第七章非平稳时间序列
时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。在这些假定成立的条件下，进行的t检验、F检验与2 等检验才具有较高的可靠度。但是，越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。
第一节伪回归问题
经典计量经济学建模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量的动态影响。因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。人们发现，由于经济分析中所涉及的经济变量数据基本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带来不良后果，如伪回归问题。
所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。他们用Monte Carlo模拟方法研究表明，如果用传统回归分析
方法对彼此不相关联的非平稳变量进行回归，t检验值和F检验值往往会倾向于显著，从而得出“变量相依”的“伪回归结果”。
因此，在利用回归分析方法讨论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判断。如果经济变量时间序列是非平稳的，则需要寻找新的处理方法。20世纪80年代发展起来的协整理论就是处理非平稳经济变量关系的行之有效的方法。该理论自从诞生以来，受到众多经济学家的重视，并广泛运用于对实际经济问题的研究。
所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数据的随机过程的特征随时间而变化。当生成序列的随机过程是非平稳的时候，其均值函数，方差函数不再是常数，自协方差函数也不仅仅是时间间隔t-s的函数，前面所介绍的高斯——马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果，前面所介绍的计量经济技术也将遇到困难。
在经济领域中，我们所得到的许多时间序列观测值大都不是由平稳过程产生的。例如，国内生产总值GDP大多数情况下随时间的位移而持续增长；货币供给量M2在正常状态下会随时间的位移而扩大。也就是说，2009年GDP或M2观测值的随机性质与1999年的GDP和M2的随机性质有相当的区别。由于在实际中遇到的时间序列数据很可能是非平稳序列，而平稳性在计量经济建模中又具有重要地位，因此有必要对观测值的时间序列数据进行平稳性检验。
第二节单位根过程与检验
从前面平稳过程的定义可以看出，一个平稳过程的数据图形特征为：数据围绕长期均值E(x t)=μ波动，偏离均值之后，有复归均值的调整；方差有限且不随时间改变；其自相关函数随时间衰减。与之相对应的概念是非平稳过程，定义为对平稳过程的条件之一不能满足的过程即为非平稳过程，其数据图形特征为：不存在长期均值；方差具有时变性且趋于无穷；从理论说，自相关不随时间衰减，但对于有限样本，样本自相关亦可能较慢速的衰减。所以我们可以根据平稳过程的数字特征对它进行平稳性检验，这是时间序列平稳性的检验方法的传统方法。介绍传统方法的书籍较多，所以本书不作介绍，本书介绍平稳性检验的现代方法
之一：单位根检验法。 一、单位根过程
一般来讲，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关
系，这种前后依存关系是时间序列预测的基础。假定{}t y 为一时间序列，最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，而与其前一时期以前的取值状况无直接关系，也就是说t y 主要与1t y -相关，与2t y - ，
3t y -，……无关。可用如下的一阶自回归模型来描述这种关系：
1t t t y y u γ-=+ (7.1)
常记作AR(1)。
如果t y 不仅与前一期1t y -有关，而且与2t y -相关，显然，在这种情况下用AR(1) 来刻画t y 的动态依存关系就不恰当了，而需要在模型中引入2t y -。一般的，如果
t y 与过去时期直到t p y -的取值相关，则{}t y 的动态关系就需要使用包含1t y - ，……，t p y -在内的p 阶自回归模型来加以刻画。p 阶自回归模型的一般形式为：
1122t t t p t p t y y y y u γγγ---=++++ (7.2)
为了说明单位根过程的概念，这里侧重以AR(1)模型1t t t y y u γ-=+进行分析。根据平稳时间序列分析的理论可知，当1γ<时，该序列{}t y 是平稳的,此模型是经典的Box-Jenkins 时间序列AR(1)模型。但是，如果1γ=，则序列的生成过程变为随机游走过程：
1t t t y y u -=+ (7.3)
其中，{}t u 独立同分布且均值为零、方差恒定为2σ。随机游走过程的方差为：
121()()()t t t t t t Var y Var y u Var y u u ---=+=++
2121()t t Var u u u u t σ-=++
++=
当∞→t 时，序列的方差趋于无穷大，这说明随机游走过程是非平稳的，同时也
说明随机游走过程具有“记忆性”。下面我们来对比一下随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征
表1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较
有时我们也称一个随机游动过程是一个单位根过程。过程1t t t y y u -=+之所以被称为单位根过程是因为如下事实。如果我们用滞后算子L 来表示过程{}t y ，则有
(1)t t L y u ρ-= （7.4）
而（7.4）所对应的特征函数为
0|1|=-L ρ （7.5）
当方程（7.5）有一个根位于单位园上即L =1,有1||=ρ时，从而可知y t 由随机趋势所决定。这样，1=ρ刻划了数据生成过程(DGP)（7.1）的特征根位于单位园上且数据由随机趋势所支配，因此，1=ρ时称过程（7.1）为单位根过程
较随机游动更一般的，是一般的单位根过程。如果随机过程{}t y 遵从：
1t t t y y u γ-=+ (7.6)
其中，1=γ，}{t u 为一平稳过程，且 ,2,1,0,),(,0)(=∞<==-s u u Cov u E s s t t t μ。则称序列{}t y 为（不带漂移的）单位根过程。带漂移和时间趋势的单位根过程服从如下模型：
1t t t y t y u αβ-=+++ (7.7)
显然，随机游动过程是一般单位根过程的一个特例。
从单位根过程的定义可以看出，含一个单位根的过程{}t y ，其一阶差分：
1t t t t y y y u -∆=-=
是一平稳过程，像这种经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列(Integrated Process)，记为{}t y ~I(1)。有时一个序列经一次差分后可能还是非平稳的，如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序列为二阶单整序列，记为{}t y ~I(2)。一般地，如果序列{}t y 经过d 次差分后平稳，而d-1次差分却不平稳，那么称{}t y 为d 阶单整序列，记为{}t y ~I （d ），d 称为整形阶数。特别地，若序列{}t Y 本身是平稳的，则称序列为零阶单整序列，记为{}t y ~I （0）。
二、Dickey-Fuller 检验（DF 检验）
我们知道大多数的经济变量，如GDP 、总消费、价格水平以及货币供给虽M2等都会呈现出强烈的趋势特征。这些具有趋势特征的经济变量，当发生经济振荡或冲击后，一般会出现两种情形，一是受到振荡或冲击后，经济变量逐渐又回到它们的长期趋势轨迹；二是这些经济变量没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态。若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程(比如随机游走过程)，当运用最小二乘法时，前面所介绍的高斯——马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果。同时，如果我们所研究的经济变量(如GDP)是非平稳的，则经济出现突发性振荡(如石油价格猛增，金融危机或政府开支骤减等)所造成的影响不会在短期内消失，其影响将是持久性的。这也是研究单位根检验的重要意义所在。
在介绍检验方法之前，先讨论检验统计量的分布。（这部分内容理论性强，可跳过或选讲） 情形1：
数据生成过程（DGP ）：
1t t t y y u -=+, y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2
) (7.8)
OLS 估计过程： 1t t t y y u γ-=+ (7.9)
提出假设 1:0=γH ；1:1H γ<
以OLS 估计式1t t t y y u γ-=+为例，若真值0γ=，则统计量
ˆ()
ˆ(1)ˆ()
t t T se γγγ=
-， (7.10)
的极限分布为标准正态分布。 若真值||1γ<，则统计量
ˆ()t γ=
ˆˆ()
se γγ
γ- (7.11) 渐近服从标准正态分布。
在0H 成立的条件下1γ=，这时ˆ()t γ统计量不再服从通常的t 分布，而是服从DF 分布。此时ˆ()t γ称为DF 统计量。可以证明当T → ∞ 时，
2ˆ()ˆ()
1
[((1))1]
ˆ1W DF t s γγβ--==
⇒ (7.12) DF 统计量是O p (1 )的，其渐近分布与σ 无关。由于该极限分布无法用解析的方
法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法研究DF 统计量的有限样本分布。
图1 在情形1下： T =100，模拟1万次的DF 统计量的分布 情形2：
数据生成过程（DGP ）：y t = y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2
) (7.13)
OLS 估计过程： 1t t t y y u αγ-=++ (7.14) 其原假设为
0:0;1;H αγ==1:0;1;H αγ≠<
下面我们讨论ˆ()t γ、)ˆ(αt 的极限分布和有限样本分布特征。统计量ˆ()t γ= DF 、)ˆ(αt 的极限分布都是Wiener 过程的泛函。可以证明，当T → ∞ 时，
12
ˆ()ˆ()1[((1))1](1)()ˆ1W W W i di DF t s γγβ---==⇒
（推导可参见Hamilton 《时间序列分析》。DF 统计量是O (1 )的。）
)ˆ(αt 不再服从t 分布。)ˆ(αt 的极限分布是Wiener 过程的泛函。
⇒=
)ˆ()ˆ(ˆαααs t ⎰
⎰⎰⎰⎰
⎭⎬⎫⎩⎨⎧---10
2
21010210102
2))((])([))(()(]1))1([(21))(()1(di
i W di i W di i W di i W W di i W W (7..16) )ˆ(αt 统计量是O p (1
)的。
（推导见张晓峒，攸频：DF 检验式中漂移项和趋势项的t
统计量研究，《数量经济技术经济研究》，2006第2期）
图2 在情形2下： T =100，模拟1万次的DF 统计量的分布
图3 在情形2下： T =100，模拟1万次的)ˆ(αt 的分布
情形3：
数据生成过程（DGP ）： y t = α + y t -1 + u t , （α是否为零均可）
y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2)
OLS 估计过程： 1t t t y t y u αβγ-=+++ (7.17) 为防止α 不为零时从而使估计式引入时间趋势项，导致解释变量多重共线性，等价的OLS 估计式是 1****t t t y y t u αγβ-=+++ 其中，*(1),*,*αγαγγββγα=-==+
00:;1;0H ααγβ===相当于：00:*0;*1;*H αγβα=== 10:;1;0H ααγβ≠<≠
讨论DF =)ˆ(γt 、)ˆ(αt 、)ˆ(βt 的极限分布和有限样本分布特征。可以证明，当T → ∞ 时，
ˆ()ˆ()
ˆ1
DF t s γγγ-==⇒
A
212F (7.18)
其中
1122001
11(1)()(1)()((1)1)6
224F W W i di W iW i di W ⎧=-+-⎨⎩⎰⎰+⎭⎬⎫-⎰⎰⎰2101010])([21)()(di i W di i iW di i W |A | =
⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
⎰⎰⎰⎰
⎰3/1)(2/1)()()(2
/1)(11
01
01
02
1
01
0di
i iW di i iW di i W di i W di
i W
推导见Hamilton 《时间序列分析》。DF 统计量是O p (1 )的，其渐近分布既不依赖于α，也不依赖于σ。
)ˆ(αt , )ˆ(βt 服从的是如下极限分布。 ⇒
)ˆ(αt 2
1
1
02
1
])([))
((3
1
⎰⎰-di i W di i W A
F (7.19)
ˆ()t β⇒
2
1
1
23
])([))((⎰⎰-di i W di i W A
F (7.20)
其中F 1和F 2都是Wiener 过程的泛函。)ˆ(αt , )ˆ(βt 统计量是O p (1
)的，其渐近分布
既不依赖于α，也不依赖于σ。
图4 在情形3下： T =100，模拟1万次的DF 统计量的分布
T =100，模拟1万次的)ˆ(αt 分布见图。
图5 在情形3下： T =100，模拟
1万次的)ˆ(αt 的分布
图6 在情形3下： T =100，模拟1万次的ˆ()t β的分布
1γ=-时的DF 的分布是1γ=时的DF 分布的镜像，所以只研究1γ=条件下
DF 的分布即可。对于经济问题，很少出现 1γ=-的情形。下面我们用图形把 DF 统计量的有限样本分布特征总结一下。
以模型 (7.8)为条件，取样本容量T = 100，用蒙特卡罗方法，分别用（7.17）、（7.14）和（7.9）式各模拟10000次得到的DF 的分布见图7。黑、蓝、红色直方图分别代表（7.17）、（7.14）和（7.9）式中DF 统计量的分布。随着确定项的增加，分布越来越向左移。蓝色DF 分布近似于t 分布，但整体向左大约移动了1.6个单位。
图7 情形1、2、3的DF 统计量分布的蒙特卡罗模拟（T=50）
因为不同情况，DF 统计量分布有区别，所以Fuller(1976) 针对如下三种方程编制了临界值表
模型I ： 1t t t y y u γ-=+ 模型Ⅱ： 1t t t y y u αγ-=++ 模型Ⅲ； 1t t t y t y u αβγ-=+++
Fuller 使用蒙特卡罗模拟方法得到的DF 统计量的百分位数表如下
表2 DF 分布百分位数表
模型 T
0.01
0.02
5 0.05 0.10 0.90 0.95 0.97
5
0.99
25 - 2.66 - 2.26 - 1.95 - 1.60 0.92 1.33 1.70 2.16 50 - 2.62 - 2.25 - 1.95 - 1.61 0.91 1.31 1.66 2.08
100
- 2.60 - 2.24 - 1.95 - 1.61 0.90 1.29 1.64 2.03 情形1 250 - 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.29 1.63 2.01
500
- 2.58
- 2.23 - 1.95 - 1.62
0.89 1.28 1.62 2.00
∞-
2.58 -
2.23
-
1.95
-
1.62
0.89 1.28 1.62 2.00
25 -
3.75 -
3.33
-
3.00
-
2.63
-
0.37
0.00 0.34 0.72
50 -
3.58 -
3.22
-
2.93
-
2.60
-
0.40
-
0.03
0.29 0.66
100 -
3.51 -
3.17
-
2.89
-
2.58
-
0.42
-
0.05
0.26 0.63
情形2 250 -
3.46 -
3.14
-
2.88
-
2.57
-
0.42
-
0.06
0.24 0.62
500 -
3.44 -
3.13
-
2.87
-
2.57
-
0.43
-
0.07
0.24 0.61
∞-
3.43 -
3.12
-
2.86
-
2.57
-
0.44
-
0.07
0.23 0.60
25 -
4.38 -
3.95
-
3.60
-
3.24
-
1.14
-
0.80
-
0.50
- 0.15
50 -
4.15 -
3.80
-
3.50
-
3.18
-
1.19
-
0.87
-
0.58
- 0.24
100 -
4.04 -
3.73
-
3.45
-
3.15
-
1.22
-
0.90
-
0.62
- 0.28
情形3 250 -
3.99 -
3.69
-
3.43
-
3.13
-
1.23
-
0.92
-
0.64
- 0.31
500 -
3.98 -
3.68
-
3.42
-
3.13
-
1.24
-
0.93
-
0.65
- 0.32
∞-
3.96 -
3.66
-
3.41
-
3.12
-
1.25
-
0.94
-
0.66
- 0.33
t(∞) N(0, 1) -
2.33
-
1.96
-
1.65
-
1.28
1.28 1.65 1.96
2.33
注：1. 适用于情形1、2、3，条件β = 1。T：样本容量，α：检验水平。
后来，Mackinnon把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界值表，在EViews软件中使用的是Mackinnon临界值表。
三、Augmented Dickey-Fuller检验（ADF检验）
以上三个自回归模型对于研究实际经济变量太严格，只允许数据生成过程是一阶自回归，还应该进一步讨论在AR(p) 模型条件下，随机误差项非白噪声条件下，检验用统计量的分布特征。
扩展之一：从一阶自回归过程到p阶自回归过程
1122....t t t p t p t y y y y u γγγ---=++++ (7.21)
当t y 中含有单位根时，可以通过如下模型研究 β = 1条件下，检验用统计量DF 的分布特征。
11p
t t i t i t i y y y u γα--==+∆+∑ , (7.22)
其中 12....p γγγγ=+++，1[....]j j j p αγγ++=-++，1,2,
,1j p =-
i γ为 (7.21) 式中的自回归系数。为什么可以通过 (7.22) 式进行研究呢？
这是由于
2112122311122112312132112112234 (1)(....)(1)11()()() ()()1[(....)(....)] [(....)p p p p
p p p p
p p p p p p L L L L L L L L L L L L L L L L L L γαααγααααααγααααααααγγγγγγγγ-----------+++-=--+-+--+=-+-----
----=-+++-++--++++221121121(....)] [()()]()1p p p
p p p p p p
p p L L L L L L L γγγγγγγγγγ----++-
--++-=---
--
从而可把(7.21)式 1122(....)t t t p t p t y y y y u γγγ----+++=
等价地变换为 21121{(1)(....)(1)}p p t t L L L L L y u γααα----+++-= 亦即 1112211t t t t p t p t y y y y y u γααα-----+=+∆+∆+
+∆+
（7.22) 式中相对于γ的DF 统计量的分布与 (7.9) 式中DF 统计量的分布近似相同。 (7.22) 式中的差分项 t j y -∆，1,2,,1j p =-之所以不会对DF 统计量的
分布产生影响是因为当 (1)t
y I ，则全部 (0)t j y I -∆。t y 与 t j y -∆的交叉积渐
进被忽略。 从而使 (7.22) 式中 γ 的DF 统计量的分布与 (7.9) 式中γ的DF 统计量渐近相同。
当模型 (7.21) 中含有位移项α和趋势项 t β时，对应γ的DF 统计量的分布分别与情形2、情形3中DF 统计量的分布相同。
扩展之二：扰动项原来不相关变为相关
考虑如下AR(1) 过程
1t t t y y u γ-=+ (7.23)
其中允许随机项u t 是一个ARMA(p , q ) 过程，甚至参数 p , q 的值也可未知。则可以用下式研究γ和DF 统计量的分布。
11
ˆˆˆk
t t i t i t i y y y v γ
α--==+∆+∑ (7.24) 若1γ=，上式是一个差分的AR(k ) 过程。加入 t y ∆滞后项的目的是捕捉 (7.8) 式误差项u t 中的自相关。（u t 的自相关项对于模型 (7.8) 来说是移动平均项，所以t y ∆ 滞后项的加入可以捕捉之。）因为可逆的移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，所以对t u 而言的移动平均项t v , 1,
,t q =完全可以通过增加
t u 的滞后项而吸收。进而被足够的t i y -∆项所吸收。从而使t v
ˆ近似为一个白噪声过程。
Said-Dickey (1984) 证明 (7.24) 式中γ的DF 统计量的分布与 (7.8) 式中γ的DF 统计量的分布类似。 当 (7.8) 式中加入位移项α和趋势项t β时，γ 的DF 分布分别与 情形1和 情形中γ的DF 分布类似。
无论是情形1还是情形2发生，如果还用DF 检验，都会导致随机扰动项t u 存在自相关。而当随机扰动项存在自相关时，直接使用DF 检验法会出现偏误，为了保证单位根检验的有效性，人们对DF 检验进行拓展，从而形成了扩展的DF 检验，简称为ADF 检验。根据我们的讨论，要使扰动项无自相关，只需要在原模型加入差分项即可，具体做法如下。
假设基本模型为如下三种类型：
模型I ： t t t u Y Y +=-1γ 模型Ⅱ： t t t u Y Y ++=-1γα 模型Ⅲ； t t t u Y t Y +++=-1γβα
其中t u 为随机扰动项，它可以是一个一般的平稳过程。为了借用DF 检验的方法，
将模型变为如下形式：
模型I ： 11p
t t i t i t i y y y v γα--==+∆+∑
模型Ⅱ： 11
p
t t i t i t i y y y v αγα--==++∆+∑
模型Ⅲ： 11
p
t t i t i t i y t y y v αβγα--==+++∆+∑
由于在上述模型中检验原假设1:0=γH 的t 统计量的极限分布，同DF 检验的极限分布相同，从而可以使用相同的临界值表。
由于实际数据绝大多数具有不同程度的相关性，因而ADF 是实证研究的主要工具。但是，如何保证实证结论的准确性还需要考虑一个问题：滞后阶的确定。
我们知道，t y ∆的滞后项加入检验方程是为校正自相关性，因此滞后阶的选取既要截获相关性，同时又要尽量减少信息损失（滞后阶越大，用于估计的有效样本就越少，从而使信息损失越大），基于这一思想，实证中常用的方法有2种：
其一，渐近t 检验，即对较大的滞后阶p ,用t 检验确认1
ˆ-p ξ是否显著，若不显著，减少p 值直到对应的系数的t 值显著。由于t 显著是对))0((~I y i t -∆ 的系数而言的，故t 统计量是渐近有效的，但一般而言，显著性水平应稍高如15.0=α，或0.20亦可。其二，基于最小信息准则（AIC ）来选取滞后阶p ，即定义
T C p I T k /ˆlog 2⋅+=εσ
（7.25） 令C T =2，称I k 为Akaike 信息准则（AIC ）,令C T =log T ，称I k 为Schwarz 贝叶斯信息准则（BIC ），即
T p AIC /2ˆlog 2+=εσ
(7.26) T T p BIC /log ˆlog 2+=εσ
(7.27) 选取较大的滞后阶p ，计算对应的AIC （或BIC ），然后减少p ，直至AIC （BIC ）最小并基于此确定最终滞后阶。由于AIC 和BIC 渐近一致，故使用AIC 或BIC 均是可行的。这二种方法确定滞后阶体现了从一般到特殊的思想即从一般（较大）的p 值开始直至最优的滞后阶（或特殊的滞后阶）。
实施上述从一般到特殊的方法确定滞后阶有可能犯过度差分(overdifference)和不足差分(underdifference)的错误，即初始的p 值选取得过大(小)，使其逐渐减小(增大)的过程中确定了不恰当的滞后阶。然而，从一般到特殊所确定的滞后阶或最小的AIC （或BIC ）从实证的角度并不能保证估计残差具有严格的iid 性质，而不适当的p 值可能导致检验势降低，因而，选取理想
的p值并非易事。
怎样做单位根检验呢？在此EViews中可以进行如下操作
从工作文件（Work File）中打开序列数据（Series）窗口。点击View键，选Unit root test功能。这时会打开一个窗口。其中有四项选择。
（1）ADF检验还是PP检验（缺省状态是ADF检验）。
（2）检验对象是水平序列（Level），还是其一阶差分序列（1st difference），二阶差分序列（2nd difference），缺省状态是水平序列。
（3）检验式中应包括的附加项。有三种选择，“漂移项”（Intercept），“趋势项和漂移项”（Trend and Intercept），“无附加项”（None）。缺省状态是加漂移项。
（4）检验式中因变量的滞后差分项的个数（可以使用EViews默认自动选择或者用户设定阶数）。
[例1] 根据《中国统计年鉴2004》，得到我国1978—2003年的GDP序列，检验其是否为平稳序列。在Eviews中录人数据，其结果如表3，时间序列图见图8。
表3 中国1978—2003年度GDP序列
图8 GDP时间序列图
在EViews中双击要检验单位根的序列GDP；打开序列后，点击View\Unit Root Test后，直接进入检验单位根的对话框（默认ADF检验）如下
也可以输入命令 ADF GDP，直接进入检验单位根的对话框
图9 单位根检验的对话框
由GDP时间序列图可以看出，该序列可能存在趋势项，因此选择ADF检验的第三种模型进行检验，使用系统默认自动选择的滞后阶数，检验结果如下
图10 单位根检验的结果
从上图中可以看出，根据SIC 准则ADF 检验选择的滞后期数4，DF 统计量的值为0.360464。在1％、5％、10％三个显著性水平下，单位根检验的Mackinnon 临界值分别为-4.467895、-3.644963、-3.261452，显然，上述t 检验统计量值大于相应临界值，从而不能拒绝0H ，表明我国1978——2003年度GDP 序列存在单位根，是非平稳序列。
第三节 两变量协整分析
一、协整的概念
在给出协整（Cointegration ）概念之前，先看一个货币需求分析的例子。经典的理论分析告诉我们，一个国或地区的货币需求量主要取决于规模变量和机会成本变量，即实际收入、价格水平以及利率。如果以对数形式的计量经济模型将货币需求函数描述出来，其形式为：
t t t t t u r Y P M ++++=3210ln ln ln ββββ
其中，M 为货币需求，P 为价格水平，Y 为实际收入总额，r 为利率，u 为扰动项，
i β为模型参数。
人们关心的问题是如何估计出上述回归模型，检验模型参数是否满足条件：
0,0,1321<>=βββ，并回答估计出来的货币需求函数是否揭示了货币需求的长
期均衡关系。如果上述货币需求函数是适当的，那么货币需求对长期均衡关系的
偏离将是暂时的，扰动项序列是平稳序列，估计出来的货币需求函数就揭示了货币需求的长期均衡关系。相反，如果扰动项序列有随机趋势而呈现非平稳现象，那么模型中的误差会逐步积聚，使得货币需求对长期均衡关系的偏离在长时期内不会消失。因此，上述货币需求模型是否具有实际价值，关键在于扰动项序列是否平稳。
但面临的问题是，货币供给量、实际收入、价格水平以及利率可能是非平稳的I （1）序列。一般情况下，多个非平稳序列的线性组合也是非平稳序列。如果货币供给量、实际收入、价格水平以及利率的任何线性组合都是非平稳的，那么上述货币需求模型的扰动项序列就不可能是平稳的，从而模型并没有揭示出货币需求的长期稳定关系。反过来说，如果上述货币需求模型描述了货币需求的长期均衡关系，那么扰动项序列必定是平稳序列，也就是说，非平稳的货币供给量、实际收入、价格水平以及利率四变量之间存在平稳的线性组合。
上述例子揭示了这样一个事实：“包含非平稳变量的均衡系统，必然意味着这些非平稳变量的某种组合是平稳的”。这正是协整理论的思想。
所谓协整，是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。例如，收入与消费，工资与价格，政府支出与税收，出口与进口等，这些经济时间序列一般是非平稳序列，但它们之间却往往存在长期均衡关系。下面给出协整的严格定义：
对于两个序列{}t x 与{}t y ，如果)1(~),1(~I x I y t t ，而且存在一组非零常数
21αα、，使得)0(~21I y x t t αα+，则称t x 和t y 之间是协整的。
一般的，设有k )2(≥个序列{}{}{},,,,21kt t t y y y 用),,,(21'=kt t t t y y y Y 表示由此k 个序列构成的k 维向量序列，如果：
（1）每一个序列{}{}{}kt t t y y y ,,,21 都是d 阶单整序列，即)(~d I y jt ； （2）存在非零向量),,,(21'=k a a a α，使得t Y α'kt k t t y a y a y a +++= 2211为 (d-b)阶单整序列，即d b b d I Y t ≤<-'0,)(~α。
则称向量序列),,,(21'=kt t t t y y y Y 的分量间是d 、b 阶协整的，记为),(~b d CI Y t ，向量),,,(21'=k a a a α称为协整向量。
特别地，若1==b d ，则)1,1(~CI Y t ，说明尽管各个分量序列是非平稳的一
阶单整序列，但它们的某种线性组合却是平稳的。这种（1，1）阶协整关系在经济计量分析中较为常见。例如，假设变量t y 1与变量),,2(m i y it =之间存在（1，1）阶协整关系，协整向量为),,,1(2'--=m ββα ，则这种协整关系可表示为：
t m t m t t u y y y ++++=ββα 221 (7.28)
组合变量t u 就为I （0）过程。
协整概念的提出对于用非平稳变量建立经济计量模型，以及检验这些变量之间的长期均衡关系非常重要。
（1）如果多个非平稳变量具有协整性，则这些变量可以合成一个平稳序列。这个平稳序列就可以用来描述原变量之间的均衡关系。
（2）当且仅当多个非平稳变量之间具有协整性时，由这些变量建立的回归模型才有意义。所以协整性检验也是区别真实回归与伪回归的有效方法。
（3）具有协整关系的非平稳变量可以用来建立误差修正模型。由于误差修正模型把长期关系和短期动态特征结合在一个模型中，因此既可以克服传统计量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建立差分模型忽视水平变量信息的弱点。
二、协整检验
协整性的检验有两种方法，一种是基于回归残差的协整检验，这种检验也称为单一方程的协整检验；另一种是基于回归系数的完全信息协整检验。这里我们仅考虑单一方程的情形，而且主要介绍两变量协整关系的EG 两步法检验。
第一步，若X t 与Y t 是一阶单整（I （1））序列，即t t X Y ∆∆和是平稳的，用OLS 法对回归方程(也称为协整回归方程)
t t t X Y u αβ=++ (7.29)
进行估计，得到残差序列 ˆˆ()t t t
e X Y αβ=-+。 第二步，检验t e 的平稳性。若t e 为平稳的，则X t 与Y t 是协整的，反之则不是协整的。因为若X t 与Y t 不是协整的，则它们的任一线性组合都是非平稳的．因此残差t e 将是非平稳。换言之，对残差序列t e 是否具有平稳性的检验，也就是对
X t 与Y t 是否存在协整的检验。
检验t e 为非平稳的假设可用两种方法。一种方法是对残差序列进行DF 检验或者ADF 检验，即对t e 进行单位根检验，其检验方法在前面已介绍。一个需要注意的问题是，这里的DF 或ADF 检验是针对协整回归计算出的误差项t e 而非真正的非均衡误差t u 进行的。而OLS 法采用了残差最小平方和原理，因此估计量γ是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对t e 平稳性检验的DF 与ADF 临界值应该比正常的DF 与ADF 临界值还要小。MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临界值。
表4 双变量协整ADF 检验临界值
显 著 性 水 平
样本容量
0.01 0.05 0.10 25 -4.37 -3.59 -3.22 50 -4.12 -3.46 -3.13 100 -4.01 -3.39 -3.09 ∝
-3.90
-3.33
-3.05
另一种方法是协整回归DW 检验。具体做法为，用协整回归所得的残差构造DW 统计量：
∑∑--=
22
1
)(t t t
e
e e CRDW (7.30)
若t e 是随机游走的，则1t t e e --的数学期望为0，故DW 也应接近于0。因此，只需检验：0:0H DW =是否成立，若0H 成立，t e 为随机游走，X t 与Y t 间不存在协整，反之则存在协整。Sargan 和Bhargava 最早编制了用于检验协整的DW 临界值表。表5是观察数为100时，该检验的临界值。例如，当DW ＝0.71时，在1％的显著性水平上我们能拒绝0:0H DW =，即拒绝非协整假设。
表5 检验DW=0的临界值
第七章时间数列分析 一、填空题 1、时间指标数值 2、逐期增长量累计增长量 3、增长水平（或增长量）发展速度 4、本期水平去年同期水平 5、年距发展速度 1（或100%） 6、几何平均法方程法 7、同季（月）平均法趋势与季节模型法 8、平均季节比重法平均季节比率法 9、报告期水平基期水平 10、序时平均数（或动态平均数）平均数 11、和差 12、季节变动长期趋势 13、逐期增长量环比增长速度 14、长明显 1-5 A C C A D 6-10 A B A D B 三、多选题 1、CDE 2、ABDE 3、ABCE 4、ACDE 5、BDE 6、BD 7、ABCD 8、ACE 9、AE 10、ACE 四、简答题 1、序时平均数与一般平均数的异同。 答：（1）相同之处。二者都是将具体数值抽象化，用一个代表性的数指来代表总体的一般水平。 （2）不同之处。①计算的依据不同。一般平均数是根据变量数列计算的，而序时平均数则是 根据时间数列计算的；②对比的指标不同。一般平均数是总体标志总量与总体单位总量对比的结果， 而序时平均数则是时间数列各期发展水平的总和与时期项数对比的结果；③说明的问题不同。一般 平均数说明现象在同一时间、不同空间上所达到的一般水平，而序时平均数则说明现象在同一空间、 不同时间上所达到的一般水平。 2、时期数列与时点数列的区别。 答：①时期数列中的指标值为时期数，时点数列中的指标值为时点数；②时期数列中的指标值 具有可加性，而时点数列中的指标值则不具有可加性；③时期数列中指标值的大小与时间间隔的长 短有直接关系，而时点数列中指标值的大小与时间间隔的长短则没有直接关系；④时期数列中的指
计量经济学专题（3） 非平稳时间序列回归与协整检验 1、协整的引入 由于用非平稳的时间序列建立回归模型会带来虚假回归问题，导致用非平稳的时间序列建立的回归模型的估计结果毫无意义，因此在用非平稳的时间序列回归前必须对回归的序列做进一步的检验。 2、协整检验的思想 在实际中，大多数时间序列时非平稳的，然而某些非平稳的时间序列的线性组合却有可能是平稳的。 经济理论认为，某些经济时间序列存在长期的均衡关系。如：收入与支出、工资与价格、进口与出口、货币发行量与物价水平等。由于这些序列都是非平稳的时间序列，其方差与均值随时间的变化而变化，看起来这些非平稳的序列不会存在任何均衡的关系，但事实上若干个非平稳的时间序列的线性组合却有可能是平稳的序列，则称具有这种性质的序列具有协整性，如果某些时间序列存在协整关系，这认为这些经济变量之间存在长期的均衡关系。 协整关系的另一种理解：如果两个或两个以上的非平稳变量存在长期均衡的关系，则长期均衡关系得到的误差序列是平稳的。 3、协整的定义 用t X 表示N ×1阶的时间序列向量()'Nt t t x x x 21，如果： （1）t X 所含有的所有变量都是)(d I 阶的；（2）如果存在一个N ×1阶向量)0(,≠ββ，使得t X β'～)(b d I -，则称t X 的各分量存在b 阶协整关系。β称协整向量，β的各元素称协整参数。 例如：假定t t y x ,均为一阶非平稳的时间序列，即：t t y x ,～I （1），如果t t y x ,具有如下关系： t t t u x y +=β，t u ～I （0） ， 则t t x y β=表示长期均衡关系，t t t x y u β-=表示非均衡误差，两个非平稳的时间序列t t y x ,的线性组合为一平稳的时间序列，所以t t y x ,具有协整关系。 4、协整的若干性质
非平稳时间序列概述 非平稳时间序列是指其统计特性在不同时间上发生了变化的时间序列数据。与平稳时间序列不同，非平稳时间序列在时间上存在趋势、季节性、周期性等变化。这些变化使得序列的平均值、方差和协方差随着时间的推移而变化，从而使得非平稳时间序列的分析和预测更加复杂。 非平稳时间序列的主要特点包括以下几个方面： 1. 趋势性：非平稳时间序列在长期内呈现出明显的趋势变化。例如，股票价格在长期内可能会呈现上升或下降的趋势。 2. 季节性：非平稳时间序列在特定的时间段内存在周期性波动。例如，零售销售额可能会在节假日季节出现明显的周期性增长。 3. 周期性：非平稳时间序列可能呈现出长期的周期性波动。例如，经济增长率可能会在数年或数十年内出现周期性的波动。 4. 自相关性：非平稳时间序列的自相关性通常不会随着时间的推移而衰减。这使得使用传统的时间序列分析方法变得困难。 非平稳时间序列的分析和预测需要使用特殊的技术和方法。常用的方法包括差分法、季节性调整、趋势拟合、转换等。差分法可以通过对序列的差分来消除趋势性和季节性，使得序列变得平稳。季节性调整可以通过季节性分解或回归模型来消除季节性效应。趋势拟合可以使用线性回归、移动平均或指数平滑等方法来拟合趋势。转换可以将非平稳时间序列转化为平稳时
间序列，例如取对数、平方根等。 非平稳时间序列的分析和预测对于许多领域的决策非常重要，如经济学、金融学、工程学等。准确理解和预测非平稳时间序列的变化趋势可以帮助我们做出合理的决策，优化资源配置，提高效率和盈利能力。非平稳时间序列的分析和预测在许多领域中具有重要的应用价值。以下是一些常见的应用领域： 1. 经济学：非平稳时间序列分析在宏观经济学中具有重要意义。经济指标如GDP、通货膨胀率、失业率等往往呈现出明显的 趋势和周期性变化。对这些经济指标进行分析和预测有助于了解经济发展的趋势和周期，以及制定相应的经济政策。 2. 金融学：金融市场中的价格、交易量、股票收益等数据通常呈现出较强的非平稳性。通过对金融时间序列的分析和预测，可以帮助投资者制定合理的投资策略，降低投资风险。此外，对金融时间序列进行建模和预测还对风险管理、期权估值、资产定价等金融领域的决策具有重要的意义。 3. 工程学：非平稳时间序列分析在工程领域中有广泛的应用。例如，对电力负荷进行预测可以帮助电力公司合理安排发电计划，优化电力供需平衡。对温度、湿度等气象时间序列数据的分析和预测有助于天气预报和气候变化研究。另外，对工业生产过程中的传感器数据进行分析和预测，可以帮助提高生产效率和质量。 4. 医学：医学领域中的时间序列数据包括患者心率、血压、呼
非平稳和季节时间序列模型分析方法 时间序列分析是指对时间序列数据进行建模和预测的统计方法。根据数据的特点，时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列。在实际应用中，很多时间序列数据并不满足平稳性的假设，因此需要对非平稳序列进行处理和分析。 非平稳序列分析的方法之一是差分法。差分法的基本思想是通过对原始序列进行差分，得到一个新的序列，使其成为平稳序列。差分法可以通过一阶差分、二阶差分等方法来实现。一般来说，一阶差分可以用来处理线性趋势，而二阶差分可以用来处理二次趋势。 另一种非平稳序列分析的方法是趋势-季节分解法。这种方法 首先对时间序列进行趋势分解，将原始序列拆分为趋势、季节和残差三个部分。然后对残差序列进行平稳性检验，判断是否需要进一步进行差分。最后，可以利用拆分后的趋势和季节序列进行预测。 对于带有季节性的时间序列数据，还可以采用季节时间序列模型进行分析。常见的季节时间序列模型包括季节自回归移动平均模型（SARIMA）和季节指数平滑模型。这些模型可以对季节性进行建模，并利用历史数据进行预测。 总结起来，非平稳和季节时间序列的分析方法可以包括差分法、趋势-季节分解法和季节时间序列模型。这些方法能够有效地 处理和分析非平稳和带有季节性的时间序列数据，为实际应用提供了重要的参考。时间序列分析是一种广泛应用于金融、经
济、气象、销售、股票市场等领域的数据分析方法，它的目标是根据过去的数据模式，预测未来的趋势和行为。在时间序列分析中，平稳性是一个重要的概念，指的是在时间序列的整个时间范围内，序列的统计特性不会随着时间的推移而发生显著的变化。然而，在实际应用中，很多时间序列数据并不满足平稳性的假设，因此需要对非平稳序列进行处理和分析。 非平稳序列的特点是随着时间的推移，其均值、方差和协方差等统计特性会发生显著的变化。这使得对其进行建模和预测变得困难。因此，我们需要采取一些方法来处理非平稳序列，使其满足平稳性的假设。 差分法是一种常用的处理非平稳序列的方法。差分法的基本思想是通过对原始序列进行差分，得到一个新的序列，使其成为平稳序列。一阶差分可以通过减去每个观测值与其前一个观测值的差来实现，即Yt'=Yt-Y(t-1)。通过一阶差分，可以去除整体上的线性趋势，从而使序列趋于平稳。对于具有二次趋势的序列，可以进行二阶差分，以去除二次趋势。 除了差分法外，趋势-季节分解法是另一种常用的非平稳序列分析方法。这种方法首先对时间序列进行趋势分解，将原始序列拆分为趋势、季节和残差三个部分。趋势部分反映数据的长期变化趋势，季节部分反映数据的周期性变化，残差部分则是剩余的无法解释的部分。然后，对残差序列进行平稳性检验，判断是否需要进一步进行差分。最后，可以利用拆分后的趋势和季节序列进行预测。
时间序列模型 时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 年提出。它适用于各种领域的时间序列分析。 时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是： ⑴这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。 ⑵明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。 时间序列模型的应用： （1）研究时间序列本身的变化规律（建立何种结构模型，有无确定性趋势，有无单位根，有无季节性成分，估计参数）。 （2）在回归模型中的应用（预测回归模型中解释变量的值）。 （3）时间序列模型是非经典计量经济学的基础之一（不懂时间序列模型学不好非经典计量经济学）。 分节如下： 1．随机过程、时间序列定义 2．时间序列模型的分类 3．自相关函数与偏自相关函数 4．建模步骤（识别、参数估计、诊断检验、案例分析） 5．回归与时间序列组合模型 6．季节时间序列模型（案例分析） 2.1随机过程、时间序列 为什么在研究时间序列之前先要介绍随机过程？就是要把时间序列的研究提高到理论高度来认识。时间序列不是无源之水。它是由相应随机过程产生的。只有从随机过程的高度认识了它的一般规律。对时间序列的研究才会有指导意义。对时间序列的认识才会更深刻。 自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是确定型过程，一类是非确定型过程。 确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。 非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。例如，对河流水位的测量。其中每一时刻的水位值都是一个随机变量。如果以一年的水位纪录作为实验结果，便得到一个水位关于时间的函数x t。这个水位函数是预先不可确知的。只有通过测量才能得到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。 随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{x (s, t) , s∈S , t∈T }。其中S表示样本空间，T表示序数集。对于每一个t, t∈T, x(·, t ) 是样本空间S中的一个随机变量。对于每一个s, s∈S , x (s, ·) 是随机过程在序数集T中的一次实现。 t t
第一章习题答案 略 第二章习题答案 2.1 （1）非平稳 （2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 2.2 （1）非平稳，时序图如下 （2）- （3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图
2.3 （1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.70 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118 （2）平稳序列 （3）白噪声序列 2.4 LB=4.83 ，LB 统计量对应的分位点为0.9634 ，P 值为0.0363 。显著性水平=0.05 ，序列不能视为纯随机序列。 2.5 （1）时序图与样本自相关图如下
（2）非平稳 （3）非纯随机 2.6 （1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)）（2）差分序列平稳，非纯随机 第三章习题答案 0.71 E( x ) 0 , t 1 Var (x ) 1.96 , t 2 1 0.7 2 2 0.7 0.49, 22 0 0.72 1 7 15 , 2 1 15 0.73 E( x ) 0 , t 1 0.15 Var (x ) 1.98 t (1 0.15)(1 0.8 0.15)(1 0.8 0.15) 1 0.8 1 0.15 0.70 , 2 0.8 1 0.15 0.41, 3 0.8 2 0.15 1 0.22 11 1 0.70, 22 2 0.15, 33 0 1 , 0.74 1 c 0, 1 1 c c ,k 2 k k 1 k 2 0.75 证明: 该序列的特征方程为： 3 - 2-c c 0，解该特征方程得三个特征根： 1 1， 2 c ， 3 c
第7章 非线性时间序列模型 经济理论建议：许多重要的时间序列显示出非线性行为。工资有向下刚性是许多宏观经济模型的关键特征。在经济周期中，衰退比恢复更明显，如重要的宏观经济变量：产出和就业，下降比上升更明显。由于标准的ARMA 模型依赖于线性差分方程，需要新的动态设定来捕捉非线性行为。本章有三个目的： 1．比较ARMA 模型与各种非线性模型。几个非线性形式是非常有用的。这些非线性模型可用OLS 方法、非线性OLS 、最大似然方法来估计。 2．给出一些检验，确定非线性调整的存在。检验非线性的存在比建立非线性要简单得多。 3．介绍了非线性形式的单位根和协整。 7.1 ARMA 模型的简单扩充 非线性自回归（NLAR ）的最简单形式是 1()t t t y f y ε-=+ 这是一个一阶非线性自回归模型，也可以用更有趣的方式 111()t t t t y a y y ε--=+ （7.1.1） 这里1111()()t t t a y y f y ---= 方程（7.1.1）与AR(1)模型很象，除了系数11()t a y -是1t y -的函数。如果我们不知道()f ⋅的形式，非线性和时变参数就很难确定。一般的，p 阶非线性自回归模型
12(,,,)t t t t p t y f y y y ε---=+ （7.1.2） 表示为()NLAR p 。 估计（7.1.2）的困难在于函数()f ⋅的形式是未知的。一种方式是利用Taylor 展开。如，对于(2)NLAR 模型12(,)t t t t y f y y ε--=+不高于3阶的Taylor 级数展开是 22011221212111222t t t t t t t y a a y a y a y y a y a y ------=+++++ 22331112121211112222t t t t t t t a y y a y y a y a y ε------+++++ 对于更一般的()NLAR p 有 广义自回归（GAR ）模型 011111p p p r s k l t i t i ijkl t i t j t i i j k l y a a y a y y ε---======+++∑∑∑∑∑ （7.1.3） 通常选取,4r s ≤。 方程（7.1.3）被称为广义自回归GAR 模型。这个模型可用OLS 来估计，非线性检验也是直接的。如果不能拒绝0ijkl a =，则这个过程是线性的。也可使用传统的t -检验，F -检验来削减要估计的参数。也可使用AIC,SBC 模型选择准则。 双线性模型 正如一个节俭的ARMA 模型可用高阶AR(p)来近似一样，在非线性模型中可使用运动平均项。考虑简单的双线性模型（BL ）： 01111111t t t t t t y y c y ααβεεε----=++++ 要使用运动平均项，自回归和MA 项的交叉来近似一个高阶的GAR 模型。双线性模型是ARMA 模型的自然扩充，增添了t i y -和 t j ε-的乘积项来考虑非线性。 双线性模型(,,,)BL p q r s 的一般型式是：
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系 步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整（注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。 1.单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。常用的ADF检验包括三个模型方程。在李子奈的《高级计量经济学》上有该方法的全部步骤，即从含趋势项、截距项的方程开始，若接受原假设，则对模型中的趋势项参数进行t 检验，若接受则进行对只含截距项的方程进行检验，若接受，则对一阶滞后项的系数参数进行t检验，若接受，则进行差分后再ADF检验；若拒绝，则序列为平稳序列。 2.当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3.当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG 两步法和JJ检验：(1)EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；(2)JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式）。 4.当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。 5.格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。 6.非平稳序列很可能出现伪回归，协整的意义就是检验它们的回归方程所描述的因果关系是否是伪回归，即检验变量之间是否存在稳定的关系。所以，非平稳序列的因果关系检验就是协整检验。 7.平稳性检验有3个作用：(1)检验平稳性，若平稳，做格兰杰检验，非平稳，作协正检验。(2)协整检验中要用到每个序列的单整阶数。(3)判断时间序列的数据生成过程。 8.其实很多人存在误解。有如下几点，需要澄清：(1)格兰杰因果检验是检验统计上的时间先后顺序，并不表示二者真正存在因果关系，是否呈因果关系需要根据理论、经验和模型来判定。(2)格兰杰因果检验的变量应是平稳的，如果单位根检验发现两个变量是不稳定的，那么，不能直接进行格兰杰因果检验，所以，很多人对不平稳的变量进行格兰杰因果检验，这是错误的。(3)协整结果仅表示变量间存在长期均衡关系，那么，到底是先做格兰杰还是先做协整呢？因为变量不平稳才需要协整，所以，首先因对变量进行差分，平稳后，可以用差分项进行格兰杰因果检验，来判定变量变化的先后时序，之后，进行协整，看变量是
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别 时间序列是统计学中一种重要的数据形式，用于研究随时间变化的 现象。在时间序列分析中，平稳性是一个关键概念。平稳时间序列与 非平稳时间序列在特征和性质上存在着显著的区别。本文将讨论平稳 时间序列与非平稳时间序列的定义、特征和分析方法。 一、平稳时间序列的定义及特征 平稳时间序列是指其概率分布不随时间推移而发生改变的时间序列。具体来说，对于平稳时间序列，它的均值、方差和自相关函数等统计 特征在不同时刻保持不变。 平稳时间序列的特征可以总结为以下几点： 1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值在时间上保持不变。 2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差在时间上保持不变。 3. 自相关性：平稳时间序列的自相关函数只依赖于时间的间隔，而 不依赖于具体的时间点。 二、非平稳时间序列的定义及特征 非平稳时间序列是指其概率分布随时间推移而发生改变的时间序列。具体来说，非平稳时间序列的均值、方差和自相关函数等统计特征会 随时间发生变化。 非平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：
1. 趋势性：非平稳时间序列存在明显的增长或下降趋势。 2. 季节性：非平稳时间序列可能会呈现出周期性的变动，如一年内 的季节变化。 3. 自相关性的变化：非平稳时间序列的自相关函数不仅依赖于时间 的间隔，还依赖于具体的时间点。 三、分析方法的区别 针对平稳时间序列和非平稳时间序列，我们在分析方法上有不同的 选择。 对于平稳时间序列，我们可以使用经典的时间序列分析方法，如自 回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。这些方法基于平稳性的假设，能够准确地对平稳时间序列 进行建模和预测。 对于非平稳时间序列，由于其不具备平稳性，我们需要采取一些转 换方法来处理。常见的方法包括一阶差分、对数转换和季节性调整等。此外，我们还可以使用更加复杂的模型，如自回归积分移动平均模型（ARIMA）、差分自回归移动平均模型（DARIMA）和趋势-季节性分 解模型等。 四、应用领域的差异 平稳时间序列和非平稳时间序列在应用领域上也存在差异。
非平稳时间序列建模步骤 介绍 非平稳时间序列是指其统计特性在时间上发生变化的序列。在实际应用中，我们经常面临非平稳时间序列的建模问题，如股票价格、气温变化等。本文将探讨非平稳时间序列建模的步骤和方法。 为什么要建立模型 非平稳时间序列在其统计特性的变化中存在一定的规律性，因此建立模型可以帮助我们理解和预测序列的行为。模型可以从数据中提取有用的信息，揭示序列的规律和动态特征。 步骤一：观察时间序列的特性 在建立模型之前，我们首先需要观察时间序列的特性，包括趋势、周期性、季节性和随机性等。这些特性是决定时间序列模型选择的重要因素。 步骤二：平稳化处理 由于非平稳时间序列的统计特性随时间变化，不利于建模和分析。因此，我们需要对时间序列进行平稳化处理。常用的平稳化方法包括差分法和变换法。 2.1 差分法 差分法是通过计算相邻两个观测值的差异来实现序列的平稳化。一阶差分是指相邻观测值之间的差异，二阶差分是指一阶差分的差异，以此类推。差分法可以有效地去除序列的趋势和季节性，使序列平稳。 2.2 变换法 变换法是通过对时间序列进行数学变换，将非平稳序列转化为平稳序列。常用的变换方法包括对数变换、平方根变换和 Box-Cox 变换等。变换法可以改变序列的分布特性，使序列满足平稳性的要求。
步骤三：选择模型 平稳化处理后，我们需要选择合适的模型进行建模。常用的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。 3.1 自回归移动平均模型（ARMA） ARMA 模型是描述时间序列随机变动的经典模型，其包括自回归和移动平均两个部分。自回归部分考虑了序列的历史值对当前值的影响，移动平均部分考虑了序列的误差对当前值的影响。ARMA 模型适用于没有趋势和季节性的平稳序列。 3.2 自回归积分移动平均模型（ARIMA） ARIMA 模型是在 ARMA 模型基础上引入了积分项，用于处理非平稳序列。ARIMA 模型考虑了序列的差分处理，使得序列转化为平稳序列后再建模。ARIMA 模型一般用于有趋势但没有季节性的非平稳序列。 3.3 季节性自回归移动平均模型（SARIMA） SARIMA 模型是在 ARIMA 模型基础上考虑了季节性因素的扩展模型。SARIMA 模型包括季节性自回归、非季节性自回归、季节性移动平均和非季节性移动平均四个部分。SARIMA 模型适用于同时存在趋势和季节性的序列。 3.4 指数平滑模型 指数平滑模型是一类以加权平均法为基础的模型，适用于不具有明显趋势和季节性的序列。常用的指数平滑模型包括简单指数平滑法、Holt 线性指数平滑法和 Holt-Winters 季节性指数平滑法等。 步骤四：模型估计和检验 选择了合适的模型后，我们需要对模型进行估计和检验，以验证模型是否能够较好地拟合和预测数据。
非平稳序列平稳化的三种方法 在时间序列分析中，一个时间序列被视为平稳的，如果其均值和方差在时间上是稳定的。但是，在实际情况下，很少有时间序列是平稳的。因此，需要对非平稳序列进行平稳化，以便进行进一步的分析和建模。在本文中，我们将介绍三种常用的非平稳序列平稳化 方法。 方法一：差分 差分是平稳化非平稳时间序列最常用的方法之一。大多数非平稳时间序列可以通过对 原始序列进行一次或多次差分来变成平稳序列。一次差分表示每次将当前值减去前一个值，即： $$y_t = x_t - x_{t-1}$$ 如果需要进行多次差分，则可以对一次差分的结果再次进行差分，即： 需要注意的是，差分将导致数据集的样本量减少，因为首个值和最后一个值都将被删去。 方法二：对数变换 对数变换是另一种常用的平稳化非平稳时间序列方法。大多数时间序列的均值和方差 都随时间增长而增长，而对数变换可以将一个增长趋势转换为常数倍数的增长，从而使时 间序列的均值和方差稳定。对数变换的公式如下： 这种变换可以用于受到百分比变化影响较大的时间序列，如股票价格、商品价格等。 方法三：季节性调整 季节性调整是针对季节性影响较大的非平稳时间序列进行平稳化的方法。该方法主要 是通过计算季节性差异来消除季节性影响。季节性调整通常需要进行以下步骤： 1. 计算时间序列的季节性分量，通常使用移动平均方法或指数平滑方法。 2. 对时间序列进行季节性差异调整，即将季节性分量从原始数据中剔除。 3. 对季节性调整后的数据进行检验，以确保平稳。 四、总结 三种方法中，差分是最简单、最快速的平稳化方法，但它仅仅适用于具有单一趋势的 时间序列。对数变换适用于指数增长的时间序列，而季节性调整适用于具有季节性影响的
38. 非平稳时间序列简直定性分析之马矢奏春创作 实际中年夜大都时间序列是非平稳的,对非平稳时间序列的分析方法主要有两类：确定性分析和随机性分析. 确定性分析——提取非平稳时间序列明显的规律性（长期趋势、季节性变动、周期性）,目的是：①克服其它因素影响,纯真测度出单一确定因素对序列的影响；②推断各种确定性因素彼此之间相互作用关系及它们对序列的综合影响. 随机性分析——分析非平稳时间序列由随机因素招致的随机摆荡性. （一）趋势分析 有的时间序列具有明显的长期趋势,趋势分析就是要找出并利用这种趋势对序列发展做出合理预测. 1. 趋势拟合法 即把时间作为自变量,相应的序列观察值作为因变量,建立序列值随时间变动的回归模型.分为线性拟合和非线性拟合. 2. 平滑法 利用修匀技术,消弱短时间随机摆荡对序列的影响,使序列平滑化,从而显示出长期趋势变动的规律. （1）移动平均、加权移动平均 已知序列值x1, …, xt1, 预测xt的值为
称为n期移动平均值,n的选取带有一定的经验性,n过长或过短,各有利弊,也可以根据均方误差来选取. 一般最新数据更能反映序列变动的趋势.因此,要突出新数据的作用,可采纳加权移动平均法： 其中,. （2）二次移动平均 对应线性趋势,移动平均拟合值有滞后性,可以采纳二次移动平均加以改进：对移动平均值再做一次移动平均. （3）指数平滑法 指数平滑法是一种对过去观察值加权平均的特殊形式,观测值时间越远,其权数呈指数下降.一次指数平滑法可用于对时间序列进行修匀,以消除随机摆荡.预测公式为： 其中α∈(0, 1)为平滑常数,为第t期平滑预测值,初始预测值（通常取最初几个实测数据的均值）. 一般来说,时间序列有较年夜的随机摆荡时,宜选择较年夜的α值,以便能较快跟上近期的变动；也可以利用预测误差选择. （4）二次、三次指数平滑法 即对一次指数平滑后的序列再做一次指数平滑,但不是直接将二次指数平滑值作为预测值,而是利用其来求出方程参数,利用滞后偏差的规律来建立直线趋势模型.计算公式： ,
时间序列、动态计量与非平稳性 时间序列分析是一种统计学方法，用于处理按时间顺序排列的数据。时间序列数据通常包含某个特定经济指标、社会现象或其他变量在不同时间点上的观测值。时间序列通常具有趋势、季节性和随机性等特征，因此需要通过时间序列分析方法来进行预测和解释。 动态计量是时间序列分析的一个重要分支，它主要关注变量之间的相互关系和变动。动态计量方法通常使用回归模型或协整模型来分析变量之间的长期关系和短期关系。回归模型可以用来预测一个变量的值，而协整模型则可以用来分析两个或更多变量之间的长期稳定关系。 非平稳性是时间序列分析中的一个重要概念，它指的是数据在时间上的变动趋势不稳定，并且呈现出明显的趋势或季节性等特征。非平稳性数据在进行分析时，可能会出现错误的预测结果或误导性的统计推断。因此，在进行时间序列分析之前，需要首先对数据进行平稳性检验和处理，以确保分析结果的准确性和有效性。 在时间序列分析中，常用的方法包括移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等。移动平均法是一种通过计算一定时间段内观 测值的平均值来平滑数据的方法，它可以减少随机因素对数据的影响，揭示数据的长期趋势。指数平滑法是一种通过赋予不同权重来平滑数据的方法，它可以更好地反映近期观测值对数据的影响。ARIMA模型是一种结合自回归（AR）和滑动平均（MA）的模型，它可以描述时间序列数据中的长期趋势、季
节性和随机性。 在动态计量中，常用的方法包括向量自回归（VAR）模型和 向量错误修正模型（VECM）。VAR模型是一种多变量时间 序列模型，它可以同时分析多个变量之间的长期关系和短期关系。VECM模型是在VAR模型的基础上引入了协整关系，它 可以分析不同变量之间的长期稳定关系。 最后，为了解决非平稳性问题，常用的方法包括差分法和单位根检验。差分法是一种通过对数据进行差分来消除非平稳性的方法，它可以将非平稳序列转化为平稳序列。单位根检验是一种用来判断数据是否具有单位根（非平稳性）的方法，常用的单位根检验方法包括ADF检验和PP检验。 总之，时间序列、动态计量和非平稳性是统计学中重要的概念和方法，它们在经济学、金融学、社会学等领域的应用非常广泛。通过时间序列分析，我们可以预测未来的趋势和变化，帮助决策者做出合理的决策，并提供政策制定和风险管理方面的参考依据。对于非平稳性数据的处理和分析，可以提高统计推断的准确性和有效性，避免错误的决策或误导性的结论。因此，时间序列、动态计量和非平稳性的研究和应用具有重要的理论和实践意义。时间序列分析在实际应用中具有广泛的应用领域，例如经济学、金融学、社会学和环境科学等。在经济学中，时间序列分析可以用于预测经济指标（例如GDP、通货膨胀率 和失业率）的未来走势，帮助决策者制定经济政策和实施风险管理。在金融学中，时间序列分析可以用于股票价格和汇率的预测，为投资者提供决策依据。在社会学中，时间序列分析可
非平稳时间序列分析 1、首先画出时序图如下: t 从时序图中看出有明显的递增趋势，而该序列是一直递增，不随季节波动，所以认为该序列不存在季节特征。故对原序列做一阶差分，画出一阶差分后的时序图如下：
difx 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 从中可以看到 一阶差分后序列仍然带有明显的增长趋势，再做二阶差分: 80 - 70 - 60 - 50 - 40 - 30 - 20 - 10 - 0 - -10 - -20 - -30 - -40 - -50 - -60 - -70 - -80 - -90 - -100 - -110 - 做完二阶差分可以看到，数据的趋势已经消除，接下来对二阶差分后的序列进行 1945 1950 dif2x 90 - 1945 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 *
检验： Autocorrelations Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 577.333 1.00000 | |********************| 0 1 -209.345 -.36261 | *******| . | 0.071247 2 -52.915660 -.09166 | .**| . | 0.080069 3 9.139195 0.01583 | . | . | 0.080600 4 15.375892 0.02663 . |* . | 0.080615 5 -59.441547 -.1029 6 .**| . | 0.080660 6 -23.834489 -.04128 | . *| . | 0.081324 7 100.285 0.17370 | . |*** | 0.081431 8 -146.329 -.25346 | *****| . | 0.083290 9 52.228658 0.09047 | . |**. | 0.087118 10 21.008575 0.03639 | . |* . | 0.087593 11 134.018 0.23213 | . |***** | 0.087670 12 -181.531 -.31443 | ******| . | 0.090736 13 23.268470 0.04030 | . |* . | 0.096108 14 71.112195 0.12317 | . |** . | 0.096194 15 -105.621 -.18295 | ****| . | 0.096991 16 37.591996 0.06511 . |* . | 0.098727 17 23.031506 0.03989 | . |* . | 0.098945 18 45.654745 0.07908 | . |** . | 0.099027 19 -101.320 -.17550 | ****| . | 0.099347 20 127.607 0.22103 | . |**** | 0.100908 21 -61.519663 -.10656 | . **| . | 0.103337 22 35.825317 0.06205 | . |* . | 0.103893 23 -93.627333 -.16217 | .***| . | 0.104081 24 55.451208 0.09605 | . |** . | 从其自相关图中可以看出二阶差分后的序列自相关系数很快衰减为零，且都在两 倍标准差范围之内，所以认为平稳，白噪声检验结果： Autocorrelation Check for White Noise To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq ------------------- Autocorrelations ------------------- 6 30.70 6 <.0001 -0.363 -0.092 0.016 0.02 7 -0.103 -0.041 12 84.54 12 <.0001 0.174 -0.253 0.090 0.036 0.232 -0.314 18 97.98 18 <.0001 0.040 0.123 -0.183 0.065 0.040 0.079 24 126.99 24 <.0001 -0.175 0.221 -0.107 0.062 -0.162 0.096
第七章非平稳时间序列 时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。在这些假定成立的条件下，进展的t检验、F检验与2 等检验才具有较高的可靠度。但是，越来越多的经验证据明确，经济分析中所涉与的大多数时间序列是非平稳的。那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进展分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉与到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的根本内容。 第一节伪回归问题 经典计量经济学建模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进展数据收集、参数估计以与模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多根本经济变量的动态影响。因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。人们发现，由于经济分析中所涉与的经济变量数据根本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进展回归分析，如此可能会带来不良后果，如伪回归问题。 所谓“伪回归〞，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归〞的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。他们用Monte Carlo模拟方法研究明确，如果用传统回归分析
《金融计量学》教学大纲 （一）课程地位 金融计量学是金融工程专业学生在继统计学、多元统计、计量经济学等课程后学习的又一门统计计量工具类课程，为金融学研究和金融业界定量分析的重要工具，也是金融数据挖掘、金融计算等后续课程的先修课程之一。 （二）课程目标 1.在计量经济学基础上进一步掌握一系列更深层次的时间序列模型，如ARIMA、VAR、VECM、GARCH等模型，理解其基本原理、适用条件。 2.要求学生熟练应用EViews软件，构建多种时间序列模型，学会调试模型和解读模型输出结果。 二、课程目标达成的途径与方法 本课程本着学以致用的原则，结合当前的实践，以课堂教学、上机实验为主，结合自学、课堂讨论、课外作业等方式，通过模型建立和估计的原理、方法的教学，使学生在解决实际金融计量问题的过程中学会金融计量方法，并将其在软件中实现。 三、课程目标与相关毕业要求的对应关系 四、课程主要内容与基本要求第一章金融计量学初步 主要内容：金融计量学的范畴，金融时间序列数据，金融计量分析中的基本概念。 要求学生了解金融计量学的研究对象，掌握金融时间序列的概念，了解金融计量分析的基本步骤。 第二章金融计量软件介绍主要内容：各类金融计量软件的使用简介。 要求学生了解各种软件擅长的方面。 第三章差分方程、滞后运算与动态模型 主要内容：一阶差分方程，动态乘数与脉冲响应函数，高阶差分方程，滞后算子与滞后运算法。 要求学生掌握一阶差分方程的组成，掌握动态乘数与脉冲响应函数的概念，了解高阶差分方程，掌握查分方程系统稳定的条件与判断方法，掌握滞后算子与滞后运算法。 第四章平稳AR模型主要内容：一阶自回归模型AR （1）, p阶自回归模型AR （p）o