 2. 自回归模型（AR） 自回归模型是一种基于过去一段时间内的自身值来预测未来走势的模型。AR模型可以分为AR(p)模型和ARIMA(p,d,q)模型，其中p 表示自回归项的阶数，d表示差分的阶数，q表示移动平均项的阶数。ARIMA模型在AR模型的基础上加入了差分项，可以处理非平稳时间序列。 3. 移动平均自回归模型（ARMA）
移动平均自回归模型是自回归模型和移动平均模型的结合体，它可以同时考虑过去一段时间内的自身值和平均值来预测未来走势。ARMA模型可以分为ARMA(p,q)模型，其中p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。 4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA） 季节性自回归移动平均模型是ARIMA模型在季节性数据上的扩展，它可以处理存在季节性变化的时间序列。SARIMA模型可以分为SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型，其中p、d、q分别表示非季节性自回归项、差分项、移动平均项的阶数，P、D、Q分别表示季节性自回归项、差分项、移动平均项的阶数，s表示季节周期。 5. 随机游走模型（RW） 随机游走模型是一种基于随机变量的模型，它假设未来的走势与当前的走势相同，因此未来的走势是随机变量的累加。随机游走模型可以分为随机游走（RW）模型和随机游走带漂移（RWD）模型。RW模型假设未来的走势与当前的走势相同，RWD模型假设未来的走势与当前的走势加上一个漂移量相同。 以上是时间序列常用的几种模型。在实际应用中，我们需要根据数据的特点和预测的需求选择合适的模型，并使用模型评估指标来评估模型的预测能力。同时，我们还需要注意时间序列数据的特殊性，
统计学的预测模型 统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在各个领域都有广泛的应用。其中，预测模型是统计学中的一个重要概念，它可以帮助我们预测未来的趋势和结果。本文将介绍统计学的预测模型及其应用。 一、什么是预测模型 预测模型是一种基于历史数据和统计方法构建的数学模型，用于预测未来的结果。它通过分析过去的数据，找出其中的规律和趋势，并将这些规律应用到未来的情况中，从而得出预测结果。预测模型可以用于各种领域，如经济学、金融学、市场营销等。 二、常见的预测模型 1. 线性回归模型 线性回归模型是一种常见的预测模型，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。通过拟合一条直线或者一个平面，线性回归模型可以预测因变量的值。线性回归模型的优点是简单易懂，但它对数据的要求较高，需要满足一些假设条件。 2. 时间序列模型 时间序列模型是一种用于预测时间序列数据的模型，它假设未来的值与过去的值有关。时间序列模型可以分为平稳时间序列模型和非平稳时间序列模型。平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差不
随时间变化，常见的平稳时间序列模型有ARMA模型和ARIMA模型。非平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差随时间变化，常见的非平稳时间序列模型有趋势模型和季节模型。 3. 人工神经网络模型 人工神经网络模型是一种模拟人脑神经元工作原理的模型，它可以通过学习历史数据来预测未来的结果。人工神经网络模型具有较强的非线性拟合能力，可以处理复杂的数据关系。但是，人工神经网络模型的训练过程较为复杂，需要大量的计算资源。 三、预测模型的应用 预测模型在各个领域都有广泛的应用。以下是一些常见的应用场景： 1. 经济学 预测模型可以用于经济学中的宏观经济预测和微观经济预测。宏观经济预测可以帮助政府和企业做出合理的决策，微观经济预测可以帮助企业预测市场需求和销售额。 2. 金融学 预测模型可以用于金融学中的股票价格预测和汇率预测。股票价格预测可以帮助投资者做出买入或卖出的决策，汇率预测可以帮助企业进行外汇风险管理。 3. 市场营销
时间序列模型预测及系数估计方法的研究 随着数据科学和机器学习的发展，时间序列分析和预测成为了一个重要的研究领域。时间序列模型是一种从时间维度的数据中预测未来值的统计方法。它可以被广泛应用于金融、经济、气象等领域。 在时间序列模型中，最常用的方法之一是自回归移动平均模型（ARMA模型）。ARMA模型中包含两个部分：自回归部分和移动平均部分。自回归部分用于建立当前时间点与过去时间点之间的关系，而移动平均部分用于建立当前时间点与过去时间点之间的误差关系。 另一个常用的时间序列模型是自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）。ARIMA模型是ARMA模型的扩展，它在自回归和移动平均部分的基础上引入了差分运算。通过差分运算，ARIMA模型可以对非平稳时间序列进行建模和预测。 为了构建时间序列模型，我们需要进行模型参数的估计。最常用的参数估计方法之一是最大似然估计。最大似然估计通过寻找最大化观测数据的概率来估计模型参数。具体来说，在ARMA模型中，我们通过最小化残差平方和来估计自回归部分和移动平均部分的系数。在ARIMA模型中，我们通过最小化差分的残差平方和来估计模型参数。 除了最大似然估计，还有其他一些参数估计方法可用于时间序列模型。例如，最小二乘估计方法可以用于估计ARMA模型的系数，但要求数据满足线性和高斯分布的假设。广义最小二
乘法可以用于估计包含异方差错误的ARMA模型。贝叶斯估 计方法则通过引入先验分布来估计模型参数。 除了参数估计方法，时间序列模型还可以通过交叉验证来评估其预测性能。交叉验证将数据集分为训练集和测试集，通过在训练集上构建模型，然后在测试集上进行预测来评估模型的预测能力。 总之，时间序列模型是一种重要的统计方法，可用于预测时间维度的数据。ARMA和ARIMA模型是常用的时间序列模型。参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估计、广义最小二乘法和贝叶斯估计。交叉验证可用于评估模型的预测性能。这些方法和技术对于时间序列分析和预测的研究和实践都具有重要意义。时间序列模型预测及系数估计方法的研究在统计学和机器学习领域扮演着重要的角色。这些方法广泛应用于金融、经济、气象等领域，以预测和分析时间序列数据的走势和趋势。 时间序列模型中最常用的方法之一是自回归移动平均模型（ARMA模型）。ARMA模型通过自回归和移动平均的方式 来建模时间序列数据。自回归部分（AR）建立了当前时间点 与过去时间点之间的关系，移动平均部分（MA）建立了当前 时间点与过去时间点的误差关系。这种模型的参数估计通常使用最大似然估计方法，通过最小化残差平方和来找到最优的模型系数。 另一个常见的时间序列模型是自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）。ARIMA模型是ARMA模型的一种扩展，
arima建模过程 ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average）模型是一种常用的时间序列分析和预测方法。它能够对非平稳时间序列数据进行建模和预测，是一种广泛应用于经济学、金融学和其他领域的方法。 ARIMA模型的建模过程通常包括以下几个步骤： 1. 数据准备 在建模之前，需要对待分析的时间序列数据进行准备。这包括对数据进行清洗、去除异常值、处理缺失值等。同时，还需要对数据进行可视化分析，观察其趋势、季节性等特征。 2. 数据平稳化 ARIMA模型要求时间序列数据是平稳的，即均值和方差不随时间变化而变化。如果数据不平稳，需要进行差分操作，使其变为平稳序列。差分操作可以通过计算当前观测值与前一观测值之间的差异来实现。 3. 模型识别 ARIMA模型包括自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分，分别表示时间序列的自相关、差分和移动平均性质。在模型识别阶段，需要确定这三个部分的阶数。
自回归阶数p可以通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图像来确定。ACF表示当前观测值与过去若干时刻的观测值之间的相关性，PACF则表示当前观测值与过去特定时刻的观测值之间的相关性。根据ACF和PACF的截尾性质，可以确定自回归阶数p。 差分阶数d的确定可以通过观察时间序列的趋势来判断。如果时间序列存在明显的趋势性，需要进行一阶差分操作；如果一阶差分后仍存在趋势性，可以继续进行二阶差分操作，直到得到平稳序列。 移动平均阶数q可以通过观察残差序列的ACF和PACF图像来确定。如果ACF和PACF图像都在某一阶数后截尾，可以确定移动平均阶数q。 4. 模型估计 在模型估计阶段，需要根据选定的阶数p、d、q，对ARIMA模型进行估计。常用的估计方法有最大似然估计法（MLE）和最小二乘估计法（OLS）。根据估计结果，可以得到模型的系数估计值。 5. 模型诊断 模型诊断是判断ARIMA模型是否适用于时间序列数据的重要步骤。常用的诊断方法包括检查残差序列的平稳性、白噪声性和自相关性。如果残差序列不平稳，可能说明模型中还存在一些未捕捉到的信息；如果残差序列存在自相关性，可能说明模型中还存在一些未建模的因素。
非平稳序列平稳化的三种方法 在时间序列分析中，一个时间序列被视为平稳的，如果其均值和方差在时间上是稳定的。但是，在实际情况下，很少有时间序列是平稳的。因此，需要对非平稳序列进行平稳化，以便进行进一步的分析和建模。在本文中，我们将介绍三种常用的非平稳序列平稳化 方法。 方法一：差分 差分是平稳化非平稳时间序列最常用的方法之一。大多数非平稳时间序列可以通过对 原始序列进行一次或多次差分来变成平稳序列。一次差分表示每次将当前值减去前一个值，即： $$y_t = x_t - x_{t-1}$$ 如果需要进行多次差分，则可以对一次差分的结果再次进行差分，即： 需要注意的是，差分将导致数据集的样本量减少，因为首个值和最后一个值都将被删去。 方法二：对数变换 对数变换是另一种常用的平稳化非平稳时间序列方法。大多数时间序列的均值和方差 都随时间增长而增长，而对数变换可以将一个增长趋势转换为常数倍数的增长，从而使时 间序列的均值和方差稳定。对数变换的公式如下： 这种变换可以用于受到百分比变化影响较大的时间序列，如股票价格、商品价格等。 方法三：季节性调整 季节性调整是针对季节性影响较大的非平稳时间序列进行平稳化的方法。该方法主要 是通过计算季节性差异来消除季节性影响。季节性调整通常需要进行以下步骤： 1. 计算时间序列的季节性分量，通常使用移动平均方法或指数平滑方法。 2. 对时间序列进行季节性差异调整，即将季节性分量从原始数据中剔除。 3. 对季节性调整后的数据进行检验，以确保平稳。 四、总结 三种方法中，差分是最简单、最快速的平稳化方法，但它仅仅适用于具有单一趋势的 时间序列。对数变换适用于指数增长的时间序列，而季节性调整适用于具有季节性影响的
第五章非平稳序列的随机分析 非平稳序列的确定性因素分解方法（第四章）的优点为原理简单、操作简便、易于解释等，因此在宏观经济管理与预测领域有着广泛的应用。 缺点主要有： (1)确定性因素分解方法只能提取强劲的确定性信息，对随机性信息浪费严重。 (2)确定性因素分解方法把所有序列的变化都归结为四大因素的综合影响，却始终无法提供明确、有效的方法判断各大因素之间确切的作用关系。 这些问题导致确定性因素分解方法不能允分提取观察值序列中的有效信息，导致模型拟合精度通常不够理想。 随机时序分析方法发展的必要性：弥补确定性因素分解方法的不足，为人们提供更加丰富、更加精确的时序分析工具。 5.1 差分运算 5.1.1 差分运算的实质 拿到观察值序列之后，无论是采用确定性时序分析方法还是随机时序分析方法，分析的第一步都是要通过有效的手段提取序列中所蕴含的确定性信息。 确定性信息的提取方法非常多，前面我们介绍过的构造季节指数、拟合长期趋势模型、移动平均、指数平滑等诸多方法都是确定性信息提取方法。但是它们对确定性信息的提取都不够充分。 Cox和Jenkins在Time Series Analysis Forecasting and Control一书中特别强调差分方法的使用，他们使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法。而Cramer分解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。 根据Cramer分解定理，方差齐性非平稳序列都可以分解为如下形式： 式中，{}t a为零均值白噪声序列。 离散序列的d阶差分就相当于连续变量的d阶求导，显然，在Cramer分解定理的保证 下，d阶差分就可以将{}t a中蕴含的d次（关于时间的）确定性信息充分提取。（如何证明？） 展开1阶差分，有 等价于 这意味着1阶差分实质上就是一个自回归过程，它是用延迟一期的历史数据{}1-t x作为自变
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别 时间序列是统计学中一种重要的数据形式，用于研究随时间变化的 现象。在时间序列分析中，平稳性是一个关键概念。平稳时间序列与 非平稳时间序列在特征和性质上存在着显著的区别。本文将讨论平稳 时间序列与非平稳时间序列的定义、特征和分析方法。 一、平稳时间序列的定义及特征 平稳时间序列是指其概率分布不随时间推移而发生改变的时间序列。具体来说，对于平稳时间序列，它的均值、方差和自相关函数等统计 特征在不同时刻保持不变。 平稳时间序列的特征可以总结为以下几点： 1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值在时间上保持不变。 2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差在时间上保持不变。 3. 自相关性：平稳时间序列的自相关函数只依赖于时间的间隔，而 不依赖于具体的时间点。 二、非平稳时间序列的定义及特征 非平稳时间序列是指其概率分布随时间推移而发生改变的时间序列。具体来说，非平稳时间序列的均值、方差和自相关函数等统计特征会 随时间发生变化。 非平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：
1. 趋势性：非平稳时间序列存在明显的增长或下降趋势。 2. 季节性：非平稳时间序列可能会呈现出周期性的变动，如一年内 的季节变化。 3. 自相关性的变化：非平稳时间序列的自相关函数不仅依赖于时间 的间隔，还依赖于具体的时间点。 三、分析方法的区别 针对平稳时间序列和非平稳时间序列，我们在分析方法上有不同的 选择。 对于平稳时间序列，我们可以使用经典的时间序列分析方法，如自 回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。这些方法基于平稳性的假设，能够准确地对平稳时间序列 进行建模和预测。 对于非平稳时间序列，由于其不具备平稳性，我们需要采取一些转 换方法来处理。常见的方法包括一阶差分、对数转换和季节性调整等。此外，我们还可以使用更加复杂的模型，如自回归积分移动平均模型（ARIMA）、差分自回归移动平均模型（DARIMA）和趋势-季节性分 解模型等。 四、应用领域的差异 平稳时间序列和非平稳时间序列在应用领域上也存在差异。
非平稳时间序列的预测方法研究 在现实世界中，许多现象都可以用时间序列来描述。这些时间序列可能受到各种内部和外部因素的影响，表现出复杂的动态特征。非平稳时间序列是指那些不能通过简单的参数化方式来描述的时间序列，其预测方法研究具有重要的实际意义和应用价值。本文将介绍非平稳时间序列的预测方法，包括数据预处理、特征提取、模型建立和参数选择等，并对其应用场景和未来发展方向进行探讨。 对于非平稳时间序列的预测，首先需要对数据进行预处理。数据预处理主要包括以下几个步骤： （1）数据清洗：消除异常值、缺失值和离群值，避免对预测结果产生负面影响。 （2）数据平滑：采用适当的方法对数据进行平滑处理，以去除噪声和随机波动，提取出潜在的规律和趋势。 （3）季节性调整：对于含有季节性因素的时间序列，需要将其中的季节性成分提取出来，以便进行后续的特征提取和模型建立。 特征提取是非平稳时间序列预测的关键步骤之一。通过对时间序列进行特征提取，能够将原始时间序列转化为具有代表性的特征向量，供
模型学习和预测使用。常见的特征提取方法包括： （1）时域特征：如均值、方差、峰值、过阈值等。 （2）频域特征：如傅里叶变换、小波变换等。 （3）时频域特征：如短时傅里叶变换、小波变换等。 非平稳时间序列的预测模型有很多种，包括传统的时间序列模型（如ARIMA、SARIMA等）和现代机器学习模型（如LSTM、VAR、SVR等）。选择合适的模型对于非平稳时间序列的预测至关重要。一般来说，需要根据问题的实际情况来选择最合适的模型。例如，对于长期依赖的数据，可以选择使用长短期记忆网络（LSTM）模型；对于多变量时间序列预测，可以使用向量自回归（VAR）模型等。 在模型建立后，需要选择合适的参数以进行模型训练和预测。参数的选择通常根据模型的复杂度和数据的特性来确定。例如，对于ARIMA 模型，需要选择合适的p、d、q值来描述时间序列的平稳性和季节性；对于LSTM模型，需要选择合适的隐藏层大小和激活函数等。在实际应用中，可以使用交叉验证等方法来选择最优的参数组合。 在完成预测后，需要对预测结果进行评估，以确定各种预测方法的优劣。评估指标通常包括准确率、召回率和F1值等。准确率表示预测
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系 步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整（注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。 1.单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。常用的ADF检验包括三个模型方程。在李子奈的《高级计量经济学》上有该方法的全部步骤，即从含趋势项、截距项的方程开始，若接受原假设，则对模型中的趋势项参数进行t 检验，若接受则进行对只含截距项的方程进行检验，若接受，则对一阶滞后项的系数参数进行t检验，若接受，则进行差分后再ADF检验；若拒绝，则序列为平稳序列。 2.当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3.当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG 两步法和JJ检验：(1)EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；(2)JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式）。 4.当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。 5.格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。 6.非平稳序列很可能出现伪回归，协整的意义就是检验它们的回归方程所描述的因果关系是否是伪回归，即检验变量之间是否存在稳定的关系。所以，非平稳序列的因果关系检验就是协整检验。 7.平稳性检验有3个作用：(1)检验平稳性，若平稳，做格兰杰检验，非平稳，作协正检验。(2)协整检验中要用到每个序列的单整阶数。(3)判断时间序列的数据生成过程。 8.其实很多人存在误解。有如下几点，需要澄清：(1)格兰杰因果检验是检验统计上的时间先后顺序，并不表示二者真正存在因果关系，是否呈因果关系需要根据理论、经验和模型来判定。(2)格兰杰因果检验的变量应是平稳的，如果单位根检验发现两个变量是不稳定的，那么，不能直接进行格兰杰因果检验，所以，很多人对不平稳的变量进行格兰杰因果检验，这是错误的。(3)协整结果仅表示变量间存在长期均衡关系，那么，到底是先做格兰杰还是先做协整呢？因为变量不平稳才需要协整，所以，首先因对变量进行差分，平稳后，可以用差分项进行格兰杰因果检验，来判定变量变化的先后时序，之后，进行协整，看变量是
第七章非平稳时间序列 时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。在这些假定成立的条件下，进行的t检验、F检验与2 等检验才具有较高的可靠度。但是，越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。 第一节伪回归问题 经典计量经济学建模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量的动态影响。因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。人们发现，由于经济分析中所涉及的经济变量数据基本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带来不良后果，如伪回归问题。 所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。他们用Monte Carlo模拟方法研究表明，如果用传统回归分
时间序列分析 时间序列通常是对某一统计指标，按照相等时间间隔测量的一系列数据点，它反映的是某变量在时间上的一系列变化。大量社会经济统计指标都依年、季、月或日统计其指标值，随着时间的推移，形成了统计指标的时间序列。例如, 过去每年国内生产总值数据、过去十年内年度增值税收入数据、过去五年内季度关税数据等等。时间序列分析就是估算和研究某一时间序列在长期变动过程中所存在的统计规律，具体是指，我们只知道需要预测的那个变量(简称预测变量)在历史上的一系列观察值，通过分析这些观察值所显示出来的规律，如长期变动趋势、季节性变动规律、周期变动规律，然后把这个规律外推到预测期，从而获得该预测变量的值或分布，并进一步预测今后的发展和变化。 一、时间序列的变动因素 一般认为，一个时间序列中包含四种变动因素：长期趋势变动、季节性变动、周期性变动和不规则变动。换言之，时间序列通常是上述四种变动因素综合作用的结果。 1、长期变动趋势（T：Secular Trend） 长期变动趋势是指变量值在一个长时期内的增或减的一般趋势。长期变动趋势可能呈现为直线型变动趋势，也可能呈现曲线型变动趋势，依变量不同而异。 2、季节性变动（S：SeasonaI Variation） 季节性变动是指变量的时间序列值因受季节变化而产生的变动。季节变动是一种年年重复出现的一年内的季节性周期变动，即每年随季节替换，时间序列值呈周期变化。 3、周期性变动（C：CyclicaI Variation） 周期性变动又称循环变动，它是指变量的时间序列值相隔数年后所呈现的周期变动。在一个时间序列中，循环变动的周期可以长短不一，变动的幅度也可大可小。 4、不规则变动（I：lrregular Variation） 不规则变动是指变量的时间序列值受突发事件，偶然因素或不明原因所引起